კომპლექსური ინტეგრალები

ეს სტატია ასრულებს გაურკვეველი ინტეგრალების საგანი და მასში ინტეგრალები, რომლებიც საკმაოდ რთული ვარ, შედის. გაკვეთილი შეიქმნა ვიზიტორთა განმეორებითი მოთხოვნით, რომლებმაც გამოთქვეს სურვილები, რათა უფრო რთული მაგალითები დემონტაჟდება საიტზე.

ვარაუდობენ, რომ ამ ტექსტის მკითხველი კარგად არის მომზადებული და იცის, თუ როგორ უნდა გამოიყენოს ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები. Teapots და ადამიანები, რომლებიც არ არის ძალიან დამაჯერებლად განხილული ინტეგრალები უნდა მოხსენიებული პირველი გაკვეთილი - გაურკვეველი განუყოფელი. გადაწყვეტილებების მაგალითებისადაც თქვენ შეგიძლიათ დაეუფლონ თემას თითქმის ნულოვანი. უფრო გამოცდილი სტუდენტებს შეუძლიათ გაეცნონ ტექნიკას და ინტეგრაციის მეთოდებს, რომლებიც ჩემს სტატიებში ჯერ არ შეხვდნენ.

რა ინტეგრალები განიხილება?

პირველი, ჩვენ განვიხილავთ ინტეგრალებს ფესვებს, რომ გადაწყვიტოს, რომელიც თანმიმდევრულად გამოიყენება შეცვლის ცვლადი და ინტეგრაცია ნაწილებში. ანუ, ერთ მაგალითში, ორი მიღება კომბინირებულია. და კიდევ უფრო.

მაშინ გაეცნობით საინტერესო და ორიგინალს მეთოდი ინფორმაცია განუყოფელი საკუთარ თავს. ეს მეთოდი გადაწყდება არც ისე ცოტა ინტეგრალს.

პროგრამის მესამე რიცხვი ხელს შეუწყობს კომპლექსურ ფრაქციებს, რომლებიც წინა სტატიებში წარსულში ფულადი რეესტრშია.

მეოთხე, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დამატებითი ინტეგრალები დაიშლება. კერძოდ, არსებობს მეთოდები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ თავიდან იქნას აცილებული უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების დრო.

(2) Integrand ფუნქცია, მრიცხველის დენომინატორი.

(3) გამოიყენეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ხაზოვანი ქონება. ბოლო ინტეგრალში დაუყოვნებლივ sweep ფუნქცია ქვეშ ნიშანი დიფერენციალური.

(4) მიიღოს დანარჩენი ინტეგრალები. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ლოგარითმში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილებში, არ არის მოდული, რადგან.

(5) ჩვენ ვაგროვებთ ჩანაცვლებას, გამოხატავს პირდაპირ ჩანაცვლებას "TE":

Masochian სტუდენტებს შეუძლიათ გულგრილობა პასუხი და მიიღეთ ორიგინალური ინტეგრაციის ფუნქცია, როგორც მე უბრალოდ გავაკეთე. არა, არა, მე შევასრულე გადამოწმება სწორი აზრით \u003d)

როგორც ხედავთ, გადაწყვეტილების მიღებისას მე უნდა გამოვიყენო ხსნარის ორი გადაწყვეტილება, ასე რომ მსგავსი ინტეგრალების რეპრესიების გამო, საჭიროა დარწმუნებული ინტეგრაციის უნარი და არა პატარა გამოცდილება.

პრაქტიკაში, რა თქმა უნდა, კვადრატული ფესვი უფრო ხშირია, აქ არის დამოუკიდებელი გამოსავლის სამი მაგალითი:

მაგალითი 2.

Პოვნა გაურკვეველი განუყოფელი

მაგალითი 3.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

მაგალითი 4.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ამგვარი ტიპის ეს მაგალითები, ამიტომ სტატიის დასასრულს სრული გამოსავალი მხოლოდ 2-ისთვის იქნება, მაგალითად, 3-4 - ერთი პასუხი. რა შეცვლის გადაწყვეტილებების დასაწყისში, მე ვფიქრობ, აშკარად. რატომ შევიძინე იგივე ტიპის მაგალითები? ხშირად გვხვდება თქვენი როლი. უფრო ხშირად, ალბათ, რაღაც მსგავსი .

მაგრამ არა ყოველთვის, როდესაც Arctgennes, Sinus, Cosine, Exponential და ა.შ. მახასიათებლები არიან ხაზოვანი ფუნქციის ფესვი, რამდენიმე მეთოდი უნდა იქნას გამოყენებული. ზოგიერთ შემთხვევაში, შესაძლებელია "მოშორება", რომელიც, მაშინვე ჩანაცვლების შემდეგ, მარტივი განუყოფელია, რომელიც არის ელემენტარული. შემოთავაზებული ამოცანების ადვილია მაგალითი 4, მასში ჩანაცვლების შემდეგ, შედარებით მარტივი განუყოფელია.

მეთოდი ინფორმაცია განუყოფელი საკუთარ თავს

მახინჯი და ლამაზი მეთოდი. დაუყოვნებლივ განიხილეთ ჟანრის კლასიკა:

მაგალითი 5.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ფესვის ქვეშ არის კვადრატული ბუტიანი და ამ მაგალითის ინტეგრირებისას, კეტტე შეიძლება განიცადოს საათობით. ასეთი განუყოფელი ნაწილია ნაწილებში და მოდის ქვემოთ. პრინციპში, ეს არ არის რთული. თუ იცით, როგორ.

მიუთითეთ ლათინური წერილის განუყოფელი ინტეგრირებული და დაიწყე გამოსავალი:

ჩვენ ინტეგრირება ნაწილები:

(1) ჩვენ მოვამზადებთ ნიადაგის განყოფილების ჩანაცვლებას.

(2) ჩვენ გაყოფა შეცვლის ფუნქციას. ალბათ, არ არის ნათლად, მე დაწერე უფრო დეტალურად:

(3) გამოიყენეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ხაზოვანი ქონება.

(4) მიიღოს ბოლო განუყოფელი ("ხანგრძლივი" ლოგარითმი).

ახლა ჩვენ ვუყურებთ გადაწყვეტილების დასაწყისს:

და ბოლოს:

Რა მოხდა? ჩვენი მანიპულაციების შედეგად, განუყოფელი იყო თავად!

ჩვენ ვამატებთ დასაწყისს და ბოლოს:

ჩვენ გადავიტანთ მარცხენა მხარეს ნიშანი ნიშანი:

და დემო დემონტაჟს მარჯვენა მხარეს. Როგორც შედეგი:

მუდმივი, მკაცრად ლაპარაკი, უნდა დაემატოს ადრე, მაგრამ ბოლოს მიეწერება. მე მკაცრად ვურჩევ, რა არის აქ მკაცრი:

Შენიშვნა: უფრო მკაცრი საბოლოო ეტაპი გამოსავალი გამოიყურება:

Ამგვარად:

მუდმივი შეიძლება გამოყენებულ იქნას მეშვეობით. რატომ შეგიძლია ხელახლა? იმიტომ, რომ ის მაინც იღებს რომელიმე ღირებულებები, და ამ თვალსაზრისით შორის მუდმივები და არ არსებობს განსხვავება.
Როგორც შედეგი:

ასეთი შეასრულა მუდმივი მუდმივი ფართოდ გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებები. და იქ იქნება მკაცრი. და აქ ასეთი თავისუფლება დასაშვებია მხოლოდ ჩემთვის მხოლოდ იმისათვის, რომ არ გაურკვეველი იყოს ზედმეტი რამ და ფოკუსირება ინტეგრაციის მეთოდით.

მაგალითი 6.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

თვითმმართველობის გადაწყვეტილებების კიდევ ერთი ტიპიური განუყოფელი. გაკვეთილის დასასრულს სრული გამოსავალი და პასუხი. წინა მაგალითის რეაგირების განსხვავება იქნება!

თუ ქვეშ Კვადრატული ფესვი არსებობს კვადრატული სამმაგი, გამოსავალი ნებისმიერ შემთხვევაში შემცირდა ორი disassembled მაგალითები.

მაგალითად, განიხილეთ განუყოფელი . ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ, აირჩიეთ სრული მოედანი:
.
შემდეგი, წრფივი ჩანაცვლება ხორციელდება, რაც ხარჯავს "ყოველგვარი შედეგების გარეშე":
შედეგად, განუყოფელია მიღებული. რაღაც ნაცნობი, არა?

ან ასეთი მაგალითი, მოედანთან ერთად:
ჩვენ ხაზს ვუსვამთ სრულ კვადრატს:
და, მას შემდეგ, რაც წრფივი ჩანაცვლება, ჩვენ გვაქვს განუყოფელი, რომელიც ასევე მოგვარდება ალგორითმი უკვე განიხილება.

განვიხილოთ კიდევ ორი ტიპიური მაგალითი მიღებაზე ინფორმაციის ინტეგრაციის შესახებ:
- საექსპლუატაციო გამოფენაზე განუყოფელი სინუსური გამრავლებული;
- ექსკლუზიური ინტეგრალი გამრავლდა კოსინით.

ჩამოთვლილი ინტეგრალებში ნაწილები უნდა იყოს ინტეგრირებული ორჯერ:

მაგალითი 7.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

Integrand ფუნქცია არის გამოფენა გამრავლებული sinus.

ჩვენ ორჯერ ინტეგრირდება ნაწილებად და განუყოფელ საკუთარ თავს:

ნაწილების ორჯერ ინტეგრაციის შედეგად, განუყოფელმა თავად მიიღო. ჩვენ ვამატებთ დასაწყისს და დამთავრებულ გადაწყვეტილებებს:

ჩვენ გადავიტანთ მარცხენა მხარეს ნიშანი და გამოვხატოთ ჩვენი განუყოფელი:

მზად არის. ასევე, სასურველია ბრძოლის მარჯვენა მხარეს, I.E. იმისათვის, რომ ფრჩხილებში გააფართოვოს, და ფრჩხილებში, რათა სინუსი "ლამაზი" წესით.

ახლა მოდით დავუბრუნდეთ მაგალითს, უფრო სწორად - ნაწილობრივ ინტეგრაციას:

ჩვენთვის ექსპოზიტორისთვის. კითხვა ჩნდება, ყოველთვის აუცილებელია ექსპონენტისთვის? Არ არის საჭირო. სინამდვილეში, განხილული განუყოფელი პრინციპი განსხვავების გარეშერა უნდა მიუთითოთ, შესაძლებელი იყო სხვა გზით წასვლა:

რატომ არის შესაძლებელი? იმის გამო, რომ ექსპოზიტორი თავისთავად (და დიფერენცირების დროს და ინტეგრაციის დროს), სინუსს, რომელიც კოსიკასთან არის ერთმანეთთან (ისევ - როგორც დიფერენცირების დროს და ინტეგრაციის დროს).

ანუ, ტრიგონომეტრიული ფუნქცია შეიძლება აღინიშნოს. მაგრამ, გამოკვლეულ მაგალითში, ნაკლებად რაციონალურია, რადგან ფრაქციები გამოჩნდება. თუ გსურთ, შეგიძლიათ სცადოთ ამ მაგალითის მოგვარება მეორე გზით, პასუხი უნდა დაემთხვეს.

მაგალითი 8.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გამოსავლისთვის. ამ შემთხვევაში, ამ შემთხვევაში უფრო მომგებიანია, ამ შემთხვევაში უფრო მომგებიანი ან ტრიგონომეტრიული ფუნქციაა? გაკვეთილის დასასრულს სრული გამოსავალი და პასუხი.

და, რა თქმა უნდა, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ამ გაკვეთილის პასუხების უმრავლესობა საკმაოდ მარტივია, დიფერენცირების შემოწმება!

მაგალითები არ იყო ყველაზე რთული. პრაქტიკაში, ინტეგრალები უფრო ხშირად გვხვდება, სადაც მუდმივი მაჩვენებელია და ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტში, მაგალითად: ფიქრობდა, რომ მსგავსი ინტეგრალური მოუწევს ბევრს, მე ხშირად აღრეული ვარ. ფაქტია, რომ ფრაქციების წარმოქმნის ალბათობის მოგვარებაში და ძალიან უბრალოდ რაღაც ინტენსიურია. გარდა ამისა, ნიშნების შეცდომების ალბათობა დიდია, გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ექსპონენტულ მაჩვენებელში მინუს ნიშანი არსებობს და ეს დამატებით სირთულეს იღებს.

საბოლოო ეტაპზე, დაახლოებით ხშირად მოიპოვება:

გადაწყვეტილების დასასრულსაც კი უნდა იყოს ძალიან ყურადღებიანი და ფრაქციებით კომპეტენტურად გაუმკლავდეს:

ინტეგრაცია კომპლექსური ფრაქციები

ნელა ჩვენ გაკვეთილის ეკვატორს მივიღებთ და ფრაქციიდან ინტეგრალების განხილვა დაიწყება. კიდევ ერთხელ, ყველა მათგანი არ არის superswit, მხოლოდ ერთი მიზეზით ან სხვა მაგალითები იყო ცოტა "არა თემაზე" სხვა სტატიებში.

ჩვენ ვაგრძელებთ ფესვების თემას

მაგალითი 9.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

დენომინატორში, ფესვთა ქვეშ არის კვადრატი სამგანზომილებიანი პლუს ფესვის "გაუმჯობესების" სახით "IKSA". ამ ტიპის განუყოფელია სტანდარტული ჩანაცვლების გამოყენებით.

Ჩვენ ვწყვეტთ:

ჩანაცვლება აქ არის მარტივი:

ჩანაცვლების შემდეგ ჩვენ ვუყურებთ ცხოვრებას:

(1) ჩანაცვლების შემდეგ, ჩვენ ვაძლევთ საერთო დენომინატორის პირობებს ფესვთა ქვეშ.
(2) ჩვენ ვცდილობთ root.
(3) მრიცხველი და დენომინატორი ამცირებს. ამავდროულად, ფესვთა ქვეშ, მე გადავწყვიტე კომპონენტები კომფორტულ წესრიგში. გარკვეული ექსპერიმენტით, ნაბიჯები (1), (2) შეიძლება გამოტოვოთ შესრულებული ქმედებები ზეპირად.
(4) შედეგად განუყოფელი, როგორც გახსოვთ გაკვეთილიდან ინტეგრირება ზოგიერთი ფრაქციები, გადაწყვეტს სრული კვადრატის გამოყოფის მეთოდი. აირჩიეთ სრული კვადრატი.
(5) ინტეგრაცია ჩვენ მაქსიმალურად "დიდხანს" ლოგარითს მივიღებთ.
(6) ჩაატაროს ჩანაცვლება. თუ თავდაპირველად, მაშინ უკან:.
(7) საბოლოო ქმედება მიზნად ისახავს შედეგების თმის ვარცხნილობას: ფესვთა ქვეშ, ისინი კვლავ მოუტანს კომპონენტებს საერთო მნიშვნელობრივად და ძირს უთხრის.

მაგალითი 10.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გამოსავლისთვის. აქ მუდმივი დაემატა მარტოხელა "ICSU" და ჩანაცვლება თითქმის იგივეა:

ერთადერთი, რაც თქვენ უნდა დამატებით გავაკეთოთ, არის ექსპრესი "X" ჩანაცვლება:

გაკვეთილის დასასრულს სრული გამოსავალი და პასუხი.

ზოგჯერ ასეთი განუყოფელი ფესვი ქვეშ შეიძლება იყოს კვადრატული Bicker, ის არ შეცვლის გადაწყვეტა გადაჭრას, ეს კიდევ უფრო ადვილი იქნება. Იგრძენი განსხვავება:

მაგალითი 11.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

მაგალითი 12.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

მოკლე გადაწყვეტილებები და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს. უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითი 11 არის ზუსტად binomial ინტეგრალური, რომლის გადაწყვეტილებაც გაკვეთილში განიხილებოდა ირაციონალური ფუნქციების ინტეგრალები.

ინტეგრალიდან მე -2 ხარისხის ინდივიდუალური პოლინომურიდან

(Polynomial in Denominator)

უფრო იშვიათი, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, შეხვედრა პრაქტიკული მაგალითები განუყოფელი ტიპის.

მაგალითი 13.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

მაგრამ დაბრუნდით მაგალითად ბედნიერი ნომერი 13 (პატიოსნად, არ შეესაბამება). ეს განუყოფელი ასევე არის კატეგორიის იმ, რომლითაც თქვენ შეიძლება საკმაოდ საკმარისი, თუ არ იცით, თუ როგორ უნდა გადაწყვიტოს.

გადაწყვეტილება იწყება ხელოვნური ტრანსფორმაციისთვის:

როგორ გავყოთ მრიცხველის დენომინატორს, ვფიქრობ ყველაფერი გაგებული.

შედეგად განუყოფელია ნაწილები:

სანახავად განუყოფელი (- ბუნებრივი ნომერი) ამოღებულ იქნა ჩვეულუმენტული ხარისხის შემცირების ფორმულა:
სად - ინტეგრალური ხარისხი ქვედა.

მე დარწმუნებული ვარ, რომ ამ ფორმულის იუსტიციის წინასწარმეტყველური ინტეგრალური.
ამ შემთხვევაში:, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

როგორც ხედავთ, პასუხებს ემთხვევა.

მაგალითი 14.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გამოსავლისთვის. გამოსავლის ნიმუშში, აღნიშნული ფორმულა ორჯერ იყო.

თუ ხარისხი მდებარეობს დამოუკიდებელი მულტიპლიკატორებზე მოედანზე სამჯერ, მაშინ გამოსავალი მოდის ქვემოთ bicked მიერ ხაზს უსვამს სრული მოედანი, მაგალითად:

რა მოხდება, თუ დამატებით ხარ მრიცხველს, არის პოლინომია? ამ შემთხვევაში, განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი გამოიყენება და ინტეგრირებული ფუნქცია აღწერილია ფრაქციების ოდენობით. მაგრამ ჩემი პრაქტიკაში ასეთი მაგალითი მე არ შევხვდი, ასე რომ, მე გაშვებული ეს საქმე სტატიაში ფრაქციული რაციონალური ფუნქციის ინტეგრალებიმენატრები და ახლა. თუ ასეთი განუყოფელი კვლავ ხვდება, ვხედავ სახელმძღვანელოს - ყველაფერი მარტივია. მე არ მიმაჩნია, რომ მიზანშეწონილია მასალა (თუნდაც მარტივი), შეხვედრის ალბათობა, რომელთანაც იგი ცდილობს ნულოვანისთვის.

კომპლექსური ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრაცია

ზედსართავი "კომპლექსი" საუკეთესო მაგალითები მრავალფეროვნებაა. დავიწყოთ tangents და kotangenes მაღალი ხარისხი. თვალსაზრისით tangent და kotangent მეთოდების თვალსაზრისით, თითქმის იგივე, ასე რომ მე ვსაუბრობ უფრო მეტად შესახებ tangent, რაც გულისხმობს, რომ დემონსტრირებული მიღება განუყოფელი განუყოფელი არის სამართლიანი და cotangent ძალიან.

ზემოხსენებულ გაკვეთილზე, ჩვენ განვიხილეთ უნივერსალური Trigonometric ჩანაცვლება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კონკრეტული ტიპის ინტეგრალების გადაჭრა. უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ნაკლებობა ისაა, რომ როდესაც ის გამოიყენება, რთული გათვლები ხშირად ხდება. და ზოგიერთი საყოველთაო ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ზოგიერთ შემთხვევაში თავიდან უნდა იქნას აცილებული!

განვიხილოთ კიდევ ერთი კანონიკური მაგალითი, ერთეულის განუყოფელია სინუსი:

მაგალითი 17.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება და მიიღეთ პასუხი, მაგრამ უფრო რაციონალური გზაა. თითოეულ ნაბიჯზე კომენტარებთან სრული გადაწყვეტილება მოგცემთ:

(1) გამოიყენეთ ორმაგი კუთხის ტრიგონომეტრიული ფორმულა.
(2) ჩვენ ვატარებთ ხელოვნურ ტრანსფორმაციას: დენომინატორში ჩვენ გავყავთ და გავამრავლებთ.
(3) ცნობილი ფორმულის მიხედვით, დენომინატორში, ჩვენ დავბრუნდებით ფრაქციაში.
(4) Sweep ფუნქცია ქვეშ ნიშანი დიფერენციალური.
(5) მიიღოს განუყოფელი.

ორი მარტივი მაგალითები თვითმმართველობის გადაწყვეტილებები:

მაგალითი 18.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

შენიშვნა: ყველაზე პირველი ქმედება უნდა იქნას გამოყენებული ფორმულა და ყურადღებით განახორციელოს მსგავსი წინა მაგალითად.

მაგალითი 19.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

კარგად, ეს ძალიან მარტივი მაგალითია.

გაკვეთილის დასასრულს სრული გადაწყვეტილებები და პასუხები.

მე ვფიქრობ, ახლა არავის აქვს პრობლემები ინტეგრალებით:
და ა.შ.

რა არის მეთოდის იდეა? იდეა ის არის, რომ ტრანსფორმაციის, ტრიგონომეტრიული ფორმულების დახმარებით, ორგანიზებას უწევს მხოლოდ tangents და tangent derivative. ანუ, ეს არის შეცვლის: . 17-19 მაგალითებში, ჩვენ რეალურად მივმართეთ ამ ჩანაცვლებას, მაგრამ ინტეგრალები იმდენად მარტივია, რომ ეს ეკვივალენტური ეფექტია - ფუნქციის შეჯამება დიფერენციალური ნიშნით.

მსგავსი არგუმენტები, როგორც უკვე განპირობებული, შეგიძლიათ გაატაროთ cotangent.

ზემოთ მოყვანილი ჩანაცვლების გამოყენების ფორმალური წინაპირობაა:

Cosine და Sinus- ის ხარისხი მთლიანი უარყოფითი რიცხვია, მაგალითად:

განუყოფელი - მთელი უარყოფითი რიცხვი.

! შენიშვნა : თუ ინტეგრირებული ფუნქცია შეიცავს მხოლოდ სინუსს ან მხოლოდ კოსტას, მაშინ განუყოფელია უარყოფითი უცნაური ხარისხით (უმარტივესი შემთხვევები №11, 18).

განვიხილოთ ამ წესის რამდენიმე საინფორმაციო ამოცანა:

მაგალითი 20.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

სინუსი და კოსინების ხარისხი: 2 - 6 \u003d -4 არის მთელი რიგი უარყოფითი რიცხვი, რაც იმას ნიშნავს, რომ განუყოფელი შეიძლება შემცირდეს tangents და მისი წარმოებული:

(1) ჩვენ გარდაქმნას დენომინატორი.
(2) ცნობილი ფორმულის მიხედვით, ჩვენ მივიღებთ.
(3) ჩვენ გარდაქმნას დენომინატორი.
(4) ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას .
(5) გადანაწილება ფუნქცია დიფერენცირების ნიშანზე.
(6) ჩვენ შევცვლით. უფრო გამოცდილი სტუდენტი არ შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ მაინც უკეთესია, რომ შეცვალოს tangent ერთი წერილით - ნაკლებად რისკი დაბნეულია.

მაგალითი 21.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გამოსავლისთვის.

გამართავს, ჩემპიონის რაუნდები დაიწყება \u003d)

ხშირად ინტეგრაციის ფუნქციაში "სოლიკა":

მაგალითი 22.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

ამ განუყოფელში, tangent თავდაპირველად იმყოფება, რომელიც დაუყოვნებლივ ატარებს უკვე ნაცნობი აზრს:

ხელოვნური ტრანსფორმაცია თავიდანვე და დარჩენილი დარჩენილი ნაბიჯები კომენტარის გარეშე, რადგან ყველაფერი ზემოთ აღინიშნა.

წყვილი შემოქმედებითი მაგალითები დამოუკიდებელი გამოსავალი:

მაგალითი 23.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

მაგალითი 24.

იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრირებული

დიახ, მათში, რა თქმა უნდა, შესაძლებელია სინუსური, კოსინის ხარისხი, გამოიყენოს უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება, მაგრამ გადაწყვეტილება ბევრად უფრო ეფექტური და მოკლეა, თუ იგი ხორციელდება tangents. გაკვეთილის დასასრულს სრული გამოსავალი და პასუხები

ძირითადი ინტეგრალები, რომ თითოეულმა სტუდენტმა უნდა იცოდეს

ჩამოთვლილი ინტეგრალები საფუძველია ფონდის ბაზაზე. ეს ფორმულები უნდა გაიხსენონ. უფრო კომპლექსური ინტეგრალის გაანგარიშებისას, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ისინი მუდმივად.

განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ ფორმულას (5), (7), (9), (12), (13) (17) (17) და (19) (19) (19). ნუ დაგავიწყდებათ, როდესაც ინტეგრირება დამატება პასუხი თვითნებური მუდმივი!

კონსტანტას ინტეგრალური

∫ d x \u003d x + c (1)

ინტეგრირება ძალაუფლების ფუნქცია

სინამდვილეში, შესაძლებელი იყო მხოლოდ ფორმულების (5) და (7), მაგრამ ამ ჯგუფის დანარჩენი დანარჩენი ინტეგრალები ხშირად გვხვდება, რომ მათ უფრო მცირე ყურადღება მიაქციონ მათ.

∫ x d x \u003d x 2 2 + c (2)
∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c (3)
∫ 1 x d x \u003d 2 x + c (4)
∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C (5)
∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + C (6)
∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

ინტეგრირებული ფუნქციისა და ჰიპერბოლური ფუნქციების ინტეგრალები

რა თქმა უნდა, ფორმულა (8) (ალბათ, მეხსიერების ყველაზე მოსახერხებელია) შეიძლება ჩაითვალოს პირადი საქმე ფორმულები (9). ფორმულები (10) და (11) ჰიპერბოლური სინუსური და ჰიპერბოლური კოსიის ინტეგრალებისათვის ადვილად წარმოიშვა ფორმულა (8), მაგრამ უმჯობესია, უბრალოდ გახსოვდეთ ეს ურთიერთობები.

∫ e x d x \u003d e x + c (8)
∫ X D X \u003d x LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1) (9)
∫ s h x d x \u003d c x + c (10)
∫ C H X D X \u003d S H X + C (11)

ძირითადი ინტეგრალები ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიდან

შეცდომა, რომელიც ხშირად ხდის: ფორმულები (12) და (13) ნიშნები. გახსოვდეთ, რომ სინუსი დერივატივაა კოსინისთვის, ბევრს, რატომღაც მიიჩნევს, რომ SINX ფუნქციის განუყოფელია Cosx. Ეს არ არის სიმართლე! Sine- ის განუყოფელია "მინუს კოსინის" ტოლია, მაგრამ კოსკის განუყოფელია "მხოლოდ სინუსუსი":

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C (12)
∫ COS X D X \u003d SIN X + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c (14)
∫ 1 Sin 2 X D X \u003d - C T G X + C (15)

ინტეგრალები შემცირდა ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისადმი

ფორმულა (16), რომელიც არქტრუქტურას, ბუნებრივია, არის ფორმულის სპეციალური შემთხვევა (17) A \u003d 1. ანალოგიურად, (18) - სპეციალური შემთხვევა (19).

∫ 1 1 + x 2 d x \u003d r c t g x + c \u003d - r c c t g x + c (16)
∫ 1 x 2 + a 2 \u003d 1 a r c t g x a + c (≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 D x \u003d arcsin x + c \u003d - arccos x + c (18)
∫ 1 A 2 - x 2 D x \u003d arcsin x a + c \u003d - arccos x a + c (a\u003e 0) (19)

უფრო რთული ინტეგრალები

ეს ფორმულები ასევე სასურველია გვახსოვდეს. ისინი ასევე ხშირად იყენებენ და მათი დასკვნა საკმაოდ tedious.

∫ 1 x 2 + a 2 d x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - 2 D x \u003d ln | X + x 2 - A 2 | + C (21)
∫ 2 - x 2 d x \u003d x 2 a 2 - x 2 + 2 2 arcsin x a + c (a\u003e 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (A\u003e 0) (23)
∫ x 2 - A 2 D X \u003d x 2 X 2 - A 2 - A 2 2 LN | X + x 2 - A 2 | + C (A\u003e 0) (24)

ზოგადი ინტეგრაციის წესები

1) ორი ფუნქციის თანხის განუყოფელია შესაბამისი ინტეგრალის ჯამი: ∫ (f (x) + g (x)) d x \u003d ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx (25 )

2) ორი ფუნქციის სხვა ფუნქციების განუყოფელია შესაბამისი ინტეგრალების განსხვავება: ∫ (f (x) - გ (x)) d x \u003d ∫ f (x) d x - ∫ g (x) dx ( 26)

3) მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას განუყოფელი ნიშანი: ∫ C F (x) d x \u003d c ∫ f (x) d x (27)

ადვილია შენიშვნა, რომ ქონება (26) მხოლოდ თვისებების კომბინაციაა (25) და (27).

4) კომპლექსური ფუნქციის ინტეგრალი, თუ შიდა ფუნქცია ხაზოვანია: ∫ f (x + b) d x \u003d 1 f (x + b) + c (a ≠ 0) (28)

აქ f (x) არის primitive ფუნქცია f (x). შენიშვნა: ეს ფორმულა განკუთვნილია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც შიდა ფუნქცია აქვს AX + B.

მნიშვნელოვანია: არ არსებობს უნივერსალური ფორმულა ორი ფუნქციის პროდუქტის განუყოფელი, ისევე როგორც ფრაქციის განუყოფელი:

∫ f (x) გ (x) d x \u003d? ∫ f (x) გ (x) d x \u003d? (ოცდაათი)

ეს არ ნიშნავს, რა თქმა უნდა, რომ ფრაქცია ან სამუშაო არ არის ინტეგრირებული. მხოლოდ ყოველ ჯერზე, ხედავს განუყოფელ ტიპს (30), თქვენ უნდა გამოგონება გზა "საბრძოლო" მასთან. ზოგიერთ შემთხვევაში, თქვენ შეძლებთ ინტეგრირება ნაწილების, სადღაც უნდა შეცვალოს ცვლადი, და ზოგჯერ დაეხმაროს შეიძლება კი "სკოლა" ფორმულები ალგებრა ან ტრიგონომეტრი.

გაურკვეველი განუყოფელის გაანგარიშების მარტივი მაგალითი

მაგალითი 1. იპოვეთ განუყოფელი: ∫ (3 x 2 + 2 sin x - 7 e x + 12) d x

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს (25) და (26) (ფუნქციების თანხის განუყოფელი ან სხვა თანხის განუყოფელია შესაბამისი ინტეგრალების განსხვავება. ჩვენ მივიღებთ: ∫ 3 x 2 D x + ∫ 2 SIN X D X - ∫ 7 E X D X + ∫ 12 D x

შეგახსენებთ, რომ მუდმივი შეიძლება გაკეთდეს განუყოფელი ნიშანი (ფორმულა (27)). გამოხატულება მოაქცია გონება

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ Sin X D X - 7 ∫ E X D X + 12 ∫ 1 D X

ახლა უბრალოდ გამოიყენეთ ძირითადი ინტეგრალების მაგიდა. ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ფორმულები (3), (12), (8) და (1). ინტეგრირება Power ფუნქცია, სინუსი, გაფართოება და მუდმივი 1. არ დაივიწყოთ თვითნებური მუდმივი დასასრულს:

3 x 3 3 - 2 COS X - 7 E X + 12 x + C

ელემენტარული ტრანსფორმაციის შემდეგ, საბოლოო პასუხს მივიღებთ:

X 3 - 2 COS X - 7 E X + 12 x + C

შეამოწმეთ თავი დიფერენციაციით: მიიღეთ წარმოებული ფუნქცია და დარწმუნდით, რომ ეს არის გამოხატვის თავდაპირველი გზები.

შემაჯამებელი განუყოფელი მაგიდა

∫ d x \u003d x + c

∫ x d x \u003d x 2 2 + გ

∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + გ

∫ 1 x d x \u003d 2 x + გ

∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C.

∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c

∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1)

∫ e x d x \u003d e x + c

∫ X D X \u003d X LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1)

∫ s h x d x \u003d c h x + c

∫ C x x d x \u003d s h x + c

∫ Sin X D X \u003d - COS X + C

∫ cos x d x \u003d sin x + c

∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c

∫ 1 SIN 2 X D X \u003d - C T G X + C

∫ 1 1 + x 2 d x \u003d a c t g x + c \u003d - r c c t g x + c

∫ 1 x 2 + a 2 \u003d 1 a r c t g x a + c (≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x \u003d arcsin x + c \u003d - arccos x + c

∫ 1 A 2 - x 2 D X \u003d arcsin x a + c \u003d - arccos x a + c (a\u003e 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + C.

∫ 1 x 2 - 2 D x \u003d ln | X + x 2 - A 2 | + C.

∫ 2 - x 2 d x \u003d x 2 a 2 - x 2 + 2 2 arcsin x a + c (a\u003e 0)

∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (A\u003e 0)

∫ x 2 - A 2 D X \u003d x 2 X 2 - A 2 - A 2 2 LN | X + x 2 - A 2 | + C (A\u003e 0)

ჩამოტვირთეთ ინტეგრალური მაგიდა (ნაწილი II) ამ ბმულზე

თუ უნივერსიტეტში სწავლობს, თუ თქვენ გაქვთ სირთულეები უმაღლესი მათემატიკით (მათემატიკური ანალიზი, წრფივი ალგებრა, ალბათობა თეორია, სტატისტიკა), თუ გჭირდებათ კვალიფიციური მასწავლებლის მომსახურება, გადადით გვერდზე მასწავლებელთა უმაღლეს მათემატიკაში . ჩვენ პრობლემებს შევძლებთ ერთად!

ალბათ თქვენც დაინტერესებული იქნება