მათემატიკაში ამოცანების ამოხსნას ხშირად ბევრი სირთულე ახლავს მოსწავლეებისთვის. სტუდენტის დახმარება ამ სირთულეებთან გამკლავებაში, ასევე ასწავლოს მათ არსებული თეორიული ცოდნის გამოყენება საგანში „მათემატიკა“ კურსის ყველა განყოფილებაში კონკრეტული ამოცანების გადაჭრისას ჩვენი საიტის მთავარი მიზანია.

თემის ამოცანების ამოხსნის დაწყებისას მოსწავლეებმა უნდა შეძლონ სიბრტყეზე წერტილის აგება მისი კოორდინატების გამოყენებით, აგრეთვე მოცემული წერტილის კოორდინატების პოვნა.

სიბრტყეზე აღებულ A(x A; y A) და B(x B; y B) წერტილებს შორის მანძილის გამოთვლა ხორციელდება ფორმულის გამოყენებით. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), სადაც d არის სიბრტყის ამ წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე.

თუ სეგმენტის ერთ-ერთი ბოლო ემთხვევა კოორდინატების საწყისს, ხოლო მეორეს აქვს კოორდინატები M(x M; y M), მაშინ d-ის გამოთვლის ფორმულა მიიღებს ფორმას OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლა ამ წერტილების მოცემული კოორდინატების საფუძველზე

მაგალითი 1.

იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე, რომელიც აკავშირებს A(2; -5) და B(-4; 3) წერტილებს კოორდინატულ სიბრტყეზე (ნახ. 1).

გამოსავალი.

პრობლემის განცხადებაში ნათქვამია: x A = 2; x B = -4; y A = -5 და y B = 3. იპოვეთ d.

d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2 ფორმულის გამოყენებით, მივიღებთ:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. წერტილის კოორდინატების გამოთვლა, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული სამი მოცემული წერტილიდან

მაგალითი 2.

იპოვეთ O 1 წერტილის კოორდინატები, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული სამი A(7; -1) და B(-2; 2) და C(-1; -5) წერტილისგან.

გამოსავალი.

პრობლემის პირობების ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ O 1 A = O 1 B = O 1 C. სასურველ წერტილს O 1 ჰქონდეს კოორდინატები (a; b). ფორმულის გამოყენებით d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) ვპოულობთ:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

შევქმნათ ორი განტოლების სისტემა:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

განტოლებების მარცხენა და მარჯვენა გვერდების კვადრატში ვწერთ:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

გამარტივება, მოდით დავწეროთ

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

სისტემის ამოხსნის შემდეგ ვიღებთ: a = 2; b = -1.

წერტილი O 1 (2; -1) თანაბრად არის დაშორებული იმ სამი წერტილისგან, რომლებიც მითითებულია პირობით, რომლებიც არ დევს იმავე სწორ ხაზზე. ეს წერტილი არის წრის ცენტრი, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს (ნახ. 2).

3. წერტილის აბსცისის (ორდინატის) გამოთვლა, რომელიც დევს აბსცისას (ორდინატზე) ღერძზე და მოცემული წერტილიდან მოცემულ მანძილზეა.

მაგალითი 3.

მანძილი B(-5; 6) წერტილიდან Ox ღერძზე მდებარე A წერტილამდე არის 10. იპოვეთ A წერტილი.

გამოსავალი.

პრობლემის პირობების ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ A წერტილის ორდინატი ნულის ტოლია და AB = 10.

A წერტილის აბსცისის აღნიშვნისას a-ით ვწერთ A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

ვიღებთ განტოლებას √((a + 5) 2 + 36) = 10. მისი გამარტივებით გვაქვს

a 2 + 10a - 39 = 0.

ამ განტოლების ფესვები არის 1 = -13; და 2 = 3.

ვიღებთ ორ ქულას A 1 (-13; 0) და A 2 (3; 0).

გამოცდა:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

ორივე მიღებული ქულა შესაფერისია პრობლემის პირობების მიხედვით (ნახ. 3).

4. წერტილის აბსცისის (ორდინატის) გამოთვლა, რომელიც დევს აბსცისას (ორდინატზე) ღერძზე და არის იმავე მანძილზე ორი მოცემული წერტილიდან.

მაგალითი 4.

იპოვეთ წერტილი Oy ღერძზე, რომელიც იმავე მანძილზეა A (6, 12) და B (-8, 10) წერტილებისგან.

გამოსავალი.

ამოცანის პირობებით მოთხოვნილი წერტილის კოორდინატები, რომელიც მდებარეობს Oy ღერძზე, იყოს O 1 (0; b) (Oy ღერძზე მდებარე წერტილში აბსციზა არის ნული). მდგომარეობიდან გამომდინარეობს, რომ O 1 A = O 1 B.

ფორმულის გამოყენებით d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) ვპოულობთ:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

გვაქვს განტოლება √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) ან 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

გამარტივების შემდეგ ვიღებთ: b – 4 = 0, b = 4.

წერტილი O 1 (0; 4) საჭიროა პრობლემის პირობებით (ნახ. 4).

5. წერტილის კოორდინატების გამოთვლა, რომელიც მდებარეობს კოორდინატთა ღერძებიდან და რომელიმე მოცემული წერტილიდან იმავე მანძილზე.

მაგალითი 5.

იპოვეთ M წერტილი, რომელიც მდებარეობს კოორდინატთა სიბრტყეზე ერთსა და იმავე მანძილზე კოორდინატთა ღერძებიდან და A(-2; 1) წერტილიდან.

გამოსავალი.

საჭირო წერტილი M, ისევე როგორც წერტილი A(-2; 1), მდებარეობს მეორე კოორდინატულ კუთხეში, რადგან ის თანაბრად არის დაშორებული A, P 1 და P 2 წერტილებისგან. (ნახ. 5). M წერტილის დაშორებები კოორდინატთა ღერძებიდან ერთნაირია, შესაბამისად, მისი კოორდინატები იქნება (-a; a), სადაც a > 0.

ამოცანის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

იმათ. |-ა| = ა.

ფორმულის გამოყენებით d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) ვპოულობთ:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

მოდით გავაკეთოთ განტოლება:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

კვადრატისა და გამარტივების შემდეგ გვაქვს: a 2 – 6a + 5 = 0. ამოხსენით განტოლება, იპოვეთ a 1 = 1; და 2 = 5.

ჩვენ ვიღებთ ორ ქულას M 1 (-1; 1) და M 2 (-5; 5), რომლებიც აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს.

6. წერტილის კოორდინატების გამოთვლა, რომელიც მდებარეობს იმავე მითითებულ მანძილზე აბსცისა (ორდინატი) ღერძიდან და მოცემული წერტილიდან.

მაგალითი 6.

იპოვეთ M წერტილი ისეთი, რომ მისი მანძილი ორდინატთა ღერძიდან და A(8; 6) წერტილიდან 5-ის ტოლი იყოს.

გამოსავალი.

ამოცანის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ MA = 5 და M წერტილის აბსციზა 5-ის ტოლია. M წერტილის ორდინატი იყოს b-ის ტოლი, მაშინ M(5; b) (ნახ. 6).

ფორმულის მიხედვით d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) გვაქვს:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

მოდით გავაკეთოთ განტოლება:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. გამარტივებით მივიღებთ: b 2 – 12b + 20 = 0. ამ განტოლების ფესვებია b 1 = 2; b 2 = 10. შესაბამისად, არის ორი წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს ამოცანის პირობებს: M 1 (5; 2) და M 2 (5; 10).

ცნობილია, რომ ბევრ სტუდენტს პრობლემების დამოუკიდებლად გადაჭრისას სჭირდება მუდმივი კონსულტაციები მათი გადაჭრის ტექნიკასა და მეთოდებზე. ხშირად მოსწავლე ვერ პოულობს პრობლემის გადაჭრის გზას მასწავლებლის დახმარების გარეშე. მოსწავლეს შეუძლია მიიღოს საჭირო რჩევები პრობლემების გადაჭრის შესახებ ჩვენს ვებგვერდზე.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით როგორ იპოვოთ მანძილი ორ წერტილს შორის თვითმფრინავში?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

მანძილი წერტილიდან წერტილამდეარის ამ წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე მოცემულ შკალაზე. ამრიგად, როდესაც საქმე ეხება მანძილის გაზომვას, თქვენ უნდა იცოდეთ მასშტაბი (სიგრძის ერთეული), რომელშიც განხორციელდება გაზომვები. მაშასადამე, წერტილიდან წერტილამდე მანძილის პოვნის პრობლემა, როგორც წესი, განიხილება ან კოორდინატულ ხაზზე ან მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე ან სამგანზომილებიან სივრცეში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ყველაზე ხშირად თქვენ უნდა გამოთვალოთ მანძილი წერტილებს შორის მათი კოორდინატების გამოყენებით.

ამ სტატიაში ჩვენ პირველ რიგში გავიხსენებთ, თუ როგორ განისაზღვრება მანძილი წერტილიდან წერტილამდე კოორდინატთა ხაზზე. შემდეგ ვიღებთ ფორმულებს სიბრტყის ან სივრცის ორ წერტილს შორის მანძილის გამოსათვლელად მოცემული კოორდინატების მიხედვით. დასასრულს, ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ ტიპიური მაგალითებისა და პრობლემების გადაწყვეტილებებს.

გვერდის ნავიგაცია.

მანძილი ორ წერტილს შორის კოორდინატთა ხაზზე.

ჯერ განვსაზღვროთ აღნიშვნა. A წერტილიდან B წერტილამდე მანძილს აღვნიშნავთ როგორც.

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მანძილი A წერტილიდან კოორდინატთან B წერტილამდე კოორდინატთა სხვაობის მოდულის ტოლია, ანუ კოორდინატთა ხაზის წერტილების ნებისმიერი მდებარეობისთვის.

მანძილი წერტილიდან წერტილამდე სიბრტყეზე, ფორმულა.

ჩვენ ვიღებთ ფორმულას წერტილებს შორის მანძილის გამოსათვლელად და მოცემულია სიბრტყეზე მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში.

A და B წერტილების მდებარეობიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი ვარიანტები.

თუ A და B წერტილები ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ მათ შორის მანძილი ნულის ტოლია.

თუ წერტილები A და B დევს აბსცისის ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე, მაშინ წერტილები ემთხვევა და მანძილი უდრის მანძილს. წინა აბზაცში გავარკვიეთ, რომ კოორდინატთა წრფეზე ორ წერტილს შორის მანძილი უდრის მათ კოორდინატებს შორის განსხვავების მოდულს, შესაბამისად, . აქედან გამომდინარე,.

ანალოგიურად, თუ A და B წერტილები განლაგებულია ორდინატთა ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე, მაშინ მანძილი A წერტილიდან B წერტილამდე გამოდის როგორც .

ამ შემთხვევაში სამკუთხედი ABC კონსტრუქციით მართკუთხაა და და . მიერ პითაგორას თეორემაშეგვიძლია ჩამოვწეროთ თანასწორობა, საიდანაც .

მოდით შევაჯამოთ მიღებული ყველა შედეგი: სიბრტყის წერტილიდან წერტილამდე მანძილი იპოვება წერტილების კოორდინატებით ფორმულის გამოყენებით .

წერტილებს შორის მანძილის საპოვნელად მიღებული ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას, როდესაც A და B წერტილები ემთხვევა ან დევს სწორ ხაზზე პერპენდიკულარულად ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძზე. მართლაც, თუ A და B ემთხვევა, მაშინ . თუ წერტილები A და B დევს Ox ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე, მაშინ. თუ A და B დევს Oy ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე, მაშინ .

მანძილი წერტილებს შორის სივრცეში, ფორმულა.

მოდით შემოვიტანოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxyz სივრცეში. მოდით მივიღოთ წერტილიდან მანძილის პოვნის ფორმულა აზრამდე .

ზოგადად, წერტილები A და B არ დევს ერთ-ერთი საკოორდინატო სიბრტყის პარალელურ სიბრტყეში. დავხაზოთ A და B წერტილების სიბრტყეები, რომლებიც პერპენდიკულარულია კოორდინატთა ღერძებზე Ox, Oy და Oz. ამ სიბრტყეების გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან მოგვცემს A და B წერტილების პროექციას ამ ღერძებზე. ჩვენ აღვნიშნავთ პროგნოზებს .

A და B წერტილებს შორის საჭირო მანძილი არის ნახატზე ნაჩვენები მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალი. კონსტრუქციით, ამ პარალელეპიპედის ზომები თანაბარია და . საშუალო სკოლის გეომეტრიის კურსში დადასტურდა, რომ კუბოიდის დიაგონალის კვადრატი უდრის მისი სამი განზომილების კვადრატების ჯამს, შესაბამისად, . ამ სტატიის პირველ ნაწილში მოცემული ინფორმაციის საფუძველზე შეგვიძლია დავწეროთ შემდეგი თანასწორობები, შესაბამისად,

საიდან მივიღოთ იგი სივრცეში წერტილებს შორის მანძილის პოვნის ფორმულა .

ეს ფორმულა ასევე მოქმედებს, თუ A და B წერტილები

• დაწყვილება;
• მიეკუთვნება ერთ-ერთ კოორდინატთა ღერძს ან წრფეს, რომელიც პარალელურია ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძისა;
• მიეკუთვნება ერთ-ერთ კოორდინატულ სიბრტყეს ან სიბრტყეს, რომელიც პარალელურია ერთ-ერთი საკოორდინატო სიბრტყის.

წერტილიდან წერტილამდე მანძილის პოვნა, მაგალითები და ამონახსნები.

ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ ფორმულები, რომ ვიპოვოთ მანძილი ორ წერტილს შორის კოორდინატულ ხაზზე, სიბრტყესა და სამგანზომილებიან სივრცეში. დროა გადავხედოთ ტიპური მაგალითების გადაწყვეტილებებს.

პრობლემების რაოდენობა, რომლებშიც საბოლოო ნაბიჯი არის ორ წერტილს შორის მანძილის პოვნა მათი კოორდინატების მიხედვით, მართლაც უზარმაზარია. ასეთი მაგალითების სრული მიმოხილვა სცილდება ამ სტატიის ფარგლებს. აქ შემოვიფარგლებით მაგალითებით, რომლებშიც ცნობილია ორი წერტილის კოორდინატები და აუცილებელია მათ შორის მანძილის გამოთვლა.

კოორდინატების გამოყენებით დგინდება ობიექტის მდებარეობა გლობუსზე. კოორდინატები მითითებულია გრძედი და გრძედი. განედები იზომება ორივე მხრიდან ეკვატორის ხაზიდან. ჩრდილოეთ ნახევარსფეროში განედები დადებითია, სამხრეთ ნახევარსფეროში ისინი უარყოფითი. გრძედი იზომება პირველი მერიდიანიდან ან აღმოსავლეთით ან დასავლეთით, შესაბამისად, მიიღება აღმოსავლეთი ან დასავლეთი განედი.

ზოგადად მიღებული პოზიციის მიხედვით, პირველ მერიდიანად მიიღება ის, რომელიც გადის გრინვიჩის ძველ გრინვიჩის ობსერვატორიაში. ადგილმდებარეობის გეოგრაფიული კოორდინატების მიღება შესაძლებელია GPS ნავიგატორის გამოყენებით. ეს მოწყობილობა იღებს სატელიტური პოზიციონირების სისტემის სიგნალებს WGS-84 კოორდინატთა სისტემაში, ერთიანი მთელი მსოფლიოსთვის.

ნავიგატორის მოდელები განსხვავდება მწარმოებლის, ფუნქციონალური და ინტერფეისით. ამჟამად, ჩაშენებული GPS ნავიგატორები ასევე ხელმისაწვდომია მობილური ტელეფონის ზოგიერთ მოდელში. მაგრამ ნებისმიერ მოდელს შეუძლია წერტილის კოორდინატების ჩაწერა და შენახვა.

მანძილი GPS კოორდინატებს შორის

ზოგიერთ ინდუსტრიაში პრაქტიკული და თეორიული პრობლემების გადასაჭრელად აუცილებელია წერტილებს შორის მანძილების დადგენა მათი კოორდინატებით. ამის გაკეთება რამდენიმე გზა არსებობს. გეოგრაფიული კოორდინატების გამოსახვის კანონიკური ფორმა: გრადუსი, წუთი, წამი.

მაგალითად, შეგიძლიათ განსაზღვროთ მანძილი შემდეგ კოორდინატებს შორის: წერტილი No1 - გრძედი 55°45′07″ N, გრძედი 37°36′56″ E; წერტილი No2 - გრძედი 58°00′02″ N, გრძედი 102°39′42″ E.

უმარტივესი გზაა კალკულატორის გამოყენება ორ წერტილს შორის სიგრძის გამოსათვლელად. ბრაუზერის საძიებო სისტემაში უნდა დააყენოთ შემდეგი საძიებო პარამეტრები: ონლაინ - ორ კოორდინატს შორის მანძილის გამოსათვლელად. ონლაინ კალკულატორში, გრძედი და გრძედი მნიშვნელობები შეყვანილია შეკითხვის ველებში პირველი და მეორე კოორდინატებისთვის. გაანგარიშებისას ონლაინ კალკულატორმა შედეგი გამოიღო - 3 800 619 მ.

შემდეგი მეთოდი უფრო შრომატევადი, მაგრამ ასევე უფრო ვიზუალურია. თქვენ უნდა გამოიყენოთ ნებისმიერი ხელმისაწვდომი რუკების ან ნავიგაციის პროგრამა. პროგრამები, რომლებშიც შეგიძლიათ კოორდინატების გამოყენებით ქულების შექმნა და მათ შორის მანძილის გაზომვა, მოიცავს შემდეგ აპლიკაციებს: BaseCamp (MapSource პროგრამის თანამედროვე ანალოგი), Google Earth, SAS.Planet.

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი პროგრამა ხელმისაწვდომია ნებისმიერი ქსელის მომხმარებლისთვის. მაგალითად, Google Earth-ში ორ კოორდინატს შორის მანძილის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა შექმნათ ორი ეტიკეტი, რომელიც მიუთითებს პირველი და მეორე წერტილის კოორდინატებზე. შემდეგ, "მმართველის" ხელსაწყოს გამოყენებით, თქვენ უნდა დააკავშიროთ პირველი და მეორე ნიშნები ხაზით, პროგრამა ავტომატურად აჩვენებს გაზომვის შედეგს და აჩვენებს გზას დედამიწის სატელიტურ სურათზე.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითის შემთხვევაში Google Earth-ის პროგრამამ დააბრუნა შედეგი - მანძილის სიგრძე No1 წერტილსა და No2 წერტილს შორის არის 3,817,353 მ.

რატომ არის შეცდომა მანძილის განსაზღვრისას

კოორდინატებს შორის მანძილის ყველა გამოთვლა ეფუძნება რკალის სიგრძის გაანგარიშებას. რკალის სიგრძის გამოთვლაში მონაწილეობს დედამიწის რადიუსი. მაგრამ ვინაიდან დედამიწის ფორმა ახლოსაა ელიფსოიდთან, დედამიწის რადიუსი გარკვეულ წერტილებში იცვლება. კოორდინატებს შორის მანძილის გამოსათვლელად იღებენ დედამიწის რადიუსის საშუალო მნიშვნელობას, რომელიც იძლევა გაზომვის შეცდომას. რაც უფრო დიდია გაზომილი მანძილი, მით მეტია შეცდომა.

მათემატიკა

§2. სიბრტყეზე წერტილის კოორდინატები

3. მანძილი ორ წერტილს შორის.

მე და შენ ახლა შეგვიძლია ვისაუბროთ წერტილებზე რიცხვების ენაზე. მაგალითად, ჩვენ აღარ გვჭირდება ახსნა: აიღეთ წერტილი, რომელიც არის სამი ერთეული ღერძის მარჯვნივ და ხუთი ერთეული ღერძის ქვემოთ. საკმარისია უბრალოდ ვთქვათ: მიიღეთ აზრი.

ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ ეს ქმნის გარკვეულ უპირატესობებს. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ წერტილებისგან შემდგარი ნახატი ტელეგრაფით, მივაწოდოთ იგი კომპიუტერს, რომელსაც საერთოდ არ ესმის ნახატები, მაგრამ კარგად ესმის რიცხვები.

წინა აბზაცში ჩვენ განვსაზღვრეთ სიბრტყეზე წერტილების რამდენიმე ნაკრები რიცხვებს შორის ურთიერთობის გამოყენებით. ახლა შევეცადოთ თანმიმდევრულად გადავთარგმნოთ სხვა გეომეტრიული ცნებები და ფაქტები რიცხვების ენაზე.

ჩვენ დავიწყებთ მარტივი და საერთო ამოცანებით.

იპოვნეთ მანძილი სიბრტყეზე ორ წერტილს შორის.

გამოსავალი:
როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ წერტილები მოცემულია მათი კოორდინატებით და შემდეგ ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ წესი, რომლითაც შეგვიძლია გამოვთვალოთ მანძილი წერტილებს შორის, მათი კოორდინატების ცოდნა. ამ წესის გამოყვანისას, რა თქმა უნდა, დასაშვებია ნახაზის გამოყენება, მაგრამ თავად წესი არ უნდა შეიცავდეს რაიმე მითითებას ნახატზე, არამედ უნდა აჩვენოს მხოლოდ რა მოქმედებები და რა თანმიმდევრობით უნდა შესრულდეს მოცემულ ციფრებზე - კოორდინატებზე. წერტილებიდან - სასურველი რიცხვის მისაღებად - მანძილი წერტილებს შორის.

შესაძლოა, ზოგიერთ მკითხველს პრობლემის გადაჭრის ეს მიდგომა უცნაურად და შორს წასული აღმოჩნდეს. რაც უფრო მარტივია, იტყვიან, ქულები მოცემულია თუნდაც კოორდინატებით. დახაზეთ ეს წერტილები, აიღეთ სახაზავი და გაზომეთ მანძილი მათ შორის.

ეს მეთოდი ზოგჯერ არც ისე ცუდია. თუმცა, ისევ წარმოიდგინეთ, რომ საქმე გაქვთ კომპიუტერთან. არ ჰყავს სახაზავი და არ ხატავს, მაგრამ შეუძლია ისე სწრაფად დათვალოს, რომ მისთვის ეს საერთოდ არ არის პრობლემა. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი პრობლემა ჩამოყალიბებულია ისე, რომ ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლის წესი შედგება ბრძანებებისგან, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მანქანით.

უმჯობესია, პირველ რიგში გადავწყვიტოთ განსაკუთრებული შემთხვევისთვის დასმული პრობლემა, როდესაც ამ წერტილებიდან ერთ-ერთი დევს კოორდინატების სათავეში. დაიწყეთ რამდენიმე რიცხვითი მაგალითით: იპოვეთ მანძილი წერტილების საწყისიდან; და .

Შენიშვნა. გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა.

ახლა დაწერეთ ზოგადი ფორმულა, რომ გამოვთვალოთ წერტილის მანძილი საწყისიდან.

წერტილის მანძილი საწყისიდან განისაზღვრება ფორმულით:

ცხადია, ამ ფორმულით გამოხატული წესი აკმაყოფილებს ზემოთ ჩამოთვლილ პირობებს. კერძოდ, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას მანქანებზე გამოთვლებში, რომლებსაც შეუძლიათ რიცხვების გამრავლება, მათი დამატება და კვადრატული ფესვების ამოღება.

ახლა მოდით გადავწყვიტოთ ზოგადი პრობლემა

სიბრტყეზე ორი წერტილის გათვალისწინებით, იპოვნეთ მანძილი მათ შორის.

გამოსავალი:
აღვნიშნოთ , , , წერტილების პროგნოზები და კოორდინატთა ღერძებზე.

აღვნიშნოთ ხაზების გადაკვეთის წერტილი ასოსთან. მართკუთხა სამკუთხედიდან პითაგორას თეორემის გამოყენებით ვიღებთ:

მაგრამ სეგმენტის სიგრძე უდრის სეგმენტის სიგრძეს. წერტილები და , დევს ღერძზე და აქვთ კოორდინატები და , შესაბამისად. მე-2 პუნქტის მე-3 პუნქტში მიღებული ფორმულის მიხედვით მათ შორის მანძილი უდრის.

ანალოგიურად კამათით, აღმოვაჩენთ, რომ სეგმენტის სიგრძე უდრის. ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება და ფორმულაში ვიღებთ.

ამ სტატიაში განვიხილავთ გზებს წერტილიდან წერტილამდე მანძილის დასადგენად და კონკრეტული ამოცანების მაგალითის გამოყენებით. დასაწყისისთვის, მოდით შემოვიტანოთ რამდენიმე განმარტება.

განმარტება 1

მანძილი წერტილებს შორისარის მათი დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე არსებული მასშტაბით. აუცილებელია სასწორის დაყენება, რათა გქონდეთ გაზომვის სიგრძის ერთეული. ამიტომ, ძირითადად, წერტილებს შორის მანძილის პოვნის პრობლემა წყდება მათი კოორდინატების გამოყენებით კოორდინატულ ხაზზე, კოორდინატულ სიბრტყეში ან სამგანზომილებიან სივრცეში.

საწყისი მონაცემები: კოორდინატთა წრფე O x და მასზე დევს თვითნებური წერტილი A. წრფის ნებისმიერ წერტილს აქვს ერთი რეალური რიცხვი: იყოს გარკვეული რიცხვი A წერტილისთვის. x A,ის ასევე არის A წერტილის კოორდინატი.

ზოგადად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გარკვეული სეგმენტის სიგრძე ფასდება მოცემულ შკალაზე სიგრძის ერთეულად აღებულ სეგმენტთან შედარებით.

თუ წერტილი A შეესაბამება მთელ რიცხვს რეალურ რიცხვს, O წერტილიდან წერტილამდე O A სეგმენტების - სიგრძის ერთეულების თანმიმდევრობით განლაგებით, შეგვიძლია განვსაზღვროთ O A სეგმენტის სიგრძე გამოყოფილი ერთეული სეგმენტების მთლიანი რაოდენობის მიხედვით.

მაგალითად, წერტილი A შეესაბამება რიცხვს 3 - O წერტილიდან მასზე მისასვლელად, თქვენ უნდა გამორთოთ სამი ერთეული სეგმენტი. თუ A წერტილს აქვს კოორდინატი - 4, ერთეული სეგმენტები განლაგებულია ანალოგიურად, მაგრამ განსხვავებული, უარყოფითი მიმართულებით. ამრიგად, პირველ შემთხვევაში მანძილი O A უდრის 3-ს; მეორე შემთხვევაში O A = 4.

თუ A წერტილს აქვს რაციონალური რიცხვი კოორდინატად, მაშინ საწყისიდან (O წერტილი) გამოვსახავთ ერთეულების სეგმენტების მთელ რიცხვს, შემდეგ კი მის აუცილებელ ნაწილს. მაგრამ გეომეტრიულად ყოველთვის არ არის შესაძლებელი გაზომვის გაკეთება. მაგალითად, ძნელია წილადის 4 111 გამოსახვა კოორდინატთა წრფეზე.

ზემოაღნიშნული მეთოდის გამოყენებით სრულიად შეუძლებელია ირაციონალური რიცხვის სწორ ხაზზე გამოსახვა. მაგალითად, როდესაც A წერტილის კოორდინატი არის 11. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია აბსტრაქციაზე გადასვლა: თუ A წერტილის მოცემული კოორდინატი ნულზე მეტია, მაშინ O A = x A (რიცხვი აღებულია მანძილად); თუ კოორდინატი ნულზე ნაკლებია, მაშინ O A = - x A . ზოგადად, ეს განცხადებები მართალია ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის x A.

შეჯამება: მანძილი საწყისიდან იმ წერტილამდე, რომელიც შეესაბამება ნამდვილ რიცხვს კოორდინატთა წრფეზე უდრის:

• 0 თუ წერტილი ემთხვევა საწყისს;

• x A, თუ x A > 0;

• - x A თუ x A< 0 .

ამ შემთხვევაში აშკარაა, რომ თავად სეგმენტის სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, ამიტომ მოდულის ნიშნის გამოყენებით ვწერთ მანძილს O წერტილიდან A წერტილამდე კოორდინატით. xA: O A = x A

შემდეგი განცხადება იქნება ჭეშმარიტი: მანძილი ერთი წერტილიდან მეორემდე იქნება კოორდინატთა სხვაობის მოდულის ტოლი.იმათ. A და B წერტილებისთვის, რომლებიც დევს ერთსა და იმავე კოორდინატულ ხაზზე ნებისმიერი მდებარეობისთვის და აქვთ შესაბამისი კოორდინატები xAდა x B: A B = x B - x A.

საწყისი მონაცემები: A და B წერტილები, რომლებიც მდებარეობს სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y მოცემული კოორდინატებით: A (x A, y A) და B (x B, y B).

მოდით დავხატოთ პერპენდიკულარები A და B წერტილების გავლით კოორდინატთა ღერძებზე O x და O y და შედეგად მივიღოთ პროექციის წერტილები: A x, A y, B x, B y. A და B წერტილების მდებარეობიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი ვარიანტები:

თუ A და B წერტილები ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ მათ შორის მანძილი არის ნული;

თუ A და B წერტილები დევს O x ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე (აბსცისების ღერძი), მაშინ წერტილები ემთხვევა და | A B | = | A y B y | . ვინაიდან წერტილებს შორის მანძილი უდრის მათი კოორდინატების სხვაობის მოდულს, მაშინ A y B y = y B - y A და, შესაბამისად, A B = A y B y = y B - y A.

თუ A და B წერტილები დევს O y ღერძის (ორდინატთა ღერძი) პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე - წინა აბზაცის ანალოგიით: A B = A x B x = x B - x A.

თუ წერტილები A და B არ დევს სწორ ხაზზე ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძის პერპენდიკულარულად, ჩვენ ვიპოვით მათ შორის მანძილს გამოთვლის ფორმულის გამოყვანით:

ჩვენ ვხედავთ, რომ სამკუთხედი A B C არის მართკუთხა სტრუქტურა. ამ შემთხვევაში, A C = A x B x და B C = A y B y. პითაგორას თეორემის გამოყენებით ვქმნით ტოლობას: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 და შემდეგ გარდაქმნის მას: A B = A x B x 2 + A y B. y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

გამოვიტანოთ დასკვნა მიღებული შედეგიდან: მანძილი A წერტილიდან B წერტილამდე სიბრტყეზე განისაზღვრება გაანგარიშებით ფორმულის გამოყენებით ამ წერტილების კოორდინატების გამოყენებით.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

შედეგად მიღებული ფორმულა ასევე ადასტურებს ადრე ჩამოყალიბებულ განცხადებებს წერტილების დამთხვევის შემთხვევებისთვის ან სიტუაციებისთვის, როდესაც წერტილები მდებარეობს ღერძების პერპენდიკულარულ სწორ ხაზებზე. ასე რომ, თუ A და B წერტილები ერთმანეთს ემთხვევა, შემდეგი ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

იმ სიტუაციისთვის, როდესაც A და B წერტილები მდებარეობს x ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

იმ შემთხვევისთვის, როდესაც A და B წერტილები დევს ორდინატთა ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

საწყისი მონაცემები: მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y z, რომელზეც დევს თვითნებური წერტილები მოცემული კოორდინატებით A (x A, y A, z A) და B (x B, y B, z B). აუცილებელია ამ წერტილებს შორის მანძილის დადგენა.

განვიხილოთ ზოგადი შემთხვევა, როდესაც A და B წერტილები არ დევს ერთ-ერთი საკოორდინატო სიბრტყის პარალელურ სიბრტყეში. დავხაზოთ სიბრტყეები კოორდინატთა ღერძებზე პერპენდიკულარული A და B წერტილების გავლით და მივიღოთ შესაბამისი პროექციის წერტილები: A x , A y , A z , B x , B y , B z.

A და B წერტილებს შორის მანძილი არის მიღებული პარალელეპიპედის დიაგონალი. ამ პარალელეპიპედის გაზომვების კონსტრუქციის მიხედვით: A x B x , A y B y და A z B z

გეომეტრიის კურსიდან ვიცით, რომ პარალელეპიპედის დიაგონალის კვადრატი უდრის მისი ზომების კვადრატების ჯამს. ამ განცხადების საფუძველზე ვიღებთ ტოლობას: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

ადრე მიღებული დასკვნების გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ შემდეგს:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

მოდით გადავცვალოთ გამოთქმა:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

ფინალი სივრცეში წერტილებს შორის მანძილის განსაზღვრის ფორმულაასე გამოიყურება:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

მიღებული ფორმულა ასევე მოქმედებს იმ შემთხვევებში, როდესაც:

პუნქტები ერთმანეთს ემთხვევა;

ისინი დევს ერთ კოორდინატულ ღერძზე ან სწორ ხაზზე, რომელიც პარალელურად არის ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძი.

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები წერტილებს შორის მანძილის პოვნაზე

მაგალითი 1

საწყისი მონაცემები: მოცემულია კოორდინატთა ხაზი და მასზე მდებარე წერტილები მოცემული კოორდინატებით A (1 - 2) და B (11 + 2). აუცილებელია ვიპოვოთ მანძილი საწყისი წერტილიდან O-დან A წერტილამდე და A და B წერტილებს შორის.

გამოსავალი

1. მანძილი საცნობარო წერტილიდან წერტილამდე უდრის ამ წერტილის კოორდინატის მოდულს, შესაბამისად O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. A და B წერტილებს შორის მანძილს განვსაზღვრავთ, როგორც ამ წერტილების კოორდინატებს შორის სხვაობის მოდულს: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

პასუხი: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

მაგალითი 2

საწყისი მონაცემები: მოცემულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა და მასზე მდებარე ორი წერტილი A (1, - 1) და B (λ + 1, 3). λ არის რეალური რიცხვი. აუცილებელია ამ რიცხვის ყველა მნიშვნელობის პოვნა, რომლებზეც მანძილი A B იქნება 5-ის ტოლი.

გამოსავალი

A და B წერტილებს შორის მანძილის დასადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

რეალური კოორდინატების მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

ჩვენ ასევე ვიყენებთ არსებულ პირობას, რომ A B = 5 და მაშინ ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

პასუხი: A B = 5, თუ λ = ± 3.

მაგალითი 3

საწყისი მონაცემები: სამგანზომილებიანი სივრცე მითითებულია მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y z და მასში მდებარე წერტილები A (1, 2, 3) და B - 7, - 2, 4.

გამოსავალი

პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ ფორმულას A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

რეალური მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

პასუხი: | A B | = 9

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter