Nosacītā ekstrumum noteikšanas metode sākas ar Lagrange palīgfunkcijas būvniecību, kas pieļaujamo risinājumu jomā sasniedz maksimumu vienādām mainīgo vērtībām x. 1 , X. 2 ..., x n. ka mērķa funkcija z. . Ļaujiet to atrisināt ar problēmu, lai noteiktu nosacīto ekstrēmuma funkciju z \u003d f (x) Ar ierobežojumiem φ i. ( x. 1 , x. 2 , ..., x. n. ) = 0, i. = 1, 2, ..., m. , m. < n.

Veikt funkciju

ko sauc lagrange funkcija. X. - pastāvīgi reizinātāji ( lagrange reizinātāji). Ņemiet vērā, ka Lagrange reizinātājiem var dot ekonomisku nozīmi. Ja f (X. 1 , X. 2 ..., x n. ) - ienākumi, kas atbilst plānam X \u003d (x 1 , X. 2 ..., x n. ) un funkcija φ i. (X. 1 , X. 2 ..., x n. ) - I-th resursu izmaksas, kas atbilst šim plānam, \\ t X. - I-th resursa cenu (aprēķins), kas raksturo mērķa funkcijas galējā vērtības izmaiņas atkarībā no I-resursa maiņas (marginālais novērtējums). L (x) - funkcija n + m. mainīgie (X. 1 , X. 2 ..., x n. , λ 1 , λ 2 , ..., λ n. ) . Šīs funkcijas stacionāro punktu definīcija noved pie vienādojumu sistēmas risinājuma

To ir viegli redzēt . Tādējādi uzdevums atrast nosacīto ekstrēmuma funkciju z \u003d f (x) Tas nāk uz leju, lai atrastu vietējo ekstrēms funkciju L (x) . Ja ir atrasts stacionārais punkts, jautājums par ekstrēmuma esamību vienkāršākajos gadījumos tiek atrisināta, pamatojoties uz pietiekamiem ekstrēmuma apstākļiem - otrā diferenciālā pazīmes izpēte d. 2 L (x) stacionārā brīdī, ar nosacījumu, ka mainīgais solis Δx. i. - saistītie rādītāji

iegūst, diferencējot sakaru vienādojumus.

Nelineāro vienādojumu sistēmas risinājums ar diviem nezināmiem, izmantojot risinājumu

Uzstādīšana Meklēt risinājumus Ļauj atrast nelineāro vienādojumu sistēmas risinājumu ar diviem nezināmiem:

kur
- Nelineārā funkcija no mainīgajiem lielumiem x. un y. ,
- patvaļīga konstante.

Ir zināms, ka pāris ( x. , y. Tas ir risinājums sistēmas vienādojumu (10), ja un tikai tad, ja tas ir šāda vienādojuma risinājums ar diviem nezināmiem:

Nootra puse, sistēmas šķīdums (10) ir divu līkņu krustošanās punkti: f. ] (x., y.) = C. un f. 2 (x, y) \u003d ar 2 uz virsmas BūdaY..

No tā izriet, ka sistēmas sakņu meklēšanas metode. Nelineārie vienādojumi:

Noteikt (vismaz aptuveni) intervālu risinājuma sistēmas vienādojumu (10) vai vienādojumu (11). Šeit ir nepieciešams ņemt vērā sistēmā iekļauto vienādojumu veidu, katras vienādojumu noteikšanas joma utt. Dažreiz dažreiz tiek izmantota risinājuma sākotnējās tuvināšanas izvēle;

Protablish šķīdums vienādojumu (11) ar mainīgajiem X un Y uz izvēlētajā intervālā vai veidot funkcijas grafiki f. 1 (x., y.) = C, I. f. 2 (x, y) \u003d ar 2 (Sistēma (10)).

Atrodiet iespējamās vienādojumu sistēmas saknes - lai atrastu vairākas minimālās vērtības no tabulas līdz vienādojuma sakņu tabulai (11) vienādojuma saknes vai jānosaka sistēmā iekļauto līkņu krustpunkti (10).

4. Atrast saknes vienādojumu sistēmas (10) ar virsbūvi Meklēšanas risinājumi.

Matemātisko programmēšanas uzdevumu klasifikācija

Programmēšana

Nelineāro problēmu risināšanas metodes

Kontrolējiet jautājumus 4. sadaļā

Transporta problēmu risināšanas shēma

Mēs uzskaitām transporta uzdevuma risinājuma galvenos posmus.

1. Pārbaudiet skapja stāvokli. Ja uzdevums ir atvērts, transporta tabulu papildina fiktīvas patēriņa punkta vai fiktīva piegādātāja virkne vai kolonna.

2. Izveidojiet atsauces plānu.

3. Pārbaudiet atbalsta plānu ne-mgeneities. Ja nepietiek, lai izpildītu nenozīmīgu stāvokli, viena no transporta tabulas šūnām ir piepildīta ar nulli. Ja nepieciešams, ir pieļaujams ierakstīt nulles piegādes vairākās šūnās.

4. Plāns ir pārbaudīts optimālumam.

5. Ja optimitātes apstākļi netiek veikti, dodieties uz nākamo plānu, pārdalot piegādes. Skaitļošanas process tiek atkārtots, līdz tiek iegūts optimālais plāns.

1. Kāda ir mērķa funkcijas nozīme transporta uzdevuma matemātiskajā modelī?

2. Kā ir nozīme ierobežojumu matemātiskajā modelī transporta uzdevumu?

3. Vai ir iespējams piemērot iespējamo metodi, lai atrisinātu atvērtu (atvērtu) transporta uzdevumu?

4. Kādas izmaiņas ir jāveic sākotnējā transporta tabulā, lai uzdevumu varētu atrisināt ar iespējamo metodi?

5.Kas ir minimālās elementu metodes būtība? Kāds ir šīs metodes izmantošanas rezultātā tiks veikts transporta uzdevuma risināšanas solis?

6. Kā noskaidrot, vai plāns ir optimāls?

7. Kādā gadījumā un kā ir nepieciešams veikt sūtījumu pārdali transporta ziņā?

8. pieņemsim, ka konstruēts transporta plāns ir deģenerēts. Vai ir iespējams turpināt problēmu risinājumu ar potenciālu metodi un ko man darīt?

Kopējais matemātiskās programmēšanas uzdevums tika formulēts 1.1. Iedaļā. Atkarībā no modelī iekļauto funkciju veida (1.1.) - (1.3. Punkts) uzdevums ir saistīts ar vienu vai citu matemātiskās programmēšanas veidu. Lineārā programmēšana (visas funnear funkcijas), vesels skaitlis (šķīdums atspoguļo veselus skaitļus), kvadrātatisks (mērķa funkcija ir kvadrātgani forma), nelineāra (vismaz viena no nelineārās) un stohastiskās programmēšanas funkcijām (parametriem, kuriem ir varbūtības rakstura parametri) iekļauts).

Nelineārās programmēšanas uzdevumu klase ir plašāka nekā klases lineārie modeļi. Piemēram, ražošanas izmaksas vairumā gadījumu nav proporcionālas jautājuma apjomam, un ir atkarīga no tā, ir nelineāra, ienākumi no ražošanas produktu pārdošanas izrādās nelineāra cenu funkcija utt. Par optimālu plānošanas uzdevumu kritēriji bieži kalpo kā maksimālā peļņa, minimālas izmaksas, minimālās kapitāla izmaksas. Kā mainīgie lielumi, dažādu veidu produktu ražošanas apjoms. Ierobežojumi ietver ražošanas funkcijas, kas raksturo attiecības starp produktu ražošanu un darba un materiālo resursu izmaksām, apjoms ir ierobežots.

Atšķirībā no lineārās programmēšanas, kas izmanto universālu risinājumu metodi (Simplex-metode), ir virkne metožu, lai atrisinātu nelineārus uzdevumus, atkarībā no formas funkciju iekļauti modelī. No visa dažādu metožu mēs apsvērsim tikai divas: Lagrange metode un dinamiskās programmēšanas metode.

Nolagrange metodes josta sastāv no nosacījuma ekstrēmuma uzdevuma, lai atrisinātu beznosacījumu ekstrēmijas problēmu. Apsveriet nelineārās programmēšanas modeli:

(5.2)

kur - slavenas funkcijas,

bet - noteiktie koeficienti.

Jāatzīmē, ka šajā preparātā problēmas ierobežojumiem tiek piešķirtas vienlīdzības, nav nekādu nosacījumu nemainīgumu mainīgo lielumu. Turklāt mēs uzskatām, ka tās funkcijas Nepārtraukti ar saviem pirmajiem privātajiem atvasinājumiem.

Mēs pārveidojam nosacījumus (5.2), lai kreisajā vai labajā daļā vienlīdzīgi bija nulle:

(5.3)

Veiciet Lagrange funkciju. Tas ietver mērķa funkciju (5.1) un pareizās ierobežojumu daļas (5.3.), Attiecīgi ņemti attiecīgi ar koeficientiem . Lagrange koeficienti būs tik daudz kā ierobežojumi uzdevumā.

Extremum punktu funkcijas (5.4) ir oriģinālās problēmas ekstrēmum punkti un otrādi: Optimālais problēmas plāns (5.1.) - (5.2) ir Lagrange funkcijas globālā ekstrēmuma punkts.

Patiešām, ļaujiet risinājums atrasts Uzdevumi (5.1) - (5.2), tad nosacījumi (5.3) ir izpildīti. Aizstājējs Funkcijā (5.4.) Un pārliecinieties, ka vienlīdzības vienlīdzība (5.5).

Tādējādi, lai atrastu optimālo plānu avota uzdevumu, tas ir nepieciešams, lai izmeklētu Lagrange funkciju uz ekstrēmu. Funkcijai ir ārkārtējas vērtības punktos, kur tās privātie atvasinājumi ir vienādi nulle. Šādi punkti tiek saukti stacionārs.

Noteikt privātus atvasinājumus (5.4)

,

.

Pēc pielīdzināšanas nulleatvasinātie finanšu instrumenti Mēs saņemam sistēmu m + n.vienādojumi S. m + n.nezināms

, (5.6)

Kopumā sistēmai (5.6.) - (5.7) būs vairāki risinājumi, kuros būs vairāki Lagrange funkcijas maksimāli un minimumi. Lai izceltu globālo maksimālo vai minimālo punktu, visos punktos, aprēķināt mērķa funkcijas vērtības. Vislielākā no šīm vērtībām būs globāla maksimums, un mazākais ir globāls minimums. Dažos gadījumos izrādās iespējamais lietojums pietiekams nosacījums stingram ekstrēmumam Nepārtrauktas funkcijas (sk. Uzdevumu zem 5.2):

Ļaujiet funkcijai nepārtraukti un divreiz atšķirties dažās tās stacionārā punkta apkārtnē (I.E)). Tad:

bet) ja ,(5.8)

tas ir stingras maksimālās funkcijas punkts;

b) ja ,(5.9)

Tas ir punkts stingra minimālā funkcija;

g. ) ja ,

Jautājums par ekstrēmuma klātbūtni paliek atvērta.

Turklāt daži sistēmas risinājumi (5.6) - (5.7) var būt negatīvi. Kas neatbilst mainīgo lielumu ekonomiskajai nozīmei. Šādā gadījumā būtu jāanalizē iespēja nomainīt nulles negatīvās vērtības.

Lagrange reizinātāju ekonomiskā nozīme.Reizinātāja optimālā vērtība parāda, cik lielā mērā kritērija vērtība Z.ar resursu pieaugumu vai samazināšanos j. viena vienība kopš

Lagrange metodi var piemērot gadījumā, ja ierobežojumi ir nevienlīdzība. Tātad, atrast ekstrēmu funkciju apstākļos

,

veikt vairākos posmos:

1. Noteikt stacionārus mērķa funkcijas punktus, par kuriem vienādojumu sistēma atrisināt

.

2. No stacionāriem punktiem izvēlas tās koordinātas, kas atbilst nosacījumiem

3. Lagrange metode atrisina uzdevumu ar vienlīdzības ierobežojumiem (5.1.) - (5.2).

4. Izpētiet globālo maksimālo punktu, kas atrodams otrajā un trešajā posmā: salīdziniet mērķa funkcijas vērtības šajos punktos - vislielākā vērtība atbilst optimālajam plānam.

5.1. Uzdevums. Risinot Lagrange metodi, 1.3. Uzdevums, kas apspriests pirmajā sadaļā. Optimālo ūdens resursu sadalījumu apraksta matemātiskais modelis

.

Veikt Lagrange funkciju

Atrodiet šīs funkcijas beznosacījumu maksimumu. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām privātos atvasinājumus un pielīdzināmi nullei

,

Tādējādi viņi saņēma formas lineāro vienādojumu sistēmu

Vienādojumu sistēmas risinājums ir optimāls ūdens resursu izplatīšanas plāns apūdeņotās teritorijās.

Vērtības tiek mērītas simtiem tūkstošu kubikmetru. - neto ienākumu apjoms simt tūkstošiem kubikmetru apūdeņošanas ūdens. Līdz ar to 1 m 3 apūdeņošanas ūdens robežvērtība ir vienāda ar den. vienības.

Maksimālais papildu tīro apūdeņošanas ienākumi būs

160 · 12.26 2 + 7600 · 12.26-130 · 8.55 2 + 5900 · 8.55-10 · 16,19 2 + 4000 · 16,19 \u003d

172391.02 (Den. Vienības)

5.2. Uzdevums.Atrisināt nelineārās programmēšanas problēmu

Ierobežojumi tiks iesniegti kā:

.

Mēs izveidosim Lagrange funkciju, un mēs definējam tās privātos atvasinājumus

.

Lai noteiktu Lagrange funkcijas stacionāros punktus, tam jābūt vienādam ar tās privāto atvasinājumu nulli. Tā rezultātā mēs iegūstam vienādojumu sistēmu

Nolagrange metodes josta sastāv no nosacījuma ekstrēmuma uzdevuma, lai atrisinātu beznosacījumu ekstrēmijas problēmu. Apsveriet nelineārās programmēšanas modeli:

(5.2)

kur
- slavenās funkcijas,

bet
- noteiktie koeficienti.

Jāatzīmē, ka šajā preparātā problēmas ierobežojumiem tiek piešķirtas vienlīdzības, nav nekādu nosacījumu nemainīgumu mainīgo lielumu. Turklāt mēs uzskatām, ka tās funkcijas
nepārtraukti ar saviem pirmajiem privātajiem atvasinājumiem.

Mēs pārveidojam nosacījumus (5.2), lai kreisajā vai labajā daļā vienlīdzīgi bija nulle:

(5.3)

Veiciet Lagrange funkciju. Tas ietver mērķa funkciju (5.1) un pareizās ierobežojumu daļas (5.3.), Attiecīgi ņemti attiecīgi ar koeficientiem
. Lagrange koeficienti būs tik daudz kā ierobežojumi uzdevumā.

Extremum punktu funkcijas (5.4) ir oriģinālās problēmas ekstrēmum punkti un otrādi: Optimālais problēmas plāns (5.1.) - (5.2) ir Lagrange funkcijas globālā ekstrēmuma punkts.

Patiešām, ļaujiet risinājums atrasts
uzdevumi (5.1) - (5.2), tad nosacījumi (5.3) ir izpildīti. Aizstājējs
funkcijā (5.4.) Un pārliecinieties, ka vienlīdzības vienlīdzība (5.5).

Tādējādi, lai atrastu optimālo plānu avota uzdevumu, tas ir nepieciešams, lai izmeklētu Lagrange funkciju uz ekstrēmu. Funkcijai ir ārkārtējas vērtības punktos, kur tās privātie atvasinājumi ir vienādi nulle. Šādi punkti tiek saukti stacionārs.

Noteikt privātus atvasinājumus (5.4)

,

.

Pēc pielīdzināšanas nulleatvasinātie finanšu instrumenti Mēs saņemam sistēmu m + n.vienādojumi S. m + n.nezināms

,(5.6)

Kopumā sistēmai (5.6.) - (5.7) būs vairāki risinājumi, kuros būs vairāki Lagrange funkcijas maksimāli un minimumi. Lai izceltu globālo maksimālo vai minimālo punktu, visos punktos, aprēķināt mērķa funkcijas vērtības. Vislielākā no šīm vērtībām būs globāla maksimums, un mazākais ir globāls minimums. Dažos gadījumos izrādās izmantot pietiekams nosacījums stingram ekstrēmumamnepārtrauktas funkcijas (sk. Uzdevumu zem 5.2):

Ļaujiet funkcijai
nepārtraukta un divreiz atšķirīga dažās tās stacionārā punkta apkārtnē (tie.
).)). Tad:

bet ) ja
, (5.8)

tas - stingras maksimālās funkcijas punkts
;

b) ja
, (5.9)

tas - Stingra minimālās funkcijas punkts
;

g. ) ja
,

Jautājums par ekstrēmuma klātbūtni paliek atvērta.

Turklāt daži sistēmas risinājumi (5.6) - (5.7) var būt negatīvi. Kas neatbilst mainīgo lielumu ekonomiskajai nozīmei. Šādā gadījumā būtu jāanalizē iespēja nomainīt nulles negatīvās vērtības.

Lagrange reizinātāju ekonomiskā nozīme.Reizinātāja optimālā vērtība
parāda, cik lielā mērā kritērija vērtība Z. ar resursu pieaugumu vai samazināšanos j.viena vienība kopš

Lagrange metodi var piemērot gadījumā, ja ierobežojumi ir nevienlīdzība. Tātad, atrast ekstrēmu funkciju
apstākļos

,

veikt vairākos posmos:

1. Noteikt stacionārus mērķa funkcijas punktus, par kuriem vienādojumu sistēma atrisināt

.

2. No stacionāriem punktiem izvēlas tās koordinātas, kas atbilst nosacījumiem

3. Lagrange metode atrisina uzdevumu ar vienlīdzības ierobežojumiem (5.1.) - (5.2).

4. Izpētiet globālo maksimālo punktu, kas atrodams otrajā un trešajā posmā: salīdziniet mērķa funkcijas vērtības šajos punktos - vislielākā vērtība atbilst optimālajam plānam.

5.1. Uzdevums.Risinot Lagrange metodi, 1.3. Uzdevums, kas apspriests pirmajā sadaļā. Optimālo ūdens resursu sadalījumu apraksta matemātiskais modelis

.

Veikt Lagrange funkciju

Atrodiet šīs funkcijas beznosacījumu maksimumu. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām privātos atvasinājumus un pielīdzināmi nullei

,

Tādējādi viņi saņēma formas lineāro vienādojumu sistēmu

Vienādojumu sistēmas risinājums ir optimāls ūdens resursu izplatīšanas plāns apūdeņotās teritorijās.

, .

Vērtības
mēra simtiem tūkstošu kubikmetru.
- neto ienākumu apjoms simt tūkstošiem kubikmetru apūdeņošanas ūdens. Līdz ar to 1 m 3 apūdeņošanas ūdens robežvērtība ir vienāda ar
den. vienības.

Maksimālais papildu tīro apūdeņošanas ienākumi būs

160 · 12.26 2 + 7600 · 12.26-130 · 8.55 2 + 5900 · 8.55-10 · 16,19 2 + 4000 · 16,19 \u003d

172391.02 (Den. Vienības)

5.2. Uzdevums.Atrisināt nelineārās programmēšanas problēmu

Ierobežojumi tiks iesniegti kā:

.

Mēs izveidosim Lagrange funkciju, un mēs definējam tās privātos atvasinājumus

.

Lai noteiktu Lagrange funkcijas stacionāros punktus, tam jābūt vienādam ar tās privāto atvasinājumu nulli. Tā rezultātā mēs iegūstam vienādojumu sistēmu

.

No pirmā vienādojuma seko

. (5.10)

Izteiksme aizvieto otro vienādojumu

,

kur ir divi risinājumi :

un
. (5.11)

Šo risinājumu aizvietošana trešajā vienādojumā, mēs saņemam

,
.

Lagrange reizinātāju vērtības un nezināms aprēķināt ar izteiksmēm (5.10) - (5.11):

,
,
,
.

Tādējādi mēs saņēmām divus ekstrēmuma punktus:

;
.

Lai uzzinātu, vai datu punkti ir maksimāli vai minimālie punkti, mēs izmantojam pietiekamus stingras ekstrēmuma apstākļus (5.8.) - (5.9.). Iepriekš izteiksme iegūst no matemātiskā modeļa aizvietošanas līdz mērķa funkcijai

,

. (5.12)

Lai pārbaudītu stingras ekstrēmuma nosacījumus, jānosaka otrās atvasinātās sistēmas funkcijas pazīme (5.11), kas atrodas mūsu atrastajos ekstremālajos punktos.
un
.

,
;

.

Pa šo ceļu, (·)
ir minimālais sākotnējais uzdevums (
), bet (·)
- Max punkts.

Optimāls plāns:

,
,
,

.

• Apmācība

Laba diena visiem. Šajā rakstā es vēlos parādīt vienu no grafiskās metodes Ēka matemātiskie modeļi Dinamiskās sistēmas, ko sauc par Obligāciju diagramma ("Bond" - komunikācija, "grafiks" - skaits). Krievu literatūrā šīs metodes apraksti, es atklāju tikai Tomskas Polytechnic universitātes mācību palīdzību, A.V. Voronin "Modeling Mechatronic Systems" 2008 arī parāda klasisko metodi caur Lagrange vienādojumu 2.

Lagrange metode

Es nedzenšu teoriju, es parādīšu aprēķinu posmus un ar maziem komentāriem. Personīgi es jūtos vieglāk mācīties no piemēriem nekā 10 reizes lasīt teoriju. Kā man šķita, ka krievu literatūrā, šīs metodes skaidrojums, un patiešām matemātika vai fizika ir ļoti piesātināta ar sarežģītām formulām, kas attiecīgi prasa nopietnu matemātisku fonu. Pētījumā par Lagrange metodi (es pētīju Turīnas Politehniskajā universitātē, Itālijā), es studēju krievu literatūru salīdzināt aprēķinu metodes, un man bija grūti uzraudzīt šīs metodes lēmumu. Pat atceroties simulācijas kursus Kharkov Aviācijas institūtā, šādu metožu secinājums bija ļoti apgrūtinoša, un neviens nav bijis grūti mēģināt saprast šo jautājumu. Tas, es nolēmu rakstīt to, metodes, lai veidotu Matwork modeļus par Lagrange, kā izrādījās, ka tas nav grūti, tas ir pietiekami zināt, kā skaitīt laika atvasinājumus un privātos atvasinājumus. Modeļiem rotācijas matricas arī pievieno grūtāk, bet tiem nav nekas sarežģīts.

Modelēšanas metožu iezīmes:

• Newton Eilera: Vector vienādojumi, kuru pamatā ir dinamisks līdzsvars Spēks (spēks) un brīži (momenti)
• Lagrange.: Scalar vienādojumi, pamatojoties uz funkcijām, kas saistīta ar kinētisko un potenciālu enerģija
• Bond Graf.: Metode, kas balstīta uz jauda (jauda) starp sistēmas elementiem

Sāksim S. vienkāršs piemērs. Masa ar atsperi un amortizatoru. Smaguma nolaidība.

1. attēls.. Pavasara masa un slāpētājs

Pirmkārt, mēs norādām:

• sākotnējā koordinātu sistēma (NSC) vai stacionārs sk R0 (I0, J0, K0). Kur? Jūs varat kule pirkstu debesīs, bet, raustīšanās padomus neironiem smadzenēs, ideja iet likt NSC uz ķermeņa ķermeņa m1.
• koordinātu sistēmas katrai ķermenim ar masu (Mums ir m1 R1 (I1, J1, K1)) Orientācija var būt patvaļīga, bet kāpēc sarežģīt savu dzīvi, ar minimālu atšķirību no NSC
• vispārējās koordinātas q_i. (Minimālais mainīgo lielumu skaits, ko var raksturot ar kustību), šajā piemērā, viens vispārināts koordinātu, kustību tikai gar asi J

2. attēls.. Bīdāmās koordinātu sistēmas un vispārējās koordinātas

3. attēls.. Stāvoklis un ķermeņa ātrums m1

Pēc kinētiskā (C) un potenciāla (P) enerģijas un izkliedēšanas funkcijas (d) atrašanas slāpētājam ar formulām: \\ t

4. attēls.. Pilnīga kinētiskās enerģijas formula

Mūsu piemērā nav rotācijas, otrais komponents ir 0.

5. attēls.. Kinētikas, potenciālās enerģijas un izkliedēšanas funkcijas aprēķināšana

Lagrange vienādojumam ir šāda forma:

6. att.. Lagrange un Lagrangian vienādojums

Delta w_i tas ir virtuālais darbs Ideāls ar pievienotiem spēkiem un brīžiem. Atrast viņu:

7. attēls.. Virtuālā darba aprēķināšana

Kur delta Q_1. Virtuālā kustība.

Mēs aizvietojam visu ar Lagrange vienādojumu:

8. attēls.. Iegūtais masas modelis ar atsperi un slāpētāju

Par šo Lagrange metodi beidzās. Tā kā tas ir redzams ne tik grūti, bet tas joprojām ir ļoti vienkāršs piemērs, par kuru Newton-Euler metode visticamāk būtu pat vieglāk. Lai iegūtu vairāk sarežģītākas sistēmas, kur būs vairākas struktūras, pagriezt salīdzinājumā viens ar otru dažādos leņķī, Lagrange metode būs vieglāka.

Metode Bond Graph

Nekavējoties parādiet šo modeli Bond-Graphh piemērs ar pavasara un aizbīdņa masu:

9. attēls.. Obligāciju diagrammas masas ar atsperi un slāpētāju

Šeit jums būs jāpasaka nedaudz teorija, kas ir pietiekami, lai izveidotu vienkārši modeļi. Ja kāds ir ieinteresēts, jūs varat izlasīt grāmatu ( Obligāciju grafiku metodoloģija.) vai ( Voronin A.V. Mehatronisko sistēmu modelēšana: apmācība. - Tomsk: Tomsk Polytechnic universitātes izdevniecība, 2008).

Mēs vēlamies sākt ar šīs sarežģītās sistēmas sastāv no vairākiem domēniem. Piemēram, elektromotors sastāv no elektriskajām un mehāniskajām daļām vai domēniem.

Obligāciju diagramma Pamatojoties uz varas apmaiņu starp šiem domēniem, apakšsistēmām. Ņemiet vērā, ka varas apmaiņa, jebkura forma, vienmēr nosaka divi mainīgie lielumi ( mainīga jauda) Ar palīdzību mēs varam izpētīt dažādu apakšsistēmu mijiedarbību dinamiskās sistēmas sastāvā (skatīt tabulu).

Kā redzams no galda, jaudas izpausme ir gandrīz vienāda visur. Vispārināšanā Jauda- Šis darbs " vītne - F." uz " pūles - E.».

Pūles(LAT. pūles) Elektriskajā domēnā tas ir spriegums (e), mehāniskā spēka (f) vai brīdī (t), hidraulikā - spiediens (P).

Plūsma(LAT. plūsma.) Elektriskajā domēnā tas ir strāva (i) mehāniskā ātruma (v) vai leņķiskā ātruma (Omega), hidraulikā - plūsmas vai šķidruma plūsma (Q).

Šo apzīmējumu uzņemšana, mēs iegūstam spēku:

10. attēls.. Jaudas formula caur jaudas mainīgajiem

Obligāciju diagrammas valodā saikne starp divām apakšsistēmām, kas apmainās ar kapacitāti, pārstāv attiecības (ENG. obligācija.). Tāpēc un to sauc Šī metode obligāciju diagramma vai g raf-saites, savienots grafiks. Apsvērt blokshēma Savienojumi modelī ar elektromotoru (tas vēl nav Bond-Graph):

11. attēls.. Bloka diagrammas jaudas plūsma starp domēniem

Ja mums ir sprieguma avots, tad, attiecīgi, tas rada spriegumu un dod to dzinējam tinumu (par to, bultiņa ir vērsta pret dzinēju), atkarībā no tīšanas pretestības tur parādās pašreizējais saskaņā ar Ohm likums (režisors no dzinēja līdz avotam). Attiecīgi viens mainīgais ir ieeja apakšsistēmā, un otrais ir nepieciešams izejano apakšsistēmas. Ir spriegums ( pūles) - ievade, strāva ( plūsma.) - Izeja.

Ja izmantojat pašreizējo avotu, kā mainīsies diagramma? Pa labi. Pašreizējais tiks novirzīts uz dzinēju un spriegumu uz avotu. Tad strāva ( plūsma.) - ieeja, spriegums ( pūles) - Izeja.

Apsveriet piemēru mehānikā. Jauda, \u200b\u200bkas darbojas masai.

12. attēls.. Jauda pievienota masai

Bloka diagramma būs šāda:

13. attēls.. Blokshēma

Šajā piemērā spēks ( pūles) - Ieejas mainīgais masai. (Barošana tiek pielietota masai)
Saskaņā ar Otro Newton likumu:

Masa atbilst ātrumam:

Šajā piemērā, ja viens mainīgais ( spēks - pūles) ir ieejamehāniskā domēnā, tad vēl viens jaudas mainīgais ( ātrums - plūsma.) - automātiski kļūst izeja.

Lai atšķirtu, ja ieeja un kur tiek izmantota izeja, vertikālā līnija tiek izmantota bultiņas (komunikācijas) beigās starp elementiem, šī līnija tiek saukta cēloņsakarība vai cēloņsakarība (cēloņsakarība.). Izrādās, ka pielietotais spēks ir iemesls, un ātrums ir sekas. Šī zīme ir ļoti svarīga pareizai sistēmas modeļa konstrukcijai, jo cēloņsakarība ir fiziskās uzvedības sekas un divu apakšsistēmu spēju apmaiņa, par šo cēloņsakarības atrašanās vietu nevar būt patvaļīga.

14. attēls.. Cēloniskās saites apzīmējums

Šī vertikālā līnija rāda, kuras apakšsistēma saņem pūles ( pūles) un kā rezultātā, radot plūsmu ( plūsma.). Šajā piemērā ar masu tas būs šāds:

14. attēls.. Komunikācijas cēlonis spēkam, kas darbojas masa

Saskaņā ar bultiņu ir skaidrs, ka uz ieejas masa - spēksun iziet - ātrums. Tas tiek darīts, lai neuzkāptu bultiņu uz shēmu un modeļa konstrukcijas sistematizāciju.

Sekojošs svarīgs brīdis. Vispārināts impulss (Kustība) un pārvietot(enerģijas mainīgie).

Jaudas un enerģijas mainīgo tabula dažādās jomās

Iepriekš tabulā ievada divus papildu fiziskos daudzumus, ko izmanto obligāciju diagrammā. Viņi tiek aicināti vispārējs impulss (r) I. vispārēja kustība (q.) vai enerģijas mainīgie, un tos var iegūt, integrējot jaudas mainīgos pēc laika:

15. att.. Saziņa starp varas un enerģijas mainīgajiem

Elektriskā domēnā :

Pamatojoties uz Faraday likumu, spriegumsdiriģenta galos ir vienāds ar magnētisko plūsmas atvasinājumu, izmantojot šo diriģentu.

Bet TOK POWER - fiziskā vērtība, kas vienāda ar attiecību summas maksājuma Q, kas ir pagājis kādu laiku t cauri šķērsgriezuma diriģenta, uz vērtību šajā laika periodā.

Mehāniskais domēns:

No 2 likuma Ņūtona, Spēks- laika atvasinājums no impulsa

Un attiecīgi, ātrums - laika atvasinājums no kustības:

Vispārējs:

Pamatelementi

Visus dinamisko sistēmu elementus var iedalīt divu polu un četru polu komponentos.
Apsvērt divu polu komponenti:

Avoti
Avoti ir gan pūles, gan straume. Analoģija elektriskajā domēnā: pūles avots – sprieguma avots, plūdu avots – toka avots. Avotu cēloņiem jābūt tikai tādiem.

16. attēls.. Avotu cēloņi un apzīmējums

Komponents R. - dissipatīvs elements

I. Komponents I. - inerces elements

Komponents C. - kapacitātes elements

Kā redzams no zīmējumiem, dažādiem vienas elementiem type R, C, i Apraksta tos pašus vienādojumus. Tikai pastāv atšķirība elektriskajam tvertnei, tas vienkārši ir jāatceras!

Četrvietīgs komponenti:

Apsveriet divus komponentus transformatorus un giratorus.

Jaunākie svarīgie komponenti Obligāciju grafikā ir savienojumi. Ir divu veidu mezgli:

Tas tika pabeigts ar komponentiem.

Cēloņsakarību galvenie posmi pēc ēkas obligācijas diagrammas:

1. Ievietojiet cēloņsakarības visiem avoti
2. Iet cauri visiem mezgliem un ievietojiet cēloņsakarības pēc 1. punkta
3. Priekš i.piešķirt ieejas cēloņsakarību (spēks ievada šo komponentu) sastāvdaļas S.mēs piešķiram izvadīto produkciju (pūles nāk no šīs komponenta)
4. Atkārtojiet 2. punktu.
5. Likt cēloņsakarības komponenti R.

Šajā mini kursā uz teoriju beigsies. Tagad mums ir viss, kas nepieciešams, lai izveidotu modeļus.
Pieņemsim izlemt pāris piemērus. Sāksim S. elektriskā ķēdeLabāk ir saprast veidošanas obligāciju diagrammas analoģiju.

1. piemērs.

Sāksim veidot obligāciju diagrammu no sprieguma avota. Vienkārši rakstiet se un ielieciet bultiņu.

Skatīt visu tikai! Mēs skatāmies vēlāk, R un L ir savienoti sērijā, tajās pašās pašreizējās plūsmas, ja mēs runājamies ar jaudas mainīgajiem - to pašu plūsmu. Kādam mezglam ir tāda pati plūsma? Pareizā atbilde ir 1 mezgls. Mēs savienojamies ar 1. mezgla avotu, pretestību (komponentu - R) un induktivitāti (komponents - i).

Tālāk mums ir konteiners un rezistence paralēlēs, tiem ir tāds pats spriegums vai pūles. 0 mezgls ir piemērots kā neviens cits. Pievienojiet konteinera (C) komponentu un pretestību (R) uz 0 mezglu.

Mezgli 1 un 0 savienojas viens ar otru. Šāvēja virziens ir izvēlēts patvaļīgs, komunikācijas virziens ietekmē tikai zīmi vienādojumos.

Iegūstiet šādu saikņu grafiku:

Tagad jums ir nepieciešams ievietot cēloņsakarības. Pēc instrukcijām par to stacijas secību sākt ar avotu.

1. Mums ir sprieguma avots (piepūles), šādam avotam ir tikai viena cēloņsakarības iespēja - izeja. Ievietot.
2. Tālāk ir komponents, es, apskatīt to, kas. Likt
3. Slip par 1. mezglu. tur ir
4. 0 mezglam jābūt vienam ievadei un visiem nedēļas nogales cēlumiem. Mums joprojām ir viena diena. Mēs meklējam komponentus ar vai I. Atrasts. Likt
5. Es to atstāju pa kreisi

Tas ir viss. Bond-Graph ir veidota. Hurray, biedri!

Tas paliek maziem, rakstiet vienādojumus, kas apraksta mūsu sistēmu. Lai to izdarītu, veiciet tabulu ar 3 kolonnām. Pirmajā laikā būs visas sistēmas sastāvdaļas, otrajā ievades lielumu katram elementam un trešajā - izejas mainīgā lielumā, par to pašu komponentu. Mēs jau esam identificējuši ieeju un ienesīgumu, ko izraisa savienojumi. Tāpēc nevajadzētu būt problēmām.

Katrs savienojums rakstīšanas līmeņa ērtībai. Katra elementa vienādojumi Veikt no komponentu saraksta C, R, I.

Galda izveide nosaka valsts mainīgos lielumus šajā piemērā 2, P3 un Q5. Tālāk nepieciešams ierakstīt valsts vienādojumus:

Tas viss ir gatavs modelis.

2. piemērs Tūlīt es gribu būt denominēts par fotoattēla kvalitāti, galvenais ir tas, ka jūs varat lasīt

Mēs izlemjam citu mehāniskās sistēmas piemēru, tas pats, ko mēs atrisinājām Lagrange metodi. Es parādīšu risinājumu bez komentāriem. Pārbaudiet, kuras no šīm metodēm ir vieglāk, vieglāk.

Matbalā abi Mat modeļi tika sagatavoti ar tādiem pašiem parametriem, kas iegūti Lagrange un Bond-Graph. Rezultāts zemāk: pievienojiet tagus

Parametra nosaukums	Vērtība
Raksta tēma:	Lagrange metode.
Rubrika (tematiskā kategorija)	Matemātika

Atrast polinomijas līdzekļus, lai noteiktu tās koeficienta vērtības . Lai to izdarītu, izmantojot interpolācijas stāvokli, jūs varat veidot sistēmu lināzes algebrisko vienādojumu (SLAVA).

Šā slama noteicošais faktors ir noteicošais vandermond. Vandermond noteicošais nav nulle, jo gadījumā, ja interpolācijas tabulā nav atbilstošu mezglu. ᴀᴋᴎᴍᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, var apgalvot, ka Slava ir lēmums, un šis lēmums ir unikāls. Izlemt slavas un nosakot nezināmus koeficientus Jūs varat veidot interpolācijas polinomus.

Polinoms, apmierinoši interpolācijas apstākļi, interpolācijas laikā, Lagrange metode ir balstīta formā lin-acu kombinācija no n-būtiskiem polinomiem:

Polinomiāni tiek aicināti pamats polinomi. Lai lagrange polinoms Apmierinoši interpolācijas apstākļi ir ārkārtīgi svarīgi, lai tiktu veikti šādi nosacījumi, lai tās pamata polinomi: \\ t

priekš .

Ja šie nosacījumi tiek veikti, mums ir:

ᴀᴋᴎᴍᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, izpilde noteiktiem nosacījumiem pamata polinomi nozīmē, ka interpolācijas nosacījumi tiek veikti.

Mēs definējam pamata polinomu veidu, pamatojoties uz ierobežojumiem, kas tiem ir pārklāti.

1. nosacījums: pie.

2. nosacījums: .

Visbeidzot, pamata polinomi var rakstīt:

Tad, aizvietojot iegūto izteiksmi pamata polinomiem oriģinālajā polinomijā, mēs iegūstam galīgo Lagrange polinomijas veidu:

Lagrange polinomu privātā forma tiek veikta, lai izsauktu lināzes interpolācijas formulu:

.

Lagrange polinoms ņemts, kad to lieto, ko sauc par kvadrātisko interpolācijas formulu:

Lagrange metode. - koncepcija un sugas. "Lagrange metode" klasifikācija un iezīmes. 2017, 2018.

- Lagrange metode (metode variācijas patvaļīgu konstante).

Lineārs dara. Definīcija. Du skatījums. Linear pieder nezināmā f "un tās atvasinājums Naz-Xia Linear. Lai risinātu šāda veida ur-th, mēs uzskatām divas metodes: Lagrange metode un Bernoulli metode. Mēs izskatīsim homogēnu du šo ur-e ar risinājumu risinājumu ur-i parasti ....

- lineārs du, viendabīgs e un neviendabīgs. Vispārējās atrisināšanas jēdziens. Lagrange metode Pastāvīgu smaržu variantiem.

Definīcija. Du Naz-SIA ir viendabīga, ja F-i var būt pārstāvēts kā F-I Attiecas uz maniem argumentiem. F-Iz Naz-Smemy f-dimensija Ja piemēri: 1) - 1.domogēnuma secība. 2) - viendabīguma 2. secība. 3) - nulles viendabīguma secība (tikai viendabīga ....

- Lekcija 8. privāto atvasinājumu izmantošana: Estrira uzdevumi. Lagrange metode.

Ekstrēmie uzdevumi ir ļoti svarīgi ekonomikas aprēķinos. Šis aprēķins, piemēram, ienākumi, peļņa, minimālās izmaksas atkarībā no vairākiem mainīgajiem lielumiem: resursi, ražošanas līdzekļi utt. Funkciju galējo meklēšanas teorija ....

- T.2.3. Du augsts pasūtījums. Pilnīgu atšķirību vienādojumu. T.2.4. Linear DU ir otrais pasūtījums ar pastāvīgiem koeficientiem. Lagrange metode.

3. 2. 1. DU ar atdalīšanas mainīgajiem S.R. 3. Dabas zinātnē, tehnoloģijā un ekonomikā bieži vien ir jārisina empīriskas formulas, t.i. Formulas, pamatojoties uz statistikas datu apstrādi vai ...