Aici vom continua să fim lansați în prima parte a operațiunilor peste matrice și vom întreba perechea de exemple în care va trebui să aplicați mai multe operații simultan.
Construcția matricei în grad.
Fie K un număr non-negativ. Pentru orice matrice pătrat $ a_ (n \\ ori n) $ avem: $$ a ^ k \u003d \\ Underbia (A \\ CDOT A \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT A) _ (k \\; ori) $$
În acest caz, presupunem că $ a ^ 0 \u003d E $, unde $ E $ este o singură matrice a ordinii corespunzătoare.
Exemplu numărul 4.
Matricea $ a \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $ este setat. Găsiți matricele $ A ^ 2 $ și $ A ^ $ 6.
Conform definiției $ a ^ 2 \u003d a \\ CDOT A $, adică. Pentru a găsi $ a ^ $ 2 $ Trebuie doar să înmulțiți matricea $ A $ pentru dvs. Funcționarea de multiplicare a matricelor a fost luată în considerare în prima parte a subiectului, deci aici scriem pur și simplu procesul de soluție fără explicații detaliate:
$ A ^ 2 \u003d A \\ cdot a \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \\ CDOT \\ stânga (\\ începe (matrice) (Cc) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \u003d \\ stânga (\\ begin (matrice) (cc) 1 \\ cdot 1 + 2 \\ cdot (-1) & 1 \\ cdot 2 +2 \\ CDOT (-3) \\\\ -1 \\ CDOT 1 + (- 3) \\ cdot (-1) & -1 \\ cdot 2 + (- 3) \\ cdot (-3) \\ capătul (matrice) \\ dreapta ) \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ capătul (matrice) \\ dreapta). $.
Pentru a găsi matricea de $ a ^ $ 6 Avem două opțiuni. Prima opțiune: Continuați să multiplicați $ a ^ $ 2 pe o matrice $ A $:
$ a ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A. $$
Cu toate acestea, este posibil să mergem oarecum mai simplu, folosind proprietățile asociației de multiplicare a matricelor. Am pus paranteze în expresie pentru $ a ^ $ 6:
$ a ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A \u003d A ^ 2 \\ CDOT (A \\ CDOT A) \\ CDOT (A \\ CDOT A) \u003d A ^ 2 \\ CDOT A ^ 2 \\ Cdot a ^ 2. $.
Dacă, la rezolvarea primei metode, ar exista patru operații de multiplicare, apoi pentru a doua metodă - numai două. Deci, să trecem prin al doilea rând:
$$ a ^ 6 \u003d A ^ 2 \\ CDOT A ^ 2 \\ CDOT A ^ 2 \u003d \\ Stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \\ CDOT \\ stânga (\\ începe (matrice) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \\ cdot \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \u003d \\\\ \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CC) -1 \\ CDOT (-1) + (- 4) \\ CDOT 2 & -1 \\ CDOT (-4 ) + (- 4) \\ CDOT 7 \\\\ 2 \\ CDOT (-1) +7 \\ CDOT 2 & 2 \\ CDOT (-4) +7 \\ CDOT 7 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \\ cdot \\ stânga (\\ Începe (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CC) -7 & -24 \\\\ 12 & 41 \\ capătul ( Array) \\ dreapta) \\ CDOT \\ stânga (\\ începe (matrice) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \u003d \\\\ \u003d \\ stânga (\\ începe (matrice) (cc ) -7 \\ CDOT (-1) + (- 24) \\ CDOT 2 & -7 \\ CDOT (-4) + (- 24) \\ CDOT 7 \\\\ 12 \\ CDOT (-1) +41 \\ CDOT 2 & 12 \\ CDOT (-4) +41 \\ CDOT 7 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) -41 & -140 \\\\ 0 & 239 \\ capătul (matrice) \\ dreapta). $.
Răspuns: $ A ^ 2 \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $, $ a ^ 6 \u003d \\ stânga (\\ începe (matrice) (Cc) -41 & -140 \\\\ 0 & 239 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $.
Exemplu numărul 5.
Matrix $ a \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCCC) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 5 & 0 \\ ed (matry) \\ dreapta) $, $ b \u003d \\ stânga (\\ începe (Array) (CCC) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 END (matrice) \\ dreapta) $, $ c \u003d \\ stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CCC) -5 & -20 & 13 \\\\ 10 & 12 & 9 \\\\ 3 & -15 & 8 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $. Găsiți matricea $ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E $.
Calculul matricei de $ d $ va începe cu găsirea rezultatului produsului $ AB $. Matricele $ A $ și $ B $ pot fi multiplicate, deoarece numărul de coloane din coloana de $ A $ A este egală cu numărul de linii de matrice $ B $. Denotă de $ f \u003d ab $. În acest caz, matricea $ F va avea trei coloane și trei linii, adică. Va fi pătrat (dacă această ieșire pare neclară, vezi descrierea multiplicării matricelor în prima parte a acestui subiect). Găsim matricea $ F $, calculează toate elementele sale:
$$ F \u003d A \\ CDOT B \u003d \\ Stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CCCC) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 & 6 & 6 & 6 \\ Sfârșit (matrice) \\ dreapta) \\ cdot \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 \\ Sfârșit (matrice) \\ dreapta) \\\\ \\ Începe (aliniate) & F_ (11) \u003d 1 \\ CDOT (-9) +0 \\ CDOT 2 + (- 1) \\ CDOT 0 + 2 \\ CDOT 1 \u003d -7; \\\\ & F_ (12) \u003d 1 \\ CDOT 1 + 0 \\ CDOT (-1) + (- 1) \\ cdot (-2) +2 \\ cdot 5 \u003d 13; \\\\ & F_ (13) \u003d 1 \\ CDOT 0 + 0 \\ CDOT 4 + (- 1) \\ CDOT 3 + 2 \\ CDOT 0 \u003d -3; \\\\ \\\\ & F_ (21) \u003d 3 \\ CDOT (-9 ) + (- 2) \\ CDOT 2 + 5 \\ CDOT 0 + 0 \\ CDOT 1 \u003d -31; \\\\ & f_ (22) \u003d 3 \\ cdot 1 + (- 2) \\ cdot (-1) +5 \\ cdot (-2) +0 \\ cdot 5 \u003d -5; \\\\ & f_ (23) \u003d 3 \\ cdot 0 + (- 2) \\ cdot 4 + 5 \\ CDOT 3 + 0 \\ CDOT 0 \u003d 7; \\\\ \\\\ & F_ (31) \u003d - 1 \\ CDOT (-9) +4 \\ CDOT 2 + (- 3) \\ CDOT 0 + 6 \\ CDOT 1 \u003d 23; \\\\ & F_ (32) \u003d - 1 \\ CDOT 1 + 4 \\ CDOT (-1) + (- 3) \\ cdot (-2) +6 \\ cdot 5 \u003d 31; \\\\ & f_ (33) \u003d - 1 \\ CDOT 0 + 4 \\ CDOT 4 + (- 3) \\ CDOT 3 + 6 \\ CDOT 0 \u003d 7. \\ Capăt (aliniat) $$
Deci, $ f \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 end (matrice) \\ dreapta) $. Să mergem mai departe. Matrix $ C ^ T $ - Matrix transpus pentru o matrice $ C $, adică $ C ^ t \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 \\\\ 13 & 9 & 8 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $. În ceea ce privește matricea $ e $, atunci aceasta este o singură matrice. ÎN acest caz Ordinea acestei matrice este de trei, adică. $ E \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 end (matrice) \\ dreapta) $.
În principiu, putem continua să mergem pas cu pas, dar expresia rămasă este mai bine să se ia în considerare în întregime fără a fi distrasă de acțiunile auxiliare. De fapt, avem doar operațiuni pentru multiplicarea matricelor pentru un număr, precum și operațiuni de adăugare și scădere.
$$ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E \u003d 2 \\ CDOT \\ Stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CCC) -7 & 13 & -5 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ Sfârșitul (matrice) \\ dreapta) -3 \\ CDOT \\ Stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CCC) -5 & 10 & 3 & 3 & 20 & -15 \\\\ 13 & 9 & 8 \\ capătul (matrice) \\ Dreapta) +7 \\ cdot \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 End (matrice) \\ dreapta) $$
Multiplicați matricele din partea dreaptă a egalității pe numerele corespunzătoare (adică 2, 3 și 7):
$$ 2 \\ CDOT \\ Stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\ 23 & 31 & 7 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) -3 \\ CDOT \\ Stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CCC) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 \\\\ 13 & 9 & 8 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) +7 \\ cdot \\ stânga (\\ Începe (Array) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 End (matrice) \\ dreapta) \u003d \\\\ \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) - 14 & 26 & 14 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 46 & 62 & 14 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) - \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) -15 & 13 & 9 \\\\ - 60 & 36 & -45 \\\\ 39 & 27 & 24 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) + \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) 7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 7 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $$
Efectuat acțiuni recente: Scăderea și adăugarea:
$$ \\ Stânga (\\ începe (matrice) (CCC) -14 & 26 & -6 \\\\ -62 & -10 & 14 \\\\ 6 & 62 & 14 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) - \\ stânga (în stânga (Array) (CCC) -15 & 30 & 9 \\\\ -60 & 36 & -45 \\\\ 39 & 27 & 24 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) + \\ Stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CCC) 7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 7 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \u003d \\\\ \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 & -6- 9 + 0 \\\\ -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 & 14 - (- 45) +0 \\\\ 46-39 + 0 & 62-27 +0 & 14-24 + 7 \\ Capătul (matrice) \\ dreapta) \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) 8 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ capătul (matrice) \\ dreapta ). $.
Sarcina este rezolvată, $ D \u003d \\ Stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ capătul (matrice) \\ dreapta ) $.
Răspuns: $ D \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (CCC) 8 & -4 & 59 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $.
Exemplul nr. 6.
Lăsați $ F (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ și matricei $ a \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $) $) $) $ . Găsiți valoarea lui $ F (a) $.
Dacă $ F (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $, apoi sub $ F (a) $ Înțelegeți matricea:
$ F (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E. $.
Acesta este modul în care polinomul este determinat din matrice. Deci, trebuie să înlocuim matricea $ a $ în expresia pentru $ F (A) $ și obțineți rezultatul. Deoarece toate acțiunile au fost dezmembrate în detaliu mai devreme, atunci voi da o decizie. Dacă procesul de execuție a operațiunii $ a ^ 2 \u003d A \\ CDOT A $ este neclar pentru tine, vă sfătuiesc să vă uitați la descrierea multiplicării matricelor în prima parte a acestui subiect.
$ F (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E \u003d 2A \\ CDOT A + 3A-9E \u003d 2 \\ Stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ capătul (matrice) \\ Dreapta) \\ cdot \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) +3 \\ stânga (\\ început (matrice) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) -9 \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ stânga ( \\ Începe (matrice) (cc) (-3) \\ cdot (-3) +1 \\ cdot 5 & (-3) \\ cdot 1 + 1 \\ cdot 0 \\\\ 5 \\ cdot (-3) +0 \\ cdot 5 & 5 \\ cdot 1 + 0 \\ CDOT 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) +3 \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) -9 \\ Stânga (\\ începe (matrice) (cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) 14 & -3 \\\\ - 15 & 5 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) +3 \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) -9 \\ stânga (\\ începe (matrice ) (Cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) 28 & -6 \\\\ -30 & 10 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) + \\ Stânga (\\ începe (matrice) (CC) -9 & 3 \\\\ 15 & 0 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) - \\ Stânga (\\ BEAT (ARRAY) (CC) 9 & 0 \\\\ 0 & 9 \\ Sfârșitul (matrice) \\ dreapta) \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 \\ capătul (matrice) \\ dreapta). $.
Răspuns: $ F (a) \u003d \\ stânga (\\ început (matrice) (cc) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 \\ capătul (matrice) \\ dreapta) $.
Matricea A -1 se numește matricea inversă în raport cu matricea A, dacă a * A -1 \u003d E, unde E este o singură comandă N-comandă. Matricea inversă poate exista numai pentru matrice pătrate.
Numirea serviciului. Prin intermediul acest serviciu În modul online puteți găsi suplimente algebrice, o matrice transpusă A, matricea aliată și o matrice inversă. Decizia se efectuează direct pe site (în modul online) și este gratuită. Rezultatele calculelor sunt emise în raportul de format Word și în formatul Excel. (adică este posibil să verificați soluția). Vedeți exemplul de înregistrare.
Instrucțiuni. Pentru a obține o soluție, trebuie să specificați dimensiunea matricei. Apoi, în caseta de dialog nou, completați matricea A.
Vedeți și matricea inversă de Jordan-Gauss
Algoritmul pentru matricea de întoarcere
- Găsirea unei matrice transpuse a T.
- Definiția adăugări algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei prin adăugarea sa algebrică.
- Compilare matrice inversă Din adăugările algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit într-un determinant al matricei originale. Matricea rezultată este inversă pentru matricea originală.
- Determinați dacă matricea pătrată. Dacă nu, matricea inversă nu există pentru el.
- Calculul determinantului matricei A. Dacă nu este egal cu zero, vom continua soluția, altfel nu există matrice inversă.
- Definiția adăugări algebrice.
- Umplerea matricei de sindicare (atașată reciprocă) C.
- Elaborarea unei matrice inverse de adăugiri algebrice: Fiecare element al matricei C atașate este împărțit în determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversă pentru matricea originală.
- Verificați: Deplasați matricea originală și obținută. Ca rezultat, trebuie obținută o singură matrice.
Exemplul nr. 1. Noi scriem matricea sub forma:
| A -1 \u003d. |
|
Un alt algoritm pentru găsirea unei matrice inverse
Dăm o altă diagramă de a găsi matricea de întoarcere.- Considerăm determinantul acestei matrice pătrate a.
- Găsim adăugiri algebrice la toate elementele matricei A.
- Înregistrați suplimente algebrice ale elementelor de rânduri în coloane (transpunere).
- Împărțăm fiecare element al matricei rezultate determinantului matricei A.
Un caz special: Invers, cu privire la o singură matrice E, este o singură matrice E.
Unele proprietăți ale operațiunilor asupra matricelor.
Matricea Expresii
Și acum continuarea subiectului în care vom lua în considerare nu numai material nou, dar și de lucru acțiuni cu matrices..
Unele proprietăți ale operațiunilor asupra matricelor
Există destul de multe proprietăți care se referă la acțiunile cu matrice, în același wikipedia puteți admira rândurile subțiri ale regulilor relevante. Cu toate acestea, în practică, multe proprietăți într-un anumit sens de "morți", deoarece numai unele dintre ele sunt folosite în timpul rezolvării sarcinilor reale. Scopul meu este de a lua în considerare aplicarea aplicată a proprietăților pe exemple specifice și dacă aveți nevoie de o teorie strictă, vă rugăm să utilizați o altă sursă de informații.
Ia în considerare unele excepții de la regulacare vor fi obligate să îndeplinească sarcini practice.
Dacă matricea pătrată are matrice inversă , apoi comutatorul lor de multiplicare: 
Un singur matrice numit o matrice pătrată, care diagonala principală Unitățile sunt situate, iar elementele rămase sunt zero. De exemplu:, etc.
În care Fair Următoarea proprietate: Dacă o matrice arbitrară multiplică stanga sau dreapta Pe o singură matrice de dimensiuni adecvate, rezultatul este matricea inițială:
După cum puteți vedea, are loc și comutarea multiplicării matricei.
Luați o matrice, bine, spuneți matricea din sarcina anterioară: 
.
Cei care doresc să verifice și să se asigure că: 
O singură matrice pentru matrice este un analog al unei unități numerice pentru numere, care este văzută în mod clar din exemplele doar luate în considerare.
Comutativitatea factorului numeric față de multiplicarea matricelor
Pentru matricele și numărul real, următoarea proprietate este corectă: 
Adică, un multiplicator numeric poate (și necesar) să preia astfel încât să "nu interfereze" matricea.
Notă : În general, formularea proprietății este incompletă - "Lambda" poate fi plasată oriunde între matrice, chiar și la sfârșit. Regula rămâne corectă dacă trei sau mai multe matrice sunt înmulțite.
Exemplul 4.
Calculați lucrarea 
Decizie:
(1) Potrivit proprietății 
Mutați factorul numeric înainte. Nu puteți rearanja matricele!
(2) - (3) Efectuați o multiplicare matrice.
(4) Aici puteți împărtăși fiecare număr 10, dar apoi fracțiunile zecimale vor apărea printre elementele matricei, ceea ce nu este bun. Cu toate acestea, observăm că toate numerele matricelor sunt împărțite în 5, astfel încât să multiplicați fiecare element pornit.
Răspuns: 
Little Charade pentru Solutions:
Exemplul 5.
Calcula dacă 
Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.
Ce recepție tehnică este importantă în timpul soluționării unor astfel de exemple? Cu numărul pe care îl înțelegem în cele din urmă .
Intrarea pentru locomotiva O altă mașină:
Cum să multiplicați trei matrice?
În primul rând, ce ar trebui să se întâmple ca urmare a înmulțirii a trei matrice? Pisica nu va da naștere mouse-ului. Dacă multiplicarea matricei este fezabilă, atunci în cele din urmă, matricea va funcționa și el. M-Da, bine, profesorul meu din algebră nu văd cum explic că închiderea structurii algebrice cu privire la elementele sale \u003d)
Lucrarea a trei matrici poate fi calculată în două moduri:
1) găsiți și apoi multiplicați pe matricea "CE":;
2) fie prima găsire, apoi efectuați multiplicarea.
Rezultatele vor coincide cu siguranță și în teorie această proprietate se numește asociația multiplicării matricei:
Exemplul 6.
Înmulțiți matricea în două moduri 
Algoritm. soluții Două-hairy: găsim produsul a două matrice, apoi găsim din nou produsul a două matrici.
1) Folosim formula
Acțiune mai întâi:
A doua acțiune:
2) Folosim formula
Acțiune mai întâi:
A doua acțiune:
Răspuns: 
Mai obișnuită și mai standard, desigur, primul mod de a rezolva, acolo "indiferent de modul în care totul este în ordine." Apropo, despre ordinul. În sarcina luată în considerare, iluzia apare adesea că vorbim despre unele permutări ale matricelor. Ei nu sunt aici. Îmi amintesc din nou în general Rearanjați matricele nu pot. Deci, în al doilea rând, în a doua etapă, efectuăm multiplicare, dar în nici un caz. Cu numere obișnuite, un astfel de număr a trecut, iar cu matricele - nr.
Proprietatea asociației de multiplicare este valabilă nu numai pentru metri pătrați, ci și pentru matricele arbitrare - dacă vor fi înmulțite:
Exemplul 7.
Găsiți o lucrare de trei matrice 
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Într-o probă, soluțiile de calcul au fost efectuate în două moduri, analizați ce cale este mai profitabilă și mai scurtă.
Proprietățile asociației multiplicării matricei au loc pentru a fi mai mult multiplicatori.
Acum este momentul să ne întoarcem la gradele matricelor. Piața matricei este luată în considerare la începutul și pe agenda întrebării:
Cum de a construi o matrice într-un cub și grade mai mari?
Aceste operațiuni sunt, de asemenea, definite doar pentru matricele pătrate. Pentru a ridica o matrice pătrată într-un cub, trebuie să calculați lucrarea:
De fapt, asta cazul privat Înmulțirea a trei matrice, în funcție de proprietatea asociației de matrice multiplicare :. Iar matricea înmulțită cu ea însăși este pătratul matricei:
Astfel, obținem o formulă de lucru:
Adică, sarcina se efectuează în două etape: În primul rând, matricea trebuie ridicată în pătrat și apoi matricea rezultată înmulțește matricea.
Exemplul 8.
Construiți o matrice pe cub.
Aceasta este o sarcină mică pentru o soluție independentă.
Construcția matricei în gradul a patra este efectuată de un mod natural: 
Folosind asociația multiplicării matricei, retrage două formule de lucru. Primul: - Aceasta este lucrarea a trei matrice.
unu) . Cu alte cuvinte, găsim mai întâi, atunci suntem dominanți să "fim" - avem un cub și, în cele din urmă, facem o multiplicare din nou - gradul al patrulea va fi.
2) Dar există o soluție la un pas mai scurt :. Adică, în primul pas, găsim un pătrat și, ocolind cubul, facem multiplicare
Sarcina suplimentară de exemplu 8:
Evaluați matricea în gradul al patrulea.
De îndată ce se observă, se poate face în două moduri:
1) Deoarece cubul este cunoscut în curând, atunci facem multiplicarea.
2) Cu toate acestea, dacă, prin starea sarcinii de care aveți nevoie pentru a construi o matrice numai în gradul al patrulea, calea este benefică pentru a reduce - găsiți pătratul matricei și utilizați formula.
Ambele soluții și răspuns - la sfârșitul lecției.
În mod similar, matricea este ridicată în gradele de cincea și mai mari. Din experiența practică pot spune că uneori există exemple de construcție a gradului 4, dar nu sunt amintit pentru un al cincilea grad. Dar doar în cazul în care voi aduce algoritmul optim:
1) găsim;
2) găsim;
3) Construim o matrice la gradul al cincilea :.
Aici, probabil, toate proprietățile de bază ale operațiunilor matricei care pot fi utile în sarcini practice.
În cea de-a doua secțiune a lecției, nu se așteaptă o petrecere de încredere.
Matricea Expresii
Repetăm \u200b\u200bexpresii școlare obișnuite cu numere. Expresia numerică constă din numere, semne de acțiuni și paranteze matematice, de exemplu: 
. La calcularea, o prioritate algebrică familiară: luată în considerare mai întâi parantezeapoi executat erend la gradul de grad de rădăcini, mai tarziu multiplicare / divizie. Și ultima dată - adăugarea / scăderea.
Dacă expresia numerică are sens, atunci rezultatul calculului său este numărul, de exemplu:
Matricea Expresii Aranjate aproape la fel! Cu diferența că principalii actori sunt matricele. În plus, unele operații de matrice specifice, cum ar fi transpunerea și matricea inversă.
Luați în considerare o expresie de matrice 
unde - unele matrice. În această expresie matrice, cele trei componente și adăugiri de adaos / scădere sunt complet îndeplinite.
În primul termen, trebuie mai întâi să transpuneți matricea "Be":, apoi efectuați multiplicarea și faceți o "deuce" la matricea rezultată. Rețineți că operațiunea de transpunere are mai mult prioritate ridicatădecât multiplicarea. Suporturi, ca și în expresii numerice, schimbați procedura: - aici multiplicarea este efectuată mai întâi, apoi matricea rezultată este transpusă și multiplicată cu 2.
În al doilea termen, multiplicarea matricei este efectuată în primul rând, iar matricea inversă este deja din muncă. Dacă parantezele sunt îndepărtate: este necesar mai întâi să găsiți o matrice inversă și apoi să multiplicați matricea :. Găsirea matricei inverse are, de asemenea, prioritate înainte de multiplicarea.
Totul este evident cu al treilea termen: vom construi o matrice într-un cub și vom face un "cinci" în matricea rezultată.
Dacă expresia matricei are sens, rezultatul calculului său este o matrice.
Toate sarcinile vor fi de la lucrările de testare reale și vom începe cu cea mai simplă:
Exemplul 9.
Matrix Dana 
. A găsi:
Decizie: Procedura este evidentă, mai întâi se efectuează multiplicarea, apoi adăugarea.
Adăugarea este imposibilă efectuată deoarece matrice de dimensiuni diferite.
Nu fi surprinși, acțiunile imposibile sunt adesea oferite în sarcinile de acest tip.
Încercăm să calculăm a doua expresie:
Totul este bine aici.
Răspuns: Acțiunea nu este posibilă, 
.
Algebra liniară pentru ceainici
Pentru a studia o algebră liniară, puteți citi și vă aflați în cartea I. V. Belousov "Matricea și descurajarea". Cu toate acestea, este scrisă cu o limbă matematică strictă și uscată, pe care oamenii o suferă de mintea de mijloc. Prin urmare, am făcut o reluare a celor mai dificile pentru înțelegerea locurilor acestei cărți, încercând să menționăm materialul cât mai clar posibil, folosind desenele cât mai mult posibil. Dovezile teoremelor pe care le-am coborât. Să recunosc, eu însumi nu le-am înțeles. Credeți domnul Belousov! Judecând după lucrarea sa, el este matematician competent și sensibil. Puteți descărca cartea sa la http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/belousov2006ru.pdf.Dacă vă veți deplasa în munca mea, trebuie să se facă pentru că mă voi referi adesea la Belousov.
Să începem cu definiții. Ce este o matrice? Aceasta este o masă dreptunghiulară de numere, funcții sau expresii algebrice. De ce aveți nevoie de matrice? Ele facilitează în mare măsură calculele matematice complexe. Matricea utilizează șiruri și coloane (figura 1).
Rândurile și coloanele sunt numerotate, începând din stânga
de sus (fig.1-1). Când spun: matricea dimensiunii M N (sau M per n) este implicită m numărul de șirși sub n număr de coloane. De exemplu, matricea din Figura 1-1 are dimensiunea "4 până la 3" și nu "3 până la 4".
Vezi în fig. 1-3, care sunt matricele. Dacă matricea constă dintr-o singură linie, se numește o matrice de șir și, dacă dintr-o coloană, apoi o matrice de coloană. Matricea se numește ordinea n-a pătrată dacă numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane și egal cu N. Dacă toate elementele matricei sunt zero, atunci aceasta este o matrice zero. Matricea pătrată se numește diagonală dacă zero este egală cu toate elementele sale, cu excepția celor situate pe diagonala principală.
Explicați imediat care este diagonala principală. Pe numerele IT rândurile și coloanele sunt aceleași. Se duce de la stânga la dreapta de sus în jos. (Fig.3) Elemente sunt numite diagonale dacă sunt amplasate pe diagonala principală. Dacă toate elementele diagonale sunt egale cu unul (și restul zero), matricea se numește una singură. Două matrice A și B aceeași mărime Numit egal, dacă toate elementele lor sunt aceleași.
2 operațiuni pe matrice și proprietățile acestora
Lucrarea matricei la numărul X este matricea de aceeași mărime. Pentru a obține acest produs, trebuie să multiplicați fiecare element la acest număr (figura 4). Pentru a obține suma a două matrice de aceeași dimensiune, trebuie să adăugați elementele corespunzătoare (figura 4). Pentru a obține diferența A - B de două matrice de aceeași dimensiune, trebuie să multiplicați matricea B la -1 și să adăugați matricea rezultată cu matricea A (figura 4). Pentru operațiunile pe matrice, proprietățile sunt valide: A + B \u003d B + A (proprietate comutativă).
(A + B) + C \u003d A + (B + C) (proprietate asociația). Prin simplă, vorbind, suma nu se schimbă de la schimbarea locurilor. Pentru operațiunile pe matrice și numere, proprietățile sunt valide:
(Denotă de numărul de litere x și y, și literele matricei A și B) x (ya) \u003d (xy) a
Aceste proprietăți sunt similare cu proprietățile care acționează asupra operațiunilor peste numere. Vedea
exemple Figura 5. De asemenea, a se vedea exemplele 2.4 - 2.6 Belousov la pagina 9.
Matrice multiplicare.
Înmulțirea a două matrice este definită numai apoi (tradusă în limba rusă: Matricele pot fi multiplicate numai atunci când numărul de coloane din prima matrice din lucrare este egală cu numărul de șiruri de caractere al doilea (figura 7, la top, paranteze albastre). Pentru a vă aminti mai bine: Figura 1 este mai mult ca o coloană.Ca rezultat al multiplicării, se obține o matrice de dimensiune (vezi Figura 6). Pentru a face mai ușor să vă amintiți ce aveți nevoie pentru a multiplica, voi propune următorul algoritm: Ne uităm la figura 7. Înmulțim matricea A pe matrice B.
matrix A două coloane,
În matrice B două linii - vă puteți multiplica.
1) Vom face față primei coloane a matricei B (numai ea). Noi scriem această coloană în șir (transpunem
coloană, despre transpunerea chiar mai jos).
2) Copiați acest șir, astfel încât să avem o matrice cu o matrice de A.
3) Înmulțiți elementele acestei matrice la elementele corespunzătoare ale matricei A.
4) Pliați lucrările rezultate în fiecare linie și obținețimatrix-lucrare de două linii și o coloană.
Figura 7-1 prezintă exemple de multiplicare a matricelor care sunt mai mult decât mai albe.
1) Aici, la prima matrice trei coloane, înseamnă că al doilea trebuie să aibă trei linii. Algoritmul este exact același lucru în exemplul anterior, numai aici în fiecare linie trei termeni, și nu doi.
2) Aici a doua matrice are două coloane. Faceți primul algoritm la prima coloană, apoi al doilea și obțineți matricea "două de două".
3) Aici, la cea de-a doua matrice, coloana constă dintr-un element, coloana nu se va schimba de la transpunere. Și nu este necesar să puneți nimic, deoarece în prima matrice doar o singură coloană. Facem algoritmul de trei ori și primim matricea "trei trei".
Următoarele proprietăți au loc:
1. Dacă suma B + C și produsul AB există, apoi A (B + C) \u003d AB + AC
2. Dacă există produsul AB, x (ab) \u003d (xa) b \u003d a (xb).
3. Dacă există lucrările lui AB și BC, atunci a (bc) \u003d (ab) C.
Dacă produsul de matrice AB există, atunci produsul BA nu poate exista. Chiar și lucrările lui Ab și BA există, ele pot fi matrice de dimensiuni diferite.
Ambele lucrări ale AB și BA există și sunt matrice de aceeași dimensiune numai în cazul matricelor pătrate A și B din aceeași ordine. Cu toate acestea, chiar și în acest caz, AB nu poate fi egal cu BA.
Erend în grad
Construcția matricei într-un grad are sens numai pentru matricele pătrate (gândiți-vă de ce?). Apoi, gradul de grad pozitiv complet M de matrice A este un produs al matricelor M egal cu A. la fel ca numerele. Sub matricea pătrată de gradul Zero se referă la matricea de identitate a aceleiași ordinea ca A. Dacă ați uitat ce matricea de identitate, se uită la fig. 3.
De asemenea, ca și în cifre, au loc următoarele rapoarte:
A ma k \u003d a m + k (a m) k \u003d un mk
Vedeți exemplele lui Belousov la pagina 20.
Transpunerea matricelor
Transpunerea - această conversie a matricei A din Matrix,
În care șirurile matricei A sunt înregistrate în coloanele la conservarea ordinului. (Figura 8). Puteți spune diferit:
coloanele matricei A sunt înregistrate în rândurile de la Matrix cu conservarea ordinii. Rețineți că atunci când transpuneți modificările mărimii matricei, adică numărul de rânduri și coloane. De asemenea, rețineți că elementele de pe prima linie, prima coloană și ultima linie, ultima coloană rămân în vigoare.
Următoarele proprietăți au loc: (la) t \u003d a (transponder
matricea de două ori - veți obține aceeași matrice)
(Xa) t \u003d xat (sub numerele de semnificație X sub a, desigur, o matrice) (dacă este necesar, matricea înmulțită cu numărul și transpune, poate multiplica mai întâi, apoi se transpune și poate invers)
(A + b) t \u003d la + bt (ab) t \u003d bt la
Matricele simetrice și antisimetrice
Figura 9 din partea de sus a stângii arată o matrice simetrică. Elementele sale, simetrice față de diagonala principală, sunt egale. Și acum definiție: matrice pătrat
A se numește simetric dacă la \u003d a. Adică, matricea simetrică în timpul transpunerii nu se schimbă. În particular, simetric este o matrice diagonală. (O astfel de matrice este descrisă în figura 2).
Acum, uitați-vă la matricea antisimetrică (figura 9, partea de jos). Ce diferă de simetric? Vă rugăm să rețineți că toate elementele sale diagonale sunt zero. În matricele antisimetrice, toate elementele diagonale sunt zero. Gândiți-vă de ce? Definiție: matricea pătrată a se numește
antisymmetric, dacă la \u003d -A. Rețineți câteva proprietăți ale operațiunilor peste simetrice și antisimetrice
matrienii. 1. Dacă A și B sunt matrice simetrice (antisimetrice), atunci A + B este o matrice simetrică (antisimetrică).
2.Într-o matrice antismetrică (antismetrică), apoi XA este, de asemenea, o matrice simetrică (antisimetrică). (De fapt, dacă înmulțiți matricea din figura 9 la un număr, simetria va fi încă salvată)
3. Produsul Ab de două matrice antismetrice antismetrice A și B este o matrice simetrică cu AB \u003d BA și antisimetrică cu AB \u003d-Ba.
4. Dacă A este o matrice simetrică, atuncim (m \u003d 1, 2, 3, ...) - matrice simetrică. În cazul în care un.
Matricea antisimetrică, Am (... m \u003d 1, 2, 3) este o matrice simetrică pentru chiar și antisymmetrică - pentru ciudat.
5. O matrice pătrată arbitrară A poate fi reprezentată ca suma a două matrici. (Să numim aceste matrice, de exemplu A (S) și A (A))
A \u003d A (S) + A (A)
