ის დაეხმარება არა მარტო ჩაიდანს, არამედ მათაც კი, ვინც პირველად გაიგო სიტყვა „განმსაზღვრელი“. ორი წელი გავიდა მას შემდეგ, რაც საიტს მხოლოდ ათი გვერდი ჰქონდა და ახლა, ჩემი გრძელი, გრძელი მოგზაურობის შემდეგ მატანის სამყაროში, ყველაფერი ნორმალურად დაბრუნდა.

წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ უნდა გამოთვალოთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი მწკრივის (სვეტის) ელემენტებზე გაფართოებით. მიუხედავად იმისა, რომ რისი წარმოდგენა არსებობს - საჭიროა =) შეგიძლიათ იჯდეთ მასზე 5 წუთის განმავლობაში, ან შეგიძლიათ იჯდეთ 2-3 წუთის განმავლობაში. ან თუნდაც ერთი წუთის განმავლობაში. თქვენს მიერ დახარჯული დრო დამოკიდებულია არა მხოლოდ თქვენს გამოცდილებაზე, არამედ დეტერმინანტების თვისებების ცოდნაზეც. არც ისე იშვიათია, როდესაც გადაწყვეტის პროცესი საკმაოდ რეალისტურია, ის რამდენიმე წამამდე შემცირდება და ზოგჯერ შედეგს მაშინვე ხედავთ! "სისულელეა, რატომ ვზოგავთ მატჩებს და ასე ჩვენ გადავწყვეტთ ყველაფერს", - იტყვის ზოგიერთი. Მოდით ვთქვათ. და ჩვენ არ დავუშვებთ შეცდომებს ;-) მაგრამ რაც შეეხება მე-4 რიგის განმსაზღვრელს, რომელიც საკმაოდ გავრცელებულია პრაქტიკაში? ამ წიწაკასთან ბრძოლას 10-20 წუთი დასჭირდება. და ეს ბრძოლა კი არ იქნება, არამედ ხოცვა-ჟლეტა, რადგან გამოთვლითი შეცდომის ალბათობა ძალიან მაღალია, რაც გადაწყვეტილების მეორე რაუნდში „გახვევთ“. და თუ მეხუთე რიგის განმსაზღვრელი? შენახვა მხოლოდ განმსაზღვრელი რიგის შემცირებით. დიახ, ასეთი მაგალითები ასევე გვხვდება საკონტროლო დოკუმენტებში.

ამ გვერდის მასალები მნიშვნელოვნად გააუმჯობესებს დეტერმინანტების ამოხსნის თქვენს ტექნიკას და გაამარტივებს უმაღლესი მათემატიკის შემდგომ განვითარებას.

დეტერმინანტის გამოთვლის ეფექტური მეთოდები

პირველ რიგში, ჩვენ არ შევეხებით დეტერმინანტის თვისებებს, არამედ მხოლოდ მისი რაციონალური გამოთვლის მეთოდებს. გადაწყვეტის ეს მეთოდები ზედაპირზე დევს და ბევრისთვის გასაგებია, მაგრამ მიუხედავად ამისა, ჩვენ მათზე უფრო დეტალურად ვისაუბრებთ. ვარაუდობენ, რომ მკითხველმა უკვე იცის, როგორ დამაჯერებლად გამოავლინოს მესამე რიგის განმსაზღვრელი. როგორც ცნობილია, ეს განმსაზღვრელი შეიძლება გაფართოვდეს 6 სტანდარტული გზებით: ნებისმიერ მწკრივზე ან ნებისმიერ სვეტზე. როგორც ჩანს, ამას არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან პასუხი იგივე იქნება. მაგრამ ყველა მეთოდი ერთნაირად მარტივია?არა. უმეტეს შემთხვევაში არსებობს ნაკლებად მომგებიანი გზებიდა უფრო მომგებიანი გზებიგადაწყვეტილებები.

განვიხილოთ განმსაზღვრელი, რომელიც პირველ გაკვეთილზე უხვად დავფარე ტატუებით. იმ სტატიაში ჩვენ ის დეტალურად, სურათებით, პირველ სტრიქონზე დავწერეთ. პირველი ხაზი კარგი და აკადემიურია, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა უფრო სწრაფად შედეგის მიღწევა? განმსაზღვრელში არის ნული და მისი მეორე რიგით ან მეორე სვეტით გაფართოებით, გამოთვლები შესამჩნევად შემცირდება!

მოდით გავაფართოვოთ განმსაზღვრელი მეორე სვეტში:

პრაქტიკაში, ნულოვანი ელემენტები იგნორირებულია და გამოსავალი უფრო კომპაქტურ ფორმას იღებს:

სავარჯიშო 1

გააფართოვეთ მოცემული განმსაზღვრელი მეორე ხაზის გასწვრივ შემოკლებული აღნიშვნის გამოყენებით.

გამოსავალი გაკვეთილის ბოლოს.

თუ ზედიზედ ორი ნული (ან სვეტია), მაშინ ეს ზოგადად ნამდვილი საჩუქარია. განვიხილოთ განმსაზღვრელი. მესამე სტრიქონში ორი ნულია და მასზე ვხსნით:

ეს არის მთელი გამოსავალი!

განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც განმსაზღვრელს აქვს ე.წ გადააბიჯაან სამკუთხა ხედი, მაგალითად: - ასეთ განმსაზღვრელში, ქვემოთ მდებარე ყველა რიცხვი მთავარი დიაგონალი, ნულის ტოლია.

მოდით გავაფართოვოთ იგი პირველი სვეტით:

პრაქტიკულ ამოცანებში მოსახერხებელია იხელმძღვანელოთ შემდეგი წესით - საფეხურის განმსაზღვრელი უდრის მისი მთავარი დიაგონალის რიცხვების ნამრავლს:

მსგავსი პრინციპი ასევე მოქმედებს სხვა ბრძანებების საფეხურების განმსაზღვრელზე, მაგალითად:

სამკუთხა განმსაზღვრელი ხაზოვანი ალგებრის ზოგიერთ ამოცანებში ჩნდება და მათი ამოხსნა ყველაზე ხშირად ამ გზით არის ჩარჩო.

ხოლო თუ განმსაზღვრელი მწკრივი (სვეტი) შეიცავს მხოლოდ ნულები? პასუხი, ვფიქრობ, ნათელია. ჩვენ დავუბრუნდებით ამ საკითხს დეტერმინანტის თვისებებში.

ახლა წარმოვიდგინოთ, რომ საახალწლო საჩუქარში დიდი ხნის ნანატრი ბაგელები არ შედის. მოდით გავანადგუროთ ცუდი თოვლის ბაბუა!

აქ ნულები არ არის, მაგრამ მაინც არსებობს გზა, რომ გაგიადვილოთ ცხოვრება. ეს განმსაზღვრელი საუკეთესოდ არის გაფართოებული მესამე სვეტში, რადგან არის ყველაზე პატარა რიცხვები. ამ შემთხვევაში, გამოსავლის ჩანაწერი იღებს ძალიან ლაკონურ ფორმას:

აბზაცის შეჯამებით, ჩვენ ვაყალიბებთ გამოთვლების ოქროს წესს:

უფრო მომგებიანია დეტერმინანტის გახსნა იმ ხაზით (სვეტით), სადაც:

1) მეტი ნული;
2) მცირე რიცხვები.

ბუნებრივია, ეს ასევე ეხება უმაღლესი რიგის განმსაზღვრელ ფაქტორებს.

მცირე მაგალითი მასალის კონსოლიდაციისთვის:

დავალება 2

გამოთვალეთ დეტერმინანტი მწკრივით ან სვეტით გაფართოებით, ყველაზე რაციონალური გზით

ეს არის მაგალითი საკუთარი თავის გადაწყვეტისთვის, ოპტიმალური გადაწყვეტადა პასუხი არის გაკვეთილის ბოლოს.

და კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი რჩევა: ნუ კომპლექსდები! არ არის საჭირო "ციკლებში გადასვლა" ტრადიციულ გაფართოებაში პირველი რიგის ან პირველი სვეტის მიხედვით. მოკლედ ასე იყოს!

განმსაზღვრელი თვისებები

განვიხილოთ პირველი გაკვეთილის ძველი ნაცნობები: მატრიცა და მისი განმსაზღვრელი .

ყოველ შემთხვევაში, ვიმეორებ ელემენტარულ განსხვავებას ცნებებს შორის: მატრიცა არის ელემენტების ცხრილი, ა განმსაზღვრელი არის რიცხვი.

მატრიცის ტრანსპონირებისას მისი დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ იცვლება

ჩვენ გადავიტანთ მატრიცას:

თვისების მიხედვით, ტრანსპონირებული მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის იგივე მნიშვნელობას: . მსურველებს შეუძლიათ ამის გადამოწმება თავად.

ასევე გამოიყენება ამ თვისების უფრო მარტივი ფორმულირება: თუ განმსაზღვრელი გადატანილია, მაშინ მისი მნიშვნელობა არ შეიცვლება.

ორივე განმსაზღვრელს ვწერთ გვერდიგვერდ და ვაანალიზებთ ერთს მნიშვნელოვანი წერტილი:

ტრანსპოზიციის შედეგად, პირველი რიგი გახდა პირველი სვეტი, მეორე რიგი გახდა მეორე სვეტი, ხოლო მესამე მწკრივი გახდა მესამე სვეტი. რიგები გახდა სვეტი, მაგრამ შედეგი არ შეცვლილა. საიდანაც გამოდის მნიშვნელოვანი ფაქტი: განმსაზღვრელი რიგები და სვეტები ტოლია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ თვისება არის ჭეშმარიტი მწკრივისთვის, მაშინ მსგავსი თვისება ჭეშმარიტია სვეტისთვის! სინამდვილეში, ჩვენ ამას უკვე დიდი ხანია შევხვდით - ბოლოს და ბოლოს, განმსაზღვრელი შეიძლება გაფართოვდეს როგორც ზედიზედ, ასევე თანაბრად სვეტში.

არ მოგწონთ რიცხვები სტრიქონებში? გადაიტანე განმსაზღვრელი! მხოლოდ ერთი კითხვაა, რატომ? განხილული თვისების პრაქტიკული მნიშვნელობა მცირეა, მაგრამ სასარგებლოა მისი ცოდნის ბარგში ჩაგდება უმაღლესი მათემატიკის სხვა ამოცანების უკეთ გასაგებად. მაგალითად, მაშინვე ნათელი ხდება რატომ ვექტორების შესწავლა თანაპლენარულობაზემათი კოორდინატები შეიძლება ჩაიწეროს როგორც დეტერმინანტის რიგებში, ასევე სვეტებში.

თუ დეტერმინანტის ორი მწკრივი (ან ორი სვეტი) ურთიერთშეცვლილია,
მაშინ დეტერმინანტი ცვლის ნიშანს

! გახსოვდეთ , განმსაზღვრელზეა საუბარი! თქვენ არ შეგიძლიათ არაფრის გადაწყობა თავად მატრიცაში!

მოდით ვითამაშოთ რუბიკის კუბი განმსაზღვრელი .

მოდით გავცვალოთ პირველი და მესამე ხაზი:

განმსაზღვრელმა შეცვალა ნიშანი.

ახლა, მიღებულ განმსაზღვრელში, გადააწყვეთ მეორე და მესამე რიგები:

განმსაზღვრელმა კვლავ შეცვალა ნიშანი.

მეორე და მესამე სვეტების გადაწყობა:

ე.ი. მწკრივების (სვეტების) ნებისმიერი წყვილი პერმუტაცია იწვევს დეტერმინანტის ნიშნის შეცვლას საპირისპიროდ..

თამაშები არის თამაშები, მაგრამ პრაქტიკაში ასეთი მოქმედებები უკეთესია არ გამოიყენოთ. მათგან დიდი აზრი არ არის, მაგრამ დაბნეულობა და შეცდომის დაშვება არ არის რთული. თუმცა, მე მივცემ ერთ-ერთ იმ რამდენიმე სიტუაციიდან, სადაც ამას ნამდვილად აქვს აზრი. დავუშვათ, რომ ზოგიერთი მაგალითის ამოხსნისას თქვენ დახაზეთ განმსაზღვრელი მინუს ნიშნით:

მოდით გავაფართოვოთ იგი, ვთქვათ, პირველი ხაზით:

აშკარა უხერხულობა ის არის, რომ მე მომიწია არასაჭირო ქურთუკების შესრულება - დაყენება დიდი ფრჩხილები, და შემდეგ გახსენით ისინი (სხვათა შორის, კატეგორიულად არ გირჩევთ ასეთი მოქმედებების შესრულებას „ერთ სხდომაზე“ ზეპირად).

იმისათვის, რომ თავი დააღწიოთ "მინუსს", უფრო რაციონალურია ნებისმიერი ორი მწკრივის ან ნებისმიერი ორი სვეტის შეცვლა. მოდით გადავაწყოთ, მაგალითად, პირველი და მეორე სტრიქონები:

ის ელეგანტურად გამოიყურება, მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში უფრო მიზანშეწონილია უარყოფით ნიშანთან სხვაგვარად გამკლავება (წაიკითხეთ).

განხილული მოქმედება კიდევ ერთხელ ეხმარება უკეთ გავიგოთ, მაგალითად, ზოგიერთი თვისება ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტიან ვექტორების შერეული პროდუქტი.

ახლა ეს უფრო საინტერესოა:

დეტერმინანტის მწკრივიდან (სვეტიდან) შეგიძლიათ ამოიღოთ საერთო ფაქტორი

!!! ყურადღება! წესი ეხება ერთიხაზი ან დაახლოებით ერთიგანმსაზღვრელი სვეტი. გთხოვთ არ აურიოთ მატრიცები, მატრიცაში მულტიპლიკატორი ამოღებულია / შემოტანილია ყველანომრები ერთდროულად.

დავიწყოთ წესის განსაკუთრებული შემთხვევით - „მინუს ერთის“ ან უბრალოდ „მინუსის“ მოხსნა.

ვხვდებით კიდევ ერთ პაციენტს: .

ძალიან ბევრი მინუსია ამ განმსაზღვრელში და კარგი იქნებოდა მათი რიცხვის შემცირება.

ამოიღეთ -1 პირველი ხაზიდან:

ან უფრო მოკლე:

მინუსი დეტერმინანტის წინ, როგორც უკვე აჩვენა, არ არის მოსახერხებელი. ჩვენ ვუყურებთ დეტერმინანტის მეორე სტრიქონს და ვამჩნევთ, რომ იქ ძალიან ბევრი მინუსია.

მეორე სტრიქონიდან ვიღებთ "მინუსს":

კიდევ რა შეიძლება გაკეთდეს? მეორე სვეტის ყველა რიცხვი იყოფა 4-ზე ნაშთის გარეშე. ამოიღეთ 4 მეორე სვეტიდან:

საპირისპირო წესიც მართალია - მულტიპლიკატორი შეიძლებაარა მარტო გაუძლო, არამედ წვლილი შეიტანოს, უფრო მეტიც, ნებისმიერი მწკრივი ან განმსაზღვრელი ნებისმიერი სვეტი.

გასართობად, მოდით გავამრავლოთ დეტერმინანტის მესამე მწკრივი 4-ზე:

ზედმიწევნით გონებას შეუძლია გადაამოწმოს თავდაპირველი და მიღებული განმსაზღვრელი თანასწორობა (სწორი პასუხი: -216).

პრაქტიკაში, მინუსის დანერგვა ხშირად ხორციელდება. განვიხილოთ განმსაზღვრელი. უარყოფითი ნიშანი დეტერმინანტამდე შეიძლება შეიყვანოთ ნებისმიერ მწკრივში ან ნებისმიერ სვეტში. საუკეთესო კანდიდატი არის მესამე სვეტი და ჩვენ დავამატებთ მას მინუსს:

ჩვენ ასევე ვამჩნევთ, რომ პირველი სვეტის ყველა რიცხვი იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე, მაგრამ ღირს თუ არა „ორის“ ამოღება? თუ თქვენ აპირებთ დეტერმინანტის რიგის შემცირებას (რაზეც ბოლო ნაწილში იქნება საუბარი), მაშინ ნამდვილად ღირს. მაგრამ თუ თქვენ გახსნით განმსაზღვრელს ზედიზედ (სვეტი), მაშინ "ორი" წინ მხოლოდ გაახანგრძლივებს ამოხსნის ჩანაწერს.

თუმცა, თუ მულტიპლიკატორი დიდია, მაგალითად, 13, 17 და ა.შ., მაშინ, რა თქმა უნდა, მისი ამოღება მაინც უფრო მომგებიანია. მოდით გავეცნოთ პატარა ურჩხულს:. პირველი ხაზიდან ვიღებთ -11, მეორე ხაზიდან -7:

თქვენ ამბობთ, რომ გამოთვლები უკვე ასე სწრაფად აწკაპუნებს ჩვეულებრივ კალკულატორზე? Მართალია. მაგრამ, ჯერ ერთი, ეს შეიძლება არ იყოს ხელთ და მეორეც, თუ მოცემულია მე -3 ან მე -4 რიგის განმსაზღვრელი დიდი რიცხვებით, მაშინ ნამდვილად არ გსურთ ღილაკებზე დაკაკუნება.

დავალება 3

გამოთვალეთ განმსაზღვრელი სტრიქონების და სვეტების ფაქტორინგით

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი.

კიდევ რამდენიმე სასარგებლო წესი:

თუ დეტერმინანტის ორი მწკრივი (სვეტი) პროპორციულია
(განსაკუთრებულ შემთხვევაში ისინი ერთნაირია), მაშინ ეს განმსაზღვრელი ნულის ტოლია

აქ პირველი და მეორე რიგის შესაბამისი ელემენტები პროპორციულია:

ზოგჯერ ამბობენ, რომ დეტერმინანტის სტრიქონები წრფივად დამოკიდებული. ვინაიდან განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ იცვლება ტრანსპოზიციის დროს, მაშინ სვეტების წრფივი დამოკიდებულება გამომდინარეობს მწკრივების წრფივი დამოკიდებულებიდან.

შეგიძლიათ მაგალითში ჩასვათ გეომეტრიული მნიშვნელობა - თუ ვივარაუდებთ, რომ კოორდინატები იწერება ხაზებში ვექტორებისივრცე, მაშინ პირველი ორი ვექტორი პროპორციული კოორდინატებით იქნება კოლინარული, რაც ნიშნავს, რომ სამივე ვექტორი - წრფივად დამოკიდებული, ანუ თანაპლენარული.

შემდეგ მაგალითში, სამი სვეტი პროპორციულია (და, სხვათა შორის, სამი მწკრივიც):

აქ მეორე და მესამე სვეტები ერთნაირია, ეს განსაკუთრებული შემთხვევაა - როცა პროპორციულობის კოეფიციენტი უდრის ერთს.

ეს თვისებები შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრაქტიკაში. მაგრამ დაიმახსოვრეთ, ცოდნის გაზრდილი დონე ზოგჯერ დასჯადია ;-) ამიტომ, შესაძლოა, სჯობდეს, ასეთი განმსაზღვრელი ჩვეული წესით გამოვავლინოთ (წინასწარ იცოდეთ, რომ ის ნული აღმოჩნდება).

უნდა აღინიშნოს, რომ საპირისპირო ზოგადად სიმართლეს არ შეესაბამება- თუ დეტერმინანტი ნულის ტოლია, მაშინ აქედან ჯერ არ იყოსრომ მისი რიგები (სვეტები) პროპორციულია. ანუ, მწკრივების / სვეტების ხაზოვანი დამოკიდებულება შეიძლება არ იყოს აშკარა.

ასევე არის უფრო აშკარა ნიშანი, როდესაც შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ თქვათ, რომ განმსაზღვრელი არის ნული:

ნულოვანი მწკრივის (სვეტის) მქონე განმსაზღვრელი არის ნული

"სამოყვარულო" შემოწმება ელემენტარულია, მოდით გავაფართოვოთ განმსაზღვრელი პირველი სვეტით:

თუმცა, შედეგი არ შეიცვლება, თუ განმსაზღვრელი გაფართოვდება რომელიმე მწკრივზე ან სვეტზე.

გამოწურეთ მეორე ჭიქა ფორთოხლის წვენი:

დეტერმინანტების რომელი თვისებების ცოდნაა სასარგებლო?

1) დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ იცვლება ტრანსპონირებისას. ჩვენ გვახსოვს ქონება.

2) მწკრივების (სვეტების) ნებისმიერი წყვილი პერმუტაცია ცვლის დეტერმინანტის ნიშანს საპირისპიროდ.. ჩვენ ასევე გვახსოვს ქონება და ვცდილობთ არ გამოვიყენოთ იგი დაბნეულობის თავიდან ასაცილებლად.

3) დეტერმინანტის მწკრივიდან (სვეტიდან) შეგიძლიათ ამოიღოთ მულტიპლიკატორი (და დააბრუნოთ). ჩვენ ვიყენებთ მას, სადაც ეს სასარგებლოა.

4) თუ დეტერმინანტის რიგები (სვეტები) პროპორციულია, მაშინ ის ნულის ტოლია. ნულოვანი მწკრივის (სვეტის) მქონე დეტერმინანტი ნულის ტოლია.

გაკვეთილზე არაერთხელ დაფიქსირდა ელემენტარული ნიმუში - რაც მეტი ნული ზედიზედ (სვეტი), მით უფრო ადვილია დეტერმინანტის გამოთვლა. ჩნდება კითხვა, შესაძლებელია თუ არა რაიმე სახის ტრანსფორმაციის დახმარებით ნულების სპეციალურად ორგანიზება? შეიძლება! მოდით გავეცნოთ კიდევ ერთ ძალიან ძლიერ თვისებას:

დეტერმინანტის რიგის შემცირება

ძალიან კარგია თუ უკვე გქონია საქმე გაუსის მეთოდიდა აქვს გადაჭრის გამოცდილება წრფივი განტოლებათა სისტემებიამ გზით. ფაქტობრივად, ქვემოთ ჩამოყალიბებული ქონება იმეორებს ერთ-ერთს ელემენტარული გარდაქმნები.

მადის ასამაღლებლად, მოდით დავამსხვრიოთ პატარა ბაყაყი:

თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ სხვა სტრიქონი, გამრავლებული არა ნულოვანი რიცხვით განმსაზღვრელ სტრიქონს. ამ შემთხვევაში, დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ შეიცვლება

მაგალითი: განმსაზღვრელში ვიღებთ ნულს ზედა მარცხნივ.

ამისათვის მეორე ხაზი გონებრივად ან დრაფტშიგავამრავლოთ 3-ზე: (–3, 6) და დაამატეთ მეორე რიგი პირველ რიგში გამრავლებული 3-ით:

ჩვენ ვწერთ შედეგს პირველ ხაზამდე:

გამოცდა:

ახლა იმავე განმსაზღვრელში ვიღებთ ნულს ქვედა მარჯვნივ. Ამისთვის მეორე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი, გამრავლებული (გონებრივად) -2-ზე):

ჩვენ ვწერთ შედეგს მეორე ხაზამდე:

შენიშვნა: როდესაც იცვლება ელემენტარული ტრანსფორმაცია TAხაზი, რომელსაც ჩვენ ვამატებთ UT.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ სარკის წესი სვეტებისთვის:

განმსაზღვრელ სვეტს შეგიძლიათ დაამატოთ კიდევ ერთი სვეტი გამრავლებული არანულოვანი რიცხვით. ამ შემთხვევაში, დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ შეიცვლება

ავიღოთ ცხოველი თათებით და ამ ტრანსფორმაციის გამოყენებით მივიღებთ ნულს ზედა მარცხნივ. ამისათვის, გონებრივად ან მონახაზზე, გაამრავლეთ მეორე სვეტი -3-ზე: და დაამატეთ მეორე სვეტი პირველ სვეტს, გამრავლებული -3-ზე:

ჩვენ ვწერთ შედეგს პირველ სვეტამდე:

და ბოლოს, განმსაზღვრელში ვიღებთ ნულს ქვედა მარჯვნივ. Ამისთვის მეორე სვეტს ვამატებთ პირველ სვეტს, გამრავლებული (გონებრივად) 2-ზე(შეხედეთ და დათვალეთ მარჯვნიდან მარცხნივ):

შედეგი მოთავსებულია მეორე სვეტამდე:

ელემენტარული ტრანსფორმაციის პირობებში ის იცვლება რომსვეტი, რომელსაც ჩვენ ვამატებთ UT.

სცადეთ ხარისხობრივად დაიჯენოთ შემდეგი მაგალითი.

მოდით გავუგზავნოთ მოზრდილი ამფიბია წვნიანს:

ამოცანაა ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით დეტერმინანტის რიგის შემცირებამეორე ბრძანებამდე.

სად უნდა დაიწყოს? პირველ რიგში, განმსაზღვრელში, თქვენ უნდა აირჩიოთ ნომერი - "სამიზნე". "სამიზნე" თითქმის ყოველთვის არის ერთი ან -1. ჩვენ ვუყურებთ განმსაზღვრელს და ვამჩნევთ, რომ აქ არჩევანიც კი არსებობს. დაე, ელემენტი იყოს "სამიზნე" ნომერი:

შენიშვნა : ორმაგი ხელმოწერის მნიშვნელობა შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში კრამერის წესი. მატრიცული მეთოდი. AT ამ საქმესელემენტის ინდექსები გვეუბნება, რომ ის მდებარეობს მეორე რიგში, მესამე სვეტში.

იდეა არის მივიღოთ ორი ნული მესამე სვეტში:

ან მიიღეთ ორი ნული მეორე სტრიქონში:

მეორე სტრიქონში რიცხვები უფრო მცირეა (არ დაგავიწყდეთ ოქროს წესი), ამიტომ მისი აღება უფრო მომგებიანია. და მესამე სვეტი "სამიზნე" ნომრით უცვლელი დარჩება:

დაამატეთ მესამე სვეტი მეორე სვეტს:

არაფრის გამრავლება არ იყო საჭირო.

შედეგი იწერება მეორე სვეტში:

პირველ სვეტს ვამატებთ მესამე სვეტს, გამრავლებული (გონებრივად) -2-ზე:

ჩვენ ვწერთ შედეგს პირველ სვეტში, გავაფართოვოთ განმსაზღვრელი მეორე ხაზის გასწვრივ:

როგორ შევამციროთ დეტერმინანტის რიგი? მიიღო ორი ნული მეორე სტრიქონში.

მოდი მაგალითი გადავწყვიტოთ მეორე გზით, მოვაწყოთ ნულები მესამე სვეტში:

მეორე ხაზი "სამიზნე" ნომრით უცვლელი დარჩება:

პირველ სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული (გონებრივად) -4-ზე:

მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული (გონებრივად) 3-ზე (შეხედეთ და დათვალეთ ქვემოდან ზევით):

ჩვენ ვწერთ შედეგს მესამე სტრიქონში, ვაფართოებთ განმსაზღვრელს მესამე სვეტში:

შეამჩნიე რომ არ არის საჭირო რიგების ან სვეტების გადაწყობა. ელემენტარული გარდაქმნები კარგად მუშაობს როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ. ორივე ზემოდან ქვემოთ და ქვემოდან ზემოთ.

დავალება 4

გამოთვალეთ იგივე განმსაზღვრელი ელემენტის არჩევით, როგორც „სამიზნე“ რიცხვი. შეამცირეთ მისი რიგი ორი გზით: მეორე რიგში ნულების მიღებით და მეორე სვეტში ნულების მიღებით.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული გადაწყვეტა და მოკლე კომენტარები გაკვეთილის ბოლოს.

ზოგჯერ განმსაზღვრელში არ არის ერთეული ან -1, მაგალითად: . ამ შემთხვევაში „სამიზნე“ უნდა იყოს ორგანიზებული დამატებითი ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს შეიძლება გაკეთდეს ყველაზე ხშირად რამდენიმე გზით. მაგალითად: პირველ სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული -1-ზე:

შედეგი იწერება პირველ რიგში:

! ყურადღება : ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲡᲐᲭᲘᲠᲝპირველი ხაზიდან გამოკლებამეორე ხაზი, ეს მნიშვნელოვნად ზრდის შეცდომის შანსს. ჩვენ უბრალოდ ვკეცავთ! ამიტომ, პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე. ზუსტად!

ერთეული მიიღეს, რისი მიღწევაც საჭირო იყო. შემდეგ შეგიძლიათ მიიღოთ ორი ნული პირველ რიგში ან პირველ სვეტში. მსურველებს შეუძლიათ ამოხსნის შევსება (სწორი პასუხი: -176).

აღსანიშნავია, რომ დასრულებული „სამიზნე“ ყველაზე ხშირად გვხვდება თავდაპირველ განმსაზღვრელში, ხოლო მე-4 რიგის და უფრო მაღალი განმსაზღვრელისთვის დამატებითი ტრანსფორმაცია უკიდურესად ნაკლებად სავარაუდოა.

მოდით დავჭრათ რამდენიმე დიდი გომბეშო გულაშში:

დავალება

გადაჭრით სისტემა წრფივი განტოლებებიკრამერის ფორმულების მიხედვით

კარგია, თუ ჯერ არ წაგიკითხავთ. კრამერის მეთოდი, ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ უბრალოდ ნახოთ, როგორ მცირდება განმსაზღვრელი „ოთხი ოთხზე“ რიგი. და თავად წესი გაირკვევა, თუ ოდნავ ჩავუღრმავდებით გადაწყვეტილების მსვლელობას.

გადაწყვეტილება: ჯერ გამოთვალეთ მთავარი განმსაზღვრელისისტემები:

შესაძლებელია სტანდარტული გზით წასვლა მოცემული განმსაზღვრელი მწკრივით ან სვეტით გაფართოებით. პირველი გაკვეთილის ალგორითმის გახსენებით და ჩემს მიერ გამოგონილი ნიშნების მატრიცის გამოყენებით, მოდით გავაფართოვოთ დეტერმინანტი, მაგალითად, "კლასიკური" პირველი ხაზით:

მე ვერ ვხედავ შენს ენთუზიაზმს =) რა თქმა უნდა, შეგიძლია ათი წუთი იჯდე და ფრთხილად და გულდასმით დაიბადო სწორი პასუხი. მაგრამ უბედურება ის არის, რომ მომავალში მეოთხე რიგის კიდევ 4 განმსაზღვრელი უნდა გამოვთვალოთ. აქედან გამომდინარე, ერთადერთი გონივრული გამოსავალი არის დეტერმინანტის რიგის შემცირება.

განმსაზღვრელში ბევრი ერთეულია და ჩვენი ამოცანაა არჩევა საუკეთესო გზა. ჩვენ გავიხსენებთ ოქროს წესს: უნდა იყოს მეტი ნული ზედიზედ (სვეტი) და ნაკლები რიცხვი. ამ მიზეზით, მეორე რიგი ან მეოთხე სვეტი საკმაოდ შესაფერისია. მეოთხე სვეტი უფრო მიმზიდველად გამოიყურება, უფრო მეტიც, არის ორი. როგორც "სამიზნე" აირჩიეთ ელემენტი:

პირველი ხაზი არ შეიცვლება. და მეორეც - უკვე არის აუცილებელი ნული:

მესამე მწკრივს დაამატეთ პირველი რიგი, გამრავლებული -1-ზე (შეხედეთ და დათვალეთ ქვემოდან ზევით):

! ისევ ყურადღება : Არ არის საჭირომესამე ხაზიდან გამოკლებაპირველი ხაზი. ჩვენ უბრალოდ ვკეცავთ!

შედეგი იწერება მესამე სტრიქონში:

მეოთხე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი, გამრავლებული 3-ზე (შეხედეთ და დათვალეთ ქვემოდან ზევით):

შედეგი იწერება მეოთხე სტრიქონში:

(1) გააფართოვეთ განმსაზღვრელი მეოთხე სვეტში. არ დაგავიწყდეთ, რომ ელემენტს უნდა დაამატოთ "მინუსი" (იხილეთ ნიშნების მატრიცა).

(2) განმსაზღვრელი რიგი იკლებს მე-3-მდე. პრინციპში, ის შეიძლება დაიშალოს მწკრივად (სვეტად), მაგრამ უმჯობესია შეიმუშაოს დეტერმინანტის თვისებები. მეორე ხაზში მინუსს ვწერთ.

(3) მეორე მწკრივს ვამატებთ 3-ზე გამრავლებულ პირველ სტრიქონს. მესამე მწკრივს ვამატებთ 7-ზე გამრავლებულ პირველ რიგს.

(4) ჩვენ ვაფართოვებთ განმსაზღვრელს მეორე სვეტით, რითაც კიდევ უფრო ვამცირებთ მის წესრიგს ორამდე.

დააკვირდით, როგორ შემცირდა გამოსავალი! მთავარია, ელემენტარულ გარდაქმნებს ცოტა „ხელი ჩავუდგეთ“ და ასეთი შესაძლებლობა სწორედ ახლა გაჩნდება. გარდა ამისა, თქვენს განკარგულებაშია კალკულატორი, რომელიც ითვლის განმსაზღვრელ ფაქტორებს (კერძოდ, ის შეგიძლიათ იხილოთ გვერდზე მათემატიკური ფორმულები და ცხრილები). კალკულატორის დახმარებით ადვილია შესრულებული მოქმედებების კონტროლი. მიიღო განმსაზღვრელი პირველ საფეხურზე - და მაშინვე შეამოწმა არის თუ არა ის თავდაპირველი განმსაზღვრელი.

(1) განავრცე განმსაზღვრელი მესამე ხაზით. დეტერმინანტის რიგი მცირდება სამამდე.

(2) ჩაწერეთ "მინუს" პირველ სვეტში.

(3) მეორე სტრიქონს ვამატებთ 3-ზე გამრავლებულ პირველ რიგს. მესამე მწკრივს ვამატებთ 5-ზე გამრავლებულ პირველ რიგს.

(4) გააფართოვეთ განმსაზღვრელი მეორე სვეტით, შეამცირეთ განმსაზღვრელი ორამდე.

ჩვენ ვხდებით საოცარი კომპლექსისადილი და დესერტის დროა:

ეს გომბეშოც კი აღარ არის, თვითონ გოძილაა. ავიღოთ მომზადებული ჭიქა ფორთოხლის წვენი და ვნახოთ როგორ მცირდება დეტერმინანტის რიგი. ალგორითმი, ვფიქრობ, გასაგებია: მეხუთე რიგიდან მეოთხეზე ვამცირებთ, მეოთხედან მესამეზე და მესამედან მეორეზე:

(1) პირველ, მესამე, მეოთხე და მეხუთე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი.

(2) გააფართოვეთ განმსაზღვრელი მე-3 სვეტში. განმსაზღვრელი რიგი დაეცა ოთხამდე.

(3) მე-4 სვეტიდან ამოვიღებთ 2. პირველ სტრიქონს ვამრავლებთ -1-ზე და ისე, რომ განმსაზღვრელი არ შეიცვალოს, წინ ვსვამთ მინუსს. ეს ტრანსფორმაციაშესრულებულია შემდგომი გამოთვლების გამარტივების მიზნით.

(4) დაამატეთ პირველი ხაზი მეორე და მესამე ხაზებს. მეოთხე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი, გამრავლებული 3-ზე.

(5) გააფართოვეთ განმსაზღვრელი მე-4 სვეტში. შეკვეთა დაქვეითებულია სამამდე.

(6) გააფართოვეთ განმსაზღვრელი მე-2 სვეტში. შეკვეთა დაქვეითებულია ორამდე.

(7) ჩვენ ვიღებთ "მინუსს" 1-ლი სვეტიდან.

ყველაფერი იმაზე ადვილი აღმოჩნდა, ვიდრე ჩანდა, ყველა მონსტრს აქვს სუსტი მხარეები!

დაუღალავ მკითხველს შეუძლია მეხუთე რიგის განმსაზღვრელი სხვაგვარად ამოხსნას, საბედნიეროდ, მასში ბევრი ერთეულია.

პირველ სვეტს დაემატა მეორე სვეტი გამრავლებული 2-ზე, მეორე სვეტი დაემატა მესამე სვეტს. განმსაზღვრელი გაიხსნა მეორე ხაზზე.

ჩამოწიეთ დეტერმინანტის რიგი, მიიღეთ ნულები მეორე სვეტში:

პირველ სტრიქონს დაემატა მეორე სტრიქონი, გამრავლებული -2-ზე. მესამე მწკრივს დაემატა მეორე სტრიქონი 2-ზე გამრავლებული.განმსაზღვრელი გაიხსნა მეორე სვეტის მიხედვით.

დავალება 5: გადაწყვეტილება:


(1) პირველ სტრიქონს ვამატებთ 3-ზე გამრავლებულ მესამე მწკრივს. მეორე რიგს ვამატებთ 5-ზე გამრავლებულ მესამე მწკრივს. მე-4 მწკრივს ვამატებთ 2-ზე გამრავლებულ მესამე მწკრივს.
(2) გააფართოვეთ განმსაზღვრელი პირველი სვეტით.
(3) მეორე სვეტს დაამატეთ მესამე სვეტი გამრავლებული 9-ზე. პირველ სვეტს დაამატეთ მესამე სვეტი.
(4) განავრცე განმსაზღვრელი მესამე ხაზით.

(1) დაამატეთ მეორე სვეტი პირველ სვეტს. დაამატეთ მეორე სვეტი მესამე სვეტს
(2) განავრცე განმსაზღვრელი მესამე ხაზით.
(3) შეიყვანეთ "მინუს" პირველ სტრიქონში.
(4) მეორე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული 6-ზე. მესამე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი
(5) გააფართოვეთ განმსაზღვრელი პირველი სვეტით.

ზოგად შემთხვევაში, $n$-th რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის წესი საკმაოდ რთულია. მეორე და მესამე რიგის დეტერმინანტებისთვის არსებობს მათი გამოთვლის რაციონალური გზები.

მეორე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლები

მეორე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად აუცილებელია მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი გამოვაკლოთ მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს:

$$\ მარცხენა| \ დასაწყისი(მასივი)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\ბოლო(მასივი)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ მეორე რიგის განმსაზღვრელი $\left| \begin(მაივი)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(მაივი)\right|$

გადაწყვეტილება.$\მარცხნივ| \begin(მაივი)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(მაივი)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 =69$

უპასუხე.$\მარცხნივ| \begin(მაივი)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(მაივი)\right|=69$

მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები

არსებობს მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის წესები.

სამკუთხედის წესი

სქემატურად, ეს წესი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

პირველი განმსაზღვრელი ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც დაკავშირებულია ხაზებით, აღებულია პლუსის ნიშნით; ანალოგიურად, მეორე განმსაზღვრელზეც შესაბამისი პროდუქტები აღებულია მინუს ნიშნით, ე.ი.

$$\ მარცხენა| \ დასაწყისი(მასივი)(cccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(მასივი)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32) -$$

$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ $\left| \ დასაწყისი (მასივი) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\ დასასრული (მასივი)\right|$ სამკუთხედის მეთოდით.

გადაწყვეტილება.$\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მასივი) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\ დასასრული (მასივი)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

უპასუხე.

სარრუსის წესი

განმსაზღვრელი მარჯვნივ ემატება პირველი ორი სვეტი და ელემენტების ნამრავლები მთავარ დიაგონალზე და მის პარალელურ დიაგონალებზე მიიღება პლუსის ნიშნით; და მეორადი დიაგონალის ელემენტების და მის პარალელურ დიაგონალების ნამრავლები მინუს ნიშნით:

$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ $\left| \ დასაწყისი (მასივი) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\ დასასრული (მასივი)\right|$ სარრუსის წესის გამოყენებით.

გადაწყვეტილება.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54$$

უპასუხე.$\მარცხნივ| \ დასაწყისი (მასივი) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\ დასასრული (მასივი)\right|=54$

განმსაზღვრელი მწკრივის ან სვეტის გაფართოება

განმსაზღვრელი უდრის განმსაზღვრელი მწკრივის ელემენტებისა და მათი ალგებრული კომპლიმენტების ნამრავლების ჯამს. ჩვეულებრივ აირჩიეთ სტრიქონი/სვეტი, რომელშიც/ე არის ნულები. მწკრივი ან სვეტი, რომელზედაც ხდება დაშლა, მითითებული იქნება ისრით.

მაგალითი

ვარჯიში.გაფართოვდით პირველ სტრიქონზე, გამოთვალეთ განმსაზღვრელი $\left| \ დასაწყისი(მასივი)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ|$

გადაწყვეტილება.$\მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ| \lefttarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$

$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \left| \begin(მაივი)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(მაივი)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \მარცხნივ | \begin(მასივი)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(მაივი)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \მარცხნივ | \ დასაწყისი(მასივი)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(მასივი)\მარჯვნივ|=-3+12-9=0$

უპასუხე.

ეს მეთოდი საშუალებას იძლევა დეტერმინანტის გამოთვლა შემცირდეს უფრო დაბალი რიგის დეტერმინანტის გამოთვლამდე.

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ $\left| \ დასაწყისი(მასივი)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ|$

გადაწყვეტილება.განმსაზღვრელ მწკრივებზე გავაკეთოთ შემდეგი გარდაქმნები: მეორე მწკრივს გამოვაკლებთ პირველ ოთხს, ხოლო მესამეს პირველ რიგს, გამრავლებული შვიდზე, რის შედეგადაც, განმსაზღვრელი თვისებების მიხედვით, ვიღებთ განმსაზღვრელს. მოცემულის ტოლი.

$$\ მარცხენა| \ დასაწყისი (მასივი)(cccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end (მაივი) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| \begin(მასივი)(cccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end (მასივი)\მარჯვნივ|=$$

$$=\მარცხენა| \ დასაწყისი(მასივი)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ დასასრული(მასივი)\მარჯვნივ|=\მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი)(cccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(მასივი)\right|=0$$

განმსაზღვრელი არის ნული, რადგან მეორე და მესამე რიგები პროპორციულია.

უპასუხე.$\მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\ ბოლოს (მასივი) \მარჯვნივ|=0$

მეოთხე რიგის და უფრო მაღალი დეტერმინანტების გამოსათვლელად გამოიყენება ან მწკრივის/სვეტის გაფართოება, ან სამკუთხა ფორმამდე შემცირება, ან ლაპლასის თეორემის გამოყენებით.

დეტერმინანტის დაშლა მწკრივის ან სვეტის ელემენტების მიხედვით

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ $\left| \ დასაწყისი(მასივი)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(მასივი)\right|$ , აფართოებს მას რომელიმე რიგის ან რომელიმე სვეტის ელემენტებად.

გადაწყვეტილება.მოდით, ჯერ შევასრულოთ ელემენტარული გარდაქმნები განმსაზღვრელი სტრიქონების სტრიქონებზე, რაც შეიძლება მეტი ნულის გაკეთება მწკრივში ან სვეტში. ამისათვის ჯერ პირველ ხაზს გამოვაკლებთ ცხრა მესამედს, მეორეს ხუთ მესამედს და მეოთხეს სამი მესამედს, მივიღებთ:

$$\ მარცხენა| \ დასაწყისი(მასივი)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\ბოლო(მასივი)\მარჯვნივ|=\მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\ბოლო(მასივი)\მარჯვნივ|=\ მარცხენა| \ დასაწყისი(მასივი)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\ბოლო(მასივი)\მარჯვნივ|$$

ჩვენ ვაფართოებთ მიღებულ განმსაზღვრელს პირველი სვეტის ელემენტებით:

$$\ მარცხენა| \ დასაწყისი(მასივი)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(მასივი)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \ დასაწყისი(მასივი)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ დასასრული(მასივი)\right|+0$$

შედეგად მიღებული მესამე რიგის განმსაზღვრელი ასევე გაფართოვდა მწკრივისა და სვეტის ელემენტებით, მანამდე მიღებული ნულები, მაგალითად, პირველ სვეტში. ამისათვის ჩვენ გამოვაკლებთ ორ მეორე ხაზს პირველ ხაზს, ხოლო მეორეს მესამეს:

$$\ მარცხენა| \ დასაწყისი(მასივი)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ დასასრული(მასივი)\მარჯვნივ|=\მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( მასივი)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \ დასაწყისი(მასივი)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\ბოლო(მასივი)\მარჯვნივ|=$$

$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$

უპასუხე.$\მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\ბოლო(მასივი)\მარჯვნივ|=0$

კომენტარი

ბოლო და ბოლო განმსაზღვრელი ვერ გამოითვალა, მაგრამ მაშინვე დავასკვნათ, რომ ისინი ნულის ტოლია, რადგან ისინი შეიცავს პროპორციულ რიგებს.

დეტერმინანტის მიყვანა სამკუთხა ფორმამდე

მწკრივებზე ან სვეტებზე ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით, განმსაზღვრელი მცირდება სამკუთხა ფორმამდე, შემდეგ კი მისი მნიშვნელობა, განმსაზღვრელი თვისებების მიხედვით, უდრის ძირითად დიაგონალზე ელემენტების ნამრავლს.

მაგალითი

ვარჯიში.გამოთვალეთ განმსაზღვრელი $\Delta=\left| \ დასაწყისი(მასივი)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(მასივი)\right|$ მიიყვანს სამკუთხა ფორმამდე.

გადაწყვეტილება.პირველ რიგში, ჩვენ ვაკეთებთ ნულებს პირველ სვეტში მთავარი დიაგონალის ქვეშ. ყველა ტრანსფორმაცია უფრო ადვილი შესასრულებელი იქნება, თუ ელემენტი $a_(11)$ უდრის 1-ს. ამისათვის ჩვენ შევცვლით განმსაზღვრელი პირველი და მეორე სვეტებს, რაც, დეტერმინანტის თვისებების მიხედვით, გამოიწვევს მას. საპირისპირო ნიშნის შეცვლა:

$$\დელტა=\მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\ბოლო(მასივი)\მარჯვნივ|=-\მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\ბოლო(მასივი)\მარჯვნივ|$$

$$\დელტა=-\მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\ბოლო(მასივი)\მარჯვნივ|$$

შემდეგი, ჩვენ ვიღებთ ნულებს მეორე სვეტში მთავარი დიაგონალის ქვეშ არსებული ელემენტების ნაცვლად. და კიდევ, თუ დიაგონალური ელემენტი უდრის $\pm 1$-ს, მაშინ გამოთვლები უფრო მარტივი იქნება. ამისათვის ჩვენ ვცვლით მეორე და მესამე ხაზებს (და ამავდროულად ვცვლით განმსაზღვრელი საპირისპირო ნიშანს):

$$\დელტა=\მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\ბოლო(მასივი)\მარჯვნივ|$$

თვისება 1. განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ მისი ყველა მწკრივი ჩანაცვლდება სვეტებით, ხოლო თითოეული მწკრივი ჩანაცვლდება იმავე ნომრის მქონე სვეტით, ე.ი.

თვისება 2. დეტერმინანტის ორი სვეტის ან ორი მწკრივის შეცვლა უდრის -1-ზე გამრავლებას. Მაგალითად,

.

თვისება 3. თუ განმსაზღვრელს აქვს ორი იდენტური სვეტი ან ორი იდენტური მწკრივი, მაშინ ის ნულის ტოლია.

თვისება 4. ერთი სვეტის ან დეტერმინანტის ერთი მწკრივის ყველა ელემენტის გამრავლება ნებისმიერ k რიცხვზე უდრის დეტერმინანტის ამ რიცხვზე k-ზე გამრავლებას. Მაგალითად,

.

თვისება 5. თუ რომელიმე სვეტის ან რომელიმე მწკრივის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ თავად განმსაზღვრელი ნულის ტოლია. ეს ქონება არის განსაკუთრებული შემთხვევაწინა (k=0-სთვის).

თვისება 6. თუ ორი სვეტის ან დეტერმინანტის ორი მწკრივის შესაბამისი ელემენტები პროპორციულია, მაშინ განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

თვისება 7. თუ n-ე სვეტის ან განმსაზღვრელი რიგის ყოველი ელემენტი არის ორი წევრის ჯამი, მაშინ განმსაზღვრელი შეიძლება წარმოვიდგინოთ როგორც ორი განმსაზღვრელი ჯამი, რომელთაგან ერთი მე-n სვეტში ან, შესაბამისად, n-ში. რიგს აქვს პირველი აღნიშნული ტერმინებიდან, ხოლო მეორე - მეორე; დანარჩენ ადგილებში ელემენტები იგივეა სამი განმსაზღვრელი ეტაპებისთვის. Მაგალითად,

თვისება 8. თუ რომელიმე სვეტის (ან რომელიმე მწკრივის) ელემენტებს დავუმატებთ სხვა სვეტის (ან სხვა მწკრივის) შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებულ ნებისმიერ საერთო კოეფიციენტზე, მაშინ დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ შეიცვლება. Მაგალითად,

.

დეტერმინანტების შემდგომი თვისებები დაკავშირებულია ალგებრული კომპლიმენტის და მინორის ცნებასთან. ზოგიერთი ელემენტის მინორი არის მოცემულისაგან მიღებული განმსაზღვრელი იმ მწკრივისა და სვეტის წაშლით, რომელთა გადაკვეთაზეც ეს ელემენტი მდებარეობს.

განმსაზღვრელი ნებისმიერი ელემენტის ალგებრული დანამატი ტოლია ამ ელემენტის მინორის, აღებული მისი ნიშნით, თუ მწკრივისა და სვეტის რიცხვების ჯამი, რომელთა გადაკვეთაზეც ელემენტი მდებარეობს, არის ლუწი რიცხვი, ხოლო საპირისპირო. მოაწერეთ თუ ეს რიცხვი კენტია.

ელემენტის ალგებრულ დანამატს აღვნიშნავთ ამავე სახელწოდების დიდი ასოთი და იგივე რიცხვით, რაც თავად ელემენტს აღნიშნავს.

საკუთრება 9. განმსაზღვრელი

უდრის რომელიმე სვეტის (ან მწკრივის) ელემენტებისა და მათი ალგებრული დანამატების ნამრავლების ჯამს.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შემდეგი თანასწორობები მოქმედებს:

, ,

, .

6) მინორები და ალგებრული დამატებები.

განმარტება. დეტერმინანტის უმნიშვნელო ელემენტია th შეკვეთადაურეკა განმსაზღვრელი-ე რიგი, რომელიც მიღებულია მოცემულიდან განმსაზღვრელი-ე მწკრივის და მე-მე სვეტის წაშლით, რომელთა გადაკვეთაზე არის ელემენტი.

Დანიშნულება: .

განმარტება. --ე რიგის განმსაზღვრელი ელემენტის ალგებრული დანამატი არის მისი მინორი, აღებული პლუსის ნიშნით, თუ - ლუწი რიცხვით და სხვაგვარად მინუს ნიშნით.

Დანიშნულება: .

თეორემა. (დეტერმინანტის გაფართოების შესახებ.)

განმსაზღვრელი უდრის დეტერმინანტის ნებისმიერი მწკრივის (ან სვეტის) ელემენტების და მათი ალგებრული დანამატების ნამრავლების ჯამს:

7) ინვერსიული მატრიცა- ასეთი მატრიცა ა −1 , როდესაც მრავლდება რომელზე, ორიგინალური მატრიცა აიძლევა შედეგად პირადობის მატრიცა ე:

კვადრატული მატრიცაშექცევადია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის არადეგენერატია, ანუ მისი განმსაზღვრელიარ არის ნულის ტოლი. არაკვადრატული მატრიცებისთვის და დეგენერაციული მატრიცებიინვერსიული მატრიცები არ არსებობს. თუმცა ამ კონცეფციის განზოგადება და დანერგვა შესაძლებელია ფსევდოინვერსიული მატრიცები, ინვერსიების მსგავსი ბევრ თვისებაში.

8)მატრიცის რანგი- უმაღლესი ორდენი არასრულწლოვანთაეს მატრიცა, არ არის ნულოვანი

ჩვეულებრივ, მატრიცის წოდება აღინიშნება () ან . ორივე აღნიშვნა ჩვენთან მოვიდა უცხო ენებიდან და, შესაბამისად, ორივე შეიძლება გამოყენებულ იქნას.

Თვისებები

თეორემა (მინორის საფუძველზე): მოდით, r = A M დიაპაზონი იყოს A მატრიცის საბაზისო მინიორი, მაშინ:

ძირითადი რიგები და ძირითადი სვეტები წრფივად დამოუკიდებელია;

A მატრიცის ნებისმიერი მწკრივი (სვეტი) არის ძირითადი მწკრივების (სვეტების) წრფივი კომბინაცია.

აქ მოცემულია ის თვისებები, რომლებიც ჩვეულებრივ გამოიყენება უმაღლესი მათემატიკის სტანდარტულ კურსში დეტერმინანტების გამოსათვლელად. ეს არის მეორეხარისხოვანი თემა, რომელსაც საჭიროებისამებრ განვიხილავთ დარჩენილი განყოფილებებიდან.

ასე რომ, მოცემულია რამდენიმე კვადრატული მატრიცა $A_(n\ჯერ n)=\left(\begin(მასივი) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \end (მასივი )\მარჯვნივ)$. თითოეულ კვადრატულ მატრიცას აქვს მახასიათებელი, რომელსაც ეწოდება დეტერმინანტი (ან განმსაზღვრელი). მე აქ არ შევალ ამ კონცეფციის არსში. თუ დაზუსტებას საჭიროებს, გთხოვთ დაწეროთ ფორუმზე და შევეხები ეს საკითხიუფრო ვრცლად.

$A$ მატრიცის განმსაზღვრელი აღინიშნება როგორც $\Delta A$, $|A|$ ან $\det A$. განმსაზღვრელი ორდერიუდრის მასში მწკრივების (სვეტების) რაოდენობას.

1. დეტერმინანტის მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ მისი რიგები ჩანაცვლდება შესაბამისი სვეტებით, ე.ი. $\Delta A=\Delta A^T$.

   ჩვენება დამალვა

   მოდით შევცვალოთ მასში არსებული რიგები სვეტებით პრინციპით: "იყო პირველი რიგი - გახდა პირველი სვეტი", "იყო მეორე რიგი - მეორე სვეტი გახდა":

   გამოვთვალოთ მიღებული განმსაზღვრელი: $\left| \begin(მაივი) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end (მაივი) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. როგორც ხედავთ, განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ შეცვლილა ჩანაცვლებისგან.

2. თუ თქვენ შეცვლით დეტერმინანტის ორ რიგს (სვეტს), მაშინ განმსაზღვრელი ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.

   ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: show\hide

   განვიხილოთ $\მარცხენა| \begin(მაივი) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end (მაივი) \right|$. ვიპოვოთ მისი მნიშვნელობა No1 ფორმულის გამოყენებით მეორე და მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის თემიდან:

   $$\ მარცხენა| \begin(მასივი) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end (მასივი) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   ახლა მოდით გავცვალოთ პირველი და მეორე ხაზი. მიიღეთ განმსაზღვრელი $\left| \begin(მაივი) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end (მასივი) \right|$. გამოვთვალოთ მიღებული განმსაზღვრელი: $\left| \begin(მაივი) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end (მაივი) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. ამრიგად, თავდაპირველი განმსაზღვრელი იყო (-37), ხოლო განმსაზღვრელი შეცვლილი რიგით არის $-(-37)=37$. დეტერმინანტის ნიშანი შეიცვალა საპირისპიროდ.

3. განმსაზღვრელი, რომელშიც მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ნულის ტოლია.

   ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: show\hide

   ვინაიდან $\მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(მასივი) \right|$ მესამე სვეტის ყველა ელემენტი არის ნული, შემდეგ განმსაზღვრელი არის ნული, ე.ი. $\მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(მაივი) \მარჯვნივ|=0$.

4. განმსაზღვრელი, რომელშიც გარკვეული მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტი უდრის სხვა რიგის (სვეტის) შესაბამის ელემენტებს, ნულის ტოლია.

   ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: show\hide

   ვინაიდან $\მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(მაივი) \right|$ პირველი რიგის ყველა ელემენტი ტოლია შესაბამისი მეორე რიგის ელემენტები, მაშინ განმსაზღვრელი არის ნული, ე.ი. $\მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end (მაივი) \მარჯვნივ|=0$.

5. თუ განმსაზღვრელში ერთი მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტი პროპორციულია მეორე რიგის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტების, მაშინ ასეთი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

   ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: show\hide

   ვინაიდან $\მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(მასივი) \right|$ მეორე და მესამე სტრიქონები პროპორციულია, ე.ი. $r_3=-3\cdot(r_2)$, მაშინ დეტერმინანტი ნულის ტოლია, ე.ი. $\მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(მაივი) \მარჯვნივ|=0$.

6. თუ მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტს აქვს საერთო ფაქტორი, მაშინ ეს ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას განმსაზღვრელი ნიშნიდან.

   ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: show\hide

   განვიხილოთ $\მარცხენა| \begin(მაივი) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(მაივი) \right|$. გაითვალისწინეთ, რომ მეორე რიგის ყველა ელემენტი იყოფა 3-ზე:

   $$\ მარცხენა| \ დასაწყისი (მასივი) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end (მასივი) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| \begin(მაივი) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(მაივი) \right|$$

   ნომერი 3 არის მეორე რიგის ყველა ელემენტის საერთო ფაქტორი. ავიღოთ სამეული განმსაზღვრელი ნიშნიდან:

   $$ \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მასივი) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end (მასივი) \მარჯვნივ|=\მარცხნივ| \begin(მაივი) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(მასივი) \right|= 3\cdot \left| \ დასაწყისი (მასივი) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end (მასივი) \right| $$

7. განმსაზღვრელი არ იცვლება, თუ გარკვეული მწკრივის (სვეტის) ყველა ელემენტს დავამატებთ სხვა რიგის (სვეტის) შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებული თვითნებური რიცხვით.

   ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: show\hide

   განვიხილოთ $\მარცხენა| \begin(მაივი) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end (მაივი) \მარჯვნივ|$. მეორე სტრიქონის ელემენტებს დავუმატოთ მესამე ხაზის შესაბამისი ელემენტები, გამრავლებული 5-ზე. ჩაწერეთ ეს ქმედება შემდეგნაირად: $r_2+5\cdot(r_3)$. მეორე ხაზი შეიცვლება, დანარჩენი ხაზები უცვლელი დარჩება.

   $$ \მარცხნივ| \begin(მასივი) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end (მაივი) \მარჯვნივ| \begin(მასივი) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(მაივი)= \მარცხენა| \begin(მაივი) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (მასივი) \მარჯვნივ|= \მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end (მაივი) \მარჯვნივ|. $$

8. თუ განმსაზღვრელში გარკვეული მწკრივი (სვეტი) არის სხვა მწკრივების (სვეტების) წრფივი კომბინაცია, მაშინ განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

   ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: show\hide

   მაშინვე განვმარტავ რას ნიშნავს ფრაზა „წრფივი კომბინაცია“. მოდით გვქონდეს s რიგები (ან სვეტები): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. გამოხატულება

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   სადაც $k_i\R$-ში ეწოდება მწკრივების (სვეტების) წრფივი კომბინაცია $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   მაგალითად, განიხილეთ შემდეგი განმსაზღვრელი:

   $$ \მარცხნივ| \ დასაწყისი (მასივი) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(მასივი)\right| $$

   ამ განმსაზღვრელში მეოთხე მწკრივი შეიძლება გამოისახოს პირველი სამი მწკრივის წრფივი კომბინაციით:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   მაშასადამე, განსახილველი დეტერმინანტი ნულის ტოლია.

9. თუ დეტერმინანტის გარკვეული k-ე მწკრივის (k-ე სვეტის) თითოეული ელემენტი უდრის ორი წევრის ჯამს, მაშინ ასეთი განმსაზღვრელი უდრის განმსაზღვრელთა ჯამს, რომელთაგან პირველი არის k-ე. რიგი ( k-ე სვეტი) აქვს პირველი წევრი, ხოლო მეორე განმსაზღვრელი kth მწკრივში (kth სვეტი) აქვს მეორე წევრებს. ამ დეტერმინანტების სხვა ელემენტები იგივეა.

   ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: show\hide

   განვიხილოთ $\მარცხენა| \begin(მაივი) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end (მაივი) \მარჯვნივ|$. მეორე სვეტის ელემენტები ასე ჩავწეროთ: $\left| \begin(მაივი) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end (მაივი) \მარჯვნივ|$. მაშინ ასეთი განმსაზღვრელი უდრის ორი დეტერმინანტის ჯამს:

   $$ \მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(მაივი) \მარჯვნივ|= \მარცხნივ| \begin(მასივი) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(მაივი) \მარჯვნივ|= \მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(მაივი) \მარჯვნივ|+ \მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(მაივი) \მარჯვნივ| $$

10. ერთი და იმავე რიგის ორი კვადრატული მატრიცის ნამრავლის განმსაზღვრელი ტოლია ამ მატრიცების დეტერმინანტების ნამრავლის, ე.ი. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. ამ წესიდან შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი ფორმულა: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. თუ $A$ მატრიცა არაინგულარულია (ანუ მისი განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი), მაშინ $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

დეტერმინანტების გამოთვლის ფორმულები

მეორე და მესამე რიგის განმსაზღვრელებისთვის, შემდეგი ფორმულები მართალია:

\დაწყება(განტოლება) \დელტა A=\მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(მასივი) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \ ბოლოს (განტოლება) \ დასაწყისი (განტოლება) \ დასაწყისი (გასწორებული) & \დელტა A=\მარცხნივ| \ დასაწყისი(მასივი) (cccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(მასივი) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \end(გასწორებული) \end(განტოლება)

(1) და (2) ფორმულების გამოყენების მაგალითები მოცემულია თემაში "მეორე და მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლის ფორმულები. დეტერმინანტების გამოთვლის მაგალითები" .

$A_(n\ჯერ n)$ მატრიცის განმსაზღვრელი შეიძლება გაფართოვდეს მე-ე ხაზიშემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

\დაწყება(განტოლება)\დელტა A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(განტოლება)

ამ ფორმულის ანალოგი ასევე არსებობს სვეტებისთვის. J-ე სვეტში დეტერმინანტის გაფართოების ფორმულა შემდეგია:

\დაწყება(განტოლება)\დელტა A=\ჯამ\ლიმიტები_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(განტოლება)

(3) და (4) ფორმულებით გამოხატული წესები დეტალურად არის ილუსტრირებული მაგალითებით და ახსნილია თემაში დეტერმინანტის რიგის შემცირება. დეტერმინანტის დაშლა ზედიზედ (სვეტი).

მივუთითებთ კიდევ ერთ ფორმულას ზედა სამკუთხა და ქვედა სამკუთხა მატრიცების დეტერმინანტების გამოსათვლელად (ამ ტერმინების განმარტებისთვის იხილეთ თემა "მატრიცები. მატრიცების ტიპები. ძირითადი ტერმინები"). ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ელემენტების ნამრავლს მთავარ დიაგონალზე. მაგალითები:

\ დასაწყისი (გასწორებული) &\ მარცხნივ| \ დასაწყისი (მასივი) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end (მასივი) \მარჯვნივ|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \ დასაწყისი (მასივი) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end (მაივი) \ მარჯვნივ|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end (გასწორებული)