Pomôže to nielen čajníkom, ale aj tým, ktorí prvýkrát počuli slovo „determinant“. Prešli dva roky, čo mala stránka len desať strán a teraz, po mojej dlhej a dlhej ceste do sveta matanu, sa všetko vracia do starých koľají.
Predstavte si, že potrebujete vypočítať determinant tretieho rádu jeho rozšírením cez prvky riadka (stĺpca). Hoci čo si predstaviť - treba =) Môžete nad tým sedieť 5 minút, alebo môžete sedieť 2-3 minúty. Alebo dokonca v rozsahu jednej minúty. Čas, ktorý strávite, závisí nielen od vašich skúseností, ale aj od znalosti vlastností determinantov. Nie je nezvyčajné, keď sa proces riešenia skráti na niekoľko sekúnd a niekedy môžete výsledok vidieť hneď! "Nezmysel, prečo šetriť na zápasoch, a tak o všetkom rozhodneme," povedia niektorí. Priznajme si. A prehliadky si nepripustíme ;-) Ale čo determinant 4. rádu, ktorý je v praxi dosť rozšírený? Boj s touto paprikou bude trvať 10-20 minút. A nepôjde ani o bitku, ale o masaker, keďže pravdepodobnosť výpočtovej chyby je veľmi vysoká, čo vás „zabalí“ do druhého kola rozhodovania. A ak determinant piateho rádu? Ušetrí sa iba zníženie poradia determinantu. Áno, aj takéto príklady sa nachádzajú v testovacích papieroch.
Materiály na tejto stránke výrazne zlepšia vašu techniku riešenia determinantov a zjednodušia ďalšie zvládnutie vyššej matematiky.
Efektívne metódy na výpočet determinantu
V prvom rade sa nedotkneme vlastností determinantu, ale len metód jeho racionálneho výpočtu. Tieto rozhodovacie metódy ležia na povrchu a sú pre mnohých zrozumiteľné, no napriek tomu sa im pozrime podrobnejšie. Predpokladá sa, že čitateľ už dokáže celkom s istotou odhaliť determinant tretieho rádu. Ako viete, tento determinant môže byť odhalený 6 štandardnými spôsobmi: v ľubovoľnom riadku alebo stĺpci. Zdalo by sa, že na tom nezáleží, pretože odpoveď bude rovnaká. Sú však všetky metódy rovnako jednoduché? nie Vo väčšine prípadov existuje menej ziskové spôsoby a výnosnejšie spôsoby riešenia.
Zoberme si identifikátor, ktorý som na prvej lekcii hojne prekryl tetovaním. V tomto článku sme to podrobne rozložili s obrázkami pozdĺž prvého riadku. Prvý riadok je dobrý a akademický, ale je možné dosiahnuť výsledok rýchlejšie? V determinante je nula a jej rozšírením o druhý riadok alebo o druhý stĺpec sa výpočty citeľne zredukujú!
Rozšírme determinant o druhý stĺpec: 
V praxi sa nulové prvky ignorujú a riešenie je napísané v kompaktnejšej forme:
Cvičenie 1
Rozbaľte daný kvalifikátor na druhom riadku pomocou skráteného zápisu.
Riešenie na konci lekcie.
Ak sú v riadku (alebo stĺpci) dve nuly, potom je to vo všeobecnosti skutočný dar. Zvážte determinant. V treťom riadku sú dve nuly, pozdĺž ktorých rozširujeme:
To je celé riešenie!
Špeciálny prípad, keď má determinant tzv stupňoval alebo trojuholníkový pohľad, napríklad: - v takomto determinante všetky nižšie uvedené čísla hlavná uhlopriečka sa rovnajú nule.
Rozvinieme to v prvom stĺpci: 
Pri praktických cvičeniach je vhodné dodržiavať nasledovné pravidlo - stupňovitý determinant sa rovná súčinu čísel jeho hlavnej uhlopriečky:
Podobný princíp platí pre krokové determinanty iných rádov, napríklad: 
V niektorých úlohách lineárnej algebry sa objavujú trojuholníkové determinanty a ich riešenie je najčastejšie formulované týmto spôsobom.
A ak riadok (stĺpec) determinantu obsahuje len nuly? Odpoveď je myslím jasná. K tejto otázke sa ešte vrátime pri vlastnostiach determinantu.
Teraz si predstavme, že dlho očakávané bagely nie sú súčasťou novoročného darčeka. Tak poďme vykuchať zlého Santa Clausa!
Neexistujú tu žiadne nuly, ale stále existuje spôsob, ako si uľahčiť život. Optimálnejšie je rozšíriť tento determinant v treťom stĺpci, pretože tam sú najmenšie čísla. V tomto prípade má záznam o rozhodnutí veľmi lakonickú podobu:
Zhrnutím tohto odseku formulujeme zlaté pravidlo výpočtu:
Je výhodnejšie otvoriť determinant TÝM riadkom (stĺpcom), kde:
1) viac núl;
2) menšie čísla.
Prirodzene to platí aj pre determinanty vyšších rádov.
Malý príklad na zabezpečenie materiálu:
Zadanie 2
Vypočítajte determinant a rozšírte ho o riadok alebo stĺpec najracionálnejším spôsobom
Toto je príklad riešenia „urob si sám“, optimálne riešenie a odpoveď je na konci lekcie.
A ešte jeden dôležitá rada: nerobte si komplexy! Netreba sa „zdržiavať“ pri tradičnom rozklade podľa prvého riadku alebo prvého stĺpca. Akokoľvek je to krátke, rozhodnite sa!
Vlastnosti určujúce
Zamyslite sa nad starými známymi z prvej lekcie: matica 
a jej determinant 
.
Pre každý prípad zopakujem základný rozdiel medzi pojmami: matica je tabuľka prvkov, a determinantom je číslo.
Keď je matica transponovaná, hodnota jej determinantu sa nemení
Transponujte maticu: 
Podľa vlastnosti sa determinant transponovanej matice rovná rovnakej hodnote: 
... Kto chce, môže si to overiť na vlastnej koži.
Používa sa aj jednoduchšia formulácia tejto vlastnosti: ak je determinant transponovaný, jeho hodnota sa nezmení.
Oba determinanty si zapíšeme vedľa seba a jeden analyzujeme dôležitý bod:
V dôsledku transpozície sa prvý riadok stal prvým stĺpcom, druhý riadok druhým stĺpcom a tretí riadok tretím stĺpcom. Z riadkov sa stali stĺpce a výsledok sa nezmenil. Z toho vyplýva dôležitý fakt: riadky a stĺpce determinantu sú rovnaké... Inými slovami, ak je nejaká vlastnosť pravdivá pre riadok, potom tá istá vlastnosť platí aj pre stĺpec! V skutočnosti sa s tým stretávame už dlho - koniec koncov, determinant môže byť rozšírený o riadok, teda rovnako aj o stĺpec.
Nemáte radi čísla v reťazcoch? Transponujte determinant! Je len jedna otázka, prečo? Praktický význam uvažovanej vlastnosti je malý, ale je užitočné hodiť ju do vreca vedomostí, aby sme lepšie pochopili ďalšie problémy vyššej matematiky. Napríklad je okamžite jasné, prečo štúdium vektorov pre koplanaritu ich súradnice je možné zapísať do riadkov identifikátora aj do stĺpcov.
Ak sa vymenia dva riadky (alebo dva stĺpce) determinantu,
potom determinant zmení znamienko
! Pamätaj , hovoríme o determinante! V samotnej matrici sa nedá nič preusporiadať!
Zahrajme si Rubikovu kocku s determinantom 
.
Vymeňme prvý a tretí riadok: 
Identifikátor zmenil svoj znak.
Teraz, vo výslednom determinante, vymeňme druhý a tretí riadok: 
Identifikátor opäť zmenil svoj znak.
Vymeňme druhý a tretí stĺpec: 
teda každá párová permutácia riadkov (stĺpcov) má za následok zmenu znamienka determinantu na opačný.
Hry sú hry, ale v praxi sú takéto akcie lepšie nepoužívať... Nie je z nich veľa zmyslu, ale nie je ťažké nechať sa zmiasť a pomýliť sa. Uvediem však jednu z mála situácií, kedy to naozaj dáva zmysel. Predpokladajme, že v priebehu riešenia nejakého príkladu ste nakreslili determinant so znamienkom mínus:
Rozviňme to, povedzme, pozdĺž prvého riadku:
Zjavnou nepríjemnosťou je, že som musel robiť zbytočné úklony – stávkovať veľké zátvorky, a následne ich zverejniť (mimochodom, veľmi neodporúčam takéto úkony vykonávať „na jedno posedenie“ ústne).
Aby ste sa zbavili „mínusu“, je racionálnejšie vymeniť ľubovoľné dva riadky alebo ľubovoľné dva stĺpce. Preusporiadame napríklad prvý a druhý riadok: 
Vyzerá to štýlovo, no vo väčšine prípadov je účelnejšie vysporiadať sa s negatívnym znamienkom iným spôsobom (čítajte ďalej).
Vyššie uvedená akcia opäť pomáha lepšie pochopiť napríklad niektoré vlastnosti vektorový súčin vektorov alebo zmiešaný produkt vektorov.
Ale toto je zaujímavejšie:
Z riadku (stĺpca) determinantu môžete vybrať spoločný faktor
!!! Pozor! Pravidlo je o JEDEN linka alebo o JEDEN determinantný stĺpec. Prosím, nezamieňajte s matice, v matici je faktor vyvedený / vnesený pri VŠETKYčísla naraz.
Začnime so špeciálnym prípadom pravidla - robiť "mínus jeden" alebo jednoducho "mínus".
Stretávame ďalšieho pacienta:.
V tomto determinante je príliš veľa nevýhod a bolo by pekné znížiť ich počet.
Vezmite -1 z prvého riadku: 
Alebo kratšie: 
Mínus pred kvalifikáciou, ako už bolo preukázané, nie je vhodné jesť. Pozrieme sa na druhý riadok determinantu a všimneme si, že tam je príliš veľa mínusov.
Vyberme „mínus“ z druhého riadku: 
Čo ešte môžeš urobiť? Všetky čísla v druhom stĺpci sú bezo zvyšku deliteľné 4. Presuňme 4 z druhého stĺpca: 
Platí aj opačné pravidlo - multiplikátor môže nielen vydržať, ale aj urobiť, navyše v AKEJKOĽVEK riadku alebo v AKEJKOĽVEK stĺpci determinantu.
Pre zaujímavosť vynásobme tretí riadok determinantu 4: 
Pozorné mysle sa môžu presvedčiť o rovnosti pôvodných a prijatých determinantov (správna odpoveď: –216).
V praxi sa často vykonáva zavedenie mínusu. Zvážte determinant. Záporné znamienko pred kvalifikátorom možno zadať do AKÉHOKOĽVEK riadku alebo do AKÉHOKOĽVEK stĺpca. Najlepší kandidát je tretí stĺpec a pridáme k nemu mínus: 
Všimli sme si tiež, že všetky čísla v prvom stĺpci sú bezo zvyšku deliteľné 2, ale stojí za to vykonať „dvojku“? Ak sa chystáte znížiť poradie v kvalifikácii (o čom bude reč v záverečnej časti), určite by to tak malo byť. Ale ak rozšírite determinant o riadok (stĺpec), potom „dvojka“ vpredu iba predĺži záznam riešenia.
Ak je však faktor veľký, napríklad 13, 17 atď., potom je samozrejme výhodnejšie ho aj tak vybrať. Poďme sa zoznámiť s malým monštrom:. Z prvého riadku vyberieme –11, z druhého riadku –7:
Poviete si, na bežnej kalkulačke nám už výpočty tak rýchlo cvakajú? Je to pravda. Ale po prvé, nemusí to byť po ruke, a po druhé, ak je daný determinant 3. alebo 4. rádu s veľkými číslami, potom naozaj nebudete chcieť klepať na tlačidlá.
Zadanie 3
Vypočítajte determinant vylúčením riadkov a stĺpcov
Toto je príklad riešenia „urob si sám“.
Niekoľko ďalších užitočných pravidiel:
Ak sú dva riadky (stĺpce) determinantu proporcionálne
(ako špeciálny prípad sú rovnaké), potom je tento determinant rovný nule
Tu sú zodpovedajúce prvky prvého a druhého riadku proporcionálne:
Niekedy sa hovorí, že kvalifikačné čiary lineárne závislé... Keďže pri transpozícii sa hodnota determinantu nemení, z lineárnej závislosti riadkov vyplýva aj lineárna závislosť stĺpcov.
Do príkladu môžete vložiť geometrický význam - ak predpokladáme, že čiary obsahujú súradnice vektory priestor, potom prvé dva vektory s proporcionálnymi súradnicami budú kolineárne, čo znamená, že všetky tri vektory - lineárne závislé, teda koplanárny.
V nasledujúcom príklade sú tri stĺpce proporcionálne (a mimochodom aj tri riadky): 
Tu sú druhý a tretí stĺpec rovnaké, ide o špeciálny prípad - keď sa koeficient proporcionality rovná jednej
Uvedené vlastnosti je možné využiť v praxi. Ale pamätajte, zvýšená úroveň vedomostí je niekedy trestuhodná ;-) Preto môže byť lepšie odhaliť takéto kvalifikátory bežným spôsobom (vopred s vedomím, že to dopadne na nulu).
Treba poznamenať, že opak vo všeobecnosti nie je pravda- ak je determinant nula, tak z tohto ešte nieže jeho riadky (stĺpce) sú proporcionálne. To znamená, že lineárny vzťah riadkov / stĺpcov nemusí byť explicitný.
Existuje tiež zreteľnejší príznak, keď sa dá okamžite povedať, že determinant je nula:
Determinant s nulovým riadkom (stĺpcom) sa rovná nule
"Amatérska" kontrola je elementárna, otvorme determinant pre prvý stĺpec: 
Výsledok sa však nezmení, ak rozbalíte kvalifikátor pre ľubovoľný riadok alebo stĺpec.
Vytlačte druhý pohár pomarančového džúsu:
Aké vlastnosti determinantov je užitočné poznať?
1) Hodnota determinantu sa pri transpozícii nemení... Majetok si pamätáme.
2) Akákoľvek párová permutácia riadkov (stĺpcov) obráti znamienko determinantu... Majetok si tiež pamätáme a snažíme sa ho nepoužívať, aby nedošlo k zámene.
3) Z riadku (stĺpca) determinantu môžete odobrať faktor (a pridať ho späť)... Používame ho tam, kde je to ziskové.
4) Ak sú riadky (stĺpce) determinantu proporcionálne, potom sa rovná nule. Determinant s nulovým riadkom (stĺpcom) je nula.
Počas celej hodiny sa opakovane pozoroval elementárny vzor – čím viac núl v rade (stĺpci), tým je výpočet determinantu ľahší. Vynára sa otázka, je možné organizovať nuly zámerne pomocou nejakej transformácie? Môcť! Poďme sa zoznámiť s ďalšou veľmi silnou vlastnosťou:
Zníženie poradia determinantu
Je veľmi dobré, ak ste už na to prišli Gaussova metóda a majú skúsenosti s riešením sústavy lineárnych rovníc týmto spôsobom. Vlastnosť formulovaná nižšie v skutočnosti duplikuje jednu z nich elementárne transformácie.
Aby sme zvýšili chuť do jedla, rozdrvime malú žabku: 
K reťazcu determinantu môžete pridať ďalší reťazec vynásobený nenulovým číslom. V tomto prípade sa hodnota determinantu nezmení
Príklad: v determinante dostaneme nulu vľavo hore.
K tomu druhý riadok mentálne alebo na koncepte vynásobte 3: (–3, 6) a k prvému riadku pridajte druhý riadok vynásobený 3:
Píšeme výsledok do prvého riadku:
Vyšetrenie: 
Teraz v rovnakom determinante dostaneme nulu vpravo dole. Pre to k druhému riadku pridajte prvý riadok, vynásobený (mentálne) –2):
Píšeme výsledok do druhého riadku:
Poznámka: s elementárnou transformáciou sa mení TA reťazec, do ktorého pridaním UT.
Sformulujme zrkadlové pravidlo pre stĺpce:
Do stĺpca determinantov možno pridať ďalší stĺpec vynásobený nenulovým číslom. V tomto prípade sa hodnota determinantu nezmení
Vezmite zviera za nohy a pomocou tejto transformácie dostaneme nulu vľavo hore. Aby sme to urobili, mentálne alebo na koncepte, vynásobíme druhý stĺpec -3: a pridajte druhý stĺpec k prvému stĺpcu, vynásobte –3:
Výsledok napíšeme do prvého stĺpca:
A nakoniec v determinante dostaneme nulu vpravo dole. Pre to do druhého stĺpca pridáme prvý stĺpec, vynásobený (mentálne) 2(pozerajte a počítajte sprava doľava):
Umiestňujeme výsledok do druhého stĺpca:
S elementárnou transformáciou sa mení TO stĺpec, do ktorého pridaním UT.
Skúste kvalitatívne stráviť nasledujúci príklad.
Pošlime dospelého obojživelníka do polievky:
Výzvou je pomocou elementárnych transformácií na zníženie poradia determinantu až do druhého rádu.
kde začať? Najprv musíte v determinante vybrať cieľové číslo. Cieľ je takmer vždy jedna alebo –1. Pozeráme sa na determinant a všimneme si, že tu je dokonca na výber. Nech je prvkom cieľové číslo: 
Poznámka : význam dvojitých indexov nájdete v článku Cramerovo pravidlo. Maticová metóda... V v tomto prípade indexy prvkov nám hovoria, že sa nachádza v druhom riadku, treťom stĺpci.
Cieľom je dostať dve nuly v treťom stĺpci: 
Alebo získajte dve nuly v druhom riadku: 
Druhý riadok obsahuje menšie čísla (nezabudnite na zlaté pravidlo), takže je výhodnejšie ho vziať. A tretí stĺpec s „cieľovým“ číslom zostane nezmenený: 
Pridajte tretí stĺpec do druhého stĺpca:
Nebolo potrebné nič množiť.
Výsledok zapíšeme do druhého stĺpca: 
Pridajte tretí stĺpec k prvému stĺpcu, vynásobte (mentálne) –2:
Výsledok zapíšeme do prvého stĺpca, rozšírime determinant pozdĺž druhého riadku: 
Ako sme znížili poradie v kvalifikácii? V druhom riadku sme dostali dve nuly.
Vyriešme príklad druhým spôsobom, usporiadajme nuly do tretieho stĺpca: 
Druhý riadok s cieľovým číslom zostane nezmenený: 
K prvému riadku pridajte druhý riadok, vynásobený (mentálne) -4: 
K tretiemu riadku pridajte druhý riadok, vynásobený (mentálne) 3 (pozri a počítaj zdola nahor):
Výsledok zapíšeme do tretieho riadku, determinant rozšírime o tretí stĺpec: 
Poznač si to nie je potrebné meniť usporiadanie riadkov alebo stĺpcov... Elementárne transformácie fungujú skvele zľava doprava aj sprava doľava. Ako zhora nadol, tak aj zdola nahor.
Zadanie 4
Vypočítajte rovnaký determinant a vyberte prvok ako „cieľové“ číslo. Znížte jeho poradie dvoma spôsobmi: získaním núl v druhom riadku a získaním núl v druhom stĺpci.
Toto je príklad riešenia „urob si sám“. Kompletné riešenie a krátke komentáre na konci tutoriálu.
Niekedy v identifikátore chýba jednotka alebo –1, napríklad:. V tomto prípade by mal byť „cieľ“ organizovaný pomocou dodatočnej elementárnej transformácie. To sa dá urobiť najčastejšie niekoľkými spôsobmi. Napríklad: k prvému riadku pridajte druhý riadok vynásobený -1: 
Výsledok zapíšeme do prvého riadku: 
! Pozornosť : NETREBA z prvého riadku odčítať druhý riadok, to výrazne zvyšuje možnosť chyby. Stačí pridať! Preto k prvému riadku pridáme druhý riadok vynásobený -1. presne tak!
Jednotka bola prijatá, čo bolo potrebné na dosiahnutie. Potom môžete dostať dve nuly v prvom riadku alebo v prvom stĺpci. Záujemcovia môžu s riešením pokračovať (správna odpoveď: –176).
Treba poznamenať, že v pôvodnom determinante je najčastejšie prítomný hotový „cieľ“ a pre determinant 4. a vyššieho rádu je dodatočná transformácia mimoriadne nepravdepodobná.
Nasekáme niekoľko veľkých ropúch na guláš:
Úloha
Riešiť systém lineárne rovnice podľa Cramerových vzorcov 
Nevadí, ak ste sa nestihli zoznámiť Cramerova metóda, v tomto prípade môžete jednoducho vidieť, ako klesá poradie determinantu „štyri krát štyri“. A samotné pravidlo sa vyjasní, ak trochu preniknete do priebehu rozhodovania.
Riešenie: najprv vypočítať hlavný determinant systémy: 
Je možné ísť štandardným spôsobom a rozšíriť tento determinant o riadok alebo stĺpec. Pripomenutím si algoritmu z prvej lekcie a pomocou mnou vynájdenej matice znakov odhalíme determinant napríklad podľa „klasického“ prvého riadku:
Nevidím vaše nadšenie =) Samozrejme, môžete sedieť desať minút a opatrne a opatrne porodiť správnu odpoveď. Problém je však v tom, že v budúcnosti je potrebné vypočítať ďalšie 4 determinanty štvrtého rádu. Preto je jediným rozumným východiskom zníženie poradia determinantu.
V determinante je veľa jednotiek a našou úlohou je vybrať si najlepšia cesta... Pripomíname zlaté pravidlo: v rade (stĺpci) by malo byť viac núl a menej čísel. Z tohto dôvodu je druhý riadok alebo štvrtý stĺpec v poriadku. Štvrtý stĺpec vyzerá atraktívnejšie, navyše sú tam dva celky. Vyberieme prvok ako „cieľ“: 
Prvý riadok sa nezmení. A druhý tiež - už existuje požadovaná nula: 
Pridajte do tretieho riadku prvý riadok vynásobený -1 (pozri a počítaj zdola nahor):
! Opäť pozornosť : Netreba z tretieho riadku odčítať prvá línia. Stačí pridať!
Výsledok zapíšeme do tretieho riadku: 
Pridajte prvý riadok vynásobený 3 k štvrtému riadku (pozri a počítaj zdola nahor):
Výsledok zapíšeme do štvrtého riadku: 
(1) Rozviňte determinant pre štvrtý stĺpec. Nezabudnite, že k prvku musíte pridať "mínus" (pozri maticu znakov).
(2) Poradie kvalifikanta sa znižuje na 3. miesto. V zásade sa dá rozložiť po riadkoch (stĺpcoch), ale lepšie je dopracovať sa k vlastnostiam determinantu. Do druhého riadku pridáme mínus.
(3) Pridajte prvý riadok vynásobený číslom 3 k druhému riadku. Pridajte prvý riadok vynásobený číslom 7 k tretiemu riadku.
(4) Rozšírte determinant o druhý stĺpec, čím ďalej znížite jeho poradie na dva.
Všimnite si, ako sa riešenie zmenšilo! Hlavnou vecou je "trochu ruky" na elementárnych transformáciách a takáto príležitosť sa naskytne práve teraz. Okrem toho máte k dispozícii kalkulačku, ktorá vypočítava determinanty (konkrétne ju nájdete na stránke Matematické vzorce a tabuľky). Pomocou kalkulačky je ľahké kontrolovať vykonávané akcie. Dostal som kvalifikáciu 
pri prvom kroku - a hneď skontroloval, či sa rovná pôvodnému determinantu.
(1) Rozšírte determinant o tretí riadok. Poradie kvalifikantov bolo znížené na tri.
(2) Do prvého stĺpca zadáme "mínus".
(3) Pridajte prvý riadok vynásobený číslom 3 k druhému riadku a pridajte prvý riadok vynásobený číslom 5 k tretiemu riadku.
(4) Rozšírte determinant o druhý stĺpec a znížte poradie determinantu na dva.
U nás to vychádza úžasne komplexný obed a je čas na dezert: 
Už to nie je ani ropucha, je to samotná Godzilla. Vezmime si pripravený pohár pomarančového džúsu a uvidíme, ako sa zníži poradie determinantu. Algoritmus je, myslím, jasný: redukujeme z piateho rádu na štvrtý, zo štvrtého na tretí a z tretieho na druhý:
(1) Pridajte druhý riadok k prvému, tretiemu, štvrtému a piatemu riadku.
(2) Rozviňte determinant pre 3. stĺpec. Poradie medzi kvalifikantmi kleslo na štyri.
(3) Zo 4. stĺpca vyberieme 2. Prvý riadok vynásobíme -1 a aby sa determinant nezmenil, dáme pred neho "mínus". Táto premena vykonaná s cieľom zjednodušiť ďalšie výpočty.
(4) Pridajte prvý riadok k druhému a tretiemu riadku. Pridajte prvý riadok vynásobený 3 do štvrtého riadku.
(5) Rozviňte determinant pre 4. stĺpec. Objednávka bola znížená na tri.
(6) Rozviňte determinant pre 2. stĺpec. Objednávka bola znížená na dve.
(7) Vytiahneme "mínus" z 1. stĺpca.
Všetko sa ukázalo jednoduchšie, ako sa zdalo, všetky príšery majú slabé stránky!
Neúnavní čitatelia môžu skúsiť vyriešiť determinant piateho rádu aj inak, našťastie, je ich v ňom len zopár.
Druhý stĺpec bol pridaný do prvého stĺpca, vynásobený 2. Druhý stĺpec bol pridaný do tretieho stĺpca. Kvalifikácia bola rozšírená na druhom riadku.
Znížime poradie determinantu a v druhom stĺpci dostaneme nuly:
Druhý riadok vynásobený –2 bol pridaný k prvému riadku. Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 2. Kľúč bol otvorený v druhom stĺpci.
Úloha 5: Riešenie:
(1) Pridajte tretí riadok vynásobený 3 k prvému riadku. Pridajte tretí riadok vynásobený 5 k druhému riadku. Pridajte tretí riadok vynásobený 2 k 4. riadku.
(2) Rozšírte determinant o prvý stĺpec.
(3) Do druhého stĺpca pridajte tretí stĺpec krát 9. Pridajte tretí stĺpec do prvého stĺpca.
(4) Rozšírte determinant o tretí riadok.
(1) Pridajte druhý stĺpec do prvého stĺpca. Pridajte druhý stĺpec do tretieho stĺpca
(2) Rozšírte determinant o tretí riadok.
(3) Do prvého riadku dáme "mínus".
(4) K druhému riadku pridajte prvý riadok vynásobený 6. Pridajte prvý riadok k tretiemu riadku
(5) Rozviňte determinant pre prvý stĺpec.
Vo všeobecnom prípade je pravidlo na výpočet determinantov $ n $ -tého rádu dosť ťažkopádne. Pre determinanty druhého a tretieho rádu existujú racionálne spôsoby ich výpočtu.
Výpočty determinantov druhého rádu
Ak chcete vypočítať determinant matice druhého rádu, odčítajte súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky od súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky:
$$ \ vľavo | \ begin (pole) (ll) (a_ (11)) & (a_ (12)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) \ end (pole) \ vpravo | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ (12) \ cdot a_ (21) $$
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant druhého rádu $ \ left | \ začiatok (pole) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ koniec (pole) \ vpravo | $
Riešenie.$ \ vľavo | \ začiatok (pole) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ koniec (pole) \ vpravo | = 11 \ cdot 5 - (- 2) \ cdot 7 = 55 + 14 = 69 $
Odpoveď.$ \ vľavo | \ začiatok (pole) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ koniec (pole) \ vpravo | = 69 $
Metódy výpočtu determinantov tretieho rádu
Na výpočet determinantov tretieho rádu existujú takéto pravidlá.
Pravidlo trojuholníka
Schematicky možno toto pravidlo znázorniť takto:
Súčin prvkov v prvom determinante, ktoré sú spojené priamkami, sa berie so znamienkom plus; podobne aj pre druhý determinant sa zodpovedajúce súčiny berú so znamienkom mínus, t.j.
$$ \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (a_ (13)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) & (a_ (23)) \\ (a_ (31)) & (a_ (32)) & (a_ (33)) \ koniec (pole) \ vpravo | = a_ (11) a_ (22) a_ (33) + a_ (12) a_ ( 23) a_ (31) + a_ (13) a_ (21) a_ (32) - $$
$$ - a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) -a_ (13) a_ (22) a_ (31) $$
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant $ \ vľavo | \ začiatok (pole) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ koniec (pole) \ vpravo | $ pomocou metódy trojuholníka.
Riešenie.$ \ vľavo | \ začiatok (pole) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ koniec (pole) \ vpravo | = 3 \ cdot 1 \ cdot (-2) +4 \ cdot (-2) \ cdot (-1) + $
$$ + 3 \ cdot 3 \ cdot 1 - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot (-2) \ cdot 3-4 \ cdot 3 \ cdot (-2) = 54 $$
Odpoveď.
Sarrus vládne
Napravo od determinantu sa pridajú prvé dva stĺpce a súčin prvkov na hlavnej uhlopriečke a na uhlopriečkach s ňou rovnobežných sa vezme so znamienkom plus; a súčin prvkov bočnej diagonály a uhlopriečok s ňou rovnobežných so znamienkom mínus:
$$ - a_ (13) a_ (22) a_ (31) -a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) $$
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant $ \ vľavo | \ začiatok (pole) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ koniec (pole) \ vpravo | $ pomocou Sarrusovho pravidla.
Riešenie. 
$$ + (- 1) \ cdot 4 \ cdot (-2) - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot 3 \ cdot (-2) -3 \ cdot 4 \ cdot (-2) = 54 $ $
Odpoveď.$ \ vľavo | \ začiatok (pole) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ koniec (pole) \ vpravo | = 54 $
Dekompozícia determinantu podľa riadku alebo stĺpca
Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov reťazca determinantov ich algebraických doplnkov. Zvyčajne vyberte riadok / stĺpec, v ktorom sú nuly. Čiara alebo stĺpec, pozdĺž ktorého sa rozklad uskutočňuje, bude označená šípkou.
Príklad
Cvičenie. Rozšírením na prvý riadok vypočítajte determinant $ \ left | \ begin (pole) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (pole) \ vpravo | $
Riešenie.$ \ vľavo | \ begin (pole) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (pole) \ vpravo | \ šípka doľava = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) = $
$ 1 \ cdot (-1) ^ (1 + 1) \ cdot \ vľavo | \ begin (pole) (cc) (5) & (6) \\ (8) & (9) \ end (pole) \ right | +2 \ cdot (-1) ^ (1 + 2) \ cdot \ left | \ begin (pole) (cc) (4) & (6) \\ (7) & (9) \ end (pole) \ right | +3 \ cdot (-1) ^ (1 + 3) \ cdot \ left | \ začiatok (pole) (cc) (4) & (5) \\ (7) & (8) \ koniec (pole) \ vpravo | = -3 + 12-9 = 0 $
Odpoveď.
Táto metóda umožňuje zredukovať výpočet determinantu na výpočet determinantu nižšieho rádu.
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant $ \ vľavo | \ begin (pole) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (pole) \ vpravo | $
Riešenie. Vykonajte nasledujúce transformácie na riadkoch determinantu: odčítajte prvé štyri od druhého riadku a od tretieho prvého riadka vynásobte siedmimi, výsledkom čoho je, že podľa vlastností determinantu dostaneme determinant rovný ten daný.
$$ \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (pole) \ vpravo | = \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4-4 \ cdot 1) & (5-4 \ cdot 2) & (6-4 \ cdot 3) \\ ( 7-7 \ cdot 1) & (8-7 \ cdot 2) & (9-7 \ cdot 3) \ koniec (pole) \ vpravo | = $$
$$ = \ vľavo | \ begin (pole) (rrr) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12) \ koniec (pole) \ vpravo | = \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \ cdot (-3)) & (2 \ cdot (-6)) \ koniec (pole) \ vpravo | = 0 $$
Determinant je nula, pretože druhý a tretí riadok sú proporcionálne.
Odpoveď.$ \ vľavo | \ begin (pole) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ end (pole) \ vpravo | = 0 $
Na výpočet determinantov štvrtého rádu a vyššie sa používa buď rozšírenie riadkov / stĺpcov, alebo redukcia na trojuholníkový tvar, alebo pomocou Laplaceovej vety.
Dekompozícia determinantu podľa riadkových alebo stĺpcových prvkov
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant $ \ vľavo | \ begin (pole) (llll) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ koniec (pole) \ vpravo | $, čím sa rozbalí na prvky nejakého riadka alebo stĺpca.
Riešenie. Najprv urobme elementárne transformácie na riadkoch determinantu tak, aby bolo v riadku alebo v stĺpci čo najviac núl. Ak to chcete urobiť, najprv odčítajte deväť tretín od prvého riadku, päť tretín od druhého a tri tretie riadky od štvrtého, dostaneme:
$$ \ vľavo | \ begin (pole) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ koniec (pole) \ vpravo | = \ vľavo | \ begin (pole) (cccc) (9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ koniec (pole) \ vpravo | = \ vľavo | \ begin (pole) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ koniec (pole) \ vpravo | $$
Výsledný determinant sa rozloží na prvky prvého stĺpca:
$$ \ vľavo | \ begin (pole) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ koniec (pole) \ vpravo | = 0 + 0 + 1 \ cbodka (-1) ^ ( 3 + 1) \ cdot \ vľavo | \ begin (pole) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ koniec (pole) \ vpravo | + 0 $$
Získaný determinant tretieho rádu je tiež rozšírený z hľadiska prvkov riadku a stĺpca, pričom predtým získal nuly, napríklad v prvom stĺpci. Ak to chcete urobiť, odčítajte druhé dva riadky od prvého riadku a druhý od tretieho:
$$ \ vľavo | \ begin (pole) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ koniec (pole) \ vpravo | = \ vľavo | \ begin (pole) (rrr) (0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8) \ end ( pole) \ vpravo | = 4 \ cdot (-1) ^ (2 + 2) \ cdot \ vľavo | \ začiatok (pole) (ll) (2) & (4) \\ (4) & (8) \ koniec (pole) \ vpravo | = $$
$$ = 4 \ cdot (2 \ cdot 8-4 \ cdot 4) = 0 $$
Odpoveď.$ \ vľavo | \ begin (pole) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ koniec (pole) \ vpravo | = 0 $
Komentujte
Posledný a predposledný determinant nebolo možné vypočítať, ale okamžite sme dospeli k záveru, že sú rovné nule, pretože obsahujú proporcionálne reťazce.
Redukcia determinantu na trojuholníkový tvar
Pomocou elementárnych transformácií cez riadky alebo stĺpce sa determinant zredukuje na trojuholníkový tvar a jeho hodnota sa potom podľa vlastností determinantu rovná súčinu prvkov na hlavnej diagonále.
Príklad
Cvičenie. Vypočítajte determinant $ \ Delta = \ vľavo | \ begin (pole) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ koniec (pole) \ vpravo | $ tým, že bude trojuholníkový.
Riešenie. Najprv urobíme nuly v prvom stĺpci pod hlavnou uhlopriečkou. Všetky transformácie budú jednoduchšie, ak sa prvok $ a_ (11) $ rovná 1. K tomu prehodíme prvý a druhý stĺpec determinantu, čo podľa vlastností determinantu povedie k tomu, že že zmení svoje znamenie na opačné:
$$ \ Delta = \ vľavo | \ begin (pole) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ koniec (pole) \ vpravo | = - \ vľavo | \ begin (pole) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3) \ koniec (pole) \ vpravo | $$
$$ \ Delta = - \ vľavo | \ begin (pole) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ koniec (pole) \ vpravo | $$
Ďalej dostaneme nuly v druhom stĺpci namiesto prvkov pod hlavnou uhlopriečkou. Opäť, ak sa diagonálny prvok rovná $ \ pm 1 $, výpočty budú jednoduchšie. Aby sme to urobili, prehodíme druhý a tretí riadok (a zároveň zmeníme na opačné znamienko determinantu):
$$ \ Delta = \ vľavo | \ begin (pole) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ koniec (pole) \ vpravo | $$
VLASTNOSŤ 1. Hodnota determinantu sa nezmení, ak sú všetky jeho riadky nahradené stĺpcami a každý riadok je nahradený stĺpcom s rovnakým číslom, tj.
VLASTNOSŤ 2. Permutácia dvoch stĺpcov alebo dvoch riadkov determinantu sa rovná jeho vynásobeniu -1. napr.
.
VLASTNOSŤ 3. Ak má determinant dva rovnaké stĺpce alebo dva rovnaké riadky, potom sa rovná nule.
VLASTNOSŤ 4. Násobenie všetkých prvkov jedného stĺpca alebo jedného riadku determinantu ľubovoľným číslom k je ekvivalentné násobeniu determinantu týmto číslom k. napr.
.
VLASTNOSŤ 5. Ak sú všetky prvky niektorého stĺpca alebo riadka rovné nule, potom samotný determinant je rovný nule. Táto nehnuteľnosť je špeciálny prípad predchádzajúci (pre k = 0).
VLASTNOSŤ 6. Ak sú zodpovedajúce prvky dvoch stĺpcov alebo dvoch riadkov determinantu proporcionálne, potom je determinant nulový.
VLASTNOSŤ 7. Ak je každý prvok n-tého stĺpca alebo n-tého riadku determinantu súčtom dvoch členov, potom determinant môže byť reprezentovaný ako súčet dvoch determinantov, z ktorých jeden v n-tom stĺpci resp. , respektíve v n-tom rade má prvý z uvedených výrazov a druhý - druhý; prvky na zvyšných miestach sú rovnaké pre míľniky troch determinantov. napr.
VLASTNOSŤ 8. Ak k prvkom niektorého stĺpca (alebo nejakého riadku) pridáme zodpovedajúce prvky iného stĺpca (alebo iného riadku), vynásobené akýmkoľvek spoločným faktorom, potom sa hodnota determinantu nezmení. napr.
.
Ďalšie vlastnosti determinantov súvisia s pojmom algebraický doplnok a mol. Vedľajší prvok určitého prvku je determinant získaný z daného vymazaním riadku a stĺpca, na priesečníku ktorých sa tento prvok nachádza.
Algebraický doplnok ktoréhokoľvek prvku determinantu sa rovná menšiemu množstvu tohto prvku, branému s vlastným znamienkom, ak súčet čísel riadku a stĺpca, na priesečníku ktorých sa prvok nachádza, je párne číslo a s opačným znamienkom, ak je toto číslo nepárne.
Algebraický doplnok prvku budeme označovať veľkým začiatočným písmenom s rovnakým názvom a rovnakým číslom, ako je písmeno, ktoré označuje samotný prvok.
VLASTNOSŤ 9. Determinant
sa rovná súčtu súčinov prvkov ľubovoľného stĺpca (alebo riadku) ich algebraických doplnkov.
Inými slovami, platia nasledujúce rovnosti:
, ,
, .
6) Vedľajšie a algebraické sčítania.
Definícia. Vedľajší prvok determinantu je th objednať sa volajú determinant- poradie, ktoré sa získa z daného determinant prečiarknutím -tého riadku a -tého stĺpca, na priesečníku ktorých prvok stojí.
Označenie:.
Definícia. Algebraický doplnok prvku determinantu poriadku sa nazýva jeho vedľajší, ak ide o párne číslo, so znamienkom plus a v opačnom prípade so znamienkom mínus.
Označenie:.
Veta. (O expanzii determinantu.)
Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov ľubovoľného riadku (alebo stĺpca) determinantu ich algebraických doplnkov:
7) Inverzná matica- taký matice A −1 , keď sa vynásobí čím, pôvodná matica A výsledky v matica identity E:
Štvorcová matica je reverzibilná vtedy a len vtedy, ak je nedegenerovaná, teda jej determinant nie je nula. Pre neštvorcové matice a degenerované matrice neexistujú žiadne inverzné matice. Je však možné tento pojem zovšeobecniť a zaviesť pseudoinverzné matice, podobne ako inverzné v mnohých vlastnostiach.
8)Poradie matice- najvyšší z rádov maloletí tejto nenulovej matice
Zvyčajne je poradie matice označené () alebo. Obidve označenia k nám prišli z cudzích jazykov, preto možno použiť obe.
Vlastnosti
Veta (o základnej molovej): Nech r = rang A M je základná molová matice A, potom:
základné riadky a základné stĺpce sú lineárne nezávislé;
ľubovoľný riadok (stĺpec) matice A je lineárnou kombináciou základných riadkov (stĺpcov).
Tu sú vlastnosti, ktoré sa bežne používajú na výpočet determinantov v štandardnom vyššom kurze matematiky. Toto je vedľajšia téma, na ktorú sa budeme v prípade potreby odvolávať v ostatných častiach.
Nechajte teda určitú štvorcovú maticu $ A_ (n \ krát n) = \ vľavo (\ begin (pole) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ ldots & a_ (nn) \\ \ koniec ( pole) \ vpravo) $. Každá štvorcová matica má charakteristiku nazývanú determinant (alebo determinant). Nebudem tu zachádzať do podstaty tohto konceptu. Ak to vyžaduje vysvetlenie, potom vás žiadam, aby ste sa o tom na fóre odhlásili a ja sa dotknem táto záležitosť podrobnejšie.
Determinant matice $ A $ je označený ako $ \ Delta A $, $ | A | $ alebo $ \ det A $. Určujúce poradie sa rovná počtu riadkov (stĺpcov) v ňom.
- Hodnota determinantu sa nezmení, ak sa jeho riadky nahradia zodpovedajúcimi stĺpcami, t.j. $ \ Delta A = \ Delta A ^ T $.
ukázať skryť
Nahraďte riadky v ňom stĺpcami podľa princípu: "bol prvý riadok - prvý stĺpec sa stal", "bol druhý riadok - stal sa druhý stĺpec":
Vypočítajme výsledný determinant: $ \ left | \ začiatok (pole) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \ koniec (pole) \ vpravo | = 2 \ cdot 4-9 \ cdot 5 = -37 $. Ako vidíte, hodnota determinantu sa od nahradenia nezmenila.
- Ak vymeníte dva riadky (stĺpce) determinantu, potom sa znamienko determinantu zmení na opačné.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show \ hide
Zvážte determinant $ \ left | \ begin (pole) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ end (pole) \ vpravo | $. Nájdite jeho hodnotu pomocou vzorca # 1 z témy výpočtu determinantov druhého a tretieho rádu:
$$ \ vľavo | \ začiatok (pole) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ koniec (pole) \ vpravo | = 2 \ cdot 4-5 \ cdot 9 = -37. $$
Teraz si vymeníme prvý a druhý riadok. Získame determinant $ \ left | \ begin (pole) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (pole) \ vpravo | $. Vypočítajme výsledný determinant: $ \ left | \ begin (pole) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ end (pole) \ vpravo | = 9 \ cdot 5-4 \ cdot 2 = 37 $. Takže hodnota pôvodného determinantu bola (-37) a determinant so zmeneným poradím riadkov má hodnotu $ - (- 37) = 37 $. Identifikačný znak sa zmenil na opačný.
- Determinant, v ktorom sú všetky prvky riadka (stĺpca) rovné nule, sa rovná nule.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show \ hide
Keďže v determinante $ \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ end (pole) \ right | $ všetky prvky tretieho stĺpca sa rovnajú nule, potom sa determinant rovná nule , t.j. $ \ vľavo | \ začiatok (pole) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo | = 0 $.
- Determinant, v ktorom sa všetky prvky určitého riadka (stĺpca) rovnajú zodpovedajúcim prvkom iného riadka (stĺpca), sa rovná nule.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show \ hide
Keďže v determinante $ \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ end (pole) \ vpravo | $ všetky prvky prvého riadku sa rovnajú príslušným prvky druhého riadku, potom je determinant nulový, t.j. $ \ vľavo | \ začiatok (pole) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ koniec (pole) \ vpravo | = 0 $.
- Ak sú v determinante všetky prvky jedného riadka (stĺpca) úmerné zodpovedajúcim prvkom iného riadku (stĺpca), potom sa takýto determinant rovná nule.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show \ hide
Keďže v determinante $ \ vľavo | \ začiatok (pole) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo | $ druhý a tretí riadok sú proporcionálne, t.j. $ r_3 = -3 \ cdot (r_2) $, potom je determinant nula, t.j. $ \ vľavo | \ začiatok (pole) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ koniec (pole) \ vpravo | = 0 $.
- Ak majú všetky prvky riadka (stĺpca) spoločný faktor, potom tento faktor možno vyňať zo znamienka determinantu.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show \ hide
Zvážte determinant $ \ left | \ začiatok (pole) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ koniec (pole) \ vpravo | $. Všimnite si, že všetky prvky druhého riadku sú deliteľné 3:
$$ \ vľavo | \ začiatok (pole) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ koniec (pole) \ vpravo | = \ vľavo | \ begin (pole) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (pole) \ right | $$
Číslo 3 je spoločným faktorom všetkých prvkov v druhom rade. Vyberme tri pre determinantný znak:
$$ \ vľavo | \ začiatok (pole) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ koniec (pole) \ vpravo | = \ vľavo | \ begin (pole) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ end (pole) \ right | = 3 \ cdot \ left | \ začiatok (pole) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \ koniec (pole) \ vpravo | $$
- Determinant sa nezmení, ak ku všetkým prvkom určitého riadka (stĺpca) pridáme zodpovedajúce prvky iného riadku (stĺpca), vynásobené ľubovoľným číslom.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show \ hide
Zvážte determinant $ \ left | \ begin (pole) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (pole) \ vpravo | $. Pridajme k prvkom druhého riadku zodpovedajúce prvky tretieho riadku, vynásobené 5. Táto akcia je napísaná takto: $ r_2 + 5 \ cdot (r_3) $. Druhý riadok sa zmení, ostatné riadky zostanú nezmenené.
$$ \ vľavo | \ začiatok (pole) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ koniec (pole) \ vpravo | \ begin (pole) (l) \ phantom (0) \\ r_2 + 5 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \ end (pole) = \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 + 5 \ cdot 2 & 21 + 5 \ cdot (-3) & 4 + 5 \ cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \ end (pole) \ vpravo | = \ vľavo | \ začiatok (pole) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \ koniec (pole) \ vpravo |. $$
- Ak určitý riadok (stĺpec) v determinante obsahuje lineárnu kombináciu iných riadkov (stĺpcov), potom sa determinant rovná nule.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show \ hide
Dovoľte mi hneď vysvetliť, čo znamená výraz „lineárna kombinácia“. Predpokladajme, že máme s riadkov (alebo stĺpcov): $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $. Výraz
$$ k_1 \ cdot A_1 + k_2 \ cdot A_2 + \ ldots + k_s \ cdot A_s, $$
kde $ k_i \ v R $ sa nazýva lineárna kombinácia riadkov (stĺpcov) $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $.
Zvážte napríklad nasledujúci determinant:
$$ \ vľavo | \ begin (pole) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0 \\ -2 & -4 & -5 & 1 \\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \ koniec (pole) \ vpravo | $$
V tomto kvalifikátore môže byť štvrtý riadok vyjadrený ako lineárna kombinácia prvých troch riadkov:
$$ r_4 = 2 \ cdot (r_1) +3 \ cdot (r_2) -r_3 $$
Preto sa uvažovaný determinant rovná nule.
- Ak sa každý prvok určitého k-tého riadku (k-tého stĺpca) determinantu rovná súčtu dvoch členov, potom sa takýto determinant rovná súčtu determinantov, z ktorých prvý v k-tom riadku ( k-tý stĺpec) obsahuje prvé členy a druhý determinant má druhé členy v k-tom riadku (k-tom stĺpci). Ostatné prvky týchto kvalifikácií sú rovnaké.
Príklad použitia tejto vlastnosti: show \ hide
Zvážte determinant $ \ left | \ begin (pole) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (pole) \ vpravo | $. Prvky druhého stĺpca napíšeme takto: $ \ left | \ begin (pole) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ end (pole) \ vpravo | $. Potom sa takýto determinant rovná súčtu dvoch determinantov:
$$ \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ end (pole) \ vpravo | = \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ end (pole) \ vpravo | = \ vľavo | \ začiatok (pole) (ccc) -7 & 3 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \ koniec (pole) \ vpravo | + \ vľavo | \ začiatok (pole) (ccc) -7 & 7 & 0 \\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \ koniec (pole) \ vpravo | $$
- Determinant súčinu dvoch štvorcových matíc rovnakého rádu sa rovná súčinu determinantov týchto matíc, t.j. $ \ det (A \ cdot B) = \ det A \ cdot \ det B $. Z tohto pravidla môžete získať nasledujúci vzorec: $ \ det \ vľavo (A ^ n \ vpravo) = \ vľavo (\ det A \ vpravo) ^ n $.
- Ak je matica $ A $ nedegenerovaná (t. j. jej determinant nie je nula), potom $ \ det \ left (A ^ (- 1) \ right) = \ frac (1) (\ det A) $.
Vzorce na výpočet determinantov
Pre determinanty druhého a tretieho rádu platia tieto vzorce:
\ begin (rovnica) \ Delta A = \ vľavo | \ begin (pole) (cc) a_ (11) & a_ (12) \\ a_ (21) & a_ (22) \ end (pole) \ vpravo | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ ( 12) \ cdot a_ (21) \ koniec (rovnica) \ začiatok (rovnica) \ začiatok (zarovnaný) & \ Delta A = \ vľavo | \ begin (pole) (ccc) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) \\ a_ (21) & a_ (22) & a_ (23) \\ a_ (31) & a_ (32) & a_ (33) \ koniec (pole) \ vpravo | = a_ (11) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (33) + a_ (12) \ cdot a_ (23) \ cdot a_ (31) + a_ (21 ) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (13) - \\ & -a_ (13) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (31) -a_ (12) \ cdot a_ (21) \ cdot a_ (33 ) -a_ (23) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (11) \ koniec (zarovnaný) \ koniec (rovnica)
Príklady použitia vzorcov (1) a (2) sú v téme "Vzorce na výpočet determinantov druhého a tretieho rádu. Príklady výpočtu determinantov".
Determinant matice $ A_ (n \ krát n) $ možno rozšíriť v zmysle i-tý riadok pomocou nasledujúceho vzorca:
\ begin (rovnica) \ Delta A = \ súčet \ limity_ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (i1) A_ (i1) + a_ (i2) A_ (i2) + \ ldots + a_ (in) A_ (in) \ end (rovnica)
Analóg tohto vzorca existuje aj pre stĺpce. Vzorec na rozšírenie determinantu v j-tom stĺpci je nasledujúci:
\ begin (rovnica) \ Delta A = \ súčet \ limity_ (i = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (1j) A_ (1j) + a_ (2j) A_ (2j) + \ ldots + a_ (nj) A_ (nj) \ koniec (rovnica)
Pravidlá vyjadrené vzorcami (3) a (4) sú podrobne ilustrované na príkladoch a vysvetlené v téme Znižovanie rádu determinantu. Rozklad determinantu po riadkoch (stĺpcoch).
Uveďme ešte jeden vzorec na výpočet determinantov hornej trojuholníkovej a dolnej trojuholníkovej matice (vysvetlenie týchto pojmov nájdete v téme "Matice. Typy matíc. Základné pojmy"). Determinant takejto matice sa rovná súčinu prvkov na hlavnej diagonále. Príklady:
\ begin (zarovnané) & \ vľavo | \ begin (pole) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \ end (pole) \ vpravo | = 2 \ cdot 9 \ cdot 4 \ cdot (-6) = - 432. \\ & \ vľavo | \ začiatok (pole) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \ koniec (pole) \ vpravo | = -3 \ cdot 0 \ cdot 1 \ cdot 10 = 0. \ koniec (zarovnaný)
