ცვლადის ირაციონალური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც წარმოიქმნება ცვლადი და თვითნებური მუდმივებისგან შეკრების, გამოკლების, გამრავლების (მთლიანი ხარისხამდე აწევა), გაყოფისა და ფესვების აღების მოქმედებების სასრული რაოდენობის გამოყენებით. ირაციონალური ფუნქცია განსხვავდება რაციონალურიდან იმით, რომ ირაციონალური ფუნქცია შეიცავს ფესვების ამოღების ოპერაციებს.

არსებობს ირაციონალური ფუნქციების სამი ძირითადი ტიპი, რომელთა განუსაზღვრელი ინტეგრალები მცირდება რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალებამდე. ეს არის ინტეგრალები, რომლებიც შეიცავს წრფივი წილადი ფუნქციის თვითნებური მთელი ხარისხების ფესვებს (ფესვები შეიძლება იყოს სხვადასხვა სიმძლავრის, მაგრამ ერთი და იგივე წრფივი წილადი ფუნქციიდან); დიფერენციალური ბინომის ინტეგრალები და კვადრატული ტრინომის კვადრატული ფესვის ინტეგრალები.

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი. ფესვებს მრავალი მნიშვნელობა აქვს!

ფესვების შემცველი ინტეგრალების გამოთვლისას ხშირად გვხვდება ფორმის გამონათქვამები, სადაც არის ინტეგრაციის ცვლადის გარკვეული ფუნქცია. გასათვალისწინებელია, რომ. ანუ t > 0 , |ტ| = ტ. ტ< 0 , |ტ| = - ტ.მაშასადამე, ასეთი ინტეგრალების გამოთვლისას საჭიროა ცალ-ცალკე განვიხილოთ შემთხვევები t > 0 და ტ< 0 . ეს შეიძლება გაკეთდეს ნიშნების დაწერით ან სადაც საჭიროა. ვივარაუდოთ, რომ ზედა ნიშანი ეხება შემთხვევას t > 0 , ხოლო ქვედა - საქმეს თ< 0 . შემდგომი გარდაქმნით, ეს ნიშნები, როგორც წესი, აუქმებენ ერთმანეთს.

შესაძლებელია მეორე მიდგომაც, რომელშიც ინტეგრანდელი და ინტეგრაციის შედეგი შეიძლება ჩაითვალოს რთული ცვლადების კომპლექსურ ფუნქციებად. მაშინ არ უნდა მიაქციოთ ყურადღება რადიკალურ გამონათქვამებში არსებულ ნიშნებს. ეს მიდგომა გამოიყენება, თუ ინტეგრანტი არის ანალიტიკური, ანუ რთული ცვლადის დიფერენცირებადი ფუნქცია. ამ შემთხვევაში, ინტეგრანიც და მისი ინტეგრალიც მრავალმნიშვნელოვანი ფუნქციებია. ამიტომ, ინტეგრაციის შემდეგ, რიცხვითი მნიშვნელობების ჩანაცვლებისას, საჭიროა შევარჩიოთ ინტეგრანტის ერთმნიშვნელოვანი ტოტი (რიმანის ზედაპირი) და ამისთვის შევარჩიოთ ინტეგრაციის შედეგის შესაბამისი ტოტი.

ფრაქციული წრფივი ირაციონალურობა

ეს არის ინტეგრალები ფესვებით ერთი და იგივე წილადი წრფივი ფუნქციიდან:
,
სადაც R არის რაციონალური ფუნქცია, რაციონალური რიცხვებია, m 1, n 1, ..., m s, n s არის მთელი რიცხვები, α, β, γ, δ არის რეალური რიცხვები.
ასეთი ინტეგრალები მცირდება რაციონალური ფუნქციის ინტეგრალამდე ჩანაცვლებით:
, სადაც n არის r 1, ..., r s რიცხვების საერთო მნიშვნელი.

ფესვები შეიძლება სულაც არ იყოს წრფივი წილადი ფუნქციიდან, არამედ წრფივიც (γ = 0, δ = 1), ან ინტეგრაციის ცვლადზე x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

აქ მოცემულია ასეთი ინტეგრალების მაგალითები:
, .

ინტეგრალები დიფერენციალური ბინომებიდან

დიფერენციალური ბინომებიდან ინტეგრალებს აქვთ ფორმა:
,
სადაც m, n, p არის რაციონალური რიცხვები, a, b არის რეალური რიცხვები.
ასეთი ინტეგრალები მცირდება რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალამდე სამ შემთხვევაში.

1) თუ p არის მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება x = t N, სადაც N არის m და n წილადების საერთო მნიშვნელი.
2) თუ - მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება a x n + b = t M, სადაც M არის p რიცხვის მნიშვნელი.
3) თუ - მთელი რიცხვი. ჩანაცვლება a + b x - n = t M, სადაც M არის p რიცხვის მნიშვნელი.

სხვა შემთხვევებში, ასეთი ინტეგრალები არ შეიძლება გამოხატული იყოს ტერმინებით ელემენტარული ფუნქციები.

ზოგჯერ ასეთი ინტეგრალები შეიძლება გამარტივდეს შემცირების ფორმულების გამოყენებით:
;
.

კვადრატული ტრინომის კვადრატული ფესვის შემცველი ინტეგრალები

ასეთ ინტეგრალებს აქვთ ფორმა:
,
სადაც R არის რაციონალური ფუნქცია. თითოეული ასეთი ინტეგრალისთვის არსებობს მისი გადაჭრის რამდენიმე მეთოდი.
1) გარდაქმნების გამოყენება იწვევს უფრო მარტივ ინტეგრალებს.
2) გამოიყენეთ ტრიგონომეტრიული ან ჰიპერბოლური ჩანაცვლება.
3) გამოიყენეთ ეილერის ჩანაცვლება.

მოდით განვიხილოთ ეს მეთოდები უფრო დეტალურად.

1) ინტეგრანდული ფუნქციის ტრანსფორმაცია

ფორმულის გამოყენებით და ალგებრული გარდაქმნების შესრულებით, ჩვენ ვამცირებთ ინტეგრანდულ ფუნქციას ფორმამდე:
,
სადაც φ(x), ω(x) რაციონალური ფუნქციებია.

ტიპი I

ფორმის ინტეგრალი:
,
სადაც P n (x) არის n ხარისხის მრავალწევრი.

ასეთი ინტეგრალები გვხვდება განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდით იდენტობის გამოყენებით:

.
ამ განტოლების დიფერენცირებით და მარცხენა და მარჯვენა გვერდების გათანაბრებით ვპოულობთ A i კოეფიციენტებს.

ტიპი II

ფორმის ინტეგრალი:
,
სადაც P m (x) არის m ხარისხის მრავალწევრი.

ჩანაცვლება t = (x - α) -1ეს ინტეგრალი დაყვანილია წინა ტიპზე. თუ m ≥ n, მაშინ წილადს უნდა ჰქონდეს მთელი რიცხვი.

III ტიპის

აქ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:
.
რის შემდეგაც ინტეგრალი მიიღებს ფორმას:
.
შემდეგ, α, β მუდმივები უნდა შეირჩეს ისე, რომ t-ის კოეფიციენტები მნიშვნელში ნული გახდეს:
B = 0, B 1 = 0.
შემდეგ ინტეგრალი იშლება ორი ტიპის ინტეგრალის ჯამად:
,
,
რომლებიც ინტეგრირებულია ჩანაცვლებით:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) ტრიგონომეტრიული და ჰიპერბოლური ჩანაცვლებები

ფორმის ინტეგრალებისთვის ა > 0 ,
გვაქვს სამი ძირითადი ჩანაცვლება:
;
;
;

ინტეგრალებისთვის ა > 0 ,
გვაქვს შემდეგი ჩანაცვლება:
;
;
;

და ბოლოს, ინტეგრალებისთვის ა > 0 ,
ჩანაცვლებები შემდეგია:
;
;
;

3) ეილერის ჩანაცვლებები

ასევე, ინტეგრალები შეიძლება შემცირდეს ეილერის სამი ჩანაცვლების რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალებამდე:
, ამისთვის > 0;
, for c > 0;
, სადაც x 1 არის a x 2 + b x + c = 0 განტოლების ფესვი. თუ ამ განტოლებას რეალური ფესვები აქვს.

ელიფსური ინტეგრალები

დასასრულს, განიხილეთ ფორმის ინტეგრალები:
,
სადაც R არის რაციონალური ფუნქცია, . ასეთ ინტეგრალებს ელიფსური ეწოდება. ზოგადად, ისინი არ გამოიხატება ელემენტარული ფუნქციებით. თუმცა არის შემთხვევები, როდესაც არსებობს A, B, C, D, E კოეფიციენტებს შორის მიმართებები, რომლებშიც ასეთი ინტეგრალები გამოიხატება ელემენტარული ფუნქციებით.

ქვემოთ მოცემულია მაგალითი, რომელიც დაკავშირებულია რეფლექსურ მრავალწევრებთან. ასეთი ინტეგრალების გაანგარიშება ხორციელდება ჩანაცვლების გამოყენებით:
.

მაგალითი

გამოთვალეთ ინტეგრალი:
.

გამოსავალი

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება.

.
აქ x > 0 (u> 0 ) აიღეთ ზედა ნიშანი "+". x-ზე< 0 (უ< 0 ) - ქვედა ′- ′.

.

უპასუხე

ცნობები:
ნ.მ. გიუნტერი, რ.ო. კუზმინი, უმაღლეს მათემატიკაში ამოცანების კრებული, „ლან“, 2003 წ.

მოცემულ X ინტერვალში დიფერენცირებადი ფუნქცია F(x) ეწოდება ფუნქციის ანტიდერივატი f(x), ან f(x-ის ინტეგრალი), თუ ყოველ x ∈X-ზე მოქმედებს შემდეგი ტოლობა:

F" (x) = f(x). (8.1)

მოცემული ფუნქციისთვის ყველა ანტიწარმოებულის პოვნას მისი ეწოდება ინტეგრაცია. განუსაზღვრელი ინტეგრალური ფუნქცია f(x) მოცემულ ინტერვალზე X არის ყველა ანტიწარმოებული ფუნქციის სიმრავლე f(x) ფუნქციისთვის; დანიშნულება -

თუ F(x) არის ანტიწარმოებული f(x) ფუნქციისთვის, მაშინ ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

სადაც C არის თვითნებური მუდმივი.

ინტეგრალების ცხრილი

პირდაპირ განმარტებიდან ვიღებთ არა-ის ძირითად თვისებებს განსაზღვრული ინტეგრალიდა ცხრილის ინტეგრალების სია:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

ცხრილის ინტეგრალების სია

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (მ ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = არქტანი x + C

8. = რკალი x + C

10. = - ctg x + C

ცვლადი ჩანაცვლება

მრავალი ფუნქციის ინტეგრირებისთვის გამოიყენეთ ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი ან ჩანაცვლებები,საშუალებას გაძლევთ დაიყვანოთ ინტეგრალები ცხრილის ფორმამდე.

თუ ფუნქცია f(z) უწყვეტია [α,β]-ზე, z =g(x) ფუნქციას აქვს უწყვეტი წარმოებული და α ≤ g(x) ≤ β, მაშინ

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

უფრო მეტიც, მარჯვენა მხარეს ინტეგრაციის შემდეგ უნდა გაკეთდეს ჩანაცვლება z=g(x).

ამის დასამტკიცებლად საკმარისია ორიგინალური ინტეგრალის დაწერა ფორმაში:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Მაგალითად:

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი

მოდით, u = f(x) და v = g(x) იყოს ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ უწყვეტი . შემდეგ, სამუშაოს მიხედვით,

d(uv))= udv + vdu ან udv = d(uv) - ვდუ.

d(uv) გამოხატვისთვის, ანტიწარმოებული აშკარად იქნება uv, ამიტომ ფორმულა მოქმედებს:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

ეს ფორმულა გამოხატავს წესს ნაწილების მიერ ინტეგრაცია. udv=uv"dx გამოხატვის ინტეგრაციას მივყავართ vdu=vu"dx გამოხატვის ინტეგრაციამდე.

მოდით, მაგალითად, გსურთ იპოვოთ ∫xcosx dx. მოდით დავაყენოთ u = x, dv = cosxdx, ამიტომ du=dx, v=sinx. მერე

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის წესს უფრო შეზღუდული ფარგლები აქვს, ვიდრე ცვლადების ჩანაცვლება. მაგრამ არსებობს ინტეგრალების მთელი კლასები, მაგალითად,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax და სხვა, რომლებიც გამოითვლება ზუსტად ინტეგრაციის გამოყენებით ნაწილების მიხედვით.

განსაზღვრული ინტეგრალი

განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება წარმოდგენილია შემდეგნაირად. მოდით, ინტერვალზე განისაზღვროს ფუნქცია f(x). მოდით დავყოთ სეგმენტი [a,b] ნნაწილები წერტილებით a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. f(ξ i)Δ x i ფორმის ჯამი ეწოდება განუყოფელი ჯამიდა მისი ზღვარი λ = maxΔx i → 0, თუ ის არსებობს და სასრულია, ე.წ. განსაზღვრული ინტეგრალიფუნქციები f(x) of აადრე ბდა დანიშნულია:

F(ξ i)Δx i (8.5).

ფუნქცია f(x) ამ შემთხვევაში ეწოდება ინტეგრირებადი ინტერვალზე, რიცხვები a და b ეწოდება ინტეგრალის ქვედა და ზედა საზღვრები.

გარკვეული ინტეგრალისთვის მოქმედებს შემდეგი თვისებები:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

ბოლო ქონება ე.წ საშუალო ღირებულების თეორემა.

ვთქვათ f(x) უწყვეტი იყოს . შემდეგ ამ სეგმენტზე არის განუსაზღვრელი ინტეგრალი

∫f(x)dx = F(x) + C

და ხდება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, აკავშირებს განსაზღვრულ ინტეგრალს განუსაზღვრელ ინტეგრალთან:

F(b) - F(a). (8.6)

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია: განსაზღვრული ინტეგრალი არის მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება ზემოდან მრუდით y=f(x), სწორი ხაზებით x=a და x=b და ღერძის სეგმენტი. ოქსი.

არასწორი ინტეგრალები

უსასრულო საზღვრების მქონე ინტეგრალები და უწყვეტი (შეუზღუდავი) ფუნქციების ინტეგრალები ე.წ. არა შენი. პირველი ტიპის არასწორი ინტეგრალები -ეს არის ინტეგრალები უსასრულო ინტერვალზე, რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად:

(8.7)

თუ ეს ზღვარი არსებობს და სასრულია, მაშინ მას უწოდებენ f(x)-ის კონვერგენტული არასწორი ინტეგრალი[a,+ ∞) ინტერვალზე და გამოიძახება ფუნქცია f(x). ინტეგრირებადი უსასრულო ინტერვალით[a,+ ∞). წინააღმდეგ შემთხვევაში, ინტეგრალი ითვლება არ არსებობს ან განსხვავდება.

არასწორი ინტეგრალები ინტერვალებზე (-∞,b] და (-∞, + ∞) ანალოგიურად არის განსაზღვრული:

მოდით განვსაზღვროთ შეუზღუდავი ფუნქციის ინტეგრალის კონცეფცია. თუ f(x) უწყვეტია ყველა მნიშვნელობისთვის xსეგმენტი, გარდა c წერტილისა, სადაც f(x)-ს აქვს უსასრულო შეუწყვეტლობა, მაშინ მეორე სახის არასწორი ინტეგრალი f(x) დაწყებული a-დან b-მდეთანხას ჰქვია:

თუ ეს საზღვრები არსებობს და სასრულია. Დანიშნულება:

ინტეგრალური გამოთვლების მაგალითები

მაგალითი 3.30.გამოთვალეთ ∫dx/(x+2).

გამოსავალი.ავღნიშნოთ t = x+2, შემდეგ dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

მაგალითი 3.31. იპოვეთ ∫ tgxdx.

გამოსავალი.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. მოდით t=cosx, შემდეგ ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

მაგალითი3.32 . იპოვეთ ∫dx/sinx

გამოსავალი.

მაგალითი3.33. იპოვე .

გამოსავალი. = .

მაგალითი3.34 . იპოვეთ ∫arctgxdx.

გამოსავალი. მოდით ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით. ავღნიშნოთ u=arctgx, dv=dx. მაშინ du = dx/(x 2 +1), v=x, საიდანაც ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; რადგან
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

მაგალითი3.35 . გამოთვალეთ ∫lnxdx.

გამოსავალი.ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის გამოყენებით, მივიღებთ:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. შემდეგ ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

მაგალითი3.36 . გამოთვალეთ ∫e x sinxdx.

გამოსავალი.ავღნიშნოთ u = e x, dv = sinxdx, შემდეგ du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ჩვენ ასევე ვაერთიანებთ ∫e x cosxdx ინტეგრალს ნაწილებით: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ჩვენ გვაქვს:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. მივიღეთ მიმართება ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, საიდანაც 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

მაგალითი 3.37. გამოთვალეთ J = ∫cos(lnx)dx/x.

გამოსავალი.ვინაიდან dx/x = dlnx, მაშინ J= ∫cos(lnx)d(lnx). თუ შევცვლით lnx-ს t-ით, მივიღებთ ცხრილის ინტეგრალს J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

მაგალითი 3.38 . გამოთვალეთ J =.

გამოსავალი.იმის გათვალისწინებით, რომ = d(lnx), ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას lnx = t. შემდეგ J = .

მაგალითი 3.39 . გამოთვალეთ ინტეგრალი J = .

გამოსავალი.Ჩვენ გვაქვს: . ამიტომ =
=
=. შეყვანილია ასე: sqrt(tan(x/2)).

და თუ შედეგის ფანჯარაში დააწკაპუნებთ ზედა მარჯვენა კუთხეში ნაბიჯების ჩვენებას, მიიღებთ დეტალურ გადაწყვეტას.

განაცხადი

ინტეგრალები ონლაინ საიტზე სტუდენტებისა და სკოლის მოსწავლეებისთვის მათ მიერ გაშუქებული მასალის კონსოლიდაციისთვის. და ავარჯიშებთ თქვენს პრაქტიკულ უნარებს. ინტეგრალების სრული გადაწყვეტა თქვენთვის რამდენიმე წუთში დაგეხმარებათ განსაზღვროთ პროცესის ყველა ეტაპი ყოველ ჯერზე, როდესაც დაიწყებთ ინტეგრალის ამოხსნას, ამის გარეშე თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ერთი მეთოდი თქვენ თვლით ინტეგრალს ცხრილად. ცხრილის ყველა ინტეგრალი აშკარად არ ჩანს მოცემული მაგალითიდან, ზოგჯერ საჭიროა ორიგინალური ფუნქციის გარდაქმნა ანტიწარმოებულის საპოვნელად. პრაქტიკაში, ინტეგრალების ამოხსნა მოდის ორიგინალის პოვნის პრობლემის ინტერპრეტაციაზე, ანუ ანტიდერივატივი ფუნქციების უსასრულო ოჯახიდან, მაგრამ თუ ინტეგრაციის საზღვრები მოცემულია, მაშინ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის მიხედვით არსებობს მხოლოდ ერთი ფუნქცია. დარჩა გამოთვლების გამოსაყენებლად. ონლაინ ინტეგრალები - ონლაინ განუსაზღვრელი ინტეგრალი და ონლაინ განსაზღვრული ინტეგრალი. ონლაინ ფუნქციის ინტეგრალი არის ნებისმიერი რიცხვის ჯამი, რომელიც განკუთვნილია მათი ინტეგრაციისთვის. ამიტომ, არაფორმალურად, ონლაინ განსაზღვრული ინტეგრალი არის ფართობი ფუნქციის გრაფიკსა და x-ღერძს შორის ინტეგრაციის საზღვრებში. ინტეგრალებით ამოცანების ამოხსნის მაგალითები. მოდით შევაფასოთ რთული ინტეგრალი ერთ ცვლადზე და დავაკავშიროთ მისი პასუხი პრობლემის შემდგომ გადაწყვეტასთან. შესაძლებელია, როგორც ამბობენ, ინტეგრანტის ინტეგრალის პირდაპირ პოვნა. ნებისმიერი ინტეგრალი მაღალი სიზუსტით განსაზღვრავს ხაზებით შემოსაზღვრულ ფიგურის ფართობს. ეს არის მისი ერთ-ერთი გეომეტრიული მნიშვნელობა. ეს მეთოდი აადვილებს საქმეს სტუდენტებისთვის. რამდენიმე ნაბიჯი, ფაქტობრივად, დიდ გავლენას არ მოახდენს ვექტორულ ანალიზზე. ფუნქციის ინტეგრალი არის განუსაზღვრელი ინტეგრალების ამოხსნის ძირითადი კონცეფცია. ანალიზის მთავარი თეორემის მიხედვით, ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის შებრუნებული ოპერაცია, რომელიც ეხმარება დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნას. არსებობს ინტეგრაციის მოქმედების რამდენიმე განსხვავებული განმარტება, რომლებიც განსხვავდება ტექნიკური დეტალებით. თუმცა, ისინი ყველა თავსებადია, ანუ ინტეგრაციის ნებისმიერი ორი მეთოდი, თუ მათი გამოყენება შესაძლებელია მოცემულ ფუნქციაზე, იგივე შედეგს მოგვცემს. უმარტივესი არის რიმანის ინტეგრალი - განსაზღვრული ინტეგრალი ან განუსაზღვრელი ინტეგრალი. არაფორმალურად, ერთი ცვლადის ფუნქციის ინტეგრალი შეიძლება დაინერგოს, როგორც დიაგრამის ქვეშ არსებული ფართობი (ფუნქციის გრაფიკსა და x-ღერძს შორის ჩასმული ფიგურა). ნებისმიერ ასეთ ქვეპრობლემას შეუძლია გაამართლოს, რომ ინტეგრალის გამოთვლა უკიდურესად აუცილებელი იქნება მნიშვნელოვანი მიდგომის დასაწყისშივე. ეს არ დაგავიწყდეთ! ამ ფართობის პოვნის მცდელობისას ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ფიგურები, რომლებიც შედგება გარკვეული რაოდენობის ვერტიკალური მართკუთხედებისგან, რომელთა ფუძეები ერთად ქმნიან ინტეგრაციის სეგმენტს და მიიღება სეგმენტის შესაბამისი რაოდენობის მცირე სეგმენტებად დაყოფით. ინტეგრალების ონლაინ გადაჭრა.. ინტეგრალი ონლაინ - განუსაზღვრელი ინტეგრალი ონლაინ და განსაზღვრული ინტეგრალი ონლაინ. ინტეგრალების ონლაინ გადაჭრა: ონლაინ განუსაზღვრელი ინტეგრალი და ონლაინ განსაზღვრული ინტეგრალი. კალკულატორი ხსნის ინტეგრალებს მოქმედებების დეტალური აღწერით და უფასოდ! ფუნქციის ონლაინ განუსაზღვრელი ინტეგრალი არის მოცემული ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლე. თუ ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია ინტერვალზე, მაშინ მას აქვს ანტიდერივატიული ფუნქცია (ან ანტიწარმოებულების ოჯახი). ინტეგრალი მხოლოდ განსაზღვრავს გამონათქვამს, რომლის პირობებს ადგენთ თქვენ მიერ ასეთი საჭიროების გაჩენისთანავე. უმჯობესია, ამ საკითხს ყურადღებით მივუდგეთ და შინაგანი კმაყოფილება განიცადოთ შესრულებული სამუშაოდან. მაგრამ ინტეგრალის გამოთვლა კლასიკურისგან განსხვავებული მეთოდით ზოგჯერ იწვევს მოულოდნელ შედეგებს და ეს არ უნდა გაგიკვირდეთ. მიხარია, რომ ამ ფაქტს დადებითი რეზონანსი ექნება იმაზე, რაც ხდება. განუსაზღვრელი ინტეგრალების სია და ინტეგრალების განუსაზღვრელი ინტეგრალები სრული დეტალური ეტაპობრივი გადაწყვეტით. ყველა ინტეგრალი დეტალური გადაწყვეტილებებით ონლაინ. განუსაზღვრელი ინტეგრალი. განუსაზღვრელი ინტეგრალის ონლაინ პოვნა ძალიან გავრცელებული პრობლემაა უმაღლეს მათემატიკაში და მეცნიერების სხვა ტექნიკურ სფეროებში. ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები. ინტეგრალის, განსაზღვრული და განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება, ინტეგრალების ცხრილი, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა. კიდევ ერთხელ, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ თქვენი ინტეგრალი ინტეგრალური გამონათქვამების ცხრილის გამოყენებით, მაგრამ ამის მიღწევა მაინც საჭიროა, რადგან ყველაფერი ისეთი მარტივი არ არის, როგორც ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს. იფიქრეთ დასრულებულ შენობებზე, სანამ შეცდომებს აღმოაჩენთ. განსაზღვრული ინტეგრალი და მისი გამოთვლის მეთოდები. ონლაინ განსაზღვრული ინტეგრალი ცვლადი ზედა ლიმიტით. ინტეგრალების გადაჭრა ონლაინ. ნებისმიერი მაგალითი, რომელიც დაეხმარება ინტეგრალის გამოთვლას ცხრილის ფორმულების გამოყენებით, იქნება მოქმედების სასარგებლო სახელმძღვანელო ტრენინგის ნებისმიერი დონის სტუდენტებისთვის. ყველაზე მნიშვნელოვანი ნაბიჯი სწორი პასუხისკენ.. ინტეგრალები ონლაინ. ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების შემცველი განუსაზღვრელი ინტეგრალები. ინტეგრალების ონლაინ გადაჭრა - თქვენ მიიღებთ დეტალურ გადაწყვეტას სხვადასხვა ტიპის ინტეგრალებზე: განუსაზღვრელი, განსაზღვრული, არასათანადო. განსაზღვრული ინტეგრალური კალკულატორი ითვლის ფუნქციის განსაზღვრულ ინტეგრალს ინტერვალში რიცხვითი ინტეგრაციის გამოყენებით. ფუნქციის ინტეგრალი არის მიმდევრობის ჯამის ანალოგი. არაფორმალურად რომ ვთქვათ, განსაზღვრული ინტეგრალი არის ფუნქციის გრაფიკის ნაწილის ფართობი. ინტეგრალის ონლაინ ამოხსნა.. ინტეგრალი ონლაინ - განუსაზღვრელი ინტეგრალი ონლაინ და განსაზღვრული ინტეგრალი ონლაინ. ხშირად ასეთი ინტეგრალი განსაზღვრავს, თუ რამდენად მძიმეა სხეული მასთან შედარებით იმავე სიმკვრივის საგანზე და არ აქვს მნიშვნელობა რა ფორმისაა, რადგან ზედაპირი წყალს არ შთანთქავს. ინტეგრალების ონლაინ გადაჭრა.. ინტეგრალები ონლაინ - განუსაზღვრელი ინტეგრალი ონლაინ და განსაზღვრული ინტეგრალი ონლაინ. ყველა უმცროსმა სტუდენტმა იცის როგორ მოიძიოს ინტეგრალი ონლაინში. სასკოლო სასწავლო გეგმის საფუძველზე მათემატიკის ეს მონაკვეთიც შესწავლილია, მაგრამ არა დეტალურად, არამედ მხოლოდ ასეთი რთული და მნიშვნელოვანი თემის საფუძვლები. უმეტეს შემთხვევაში, სტუდენტები იწყებენ ინტეგრალების შესწავლას ვრცელი თეორიით, რომელსაც ასევე წინ უძღვის მნიშვნელოვანი თემები, როგორიცაა წარმოებულები და გადასასვლელი ლიმიტებზე - ისინიც ლიმიტებია. ინტეგრალების ამოხსნა თანდათან იწყება მარტივი ფუნქციების ყველაზე ელემენტარული მაგალითებით და მთავრდება გასულ საუკუნეში და კიდევ უფრო ადრე შემოთავაზებული მრავალი მიდგომისა და წესის გამოყენებით. ინტეგრალური გაანგარიშება არის საგანმანათლებლო მიზნებისთვის ლიცეუმებსა და სკოლებში, ანუ საშუალო საგანმანათლებლო დაწესებულებებში. ჩვენი ვებგვერდი ყოველთვის დაგეხმარება და ინტეგრალების ონლაინ გადაჭრა თქვენთვის ჩვეულებრივი და რაც მთავარია გასაგები ამოცანა გახდება. ამ რესურსზე დაყრდნობით, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად მიაღწიოთ სრულყოფილებას ამ მათემატიკური განყოფილებაში. წესების გაგებით, რომლებსაც ეტაპობრივად სწავლობთ, მაგალითად, ნაწილებით ინტეგრაცია ან ჩებიშევის მეთოდის გამოყენებით, შეგიძლიათ მარტივად ამოხსნათ ნებისმიერი ტესტი ქულების მაქსიმალური რაოდენობისთვის. მაშ, როგორ შეგვიძლია მაინც გამოვთვალოთ ინტეგრალი ინტეგრალების ცნობილი ცხრილის გამოყენებით, მაგრამ ისე, რომ გამოსავალი იყოს სწორი, სწორი და რაც შეიძლება ზუსტი პასუხით? როგორ ვისწავლოთ ეს და შესაძლებელია თუ არა უმოკლეს დროში რიგითი პირველკურსელი? მოდი ამ კითხვას დადებითად ვუპასუხოთ - შეგიძლიათ! ამავდროულად, თქვენ არა მხოლოდ შეძლებთ ნებისმიერი მაგალითის ამოხსნას, არამედ მიაღწევთ მაღალკვალიფიციურ ინჟინრის დონეს. საიდუმლო უფრო მარტივია, ვიდრე ოდესმე - საჭიროა მაქსიმალური ძალისხმევა და საჭირო დრო დაუთმოთ თვითმომზადებას. სამწუხაროდ, სხვა გზა ჯერ არავის მოუფიქრია! მაგრამ ყველაფერი არ არის ისეთი მოღრუბლული, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. თუ ამ კითხვით დაუკავშირდებით ჩვენს სერვის საიტს, ჩვენ გაგიადვილებთ ცხოვრებას, რადგან ჩვენს საიტს შეუძლია დეტალურად გამოთვალოს ინტეგრალები ონლაინში, ძალიან მაღალი სიჩქარით და უნაკლო ზუსტი პასუხით. თავის არსში, ინტეგრალი არ განსაზღვრავს, თუ როგორ მოქმედებს არგუმენტების თანაფარდობა მთლიანად სისტემის სტაბილურობაზე. თუ მხოლოდ ყველაფერი დაბალანსებული იქნებოდა. მიუხედავად იმისა, რომ თქვენ შეისწავლით ამ მათემატიკური თემის საფუძვლებს, სერვისს შეუძლია იპოვოთ ნებისმიერი ინტეგრალის ინტეგრალი, თუ ეს ინტეგრალი შეიძლება გადაწყდეს ელემენტარულ ფუნქციებში. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ინტეგრალებისთვის, რომლებიც არ არის აღებული ელემენტარული ფუნქციებით, პრაქტიკაში არ არის საჭირო პასუხის პოვნა ანალიტიკური ან, სხვა სიტყვებით, აშკარა ფორმით. ინტეგრალების ყველა გამოთვლა ხდება მოცემული ინტეგრანდის ანტიდერივატიული ფუნქციის განსაზღვრამდე. ამისათვის ჯერ გამოთვალეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი მათემატიკის ყველა კანონის მიხედვით ონლაინ. შემდეგ, საჭიროების შემთხვევაში, ჩაანაცვლეთ ინტეგრალის ზედა და ქვედა მნიშვნელობები. თუ არ არის აუცილებელი განუსაზღვრელი ინტეგრალის რიცხობრივი მნიშვნელობის დადგენა ან გამოთვლა, მაშინ მიღებულ ანტიდერივატიულ ფუნქციას ემატება მუდმივი, რითაც განისაზღვრება ანტიდერივატიული ფუნქციების ოჯახი. ინტეგრაციას განსაკუთრებული ადგილი უკავია მეცნიერებაში და ზოგადად ნებისმიერ საინჟინრო სფეროში, მათ შორის უწყვეტი მექანიკა, რომელიც აღწერს მთელ მექანიკურ სისტემებს, მათ მოძრაობებს და ბევრად უფრო მეტს. ხშირ შემთხვევაში შედგენილი ინტეგრალი განსაზღვრავს მატერიალური წერტილის მოძრაობის კანონს. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი ინსტრუმენტი გამოყენებითი მეცნიერებების შესწავლაში. ამის საფუძველზე არ შეიძლება არ აღინიშნოს ფართომასშტაბიანი გამოთვლები მექანიკური სისტემების არსებობისა და ქცევის კანონების დასადგენად. ვებსაიტზე ინტეგრალების ამოხსნის ონლაინ კალკულატორი მძლავრი ინსტრუმენტია პროფესიონალი ინჟინრებისთვის. ჩვენ ამის გარანტიას ნამდვილად მოგცემთ, მაგრამ ჩვენ შევძლებთ თქვენი ინტეგრალის გამოთვლას მხოლოდ მას შემდეგ, რაც შეიყვანთ სწორ გამოხატულებას ინტეგრანის დომენში. ნუ შეგეშინდებათ შეცდომების დაშვების, ამ საკითხში ყველაფრის გამოსწორება შესაძლებელია! ჩვეულებრივ, ინტეგრალების ამოხსნა ხდება ცნობილი სახელმძღვანელოების ან ენციკლოპედიების ცხრილის ფუნქციების გამოყენებაზე. ნებისმიერი სხვა განუსაზღვრელი ინტეგრალის მსგავსად, ის გამოითვლება სტანდარტული ფორმულით ყოველგვარი კრიტიკის გარეშე. პირველკურსელები ადვილად და ბუნებრივად იგებენ შესწავლილ მასალას ადგილზე და ინტეგრალის პოვნას ზოგჯერ არაუმეტეს ორი წუთი სჭირდება. და თუ მოსწავლემ ისწავლა ინტეგრალების ცხრილი, მაშინ მას შეუძლია ზოგადად განსაზღვროს პასუხები თავის თავში. ფუნქციების გაფართოება ცვლადების მიხედვით ზედაპირებთან მიმართებაში თავდაპირველად ნიშნავს სწორ ვექტორის მიმართულებას აბსცისის წერტილში. ზედაპირული ხაზების არაპროგნოზირებადი ქცევა მათემატიკური ფუნქციების საპასუხო წყაროს საფუძვლად იღებს განსაზღვრულ ინტეგრალებს. ბურთის მარცხენა კიდე არ ეხება ცილინდრს, რომელშიც წრეა ჩაწერილი, თუ სიბრტყეში ჭრილს შეხედავთ. მცირე ფართობების ჯამი, რომელიც იყოფა ასობით ნაწილებად უწყვეტ ფუნქციად, არის მოცემული ფუნქციის ონლაინ ინტეგრალი. ინტეგრალის მექანიკური მნიშვნელობა მდგომარეობს ბევრ გამოსაყენებელ პრობლემაში, როგორიცაა სხეულების მოცულობის განსაზღვრა და სხეულის მასის გამოთვლა. ამ გამოთვლებში ჩართულია სამმაგი და ორმაგი ინტეგრალი. ჩვენ დაჟინებით ვამტკიცებთ, რომ ინტეგრალების ონლაინ გადაწყვეტა ხორციელდება მხოლოდ გამოცდილი მასწავლებლების მეთვალყურეობის ქვეშ და მრავალრიცხოვანი შემოწმების გზით ჩვენ ხშირად გვეკითხებიან იმ სტუდენტების მუშაობის შესახებ, რომლებიც არ ესწრებიან ლექციებს, გამოტოვებენ მათ უმიზეზოდ და როგორ ახერხებენ პოვნას. თავად ინტეგრალი. ჩვენ ვპასუხობთ, რომ სტუდენტები თავისუფალი ადამიანები არიან და საკმაოდ შეუძლიათ გარე სწავლა, გამოცდისთვის ან გამოცდისთვის მომზადება საკუთარ სახლში. რამდენიმე წამში ჩვენი სერვისი დაეხმარება ნებისმიერს გამოთვალოს ნებისმიერი მოცემული ფუნქციის ინტეგრალი ცვლადის მიმართ. მიღებული შედეგი უნდა შემოწმდეს ანტიდერივატიული ფუნქციის წარმოებულის აღებით. ამ შემთხვევაში, ინტეგრალის ამონახსნის მუდმივი ხდება ნული. ეს წესი, ცხადია, ყველას ეხება. ვინაიდან მრავალმიმართულოვანი ოპერაციები გამართლებულია, განუსაზღვრელი ინტეგრალი ხშირად მცირდება დომენის მცირე ნაწილებად დაყოფამდე. თუმცა, ზოგიერთი სტუდენტი და სკოლის მოსწავლე უგულებელყოფს ამ მოთხოვნას. როგორც ყოველთვის, ონლაინ ინტეგრალები დეტალურად გადაიჭრება ჩვენი სერვისის ვებსაიტით და არ არსებობს შეზღუდვები მოთხოვნის რაოდენობაზე, ყველაფერი უფასოა და ყველასთვის ხელმისაწვდომი. არ არის ბევრი საიტი, რომელიც იძლევა ეტაპობრივ პასუხს წამებში და რაც მთავარია მაღალი სიზუსტით და მოსახერხებელი ფორმით. ბოლო მაგალითში, საშინაო დავალების მეხუთე გვერდზე, იყო ერთი, რომელიც აჩვენებს ინტეგრალის ეტაპობრივად გამოთვლას. მაგრამ არ უნდა დაგვავიწყდეს, თუ როგორ არის შესაძლებელი ინტეგრალის პოვნა მზა სერვისის გამოყენებით, დროში გამოცდილი და გამოცდილი ათასობით გადაჭრილ მაგალითზე ონლაინ. როგორ განსაზღვრავს ასეთი ინტეგრალი სისტემის მოძრაობას, ნათლად და ნათლად გვაჩვენებს ბლანტი სითხის მოძრაობის ბუნება, რომელიც აღწერილია განტოლებათა ამ სისტემით.

რთული ინტეგრალები

ეს სტატია ამთავრებს განუსაზღვრელი ინტეგრალების თემას და მოიცავს ინტეგრალებს, რომლებიც საკმაოდ რთული მეჩვენება. გაკვეთილი შეიქმნა ვიზიტორთა განმეორებითი თხოვნით, რომლებმაც გამოთქვეს სურვილი, რომ უფრო რთული მაგალითები გაანალიზებულიყო საიტზე.

ვარაუდობენ, რომ ამ ტექსტის მკითხველი კარგად არის მომზადებული და იცის როგორ გამოიყენოს ძირითადი ინტეგრაციის ტექნიკა. დუიმებმა და ადამიანებმა, რომლებიც არ არიან ძალიან დარწმუნებული ინტეგრალებში, უნდა მიმართონ პირველ გაკვეთილს - განუსაზღვრელი ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები, სადაც შეგიძლიათ თემის ათვისება თითქმის ნულიდან. უფრო გამოცდილ სტუდენტებს შეუძლიათ გაეცნონ ინტეგრაციის ტექნიკას და მეთოდებს, რომლებიც ჯერ არ შემხვედრია ჩემს სტატიებში.

რა ინტეგრალები იქნება გათვალისწინებული?

პირველ რიგში განვიხილავთ ინტეგრალებს ფესვებთან, რომელთა გადაწყვეტისთვისაც თანმიმდევრულად ვიყენებთ ცვლადი ჩანაცვლებადა ნაწილების მიერ ინტეგრაცია. ანუ, ერთ მაგალითში ორი ტექნიკა ერთდროულად არის გაერთიანებული. და კიდევ უფრო მეტი.

შემდეგ გავეცნობით საინტერესო და ორიგინალურს ინტეგრალის თავისთვის შემცირების მეთოდი. საკმაოდ ბევრი ინტეგრალი წყდება ამ გზით.

პროგრამის მესამე ნომერი იქნება რთული წილადების ინტეგრალები, რომლებიც წინა სტატიებში სალაროსთან გაფრინდნენ.

მეოთხე, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დამატებითი ინტეგრალები იქნება გაანალიზებული. კერძოდ, არსებობს მეთოდები, რომლებიც თავიდან აიცილებენ შრომატევადი უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლებას.

(2) ინტეგრანდში ჩვენ ვყოფთ მრიცხველს მნიშვნელზე ტერმინით.

(3) ვიყენებთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის წრფივობის თვისებას. ბოლო ინტეგრალში მაშინვე დააყენეთ ფუნქცია დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.

(4) ვიღებთ დარჩენილ ინტეგრალებს. გაითვალისწინეთ, რომ ლოგარითმში შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები და არა მოდული, რადგან .

(5) ჩვენ ვახორციელებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას, გამოვხატავთ "te"-ს პირდაპირი ჩანაცვლებიდან:

მაზოხისტი სტუდენტებს შეუძლიათ განასხვავონ პასუხი და მიიღონ ორიგინალური ინტეგრადი, როგორც მე გავაკეთე. არა, არა, შემოწმება გავაკეთე სწორი გაგებით =)

როგორც ხედავთ, გადაწყვეტის დროს ჩვენ უნდა გამოგვეყენებინა გადაწყვეტის ორზე მეტი მეთოდიც კი, ამიტომ ასეთ ინტეგრალებთან გასამკლავებლად გჭირდებათ ინტეგრაციის დამაჯერებელი უნარები და საკმაოდ დიდი გამოცდილება.

პრაქტიკაში, რა თქმა უნდა, უფრო ხშირია Კვადრატული ფესვი, აქ არის სამი მაგალითი თქვენი საკუთარი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მაგალითი 3

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მაგალითი 4

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს მაგალითები ერთი და იგივე ტიპისაა, ამიტომ სტატიის ბოლოს სრული გადაწყვეტა იქნება მხოლოდ მაგალით 2-ისთვის. რომელი ჩანაცვლება გამოვიყენოთ გადაწყვეტილების დასაწყისში, ვფიქრობ, აშკარაა. რატომ ავირჩიე იგივე ტიპის მაგალითები? ხშირად გვხვდება მათ როლში. უფრო ხშირად, ალბათ, რაღაც მსგავსი .

მაგრამ არა ყოველთვის, როდესაც არქტანგენტის, სინუსის, კოსინუსის, ექსპონენციალური და სხვა ფუნქციების ქვეშ არის წრფივი ფუნქციის ფესვი, თქვენ უნდა გამოიყენოთ რამდენიმე მეთოდი ერთდროულად. რიგ შემთხვევებში შესაძლებელია „ადვილად გადმოსვლა“, ანუ ჩანაცვლებისთანავე მიიღება მარტივი ინტეგრალი, რომლის ადვილად აღებაც შესაძლებელია. ზემოთ შემოთავაზებული ამოცანებიდან ყველაზე მარტივია მაგალითი 4, რომელშიც ჩანაცვლების შემდეგ მიიღება შედარებით მარტივი ინტეგრალი.

ინტეგრალის თავისთვის შემცირებით

მახვილგონივრული და ლამაზი მეთოდი. მოდით გადავხედოთ ჟანრის კლასიკას:

მაგალითი 5

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ფესვის ქვეშ არის კვადრატული ბინომი და ამ მაგალითის ინტეგრირების მცდელობა შეიძლება ჩაიდანს საათობით ატკინოს. ასეთი ინტეგრალი აღებულია ნაწილებად და მცირდება თავისთავად. პრინციპში, ეს არ არის რთული. თუ იცი როგორ.

ავღნიშნოთ განსახილველი ინტეგრალი ლათინური ასოებით და დავიწყოთ ამოხსნა:

მოდით გავაერთიანოთ ნაწილების მიხედვით:

(1) მოამზადეთ ინტეგრანდული ფუნქცია ტერმინების მიხედვით გაყოფისთვის.

(2) ჩვენ ვყოფთ ინტეგრანდულ ფუნქციას ტერმინებზე. შეიძლება ყველასთვის გასაგები არ იყოს, მაგრამ უფრო დეტალურად აღვწერ:

(3) ჩვენ ვიყენებთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის წრფივობის თვისებას.

(4) აიღეთ ბოლო ინტეგრალი ("გრძელი" ლოგარითმი).

ახლა მოდით გადავხედოთ გადაწყვეტის თავიდანვე:

და ბოლომდე:

Რა მოხდა? ჩვენი მანიპულაციების შედეგად ინტეგრალი თავისთავად შემცირდა!

გავაიგივოთ დასაწყისი და დასასრული:

გადადით მარცხენა მხარეს ნიშნის შეცვლით:

და ჩვენ ორს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს. Როგორც შედეგი:

მუდმივი, მკაცრად რომ ვთქვათ, ადრე უნდა დაემატა, მაგრამ ბოლოს დავამატე. კატეგორიულად გირჩევთ წაიკითხოთ რა არის აქ სიმძიმე:

Შენიშვნა: უფრო მკაცრად, გადაწყვეტის საბოლოო ეტაპი ასე გამოიყურება:

ამრიგად:

მუდმივი შეიძლება შეიცვალოს . რატომ შეიძლება მისი ხელახალი დიზაინი? რადგან ის მაინც იღებს ამას ნებისმიერიმნიშვნელობები და ამ თვალსაზრისით არ არის განსხვავება მუდმივებსა და.
Როგორც შედეგი:

მსგავსი ხრიკი მუდმივი რენოტაციით ფართოდ გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებები. და იქ ვიქნები მკაცრი. აქ კი ასეთ თავისუფლებას მხოლოდ იმისთვის ვიძლევი, რომ ზედმეტ ნივთებში არ დაგაბნიო და ყურადღება სწორედ ინტეგრაციის მეთოდზე გავამახვილო.

მაგალითი 6

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

კიდევ ერთი ტიპიური ინტეგრალი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. წინა მაგალითის პასუხთან განსხვავება იქნება!

თუ კვადრატული ფესვის ქვეშ არის კვადრატული ტრინომი, მაშინ გამოსავალი ნებისმიერ შემთხვევაში მოდის ორ გაანალიზებულ მაგალითზე.

მაგალითად, განიხილეთ ინტეგრალი . ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის პირველი აირჩიეთ სრული კვადრატი:
.
შემდეგი, ტარდება ხაზოვანი ჩანაცვლება, რომელიც აკეთებს "შედეგის გარეშე":
, რის შედეგადაც ინტეგრალური . რაღაც ნაცნობი, არა?

ან ეს მაგალითი, კვადრატული ბინომით:
აირჩიეთ სრული კვადრატი:
ხოლო წრფივი ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ ინტეგრალს, რომელიც ასევე იხსნება უკვე განხილული ალგორითმის გამოყენებით.

მოდით შევხედოთ კიდევ ორ ტიპურ მაგალითს, თუ როგორ უნდა შევამციროთ ინტეგრალი საკუთარ თავზე:
– სინუსზე გამრავლებული ექსპონენციის ინტეგრალი;
– კოსინუსზე გამრავლებული ექსპონენციის ინტეგრალი.

ჩამოთვლილ ინტეგრალებში ნაწილების მიხედვით მოგიწევთ ორჯერ ინტეგრირება:

მაგალითი 7

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ინტეგრანტი არის სინუსზე გამრავლებული ექსპონენცია.

ჩვენ ორჯერ ვაერთიანებთ ნაწილების მიხედვით და ვამცირებთ ინტეგრალს თავისთვის:

ნაწილების მიერ ორმაგი ინტეგრაციის შედეგად, ინტეგრალი თავისთავად შემცირდა. ჩვენ ვატოლებთ ამოხსნის დასაწყისს და დასასრულს:

ჩვენ მას მარცხენა მხარეს ვცვლით ნიშნის ცვლილებით და გამოვხატავთ ჩვენს ინტეგრალს:

მზადაა. ამავდროულად, მიზანშეწონილია სავარცხელი მარჯვენა მხარეს, ე.ი. ამოიღეთ მაჩვენებელი ფრჩხილებიდან და მოათავსეთ სინუსი და კოსინუსი ფრჩხილებში "ლამაზი" თანმიმდევრობით.

ახლა დავუბრუნდეთ მაგალითის საწყისს, უფრო ზუსტად, ნაწილების მიხედვით ინტეგრაციას:

ჩვენ აღვნიშნეთ ექსპონენტი, როგორც. ჩნდება კითხვა: არის თუ არა ის მაჩვენებელი, რომელიც ყოველთვის უნდა აღინიშნოს? Არ არის საჭირო. ფაქტობრივად, განხილულ ინტეგრალში ფუნდამენტურად არ აქვს მნიშვნელობა, რას ვგულისხმობთ , შეგვეძლო სხვა გზით წავსულიყავით:

რატომ არის ეს შესაძლებელი? იმის გამო, რომ ექსპონენცია იქცევა თავის თავში (როგორც დიფერენციაციის, ასევე ინტეგრაციის დროს), სინუსი და კოსინუსი ურთიერთშექცევად იქცევა ერთმანეთში (ისევ, როგორც დიფერენციაციის, ისე ინტეგრაციის დროს).

ანუ შეგვიძლია ტრიგონომეტრიული ფუნქციის აღნიშვნაც. მაგრამ, განხილულ მაგალითში, ეს ნაკლებად რაციონალურია, რადგან გამოჩნდება წილადები. თუ გსურთ, შეგიძლიათ სცადოთ ამ მაგალითის გადაჭრა მეორე მეთოდის გამოყენებით.

მაგალითი 8

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სანამ გადაწყვეტთ, იფიქრეთ იმაზე, თუ რა არის ამ შემთხვევაში უფრო ხელსაყრელი აღნიშვნა, როგორც ექსპონენციალური თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია? სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

და, რა თქმა უნდა, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ამ გაკვეთილზე პასუხების უმეტესობის შემოწმება საკმაოდ მარტივია დიფერენციაციის გზით!

განხილული მაგალითები არ იყო ყველაზე რთული. პრაქტიკაში ინტეგრალები უფრო ხშირია იქ, სადაც მუდმივი არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მაჩვენებელშიც და არგუმენტშიც, მაგალითად: . ასეთ ინტეგრალში ბევრი დაიბნევა და მეც ხშირად ვიბნევი. ფაქტია, რომ ხსნარში წილადების გამოჩენის დიდი ალბათობაა და უყურადღებობის გამო რაღაცის დაკარგვა ძალიან ადვილია. გარდა ამისა, ნიშნების შეცდომის დიდი ალბათობაა, გაითვალისწინეთ, რომ მაჩვენებელს აქვს მინუს ნიშანი და ეს იწვევს დამატებით სირთულეს.

საბოლოო ეტაპზე, შედეგი ხშირად ასეთია:

ამოხსნის ბოლოსაც კი, ძალიან ფრთხილად უნდა იყოთ და სწორად გაიგოთ წილადები:

რთული წილადების ინტეგრირება

ნელ-ნელა ვუახლოვდებით გაკვეთილის ეკვატორს და ვიწყებთ წილადების ინტეგრალების განხილვას. ისევ და ისევ, ყველა მათგანი არ არის სუპერ კომპლექსური, უბრალოდ, ამა თუ იმ მიზეზის გამო მაგალითები სხვა სტატიებში ცოტა "თემას მიღმა" იყო.

ფესვების თემის გაგრძელება

მაგალითი 9

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ფესვის ქვეშ მნიშვნელში არის კვადრატული ტრინომი პლუს "დანართი" ფესვის გარეთ "X"-ის სახით. ამ ტიპის ინტეგრალი შეიძლება გადაწყდეს სტანდარტული ჩანაცვლების გამოყენებით.

Ჩვენ ვწყვეტთ:

ჩანაცვლება აქ მარტივია:

მოდით შევხედოთ ცხოვრებას ჩანაცვლების შემდეგ:

(1) ჩანაცვლების შემდეგ ვამცირებთ ფესვის ქვეშ არსებულ ტერმინებს საერთო მნიშვნელამდე.
(2) ამოვიღებთ ფესვის ქვემოდან.
(3) მრიცხველი და მნიშვნელი მცირდება . ამავდროულად, ფესვის ქვეშ, მე გადავაწყვე ტერმინები მოსახერხებელი თანმიმდევრობით. გარკვეული გამოცდილებით, ნაბიჯები (1), (2) შეიძლება გამოტოვოთ კომენტარების ზეპირად შესრულებით.
(4) შედეგად მიღებული ინტეგრალი, როგორც გახსოვთ გაკვეთილიდან ზოგიერთი წილადის ინტეგრირება, წყდება სრული კვადრატული მოპოვების მეთოდი. აირჩიეთ სრული კვადრატი.
(5) ინტეგრაციით ვიღებთ ჩვეულებრივ „გრძელ“ ლოგარითმს.
(6) ჩვენ ვახორციელებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას. თუ თავდაპირველად , მაშინ უკან: .
(7) საბოლოო მოქმედება მიზნად ისახავს შედეგის გასწორებას: ფესვის ქვეშ კვლავ მივყავართ ტერმინებს საერთო მნიშვნელამდე და ამოვიღებთ მათ ფესვის ქვეშ.

მაგალითი 10

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. აქ მუდმივი ემატება მარტოხელა "X"-ს და ჩანაცვლება თითქმის იგივეა:

ერთადერთი, რაც დამატებით უნდა გააკეთოთ, არის "x"-ის გამოხატვა განხორციელებული ჩანაცვლებიდან:

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ზოგჯერ ასეთ ინტეგრალში შეიძლება იყოს კვადრატული ბინომი ძირის ქვეშ, ეს არ ცვლის ამოხსნის მეთოდს, ეს კიდევ უფრო მარტივი იქნება. Იგრძენი განსხვავება:

მაგალითი 11

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მაგალითი 12

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მოკლე გადაწყვეტილებები და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს. უნდა აღინიშნოს, რომ მაგალითი 11 არის ზუსტად ბინომალური ინტეგრალი, რომლის ამოხსნის მეთოდი განიხილეს კლასში ირაციონალური ფუნქციების ინტეგრალები.

მე-2 ხარისხის განუყოფელი მრავალწევრის ინტეგრალი ხარისხამდე

(პოლინომი მნიშვნელში)

ინტეგრალის უფრო იშვიათი ტიპი, მაგრამ მაინც გვხვდება პრაქტიკულ მაგალითებში.

მაგალითი 13

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მაგრამ დავუბრუნდეთ მაგალითს იღბლიანი ნომრით 13 (სიმართლე გითხრათ, სწორად ვერ ვხვდებოდი). ეს ინტეგრალი ასევე ერთ-ერთია, რომელიც შეიძლება საკმაოდ იმედგაცრუებული იყოს, თუ არ იცით როგორ გადაჭრათ.

გამოსავალი იწყება ხელოვნური ტრანსფორმაციით:

ვფიქრობ, უკვე ყველას ესმის, თუ როგორ უნდა გავყოთ მრიცხველი მნიშვნელზე ტერმინებით.

შედეგად მიღებული ინტეგრალი აღებულია ნაწილებად:

ფორმის ინტეგრალისთვის ( – ნატურალური რიცხვი) გამოვიყვანთ განმეორებადიშემცირების ფორმულა:
, სად – ერთი ხარისხით დაბალი ინტეგრალი.

მოდით გადავამოწმოთ ამ ფორმულის მართებულობა ამოხსნილი ინტეგრალისთვის.
ამ შემთხვევაში: , , ვიყენებთ ფორმულას:

როგორც ხედავთ, პასუხები იგივეა.

მაგალითი 14

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ნიმუშის ხსნარი იყენებს ზემოთ მოცემულ ფორმულას ზედიზედ ორჯერ.

თუ ხარისხის ქვეშ არის განუყოფელიკვადრატული ტრინომი, მაშინ გამოსავალი მცირდება ბინომად სრულყოფილი კვადრატის იზოლირებით, მაგალითად:

რა მოხდება, თუ მრიცხველში არის დამატებითი მრავალწევრი? ამ შემთხვევაში გამოიყენება განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდი და ინტეგრანდული ფუნქცია გაფართოებულია წილადების ჯამად. მაგრამ ჩემს პრაქტიკაში არის ასეთი მაგალითი არასოდეს შეხვედრია, ამიტომ გამომრჩა ეს საქმე სტატიაში წილად-რაციონალური ფუნქციების ინტეგრალები, ახლა გამოვტოვებ. თუ მაინც შეგხვდათ ასეთი ინტეგრალი, გადახედეთ სახელმძღვანელოს - იქ ყველაფერი მარტივია. არა მგონია მიზანშეწონილი იყოს მასალის (თუნდაც უბრალო) ჩართვა, რომლის შეხვედრის ალბათობა ნულისკენ არის მიდრეკილი.

რთული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრირება

ზედსართავი სახელი "რთული" უმეტეს მაგალითებში კვლავ დიდწილად პირობითია. დავიწყოთ მაღალი სიმძლავრის ტანგენტებითა და კოტანგენტებით. გამოყენებული ამოხსნის მეთოდების თვალსაზრისით, ტანგენსი და კოტანგენსი თითქმის ერთი და იგივეა, ამიტომ უფრო მეტს ვისაუბრებ ტანგენსზე, რაც იმას ნიშნავს, რომ ინტეგრალის ამოხსნის დემონსტრირებული მეთოდი მოქმედებს კოტანგენსისთვისაც.

ზემოთ გაკვეთილზე ჩვენ შევხედეთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლებატრიგონომეტრიული ფუნქციების გარკვეული ტიპის ინტეგრალების ამოხსნისთვის. უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების მინუსი არის ის, რომ მისი გამოყენება ხშირად იწვევს რთულ ინტეგრალებს რთული გამოთვლებით. და ზოგიერთ შემთხვევაში, უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების თავიდან აცილება შესაძლებელია!

განვიხილოთ კიდევ ერთი კანონიკური მაგალითი, ერთის ინტეგრალი, რომელიც იყოფა სინუსზე:

მაგალითი 17

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება და მიიღოთ პასუხი, მაგრამ არსებობს უფრო რაციონალური გზა. მე მოგცემთ სრულ გადაწყვეტას კომენტარებით თითოეული ნაბიჯისთვის:

(1) ჩვენ ვიყენებთ ტრიგონომეტრიულ ფორმულას ორმაგი კუთხის სინუსისთვის.
(2) ვახორციელებთ ხელოვნურ ტრანსფორმაციას: გავყოთ მნიშვნელში და გავამრავლოთ .
(3) მნიშვნელში ცნობილი ფორმულის გამოყენებით, წილადს ვაქცევთ ტანგენტად.
(4) ფუნქციას მივყავართ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.
(5) აიღეთ ინტეგრალი.

რამდენიმე მარტივი მაგალითი, რომლითაც თქვენ დამოუკიდებლად გადაჭრით:

მაგალითი 18

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

შენიშვნა: პირველივე ნაბიჯი უნდა იყოს შემცირების ფორმულის გამოყენება და ფრთხილად განახორციელეთ წინა მაგალითის მსგავსი მოქმედებები.

მაგალითი 19

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ისე, ეს ძალიან მარტივი მაგალითია.

შეავსეთ გადაწყვეტილებები და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს.

ვფიქრობ, ახლა ინტეგრალებთან პრობლემა არავის ექნება:
და ასე შემდეგ.

რა არის მეთოდის იდეა? იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ გამოვიყენოთ გარდაქმნები და ტრიგონომეტრიული ფორმულები, რათა მოაწყოთ მხოლოდ ტანგენტები და ტანგენტების წარმოებული ინტეგრანდში. ანუ, ჩვენ ვსაუბრობთ ჩანაცვლებაზე: . მაგალითებში 17-19 ჩვენ რეალურად გამოვიყენეთ ეს ჩანაცვლება, მაგრამ ინტეგრალები იმდენად მარტივი იყო, რომ ჩვენ მივიღეთ ექვივალენტური მოქმედებით - ფუნქციის შეყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.

მსგავსი მსჯელობა, როგორც უკვე აღვნიშნე, შეიძლება განხორციელდეს კოტანგენსისთვის.

ასევე არსებობს ფორმალური წინაპირობა ზემოაღნიშნული ჩანაცვლების გამოყენებისთვის:

კოსინუსის და სინუსის ხარისხების ჯამი არის უარყოფითი მთელი რიცხვი ლუწი რიცხვი, Მაგალითად:

ინტეგრალისთვის - უარყოფითი მთელი რიცხვი ლუწი რიცხვი.

! შენიშვნა : თუ ინტეგრანდი შეიცავს მხოლოდ სინუსს ან მხოლოდ კოსინუსს, მაშინ ინტეგრალი ასევე აღებულია უარყოფითი კენტი ხარისხისთვის (უმარტივესი შემთხვევები მოცემულია მაგალითებში No17, 18).

მოდით გადავხედოთ ამ წესზე დაფუძნებულ კიდევ რამდენიმე მნიშვნელოვან ამოცანას:

მაგალითი 20

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

სინუსის და კოსინუსის ხარისხების ჯამი: 2 – 6 = –4 არის უარყოფითი მთელი რიცხვი ლუწი რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ ინტეგრალი შეიძლება შემცირდეს ტანგენტებამდე და მის წარმოებულებამდე:

(1) გადავცვალოთ მნიშვნელი.
(2) კარგად ცნობილი ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ .
(3) გადავცვალოთ მნიშვნელი.
(4) ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას .
(5) ფუნქციას ვატარებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ.
(6) ჩვენ ვახორციელებთ ჩანაცვლებას. უფრო გამოცდილმა მოსწავლეებმა შეიძლება ვერ განახორციელონ ჩანაცვლება, მაგრამ მაინც ჯობია ტანგენსი ერთი ასოთი ჩაანაცვლოთ - დაბნეულობის რისკი ნაკლებია.

მაგალითი 21

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი.

დარჩით, ჩემპიონატის ტურები იწყება =)

ხშირად ინტეგრანდში შეიცავს „ჰოჯპოჯს“:

მაგალითი 22

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ეს ინტეგრალი თავდაპირველად შეიცავს ტანგენტს, რომელიც მაშინვე მივყავართ უკვე ნაცნობ აზრამდე:

თავიდანვე დავტოვებ ხელოვნურ ტრანსფორმაციას და დარჩენილ ნაბიჯებს კომენტარის გარეშე, რადგან ზემოთ უკვე განვიხილეთ ყველაფერი.

რამდენიმე კრეატიული მაგალითი საკუთარი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 23

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მაგალითი 24

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი

დიახ, მათში, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ შეამციროთ სინუსის და კოსინუსის ძალა და გამოიყენოთ უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება, მაგრამ გამოსავალი ბევრად უფრო ეფექტური და მოკლე იქნება, თუ ის განხორციელდება ტანგენტების საშუალებით. სრული ამოხსნა და პასუხები გაკვეთილის ბოლოს

ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენომ ელეამ ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია „აქილევსი და კუს“ აპორია. აი, როგორ ჟღერს:

ვთქვათ, აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით უკან არის. იმ დროის განმავლობაში, რაც აქილევსს სჭირდება ამ მანძილის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით გაივლის იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას ნაბიჯს გარბის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი ვერასდროს დაეწია კუს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, ჰილბერტი... ყველა ასე თუ ისე განიხილავდა ზენონის აპორიას. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... დისკუსიები დღემდე გრძელდება სამეცნიერო საზოგადოებამ პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე მისვლა... საკითხის შესწავლაში ჩაერთო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები; ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა..."[ვიკიპედია, "ზენონის აპორია". ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რისგან შედგება მოტყუება.

მათემატიკური თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა რაოდენობიდან . ეს გადასვლა გულისხმობს განაცხადს მუდმივის ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციიდან გამომდინარე, ვაკეთებთ დროის მუდმივ ერთეულებს საპასუხო მნიშვნელობაზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, ეს ჰგავს დროის შენელებას, სანამ ის მთლიანად არ გაჩერდება იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწევა. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ ასწრებს კუს.

თუ ჩვენ ჩვეულ ლოგიკას შევაბრუნებთ, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში გამოვიყენებთ „უსასრულობის“ ცნებას, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი კუს უსასრულოდ სწრაფად დაეწევა“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ ორმხრივ ერთეულებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუს ასი ნაბიჯის გადახრით იმავე მიმართულებით. პირველის ტოლი შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით დაცოცავს. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას "აქილევსი და კუს". ჯერ კიდევ გვიწევს ამ პრობლემის შესწავლა, გადახედვა და გადაჭრა. და გამოსავალი უნდა ვეძებოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. იმის დასადგენად, მოძრაობს თუ არა მანქანა, გჭირდებათ ორი ფოტო გადაღებული ერთი და იგივე წერტილიდან დროის სხვადასხვა წერტილში, მაგრამ თქვენ ვერ განსაზღვრავთ მათგან მანძილს. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, დაგჭირდებათ ორი ფოტო გადაღებული სივრცის სხვადასხვა წერტილიდან დროის ერთ მომენტში, მაგრამ მათგან ვერ განსაზღვრავთ მოძრაობის ფაქტს (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ ). რაზეც მინდა გავამახვილო განსაკუთრებული ყურადღება, არის ის, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის სხვადასხვა რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი სხვადასხვა შესაძლებლობებს იძლევა კვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის ძალიან კარგად არის აღწერილი ვიკიპედიაში. Მოდი ვნახოთ.

როგორც ხედავთ, „ნაკრებში არ შეიძლება იყოს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მრავალკომპლექტი“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ ასეთ აბსურდულ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომლებსაც არ აქვთ ინტელექტი სიტყვიდან "სრულიად". მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც ჩვეულებრივი ტრენერები და გვაქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.

ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის ქვეშ ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის გამოცდის დროს. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი უძლებდა დატვირთვას, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.

არ აქვს მნიშვნელობა, როგორ იმალებიან მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, "იგონე, მე სახლში ვარ", უფრო სწორად, "მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს", არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.

მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვაძლევთ. ასე რომ, მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ ვითვლით მას მთელ თანხას და ვაწყობთ ჩვენს მაგიდაზე სხვადასხვა გროვად, რომელშიც ერთი და იმავე ნომინალის კუპიურებს ვდებთ. შემდეგ ჩვენ ვიღებთ თითო კუპიურას თითოეული წყობიდან და ვაძლევთ მათემატიკოსს „ხელფასის მათემატიკურ კომპლექტს“. მოდით ავუხსნათ მათემატიკოსს, რომ ის მიიღებს დარჩენილ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როცა დაამტკიცებს, რომ იდენტური ელემენტების გარეშე ნაკრები არ უდრის იდენტური ელემენტების სიმრავლეს. სწორედ აქ იწყება გართობა.

უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „ეს შეიძლება სხვებზეც გავრცელდეს, ჩემზე კი არა! შემდეგ ისინი დაიწყებენ ჩვენს დარწმუნებას, რომ ერთი და იგივე ნომინალის კუპიურებს განსხვავებული ნომრები აქვთ, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს ერთსა და იმავე ელემენტებად. კარგი, მოდით დავთვალოთ ხელფასები მონეტებში - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი დაიწყებს ფიზიკის გაბრაზებულ გახსენებას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, ატომების კრისტალური სტრუქტურა და განლაგება უნიკალურია თითოეული მონეტისთვის...

და ახლა მე მაქვს ყველაზე საინტერესო კითხვა: სად არის ხაზი, რომლის მიღმაც მულტიკომპლექტის ელემენტები გადაიქცევა კომპლექტის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქ ტყუილთან ახლოსაც არ არის.

ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების არეები იგივეა - რაც ნიშნავს, რომ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ თუ გადავხედავთ იმავე სტადიონების სახელებს, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთი და იგივე ნაკრები არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. Რომელია სწორი? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შარფისტი ამოიღებს ყდიდან კოზირის ტუზს და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტის ან მულტისეტის შესახებ. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.

იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები მეორე ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არ წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.

კვირა, 18 მარტი, 2018 წ

რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ამიტომ არიან ისინი შამანები, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.

გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრების ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლის საშუალებითაც შესაძლებელი იქნება ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნა. ბოლოს და ბოლოს, რიცხვები არის გრაფიკული სიმბოლოები, რომლებითაც ჩვენ ვწერთ ციფრებს და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვე გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი, რომელიც წარმოადგენს ნებისმიერ რიცხვს“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანები ამას ადვილად ახერხებენ.

მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. და მაშ, გვექნება ნომერი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.

1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? ჩვენ გადავაქციეთ რიცხვი გრაფიკულ რიცხვის სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

2. ერთ მიღებულ სურათს ვჭრით რამდენიმე სურათად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ რიცხვებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

3. ცალკეული გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

4. დაამატეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.

12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ ნასწავლი „ჭრის და კერვის კურსები“, რომლებსაც მათემატიკოსები იყენებენ. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.

მათემატიკური თვალსაზრისით, არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია ნომრის მარჯვნივ. დიდი რიცხვით 12345, არ მინდა მოვიტყუო ჩემი თავი, განვიხილოთ ნომერი 26 სტატიიდან. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ შევხედავთ ყოველ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.

როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს არავითარი კავშირი არ აქვს მათემატიკასთან. იგივეა, თუ მართკუთხედის ფართობი მეტრებში და სანტიმეტრებში რომ განსაზღვროთ, სრულიად განსხვავებულ შედეგებს მიიღებ.

ნული ერთნაირად გამოიყურება ყველა რიცხვთა სისტემაში და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმის სასარგებლოდ, რომ. კითხვა მათემატიკოსებისთვის: როგორ არის მითითებული მათემატიკაში რაღაც, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის არაფერი არსებობს რიცხვების გარდა? მე შემიძლია ეს დავუშვა შამანებს, მაგრამ არა მეცნიერებს. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.

მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე მოქმედებები ერთი და იგივე რაოდენობის საზომი სხვადასხვა ერთეულებით იწვევს განსხვავებულ შედეგებს მათი შედარების შემდეგ, მაშინ ამას არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან.

რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს ხდება მაშინ, როდესაც მათემატიკური ოპერაციის შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის ზომაზე, გამოყენებულ საზომ ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.

მოაწერე კარზე კარს აღებს და ამბობს:

ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- Ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ლაბორატორია სულთა არაფილური სიწმინდის შესასწავლად ზეცად ამაღლების დროს! ჰალო თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?

ქალი... ზევით ჰალო და ქვემოთ ისარი მამრობითია.

თუ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე გაბრწყინდება,

მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად იპოვნეთ უცნაური ხატი თქვენს მანქანაში:

პირადად მე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი გამონაყარ ადამიანში (ერთი სურათი) (კომპოზიცია რამდენიმე სურათისგან: მინუს ნიშანი, რიცხვი ოთხი, გრადუსების აღნიშვნა). და მე არ მგონია, რომ ეს გოგო არის სულელი, რომელმაც არ იცის ფიზიკა. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის ძლიერი სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.

1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის თექვსმეტობითი აღნიშვნებით „მოცურავი კაცი“ ან რიცხვი „ოცდაექვსი“. ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.