Rezolvarea problemelor de matematică este adesea însoțită de multe dificultăți pentru elevi. Ajutarea elevului să facă față acestor dificultăți, precum și învățarea acestuia să-și aplice cunoștințele teoretice existente atunci când rezolvă probleme specifice în toate secțiunile cursului la disciplina „Matematică” este scopul principal al site-ului nostru.

Când încep să rezolve probleme pe această temă, elevii ar trebui să fie capabili să construiască un punct pe un plan folosind coordonatele acestuia, precum și să găsească coordonatele unui punct dat.

Calculul distanței dintre două puncte A(x A; y A) și B(x B; y B) luate pe un plan se realizează folosind formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), unde d este lungimea segmentului care leagă aceste puncte pe plan.

Dacă unul dintre capetele segmentului coincide cu originea coordonatelor, iar celălalt are coordonatele M(x M; y M), atunci formula de calcul a d va lua forma OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Calculul distanței dintre două puncte pe baza coordonatelor date ale acestor puncte

Exemplul 1.

Aflați lungimea segmentului care leagă punctele A(2; -5) și B(-4; 3) pe planul de coordonate (Fig. 1).

Soluţie.

Enunţul problemei afirmă: x A = 2; x B = -4; y A = -5 și y B = 3. Aflați d.

Aplicând formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), obținem:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Calculul coordonatelor unui punct care este echidistant de trei puncte date

Exemplul 2.

Aflați coordonatele punctului O 1, care este echidistant de trei puncte A(7; -1) și B(-2; 2) și C(-1; -5).

Soluţie.

Din formularea condiţiilor problemei rezultă că O 1 A = O 1 B = O 1 C. Fie punctul dorit O 1 să aibă coordonate (a; b). Folosind formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) găsim:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Să creăm un sistem de două ecuații:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

După ce punem la pătrat părțile din stânga și dreapta ale ecuațiilor, scriem:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Simplificând, să scriem

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

După ce am rezolvat sistemul, obținem: a = 2; b = -1.

Punctul O 1 (2; -1) este echidistant de cele trei puncte specificate în condiția care nu se află pe aceeași linie dreaptă. Acest punct este centrul unui cerc care trece prin trei puncte date (Fig. 2).

3. Calculul abscisei (ordonatei) unui punct care se află pe axa absciselor (ordonatelor) și se află la o distanță dată de un punct dat

Exemplul 3.

Distanța de la punctul B(-5; 6) la punctul A situat pe axa Ox este 10. Găsiți punctul A.

Soluţie.

Din formularea condițiilor problemei rezultă că ordonata punctului A este egală cu zero și AB = 10.

Notând abscisa punctului A cu a, scriem A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Obținem ecuația √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificand-o, avem

a 2 + 10a – 39 = 0.

Rădăcinile acestei ecuații sunt a 1 = -13; și 2 = 3.

Obținem două puncte A 1 (-13; 0) și A 2 (3; 0).

Examinare:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Ambele puncte obținute sunt potrivite în funcție de condițiile problemei (Fig. 3).

4. Calculul abscisei (ordonatei) unui punct care se află pe axa absciselor (ordonatelor) și se află la aceeași distanță de două puncte date

Exemplul 4.

Găsiți un punct pe axa Oy care se află la aceeași distanță de punctele A (6, 12) și B (-8, 10).

Soluţie.

Fie coordonatele punctului cerut de condițiile problemei, situat pe axa Oy, O 1 (0; b) (în punctul situat pe axa Oy, abscisa este zero). Din condiția că O 1 A = O 1 B.

Folosind formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) găsim:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Avem ecuația √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) sau 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

După simplificare obținem: b – 4 = 0, b = 4.

Punctul O 1 (0; 4) cerut de condițiile problemei (Fig. 4).

5. Calculul coordonatelor unui punct care este situat la aceeași distanță de axele de coordonate și de un punct dat

Exemplul 5.

Găsiți punctul M situat pe planul de coordonate la aceeași distanță de axele de coordonate și de punctul A(-2; 1).

Soluţie.

Punctul M necesar, ca și punctul A(-2; 1), este situat în al doilea unghi de coordonate, deoarece este echidistant de punctele A, P 1 și P 2 (Fig. 5). Distanțele punctului M față de axele de coordonate sunt aceleași, prin urmare, coordonatele sale vor fi (-a; a), unde a > 0.

Din condiţiile problemei rezultă că MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

acestea. |-a| = a.

Folosind formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) găsim:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Să facem o ecuație:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

După pătrare și simplificare avem: a 2 – 6a + 5 = 0. Rezolvați ecuația, găsiți a 1 = 1; și 2 = 5.

Obţinem două puncte M 1 (-1; 1) şi M 2 (-5; 5) care îndeplinesc condiţiile problemei.

6. Calculul coordonatelor unui punct care se află la aceeași distanță specificată față de axa absciselor (ordonate) și de la punctul dat

Exemplul 6.

Găsiți un punct M astfel încât distanța sa de la axa ordonatelor și de la punctul A(8; 6) să fie egală cu 5.

Soluţie.

Din conditiile problemei rezulta ca MA = 5 si abscisa punctului M este egala cu 5. Fie ordonata punctului M egala cu b, apoi M(5; b) (Fig. 6).

Conform formulei d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) avem:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Să facem o ecuație:

√(((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Simplificând-o, obținem: b 2 – 12b + 20 = 0. Rădăcinile acestei ecuații sunt b 1 = 2; b 2 = 10. În consecință, există două puncte care îndeplinesc condițiile problemei: M 1 (5; 2) și M 2 (5; 10).

Se știe că mulți studenți, atunci când rezolvă probleme în mod independent, au nevoie de consultări constante asupra tehnicilor și metodelor de rezolvare a acestora. Adesea, un elev nu poate găsi o modalitate de a rezolva o problemă fără ajutorul unui profesor. Studentul poate primi sfaturile necesare pentru rezolvarea problemelor pe site-ul nostru.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să găsești distanța dintre două puncte dintr-un avion?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Distanța de la punct la punct este lungimea segmentului care leagă aceste puncte pe o scară dată. Astfel, atunci când vine vorba de măsurarea distanței, trebuie să cunoașteți scara (unitatea de lungime) în care vor fi făcute măsurătorile. Prin urmare, problema găsirii distanței de la punct la punct este de obicei considerată fie pe o dreaptă de coordonate, fie într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe un plan sau în spațiu tridimensional. Cu alte cuvinte, cel mai adesea trebuie să calculați distanța dintre puncte folosind coordonatele lor.

În acest articol, ne vom aminti mai întâi cum este determinată distanța de la un punct la altul pe o linie de coordonate. În continuare, obținem formule pentru calcularea distanței dintre două puncte ale unui plan sau spațiu în funcție de coordonatele date. În concluzie, vom analiza în detaliu soluțiile la exemplele și problemele tipice.

Navigare în pagină.

Distanța dintre două puncte de pe o linie de coordonate.

Să definim mai întâi notația. Vom nota distanța de la punctul A la punctul B ca .

De aici putem concluziona că distanta de la punctul A cu coordonata la punctul B cu coordonata este egala cu modulul diferentei de coordonate, acesta este, pentru orice locație a punctelor pe linia de coordonate.

Distanța de la punct la punct pe un plan, formulă.

Obținem o formulă de calcul a distanței dintre puncte și dată într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe un plan.

În funcție de locația punctelor A și B, sunt posibile următoarele opțiuni.

Dacă punctele A și B coincid, atunci distanța dintre ele este zero.

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa absciselor, atunci punctele coincid, iar distanța este egală cu distanța . În paragraful anterior, am aflat că distanța dintre două puncte de pe o linie de coordonate este egală cu modulul diferenței dintre coordonatele lor, prin urmare, . Prin urmare, .

În mod similar, dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa ordonatelor, atunci distanța de la punctul A la punctul B se găsește ca .

În acest caz, triunghiul ABC este dreptunghiular în construcție și Și . De teorema lui Pitagora putem nota egalitatea, de unde .

Să rezumam toate rezultatele obținute: distanța de la un punct la un punct dintr-un plan se găsește prin coordonatele punctelor folosind formula .

Formula rezultată pentru găsirea distanței dintre puncte poate fi utilizată atunci când punctele A și B coincid sau se află pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate. Într-adevăr, dacă A și B coincid, atunci . Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa Ox, atunci. Dacă A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa Oy, atunci .

Distanța dintre punctele din spațiu, formulă.

Să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu. Să obținem o formulă pentru a găsi distanța de la un punct până la punctul .

În general, punctele A și B nu se află într-un plan paralel cu unul dintre planurile de coordonate. Să desenăm prin punctele A și B plane perpendiculare pe axele de coordonate Ox, Oy și Oz. Punctele de intersecție ale acestor plane cu axele de coordonate ne vor oferi proiecții ale punctelor A și B pe aceste axe. Notăm proiecțiile .

Distanța necesară dintre punctele A și B este diagonala paralelipipedului dreptunghiular prezentat în figură. Prin construcție, dimensiunile acestui paralelipiped sunt egale Și . Într-un curs de geometrie de liceu, s-a dovedit că pătratul diagonalei unui cuboid este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale, prin urmare, . Pe baza informațiilor din prima secțiune a acestui articol, putem scrie următoarele egalități, prin urmare,

de unde o luăm formula pentru aflarea distantei dintre punctele din spatiu .

Această formulă este valabilă și dacă punctele A și B

• se potrivesc;
• aparțin uneia dintre axele de coordonate sau unei linii paralele cu una dintre axele de coordonate;
• aparțin unuia dintre planurile de coordonate sau unui plan paralel cu unul dintre planurile de coordonate.

Găsirea distanței de la punct la punct, exemple și soluții.

Deci, am obținut formule pentru găsirea distanței dintre două puncte de pe o dreaptă de coordonate, plan și spațiu tridimensional. Este timpul să privim soluții pentru exemplele tipice.

Numărul de probleme în care pasul final este găsirea distanței dintre două puncte în funcție de coordonatele lor este cu adevărat enorm. O revizuire completă a unor astfel de exemple depășește scopul acestui articol. Aici ne vom limita la exemple în care sunt cunoscute coordonatele a două puncte și este necesar să se calculeze distanța dintre ele.

Folosind coordonatele, se determină locația unui obiect pe glob. Coordonatele sunt indicate prin latitudine și longitudine. Latitudinile sunt măsurate de la linia ecuatorului de ambele părți. În emisfera nordică latitudinile sunt pozitive, în emisfera sudică sunt negative. Longitudinea se măsoară de la primul meridian fie la est, fie la vest, respectiv, se obține longitudinea estică sau vestică.

Conform poziției general acceptate, primul meridian este considerat a fi cel care trece prin vechiul Observator Greenwich din Greenwich. Coordonatele geografice ale locației pot fi obținute folosind un navigator GPS. Acest dispozitiv primește semnale ale sistemului de poziționare prin satelit în sistemul de coordonate WGS-84, uniform pentru întreaga lume.

Modelele de navigator diferă în funcție de producător, funcționalitate și interfață. În prezent, navigatoarele GPS încorporate sunt disponibile și în unele modele de telefoane mobile. Dar orice model poate înregistra și salva coordonatele unui punct.

Distanța dintre coordonatele GPS

Pentru a rezolva probleme practice și teoretice din unele industrii, este necesar să se poată determina distanțele dintre puncte prin coordonatele acestora. Există mai multe moduri în care puteți face acest lucru. Forma canonică de reprezentare a coordonatelor geografice: grade, minute, secunde.

De exemplu, puteți determina distanța dintre următoarele coordonate: punctul nr. 1 - latitudine 55°45′07″ N, longitudine 37°36′56″ E; punctul nr. 2 - latitudine 58°00′02″ N, longitudine 102°39′42″ E.

Cel mai simplu mod este să folosești un calculator pentru a calcula lungimea dintre două puncte. În motorul de căutare din browser, trebuie să setați următorii parametri de căutare: online - pentru a calcula distanța dintre două coordonate. În calculatorul online, valorile de latitudine și longitudine sunt introduse în câmpurile de interogare pentru prima și a doua coordonată. La calcul, calculatorul online a dat rezultatul - 3.800.619 m.

Următoarea metodă necesită mai multă muncă, dar și mai vizuală. Trebuie să utilizați orice program de cartografiere sau de navigare disponibil. Programele în care puteți crea puncte folosind coordonate și măsura distanțe dintre ele includ următoarele aplicații: BaseCamp (un analog modern al programului MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Toate programele de mai sus sunt disponibile oricărui utilizator al rețelei. De exemplu, pentru a calcula distanța dintre două coordonate în Google Earth, trebuie să creați două etichete care indică coordonatele primului punct și celui de-al doilea punct. Apoi, folosind instrumentul „Riglă”, trebuie să conectați primul și al doilea marcaj cu o linie, programul va afișa automat rezultatul măsurării și va arăta calea pe imaginea prin satelit a Pământului.

În cazul exemplului dat mai sus, programul Google Earth a returnat rezultatul - lungimea distanței dintre punctul nr. 1 și punctul nr. 2 este de 3.817.353 m.

De ce există o eroare la determinarea distanței

Toate calculele extinderii dintre coordonate se bazează pe calculul lungimii arcului. Raza Pământului este implicată în calcularea lungimii arcului. Dar, deoarece forma Pământului este apropiată de un elipsoid oblat, raza Pământului variază în anumite puncte. Pentru a calcula distanța dintre coordonate, se ia valoarea medie a razei Pământului, ceea ce dă o eroare în măsurare. Cu cât distanța măsurată este mai mare, cu atât eroarea este mai mare.

Matematică

§2. Coordonatele unui punct din plan

3. Distanța dintre două puncte.

Tu și cu mine putem vorbi acum despre puncte în limbajul numerelor. De exemplu, nu mai trebuie să explicăm: luați un punct care se află la trei unități la dreapta axei și la cinci unități sub axa. Este suficient să spunem simplu: luați ideea.

Am spus deja că acest lucru creează anumite avantaje. Deci, putem transmite prin telegraf un desen format din puncte, îl putem comunica unui computer, care nu înțelege deloc desenele, dar înțelege bine cifrele.

În paragraful anterior, am definit câteva seturi de puncte din plan folosind relații între numere. Acum să încercăm să traducem în mod consecvent alte concepte și fapte geometrice în limbajul numerelor.

Vom începe cu o sarcină simplă și comună.

Găsiți distanța dintre două puncte din avion.

Soluţie:
Ca întotdeauna, presupunem că punctele sunt date de coordonatele lor, iar apoi sarcina noastră este să găsim o regulă prin care să putem calcula distanța dintre puncte, cunoscându-le coordonatele. La derivarea acestei reguli, desigur, este permis să se recurgă la un desen, dar regula în sine nu ar trebui să conțină referințe la desen, ci ar trebui să arate doar ce acțiuni și în ce ordine trebuie efectuate pe numerele date - coordonatele. a punctelor – pentru a obține numărul dorit – distanța dintre puncte.

Poate că unii cititori vor găsi această abordare pentru rezolvarea problemei ciudată și exagerată. Ce este mai simplu, vor spune ei, punctele sunt date, chiar și prin coordonate. Desenați aceste puncte, luați o riglă și măsurați distanța dintre ele.

Această metodă uneori nu este atât de rea. Totuși, imaginați-vă din nou că aveți de-a face cu un computer. Nu are riglă și nu desenează, dar poate număra atât de repede încât nu este deloc o problemă pentru ea. Rețineți că problema noastră este formulată astfel încât regula de calcul a distanței dintre două puncte constă în comenzi care pot fi executate de o mașină.

Este mai bine să rezolvați mai întâi problema pusă pentru cazul special când unul dintre aceste puncte se află la originea coordonatelor. Începeți cu câteva exemple numerice: găsiți distanța de la originea punctelor; Și .

Notă. Utilizați teorema lui Pitagora.

Acum scrieți o formulă generală pentru a calcula distanța unui punct de la origine.

Distanța unui punct de la origine este determinată de formula:

În mod evident, regula exprimată prin această formulă îndeplinește condițiile enunțate mai sus. În special, poate fi folosit în calcule pe mașini care pot înmulți numere, le pot adăuga și extrage rădăcini pătrate.

Acum să rezolvăm problema generală

Având în vedere două puncte dintr-un plan, găsiți distanța dintre ele.

Soluţie:
Să notăm cu , , , proiecțiile punctelor și pe axele de coordonate.

Să notăm punctul de intersecție al liniilor cu litera . Dintr-un triunghi dreptunghic folosind teorema lui Pitagora obținem:

Dar lungimea segmentului este egală cu lungimea segmentului. Punctele și , se află pe axă și au coordonatele și, respectiv. Conform formulei obținute la paragraful 3 al paragrafului 2, distanța dintre ele este egală cu .

Argumentând în mod similar, aflăm că lungimea segmentului este egală cu . Înlocuind valorile găsite și în formula obținem.

În acest articol vom analiza modalități de a determina distanța de la un punct la altul teoretic și folosind exemplul unor sarcini specifice. Pentru început, să introducem câteva definiții.

Definiția 1

Distanța dintre puncte este lungimea segmentului care le leagă, pe scara existentă. Este necesar să setați o scară pentru a avea o unitate de lungime pentru măsură. Prin urmare, practic problema găsirii distanței dintre puncte se rezolvă folosind coordonatele acestora pe o linie de coordonate, într-un plan de coordonate sau spațiu tridimensional.

Date inițiale: linia de coordonate O x și un punct arbitrar A aflat pe ea. Orice punct de pe linie are un număr real: să fie un anumit număr pentru punctul A x A, este, de asemenea, coordonata punctului A.

În general, putem spune că lungimea unui anumit segment este evaluată în comparație cu un segment luat ca unitate de lungime pe o scară dată.

Dacă punctului A corespunde unui număr real întreg, prin așezarea succesivă de la punctul O la punct de-a lungul liniei drepte segmente O A - unități de lungime, putem determina lungimea segmentului O A din numărul total de segmente unitare puse deoparte.

De exemplu, punctul A corespunde numărului 3 - pentru a ajunge la el din punctul O, va trebui să concediați trei segmente de unitate. Dacă punctul A are coordonata - 4, segmentele de unitate sunt așezate într-un mod similar, dar într-o direcție diferită, negativă. Astfel, în primul caz, distanța O A este egală cu 3; în al doilea caz O A = 4.

Dacă punctul A are un număr rațional ca coordonată, atunci de la origine (punctul O) trasăm un număr întreg de segmente de unitate și apoi partea necesară. Dar din punct de vedere geometric nu este întotdeauna posibil să se facă o măsurătoare. De exemplu, pare dificil să reprezentați fracția 4 111 pe linia de coordonate.

Folosind metoda de mai sus, este complet imposibil să trasezi un număr irațional pe o linie dreaptă. De exemplu, când coordonata punctului A este 11. În acest caz, se poate trece la abstractizare: dacă coordonata dată a punctului A este mai mare decât zero, atunci O A = x A (numărul este luat ca distanță); dacă coordonata este mai mică decât zero, atunci O A = - x A . În general, aceste afirmații sunt adevărate pentru orice număr real x A.

Pentru a rezuma: distanța de la origine la punctul care corespunde unui număr real pe linia de coordonate este egală cu:

• 0 dacă punctul coincide cu originea;

• x A, dacă x A > 0;

• - x A dacă x A< 0 .

În acest caz, este evident că lungimea segmentului în sine nu poate fi negativă, prin urmare, folosind semnul modulului, scriem distanța de la punctul O la punctul A cu coordonatele xA: O A = x A

Următoarea afirmație va fi adevărată: distanța de la un punct la altul va fi egală cu modulul diferenței de coordonate. Acestea. pentru punctele A și B situate pe aceeași linie de coordonate pentru orice locație și având coordonatele corespunzătoare xAȘi x B: A B = x B - x A .

Date inițiale: punctele A și B situate pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y cu coordonatele date: A (x A, y A) și B (x B, y B).

Să trasăm perpendiculare prin punctele A și B pe axele de coordonate O x și O y și să obținem ca rezultat punctele de proiecție: A x, A y, B x, B y. Pe baza locației punctelor A și B, sunt posibile următoarele opțiuni:

Dacă punctele A și B coincid, atunci distanța dintre ele este zero;

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa O x (axa absciselor), atunci punctele coincid și | A B | = | A y B y | . Deoarece distanța dintre puncte este egală cu modulul diferenței coordonatelor lor, atunci A y B y = y B - y A și, prin urmare, A B = A y B y = y B - y A.

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa O y (axa ordonatelor) - prin analogie cu paragraful anterior: A B = A x B x = x B - x A

Dacă punctele A și B nu se află pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, vom găsi distanța dintre ele derivând formula de calcul:

Vedem că triunghiul A B C este dreptunghiular în construcție. În acest caz, A C = A x B x și B C = A y B y. Folosind teorema lui Pitagora, creăm egalitatea: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , iar apoi o transformăm: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Să tragem o concluzie din rezultatul obținut: distanța de la punctul A la punctul B din plan se determină prin calcul folosind formula folosind coordonatele acestor puncte

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Formula rezultată confirmă, de asemenea, afirmațiile formate anterior pentru cazurile de coincidență a punctelor sau situații în care punctele se află pe linii drepte perpendiculare pe axe. Deci, dacă punctele A și B coincid, următoarea egalitate va fi adevărată: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pentru o situație în care punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pentru cazul în care punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa ordonatelor:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Date inițiale: un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z cu puncte arbitrare situate pe el cu coordonatele date A (x A, y A, z A) și B (x B, y B, z B). Este necesar să se determine distanța dintre aceste puncte.

Să luăm în considerare cazul general când punctele A și B nu se află într-un plan paralel cu unul dintre planurile de coordonate. Să desenăm plane perpendiculare pe axele de coordonate prin punctele A și B și să obținem punctele de proiecție corespunzătoare: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Distanța dintre punctele A și B este diagonala paralelipipedului rezultat. Conform construcției măsurătorilor acestui paralelipiped: A x B x , A y B y și A z B z

Din cursul geometriei știm că pătratul diagonalei unui paralelipiped este egal cu suma pătratelor dimensiunilor acestuia. Pe baza acestei afirmații, obținem egalitatea: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Folosind concluziile obținute mai devreme, scriem următoarele:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Să transformăm expresia:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final formula pentru determinarea distantei dintre punctele din spatiu va arata asa:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Formula rezultată este valabilă și pentru cazurile în care:

Punctele coincid;

Ele se află pe o axă de coordonate sau pe o linie dreaptă paralelă cu una dintre axele de coordonate.

Exemple de rezolvare a problemelor privind găsirea distanței dintre puncte

Exemplul 1

Date inițiale: sunt date o linie de coordonate și puncte care se află pe ea cu coordonatele date A (1 - 2) și B (11 + 2). Este necesar să se găsească distanța de la punctul de origine O la punctul A și dintre punctele A și B.

Soluţie

1. Distanța de la punctul de referință la punct este egală cu modulul coordonatei acestui punct, respectiv O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Definim distanta dintre punctele A si B ca fiind modulul diferentei dintre coordonatele acestor puncte: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Răspuns: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Exemplul 2

Date inițiale: un sistem de coordonate dreptunghiular și două puncte situate pe el sunt date A (1, - 1) și B (λ + 1, 3). λ este un număr real. Este necesar să găsiți toate valorile acestui număr la care distanța A B va fi egală cu 5.

Soluţie

Pentru a afla distanța dintre punctele A și B, trebuie să utilizați formula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Înlocuind valorile coordonatelor reale, obținem: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

De asemenea, folosim condiția existentă ca A B = 5 și atunci egalitatea va fi adevărată:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Răspuns: A B = 5 dacă λ = ± 3.

Exemplul 3

Date inițiale: un spațiu tridimensional este specificat în sistemul de coordonate dreptunghiular O x y z și punctele A (1, 2, 3) și B - 7, - 2, 4 aflate în el.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, folosim formula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Înlocuind valorile reale, obținem: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Raspuns: | A B | = 9

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter