Tas palīdzēs ne tikai tējkannām, bet pat tiem, kas pirmo reizi dzirdēja vārdu "noteicējs". Ir pagājuši divi gadi, kopš vietnei bija tikai desmit lappuses, un tagad, pēc mana garā, garā ceļojuma matanas pasaulē, viss atgriežas savās sliedēs.
Iedomājieties, ka jums ir jāaprēķina trešās kārtas determinants, izvēršot to pa rindas (kolonnas) elementiem. Lai gan ko tur iedomāties - vajag =) Pāri var pasēdēt 5 minūtes, vai arī 2-3 minūtes. Vai pat vienas minūtes apgabalā. Pavadītais laiks ir atkarīgs ne tikai no jūsu pieredzes, bet arī no jūsu zināšanām par noteicošo faktoru īpašībām. Tas nav nekas neparasts, kad risināšanas procesu var samazināt līdz dažām sekundēm, un dažreiz jūs varat redzēt rezultātu uzreiz! "Muļķības, kāpēc taupīt uz mačiem, un tāpēc mēs visu izlemsim," daži sacīs. Atzīsim. Un neizdarības neatzīsim ;-) Bet kā ar praksē diezgan izplatīto 4.kārtas noteicēju? Cīņa ar šo piparu prasīs 10-20 minūtes. Un tā pat nebūs kauja, bet slaktiņš, jo skaitļošanas kļūdas iespējamība ir ļoti augsta, kas jūs "iesaiņos" otrajā lēmuma kārtā. Un ja piektās kārtas noteicējs? Ietaupīs tikai noteicēja secības pazemināšana. Jā, šādi piemēri ir atrodami arī pārbaudes darbos.
Materiāli šajā lapā ievērojami uzlabos jūsu noteicošo faktoru risināšanas tehniku un vienkāršos tālāku augstākās matemātikas apguvi.
Efektīvas metodes determinanta aprēķināšanai
Pirmkārt, mēs nepieskarsimies determinanta īpašībām, bet tikai tā racionālā aprēķina metodēm. Šīs lēmumu pieņemšanas metodes slēpjas virspusē un daudziem ir saprotamas, taču, neskatoties uz to, pakavēsimies pie tām sīkāk. Tiek pieņemts, ka lasītājs jau diezgan droši spēj atklāt trešās kārtas noteicēju. Kā zināms, šo noteicošo faktoru var atklāt 6 standarta veidi: jebkurā rindā vai kolonnā. Šķiet, ka tam nav nekādas atšķirības, jo atbilde būs tāda pati. Bet vai visas metodes ir vienlīdz vienkāršas? Nē. Vairumā gadījumu ir mazāk izdevīgi veidi un izdevīgāki veidi risinājumus.
Apsveriet identifikatoru, kuru es bagātīgi pārklāju ar tetovējumiem pirmajā nodarbībā. Šajā rakstā mēs to sīki izklāstījām ar attēliem pirmajā rindā. Pirmā rinda ir laba un akadēmiska, bet vai ir iespējams ātrāk sasniegt rezultātu? Determinantā ir nulle, un, paplašinot to par otro rindiņu vai otro kolonnu, aprēķini tiks manāmi samazināti!
Izvērsīsim determinantu ar otro kolonnu: 
Praksē nulles elementi tiek ignorēti, un risinājums tiek uzrakstīts kompaktākā formā:
1. vingrinājums
Otrajā rindā izvērsiet doto kvalifikatoru, izmantojot saīsināto apzīmējumu.
Risinājums nodarbības beigās.
Ja rindā (vai kolonnā) ir divas nulles, tad tā parasti ir īsta dāvana. Apsveriet noteicēju. Trešajā rindā ir divas nulles, pa kurām mēs izvēršam:
Tas ir viss risinājums!
Īpašs gadījums, kad noteicējam ir t.s pakāpās vai trīsstūrveida skats, piemēram: - šādā determinantā visi tālāk minētie skaitļi galvenā diagonāle ir vienādi ar nulli.
Izvērsīsim to pirmajā kolonnā: 
Praktiskajos vingrinājumos ir ērti ievērot šādu noteikumu - pakāpeniskais determinants ir vienāds ar tā galvenās diagonāles skaitļu reizinājumu:
Līdzīgs princips ir spēkā arī citu pasūtījumu soļu noteicējiem, piemēram: 
Dažos lineārās algebras uzdevumos parādās trīsstūrdeterminanti, un to risinājums visbiežāk tiek formulēts šādi.
Un ja determinanta rindā (kolonnā) ir tikai nulles? Atbilde, manuprāt, ir skaidra. Mēs atgriezīsimies pie šī jautājuma determinanta īpašībās.
Tagad iedomāsimies, ka ilgi gaidītās bageles nav iekļautas Jaungada dāvanā. Tāpēc izķidāsim slikto Ziemassvētku vecīti!
Šeit nav nulles, taču joprojām ir veids, kā padarīt savu dzīvi vieglāku. Optimālāk ir izvērst šo determinantu trešajā kolonnā, jo tur ir vismazākie skaitļi. Šajā gadījumā lēmuma ieraksts iegūst ļoti lakonisku formu:
Apkopojot rindkopu, mēs formulējam aprēķina zelta likumu:
Izdevīgāk ir atvērt determinantu pēc TO rindas (kolonnas), kur:
1) vairāk nulles;
2) mazāki skaitļi.
Protams, tas attiecas arī uz augstāka līmeņa noteicējiem.
Neliels piemērs materiāla nostiprināšanai:
2. uzdevums
Aprēķiniet determinantu, paplašinot to pa rindu vai kolonnu, izmantojot racionālāko veidu
Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs, optimāls risinājums un atbilde ir nodarbības beigās.
Un vēl vienu svarīgs padoms: nekompleksē! Nav nepieciešams "pakavēties" pie tradicionālās sadalīšanas pēc pirmās rindas vai pirmās kolonnas. Lai cik īss tas būtu, izlemiet!
Noteicošās īpašības
Apsveriet vecās pirmās nodarbības paziņas: matricu 
un tā noteicējs 
.
Katram gadījumam es atkārtošu elementāro atšķirību starp jēdzieniem: matrica ir elementu tabula, a determinants ir skaitlis.
Kad matrica tiek transponēta, tās determinanta vērtība nemainās
Transponē matricu: 
Saskaņā ar īpašību transponētās matricas determinants ir vienāds ar to pašu vērtību: 
... Tie, kas vēlas, to var pārliecināties paši.
Tiek izmantots arī vienkāršāks šīs īpašības formulējums: ja determinants tiek transponēts, tā vērtība nemainīsies.
Mēs pierakstām abus noteicošos faktorus blakus un analizējam vienu svarīgs punkts:
Transponēšanas rezultātā pirmā rinda kļuva par pirmo kolonnu, otrā rinda kļuva par otro kolonnu, bet trešā rinda kļuva par trešo kolonnu. Rindas kļuva par kolonnām, un rezultāts nemainījās. No tā izriet svarīgs fakts: determinanta rindas un kolonnas ir vienādas... Citiem vārdiem sakot, ja kāds īpašums ir patiess rindai, tad tas pats īpašums ir patiess kolonnai! Patiesībā mēs ar to esam saskārušies jau ilgu laiku - galu galā noteicēju var paplašināt gan pēc rindas, tā vienādi, gan pēc kolonnas.
Vai jums nepatīk skaitļi virknēs? Transponē determinantu! Ir tikai viens jautājums, kāpēc? Apskatāmā īpašuma praktiskā nozīme ir maza, taču ir lietderīgi to iemest zināšanu bagāžā, lai labāk izprastu citas augstākās matemātikas problēmas. Piemēram, uzreiz kļūst skaidrs, kāpēc par koplanaritātes vektoru izpēte to koordinātas var ierakstīt gan identifikatora rindās, gan kolonnās.
Ja tiek apmainītas divas determinanta rindas (vai divas kolonnas),
tad noteicējs mainīs zīmi
! Atcerieties , mēs runājam par noteicēju! Pašā matricā neko nevar pārkārtot!
Spēlēsim Rubika kubu ar determinantu 
.
Apmainīsim pirmo un trešo rindu: 
Identifikators ir mainījis savu zīmi.
Tagad iegūtajā determinantā apmainīsim otro un trešo rindu: 
Identifikators atkal mainīja savu zīmi.
Apmainīsim otro un trešo kolonnu: 
Tas ir, jebkura rindu (kolonnu) pāru permutācija nozīmē determinanta zīmes maiņu uz pretējo.
Spēles ir spēles, bet praksē šādas darbības ir labākas Nelietojiet... No tiem nav lielas jēgas, bet apjukt un kļūdīties nav grūti. Tomēr es minēšu vienu no retajām situācijām, kad tam patiešām ir jēga. Pieņemsim, ka kāda piemēra risināšanas gaitā esat uzzīmējis determinantu ar mīnusa zīmi:
Izvērsīsim to, teiksim, pirmajā rindā:
Acīmredzamās neērtības ir tādas, ka man nācās veikt nevajadzīgas ķibeles - likt derības lielas kronšteini, un pēc tam tās atklāt (starp citu, šādas darbības ļoti neiesaku veikt "vienā sēdē" mutiski).
Lai atbrīvotos no "mīnusa", racionālāk ir apmainīt jebkuras divas rindas vai jebkuras divas kolonnas. Pārkārtosim, piemēram, pirmo un otro rindu: 
Izskatās stilīgi, taču vairumā gadījumu ar negatīvu zīmi ir lietderīgāk tikt galā citādi (lasīt tālāk).
Iepriekš minētā darbība atkal palīdz labāk izprast, piemēram, dažas īpašības vektoru vektorreizinājums vai vektoru jauktais reizinājums.
Bet tas ir interesantāk:
No determinanta rindas (kolonnas) varat izņemt kopējo koeficientu
!!! Uzmanību! Noteikums ir par VIENS līniju vai apmēram VIENS noteicošā kolonna. Lūdzu, nejaukt ar matricas, matricā faktors tiek izcelts / ievests plkst VISI numurus uzreiz.
Sāksim ar īpašu noteikuma gadījumu - padarot "mīnus viens" vai vienkārši "mīnus".
Mēs satiekam citu pacientu:.
Šim noteicējam ir pārāk daudz trūkumu, un būtu jauki to skaitu samazināt.
Izņemiet -1 no pirmās rindas: 
Vai īsāk: 
Kvalifikācijas priekšā mīnuss, kā jau demonstrēts, nav ērti ēst. Mēs skatāmies uz determinanta otro rindu un pamanām, ka tur ir pārāk daudz mīnusu.
Izņemsim "mīnusu" no otrās rindas: 
Ko vēl jūs varat darīt? Visi skaitļi otrajā kolonnā dalās ar 4 bez atlikuma. Pārvietosim 4 no otrās kolonnas: 
Patiess ir arī pretējais noteikums - reizinātājs var ne tikai izturēt, bet arī veidot, turklāt JEBKĀRĀ determinanta rindā vai JEBKĀRĀ kolonnā.
Jautrības labad sareizināsim determinanta trešo rindiņu ar 4: 
Pedantiski prāti var pārliecināties par sākotnējā un saņemtā determinantu vienlīdzību (pareizā atbilde: –216).
Praksē bieži tiek veikta mīnusa ieviešana. Apsveriet noteicēju. Mīnusa zīmi pirms kvalifikatora var ievadīt JEBKĀRĀ rindā vai JEBKĀ slejā. Labākais kandidāts ir trešā kolonna, un mēs tai pievienosim mīnusu: 
Mēs arī pamanām, ka visi skaitļi pirmajā kolonnā dalās ar 2 bez atlikuma, bet vai ir vērts veikt "divus"? Ja jūs gatavojaties pazemināt kvalifikācijas secību (kas tiks apspriesta pēdējā sadaļā), tad noteikti vajadzētu. Bet, ja jūs izvēršat determinantu pēc rindas (kolonnas), tad priekšā esošās "divas" tikai pagarinās risinājuma ierakstu.
Taču, ja koeficients ir liels, piemēram, 13, 17 utt., tad, protams, izdevīgāk ir tik un tā izņemt. Iepazīsimies ar mazo briesmoni:. No pirmās rindas izņemam –11, no otrās rindas izņemam –7:
Jūs sakāt, aprēķini jau tik ātri noklikšķina uz parastā kalkulatora? Tā ir taisnība. Bet, pirmkārt, tas var nebūt pa rokai, otrkārt, ja tiek dots 3. vai 4. kārtas noteicējs ar lieliem cipariem, tad īsti negribēsies klauvēt pie pogām.
3. uzdevums
Aprēķiniet determinantu, izslēdzot rindas un kolonnas
Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs.
Vēl daži noderīgi noteikumi:
Ja divas determinanta rindas (kolonnas) ir proporcionālas
(īpašā gadījumā tie ir vienādi), tad šis determinants ir vienāds ar nulli
Šeit attiecīgie pirmās un otrās rindas elementi ir proporcionāli:
Dažreiz tiek teikts, ka kvalifikācijas līnijas lineāri atkarīgi... Tā kā determinanta vērtība transponēšanas laikā nemainās, kolonnu lineārā atkarība izriet arī no rindu lineārās atkarības.
Piemērā var likt ģeometrisku nozīmi – ja pieņemam, ka līnijās ir koordinātes vektori telpā, tad pirmie divi vektori ar proporcionālām koordinātām būs kolineāri, kas nozīmē, ka visi trīs vektori - lineāri atkarīgi, tas ir, koplanārs.
Nākamajā piemērā trīs kolonnas ir proporcionālas (un, starp citu, arī trīs rindas): 
Šeit otrā un trešā kolonna ir vienāda, tas ir īpašs gadījums - kad proporcionalitātes koeficients ir vienāds ar vienu
Uzskaitītās īpašības var izmantot praksē. Bet atceries, paaugstināts zināšanu līmenis dažkārt ir sodāms ;-) Tāpēc varbūt labāk šādus kvalifikatorus atklāt parastajā veidā (iepriekš zinot, ka izrādīsies nulle).
Jāpiebilst, ka otrādi parasti nav taisnība- ja determinants ir nulle, tad no šī Vēl nē ka tā rindas (kolonnas) ir proporcionālas. Tas nozīmē, ka rindu/kolonnu lineārā saistība var nebūt skaidra.
Ir arī acīmredzamāks simptoms, kad uzreiz var teikt, ka determinants ir nulle:
Determinants ar nulles rindu (kolonnu) ir vienāds ar nulli
"Amatieru" pārbaude ir elementāra, atveram pirmās kolonnas noteicēju: 
Tomēr rezultāts nemainās, ja izvēršat jebkuras rindas vai kolonnas kvalifikatoru.
Izspiediet otro glāzi apelsīnu sulas:
Kādas determinantu īpašības ir noderīgi zināt?
1) Transponēšanas laikā determinanta vērtība nemainās... Mēs atceramies īpašumu.
2) Jebkura rindu (kolonnu) pāru permutācija apvērš determinanta zīmi.... Mēs arī atceramies īpašumu un cenšamies to neizmantot, lai izvairītos no neskaidrībām.
3) No determinanta rindas (kolonnas) varat izņemt koeficientu (un pievienot to atpakaļ)... Mēs to izmantojam tur, kur tas ir izdevīgi.
4) Ja determinanta rindas (kolonnas) ir proporcionālas, tad tas ir vienāds ar nulli. Determinants ar nulles rindu (kolonnu) ir nulle.
Visas nodarbības laikā vairākkārt tika novērots elementārs modelis - jo vairāk nulles rindā (ailē), jo vieglāk ir aprēķināt determinantu. Rodas jautājums, vai ir iespējams tīšām sakārtot nulles, izmantojot kādu transformāciju? Var! Iepazīsimies ar vēl vienu ļoti spēcīgu īpašumu:
Determinanta secības pazemināšana
Ļoti labi, ja jau esi izdomājis ar Gausa metode un ir pieredze risināšanā lineāro vienādojumu sistēmasšādā veidā. Faktiski tālāk formulētais īpašums dublē vienu no elementāras pārvērtības.
Lai rosinātu apetīti, sasmalcināsim mazu vardi: 
Noteicošajai virknei varat pievienot citu virkni, kas reizināta ar skaitli, kas nav nulle. Šajā gadījumā determinanta vērtība nemainīsies
Piemērs: determinantā mēs iegūstam nulli augšējā kreisajā stūrī.
Šim nolūkam otrā rinda garīgi vai uz melnraksta reiziniet ar 3: (–3, 6) un pirmajai rindai pievienojiet otro rindu, kas reizināta ar 3:
Mēs rakstām rezultātu uz pirmo rindu:
Pārbaude: 
Tagad tajā pašā determinantā mēs iegūstam nulli apakšējā labajā stūrī. Priekš šī otrajai rindai pievieno pirmo rindiņu, kas reizināta (garīgi) ar –2):
Mēs rakstām rezultātu uz otro rindu:
Piezīme: ar elementāru transformāciju, izmaiņām TA virkne, kurai pievienojot UT.
Formulēsim spoguļattēlu kolonnām:
Noteicošajai kolonnai var pievienot vēl vienu kolonnu, reizinot ar skaitli, kas nav nulle. Šajā gadījumā determinanta vērtība nemainīsies
Paņemiet dzīvnieku aiz kājām un, izmantojot šo transformāciju, mēs iegūstam nulli augšējā kreisajā stūrī. Lai to izdarītu, garīgi vai uz melnraksta, mēs reizinām otro kolonnu ar –3: un pievienojiet otro kolonnu pirmajai kolonnai, reizinot ar –3:
Mēs uzrakstīsim rezultātu uz pirmo kolonnu:
Un visbeidzot, determinantā mēs iegūstam nulli apakšējā labajā stūrī. Priekš šī otrajai kolonnai pievienojam pirmo kolonnu, reizinot (garīgi) ar 2(skatieties un skaitiet no labās uz kreiso pusi):
Mēs ievietojam rezultātu uz otro kolonnu:
Ar elementāru transformāciju, mainās TAS kolonnu, kurai pievienojot UT.
Mēģiniet kvalitatīvi sagremot šādu piemēru.
Sūtīsim uz zupu izaugušo abinieku:
Izaicinājums ir izmantojot elementāras transformācijas, lai pazeminātu determinanta secību līdz otrajam pasūtījumam.
Kur sākt? Pirmkārt, noteicējā ir jāizvēlas mērķa skaitlis. Mērķis gandrīz vienmēr ir viens vai –1. Mēs skatāmies uz noteicēju un pamanām, ka šeit pat ir izvēle. Ļaujiet elementam būt mērķa skaitlim: 
Piezīme : dubulto indeksu nozīmi var atrast rakstā Krāmera noteikums. Matricas metode... V šajā gadījumā elementu indeksi norāda, ka tas atrodas otrajā rindā, trešajā kolonnā.
Ideja ir iegūt divas nulles trešajā kolonnā: 
Vai arī iegūstiet divas nulles otrajā rindā: 
Otrajā rindā ir mazāki skaitļi (neaizmirstiet zelta likumu), tāpēc to ir izdevīgāk ņemt. Un trešā kolonna ar "mērķa" numuru paliks nemainīga: 
Pievienojiet trešo kolonnu otrajai kolonnai:
Nevajadzēja neko pavairot.
Mēs ierakstām rezultātu otrajā kolonnā: 
Pievienojiet trešo kolonnu pirmajai kolonnai, reizinot (garīgi) ar –2:
Pirmajā kolonnā ierakstām rezultātu, otrajā rindā izvēršam determinantu: 
Kā mēs pazeminājām kvalifikācijas secību? Otrajā rindā saņēmām divas nulles.
Atrisināsim piemēru otrajā veidā, sakārtosim nulles trešajā kolonnā: 
Otrā rinda ar mērķa numuru paliks nemainīga: 
Pirmajai rindai pievienojiet otro rindu, kas reizināta (garīgi) ar –4: 
Trešajai rindai pievienojiet otro rindu, kas reizināta (garīgi) ar 3 (skatieties un skaitiet no apakšas uz augšu):
Mēs ierakstām rezultātu trešajā rindā, izvēršam determinantu ar trešo kolonnu: 
Pieraksti to nav nepieciešams pārkārtot rindas vai kolonnas... Elementāras pārvērtības lieliski darbojas gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso. Gan no augšas uz leju, gan no apakšas uz augšu.
4. uzdevums
Aprēķiniet to pašu determinantu, izvēloties elementu kā “mērķa” skaitli. Samaziniet tās secību divos veidos: iegūstot nulles otrajā rindā un iegūstot nulles otrajā kolonnā.
Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs. Pilnīgs risinājums un īsi komentāri apmācības beigās.
Dažreiz identifikatorā trūkst vienības vai –1, piemēram:. Šajā gadījumā “mērķis” jāorganizē, izmantojot papildu elementāru transformāciju. Visbiežāk to var izdarīt vairākos veidos. Piemēram: pirmajai rindai pievienojiet otro rindu, kas reizināta ar -1: 
Mēs ierakstām rezultātu pirmajā rindā: 
! Uzmanību : NAV VAJADZĪBAS no pirmās rindas atņemt otrajā rindā, tas ievērojami palielina kļūdu iespējamību. Vienkārši saskaitiet! Tāpēc pirmajai rindai pievienojam otro rindu, kas reizināta ar -1. tieši tā!
Vienība ir saņemta, kas arī bija jāpanāk. Tad jūs varat iegūt divas nulles pirmajā rindā vai pirmajā kolonnā. Interesenti var sekot līdzi risinājumam (pareizā atbilde: –176).
Jāņem vērā, ka oriģinālajā determinantā visbiežāk atrodas gatavs “mērķis”, un 4. kārtas un augstāka līmeņa determinantam papildu transformācija ir ārkārtīgi maz ticama.
Sasmalcināsim dažus lielus krupjus gulašā:
Uzdevums
Atrisināt sistēmu lineārie vienādojumi pēc Krāmera formulām 
Tas ir labi, ja jums nav bijis laika iepazīties ar Krāmera metode, šajā gadījumā jūs varat vienkārši redzēt, kā determinanta “četri pa četri” secība samazinās. Un pats noteikums kļūs skaidrs, ja jūs nedaudz iedziļināsities lēmuma pieņemšanas gaitā.
Risinājums: vispirms aprēķiniet galvenais noteicējs sistēmas: 
Ir iespējams iet standarta ceļu, paplašinot šo determinantu pa rindiņām vai kolonnām. Atsaucot atmiņā pirmās nodarbības algoritmu un izmantojot manis izdomāto zīmju matricu, noteicēju atklāsim, piemēram, pēc "klasiskās" pirmās rindas:
Es neredzu jūsu entuziasmu =) Protams, jūs varat sēdēt desmit minūtes un uzmanīgi un uzmanīgi dot pareizo atbildi. Bet problēma ir tā, ka nākotnē ir jāaprēķina vēl 4 ceturtās kārtas noteicēji. Tāpēc vienīgā saprātīgā izeja ir pazemināt noteicēja secību.
Determinantā ir daudz vienību, un mūsu uzdevums ir izvēlēties labākais veids... Mēs atgādinām zelta likumu: rindā (kolonnā) jābūt vairāk nullēm un mazāk skaitļu. Šī iemesla dēļ otrā rinda vai ceturtā kolonna ir piemērota. Ceturtā kolonna izskatās pievilcīgāka, turklāt ir divas vienības. Mēs izvēlamies elementu kā "mērķi": 
Pirmā rinda nemainīsies. Un arī otrais - tur jau ir vajadzīgā nulle: 
Pievienojiet trešajai rindai pirmo rindu, kas reizināta ar -1 (skatieties un skaitiet no apakšas uz augšu):
! Atkal uzmanība : Nav vajadzības no trešās rindas atņemt pirmā līnija. Vienkārši saskaitiet!
Mēs ierakstām rezultātu trešajā rindā: 
Pievienojiet pirmo rindu, kas reizināta ar 3, ceturtajai rindai (skatieties un skaitiet no apakšas uz augšu):
Mēs ierakstām rezultātu ceturtajā rindā: 
(1) Paplašiniet ceturtās kolonnas determinantu. Neaizmirstiet, ka elementam jāpievieno "mīnuss" (skatiet zīmju matricu).
(2) Kvalifikācijas secība tiek pazemināta līdz 3. vietai. Principā to var sadalīt pa rindām (kolonnām), bet labāk ir izstrādāt determinanta īpašības. Otrajai rindai pievienojam mīnusu.
(3) Otrajai rindai pievienojiet pirmo rindu, kas reizināta ar 3. Trešajai rindai pievienojiet pirmo rindu, kas reizināta ar 7.
(4) Paplašiniet determinantu par otro kolonnu, tādējādi vēl vairāk samazinot tā secību līdz divām.
Ievērojiet, kā risinājums ir sarucis! Galvenais ir "mazliet pieķerties" elementārām pārvērtībām, un tāda iespēja radīsies tieši tagad. Turklāt jūsu rīcībā ir kalkulators, kas aprēķina noteicošos faktorus (jo īpaši to var atrast lapā Matemātiskās formulas un tabulas). Ar kalkulatora palīdzību ir viegli kontrolēt veiktās darbības. Dabūja kvalifikāciju 
pirmajā solī - un nekavējoties pārbaudīja, vai tas ir vienāds ar sākotnējo determinantu.
(1) Paplašiniet determinantu par trešo rindiņu. Kvalifikācijas secība ir samazināta līdz trīs.
(2) Pirmajā kolonnā ievadām "mīnusu".
(3) Otrajai rindai pievienojiet pirmo rindu, kas reizināta ar 3. Trešajai rindai pievienojiet pirmo rindu, kas reizināta ar 5.
(4) Paplašiniet determinantu par otro kolonnu, samazinot determinanta secību līdz divām.
Pie mums tas izrādās brīnišķīgi komplekss pusdienas un laiks desertam: 
Tas pat vairs nav krupis, tas ir pats Godzilla. Paņemsim sagatavotu glāzi apelsīnu sulas un paskatīsimies, kā tiek pazemināta noteicēja secība. Algoritms, manuprāt, ir skaidrs: mēs samazinām no piektās kārtas uz ceturto, no ceturtās uz trešo un no trešās uz otro:
(1) Pievienojiet otro rindiņu pirmajai, trešajai, ceturtajai un piektajai rindai.
(2) Paplašiniet 3. kolonnas determinantu. Kvalifikācijas secība ir samazinājusies līdz četrām.
(3) Izņemam no 4. ailes 2. Pirmo rindu reizina ar -1 un, lai determinants nemainītos, tai priekšā liekam "mīnusu". Šī transformācija veic, lai vienkāršotu turpmākos aprēķinus.
(4) Pievienojiet pirmo rindiņu otrajai un trešajai rindai. Pievienojiet ceturtajai rindai pirmo rindu, kas reizināta ar 3.
(5) Paplašiniet 4. kolonnas determinantu. Pasūtījums ir pazemināts līdz trīs.
(6) Paplašiniet 2. kolonnas determinantu. Pasūtījums ir pazemināts līdz diviem.
(7) Mēs izņemam "mīnusu" no 1. kolonnas.
Viss izrādījās vieglāk, nekā šķita, visiem monstriem ir vājās vietas!
Piektās kārtas noteicēju nenogurstošie lasītāji var mēģināt atrisināt citādāk, par laimi, tajā ir tikai daži.
Otrā kolonna tika pievienota pirmajai kolonnai, reizināta ar 2. Otrā kolonna tika pievienota trešajai kolonnai. Kvalifikācija tika paplašināta otrajā līnijā.
Samazināsim determinanta secību, otrajā kolonnā iegūstot nulles:
Otrā rinda, kas reizināta ar –2, tika pievienota pirmajai rindai. Otrā rinda tika pievienota trešajai rindai, reizināta ar 2. Otrajā kolonnā tika atvērta atslēga.
5. uzdevums: Risinājums:
(1) Pievienojiet trešo rindu, kas reizināta ar 3, pirmajai rindai. Pievienojiet trešo rindu, kas reizināta ar 5, pievienojiet otrajai rindai. Pievienojiet trešo rindu, kas reizināta ar 2, 4. rindai.
(2) Paplašiniet determinantu par pirmo kolonnu.
(3) Otrajai kolonnai pievienojiet trešās kolonnas reizinājumus 9. Pirmajai kolonnai pievienojiet trešo kolonnu.
(4) Paplašiniet determinantu par trešo rindiņu.
(1) Pievienojiet otro kolonnu pirmajai kolonnai. Pievienojiet otro kolonnu trešajai kolonnai
(2) Paplašiniet determinantu par trešo rindiņu.
(3) Mēs ievietojam "mīnusu" pirmajā rindā.
(4) Otrajai rindai pievienojiet pirmo rindu, kas reizināta ar 6. Trešajai rindai pievienojiet pirmo rindu
(5) Paplašiniet pirmās kolonnas determinantu.
Vispārīgā gadījumā noteikums $ n $ -tās kārtas determinantu aprēķināšanai ir diezgan apgrūtinošs. Otrās un trešās kārtas determinantiem ir racionāli veidi, kā tos aprēķināt.
Otrās kārtas determinantu aprēķini
Lai aprēķinātu otrās kārtas matricas determinantu, no galvenās diagonāles elementu reizinājuma atņemiet sekundārās diagonāles elementu reizinājumu:
$$ \ atlicis | \ sākums (masīvs) (ll) (a_ (11)) & (a_ (12)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ (12) \ cdot a_ (21) $$
Piemērs
Exercise. Aprēķināt otrās kārtas determinantu $ \ left | \ sākums (masīvs) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ beigas (masīvs) \ pa labi | $
Risinājums.$ \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = 11 \ cdot 5 - (- 2) \ cdot 7 = 55 + 14 = 69 USD
Atbilde.$ \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = 69 $
Trešās kārtas determinantu aprēķināšanas metodes
Trešās kārtas determinantu aprēķināšanai ir šādi noteikumi.
Trijstūra noteikums
Shematiski šo noteikumu var attēlot šādi:
To elementu reizinājums pirmajā determinantā, kurus savieno taisnas līnijas, tiek ņemts ar plus zīmi; līdzīgi otrajam noteicējam atbilstošos reizinājumus ņem ar mīnusa zīmi, t.i.
$$ \ atlicis | \ begin (masīvs) (ccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (a_ (13)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) & (a_ (23)) \\ (a_ (31)) & (a_ (32)) & (a_ (33)) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = a_ (11) a_ (22) a_ (33) + a_ (12) a_ ( 23) a_ (31) + a_ (13) a_ (21) a_ (32) - $ $
$$ - a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) -a_ (13) a_ (22) a_ (31) $$
Piemērs
Exercise. Aprēķināt determinantu $ \ left | \ sākums (masīvs) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ beigas (masīvs) \ right | $, izmantojot trīsstūra metodi.
Risinājums.$ \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = 3 \ cdot 1 \ cdot (-2) +4 \ cdot (-2) \ cdot (-1) + $
$$ + 3 \ cdot 3 \ cdot 1 - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot (-2) \ cdot 3-4 \ cdot 3 \ cdot (-2) = 54 $ $
Atbilde.
Sarrusa valdīšana
Pa labi no determinanta pievieno pirmās divas kolonnas un elementu reizinājumus galvenajā diagonālē un tai paralēlajās diagonālēs ņem ar plus zīmi; un sānu diagonāles un tai paralēlo diagonāļu elementu reizinājumus ar mīnusa zīmi:
$$ - a_ (13) a_ (22) a_ (31) -a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) $$
Piemērs
Exercise. Aprēķināt determinantu $ \ left | \ sākums (masīvs) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ beigas (masīvs) \ right | $, izmantojot Sarrus kārtulu.
Risinājums. 
$$ + (- 1) \ cdot 4 \ cdot (-2) - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot 3 \ cdot (-2) -3 \ cdot 4 \ cdot (-2) = 54 USD
Atbilde.$ \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = 54 USD
Determinanta sadalīšana pēc rindas vai kolonnas
Determinants ir vienāds ar determinanta virknes elementu reizinājumu summu pēc to algebriskajiem papildinājumiem. Parasti atlasiet rindu/kolonnu, kurā ir nulles. Līnija vai kolonna, pa kuru tiek veikta sadalīšana, tiks apzīmēta ar bultiņu.
Piemērs
Exercise. Izvēršot pirmo rindiņu, aprēķiniet determinantu $ \ left | \ sākums (masīvs) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ beigas (masīvs) \ pa labi | $
Risinājums.$ \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ beigas (masīvs) \ pa labi | \ kreisā bultiņa = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) = $
$ 1 \ cdot (-1) ^ (1 + 1) \ cdot \ left | \ sākums (masīvs) (cc) (5) & (6) \\ (8) & (9) \ beigas (masīvs) \ pa labi | +2 \ cdot (-1) ^ (1 + 2) \ cdot \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (cc) (4) & (6) \\ (7) & (9) \ beigas (masīvs) \ pa labi | +3 \ cdot (-1) ^ (1 + 3) \ cdot \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (cc) (4) & (5) \\ (7) & (8) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = -3 + 12-9 = 0 $
Atbilde.
Šī metode ļauj determinanta aprēķinu reducēt līdz zemākas kārtas determinanta aprēķināšanai.
Piemērs
Exercise. Aprēķināt determinantu $ \ left | \ sākums (masīvs) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ beigas (masīvs) \ pa labi | $
Risinājums. Determinanta rindās veiksim šādas transformācijas: no otrās rindas atņemam pirmos četrus, bet no trešās pirmo rindu reizinām ar septiņiem, kā rezultātā pēc determinanta īpašībām iegūstam determinantu, kas vienāds ar dotais.
$$ \ atlicis | \ sākums (masīvs) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = \ pa kreisi | \ begin (masīvs) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4-4 \ cdot 1) & (5-4 \ cdot 2) & (6-4 \ cdot 3) \\ ( 7-7 \ cdot 1) & (8-7 \ cdot 2) & (9-7 \ cdot 3) \ end (masīvs) \ labi | = $ $
$$ = \ pa kreisi | \ begin (masīvs) (rrr) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = \ pa kreisi | \ begin (masīvs) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \ cdot (-3)) & (2 \ cdot (-6)) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = 0 $$
Determinants ir nulle, jo otrā un trešā rinda ir proporcionālas.
Atbilde.$ \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = 0 $
Lai aprēķinātu ceturtās un augstākas kārtas determinantus, tiek izmantota rindas/kolonnas paplašināšana vai samazināšana līdz trīsstūrveida formai, vai arī Laplasa teorēma.
Determinanta sadalīšana pēc rindas vai kolonnas elementiem
Piemērs
Exercise. Aprēķināt determinantu $ \ left | \ begin (masīvs) (llll) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ beigas (masīvs) \ pa labi | $, izvēršot to kādas rindas vai kolonnas elementos.
Risinājums. Vispirms veiksim elementāras transformācijas determinanta rindās, veidojot pēc iespējas vairāk nulles vai nu rindā, vai kolonnā. Lai to izdarītu, vispirms atņemiet deviņas trešdaļas no pirmās rindas, piecas trešdaļas no otrās un trīs trešās rindas no ceturtās, mēs iegūstam:
$$ \ atlicis | \ begin (masīvs) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = \ pa kreisi | \ begin (masīvs) (cccc) (9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = \ pa kreisi | \ begin (masīvs) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ beigas (masīvs) \ pa labi | $$
Iegūtais determinants tiek sadalīts pēc pirmās kolonnas elementiem:
$$ \ atlicis | \ begin (masīvs) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = 0 + 0 + 1 \ cdot (-1) ^ ( 3 + 1) \ cdot \ left | \ begin (masīvs) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ beigas (masīvs) \ pa labi | + 0 $$
Iegūtais trešās kārtas determinants tiek paplašināts arī rindas un kolonnas elementu izteiksmē, iepriekš iegūstot nulles, piemēram, pirmajā kolonnā. Lai to izdarītu, no pirmās rindas atņemiet divas otrās rindas, bet no trešās - otro:
$$ \ atlicis | \ begin (masīvs) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (rrr) (0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8) \ beigas ( masīvs) \ right | = 4 \ cdot (-1) ^ (2 + 2) \ cdot \ left | \ sākums (masīvs) (ll) (2) & (4) \\ (4) & (8) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = $$
$$ = 4 \ cdot (2 \ cdot 8-4 \ cdot 4) = 0 $ $
Atbilde.$ \ pa kreisi | \ begin (masīvs) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = 0 $
komentēt
Pēdējo un priekšpēdējo determinantus nevarēja aprēķināt, bet uzreiz secināja, ka tie ir vienādi ar nulli, jo tajos ir proporcionālas virknes.
Determinanta samazināšana līdz trīsstūra formai
Ar elementāru pārveidojumu palīdzību pa rindām vai kolonnām determinants tiek reducēts līdz trīsstūrveida formai, un pēc tam tā vērtība atbilstoši determinanta īpašībām ir vienāda ar elementu reizinājumu galvenajā diagonālē.
Piemērs
Exercise. Aprēķināt determinantu $ \ Delta = \ left | \ begin (masīvs) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ beigas (masīvs) \ tiesības | $, padarot to trīsstūrveida.
Risinājums. Pirmkārt, mēs izveidojam nulles pirmajā kolonnā zem galvenās diagonāles. Visas transformācijas būs vieglākas, ja elements $ a_ (11) $ ir vienāds ar 1. Lai to izdarītu, mēs apmainīsim determinanta pirmo un otro kolonnu, kas atbilstoši determinanta īpašībām novedīs pie tā, ka ka tas mainīs savu zīmi uz pretējo:
$$ \ Delta = \ left | \ begin (masīvs) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = - \ pa kreisi | \ begin (masīvs) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3) \ beigas (masīvs) \ pa labi | $$
$$ \ Delta = - \ pa kreisi | \ begin (masīvs) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ beigas (masīvs) \ pa labi | $$
Tālāk mēs iegūstam nulles otrajā kolonnā elementu vietā zem galvenās diagonāles. Atkal, ja diagonālais elements ir vienāds ar $ \ pm 1 $, tad aprēķini būs vienkāršāki. Lai to izdarītu, mēs apmainām otro un trešo rindu (un tajā pašā laikā mainām uz pretējo noteicēja zīmi):
$$ \ Delta = \ left | \ begin (masīvs) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ beigas (masīvs) \ pa labi | $$
ĪPAŠĪBA 1. Determinanta vērtība nemainīsies, ja visas tā rindas tiek aizstātas ar kolonnām un katra rinda tiek aizstāta ar kolonnu ar tādu pašu numuru, tas ir,
ĪPAŠĪBA 2. Determinanta divu kolonnu vai divu rindu permutācija ir līdzvērtīga tās reizināšanai ar -1. Piemēram,
.
ĪPAŠĪBA 3. Ja determinantam ir divas identiskas kolonnas vai divas identiskas rindas, tad tas ir vienāds ar nulli.
ĪPAŠĪBA 4. Visu vienas kolonnas vai determinanta rindas elementu reizināšana ar jebkuru skaitli k ir līdzvērtīga determinanta reizināšanai ar šo skaitli k. Piemēram,
.
ĪPAŠĪBA 5. Ja kādas kolonnas vai kādas rindas visi elementi ir vienādi ar nulli, tad pats determinants ir vienāds ar nulli. Šis īpašums ir īpašs gadījums iepriekšējā (ja k = 0).
ĪPAŠĪBA 6. Ja determinanta divu kolonnu vai divu rindu attiecīgie elementi ir proporcionāli, tad determinants ir nulle.
ĪPAŠĪBA 7. Ja katrs determinanta n-tās kolonnas vai n-tās rindas elements ir divu vārdu summa, tad determinantu var attēlot kā divu determinantu summu, no kuriem viens n-tajā kolonnā vai , attiecīgi n-tajā rindā ir pirmais no minētajiem terminiem, bet otrā - otrais; elementi pārējās vietās ir vienādi trīs noteicošo faktoru atskaites punktiem. Piemēram,
ĪPAŠĪBA 8. Ja kādas kolonnas (vai kādas rindas) elementiem pievienosim citas kolonnas (vai citas rindas) atbilstošos elementus, reizinot ar jebkuru kopīgu koeficientu, tad determinanta vērtība nemainīsies. Piemēram,
.
Citas determinantu īpašības ir saistītas ar algebriskā komplementa un minora jēdzienu. Noteikta elementa minors ir determinants, kas iegūts no dotā, izdzēšot rindu un kolonnu, kuru krustpunktā šis elements atrodas.
Jebkura determinanta elementa algebriskais papildinājums ir vienāds ar šī elementa minoritāti, kas ņemta ar savu zīmi, ja rindas un kolonnas, kuras krustpunktā atrodas elements, skaitļu summa ir pāra skaitlis, un ar pretēju zīmi, ja šis skaitlis ir nepāra.
Elementa algebrisko papildinājumu apzīmēsim ar tāda paša nosaukuma lielo burtu un tādu pašu numuru kā burtu, kas apzīmē pašu elementu.
ĪPAŠUMS 9. Noteicošais
ir vienāds ar jebkuras kolonnas (vai rindas) elementu reizinājumu summu pēc to algebriskajiem papildinājumiem.
Citiem vārdiem sakot, pastāv šādas vienādības:
, ,
, .
6) Minorālie un algebriskie papildinājumi.
Definīcija. Determinanta mazais elements ir th pasūtījums tiek saukti noteicējs- th order, kas tiek iegūts no dotā noteicējs izsvītrojot -to rindu un -o kolonnu, kuras krustpunktā atrodas elements.
Apzīmējums:.
Definīcija. Kārtības determinanta elementa algebrisko papildinājumu sauc par tā minoritāti, ko pieņem ar plus zīmi, ja tas ir pāra skaitlis, un ar mīnusa zīmi citādi.
Apzīmējums:.
Teorēma. (Par determinanta paplašināšanu.)
Determinants ir vienāds ar jebkuras determinanta rindas (vai jebkuras kolonnas) elementu reizinājumu summu pēc to algebriskajiem papildinājumiem:
7) Apgrieztā matrica- tāds matrica A −1 , reizinot ar kuru, sākotnējā matrica A rezultātus identitātes matrica E:
Kvadrātveida matrica ir atgriezenisks tad un tikai tad, ja tas nav deģenerēts, tas ir, tā noteicējs nav nulle. Nekvadrātveida matricām un deģenerētas matricas nav apgrieztu matricu. Tomēr ir iespējams šo jēdzienu vispārināt un ieviest pseidoinversās matricas, daudzās īpašībās līdzīgs apgrieztajam.
8)Matricas rangs- augstākais no pasūtījumiem nepilngadīgie no šīs nulles matricas
Parasti matricas rangs tiek apzīmēts ar () vai. Abi apzīmējumi pie mums nonākuši no svešvalodām, tāpēc lietojami abi.
Īpašības
Teorēma (par pamata minoru): Lai r = rang A M ir matricas A pamata minors, tad:
bāzes rindas un bāzes kolonnas ir lineāri neatkarīgas;
jebkura matricas A rinda (kolonna) ir pamata rindu (kolonnu) lineāra kombinācija.
Šeit ir norādītas īpašības, kuras parasti izmanto, lai aprēķinātu determinantus standarta augstākās matemātikas kursā. Šī ir papildu tēma, uz kuru mēs atsauksimies no pārējām sadaļām pēc vajadzības.
Tātad, lai noteikta kvadrātveida matrica $ A_ (n \ reizes n) = \ pa kreisi (\ sākas (masīvs) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ lpunkti & a_ (2n) \\ \ lpunkti & \ lpunkti & \ lpunkti & \ lpunkti \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ lpunkti & a_ (nn) \\ \ beigas ( masīvs) \ pa labi) $. Katrai kvadrātveida matricai ir raksturlielums, ko sauc par determinantu (vai determinantu). Es šeit neiedziļināšos šīs koncepcijas būtībā. Ja tas prasa paskaidrojumus, es lūdzu jūs par to anulēties forumā, un es pieskaršos šo jautājumu sīkāk.
Matricas $ A $ determinants tiek apzīmēts kā $ \ Delta A $, $ | A | $ vai $ \ det A $. Noteicošā secība ir vienāds ar rindu (kolonnu) skaitu tajā.
- Determinanta vērtība nemainīsies, ja tā rindas tiks aizstātas ar atbilstošajām kolonnām, t.i. $ \ Delta A = \ Delta A ^ T $.
parādīt \ paslēpt
Aizstāsim tajā esošās rindas ar kolonnām pēc principa: "bija pirmā rinda - pirmā kolonna kļuva", "bija otrā rinda - otrā kolonna kļuva":
Aprēķināsim iegūto determinantu: $ \ left | \ sākums (masīvs) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \ end (masīvs) \ pa labi | = 2 \ cdot 4-9 \ cdot 5 = -37 $. Kā redzat, determinanta vērtība no aizstāšanas nav mainījusies.
- Ja apmainīsiet divas determinanta rindas (kolonnas), tad determinanta zīme mainīsies uz pretējo.
Šī rekvizīta izmantošanas piemērs: parādīt \ slēpt
Apsveriet determinantu $ \ left | \ sākums (masīvs) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ end (masīvs) \ pa labi | $. Atradīsim tā vērtību, izmantojot formulu # 1 no tēmas par otrās un trešās kārtas determinantu aprēķināšanu:
$$ \ atlicis | \ sākums (masīvs) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ end (masīvs) \ pa labi | = 2 \ cdot 4-5 \ cdot 9 = -37. $$
Tagad apmainīsim pirmo un otro rindu. Mēs iegūstam determinantu $ \ left | \ sākums (masīvs) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (masīvs) \ pa labi | $. Aprēķināsim iegūto determinantu: $ \ left | \ sākums (masīvs) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (masīvs) \ pa labi | = 9 \ cdot 5-4 \ cdot 2 = 37 $. Tātad sākotnējā determinanta vērtība bija (-37), un determinantam ar mainītu rindu secību ir vērtība $ - (- 37) = 37 $. Identifikatora zīme ir mainīta uz pretējo.
- Determinants, kurā visi rindas (kolonnas) elementi ir vienādi ar nulli, ir vienāds ar nulli.
Šī rekvizīta izmantošanas piemērs: parādīt \ slēpt
Tā kā determinantā $ \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ end (masīvs) \ right | $ visi trešās kolonnas elementi ir vienādi ar nulli, tad determinants ir vienāds ar nulli , t.i. $ \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ beigas (masīvs) \ pa labi | = 0 $.
- Determinants, kurā visi noteiktas rindas (kolonnas) elementi ir vienādi ar citas rindas (kolonnas) atbilstošajiem elementiem, ir vienāds ar nulli.
Šī rekvizīta izmantošanas piemērs: parādīt \ slēpt
Tā kā determinantā $ \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ end (masīvs) \ right | $ visi pirmās rindas elementi ir vienādi ar atbilstošo otrās rindas elementi, tad determinants ir nulle, t.i. $ \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ beigas (masīvs) \ pa labi | = 0 $.
- Ja determinantā visi vienas rindas (kolonnas) elementi ir proporcionāli citas rindas (kolonnas) atbilstošajiem elementiem, tad šāds determinants ir vienāds ar nulli.
Šī rekvizīta izmantošanas piemērs: parādīt \ slēpt
Tā kā determinantā $ \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ beigas (masīvs) \ pa labi | $ otrā un trešā rinda ir proporcionāla, t.i. $ r_3 = -3 \ cdot (r_2) $, tad determinants ir nulle, t.i. $ \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ beigas (masīvs) \ pa labi | = 0 $.
- Ja visiem rindas (kolonnas) elementiem ir kopīgs faktors, tad šo faktoru var izņemt no determinanta zīmes.
Šī rekvizīta izmantošanas piemērs: parādīt \ slēpt
Apsveriet determinantu $ \ left | \ sākums (masīvs) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ beigas (masīvs) \ pa labi | $. Ievērojiet, ka visi otrās rindas elementi dalās ar 3:
$$ \ atlicis | \ begin (masīvs) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ end (masīvs) \ right | = \ left | \ sākums (masīvs) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (masīvs) \ pa labi | $$
Skaitlis 3 ir visu otrās rindas elementu kopējais faktors. Noteicošajai zīmei izņemsim trīs:
$$ \ atlicis | \ begin (masīvs) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ end (masīvs) \ right | = \ left | \ sākums (masīvs) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (masīvs) \ right | = 3 \ cdot \ left | \ sākums (masīvs) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \ beigas (masīvs) \ tiesības | $$
- Determinants nemainīsies, ja visiem noteiktas rindas (kolonnas) elementiem pievienosim atbilstošos citas rindas (kolonnas) elementus, kas reizināti ar patvaļīgu skaitli.
Šī rekvizīta izmantošanas piemērs: parādīt \ slēpt
Apsveriet determinantu $ \ left | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ beigas (masīvs) \ pa labi | $. Otrās rindas elementiem pievienosim atbilstošos trešās rindas elementus, kas reizināti ar 5. Šo darbību raksta šādi: $ r_2 + 5 \ cdot (r_3) $. Otrā rinda tiks mainīta, pārējās rindas paliks nemainīgas.
$$ \ atlicis | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ beigas (masīvs) \ pa labi | \ sākums (masīvs) (l) \ fantoms (0) \\ r_2 + 5 \ cdot (r_3) \\ \ fantoms (0) \ beigas (masīvs) = \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 + 5 \ cdot 2 & 21 + 5 \ cdot (-3) & 4 + 5 \ cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \ end (masīvs) \ right | = \ left | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \ end (masīvs) \ pa labi |. $$
- Ja noteiktā determinanta rindā (kolonnā) ir citu rindu (kolonnu) lineāra kombinācija, tad determinants ir vienāds ar nulli.
Šī rekvizīta izmantošanas piemērs: parādīt \ slēpt
Ļaujiet man uzreiz paskaidrot, ko nozīmē frāze "lineāra kombinācija". Pieņemsim, ka mums ir s rindas (vai kolonnas): $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $. Izteiksme
$$ k_1 \ cdot A_1 + k_2 \ cdot A_2 + \ ldots + k_s \ cdot A_s, $$
kur $ k_i \ R $ sauc par lineāru rindu (kolonnu) kombināciju $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $.
Piemēram, apsveriet šādu noteicošo faktoru:
$$ \ atlicis | \ begin (masīvs) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0 \\ -2 & -4 & -5 & 1 \\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \ beigas (masīvs) \ pa labi | $$
Šajā kvalifikācijā ceturto rindu var izteikt kā pirmo trīs rindu lineāru kombināciju:
$$ r_4 = 2 \ cdot (r_1) +3 \ cdot (r_2) -r_3 $$
Tāpēc aplūkojamais determinants ir vienāds ar nulli.
- Ja katrs noteiktas determinanta k-tās rindas (k-tās kolonnas) elements ir vienāds ar divu terminu summu, tad šāds determinants ir vienāds ar determinantu summu, no kuriem pirmais kth rindā ( kth kolonna). Citi šo kvalifikāciju elementi ir vienādi.
Šī rekvizīta izmantošanas piemērs: parādīt \ slēpt
Apsveriet determinantu $ \ left | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ beigas (masīvs) \ pa labi | $. Rakstīsim otrās kolonnas elementus šādi: $ \ left | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ end (masīvs) \ labi | $. Tad šāds determinants ir vienāds ar divu determinantu summu:
$$ \ atlicis | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (masīvs) \ right | = \ left | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ end (masīvs) \ right | = \ left | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 3 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \ end (masīvs) \ right | + \ left | \ sākums (masīvs) (ccc) -7 & 7 & 0 \\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \ beigas (masīvs) \ pa labi | $$
- Divu vienādas kārtas kvadrātmatricu reizinājuma determinants ir vienāds ar šo matricu determinantu reizinājumu, t.i. $ \ det (A \ cdot B) = \ det A \ cdot \ det B $. No šī noteikuma var iegūt šādu formulu: $ \ det \ left (A ^ n \ right) = \ left (\ det A \ right) ^ n $.
- Ja matrica $ A $ nav deģenerēta (t.i., tās determinants nav nulle), tad $ \ det \ left (A ^ (- 1) \ right) = \ frac (1) (\ det A) $.
Formulas determinantu aprēķināšanai
Otrās un trešās kārtas determinantiem ir derīgas šādas formulas:
\ begin (vienādojums) \ Delta A = \ left | \ sākums (masīvs) (cc) a_ (11) & a_ (12) \\ a_ (21) & a_ (22) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ ( 12) \ cdot a_ (21) \ beigas (vienādojums) \ sākums (vienādojums) \ sākums (līdzināts) & \ Delta A = \ pa kreisi | \ begin (masīvs) (ccc) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) \\ a_ (21) & a_ (22) & a_ (23) \\ a_ (31) & a_ (32) & a_ (33) \ beigas (masīvs) \ pa labi | = a_ (11) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (33) + a_ (12) \ cdot a_ (23) \ cdot a_ (31) + a_ (21) ) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (13) - \\ & -a_ (13) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (31) -a_ (12) \ cdot a_ (21) \ cdot a_ (33) ) -a_ (23) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (11) \ beigas (līdzināts) \ beigas (vienādojums)
Formulu (1) un (2) izmantošanas piemēri ir tēmā "Otrās un trešās kārtas determinantu aprēķināšanas formulas. Determinantu aprēķināšanas piemēri".
Matricas $ A_ determinantu (n \ reiz n) $ var paplašināt izteiksmē i-tā rinda izmantojot šādu formulu:
\ sākums (vienādojums) \ Delta A = \ summa \ limits_ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (i1) A_ (i1) + a_ (i2) A_ (i2) + \ ldots + a_ (in) A_ (in) \ end (vienādojums)
Šīs formulas analogs pastāv arī kolonnām. Formula determinanta paplašināšanai j-tajā kolonnā ir šāda:
\ sākums (vienādojums) \ Delta A = \ summa \ limits_ (i = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (1j) A_ (1j) + a_ (2j) A_ (2j) + \ ldots + a_ (nj) A_ (nj) \ beigas (vienādojums)
Ar (3) un (4) formulām izteiktie noteikumi ir detalizēti ilustrēti ar piemēriem un izskaidroti tēmā Determinanta secības samazināšana. Determinanta sadalīšana pēc rindas (kolonnas).
Norādīsim vēl vienu formulu augšējās trīsstūra un apakšējās trīsstūra matricas determinantu aprēķināšanai (šo terminu skaidrojumu skatīt tēmā "Matricas. Matricu veidi. Pamattermini"). Šādas matricas determinants ir vienāds ar elementu reizinājumu galvenajā diagonālē. Piemēri:
\ sākt (līdzināt) & \ pa kreisi | \ sākums (masīvs) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \ end (masīvs) \ pa labi | = 2 \ cdot 9 \ cdot 4 \ cdot (-6) = - 432. \\ & \ left | \ sākums (masīvs) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \ beigas (masīvs) \ pa labi | = -3 \ cdot 0 \ cdot 1 \ cdot 10 = 0. \ beigas (līdzināts)
