5. uzdevums.

Stāvoklis: Ierīci var salikt no augstas kvalitātes detaļām un parastas kvalitātes detaļām. 40% ierīču ir saliktas no kvalitatīvām detaļām.

Augstas kvalitātes ierīcei tās uzticamība laika intervālā t ir 0,95, tradicionālajām ierīcēm uzticamība ir 0,7. Ierīce tika pārbaudīta uz laiku t un darbojās nevainojami.

Atrodiet varbūtību, ka tas ir samontēts no augstas kvalitātes detaļām.

Risinājums: H 1 - ierīce ir salikta no augstas kvalitātes detaļām,

H 2 - ierīce ir samontēta no parastas kvalitātes daļām.

Šo hipotēžu varbūtība pirms pieredzes:

Eksperimenta rezultātā tika novērots notikums A - ierīce nevainojami strādāja laiku t.

Šī notikuma nosacītās varbūtības saskaņā ar hipotēzēm H 1 un H 2 ir:

Mēs atrodam hipotēzes H 1 varbūtību pēc eksperimenta:

varbūtības vidējā kvadrātiskā dispersija matemātiskā

Matemātikas statistika

1. vingrinājums.

Stāvoklis: Izveidojiet diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu X, aprēķiniet nejauša lieluma matemātisko cerību, dispersiju un standartnovirzi.

Mednieks šauj medījumu, līdz tas trāpa, bet var izšaut ne vairāk kā trīs šāvienus. Katra metiena trāpīšanas iespējamība ir 0,6. Sastādiet nejaušā lieluma X sadalījuma likumu - šāvēja izdarīto šāvienu skaitu. Aprēķiniet nejauša lieluma matemātisko cerību, dispersiju un standartnovirzi.

Risinājums: Varbūtība, ka netrāpījumu skaits ir 0, ir 0,6

• - varbūtība, ka netrāpījumu skaits ir vienāds ar 1, ir vienāda ar 0,4 0,6 = 0,24 (netrāpīts pirmajā, trāpījums otrajā)
• - varbūtība, ka netrāpījumu skaits ir 2, ir vienāda ar 0,4 0,4 ​​0,6 = 0,096 (netrāpīja pirmajās divās, trāpīja trešajā)
• - varbūtība, ka netrāpījumu skaits ir 3, ir vienāda ar 0,4 0,4 ​​0,4 ​​= 0,064 (netrāpīja pirmajos trijos)

Matemātiskā cerība ir 0 0,6+1 0,24+2 0,096+3 0,064 = 0,624

M(x*x)=0,24 +0,384+0,576=1,2

D(x)=1,2-0,389376=0,810624

2. uzdevums.

Stāvoklis: Izlases vērtība X ko nosaka sadales funkcija F(X).

Viens no svarīgākajiem varbūtības teorijas jēdzieniem ir jēdziens izlases lielums.

Nejauši sauca vērtību, kas pārbaužu rezultātā ņem noteiktas iespējamās vērtības, kas iepriekš nav zināmas un ir atkarīgas no nejaušiem cēloņiem, kurus nevar iepriekš ņemt vērā.

Nejaušie mainīgie ir apzīmēti lielie burti Latīņu alfabēts X, Y, Z utt. vai ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem ar labo apakšindeksu un vērtības, kas var uzņemties nejaušus mainīgos - ar atbilstošajiem latīņu alfabēta mazajiem burtiem x, y, z utt.

Gadījuma mainīgā jēdziens ir cieši saistīts ar nejauša notikuma jēdzienu. Savienojums ar nejaušu notikumu slēpjas faktā, ka noteiktas skaitliskās vērtības pieņemšana ar gadījuma lielumu ir nejaušs notikums, ko raksturo varbūtība .

Praksē ir divi galvenie nejaušo mainīgo veidi:

1. Diskrētie gadījuma lielumi;

2. Nepārtraukti nejauši mainīgie.

Nejaušais lielums ir nejaušu notikumu skaitliska funkcija.

Piemēram, nejaušais lielums ir punktu skaits, kas kritis, metot kauliņus, vai no pētījuma grupas nejauši izvēlēta skolēna augums.

Diskrēti gadījuma mainīgie tiek saukti par nejaušiem mainīgajiem, kuriem ir tikai attālas viena no otras vērtības, kuras var uzskaitīt iepriekš.

sadales likums(sadales funkcija un sadalījuma rinda vai varbūtības blīvums) pilnībā apraksta nejauša lieluma uzvedību. Taču vairākās problēmās pietiek zināt dažus pētāmā lieluma skaitliskos raksturlielumus (piemēram, tā vidējo vērtību un iespējamo novirzi no tā), lai atbildētu uz uzdoto jautājumu. Apsveriet diskrēto nejaušo mainīgo galvenos skaitliskos raksturlielumus.

Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums tiek saukta jebkura attiecība , sakarības noteikšana starp gadījuma lieluma iespējamām vērtībām un tām atbilstošajām varbūtībām .

Gadījuma lieluma sadalījuma likumu var attēlot kā tabulas:

Gadījuma lieluma visu iespējamo vērtību varbūtību summa ir vienāda ar vienu, t.i.

Izplatīšanas likumu var pārstāvēt grafiski: uz abscisu ass ir attēlotas gadījuma lieluma iespējamās vērtības, bet uz ordinātu ass - šo vērtību iespējamības; iegūtos punktus savieno segmenti. Konstruēto polilīniju sauc sadales daudzstūris.

Piemērs. Mednieks ar 4 lādiņiem šauj pa spēli, līdz ir iztērēti pirmais trāpījums vai visas patronas. Iespējamība trāpīt ar pirmo šāvienu ir 0,7, ar katru nākamo šāvienu tā samazinās par 0,1. Sastādiet likumu par mednieka izlietoto patronu skaita sadalījumu.

Risinājums. Tā kā mednieks, kuram ir 4 patroni, var izdarīt četrus šāvienus, tad nejaušības vērtība X- mednieka izlietoto patronu skaits var būt 1, 2, 3, 4. Lai atrastu atbilstošās varbūtības, mēs iepazīstinām ar notikumiem:

- “trāpīja plkst es- ohm shot”, ;

- "pietrūkst plkst es- th shot”, un notikumi un ir pa pāriem neatkarīgi.

Atkarībā no problēmas stāvokļa mums ir:

,

Izmantojot reizināšanas teorēmu neatkarīgiem notikumiem un saskaitīšanas teorēmu nesaderīgiem notikumiem, mēs atrodam:

(mednieks trāpīja mērķī ar pirmo šāvienu);

(mednieks trāpīja mērķī no otrā šāviena);

(mednieks trāpīja mērķī no trešā šāviena);

(mednieks trāpīja mērķī no ceturtā šāviena vai netrāpīja visas četras reizes).

Pārbaude: - pareizi.

Tādējādi gadījuma lieluma sadalījuma likums X izskatās kā:

Piemērs. Strādnieks apkalpo trīs mašīnas. Varbūtība, ka stundas laikā pirmajai mašīnai nebūs nepieciešama regulēšana, ir 0,9, otrajai ir 0,8, trešajai ir 0,7. Sastādiet izplatīšanas likumu par mašīnu skaitu, kuras būs jāregulē stundas laikā.

Risinājums. Izlases vērtība X- mašīnu skaits, kas stundas laikā būs jāpielāgo, var būt 0,1, 2, 3. Lai atrastu atbilstošās varbūtības, mēs ieviešam notikumus:

- “i- mašīnai būs nepieciešama regulēšana stundas laikā”, ;

- “i- mašīnai nebūs nepieciešama regulēšana stundas laikā”, .

Ņemot vērā problēmas nosacījumu, mums ir:

, .