Qualquer onda de forma complexa pode ser representada como a soma de ondas simples.
Joseph Fourier estava interessado em descrever em termos matemáticos como o calor viaja através de objetos sólidos ( cm. Troca de calor). Talvez seu interesse pelo calor tenha despertado enquanto estava no norte da África: Fourier acompanhou Napoleão em uma expedição francesa ao Egito e morou lá por algum tempo. Para atingir seu objetivo, Fourier teve que desenvolver novos métodos matemáticos. Os resultados de sua pesquisa foram publicados em 1822 na obra "Analytical Theory of Heat" ( Theorie analytique de la chaleur), onde ele descreveu como analisar problemas físicos complexos, decompondo-os em vários mais simples.
O método de análise foi baseado no chamado Séries de Fourier. De acordo com o princípio da interferência, a série começa com a decomposição de uma forma complexa em formas simples - por exemplo, uma mudança na superfície da Terra é devido a um terremoto, mudanças na órbita de um cometa devido à influência do atração de vários planetas, uma mudança no fluxo de calor devido à sua passagem através de um obstáculo de forma irregular feito de material isolante de calor. Fourier mostrou que uma forma de onda complexa pode ser representada como a soma de ondas simples. Como regra, as equações que descrevem sistemas clássicos são facilmente resolvidas para cada uma dessas ondas simples. Fourier passou a mostrar como essas soluções simples podem ser resumidas para dar uma solução ao problema complexo como um todo. (Matematicamente falando, uma série de Fourier é um método de representar uma função como uma soma de harmônicos - seno e cosseno, então a análise de Fourier também era conhecida como análise harmônica.)
Até o advento dos computadores em meados do século XX, os métodos de Fourier e similares eram as melhores armas do arsenal científico para atacar as complexidades da natureza. Desde o advento dos métodos complexos de Fourier, os cientistas foram capazes de usá-los para resolver não apenas problemas simples que podem ser resolvidos pela aplicação direta das leis da mecânica de Newton e outras equações fundamentais. Muitas das grandes conquistas da ciência newtoniana no século XIX teriam sido impossíveis sem o uso dos métodos propostos pela primeira vez por Fourier. No futuro, esses métodos foram usados na resolução de problemas em vários campos - da astronomia à engenharia mecânica.
Jean-Baptiste Joseph Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830
matemático francês. Nascido em Auxerre; aos nove anos ficou órfão. Já em tenra idade mostrou aptidão para a matemática. Fourier foi educado em uma escola da igreja e uma escola militar, depois trabalhou como professor de matemática. Ao longo de sua vida esteve ativamente envolvido na política; foi preso em 1794 por defender as vítimas do terror. Após a morte de Robespierre, ele foi libertado da prisão; participou da criação da famosa Escola Politécnica (Ecole Polytechnique) em Paris; sua posição lhe deu um trampolim para avançar sob o regime de Napoleão. Acompanhado de Napoleão ao Egito, foi nomeado governador do Baixo Egito. Ao retornar à França em 1801, foi nomeado governador de uma das províncias. Em 1822 tornou-se secretário permanente da Academia Francesa de Ciências, uma posição influente no mundo científico da França.
A seção Visão Geral Introdutória discute dois exemplos muito simples (tirados de Shumway, 1988) para ilustrar a natureza da análise espectral e a interpretação dos resultados. Se você não estiver familiarizado com esse método, é recomendável revisar primeiro esta seção deste capítulo.
Revisão e arquivo de dados. O arquivo Sunspot.sta contém uma fração dos números conhecidos de manchas solares (Wolfer) de 1749 a 1924 (Anderson, 1971). Abaixo está uma lista dos primeiros dados do arquivo de exemplo.
Supõe-se que o número de manchas solares afeta o clima na Terra, bem como a agricultura, telecomunicações, etc. Usando esta análise, pode-se tentar descobrir se a atividade das manchas solares é de fato cíclica por natureza (na verdade é, esses dados são amplamente discutidos na literatura; ver, por exemplo, Bloomfield, 1976, ou Shumway, 1988).
Definição de análise. Após executar a análise, abra o arquivo de dados Sunspot.sta. Clique no botão Variáveis e selecione a variável Spots (observe que se o arquivo de dados Sunspot.sta for o arquivo de dados atualmente aberto, e a variável Spots for a única variável nesse arquivo, Spots será selecionado automaticamente quando a caixa de diálogo Time Series Analysis abre). Agora clique no botão de análise de Fourier (espectral) para abrir a caixa de diálogo de análise de Fourier (espectral).
Antes de aplicar a análise espectral, primeiro plote o número de manchas solares. Observe que o arquivo Sunspot.sta contém os anos correspondentes como nomes de observação. Para usar esses nomes em gráficos de linha, clique na guia Exibir série e selecione Nomes de caso em Pontos de rótulo. Além disso, selecione Definir escala do eixo x manualmente e Min. = 1 e Step = 10. Em seguida, clique no botão Graph ao lado do botão Preview realce. variável.
O número de manchas solares parece seguir um padrão cíclico. Não há tendência, então volte para a janela Spectrum Analysis e desmarque a opção Remove Linear Trend no grupo Transform Original Series.
Obviamente, a média da série é maior que 0 (zero). Portanto, deixe a opção Subtrair média selecionada [caso contrário, o periodograma "entupirá" com um pico muito grande na frequência 0 (zero)].
Agora você está pronto para iniciar a análise. Agora clique em OK (One Dimensional Fourier Analysis) para abrir a caixa de diálogo Fourier Spectral Analysis Results.
Ver resultados. A seção de informações na parte superior da caixa de diálogo mostra algumas estatísticas resumidas da série. Também mostra os cinco maiores picos do periodograma (por frequência). Os três maiores picos estão nas frequências 0,0852, 0,0909 e 0,0114. Essas informações geralmente são úteis ao analisar séries muito grandes (por exemplo, aquelas com mais de 100.000 observações) que não são facilmente plotadas em um gráfico. Neste caso, porém, é fácil ver os valores do periodograma; clicando no botão Periodograma em Periodograma e Gráficos de Densidade Espectral.
O gráfico do periodograma mostra dois picos distintos. O máximo está em uma frequência de aproximadamente 0,9. Volte para a janela Spectral Analysis Results e clique no botão Summary para ver todos os valores do periodograma (e outros resultados) na tabela de resultados. Abaixo está uma parte da tabela de resultados com o maior pico definido do periodograma.
Conforme discutido na seção Visão geral introdutória, Frequência é o número de ciclos por unidade de tempo (onde cada observação é uma unidade de tempo). Assim, uma Frequência de 0,0909 corresponde a um valor de 11 Períodos (o número de unidades de tempo necessárias para um ciclo completo). Como os dados de manchas solares em Sunspot.sta são observações anuais, pode-se concluir que há um ciclo pronunciado de 11 anos (talvez um pouco mais longo que 11 anos) na atividade das manchas solares.
Densidade espectral. Normalmente, para calcular as estimativas de densidade espectral, o periodograma é suavizado para remover flutuações aleatórias. O tipo de média móvel ponderada e a largura da janela podem ser selecionados na seção Janelas Espectrais. A seção Visão geral introdutória discute essas opções em detalhes. Para o nosso exemplo, vamos deixar a janela padrão selecionada (Largura de Hamming 5) e selecionar o gráfico Spectral Density.
Os dois picos estão agora ainda mais claros. Vejamos os valores do periodograma ao longo do período. Realce o campo Período na seção Gráfico. Agora selecione o gráfico de densidade espectral.
Novamente, há um ciclo pronunciado de 11 anos na atividade das manchas solares; além disso, há sinais de um ciclo mais longo de cerca de 80-90 anos.
FOURIER TRANSFORM E ANÁLISE ESPECTRAL DIGITAL CLÁSSICA.
Medvedev S.Yu., Ph.D.
Introdução
A análise espectral é um dos métodos de processamento de sinal que permite caracterizar a composição de frequência do sinal medido. A transformada de Fourier é uma estrutura matemática que relaciona um sinal temporal ou espacial (ou algum modelo desse sinal) à sua representação no domínio da frequência. Os métodos estatísticos desempenham um papel importante na análise espectral, uma vez que os sinais geralmente são aleatórios ou ruidosos durante a propagação ou medição. Se as principais características estatísticas de um sinal fossem conhecidas com precisão, ou pudessem ser determinadas a partir do intervalo finito desse sinal, então a análise espectral seria um ramo da "ciência exata". No entanto, na realidade, apenas uma estimativa do seu espectro pode ser obtida a partir de um segmento de sinal. Portanto, a prática da análise espectral é uma espécie de ofício (ou arte?) de natureza bastante subjetiva. A diferença entre as estimativas espectrais obtidas como resultado do processamento do mesmo segmento de sinal por métodos diferentes pode ser explicada pela diferença nas suposições feitas em relação aos dados, diferentes métodos de média, etc. Se as características do sinal não são conhecidas a priori, é impossível dizer qual das estimativas é melhor.
Transformada de Fourier - a base matemática da análise espectral
Vamos discutir brevemente os diferentes tipos de transformada de Fourier (para mais detalhes, veja Recursos).
Vamos começar com a transformada de Fourier de um sinal contínuo no tempo
,
(1)
que identifica as frequências e amplitudes dessas senóides complexas (exponenciais), nas quais se decompõe alguma oscilação arbitrária.
Transformação reversa
. (2)
A existência da transformada de Fourier direta e inversa (que chamaremos de transformada de Fourier em tempo contínuo - CTFT) é determinada por uma série de condições. Suficiente - integrabilidade de sinal absoluta
. (3)
Uma condição suficiente menos restritiva é a finitude da energia do sinal
. (4)
Apresentamos algumas propriedades básicas da transformada de Fourier e as funções utilizadas abaixo, observando que a janela retangular é definida pela expressão
(5)
e a função sinc é uma expressão
(6)
A função das amostras no domínio do tempo é determinada pela expressão
(7)
Essa função às vezes também é chamada de função de continuação periódica.
Tabela 1. As principais propriedades do NVPF e funções
|
Propriedade, função |
Função |
transformação |
| Linearidade |
ag(t) + bh(t) |
aG(f) + bH(f) |
| Mudança de horário |
h (t - t0) |
H(f)exp(-j2pf t 0) |
| Mudança de frequência (modulação) |
h(t)exp(j2pf0t) |
H(f - f0) |
| Escala |
(1 / |a|)h(t/a) |
H(af) |
| Teorema da convolução no domínio do tempo |
g(t)*h(t) |
|
| Teorema de convolução no domínio da frequência |
g(t) h(t) |
G(f)*H(f) |
| função de janela |
Aw(t / T) |
2ATsinc(2Tf) |
| função sinc |
2AFsinc(2Ft) |
Aw(f/F) |
| função de impulso |
Anúncio(s) |
|
| Função de contagem |
T(f) |
FF(f), F=1/T |
Outra propriedade importante é estabelecida pelo teorema de Parseval para duas funções g(t) eh(t):
. (8)
Se colocarmos g(t) = h(t), então o teorema de Parseval se reduz ao teorema da energia
. (9)
A expressão (9) é, em essência, apenas uma formulação da lei de conservação da energia em dois domínios (tempo e frequência). Em (9), a energia total do sinal está à esquerda, então a função
(10)
descreve a distribuição de frequência de energia para um sinal determinístico h(t) e é, portanto, chamado de densidade espectral de energia (SPD). Expressões
(11)
pode-se calcular os espectros de amplitude e fase do sinal h(t).
Operações de discretização e ponderação
Na próxima seção, apresentamos a Série de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) ou então a Transformada de Fourier Discreta (DFT) como um caso especial da Transformada de Fourier de Tempo Contínuo (CTFT) usando duas operações básicas de processamento de sinal - amostragem ( discretização) e pesagem usando uma janela. Aqui consideramos a influência dessas operações no sinal e sua transformação. A Tabela 2 lista as funções que realizam ponderação e discretização.
Com leituras uniformes com intervalo de T segundos, a frequência de amostragem F é igual a 1 /T Hz. Observe que a função de ponderação e a função de amostragem no domínio do tempo são denotadas respectivamente por TW (time windowing) e TS (time sampling), e no domínio da frequência por FW (frequency windowing) e FS (frequency sampling).
Tabela 2. Funções de ponderação e discretização
|
Operação |
Função de tempo |
transformação |
| Ponderação no domínio do tempo (largura da janela NT s) |
TW=w(2t / NT - 1) |
F(TW)=NTsinc(NTf)•exp(-jpNTf) |
| Ponderação do domínio de frequência (largura da janela 1/T Hz) |
|
FW=w(2Tf) |
| Leituras de tempo (intervalo T seg) |
TS = T T (t) |
|
| Amostragem de frequência (intervalo de 1/NT Hz) |
|
|
Vamos supor que as amostras são tomadas de um sinal real contínuo x(t) com um espectro limitado, cuja frequência superior é igual a F0. O NITF de um sinal real é sempre uma função simétrica com uma largura total de 2F0, veja a Fig.1.
As amostras de sinal x(t) podem ser obtidas multiplicando este sinal pela função das amostras:
(12)
A Fig.1 é uma ilustração do teorema de amostragem no domínio do tempo para um sinal limitado de espectro real:
a - a função original do tempo e sua transformada de Fourier;
b - a função das leituras no tempo e sua transformada de Fourier;
c - leituras de tempo da função original e sua transformada de Fourier estendida periodicamente para o caso Fo<1/2T;
d - janela de frequência (filtro passa-baixa ideal) e sua transformada de Fourier (função sinc);
d é a função de tempo original, restaurada por meio de uma operação de convolução com a função sinc.
De acordo com o teorema de convolução no domínio da frequência, o CTF do sinal x(t) é simplesmente a convolução do espectro do sinal x(t) e a transformada de Fourier da função de amostra de tempo (TS):
. (13)
A convolução X(f) com a transformada de Fourier da função de amostragem F(TS)=Y1/T(f) simplesmente continua X(f) periodicamente com um intervalo de frequência de 1/T Hz. Portanto, XS(f) é um espectro periodicamente estendido de X(f). No caso geral, amostras em uma região (por exemplo, tempo) levam a uma continuação periódica na região de transformação (por exemplo, frequência). Se a frequência de amostragem for escolhida suficientemente baixa (F< 2Fo), то периодически продолженные
спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название
эффекта наложения в частотной области.
A fim de restaurar o sinal de tempo original de suas leituras, ou seja, para interpolar algum continuum de valores entre essas amostras, é possível passar os dados amostrados através de um filtro passa-baixa ideal com uma resposta de frequência retangular (Fig. 1d)
. (14)
Como resultado (veja a Fig. 1 e) a transformada de Fourier original é restaurada. Usando os teoremas de convolução nos domínios do tempo e da frequência, obtemos
. (15)
A expressão (15) é uma notação matemática teoremas de amostragem no domínio do tempo(teoremas de Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKSH), que afirma que com a ajuda da fórmula de interpolação (15), um sinal real com um espectro limitado pode ser exatamente restaurado por um número infinito leituras de tempo conhecidas tomadas com frequência F і 2F0. O dual ao teorema (15) é o teorema amostras no domínio da frequência para sinais com duração limitada.
As operações no domínio do tempo semelhantes a (14) são descritas pela expressão
, (16)
e as transformações correspondentes - por expressões
Assim, o NITF X(f) de um determinado sinal com uma duração limitada pode ser inequivocamente restaurado a partir de amostras equidistantes do espectro de tal sinal, se o intervalo de amostra de frequência selecionado satisfizer a condição F1/2T 0 Hz, onde T 0 é a duração do sinal.
Relações entre transformações contínuas e discretas
Um par de transformações para a definição usual da Transformada Discreta de Fourier (DFT) de um N-ponto seqüência de tempo x[n] e o ponto N correspondente Sequências de transformada de Fourier X[k] é dado pelas expressões
,
(18)
. (19)
Para obter estimativas espectrais de amostras de dados nas unidades correspondentes de energia ou potência, escrevemos a série de Fourier de tempo discreto (DTFT), que pode ser considerada como uma aproximação da transformada de Fourier de tempo contínuo (CTFT), baseada em o uso de um número finito de amostras de dados:
Para mostrar a natureza da correspondência com o dvrf ( discreto funções nos domínios do tempo e da frequência) e CTF (funções contínuas nos domínios do tempo e da frequência), precisamos de uma sequência de quatro operações de comutação linear: ponderação nos domínios do tempo e da frequência e amostragem ou amostragem tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência. Se a operação de ponderação for realizada em uma dessas áreas, então, de acordo com o teorema da convolução, ela corresponderá à execução da operação de filtragem (convolução) em outra área com a função sinc. Da mesma forma, se a discretização é realizada em uma região, a operação de continuação periódica é realizada na outra. Como pesagem e amostragem são operações lineares e comutativas, existem várias maneiras de ordená-las, dando o mesmo resultado final com resultados intermediários diferentes. A Figura 2 mostra duas sequências possíveis para essas quatro operações.
Arroz. 2. Duas sequências possíveis de duas operações de pesagem e duas operações de amostragem, conectando o NIPF e o DTRF: FW - aplicação de janela no domínio da frequência; TW - aplicação de janela no domínio do tempo; FS - amostragem no domínio da frequência; TS - amostragem no domínio do tempo.
1 - Transformada de Fourier com tempo contínuo, equação (1);
4 - Transformada de Fourier com tempo discreto, equação (22);
5 - Série de Fourier com tempo contínuo, equação (25);
8 - Série de Fourier com tempo discreto, equação (27)
Como resultado da realização das operações de pesagem e amostragem nos nós 1, 4, 5 e 8, haverá quatro tipos diferentes de relações de Fourier. Nós onde a função em o domínio da frequência é contínuo, referir-se transformações Fourier, e os nós em que a função está no domínio da frequência discreto referir-se Séries de Fourier(para mais detalhes, consulte).
Assim, no nó 4, a ponderação no domínio da frequência e a amostragem no domínio do tempo geram transformação em tempo discreto Transformada de Fourier (DTFT), que é caracterizada por uma função periódica do espectro no domínio da frequência com um período de 1/T Hz:
(22)
(23)
Observe que a expressão (22) define uma determinada função periódica que coincide com a função transformada original especificada no nó 1 apenas na faixa de frequência de -1/2T a 1/2T Hz. A expressão (22) está relacionada com a transformada Z da sequência discreta x[n] pela relação
(24)
Portanto, a DTFT é apenas a transformada Z calculada no círculo unitário e multiplicada por T.
Se passarmos do nó 1 para o nó 8 na Fig. 2 ao longo do ramo inferior, no nó 5, as operações de ponderação no domínio do tempo (limitando a duração do sinal) e amostragem no domínio da frequência geram uma série de Fourier de tempo contínuo ( CTSF). Usando as propriedades e definições de funções dadas nas tabelas 1 e 2, obtemos o seguinte par de transformações
(25)
(26)
Observe que a expressão (26) define uma determinada função periódica que coincide com a original (no nó 1) apenas no intervalo de tempo de 0 a NT.
Independentemente de qual das duas sequências de quatro operações for escolhida, o resultado final no nó 8 será o mesmo - série de Fourier em tempo discreto, que corresponde ao seguinte par de transformações obtidas usando as propriedades indicadas na Tabela 1.
, (27)
onde k=-N/2, . . . ,N/2-1
,
(28)
onde n=0, . . . ,N-1,
O teorema da energia para este WWRF é:
,
(29)
e caracteriza a energia de uma sequência de N amostras de dados. Ambas as sequências x[n] e X[k] são periódicas módulo N, então (28) pode ser escrita na forma
, (30)
onde 0 n N. O fator T em (27) - (30) é necessário para que (27) e (28) sejam de fato uma aproximação da transformação integral no domínio de integração
.(31)
Preenchimento zero
Através de um processo chamado preenchimento zero, a série de Fourier de tempo discreto pode ser modificada para interpolar entre N valores da transformada original. Deixe as amostras de dados disponíveis x,...,x serem complementadas com valores zero x[N],...X. O TDRF desta sequência de dados de 2N pontos preenchidos com zeros será dado por
(32)
onde o limite superior da soma à direita é modificado para acomodar dados nulos. Seja k = 2m, então
,
(33)
onde m=0,1,...,N-1, define valores pares de X[k]. Isso mostra que para valores pares do índice k, a série de Fourier de tempo discreto de 2N pontos se reduz a uma série de tempo discreto de N pontos. Os valores ímpares do índice k correspondem a valores TDGF interpolados localizados entre os valores do TDGF original de N-point. À medida que mais e mais zeros são adicionados à sequência original de N-pontos, ainda mais dados interpolados podem ser obtidos. No caso limite de um número infinito de zeros introduzidos, o DTRF pode ser considerado como uma transformada de Fourier em tempo discreto de uma sequência de dados de N pontos:
.
(34)
A transformação (34) corresponde ao nó 6 na Fig.2.
Existe um equívoco de que o preenchimento com zero melhora a resolução porque aumenta o comprimento da sequência de dados. No entanto, como segue da Fig. 3, preenchimento com zeros não melhora a resolução da transformação obtida a partir da sequência de dados finita dada. O preenchimento zero simplesmente permite que você obtenha uma transformação interpolada forma mais achatada. Além disso, elimina as incertezas devido à presença de componentes de sinal de banda estreita cujas frequências se situam entre N pontos correspondentes às frequências estimadas do TPDF original. Quando preenchido com zeros, a precisão de estimar a frequência de picos espectrais também aumenta. Pelo termo resolução espectral queremos dizer a habilidade de distinguir entre as respostas espectrais de dois sinais harmônicos. Uma regra geral geralmente aceita, frequentemente usada em análise espectral, afirma que a separação de frequência de senoides distinguíveis não pode ser menor que largura de banda equivalente da janela, através dos quais são observados segmentos (segmentos) dessas sinusóides.
Fig.3. Interpolação por preenchimento com zeros:
a - Módulo DPRF para registro de dados de 16 pontos contendo três sinusóides sem preenchimento zero (as incertezas são visíveis: é impossível dizer quantas sinusóides existem no sinal - duas, três ou quatro);
b - módulo TDWF de mesma sequência após duplicar o número de suas leituras devido à adição de 16 zeros (as incertezas são resolvidas, pois as três senoides são distinguíveis;
c - o módulo TDWF da mesma sequência após um aumento de quatro vezes no número de suas leituras devido à adição de zeros.
A largura de banda equivalente da janela pode ser definida como 
onde W(f) é a transformada de Fourier em tempo discreto da função de janela, por exemplo, retangular (5). Da mesma forma, você pode inserir duração da janela equivalente
Pode-se mostrar que a duração equivalente de uma janela (ou qualquer outro sinal) e a largura de banda equivalente de sua transformação são mutuamente recíprocas: TeBe=1.
Transformação rápida de Fourier
A Transformada Rápida de Fourier (FFT) não é apenas mais uma variação da transformada de Fourier, mas sim o nome de uma gama de algoritmos, projetado para cálculo rápido da série de Fourier em tempo discreto. O principal problema que surge na implementação prática do WWRF reside no grande número de operações computacionais proporcionais a N2. Embora muito antes do advento dos computadores tenham sido propostos vários esquemas computacionais eficientes que pudessem reduzir significativamente o número de operações computacionais, uma verdadeira revolução foi feita pela publicação em 1965 de um artigo de Cooley (Cooly) e Tukey (Tukey) com uma algoritmo para cálculo rápido (número de operações Nlog 2 N) do DTWF . Depois disso, muitas variantes, melhorias e acréscimos à ideia básica foram desenvolvidos, que compuseram a classe de algoritmos conhecida como transformada rápida de Fourier. A ideia básica de uma FFT é dividir um TDGF N-point em dois ou mais TDGFs de menor comprimento, cada um dos quais pode ser calculado separadamente e então somado linearmente com os outros para obter um TDGF da sequência N-point original .
Representamos a transformada discreta de Fourier (DTFT) na forma
, (35)
onde o valor de W N =exp(-j2 /N) é chamado de fator de giro (a seguir nesta seção, o período de amostragem é T=1). Selecione da sequência x[n] elementos com números pares e ímpares
. (36)
Mas desde que
. Portanto, (36) pode ser escrito como
, (37)
onde cada um dos termos é uma transformação de comprimento N/2
(38)
Observe que a sequência (WN/2) nk é periódica em k com período N/2. Portanto, embora o número k na expressão (37) assuma valores de 0 a N-1, cada uma das somas é calculada para valores de k de 0 a N/2-1. Pode-se estimar o número de operações complexas de multiplicação e adição necessárias para calcular a transformada de Fourier de acordo com o algoritmo (37)-(38). Duas transformadas de Fourier de N/2 pontos de acordo com as fórmulas (38) requerem 2(N/2) 2 multiplicações e aproximadamente o mesmo número de adições. A união de duas transformações N/2 pontos de acordo com a fórmula (37) requer N mais multiplicações e N adições. Portanto, para calcular a transformada de Fourier para todos os N valores de k, é necessário realizar multiplicações e adições N+N 2 /2. Ao mesmo tempo, o cálculo direto pela fórmula (35) requer multiplicações e adições de N 2. Já para N>2, a desigualdade N+N 2 /2< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:
,
(39)
(40)
Neste caso, devido à periodicidade da sequência W nk N/4 em k com período N/4, as somas (40) devem ser calculadas apenas para valores de k de 0 a N/4-1. Portanto, o cálculo da sequência X[k] pelas fórmulas (37), (39) e (40) requer, como é fácil de calcular, já 2N+N 2 /4 operações de multiplicação e adição.
Seguindo este caminho, a quantidade de cálculos X[k] pode ser cada vez mais reduzida. Após m=log 2 N expansões, chegamos a transformadas de Fourier de dois pontos da forma
(41)
onde as "transformações de ponto único" X 1 são simplesmente amostras de sinal x[n]:
X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)
Como resultado, podemos escrever o algoritmo FFT, que por razões óbvias é chamado algoritmo de redução de tempo :
X 2 \u003d (x[p] + W k 2 x) / N,
onde k=0,1, p=0,1,...,N/2-1;
X 2N/M = X N/M + W k 2N/M X N/M ,
onde k=0,1,...,2N/M-1, p=0,1,...,M/2-1;
X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43)
onde k=0,1,...,N-1
Em cada etapa dos cálculos, N multiplicações e adições complexas são realizadas. E como o número de decomposições da sequência original em subsequências de meio comprimento é igual a log 2 N, então o número total de operações de multiplicação e adição no algoritmo FFT é Nlog 2 N. Para N grande, há uma economia significativa em operações computacionais comparadas ao cálculo direto da DFT. Por exemplo, em N = 2 10 = 1024 o número de operações diminui 117 vezes.
O algoritmo FFT com decimação de tempo por nós considerado baseia-se no cálculo da transformada de Fourier formando subsequências da sequência de entrada x[n]. No entanto, pode-se também usar a decomposição de subsequência da transformada de Fourier X[k]. O algoritmo FFT baseado neste procedimento é chamado de algoritmo FFT. dizimação em frequência. Você pode ler mais sobre a rápida transformada de Fourier, por exemplo, em.
Processos Aleatórios e Densidade Espectral de Potência
O processo aleatório discreto x pode ser considerado como algum conjunto ou conjunto de sequências temporais (ou espaciais) discretas reais ou complexas, cada uma das quais pode ser observada como resultado de algum experimento (n - índice de tempo, i - número de observação). A sequência obtida como resultado de uma das observações será denotada por x[n]. A operação de média de conjunto (ou seja, média estatística) será denotado pelo operador<>. Desta maneira,
Um processo aleatório é chamado de estacionário em sentido amplo, se seu valor médio for constante (não depende do tempo), e a autocorrelação depende apenas da diferença dos índices de tempo m=n1-n2 (deslocamento de tempo ou atraso entre amostras). Assim, um processo aleatório discreto amplamente estacionário x[n] é caracterizado por um valor médio constante
r xx [m] =< xx*[n] >. (44)
Observe as seguintes propriedades do ACP:
r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m], (45)
que são válidas para todos os m.
A densidade espectral de potência (PSD) é definida como a transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) da sequência de autocorrelação
.
(46)
O PSD, cuja largura é considerada limitada a ±1/2T Hz, é uma função periódica de frequência com um período de 1/T Hz. A função PSD descreve a distribuição de frequência da potência de um processo aleatório. Para confirmar o nome escolhido para ele, considere a DTFT inversa
(47)
calculado em m = 0
(48)
A autocorrelação no deslocamento zero caracteriza potencia média processo aleatório. De acordo com (48), a área sob a curva P xx (f) caracteriza a potência média, portanto P xx (f) é uma função da densidade (potência por unidade de medida de frequência), que caracteriza a distribuição de potência sobre a frequência. O par de transformações (46) e (47) é frequentemente chamado de Teorema de Wiener-Khinchin para o caso de tempo discreto. Como r xx [-m]=r* xx [m], o PSD deve ser uma função estritamente real positiva. Se a AFC é uma função estritamente real, então r xx [-m]=r xx [m] e o PSD pode ser escrito na forma da transformada de Fourier cosseno
,
o que também significa que P xx (f) = P xx (-f), i.e. SPM é uma função par.
Até agora, ao determinar o valor médio, a correlação e a densidade espectral de potência de um processo aleatório, usamos a média estatística sobre o conjunto. No entanto, na prática, geralmente não é possível obter um conjunto de implementações do processo requerido, a partir do qual essas características estatísticas possam ser calculadas. É desejável estimar todas as propriedades estatísticas de uma realização amostral x(t), substituindo y média do conjunto por média de tempo. A propriedade que permite que tal mudança seja feita é chamada de ergodicidade. Um processo aleatório é dito ergódico se, com uma probabilidade igual a um, todas as suas características estatísticas puderem ser previstas a partir de uma implementação do ensemble usando a média do tempo. Em outras palavras, os valores médios ao longo do tempo de quase todas as realizações possíveis do processo convergem com probabilidade de um para o mesmo valor constante - o valor médio sobre o conjunto
. (49)
Este limite, se existir, converge para a média verdadeira se e somente se a variância da média temporal for zero, o que significa que a seguinte condição é satisfeita:
. (50)
Aqui c xx [m] é o verdadeiro valor da covariância do processo x[n].
Da mesma forma, observando o valor do produto de x[n] amostras do processo em dois pontos no tempo, podemos esperar que o valor médio seja igual a
(51)
A suposição de ergodicidade permite não só introduzir, através da média do tempo, definições para a média e autocorrelação, mas também dar uma definição semelhante para a densidade espectral de potência.
. (52)
Essa forma equivalente de PSD é obtida pela média estatística do módulo DTFT do conjunto de dados ponderado dividido pelo comprimento do registro de dados para o caso em que o número de amostras aumenta para infinito. A média estatística é necessária aqui porque o próprio DTFT é uma variável aleatória que muda para cada implementação de x[n]. Para mostrar que (52) é equivalente ao teorema de Wiener-Khinchin, representamos o quadrado do módulo DTFT como um produto de duas séries e alteramos a ordem das operações de soma e média estatística:
(53)
Usando a conhecida expressão
, (54)
relação (53) pode ser reduzida para o seguinte:
(55)
Observe que no último estágio da derivação de (55) usamos a suposição de que a sequência de autocorrelação 'decai', de modo que
.
(56)
A relação entre as duas definições de SPM (46) e (52) é claramente mostrada no diagrama mostrado na Figura 4.
Se a expressão (52) não leva em conta a operação da esperança matemática, então obtemos a estimativa do PSD
, (57)
que é chamado espectro seletivo.
Arroz. 4. Relação entre dois métodos para estimar a densidade espectral de potência
Método do periodograma de estimativa espectral
Acima, introduzimos dois métodos equivalentes formais para determinar a densidade espectral de potência (PSD). O método indireto é baseado no uso de uma sequência de dados infinita para calcular uma sequência de autocorrelação cuja transformada de Fourier fornece o PSD desejado. O método direto para determinar o PSD é baseado no cálculo do quadrado do módulo da transformada de Fourier para uma sequência infinita de dados usando média estatística apropriada. O PSD obtido sem essa média acaba sendo insatisfatório, pois o erro quadrático médio dessa estimativa é comparável ao seu valor médio. Agora vamos considerar métodos de média que fornecem estimativas espectrais suaves e estatisticamente estáveis sobre um número finito de amostras. As estimativas de PSD baseadas na transformação direta de dados e na média subsequente são chamadas de periodogramas. As estimativas JMP, para as quais as estimativas de correlação são formadas primeiro a partir dos dados iniciais, são chamadas correlograma. Ao usar qualquer método de estimativa PSD, o usuário tem que tomar muitas decisões de compromisso para obter estimativas espectrais estatisticamente estáveis com a resolução mais alta possível a partir de um número finito de amostras. Esses trade-offs incluem, em particular, a seleção de uma janela para ponderar os dados e estimativas de correlação e tais parâmetros de média nos domínios de tempo e frequência que equilibram os requisitos para redução de lóbulo lateral devido à ponderação, realização de média eficiente e fornecimento resolução espectral aceitável. Na fig. 5 é um diagrama que mostra as principais etapas periodograma método
Arroz. 5. As principais etapas da estimação do PSD usando o método do periodograma
A aplicação do método começa com a coleta de N amostras de dados, que são tomadas em intervalos de T segundos por amostra, seguidas por (opcionalmente) uma etapa de remoção de tendência. Para obter uma estimativa espectral estatisticamente estável, os dados disponíveis devem ser divididos em segmentos sobrepostos (se possível) e, posteriormente, deve-se calcular a média dos espectros amostrais obtidos para cada um desses segmentos. Os parâmetros desta média são alterados escolhendo apropriadamente o número de amostras por segmento (NSAMP) e o número de amostras para mudar o início do próximo segmento (NSHIFT), veja a fig. 6. O número de segmentos é selecionado dependendo do grau necessário de suavidade (dispersão) da estimativa espectral e da resolução espectral necessária. Com um valor pequeno do parâmetro NSAMP, há mais segmentos a serem calculados e, portanto, estimativas com menos dispersão, mas também menor resolução de frequência, serão obtidas. Aumentar o comprimento do segmento (parâmetro NSAMP) aumenta a resolução, naturalmente à custa de aumentar a variância da estimativa devido a menos médias. A seta de retorno na Fig. 5 indica a necessidade de várias passagens repetidas pelos dados em diferentes comprimentos e números de segmentos, o que permite obter mais informações sobre o processo em estudo.
Fig.6. Dividindo dados em segmentos para calcular um periodograma
Janela
Uma das questões importantes que é comum a todos os métodos clássicos de estimação espectral está relacionada à ponderação dos dados. A janela é usada para controlar os efeitos dos lóbulos laterais nas estimativas espectrais. Observe que é conveniente considerar o registro de dados finitos disponível como parte da sequência infinita correspondente, visível através da janela aplicada. Assim, a sequência de dados observados x 0 [n] de N amostras pode ser escrita matematicamente como o produto de uma sequência infinita x[n] e uma função de janela retangular
X 0 [n]=x[n]ret[n].
Isso pressupõe a suposição óbvia de que todas as contagens não observadas são zero, independentemente de esse ser realmente o caso. A transformada de Fourier em tempo discreto de uma sequência ponderada é igual à convolução das transformações de sequência x[n] e a janela retangular rect[n]
X 0 (f)=X(f)*D N (f) , onde
D N (f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).
A função D N (f), chamada de função sinc discreta, ou kernel de Dirichlet, é o DTFT de uma função retangular. A transformação de sequência finita observável é uma versão distorcida da transformação de sequência infinita. A influência de uma janela retangular em uma senóide de tempo discreto com frequência f 0 é ilustrada na Fig.7.
Fig.7. Ilustração do deslocamento da transformada de Fourier em tempo discreto devido ao vazamento devido à ponderação dos dados.: a, c - sequências originais e ponderadas; b, d - suas transformadas de Fourier.
Pode ser visto na figura que os picos espectrais agudos da DTFT da sequência senoidal infinita foram expandidos devido à convolução com a transformação da janela. Assim, a largura mínima dos picos espectrais de uma sequência ponderada pela janela é determinada pela largura do lóbulo principal da transformação desta janela e não depende dos dados. Os lóbulos laterais da transformação da janela mudarão as amplitudes dos picos espectrais adjacentes (às vezes chamados de vazamento). Como a DTFT é uma função periódica, a sobreposição de lóbulos laterais de períodos vizinhos pode levar a um viés adicional. Aumentar a frequência de amostragem reduz o efeito da superposição do lóbulo lateral. Distorções semelhantes serão naturalmente observadas no caso de sinais não senoidais. O vazamento não leva apenas ao aparecimento de erros de amplitude nos espectros de sinais discretos, mas também pode mascarar a presença de sinais fracos. Várias outras funções de janela podem ser propostas que podem reduzir o nível de lóbulos laterais em comparação com uma janela retangular. Reduzir o nível dos lóbulos laterais reduzirá a mudança na estimativa espectral, mas isso tem o custo de ampliar o lóbulo principal do espectro da janela, o que naturalmente leva a uma deterioração na resolução. Portanto, também aqui, algum compromisso deve ser feito entre a largura do lóbulo principal e o nível dos lóbulos laterais. Vários parâmetros são usados para avaliar a qualidade das janelas. A medida tradicional é a largura de banda do lóbulo principal com meia potência. A segunda métrica é a largura de banda equivalente inserida acima. Dois indicadores também são usados para avaliar as características dos lobos laterais. O primeiro é seu nível máximo, o segundo é a taxa de decaimento, que caracteriza a velocidade dos lóbulos laterais diminuindo à medida que se afastam do lóbulo principal. A Tabela 3 fornece definições para algumas funções de janela de tempo discreto comumente usadas e a Tabela 4 descreve suas características.
Tabela 3 Definições da janela de tempo discreta típica de N-pontos máx. nível dos lobos laterais, dB -31,5
. (46)
Método de correlograma a estimativa do PSD é simplesmente uma substituição na expressão (46) de uma sequência finita de valores da estimativa de autocorrelação ( correlogramas) em vez de uma sequência infinita de valores de autocorrelação verdadeiros desconhecidos. Mais informações sobre o método do correlograma de estimativa espectral podem ser encontradas em.
Literatura
1. Rabiner L., Gould B. Teoria e aplicação do processamento digital de sinais. M.: Mir, 1978.
2. Marple Jr. S.L. Análise espectral digital e suas aplicações: Per. do inglês. -M.: Mir, 1990.
3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Processamento de sinal digital. - M.: Rádio e comunicação, 1990.
4. Otnes R., Enokson L. Análise aplicada de séries temporais.- M.: Mir, 1982.
transformada de Fourier- esta é uma família de métodos matemáticos baseados na decomposição da função contínua original do tempo em um conjunto de funções harmônicas básicas (que são funções senoidais) de várias frequências, amplitudes e fases. Pode-se ver a partir da definição que a ideia principal da transformação é que qualquer função pode ser representada como uma soma infinita de senoides, cada uma das quais será caracterizada por sua amplitude, frequência e fase inicial.
A transformada de Fourier é a fundadora da análise espectral. A análise espectral é um método de processamento de sinal que permite caracterizar o conteúdo de frequência do sinal medido. Dependendo de como o sinal é representado, diferentes transformadas de Fourier são usadas. Existem vários tipos de transformada de Fourier:
– Transformada de Fourier Contínua (na literatura inglesa Transformada de Fourier no Tempo Continuado – CTFT ou, abreviadamente, FT);
– Transformada Discreta de Fourier (na literatura inglesa Transformada Discreta de Fourier – DFT);
– Transformada rápida de Fourier (na literatura inglesa Transformada rápida de Fourier – FFT).
Transformada de Fourier Contínua
A transformada de Fourier é uma ferramenta matemática usada em vários campos científicos. Em alguns casos, pode ser usado como meio de resolver equações complexas que descrevem processos dinâmicos que ocorrem sob a influência de energia elétrica, térmica ou luminosa. Em outros casos, permite destacar os componentes regulares em um sinal oscilatório complexo, para que você possa interpretar corretamente as observações experimentais em astronomia, medicina e química. Uma transformação contínua é na verdade uma generalização da série de Fourier, desde que o período da função expandida tenda ao infinito. Assim, a transformada clássica de Fourier trata do espectro do sinal tomado em toda a faixa de existência da variável.
Existem vários tipos de escrita de uma transformada contínua de Fourier, que diferem entre si pelo valor do coeficiente na frente da integral (duas formas de escrita):
ou 
onde e é a imagem de Fourier da função ou o espectro de frequência da função;
- frequência circular.
Deve-se notar que diferentes tipos de registro são encontrados em vários campos da ciência e tecnologia. O fator de normalização é necessário para o correto dimensionamento do sinal do domínio da frequência para o domínio do tempo. O fator de normalização reduz a amplitude do sinal na saída da transformação inversa para que corresponda à amplitude do sinal original. Na literatura matemática, as transformadas de Fourier direta e inversa são multiplicadas por um fator, enquanto na física, na maioria das vezes, com uma transformação direta, o fator não é definido, mas com o inverso, o fator é definido. Se calcularmos sequencialmente a transformada direta de Fourier de um determinado sinal e, em seguida, tomarmos a transformada inversa de Fourier, o resultado da transformada inversa deve coincidir completamente com o sinal original.
Se a função é ímpar no intervalo (−∞, +∞), então a transformada de Fourier pode ser representada em termos da função seno:
Se a função for par no intervalo (−∞, +∞), então a transformada de Fourier pode ser representada em termos da função cosseno:
Assim, a transformada contínua de Fourier permite representar uma função não periódica como integral de uma função que representa em cada um de seus pontos o coeficiente da série de Fourier para uma função não periódica.
A transformada de Fourier é reversível, ou seja, se sua imagem de Fourier foi calculada a partir da função, então a função original pode ser restaurada exclusivamente a partir da imagem de Fourier. A transformada inversa de Fourier é entendida como uma integral da forma (duas formas de escrita):
ou 
onde é a imagem de Fourier da função ou o espectro de frequência da função;
- frequência circular.
Se a função for ímpar no intervalo (−∞, +∞), então a transformada inversa de Fourier pode ser representada em termos da função seno:
Se a função for par no intervalo (−∞, +∞), então a transformada inversa de Fourier pode ser representada em termos da função cosseno:
Como exemplo, considere a seguinte função 
. O gráfico da função exponencial em estudo é apresentado a seguir.
Como a função é uma função par, então a transformada contínua de Fourier será definida da seguinte forma:
Como resultado, obtivemos a dependência da mudança na função exponencial estudada no intervalo de frequência (veja abaixo).
A transformada contínua de Fourier é geralmente usada na teoria quando se consideram sinais que mudam de acordo com determinadas funções, mas na prática geralmente lidam com resultados de medição que representam dados discretos. Os resultados da medição são registrados em intervalos regulares com uma determinada frequência de amostragem, por exemplo, 16.000 Hz ou 22.000 Hz. No entanto, no caso geral, as leituras discretas podem ser desiguais, mas isso complica o aparato matemático de análise, por isso geralmente não é usado na prática.
Existe um importante teorema de Kotelnikov (na literatura estrangeira existe o nome “o teorema de Nyquist-Shannon”, “o teorema da amostragem”), que afirma que um sinal periódico analógico com um espectro finito (limitado em largura) (0 . .. fmax) podem ser restauradas de forma única sem distorções e perdas em suas leituras discretas, tomadas com uma frequência maior ou igual a duas vezes a frequência superior do espectro - a frequência de amostragem (fdisc >= 2*fmax). Em outras palavras, a uma taxa de amostragem de 1000 Hz, um sinal com frequência de até 500 Hz pode ser recuperado de um sinal periódico analógico. Deve-se notar que a discretização de uma função no tempo leva à periodização do seu espectro, e a discretização do espectro em frequência leva à periodização da função.
Esta é uma das transformadas de Fourier amplamente utilizadas em algoritmos de processamento de sinais digitais.
A transformada direta discreta de Fourier associa uma função de tempo , que é definida por N pontos de medição em um determinado intervalo de tempo, com outra função , que é definida em um intervalo de frequência. Deve-se notar que a função no intervalo de tempo é especificada usando N-amostras, e a função no domínio da frequência é especificada usando o espectro K-fold.
k ˗ índice de frequência.
A frequência do k-ésimo sinal é determinada pela expressão
onde T é o período de tempo durante o qual os dados de entrada foram obtidos.
A transformada discreta direta pode ser reescrita em termos das componentes real e imaginária. O componente real é um array contendo os valores dos componentes do cosseno, e o componente imaginário é um array contendo os valores dos componentes do seno.
Pode-se ver pelas últimas expressões que a conversão decompõe o sinal em componentes senoidais (chamados harmônicos) com frequências de uma oscilação por período a N oscilações por período.
A transformada discreta de Fourier tem uma característica, pois uma sequência discreta pode ser obtida pela soma de funções com composição diferente do sinal harmônico. Em outras palavras, uma sequência discreta é decomposta em variáveis harmônicas - de forma ambígua. Portanto, ao decompor uma função discreta usando uma transformada discreta de Fourier, componentes de alta frequência aparecem na segunda metade do espectro, que não estavam no sinal original. Este espectro de alta frequência é uma imagem espelhada da primeira parte do espectro (em termos de frequência, fase e amplitude). Normalmente a segunda metade do espectro não é considerada e as amplitudes do sinal da primeira parte do espectro são duplicadas.
Deve-se notar que a expansão de uma função contínua não leva ao aparecimento de um efeito de espelho, uma vez que uma função contínua é unicamente decomposta em variáveis harmônicas.
A amplitude do componente DC é o valor médio da função durante um período de tempo selecionado e é determinado da seguinte forma:
As amplitudes e fases dos componentes de frequência do sinal são determinadas pelas seguintes relações:
Os valores de amplitude e fase resultantes são chamados de notação polar. O vetor de sinal resultante será definido da seguinte forma:
Considere o algoritmo para transformar uma função discretamente dada em um determinado intervalo (em um determinado período) com o número de pontos iniciais
D spark transformada de Fourier
Como resultado da transformação, obtemos os valores reais e imaginários da função , que é definida na faixa de frequência.
A transformada discreta de Fourier inversa associa uma função de frequência , que é definida por um espectro K-fold no domínio da frequência, com outra função , que é definida no domínio do tempo.
N ˗ o número de valores de sinal medidos por período, bem como a multiplicidade do espectro de frequência;
k ˗ índice de frequência.
Como já mencionado, a transformada discreta de Fourier mapeia N-pontos de um sinal discreto para amostras espectrais N-complexas do sinal. O cálculo de uma amostra espectral requer N operações de multiplicação e adição complexas. Assim, a complexidade computacional do algoritmo de transformada discreta de Fourier é quadrática, ou seja, são necessárias operações complexas de multiplicação e adição.
1As câmeras de videovigilância são amplamente utilizadas para controlar a situação do tráfego em rodovias com alta intensidade de tráfego. As informações provenientes das câmeras contêm dados sobre a mudança temporal na posição espacial dos veículos no campo de visão do sistema. O processamento desta informação com base em algoritmos utilizados em sistemas de medição de televisão (TIS) permite determinar a velocidade dos veículos e garantir o controlo do fluxo de tráfego. São esses fatores que explicam o crescente interesse no monitoramento televisivo das rotas de transporte.
Para desenvolver métodos de filtragem de imagens de veículos contra o ruído de fundo, é necessário conhecer seus principais parâmetros e características. Anteriormente, os autores realizaram um estudo dos espectros de Fourier e wavelet de fundos naturais e urbanos. Este trabalho é dedicado ao estudo de espectros similares de veículos.
- usando uma câmera digital, foi criado um banco de arquivos .bmp originais de imagens monocromáticas de veículos de vários tipos (carros e caminhões, ônibus, para cada grupo o número de imagens era 20-40 em diferentes ângulos e condições de iluminação); as imagens tinham 400 pixels na horizontal e 300 pixels na vertical; faixa de brilho de 0 a 255 unidades;
- como as imagens continham, além do veículo, também um componente de fundo, para evitar sua influência no resultado, foi suprimida artificialmente a um nível zero;
- as características das imagens dos veículos foram analisadas pelos métodos de análise de Fourier e wavelet.
O programa desenvolvido no ambiente MATLAB permite calcular o brilho médio (ou seja, a expectativa matemática do brilho da imagem), dispersão de brilho, espectro de Fourier de linhas de imagem individuais e totais, espectrogramas e espectros de wavelets usando várias wavelets conhecidas (Haar, Daubechies , Simlet e etc.). Os resultados da análise são refletidos na forma de espectros de imagem bidimensionais e 3D.
Com base nos resultados da pesquisa, as seguintes conclusões podem ser tiradas:
- características de brilho médio (brilho médio, dispersão) de imagens de diferentes veículos têm valores semelhantes para todos os tipos; um impacto significativo nas características de brilho tem brilho solar das janelas e superfícies do carro; dependendo da intensidade e direção da iluminação, os carros pretos podem ter características de brilho semelhantes aos carros leves;
- independentemente do tipo de veículo, os espectros de Fourier e wavelet têm uma estrutura semelhante;
- a largura de Fourier do espectro do veículo depende fracamente do tipo de veículo; o espectro tem uma estrutura significativamente não uniforme que muda com mudanças na iluminação e orientação do veículo; o espectro no plano horizontal tem uma estrutura mais desigual do que no vertical; as características espectrais de caminhões e ônibus são muito influenciadas por desenhos e inscrições (publicidade) em suas superfícies;
- ao virar os carros, a mudança nos espectros das imagens no plano horizontal é significativa, o espectro no plano vertical permanece bastante estável; isto é especialmente bem visto nos espectros wavelet;
- a análise dos espectros de um veículo individual e de um veículo no contexto da interferência mostra que eles diferem nos níveis de amplitude dos componentes espectrais; na ausência de fundo, o espectro vertical é muito mais uniforme; para imagens de carros sem fundo, a probabilidade de mergulhos profundos no espectro é maior (maior irregularidade), o envelope do espectro de imagens com fundo é mais uniforme do que sem fundo;
- os estudos realizados mostraram que devido à forte influência de um grande número de fatores, as características espectrais dos veículos (ambas obtidas por análise de Fourier e análise de wavelets) não nos permitem identificar características espectrais estáveis de imagens de veículos; isso reduz a eficiência da filtragem de imagem espectral para supressão de fundo;
- em sistemas automatizados de controle de tráfego, para distinguir os veículos no contexto de interferência, é necessário usar um conjunto de recursos, como cor, espectro, parâmetros geométricos de objetos (tamanhos e proporções de tamanho) e características dinâmicas.
BIBLIOGRAFIA
- Makaretsky E.A., Nguyen L.Kh. Estudo das características das imagens de cenários naturais e urbanos / / Izv. Tulsk. Estado. Universidade. Engenharia de rádio e ótica de rádio. - Tula, 2005. - T. 7.- P. 97-104.
Link bibliográfico
Makaretsky E.A. ESTUDO DOS ESPECTROS DE FOURIER E WAVELET DE IMAGENS DE VEÍCULOS // Pesquisa Fundamental. - 2006. - Nº 12. - P. 80-81;URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=5557 (data de acesso: 15/01/2020). Chamamos a sua atenção os periódicos publicados pela editora "Academia de História Natural"
