Sabit katsayılı diferansiyel denklemleri (denklem sistemleri) çözmenin yollarından biri, gerçek bir değişkenin fonksiyonunun (orijinal fonksiyon) karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonu (bir fonksiyonun görüntüsü) ile değiştirilmesine izin veren integral dönüşüm yöntemidir. ). Sonuç olarak, orijinal fonksiyonların uzayında türev alma ve integrasyon işlemleri, görüntü fonksiyonları uzayında cebirsel çarpma ve bölmeye dönüştürülür. İntegral dönüşüm yönteminin temsilcilerinden biri Laplace dönüşümüdür.

Sürekli Laplace dönüşümü- karmaşık bir değişkenin bir fonksiyonunu (bir fonksiyonun görüntüsü) gerçek bir değişkenin bir fonksiyonuyla (bir fonksiyonun orijinali) birbirine bağlayan bir integral dönüşüm. Bu durumda, gerçek bir değişkenin işlevi aşağıdaki koşulları sağlamalıdır:

Fonksiyon, gerçek bir değişkenin pozitif yarım ekseninin tamamında tanımlanır ve türevlenebilir (fonksiyon Dirichlet koşullarını karşılar);

İlk ana kadar fonksiyonun değeri sıfıra eşittir ;

Fonksiyonun büyümesi üstel fonksiyon ile sınırlıdır, yani. gerçek bir değişkenin bir fonksiyonu için, böyle pozitif sayılar var m ve İle , ne nerede C - mutlak yakınsama apsisi (bazı pozitif sayılar).

Laplace dönüşümü (doğrudan integral dönüşümü) gerçek bir değişkenin işlevine aşağıdaki biçimde bir işlev denir (karmaşık bir değişkenin işlevi):

İşlev, işlevin orijinali olarak adlandırılır ve işleve, görüntüsü denir. karmaşık değişken Laplace operatörü denir, burada açısal frekans bir pozitif sabit sayıdır.

İlk örnek olarak, sabit bir fonksiyon için bir görüntü tanımlıyoruz.

İkinci bir örnek olarak, kosinüs fonksiyonu için bir görüntü tanımlıyoruz. ... Euler formülü dikkate alındığında, kosinüs fonksiyonu iki üstel sayının toplamı olarak gösterilebilir. .

Pratikte, doğrudan Laplace dönüşümünü gerçekleştirmek için, tipik fonksiyonların orijinallerinin ve görüntülerinin sunulduğu dönüşüm tabloları kullanılır. Bu işlevlerden bazıları aşağıda sunulmuştur.

Üstel İşlev için Orijinal ve Görüntü

Kosinüs işlevi için orijinal ve görüntü

Sinüs işlevi için orijinal ve görüntü

Üstel olarak azalan kosinüs için orijinal ve görüntü

Üstel olarak azalan sinüs için orijinal ve görüntü

Unutulmamalıdır ki fonksiyon, argümanın negatif değerleri için sıfır değeri alan ve argümanın pozitif değerleri için bire eşit bir değer alan bir Heaviside fonksiyonudur.

Laplace dönüşüm özellikleri

doğrusallık teoremi

Laplace dönüşümü doğrusaldır, yani. bir fonksiyonun orijinalleri arasındaki herhangi bir doğrusal ilişki, bu fonksiyonların görüntüleri için geçerlidir.

Doğrusallık özelliği, bir fonksiyonun görüntüsünün basit terimlerin toplamı olarak temsil edilmesine ve ardından temsil edilen her bir terimin orijinallerinin bulunmasına izin verdiği için karmaşık görüntülerin orijinallerini bulmayı kolaylaştırır.

Orijinalin türev teoremi fonksiyonlar

Orijinal fonksiyon eşleşmelerinin farklılaşması çarpma işlemi

Sıfır olmayan başlangıç ​​koşulları için:

Sıfır başlangıç ​​koşulları ile (özel durum):

Böylece, fonksiyonun türev alma işlemi, fonksiyonun görüntü uzayında bir aritmetik işlemle değiştirilir.

Orijinalin entegrasyon teoremi fonksiyonlar

Orijinal fonksiyon eşleşmelerinin entegrasyonu bölünme Laplace operatörüne fonksiyon görüntüleri.

Böylece fonksiyonun integral alma işlemi, fonksiyonun görüntü uzayında aritmetik bir işlemle değiştirilir.

benzerlik teoremi

Fonksiyonun argümanının (sinyalin sıkıştırılması veya genişletilmesi) zaman alanında değiştirilmesi, argümanda ve fonksiyon görüntüsünün ordinatında ters bir değişikliğe yol açar.

Darbe süresindeki bir artış, spektral fonksiyonunun sıkışmasına ve spektrumun harmonik bileşenlerinin genliklerinde bir azalmaya neden olur.

gecikme teoremi

Orijinal fonksiyonun aralıktaki argümanı ile sinyalin gecikmesi (kaydırma, kaydırma), modülü (genlik) değiştirmeden spektrumun faz-frekans fonksiyonunda (tüm harmoniklerin faz açısı) belirli bir miktarda bir değişikliğe yol açar. spektrumun işlevi).

Ortaya çıkan ifade herhangi biri için geçerlidir.

yer değiştirme teoremi

Fonksiyon görüntüsünün argümanı tarafından sinyalin gecikmesi (kaydırma, kaydırma), orijinal fonksiyonun üstel bir faktör ile çarpılmasına yol açar.

Pratik bir bakış açısından, üstel fonksiyonların görüntülerini belirlemek için yer değiştirme teoremi kullanılır.

evrişim teoremi

Evrişim, iki fonksiyona uygulanan ve üçüncü bir fonksiyonla sonuçlanan matematiksel bir işlemdir. Başka bir deyişle, belirli bir doğrusal sistemin bir darbeye tepkisine sahip olarak, sistemin tüm sinyale tepkisini hesaplamak için evrişimi kullanabilirsiniz.

Böylece, iki işlevin orijinallerinin evrişimi, bu işlevlerin görüntülerinin bir ürünü olarak temsil edilebilir. Uzlaşma teoremi, transfer fonksiyonları göz önüne alındığında, sistem yanıtı (dört bağlantı noktalı bir ağdan çıkış sinyali), bir darbe geçici yanıtı olan dört bağlantı noktalı bir ağın girişine bir sinyal uygulandığında belirlendiğinde kullanılır.

Doğrusal dört kutuplu

Ters Laplace dönüşümü

Laplace dönüşümü tersine çevrilebilir, yani. gerçek bir değişkenin işlevi, karmaşık bir değişkenin işlevinden benzersiz bir şekilde belirlenir . Bunun için ters Laplace dönüşüm formülü kullanılır.(Mellin'in formülü, Bromwich integrali), aşağıdaki forma sahiptir:

Bu formülde integrasyon limitleri, integrasyonun sanal eksene paralel olan ve gerçek ekseni bir noktada kesen sonsuz bir doğru boyunca ilerlediği anlamına gelir. İkinci ifadenin aşağıdaki gibi yeniden yazılabileceği göz önüne alındığında:

Pratikte, ters Laplace dönüşümünü gerçekleştirmek için, fonksiyon görüntüsü tanımsız katsayılar yöntemiyle en basit kesirlerin toplamına ayrıştırılır ve her kesir için (doğrusallık özelliğine göre) fonksiyonun orijinali belirlenir. tipik fonksiyonların tablosunu dikkate alarak. Bu yöntem, doğru bir rasyonel kesir olan bir fonksiyonu görüntülemek için geçerlidir. En basit kesirin, paydanın köklerinin türüne bağlı olarak, gerçek katsayılı doğrusal ve ikinci dereceden faktörlerin bir ürünü olarak temsil edilebileceğine dikkat edilmelidir:

Paydada sıfır kök varsa, fonksiyon aşağıdaki gibi bir kesre ayrıştırılır:

Paydada sıfır n-kat kök varsa, fonksiyon türün bir kesrine ayrıştırılır:

Paydada gerçek bir kök varsa, fonksiyon aşağıdaki gibi bir kesire ayrıştırılır:

Paydada gerçek bir n-çoklu kök varsa, fonksiyon aşağıdaki gibi bir kesre ayrıştırılır:

Paydada hayali bir kök varsa, fonksiyon aşağıdaki gibi bir kesre ayrıştırılır:

Karmaşık eşlenik kökler durumunda paydada, fonksiyon aşağıdaki gibi bir kesre ayrıştırılır:

∙ Genel olarak fonksiyonun görüntüsü düzenli bir rasyonel kesir ise (payın derecesi rasyonel kesrin paydasının derecesinden daha azdır), o zaman en basit kesirlerin toplamına genişletilebilir.

∙ Belirli bir durumda fonksiyon görüntüsünün paydası denklemin yalnızca basit köklerine ayrıştırılırsa, fonksiyon görüntüsü aşağıdaki gibi en basit kesirlerin toplamına ayrıştırılabilir:

Bilinmeyen katsayılar, tanımsız katsayı yöntemi kullanılarak veya aşağıdaki formül kullanılarak basitleştirilmiş bir şekilde belirlenebilir:

Noktadaki fonksiyonun değeri;

Fonksiyonun bir noktadaki türevinin değeri.

Transcript

1 Laplace dönüşümü Kısa bilgi Devre teorisinde yaygın olarak kullanılan Laplace dönüşümü, sıfıra eşit f zaman fonksiyonlarına uygulanan integral bir dönüşümdür.< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Laplace integralinin bazı s değerleri için yakınsaması durumunda, o zaman tüm yarı düzlemde analitik olan bir F fonksiyonunu tanımladığı kanıtlanabilir> s Bu şekilde tanımlanan F fonksiyonu, karmaşık değişkenin = tüm düzleminde analitik olarak devam ettirilebilir. +, bireysel tekil noktalar hariç. Çoğu zaman bu devam, integralin karmaşık değişkenin tüm düzlemine hesaplanmasıyla elde edilen formülün genişletilmesiyle gerçekleştirilir.Analitik olarak tüm karmaşık düzleme devam eden F fonksiyonu, f zaman fonksiyonunun Laplace görüntüsü veya basitçe görüntü olarak adlandırılır.F işlevine F görüntüsü ile ilgili olarak orijinal denir.F görüntüsü biliniyorsa, o zaman orijinal, f F d için ters Laplace dönüşümü kullanılarak bulunabilir. > Sağdaki integral, ordinat eksenine paralel düz bir çizgi boyunca bir kontur integralidir. Değer, R> yarım düzleminde F fonksiyonunun tekil noktaları olmayacak şekilde seçilir. ters Laplace dönüşümüdür ve f L (F) L 7 sembolü ile gösterilir

2 Laplace dönüşümünün bazı özelliklerini göz önünde bulundurun Doğrusallık Bu özellik eşitlik L (ff) L (f) L (f) Laplace dönüşümü şeklinde yazılabilir Bir fonksiyonun türevinin Laplace dönüşümü df L () d df d F fdf 3 Laplace dönüşümü integral: L (fd) df 8 fdd F df: dffdd Devre teorisinde Laplace dönüşümünün en basit uygulamasını düşünün Şekil devrelerin en basit elemanlarını gösterir: direnç, endüktans ve kapasitans Direnç boyunca anlık voltaj düşüşü, eşitlik hala var Ohm yasasının formu, ancak zaten voltaj ve akımın görüntüleri için Endüktans boyunca anlık voltaj için, ilişki diu L, yani doğrudan orantılılık yok, Ohm yasası burada geçerli değil Laplace dönüşümünden sonra, U elde ederiz = LI LI +

3 Eğer, genellikle olduğu gibi, I + = ise, o zaman bağıntı U = LI biçimini alır Bu nedenle, gerilim ve akım görüntüleri için Ohm yasası tekrar geçerlidir.Direnç rolü, L miktarı tarafından oynanır. endüktans direnci denir Kapasitans için, gerilimin anlık değerleri ile endüktans uid C arasındaki ilişkiye sahibiz Laplace dönüşümünden sonra, bu oran UI biçimini alır, C te Ohm yasası biçimine sahiptir ve kapasitif direnç eşit C Devre teorisinde bulunan temel fonksiyonların doğrudan ve ters Laplace dönüşümlerinin bir tablosunu oluşturalım, bir birim adım eşitliklerle belirlenir: at; Bu fonksiyonun Laplace dönüşümü L () L () d d 3 L () 4 L () 5 L (sin) 9 olacaktır.

4 3 6) (cos L 7) () sin (LL) (L 8) cos (L 9) (F dff L! Ndnnnn L! Nnn L Şimdi rasyonel kesrin ters dönüşümünü, yani görüntü bbbb BF nnnnmmmm Let m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 yol Görüntüyü basit kesirlere ayıralım ve şununla çarpalım: nn KKKKB Şimdi çabalayalım O zaman sağ tarafta sadece K kalır: lim BK Sağda L'Hôpital's'e göre genişletilmiş bir form belirsizliği var. kural: "BK Yerine koyma, elde ederiz" n BB Bilinen basit bir kesrin ters dönüşümü: L Bu nedenle, "n BBL Faiz, paydanın köklerinden birinin sıfıra eşit olduğu özel bir durumdur: BF Bu durumda, ayrıştırma F'nin basit kesirlere dönüştürülmesi, öncekinden aşağıdaki gibi olacaktır," n BBB ve B'nin sıfırda kökleri yoktur

6 3 Dolayısıyla, F fonksiyonunun ters Laplace dönüşümü şu şekle sahip olacaktır: n B B B "L Payda B'deki polinomun birden çok kökü olduğu başka bir durumu ele alalım. m olsun.< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Devrelerin bazı genel özellikleri Karmaşık bir devrenin P dalları ve Q düğümleri içermesine izin verin Ardından, birinci ve ikinci Kirchhoff yasalarına göre, dallardaki P akımları ve Q düğüm potansiyelleri için P + Q denklemleri oluşturulabilir Q düğüm potansiyellerinden biri sıfır olarak alınır, ancak alternatif akımlar olarak döngü akımlarını kullanırsak, Q üzerinde denklem sayısı azaltılabilir. sıfıra eşit bir toplam akım ve ayrıca düğüm potansiyellerinin Q'su döngü akımları aracılığıyla ifade edilir Toplam denklem sayısı ve bu nedenle bağımsız döngüler P + QQ'ya eşit olur = PQ + Bağımsız denklemler doğrudan yazılabilir döngü akımları bilinmeyen olarak alınırsa diğer konturlardan biri Şekil Konturların her biri için ikinci Kirchhoff yasasına göre denklemler çizilir a Genel olarak, dal direnci eşittir i R i C i L burada i, =, n, n bağımsız devrelerin sayısıdır Döngü akımlarının denklemleri aşağıdaki gibidir: I I n I n E; ben n ben n E; nin n Inn In n En i, Burada E i, i-inci devrede bulunan tüm EMF'nin toplamıdır i-inci konturlar Dirençler ii, i-inci kontura dahil olan dirençlerin toplamını temsil eder Direnç i, bir parçasıdır i-th'nin direnci 33 Şekil Bağımsız kontur örneği

8 m-inci devrenin denklemi şu şekilde olacaktır: inci devreye de dahil olan bir devre Pasif bir devre için i = i eşitliğinin doğru olduğu açıktır. transistörler değiştirilir, şekil mi mi mn I n Em I i İkinci terimi sağ taraftan sol tarafa aktararak, bu denklemi aşağıdaki gibi dönüştürürüz: mi mi I i mn I n Em bilinmeyenler, düğüm potansiyelleri ayrıca kullanılan, düğümlerden birinin potansiyelinden sayılan, sıfır olarak alınan Y, aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir: burada Şekil Karmaşık bir devrede bir transistörün eşdeğer devresi U YU U YnU U n I, YUY U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 Düğüm potansiyelleri için denklem sistemi Y U YU Y nu n I biçimindedir; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n Bağımlı akım kaynaklarını içeren şimdi devre denklemlerinin çözümlerini ele alalım Döngü akımları denklem sisteminin çözümü inci akım için forma sahiptir: I, burada sistemin ana belirleyicisi i sütununun sağ taraflardan elektromotor kuvvetlerle değiştirildiği aynı determinant E, E, E n Devrede, ilk sayının atandığı giriş devresine dahil olan yalnızca bir EMF E olduğunu varsayalım. denklemler, ilgilendiğimiz daldan sadece bir devre akımı geçecek şekilde oluşturulmalıdır, Şekil 4 Daha sonra giriş akımı IE'ye eşittir, burada karşılık gelen cebirsel tamamlayıcı determinant i Şekil 4 Giriş devresinde EMF'li devre 35

10 EI oranına giriş direnci denir. Tersine, bu direnç tüm devrelerin etkisini hesaba katar. İkinci çıkış devresi için, karşılık gelen cebirsel toplamanın olduğu I 36 E'ye sahip olacağız. TIE ilişkisine iletim direnci denir. 5 Şekil 5 "UI" I, Y "Y" girişinde bir akım kaynağı ve birinci düğümden ikinciye iletim iletkenliği olan bir devre: U "I" IYT, YT "" birinci düğüme sağlanan akım, birinci ve ikinci düğümlerde elde edilen U ve U voltajı, "düğüm potansiyelleri denklem sisteminin ana belirleyicisidir ve" i, Arasında ve Y'nin karşılık gelen cebirsel tamamlayıcısıdır. bir ilişkidir Y Pasif bir zincir için, elimizde = Bu nedenle, sistemin ana belirleyicisi simetriktir Bundan cebirsel tamamlayıcıların eşit olduğu sonucu çıkar: = Bu nedenle, eşittir ve iletim direnci T = T Bu özelliğe özelliği denir mütekabiliyet. Gördüğümüz gibi bu, direnç matrisinin simetrisidir. Karşılıklılık özelliği, Şekil 6'da aşağıdaki gibi formüle edilmiştir: Giriş devresinde bulunan EMF, çıkış devresinde bir miktar akıma neden oluyorsa, aynı EMF'yi içerir. çıkış devresi giriş devresinde neden olur,

11 aynı değerin yeniden akımı Kısaca, bu özellik bazen şu şekilde formüle edilir: Giriş devresindeki EMF ve çıkış devresindeki ampermetre değiştirilebilir, ampermetre okuması değişmez Şekil 6 Özelliği olan bir devrenin davranışı karşılıklılık 7 UE Şekil 7 Gerilim transfer katsayısı daha sonra Şekil 7'deki diyagramdan aşağıdaki gibidir: UUI n; ; Kn E T E; I T U n Benzer şekilde, akım transfer katsayısı da belirlenebilir I K I Şekil 8: I Dolayısıyla I U Yn I; Y; K n I YT I U Y T I Şekil 8 Akım aktarım oranı Yn Y T T 37

12 3 Devre fonksiyonlarının genel özellikleri hakkında daha fazla bilgi Devre fonksiyonları, örneğin giriş iletkenlik direnci, iletim iletkenlik direnci vb. gibi denklemlerin çözülmesiyle elde edilen bir değişkenin fonksiyonlarıdır. Toplu parametrelere sahip devreler için, herhangi bir devre işlevi şuna göre rasyoneldir. değişkendir ve bir kesirdir m Ф B bnmnbmmnn 38 bb ve katsayılar gerçektir Aksi takdirde, Ф bmnm, "" "burada, m,", "," n denklemlerinin kökleri mbnmnbmnm, nbb şeklinde gösterilebilir Değerler ​​=, m, Ф fonksiyonunun sıfırları olarak adlandırılır ve = ",", "n değerlerine kutup denir Φ Açıkçası, sıfırları ve kutupları çakışan iki rasyonel fonksiyon sadece sabit faktörlerle farklılık gösterebilir. başka bir deyişle, zincirin parametrelerinin frekansa bağımlılığının doğası, zincir fonksiyonunun sıfırları ve kutupları tarafından tamamen belirlenir, polinom * = * ve B * = B * eşlenik değerini alır. o Karmaşık bir kök varsa, o da bir kök olacaktır. Böylece, zincir fonksiyonunun sıfırları ve kutupları gerçek olabilir veya karmaşık eşlenik çiftler oluşturabilir. Ф Ф Pay ve paydadaki Ф katsayıları gerçek olduğundan, Ф Ф n,

13 Hayır Ф Ф Ф, Ф Ф Ф Yukarıda verilen eşitlikleri dikkate alarak bu eşitlikleri karşılaştırarak, Ф Ф, Ф Ф, yani devre fonksiyonunun reel kısmının frekansın bir çift fonksiyonu olduğunu ve sanal tek olduğunu elde ederiz. frekansın işlevi 3 Kararlılık ve fiziksel fizibilite U geriliminin neden olduğu giriş direncindeki akımı belirleyen eşitliği göz önünde bulundurun: UIB U bir birim adım olsun ve Sonra I, B ve B'nin polinomları olduğu yerde Genişleme formülünü kullanarak, i BB "burada polinom B'nin sıfırları ve dolayısıyla direnç fonksiyonunun sıfırları ve ana determinantın sıfırları: = En az bir sıfırın pozitif bir reel kısmı varsa, o zaman i süresiz olarak artacaktır. Böylece, en az bir sıfırı sağ yarı düzlemde olan direnç, kararsız bir sisteme karşılık gelir, 39

14 me İletim direnci T, giriş iletkenliği Y, iletim iletkenliği YT ile ilgili olarak aynı sonuca varılabilir. Tanımda belirtilen zincire kararlı denir Zincirin fiziksel olarak gerçekleştirilebilir kararlı fonksiyonunun ana belirleyicisinin sıfırları ve bu nedenle direnç ve iletkenlik fonksiyonlarının sıfırları sadece solda yer almalıdır. değişkenin yarı düzlemi veya gerçek frekansların ekseni üzerinde İki veya daha fazla sıfır birden fazla kökle çakışıyorsa, karşılık gelen çözümler şu şekildedir: M, burada M, m derecesinin bir polinomudur, m, If kökünün çokluğudur, aynı anda, = ve m>, o zaman karşılık gelen çözüm süresiz olarak artar o katsayısı e iletim, o zaman yukarıda belirtilen her şey sıfırlara değil, iletim katsayısı devresinin fonksiyonunun kutuplarına atıfta bulunur.Aslında: n K T'nin sıfırları K fonksiyonunun kutuplarıdır ve yük direnci pasiftir; sıfırları kesinlikle doğru düzlemdedir.Yukarıdakilerden, zincirin fiziksel olarak gerçekleştirilebilir fonksiyonlarının aşağıdaki özelliklere sahip olduğu sonucu çıkar: zincir fonksiyonunun sıfırları ve kutupları ya gerçek ya da karmaşık eşlenik çiftler oluştururken; b zincir fonksiyonunun gerçek ve sanal kısımları, gerçek frekanslarda sırasıyla bir çift ve tek frekans fonksiyonudur; ana determinantın sıfırlarında ve sonuç olarak, iletkenlik direnci ve iletim iletkenlik direnci sağ yarı düzlemde olamaz ve ne sağ yarım düzlemde ne de gerçek frekansların ekseninde çoklu sıfırlar T 4

15 3 Yükselteçlerde geçici süreçler Devrenin denklem sisteminin çözülmesi, verilen bir giriş için çıkış sinyalinin bir görüntüsünü verir U = KE Devrenin zaman alanındaki fonksiyonu, ters Laplace dönüşümü u L (KE) kullanılarak bulunabilir. En büyük ilgi, bir adım şeklinde bir giriş sinyali ile geçici süreçtir. şekil.Tek bir adımın görüntüsü şu şekildedir, bu nedenle, sistemin tek bir adıma yanıtı: K h L Ters Laplace dönüşümü şu şekilde yazılabilir: h LKK 4 d Aynı zamanda>, çünkü yol integrasyonun sağ tarafında olması gerekir = Tanım çok ilgi çekicidir Şekil 3 Frekans yanıtı ile entegrasyon tipine göre amplifikatörün geçici olay fonksiyonunun konturu Bunun için, geçici entegrasyon hesaplama yolu şu şekilde olmalıdır: gerçek frekansların fonksiyonunun ekseni ile birlikte = t'deki kutup nokta = bu durumda, küçük yarıçaplı bir daire etrafında dönmelisiniz r Şekil 3: h r K d K r r K r d d r r

16 4 r limitine gidelim O zaman d KVKK d KV h var Burada, integralli V ifadesi bu integralin ana değeri anlamına gelir Ortaya çıkan formül, kazancın frekans yanıtı yoluyla geçiş fonksiyonunu bulmanızı sağlar. bu formüle dayanarak, bazı genel sonuçlar çıkarılabilir.h'deki değişkeni şununla değiştirin: d KVK h Ama h, nedensellik ilkesine göre aşağıdaki gibidir, çünkü sinyal>> Kazanç fonksiyonu K karmaşıktır ve şu şekilde temsil edilebilir: gerçel ve sanal kısımların toplamı: K = K + K r h ifadesini yerine koyarak, d KKVK r elde ederiz.

17 İntegralin sanal kısmı frekansın tek fonksiyonudur, dolayısıyla integrali sıfıra eşittir. Gerçek kısım frekansın çift fonksiyonu olduğundan, fiziksel olarak gerçekleştirilebilir transfer katsayısının sağlaması gereken koşul şu şekildedir: K cos K sin dr at Gördüğümüz gibi, bu koşul nedensellik ilkesinden kaynaklanmaktadır. İletim katsayısı K, B polinomlarının oranı olarak yazılabilen bir sistemin, polinomun tüm sıfırlarının sabit olması anlamında kararlı olduğu gösterilebilir. B sol yarı düzlemde yatmaktadır, nedensellik ilkesini karşılamaktadır. Bunu yapmak için, K hd integralini aşağıdakiler için araştırıyoruz:< и >Şekil 3'te gösterilen iki kapalı konturu ve B'yi tanıtalım.< ; B при > 43

18 44 İntegralin kapalı bir kontur üzerinden alındığı bir fonksiyon düşünün Cauchy integral teoremi nedeniyle, integral sıfıra eşittir, çünkü sağ yarım düzlemde integral, koşula göre analitiktir. İntegral şu ​​şekilde yazılabilir: integrasyon konturunun tek tek bölümleri üzerindeki integrallerin toplamı: sin cos R r R rr RR d RRK rdrr K d K d K h beri cos> at /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >R için h B h tutar Böylece: R h, için>

19 Basit bir direğe göre artık, K lim'den önce sahip olduğumuz RB "'ye eşittir, 45 lim B Örnek Şekil 33'te gösterilen entegre zincirin şemasını düşünün. Bu zincir için, transfer katsayısı ve hayali ve gerçek parçalar şu şekildedir: K; K; K r, burada RC Yukarıda verilen nedensellik koşuluna göre eşitliğin sağlanması gerektiğini ispatlayalım Eşitlik bilinir cos sin d cos d Sağ ve sol tarafları şu şekilde ayırt edin: sin d Bu eşitliğin sol ve sağ taraflarını şu şekilde çarparsak, şunu elde ederiz: sin d, Şekil 33 Kanıtlanması gereken eşitliği takip eden entegrasyon devresinin şeması Sistemin geçici fonksiyonuna sahip olarak, herhangi bir girdiye yanıtı bulunabilir. sinyal Bunun için giriş sinyalini yaklaşık olarak birim adımların toplamı olarak temsil ediyoruz Şekil 34

20 Şekil 34 Giriş sinyalinin gösterimi Bu gösterim şu şekilde yazılabilir: uuu Sonraki uu "Birim adıma yanıt h'ye eşit olacaktır Bu nedenle, çıkış sinyali yaklaşık olarak şu şekilde temsil edilebilir: uuhu" h Limite geçiş , toplam yerine, uuhu "hd integralini elde ederiz. Bu, Duhamel integralinin biçimlerinden biridir. , Duhamel integralinin iki biçimini daha elde edebiliriz: uuhu "hd; u u h u h "d 46

21 4 İki kutuplu devrelerin bazı özellikleri 4 Giriş iletim direnci fonksiyonunun genel özellikleri İki terminalli ağlar tamamen giriş iletim direncinin fonksiyonu ile karakterize edilir Bu fonksiyonun sağ yarım düzlemde sıfırları ve çoklu sıfırları olamaz gerçek frekanslar ekseninde Y olduğundan, o zaman Y'nin sıfırları kutuplara karşılık gelir ve bunun tersi de giriş iletim direncinin fonksiyonu sağ yarı düzlemde kutuplara ve gerçek frekanslar ekseninde çoklu kutuplara sahip olamaz Pasif iki- terminal ağları, enerji kaynakları içermediklerinden her zaman kararlıdır. İletimin giriş direnci için ifade şu şekildedir: mbnmnbmn 47 mnbb Gerçek frekanslar ekseninde sonsuz uzak bir noktada aşağıdaki asimptotik eşitlik geçerlidir: bm mn Çünkü gerçek frekanslar ekseninde çoklu sıfırlar ve kutuplar olmamalıdır, bundan pay ve payda polinomlarının kuvvetlerinin birden fazla farklı olamayacağı izler. lisi = benzer şekilde, pay ve paydanın en küçük üslerinin birden fazla farklı olamayacağı gösterilebilir. Bu ifadelerin fiziksel anlamı, çok yüksek ve çok düşük frekanslarda, pasif iki kutuplu bir cihazın bir kapasitans veya endüktans veya aktif direnç n, 4 İki uçlu bir ağın enerji fonksiyonları İki uçlu bir ağın aktif dirençler, kapasitanslar ve endüktif içeren belirli bir karmaşık devre olduğunu varsayalım.

İki terminalin terminallerine sinüzoidal bir voltaj uygulanırsa, iki terminalde bir miktar güç harcanır, ortalama değeri P enerji dağılımını karakterize eder Elektrik ve manyetik enerji kapasitörlerde ve indüktörlerde depolanır, ortalama değerleri WE ve WH ile gösterilecek olan bu değerleri döngü akımlarının denklemlerini kullanarak hesaplıyoruz Yukarıdaki miktarlar için ifadeleri doğrudan en basit durumlara benzeterek yazıyoruz Yani, direnç R için, ortalama harcanan güç PRII'ye eşittir Benzer şekilde, birkaç dal içeren bir devre için, ortalama güç döngü akımları aracılığıyla ifade edilebilir: P i R i I ben I Endüktansta depolanan ortalama enerji, WHLII'ye eşittir Karmaşık bir devre için bu değeri ifade ederiz döngü akımları aracılığıyla: WH 4 i Li i I Kondansatörde depolanan ortalama enerji Ama Bu nedenle, WEWE i ICUUIUCIIC 4 IIC 48

23 Bu orana dayanarak, toplam ortalama elektrik enerjisi için bir ifade yazabiliriz: WE 4 Ii I i Ci Bu büyüklüklerin giriş gerilimleri ve akımları ile nasıl ilişkili olduğunu bulalım. Bunu yapmak için, döngü akımlarının denklemlerini yazın IRILIE ; C I i R ben I Li I; Ci Denklemlerin her birini karşılık gelen akım 49 Ii ile çarpın ve tüm I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i ben i Ci R i = R i ise; Li = Li; C i = C i, yani devre karşılıklılık ilkesini karşılar ve aktif eleman yoktur, o zaman: i ben i R I I P; ben L I I 4W; i II i E i Ci H 4 W Yukarıdaki eşitliği yerine koyarak, E * IP 4 WH 4 WE P 4 WH WE fonksiyonlarını elde ederiz.

24 Telledzhen teoremi, Y'nin direnci ve iletkenliği için enerji fonksiyonları cinsinden ifadeler bulmanızı sağlar: EIEIIIEYEEE 5 P WH WIIP WH WEE Enerji fonksiyonları açısından ve Y için elde edilen ifadelerden bazı sonuçlar çıkarılabilir. Giriş direnci ve bir pasif devrenin iletkenliği, gerçek frekanslar ekseninde negatif olmayan bir reel kısma sahiptir. Sadece devrede enerji kaybı yoksa özdeştir, sıfırdır. Düzlem Kutupların olmaması, Y'nin sağ yarı düzlemde analitik fonksiyonlar olduğu anlamına gelir.Bir fonksiyon bir bölgede analitik ise, o zaman gerçek ve sanal kısımları bölge sınırında en küçük ve en büyük değerlerine ulaşır. Giriş direnci ve iletkenlik fonksiyonları sağ yarı düzlemde analitik olduğundan, sınırdaki gerçek kısımları Bu bölgenin gerçek frekanslar ekseninde en küçük değere ulaştığı ancak gerçek frekanslar ekseninde gerçek kısım negatif olmadığı için sağ yarı düzlemin tamamında pozitiftir.Ayrıca fonksiyonlar ve Y reel değerler alır ​​gerçek değerler için, polinomların gerçek katsayılı bölümünün bölümü olduklarından, gerçek değerleri gerçek olarak alan ve sağ yarım düzlemde pozitif bir reel kısmı olan bir fonksiyona pozitif reel fonksiyon denir. ve iletkenlik fonksiyonları pozitif gerçek fonksiyonlardır Fonksiyon pozitif bir gerçek fonksiyondu 3 İki terminalli cihaz reaktif elemanlar veya manyetik ve EE'nin ortalama rezervlerini içermiyorsa, gerçek frekans eksenindeki sanal kısım sıfıra eşittir;

İki terminalli bir ağda 25 elektrik enerjisi aynıdır Rezonansta durum böyledir; bunun gerçekleştiği frekansa rezonans frekansı denir. ve Y için enerji oranları türetilirken, bağımlı kaynakların yokluğunun karşılıklılık özelliğinin esasen kullanıldığına dikkat edilmelidir.Karşılıklılık ilkesini karşılamayan devreler için ve bağımlı kaynaklar içeriyorsa, bu formül yanlış olabilir.Şekil 4 bir seri rezonans devresinin şemasını gösterir Bu en basit durumda enerji formülünün ne verdiğini görelim.I akımı aktığında R direncinde harcanan güç PIR'a eşittir Ortalama elektrik ve manyetik enerji rezervleri eşittir: WHLICU; W E Akım I akarken kondansatör üzerindeki U gerilimi, Buradan W E I U C I C Enerji formülünde yerine koyarsak, L I I R I elde ederiz.

26 Burada E C S I S E R RC RC C C Let, S >> C parantez içindeki ilk terim ihmal edilebilir, S lambanın eğimi O zaman giriş empedansı S I E RC E RC I S S RC olacaktır, burada Req; Leq SS Şekil 4 Elektronik direnç RC SR eq L eq, Bu durumda enerji fonksiyonları kullanılarak giriş direncinin hesaplanmasının yanlış sonuç vereceği aşikardır. Enerji formülünün bu devre için uygun olmamasının nedeni, bağımlı bir kaynağın devresinde bulunmasıdır. Lambanın kontrol ızgarasının devresinde gerekli faz kaymasını seçerek, endüktif veya kapasitif bir faz elde etmek mümkündür. girişteki voltaj ve akım arasındaki kayma ve buna bağlı olarak giriş direncinin endüktif veya kapasitif doğası Pasif devrenin direnci veya iletkenliği gerçek frekanslar ekseninde negatif değildir Herhangi bir frekans için aynı şekilde sıfıra eşit olabilir sadece devrenin tüm elemanlarında kayıp yoksa, yani tamamen reaktiflerse, ancak kayıpların varlığında bile, direncin veya iletkenliğin gerçek kısmı olabilir. bazı frekanslarda kaybolur 5

27 Hayali eksen üzerinde herhangi bir yerde kaybolmuyorsa, fiziksel fizibilite koşullarını bozmadan direnç veya iletkenlik fonksiyonundan sabit bir değer çıkarılabilir, böylece negatif olmayan gerçek kısım bazı frekanslarda sıfıra döner. değişkenin sağ yarı düzlemindeki kutupların sayısı, yani bu bölgede analitiktir, daha sonra gerçek kısmı sınırında, yani sanal eksende minimum bir değere sahiptir. Bu nedenle, bu minimum değerin çıkarılması, gerçek kısım sağ yarı düzlemde pozitiftir.Giriş iletim direncinin fonksiyonu, gerçek kısmı gerçek frekanslar ekseninde kaybolursa, minimum aktif iletim direnci tipinin bir fonksiyonu olarak adlandırılır, böylece bu bileşendeki bir azalma olur pasiflik koşullarını ihlal etmeden imkansız. daha sonra gerçek frekanslar eksenindeki gerçek kısmın sıfırı, en az , c ve minimum düzeyde aktif olmayan tip d'nin bir çokluğuna sahiptir. Direncin gerçek kısmı herhangi bir gerçek frekansta kaybolmaz Aynı zamanda, iletkenliğin gerçek kısmı frekansta kaybolur = Bu nedenle, devre minimum aktif iletkenliğe sahip bir devredir Şekil 43, b'de devre bir devredir minimum aktif direnç, direncin gerçek kısmı sonsuz bir frekansta kaybolduğundan 53

28 Şekil 43'te devre minimum aktif dirençli bir devredir R = seri devrenin rezonans frekansında 3. devredeki devre rezonans frekansında sonlu bir dirence sahiptir 44 Aktif iki terminalli ağların giriş iletkenlik dirençleri Şekil 44 İki terminalli cihazlar: a bir EMF kaynağına sahip, b direnci eklenmiş R Aktifin giriş iletkenlik dirençleri, pasif iki terminalli cihazların aksine pozitif fonksiyonlar değildir ve bu nedenle bu tür iki terminalli ağlar belirli koşullar altında burada mevcut olasılıkları göz önünde bulundurun Direnç, değişkenin sağ yarım düzleminde sıfırlara sahiptir, ancak orada kutupları yoktur. Şekil 44'te gösterilen devreyi göz önünde bulundurun ve katlanarak artan çözümler yerleştirin, yani iki kutuplu nick, bir EMF kaynağından güç verildiğinde veya aksi halde terminalleri kısa devre yapıldığında kararsızdır. Öte yandan, sağ yarı düzlemde kutupları olmadığı için, bu yarı düzlemde analitik bir fonksiyondur gerçek kısmın sağ yarı düzlemin sınırında bir minimuma ulaştığını takip eder, yani gerçek frekansların eksenleri Bu minimum negatiftir, çünkü tersi durumda pozitif bir gerçek fonksiyon olur ve sağda sıfırları olamaz yarı düzlem.Gerçek frekans eksenindeki gerçek parçanın minimumu, pozitif bir gerçek direnç eklenerek sıfıra yükseltilebilir Bu durumda, + R işlevi pozitif bir gerçek işlev olur. Bu nedenle, eklenmesiyle iki terminalli bir ağ kısa devre sırasında R direnci kararlı olacaktır Şekil 44, b.

29 İletkenlik Y'nin sağ yarı düzlemde sıfırları vardır, ancak orada kutupları yoktur. Bu, bir öncekinin tersidir, çünkü = / Y'nin sağ yarı düzlemde kutupları vardır, ancak orada sıfırları yoktur. .Bu durumda, akım kaynağı olan bir devrede kararlılık araştırılır Şekil 45, a Y'nin sağ yarı düzlemde sıfırları varsa, o zaman iki terminalli ağ yüksüz çalışma sırasında kararsızdır.Ayrıca, uygulayabiliriz. Yukarıda sunulan argümanlar Y'nin sağ yarı düzlemde kutbu olmadığı için, pozitif bir gerçek iletkenlik G Gmin eklenerek Y fonksiyonu gerçek bir pozitif fonksiyon haline getirilebilir. sağ yarı düzlemde sıfırlar, ancak orada kutuplar yok, yeterince büyük bir gerçek iletkenlik eklenerek kararlı hale getirilebilir. voltaj kaynağından 3 Fonksiyonun sağ yarı düzlemde sıfırları ve kutupları vardır. Kararlılık sorununu çözmek özel bir dikkat gerektirir Dolayısıyla, aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz: eğer aktif bir iki-terminalli ağ, bir akım kaynağından beslendiğinde kararlı ise, sağ yarı düzlemde hiç kutbu yoksa, o zaman kararlı hale getirilebilir. seri olarak bazı pozitif malzeme direnci bağlanarak bir voltaj kaynağından güç verildiğinde; Aktif bir iki-terminalli cihaz, Y gerilim kaynağından güç aldığında kararlıysa, sağ yarım düzlemde kutupları yoksa, o zaman bir akım kaynağından güç verildiğinde paralel olarak yeterince büyük bir gerçek iletkenlik bağlayarak kararlı hale getirilebilir. bir kapasitans ile negatif bir direnç R'nin paralel bağlantısı C Şekil 46 RCR Burada R RC CI 55 Y b G Şekil 45 İki kutuplu ağlar: a bir akım kaynağı ile; b iletkenlik ilaveli Y Y Şekil 46 Negatif dirençli iki kutuplu I

30 Gördüğünüz gibi sağ yarı düzlemde sıfır yok, bu nedenle böyle bir devre bir voltaj kaynağından beslendiğinde kararlıdır Ama yüksüz durumda kararsızdır Seriye L endüktansını ekleyelim O zaman Şekil 47 Eşdeğer devre bir tünel diyotunun RRL LCR L RC RC Bu fonksiyonun sağ yarı düzleminde sıfırları vardır: , RC 4 RC LC Bu nedenle, bir voltaj kaynağından beslendiğinde devre kararsızdır Ama aynı zamanda sağ yarı düzlemde bir kutbu vardır. R serisine bir miktar direnç ekleyerek kararlı hale getirmeye çalışın Şekil 47 Sonra R LCR RRC LRRLR RC RC Kararlılık koşulu sağ yarım düzlemde pay sıfırlarının olmamasından oluşur Bunun için, paydaki üç terimin tüm katsayıları pozitif olun: RR CL; RR Bu iki eşitsizlik şu şekilde yazılabilir: L CR RR Açıkça, bu tür eşitsizlikler eğer LLR veya R RC CR R koşulu altında mümkündür. Şekil 47'deki devre tünel diyotunun C devresine eşdeğerdir.

31 harici direnç kullanarak tünel diyotunun çalışma modunu stabilize etme olasılığı Örnek Paralel bağlı negatif dirençli bir LC devresini düşünün Şekil 48 Devrenin yüksüz kararlılığı için koşulları bulun Bunu yapmak için iletkenliği hesaplayın: th R veya R> R o Ters eşitsizlik sağlandığında, rezonans devresinin frekansında devrede kendi kendine salınımlar uyarılır 45 belirli sınırlar pasiflik koşullarını bozmadan Fiziksel olarak, gerçek bileşendeki bu değişiklik sabit bir değer anlamına gelir. ideal olarak frekanstan bağımsız gerçek bir aktif direncin eklenmesi veya çıkarılması Direnç fonksiyonunun reaktif bileşenindeki değişiklik n sabit bir değerle iletkenlik kabul edilemez, çünkü bu, devre fonksiyonunun hayali bileşeninin fiziksel gerçekleştirilebilirlik koşullarını ihlal ettiğinden Fiziksel olarak, bu, tamamen reaktif frekanstan bağımsız iletkenlik direncine sahip hiçbir elemanın olmamasıyla açıklanır. Ancak, İletkenlik direncinin gerçek frekans ekseninde kutuplara sahip olması durumunda aktif bileşende bir değişiklik olmadan reaktif bileşende bir değişiklik mümkündür.Fiziksel yapılabilirlik koşulları nedeniyle, bu tür kutuplar basit ve karmaşık eşlenik olmalıdır

32 Direncin frekanslarda kutupları olmasına izin verin O zaman basit kesirleri ayırt edebiliriz MNBB NNMMN r MB r 58 B * M, MM Kesirlerden birinin davranışını düşünün, örneğin, M / yakın = Sonra MMM r M r M Frekansın yakınında, gerçek bileşen fiziksel gerçekleştirilebilirlik koşullarıyla çelişen işaret değiştirir. +, ve> Sonra kesir, sıfırdan büyük olması gereken M / değerini alır, çünkü kesir sağ yarı düzlemde gerçek bir pozitif fonksiyon olmalıdır. kutupları gerçek frekansların ekseninde, o zaman şu şekilde temsil edilebilir: MM, B ve fiziksel fizibilite koşullarını yerine getirirlerse karşılanır Gerçekten , orada kutupları olmadığı için sağ yarı düzlemde kutupları yoktur .Dolayısıyla, sağ yarı düzlemde bir analitik fonksiyondur. Öte yandan, ilk terim alır. Gerçek frekansların eksenleri tamamen hayali değerlerdir. Bu nedenle, gerçek frekansların eksenlerinde aynı gerçek kısımlara sahiptirler. Birinci terimin ayrılması, gerçek frekansların eksenleri üzerindeki gerçek kısmı etkilemez. düzlem aynı zamanda pozitif bir fonksiyondur r

33 Ayrıca gerçek değerler için sağ yarı düzlemde gerçek gerçek değerleri alır Sonuç olarak, gerçek bir pozitif fonksiyondur M Direnç, kayıpsız bir paralel rezonans devresine sahiptir: LCCC, LC LC ve LC ve MC : M "Y, YM" ifadesinin seri rezonans devresinin iletkenliğini temsil ettiği yer: YCLLCL ± noktalarındaki kutuplara ek olarak, yani sonlu frekanslarda, sıfır ve sonsuz frekanslarda kutuplar mümkündür.Bu kutuplara karşılık gelir. :, L, Y, YC, CL t terimleri kapasitans veya endüktansa karşılık gelmez Aşağıdaki ifade doğrudur Giriş empedansı pasif devrenin iletkenliği, eğer 59 ise fiziksel fizibilite koşullarını karşılamaya devam eder.

34 ondan gerçek frekanslar ekseninde yer alan kutuplara karşılık gelen iletkenlik reaktansını çıkarın Gerçek frekanslarda direnç ve iletkenlik kutupları Bu tür kutupların varlığı, sönüm olmadan içlerinde serbest salınımların var olma olasılığı anlamına gelir. iyi bir yaklaşımla, reaktif elemanlardaki kayıplar ihmal edilebilir 46 Tamamen reaktif elemanlardan oluşan devrelerin özellikleri Çoğu zaman bir devrenin küçük kayıpları olan elemanlardan oluştuğu görülür. Bu durumda, kayıpların etkisi bazen ihmal edilebilir. Kayıpsız devrelerin özelliklerini bulmak ve hangi koşullar altında kayıpların ihmal edilebileceğini bulmak ilgi çekicidir Devrenin tüm elemanlarının tamamen reaktif olduğunu varsayın Bu durumda gerçek frekanslar ekseninde Y direncinin ve iletkenliğinin hayali değerler aldığını göstermek kolaydır. Direncin veya iletkenliğin sanal kısmı devrenin tek bir fonksiyonu olduğundan, bu durumda = Bu nedenle, daha genel durumda = Fiziksel fizibilite koşulları, sağ yarı düzlemde sıfırların ve kutupların olmamasını gerektirir. Ancak = olduğundan, sol yarı düzlemde de sıfır ve kutup olmamalıdır. Bu nedenle, H

35 fonksiyon ve Y sadece gerçek frekans ekseninde sıfırlara ve kutuplara sahip olabilir.Fiziksel olarak, bu anlaşılabilir, çünkü kayıpsız bir devrede serbest salınımlar sönmez.Eksen üzerinde yatan kutupları tanımlama yöntemini kullanarak bunu takip eder. gerçek frekanslardan, fonksiyonları ve Y'yi aşağıdaki forma indirgemek mümkündür: bnbnb Y Diğer bir deyişle, dirençli iki kutuplu bir cihaz, Foster'ın formunun Şekil 49'da aşağıdaki diyagram olarak gösterilebilir:; Şekil 49 Birinci Foster formu Buna göre, Y -th Foster formu şeklinde gösterilebilir Şekil 4 Şekil 4 İkinci Foster formu Gerçek frekansların eksenindeki sıfırların ve kutupların sadece dönüşümlü olması gerektiği gösterilebilir. basit, o zaman sıfıra yakın fonksiyon M o biçiminde temsil edilebilir, burada o sağ yarı düzlemde Yakın'a kıyasla daha yüksek bir küçüklük derecesi miktarıdır, gerçek miktar pozitif olmalıdır ve bu sadece M ise mümkündür. gerçek 6

36 bir büyüklüktür ve M> Bu nedenle, sıfıra yakın = sanal bileşen yalnızca pozitif bir türev ile değişebilir, işaretin "+" olarak değiştirilmesi, bir süreksizlik olmalıdır, bu da toplu elemanlara sahip devreler için yalnızca bir kutup olabilir. bu aynı zamanda iletkenlik için de geçerlidir Y Sıfırlar rezonans noktaları olarak adlandırılır, kutuplar antirezonans noktalarıdır Bu nedenle, rezonanslar her zaman antirezonanslarla değişir İletkenlik Y için, rezonanslar kutuplara ve antirezonanslar sıfırlara karşılık gelir. hem rezonans noktalarında hem de antirezonans noktalarında, ortalama elektrik ve manyetik enerji rezervleri birbirine eşittir Gerçekten de, rezonans noktalarında =, yani WHWE = Antirezonans noktalarında Y =, bu nedenle, WEWH = Şimdi kayıpsız devrelerde aşağıdaki formüllerin yer aldığını gösterelim, direnç ve iletkenliğin frekansa bağımlılığı Direnç ve iletkenliği şu şekilde gösterelim: X, Y B Sonra: dx WH W d I db WH WE d E Kanıt için, direnç tanımını ele alalım E I 6 E; E = eksilerini frekansa göre ayıralım: d E di d I d E'nin gerçek bir değer olduğunu varsayalım O zaman kayıpsız bir devre için I tamamen hayali bir değerdir Bu durumda d E d Idi d I I ve

37 Şimdi döngü akımları n 4 için denklem sistemine dönelim: I Li I Ei, i, n C Sadece E olduğunu varsayarsak, denklemlerin her birini çarparız ve tüm denklemleri ekleriz: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Sonra, kayıpsız devreler için p 4'te de elde edilen bağıntıya dönüyoruz: i, Li i I Ii ii, IIC ii E E = cons'ta frekansa göre türev alarak, şunu elde ederiz: III id Li I Ii Li IdIi i, i, Ci i, I di di IL di IE di CC iiiiii, ii, i, i di I di IL di IL di I niiiiiii, i, Ci i, i, Ci E di E di , çünkü E varsayıma göre gerçek bir değerdir.

38 Toplamı değiştirerek şunu elde ederiz: di, Li I Ii i, IIC ii E di E Sol ve sağdaki benzer terimleri azaltarak, şunu buluruz: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E oldu Bölüm n 4'te bulunur, eşittir i, Li i I Ii i, Ii IC i 4 WHWE di Direnç fonksiyonunun türevi için ifadede yer değiştirirsek, şunu elde ederiz: d E di WH W d I d I Benzer şekilde, şunu ispatlayabilirsiniz: ikinci eşitlik dy W d E WE Bu formüllerden, artan frekansla, tamamen reaktif elemanlardan oluşan bir devrenin reaktansının ve iletkenliğinin yalnızca artabileceği takip edilir. Sıfır ve sonsuz frekanslarda sıfırların ve kutupların varlığına bağlı olarak, X ve B'nin bağımlılığı, Şekil 4'te gösterilen aşağıdaki tiplerden birine sahip olabilir. Son olarak, küçük kayıpların varlığının reaktif elemanlardan oluşan bir devrenin direncini nasıl etkilediğini bulmaya çalışacağız.<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Zayıflatma farklı kutuplar için farklı olabilir Bu nedenle, kutuplardan birinin yakınında direnç fonksiyonunun davranışının dikkate alınması tavsiye edilir.

40 Gerçek frekanslar eksenindeki değerlerle ilgilendiğimiz için, payda, şu koşulla karşılaştırıldığında küçük atabiliriz: Bu ifade aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:, Qx "burada ; Q; x; Q >> niceliğine kalite faktörü, x niceliğine bağıl detuning denir. Rezonansa yakın direncin gerçek ve sanal kısımlarının frekansa nasıl bağlı olduğunu düşünün: QQ x R; Im Q x Q x 66

41 Rezonansa yakın Im artar, ancak rezonansta negatif bir türevle sıfırdan geçer R'nin reel kısmı rezonansta bir maksimuma sahiptir, konuşmak gerekirse, rezonans eğrisi R'nin altındaki alan Q faktörüne bağlı değildir.Artan Q faktörü ile, eğrinin genişliği azalır, ancak yüksekliği artar, böylece alan değişmeden kalır Qx >>, gerçek kısım hızla azalır ve sanal kısım Im x 67'ye eşittir, yani aynı şekilde değişir. kayıpsız bir döngü durumunda

42 Bu nedenle, küçük kayıpların ortaya çıkmasıyla frekansa bağımlılık, rezonans frekansından >> değeriyle aralıklı frekanslarda çok az değişir. Frekansın yakınında, seyir önemli ölçüde değişir. İletim kutbu Y, yani serinin iletkenliği rezonans devresi, kutba benzer bir ilişkiye karşılık gelir: burada Q; gq Y, Qx g karakteristik iletkenlik; L x Sıfır, iletim kutbu Y'ye karşılık gelir Sıfıra yakın, bu nedenle direnç, gerçek frekansların ekseninde aşağıdaki gibi temsil edilebilir: Qx x, Y gq Q burada = / g, 68'den öncekiyle aynı şekilde sıfıra yakın değişir

43 5 Dört kutuplar 5 Bir dört kutuplunun temel denklemleri Bir dört kutuplu, iki çift terminali olan bir devredir: sinyal kaynağının bağlı olduğu giriş ve yükün bağlı olduğu çıkış İletim direnci Bu koşullar altında, direncin direnci sinyal kaynağı n ve yük direnci n T'ye dahil edilir Değiştiklerinde ve T değiştiğinde Dört portlu ağın kendisini karakterize eden denklemlere ve parametrelere sahip olmak istenir Katsayı, çıkışta boştayken iletim iletkenliğinin tersidir terminal çifti: 69 II; Şekil 5 Dört kapılı ağı açma I Burada U ve U, giriş ve çıkış terminallerindeki voltajlardır, I ve I, giriş ve çıkış terminallerinden dört kapılı ağa doğru akan akımlardır, bkz. Şekil 5 Katsayıları gerilimleri ve akımları bağlayan denklemler sisteminin basit bir anlamı vardır.Değer, çıkış terminallerinde I =, yani çıkış terminallerinde yüksüz bir akımda I ve U arasındaki orantı katsayısıdır; başka bir deyişle, bu çıkışta yüksüz durumda giriş direnci = x Benzer şekilde, bu, ilk terminal çiftinde yüksüz durumda çıkış terminallerinin yanından gelen giriş direncidir = x Katsayının anlamı şudur: ilk terminal çiftinde boşta iletim iletkenliğinin karşısındaki değer, yani sıfır akım giriş terminalleri U ve IYT x YT x

44 IU; YT x YT x Pasif dört kapılı bir ağ için, karşılıklılık ilkesi nedeniyle her iki iletim iletkenliğinin birbirine eşit olduğuna dikkat edin.Bu nedenle, = = / Y Tx Yukarıda verilen denklem sistemi şu şekilde yazılabilir: IU x I ; YT x IU x I YT x I, bu durumda akım dört bağlantı noktalı bir ağdan yönlendirildiği için, yani yukarıda kabul edilene göre ters yönde U'yu ikinci denklemde yerine koyarsak, I, I n I x I YTx IY x Tx İlk denklemde I yerine geçersek, UI x Y Tx elde ederiz n Buradan giriş empedansını nx U x IY cinsinden buluruz. endeksler ve: T xnx 7

45 çıkış x YT xnx 5 Dört kutuplu bir cihazın karakteristik parametreleri Jeneratör ve yükün aynı anda eşleştiği durum, yani n = c ve n = c olduğunda, in = c ve out = c ilişkisi önemli ölçüde ilgi çekicidir. yer alır in ve out ifadelerinde yerine koyarak, c ve c'yi bulmamıza izin veren denklemleri elde ederiz: cc x x YT x YT x 7 cc Bu sistem şu şekilde çözülür İlk denklemden bulduğumuz: nereden cc x x; x, Y Tx c x x YT x x YTx x c x kz c x kz x

46 Kısa devre ve kısa devrenin, diğer terminal çiftinde bir kısa devre olması durumunda sırasıyla birinci ve ikinci terminal çiftinin yanından gelen giriş dirençleri olduğuna dikkat edin. Karakteristik empedansa eşit olan yük, uyumlu olarak adlandırılır. Bu şekilde herhangi bir sayıda dört kapılı ağ açıldığında, eşleşme herhangi bir kesitte korunur. UI c I c ln I c U cg ln U Gerçek frekanslar için karakteristik iletim katsayısının gerçek kısmına karakteristik zayıflama denir ve sanal kısma karakteristik faz sabiti denir ve ayrıca şu oranı alır: I g I; U c g U U U I I

47 Karakteristik transfer katsayısı, iki kapılı ağların eşleştirilmiş kademeli bağlantısıyla, elde edilen transfer katsayısının tek tek dört kapılı ağların transfer katsayılarının toplamına eşit olması bakımından uygundur. Karakteristik transfer katsayısı şuradan bulunabilir. aşağıdaki ilişkiler: Karakteristik empedanslar c ve c, genel olarak, frekansa bağlıdır Bu nedenle, iletim direncini T temsil etmek için karakteristik parametrelerin kullanımı her zaman uygun değildir. tamamen aktif bir dirençle sabit bir gerçek yük R'ye dört terminalli bir ağ jeneratörün R Şekil 53 Bu durumda, iletim, U "ve I" nin olduğu UI ln, UI işletim iletim katsayısı kullanılarak belirlenir. ve jeneratörün, jeneratörün iç direncine eşit bir dirençte geliştirebildiği akım, yani: EU, IE, R 73 EUI, 4R U ve I voltaj ve yük akımı Bu durumda, U = IR Değiştirme, biz çalışma iletim katsayısı için elde ederiz ln Buradan 4R ERI ln ERRTIRR elde ederiz

48 Değer karmaşık değişkenin bir fonksiyonudur Gerçek frekanslar için =: = + B, burada çalışma zayıflaması, B faz sabitidir Çalışma zayıflaması ln TRR 74 ln PP mx'e eşittir, çünkü P mx maksimum güçtür jeneratör, dört kapılı şebekenin girişine verebilir ve P, yüke tahsis edilen güçtür RP mx EPIR 4R Gerçek pozitif fonksiyonun Gerçekten de, sağ yarı düzlemde T'nin sıfırları olmadığı için, fonksiyon sağ yarı düzlemde analitiktir.Bu nedenle, onunla orantılı analitik fonksiyon da sağ yarım düzlemdedir Analitiklik, bu durumda gerçek frekanslar ekseninde Ters değer bu eksendeki en küçük değere ulaşır. gerçek frekanslar ekseninde bir pasif dört bağlantı noktası, bu nedenle sağ yarı düzlemin tamamında R> Ayrıca T ln 4R R Fonksiyon T, iki polinomu gerçek katsayılarla bölmenin bölümüdür ve T gerçek pozitif alır gerçek için e değerleri Bu nedenle, gerçek değerler için de gerçek Bu nedenle, gerçek bir pozitif fonksiyon olduğu sonucuna varabiliriz Genel durumda belirli bir çalışma iletim katsayısına sahip dört bağlantı noktalı bir ağın sentezi sorunu en iyi şekilde çözülmüştür. belirli koşullar altında T'ye sahip olan çapraz dört bağlantı noktası ağının yardımıyla

4.11. Laplace dönüşüm özellikleri. 1) Bire bir yazışma: s (S И (2) Laplace dönüşümünün doğrusallığı: s И () И 1 (s2 (S1 S2 (ve ayrıca 3) Analitiklik S И (): if s (sağlar)

4 Ders 5 DİNAMİK DEVRELERİN ANALİZİ Plan Elektrik devrelerinin durum denklemleri Durum denklemlerinin oluşturulması için algoritma 3 Durum denklemlerinin çizim örnekleri 4 Sonuç Elektriksel durum denklemleri

4 .. Laplace dönüşümünün özellikleri.) Bire bir eşleşme: S И () 2) Laplace dönüşümünün doğrusallığı: s (s () И () И 2 S S2 () ve ayrıca 3) Analitiklik S И (): koşulu sağlıyorsa

64 Ders 6 ELEKTRİK DEVRELERİNİN İŞLEMSEL ANALİZ YÖNTEMİ Plan Laplace dönüşümü Laplace dönüşümünün özellikleri 3 Elektrik devrelerini analiz etme operatör yöntemi 4 Bilinen tarafından orijinalin belirlenmesi

2.2. Geçici olayları hesaplamak için operatör yöntemi. Teorik bilgiler. Klasik yöntemle karmaşık devrelerdeki geçici süreçlerin hesaplanması, integrasyon sabitlerini bulmak çoğu zaman zordur.

70 Ders 7 DEVRELERİN OPERATÖR FONKSİYONLARI Plan Operatör girişi ve transfer fonksiyonları Devre fonksiyonlarının kutupları ve sıfırları 3 Sonuçlar Operatör girişi ve transfer fonksiyonları Bir devrenin operatör fonksiyonuna denir

Sinüzoidal akım "avucunuzun içinde" Elektrik enerjisinin çoğu, harmonik (sinüzoidal) fonksiyon yasasına göre zamanla değişen EMF biçiminde üretilir. Harmonik EMF kaynakları şunlardır:

4 Ders anlatımı ELEKTRİK DEVRELERİNİN REZONANS FREKANS ÖZELLİKLERİ Rezonans ve radyo elektroniğindeki önemi Kompleks transfer fonksiyonları 3 Logaritmik frekans özellikleri 4 Sonuçlar Rezonans ve

"Avucunuzun içinde" geçici süreçler. Sabit durumda olan bir devreyi hesaplama yöntemlerini zaten biliyorsunuz, yani akımlar, tek tek elemanlardaki voltaj düşüşleri gibi, zaman içinde sabit olduğunda.

Avucunuzun içinde rezonans. Rezonans, reaktansının sıfır olduğu endüktif ve kapasitif elemanlar içeren pasif iki terminalli bir ağın modudur. rezonans koşulu

Zorlanmış elektrik titreşimleri. Alternatif akım Devrede elektromotor kuvveti periyodik olarak değişen bir jeneratör olduğunda meydana gelen elektriksel salınımları düşünün.

Bölüm 3 Alternatif akım Teorik bilgi Elektrik enerjisinin çoğu, harmonik (sinüzoidal) fonksiyon yasasına göre zamanla değişen EMF biçiminde üretilir.

Ders 3. Kesintiler. Kalıntılarla ilgili ana teorem Bir f () fonksiyonunun izole bir tekil a noktasındaki kalıntısı, daire boyunca i pozitif yönünde alınan f () 2 integralinin değerine eşit bir karmaşık sayıdır.

Elektromanyetik salınımlar Yarı-durağan akımlar Bir salınım devresindeki süreçler Salınım devresi, seri bağlı endüktans bobinleri, bir kapasitans C kapasitör ve bir dirençten oluşan bir devre

1 5 Elektriksel salınımlar 51 Salınım devresi Fizikte salınımlar, yalnızca cisimlerin periyodik hareketleri olarak değil, aynı zamanda bir veya

Pasif devreler Giriş Problemler, pasif devrelerde genlik-frekans, faz-frekans ve geçiş karakteristiklerinin hesaplanmasını ele alır. Adlandırılmış özellikleri hesaplamak için bilmeniz gerekenler

SALINIM DEVRELERİNDE SERBEST VE ZORLU TİTREŞİMLERİN ÇALIŞMASI Bir salınım devresinde serbest elektriksel titreşimler Seri bağlı kapasitörlerden oluşan bir salınım devresi düşünün.

Anlatım 3 Konu Salınım sistemleri Sıralı salınım devresi. Gerilimlerin rezonansı Seri salınımlı devre, bir bobin ve bir kondansatörün seri olarak bağlandığı bir devredir.

Moskova Devlet Üniversitesi M.V. Lomonosov Fizik Fakültesi Genel Fizik Bölümü

Uzmanlık öğrencileri için "Elektrik devreleri teorisi" disiplininde kendi kendine çalışma malzemeleri: -6 4 s "Endüstriyel elektronik" (bölüm), -9 s "Modelleme ve bilgisayar tasarımı

Karmaşık genlik yöntemi R elemanlarının terminallerindeki harmonik voltaj dalgalanmaları veya aynı frekansta harmonik akımın akışına neden olur. Fonksiyonların farklılaşması, entegrasyonu ve eklenmesi

Ek 4 Zorlanmış elektriksel salınımlar Alternatif akım Aşağıdaki teorik bilgiler, "Elektrik ve Manyetizma" laboratuvarında 6, 7, 8 numaralı laboratuvar çalışmalarına hazırlıkta faydalı olabilir.

54 Ders 5 Fourier dönüşümü ve elektrik devrelerinin analizi için spektral yöntem Periyodik olmayan fonksiyonların Plan Spektrumları ve Fourier dönüşümü Fourier dönüşümünün bazı özellikleri 3 Spektral yöntem

Sınav Gerilim rezonansı (devamı) i iω K = K = ω = = ω => r + iω + r + i ω iω r + ω K = ω r + ω Payda, ω 0 frekansında minimumdur, öyle ki ω0 = 0 => ω0 ω 0 = bu frekansa rezonans denir

Bölüm 2. Geçici süreçleri hesaplama yöntemleri. 2.1. Klasik hesaplama yöntemi. Teorik bilgiler. Birinci bölümde, kararlı durumdaki bir devreyi hesaplama yöntemleri ele alındı, yani

Yastrebov NI KPI RTF cafe TOP wwwystrevkievu Şematik fonksiyonlar Devre fonksiyonları aparatı, hem doğrudan hem de harmonik akımlardaki devrelerin analizi için ve keyfi bir etki türü için uygulanabilir Kararlı bir durumda

4.9. Devrenin geçici tepkisi, darbe tepkisi ile ilişkisi. K j K j j> S j j K j S 2 fonksiyonunu göz önünde bulundurun K jω'nin Fourier dönüşümü h K j'ye sahip olduğunu varsayalım.

Ders 9 Diferansiyel denklemlerin lineerleştirilmesi Yüksek mertebeden lineer diferansiyel denklemler Homojen denklemler çözümlerinin özellikleri Homojen olmayan denklemlerin çözümlerinin özellikleri Tanım 9 Lineer

Metodik geliştirme TFKP ile problem çözme Karmaşık sayılar Karmaşık sayılar üzerinde işlemler Karmaşık düzlem Karmaşık bir sayı cebirsel ve trigonometrik üstel olarak temsil edilebilir

İçindekiler GİRİŞ Bölüm GEÇİCİLERİN HESAPLANMASI İÇİN KLASİK YÖNTEM Bölüm OVERLAY INTEGRALS KULLANILARAK rasgele GİRİŞLİ TRANSENTLERİN HESAPLANMASI 9 KONTROL KONULARI7

4 ELEKTROMANYETİK TİTREŞİMLER VE DALGALAR Salınım devresi, kapasitörler ve bobinlerden oluşan bir elektrik devresidir ve bu devrede kondansatörün osilasyonla yeniden doldurulması mümkündür.

3.5. Karmaşık paralel salınımlı devre I En az bir paralel dalın her iki işaretin reaktivitelerini içerdiği bir devre. I С С I I ve arasında manyetik bir bağlantı yoktur. rezonans koşulu

DERS N38. Bir analitik fonksiyonun sonsuzdaki davranışı. Özel noktalar. Bir fonksiyonun kalıntıları ... sonsuz uzak bir noktanın komşusu ... sonsuz uzak bir noktanın çevresinde bir Laurent açılımı .... 3. Davranış

4 Anlatım 3 ELEKTRİK DEVRELERİNİN FREKANS ÖZELLİKLERİ Karmaşık transfer fonksiyonları Logaritmik frekans karakteristikleri 3 Sonuç Karmaşık transfer fonksiyonları (karmaşık frekans karakteristikleri)

dalgalanmalar. Ders 3 Alternatör Bir alternatörün çalışma prensibini açıklamak için, önce düz bir tel dönüşü düzgün bir manyetik alanda döndüğünde ne olduğunu düşünelim.

DİFERANSİYEL DENKLEMLER Genel kavramlar

Harmonik salınımların kaynağının hesaplanması (GCI) Eşdeğer bir voltaj kaynağı ile transformatörün birincil sargısına göre GCI'nin ilk devresini sağlayın Parametrelerini belirleyin (EMF ve dahili

Çalışma 11 SALINIMLI BİR DEVREDE ZORUNLU TİTREŞİM VE REZONANS OLGUSU ÇALIŞMASI Bir indüktör ve bir kapasitör içeren bir devrede elektriksel salınımlar meydana gelebilir. iş okuyor

Konu 4 .. AC devreleri Konu soruları .. Endüktanslı AC devresi .. Endüktanslı ve aktif dirençli AC devresi. 3. Kapasiteli AC devresi. 4. Zincir değişkeni

4 Ders DİRENÇLİ DEVRELERİN ANALİZİ Plan Elektrik devrelerini analiz etme görevi Kirchhoff yasaları Direnç devrelerini analiz etme örnekleri 3 Bir devrenin eşdeğer dönüşümleri 4 Sonuçlar Elektrik devrelerini analiz etme görevi

Varyant 708 Elektrik devresinde sinüzoidal EMF e (ωt) sin (ωt ψ) kaynağı çalışıyor. Şekilde gösterilen devre şeması. EMF E kaynağının etkin değeri, başlangıç ​​fazı ve devre parametrelerinin değeri

Başlangıç ​​verileri R1 = 10 Ohm R2 = 8 Ohm R3 = 15 Ohm R4 = 5 Ohm R5 = 4 Ohm R6 = 2 Ohm E1 = 10 V E2 = 15 V E3 = 20 V Kirgoff yasaları (sabit voltaj) 1. Düğüm aranıyor Düğüm üç (veya daha fazla) iletkenin bağlı olduğu nokta

DERS Salınımı. Zorlanmış salınımlar Şekil Salınım kaynağı M athcale, bir direnç R, bir indüktör L ve bir kapasitanslı bir kapasitörden oluşan bir seri salınım devresini besler.

Sınav Gerilimlerin rezonansı (devamı) Bir devredeki voltajın tüm salınım devresindeki voltaj olduğunu ve devrenin çıkışındaki voltajın kondansatör üzerindeki voltaj olduğunu varsayalım. O halde Genlik

Akademik yılın güz dönemi Konu 3 PERİYODİK OLMAYAN SİNYALLERİN HARMONİK ANALİZİ Doğrudan ve ters Fourier dönüşümleri Sinyalin spektral karakteristiği Genlik-frekans ve faz-frekans spektrumları

Anlatım 6. Sabit reel katsayılı iki denklemden oluşan lineer bir sistemin durma noktalarının sınıflandırılması. Sabit reelli iki lineer diferansiyel denklem sistemi düşünün.

54 Anlatım 5 Fourier dönüşümü ve elektrik devrelerinin analizi için spektral yöntem Periyodik olmayan fonksiyonların Plan Spektrumları ve Fourier dönüşümü 2 Fourier dönüşümünün bazı özellikleri 3 Spektral yöntem

Konu: Alternatif akımın yasaları Elektrik akımı, yüklü parçacıkların veya makroskopik cisimlerin düzenli hareketidir. Değişken, zamanla değerini değiştiren bir akımdır.

Sınav Empedans Empedans Empedans veya karmaşık empedans, tanım gereği karmaşık voltajın karmaşık akıma oranına eşittir: Z ɶ Empedansın da orana eşit olduğuna dikkat edin

İçindekiler Giriş. Temel kavramlar .... 4 1. Volterra'nın integral denklemleri ... 5 Ev ödevi varyantları .... 8 2. Volterra'nın integral denkleminin çözümü. 10 Ödev seçeneği ... 11

Bölüm II İntegraller Terstürev fonksiyonu ve özellikleri F () fonksiyonu, a b aralığında sürekli bir f () fonksiyonunun ters türevi olarak adlandırılır, eğer F () f (), a; b (;) Örneğin, f () fonksiyonu için ters türevler

Klasik yöntem. Şekil 1- Elektrik devresinin ilk şeması Devre parametreleri: E = 129 (V) w = 10000 (rad/s) R1 = 73 (Ohm) R2 = 29 (Ohm) R3 = 27 (Ohm) L = 21 ( mgn) C = 0.97 (μF) Endüktans reaktansı:

Karmaşık lineer elektrik devrelerini hesaplama yöntemleri Temel: Doğru akım devresi için veya sembolizasyondan sonra derlenmiş lineer cebirsel denklem sistemlerini oluşturma ve çözme yeteneği

ÖZEL BİR ENTEGRAL. İntegral Toplamlar ve Tanımlı İntegral [, b] aralığında tanımlanmış bir y = f () fonksiyonu verilsin, burada< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 Ders 7 DEVRE OPERATÖR FONKSİYONLARI Operatör girişi ve transfer fonksiyonları Devre fonksiyonlarının kutupları ve sıfırları 3 Sonuçlar Operatör girişi ve transfer fonksiyonları Bir zincirin operatör fonksiyonu bir bağıntıdır

68 Ders 7 BİRİNCİ DERECEK DEVRELERDE GEÇİŞ SÜREÇLERİ Plan 1 Birinci dereceden RC-devrelerinde geçici süreçler 2 Birinci dereceden R-devrelerinde geçici süreçler 3 Devrelerde geçici süreç hesaplama örnekleri

4 AC SİNÜZOİDAL AKIMIN LİNEER ELEKTRİK DEVRELERİ VE HESAPLAMA YÖNTEMLERİ 4.1 ELEKTRİK MAKİNELERİ. SİNÜSOİDAL AKIM ÜRETİM İLKESİ 4.1.012. Sinüzoidal akıma anlık denir

Federal Eğitim Ajansı Devlet Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu "KUBAN DEVLET ÜNİVERSİTESİ" Fizik ve Teknoloji Fakültesi Optoelektronik Bölümü

~ ~ FKP Karmaşık bir değişkenin fonksiyonunun türevi Cauchy'nin FKP - Riemann koşulu, FKP'nin düzenlilik kavramını ve karmaşık bir sayının biçimini FKP'nin Formu: iki değişkenin gerçek fonksiyonunun gerçek olduğu yer

Bu, Fourier dönüşümüyle birlikte, radyo mühendisliğinde sinyallerin incelenmesiyle ilgili çok çeşitli sorunları çözmek için yaygın olarak kullanılan başka bir integral dönüşüm türünün adıdır.

Karmaşık frekans kavramı.

Spektral yöntemler, zaten bilindiği gibi, araştırılan sinyalin, her biri yasaya göre zaman içinde periyodik olarak değişen, sonsuz sayıda temel terimin toplamı olarak temsil edildiği gerçeğine dayanmaktadır.

Bu ilkenin doğal genellemesi, tamamen hayali göstergelere sahip karmaşık üstel sinyaller yerine, formun üstel sinyallerinin dikkate alınması gerçeğinde yatmaktadır, burada karmaşık bir sayıdır: karmaşık frekans olarak adlandırılır.

Bu tür iki karmaşık sinyal, örneğin aşağıdaki kurala göre gerçek bir sinyal oluşturmak için kullanılabilir:

karmaşık eşlenik değeri nerede.

Nitekim bu durumda

Karmaşık frekansın gerçek ve sanal kısımlarının seçimine bağlı olarak, çeşitli gerçek sinyaller elde edilebilir. Yani, eğer, ama eğer formunun olağan harmonik salınımlarını alırsanız, o zaman, işarete bağlı olarak, zamanla artan veya azalan üstel salınımlar elde edersiniz. Bu tür sinyaller ne zaman daha karmaşık bir biçim kazanır. Burada çarpan, zamanla katlanarak değişen bir zarfı tanımlar. Bazı tipik sinyaller, Şek. 2.10.

Her şeyden önce, karmaşık frekans kavramının çok yararlı olduğu ortaya çıkıyor, çünkü genelleştirilmiş fonksiyonlara başvurmadan, matematiksel modelleri entegre edilemeyen sinyallerin spektral temsillerini elde etmeyi mümkün kılıyor.

Pirinç. 2.10. Karmaşık frekansın farklı değerlerine karşılık gelen gerçek sinyaller

Bir başka husus da önemlidir: (2.53) formunun üstel sinyalleri, çeşitli lineer sistemlerdeki salınımları incelemek için "doğal" bir araç olarak hizmet eder. Bu sorular Ch'de incelenecektir. sekiz.

Gerçek fiziksel frekansın, karmaşık frekansın sanal kısmı olduğuna dikkat edilmelidir. Karmaşık frekansın gerçek kısmı için özel bir terim yoktur.

Temel ilişkiler.

t> 0'da tanımlanmış ve negatif zaman değerlerinde sıfıra eşit, gerçek veya karmaşık bir sinyal olsun. Bu sinyalin Laplace dönüşümü, bir integral tarafından verilen karmaşık bir değişkenin fonksiyonudur:

Sinyale orijinal, fonksiyona ise onun Laplace görüntüsü (kısaca, sadece görüntü) adı verilir.

(2.54) integralinin varlığını sağlayan koşul aşağıdaki gibidir: sinyal, üstel bir büyüme oranından daha fazlasına sahip olmamalıdır, yani pozitif sayıların olduğu yerde eşitsizliği sağlamalıdır.

Bu eşitsizlik sağlandığında, fonksiyon, integralin (2.54) mutlak yakınsamanın apsisi olarak adlandırıldığı tüm karmaşık sayılar için mutlak yakınsaması anlamında mevcuttur.

(2.54) formülündeki değişken kompleks frekans ile tanımlanabilir Gerçekten de, formül (2.54), sinyalin Fourier dönüşümünü belirleyen formül (2.16)'ya dönüştüğünde, tamamen hayali bir kompleks frekansta, eşittir. sıfırda Böylece, Laplace dönüşümü düşünülebilir

Fourier dönüşümü teorisinde yapıldığı gibi, görüntüyü bilerek orijinali geri yüklemek mümkündür. Bunun için ters Fourier dönüşümü formülünde

hayali değişkenden karmaşık argümana geçerek analitik bir devam gerçekleştirilmelidir a.Karmaşık frekans düzleminde, entegrasyon, mutlak yakınsama apsisinin sağında bulunan sonsuz uzunlukta bir dikey eksen boyunca gerçekleştirilir. at diferansiyel olduğundan, ters Laplace dönüşümü formülü şu şekildedir:

Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisinde, Laplace görüntülerinin düzgünlük açısından "iyi" özelliklere sahip olduğu kanıtlanmıştır: bu tür görüntüler, sayılabilir bir dizi hariç, karmaşık düzlemin tüm noktalarında. tekil noktalar, analitik fonksiyonlardır. Tekil noktalar, kural olarak, tekli veya çoklu kutuplardır. Bu nedenle, (2.55) formunun integrallerini hesaplamak için, kalıntı teorisinin esnek yöntemleri kullanılabilir.

Pratikte, orijinaller arasındaki yazışmalar hakkında bilgi toplayan Laplace dönüşüm tabloları yaygın olarak kullanılmaktadır. ve görüntüler. Tabloların varlığı, Laplace dönüşüm yöntemini hem teorik çalışmalarda hem de radyo mühendisliği cihaz ve sistemlerinin mühendislik hesaplamalarında popüler hale getirdi. Eklerde, oldukça geniş bir problem yelpazesini çözmenize izin veren böyle bir tablo var.

Laplace dönüşümlerini hesaplama örnekleri.

Görüntü hesaplama yöntemleri, Fourier dönüşümü ile ilgili olarak daha önce çalışılmış olanlarla çok ortak noktaya sahiptir. En tipik durumları ele alalım.

Örnek 2.4, Genelleştirilmiş üstel momentumun görüntüsü.

Sabit bir karmaşık sayı nerede olsun. -fonksiyonunun varlığı eşitliği belirler (2.54) formülünü kullanarak,

Eğer öyleyse, üst limit değiştirildiğinde pay kaybolacaktır. Sonuç olarak, yazışmaları alıyoruz

Formül (2.56)'nın özel bir durumu olarak, gerçek bir üstel video darbesinin görüntüsünü bulabilirsiniz:

ve karmaşık bir üstel sinyal:

Son olarak, (2.57) koyarak, Heaviside fonksiyonunun görüntüsünü buluruz:

Örnek 2.5. Delta işlevi görüntüsü.

Daha önce, K (t, О = е) çekirdeği ile integral Fourier dönüşümünü ele aldık. Bu kısıtlamadan kurtulmak için Tanım 1. Orijinal bir işlev, aşağıdaki koşulları karşılayan gerçek bir t argümanının karmaşık değerli herhangi bir f (t) işlevi anlamına gelir: bu tür noktaların sonlu bir eksen aralığı * yalnızca sonlu bir sayı olabilir ; 2.fonksiyon f (t), t'nin negatif değerleri için sıfıra eşittir, f (t) = 0, 3 için t arttıkça, modül f (t) üstel bir fonksiyondan daha hızlı artmaz, yani M> 0 ve s sayıları vardır, öyle ki tüm t için (1) eşitsizliği bazı s = aj için geçerliyse, o zaman HERHANGİ BİR 82> 8 için de geçerli olacaktır]. = eşitsizliğin (1) olduğu infs , f(t) fonksiyonunun büyüme hızı olarak adlandırılır. Yorum Yap. Genel durumda, eşitsizlik geçerli değildir, ancak tahmin, e> 0'ın herhangi olduğu yerde geçerlidir. Dolayısıyla, fonksiyonun bir büyüme üssü vardır в0 = Bunun için, \ t \ ^ M V * ^ 0 eşitsizliği geçerli değildir, ancak | f | ^ Mei. Koşul (1), koşuldan (*) çok daha az kısıtlayıcıdır. Örnek 1. fonksiyon (") koşulunu sağlamaz, ancak koşul (1) herhangi bir s> I ve A /> I için sağlanır; büyüme oranı 5o = Yani bu orijinal fonksiyondur. Öte yandan, işlev orijinal bir işlev değildir: sonsuz bir büyüme düzenine sahiptir, “o = + oo. En basit orijinal işlev, sözde birim işlevidir.Eğer bazı işlevler Tanım 1'in 1 ve 3. koşullarını sağlıyorsa, ancak 2. koşulu karşılamıyorsa, o zaman ürün zaten bir orijinal işlevdir. Notasyonun basitliği için, kural olarak, dikkate alacağımız tüm fonksiyonların negatif t için sıfıra eşit olduğunu kabul ederek, rj (t) faktörünü atlayacağız, yani eğer bir f (t) fonksiyonundan bahsediyorsak, örneğin, o sin ty cos t, el, vb., o zaman aşağıdaki işlevler her zaman ima edilir (Şekil 2): ​​n = n (0 Şekil 1 Tanım 2. f (t) orijinal işlev olsun. f (t ) fonksiyonunun Laplace tarafından tanımlanan F (p) fonksiyonudur, LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ formülü ile tanımlanan karmaşık bir değişkenin fonksiyonudur Temel tanımlar Özellikler Fonksiyonların evrişimi Çarpma teoremi Görüntüden orijinali bulma İşlemsel hesap için inversiyon teoremini kullanma Duhamel formülü İntegral sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü İntegralin pozitif yarım eksen t üzerinden alındığı integral denklemlerin çözümü. F (p) işlevine, / (/) işlevinin Laplace dönüşümü de denir; dönüşümün çekirdeği K (t) p) = e ~ pt. Fonksiyonun imajı F(p) olduğu için Örnek 2 yazacağız. Birim fonksiyonun r)(t) imajını bulun. Fonksiyon 0 - 0 büyüme oranına sahip orijinal bir fonksiyondur. Formül (2) sayesinde, rj (t) fonksiyonunun görüntüsü fonksiyon olacaktır. son eşitlik yakınsayacak ve rj (t) fonksiyonunun görüntüsü £ fonksiyonu olacak şekilde elde edeceğiz. Anlaştığımız gibi, rj(t)=1 olduğunu yazacağız ve elde edilen sonuç aşağıdaki gibi yazılacaktır: Teorem 1. Büyüme üssü z0 olan herhangi bir orijinal f(t) fonksiyonu için F(p) görüntüsü tanımlanır. yarı düzlemde R ep = s > s0 ve bu yarı düzlemde analitik bir fonksiyondur (Şekil 3). Belirtilen yarım düzlemde F (p) görüntüsünün varlığını kanıtlamak için, uygun olmayan integralin (2) a> kullanarak (3) mutlak yakınsadığını saptamak yeterlidir, bu da denklemin mutlak yakınsaklığını kanıtlayan elde ederiz. integral (2). Aynı zamanda, yakınsaklığın yarı düzleminde Laplace dönüşümü F (p) için bir tahmin elde ettik. İfade (2)'yi formel olarak integral işareti altında p'ye göre farklılaştırarak, (5) integralinin varlığının (2) integralinin varlığı aynı şekilde kurulmuştu. F "(p) için parçalara göre entegrasyon uygulayarak, (5) integralinin mutlak yakınsamasını ima eden bir tahmin elde ederiz. (Integral olmayan terim, 0., - t + oo için sıfıra eşit bir limite sahiptir). (5) integrali, p'den bağımsız bir yakınsak bir integral tarafından büyükleştirildiği için p'ye göre düzgün bir şekilde yakınsar. Sonuç olarak, p'ye göre türev yasaldır ve eşitlik (5) geçerlidir. F "(p) türevi var olduğundan, Laplace dönüşümü F (p) yarım düzlemde her yerde Rep = 5> 5® analitik bir fonksiyondur. Eşitsizlik (4), Sonuç anlamına gelir. Eğer ince p sonsuza meyilliyse ve böylece Re p = s sonsuza kadar artarsa, o zaman Örnek 3. Herhangi bir karmaşık sayı fonksiyonunun görüntüsünü de bulalım. f (() fonksiyonunun üssü a. > a'ya eşittir, ancak bu görüntünün basit bir kutbu olduğu p = a noktası dışında tüm p noktalarında da. Gelecekte, bir kereden fazla karşılaşacağız. Benzer bir durum, görüntü F (p), izole tekil noktaları hariç tutmak için karmaşık değişken p'nin tüm düzleminde bir analitik fonksiyon olduğunda. Teorem 1 ile çelişki yoktur. İkincisi sadece Rep>o yarım düzleminde F(p) fonksiyonunun tekil noktaları olmadığını ileri sürer: hepsinin ya Rep = so doğrusunun solunda ya da bu doğrunun kendisinde olduğu ortaya çıkar. Değil dikkat edin. İşlemsel hesapta, bazen eşitlikle tanımlanan ve p faktörü ile Laplace görüntüsünden farklı olan f (f) fonksiyonunun Heaviside görüntüsü kullanılır. §2. Laplace dönüşümünün özellikleri Aşağıda orijinal işlevleri ve bunların görüntüleri aracılığıyla Laplace'a göre göstereceğiz. £ biw dee sürekli fonksiyonlardır) aynı görüntüye sahipse, o zaman özdeştirler. Teopewa 3 (n "yeyiost * Laplace'ı dönüştürüyor). Fonksiyonlar orijinal ise, o zaman havanın herhangi bir karmaşık sabiti için İfadenin geçerliliği, görüntüyü belirleyen integralin doğrusallık özelliğinden kaynaklanır: sırasıyla fonksiyonların büyüme oranlarıdır). Bu özelliğe dayanarak, Benzer şekilde, bunu ve ayrıca Teorem 4'ü (benzerlikler) buluruz. Eğer f (t) orijinal fonksiyon ve F (p) onun Laplace görüntüsü ise, o zaman herhangi bir a> 0 sabiti için = m'ye koyarak, bu teoremi kullanarak formül (5) ve (6)'dan Teorem 5'i elde ederiz. (orijinalin farklılaşması üzerine). F(p) görseli ile orijinal fonksiyon olsun ve – ayrıca orijinal fonksiyonlar olsun ve fonksiyonun büyüme oranı nerede O zaman ve genel olarak Burada, sağ sınır değeri Let'yi kastediyoruz. Parçalara göre integralini aldığımız görüntüyü bulalım, elde ettiğimiz integral olmayan terim (10)'un sağ tarafında k'de kaybolur Rc p = s> h için, t = Odet - / ( 0). (10)'da sağdaki ikinci terim pF'ye (p) eşittir. Böylece (10) bağıntısı şeklini alır ve (8) formülü ispatlanır. Özellikle, f (n \ t) görüntüsünü bulmak için nereden yazarsak, n kez kısımlara göre integralini alırsak, Örnek 4'ü elde ederiz. günah2 t. Bu nedenle, Teorem 5, Laplace integral dönüşümünün dikkate değer bir özelliğini kurar: (Fourier dönüşümü gibi) türev alma işlemini p ile cebirsel bir çarpma işlemine dönüştürür. Dahil etme formülü. Eğer orijinal fonksiyonlar iseler, o zaman Gerçekten de, Teorem 1'in doğal sonucu olarak, her görüntü as olarak sıfır olma eğilimindedir. Bu nedenle, dahil etme formülü buradan gelir (Teorem 6 (görüntünün türevlenmesi üzerine).Görüntünün farklılaşması orijinal tarafından çarpmaya indirgenir, F (p) fonksiyonu yarım düzlemde analitik olduğu için, şu şekilde olabilir: p'ye göre farklılaştırılmıştır. Sonuncusu sadece Örnek 5 anlamına gelir. Teorem 6'yı kullanarak, fonksiyon 4'ün görüntüsünü bulun Bildiğiniz gibi, Dolayısıyla (Tekrar Teorem 6'yı uygulayarak, genel olarak Teorem 7'yi (orijinalin entegrasyonu) buluyoruz.Orijinalin integrali görüntüyü bununla bölmeye indirgenir, eğer bir orijinal fonksiyon varsa, o zaman orijinal bir fonksiyon olacaktır, ayrıca olsun. ) Örnek 6. M fonksiyonunun görüntüsünü bulun Bu durumda, Bu nedenle, Teorem 8 (görüntü integrasyonu) . İntegral de yakınsaksa, ^: LAPLACE TRANSFORM fonksiyonunun bir görüntüsü olarak görev yapar Temel tanımlar Özellikler Konvolüsyonu fonksiyonlar Çarpma teoremi Görüntü ile orijinali bulma İşlemsel hesabın ters teoremini kullanma Duhamel'in formülünü Sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem sistemlerinin entegrasyonu Çözüm integral denklemleri Gerçekten de, integro yolunun böyle olduğunu varsayarsak yarım düzlemde yatalım, böylece integrasyon sırasını değiştirebiliriz.Son eşitlik, bunun bir fonksiyonun görüntüsü olduğu anlamına gelir. Örnek 7. M fonksiyonunun bir görüntüsünü bulun Bilindiği gibi,. Bu nedenle, koyduğumuz için, £ = 0 elde ederiz. Bu nedenle, (16) bağıntısı Örnek biçimini alır. f (t) fonksiyonunun grafiksel olarak verilen görüntüsünü bulunuz (Şekil 5). f(t) fonksiyonunun ifadesini aşağıdaki gibi yazalım: Bu ifade aşağıdaki gibi elde edilebilir. Fonksiyonu düşünün ve fonksiyonu ondan çıkarın, fark için bire eşit olacaktır. Ortaya çıkan farka fonksiyonu ekleriz Sonuç olarak, f (t) fonksiyonunu elde ederiz (Şekil 6c), böylece buradan gecikme teoremini kullanarak Teorem 10'u (yer değiştirme) buluruz. o zaman herhangi bir karmaşık sayı için p0 Gerçekten de, teorem, bilinen işlev görüntülerinden, aynı işlevlerin üstel bir işlevle çarpılan görüntülerini bulmayı sağlar, örneğin, 2.1. Fonksiyonların evrişimi. Çarpma teoremi f (t) u fonksiyonlarının tüm t için tanımlı ve sürekli olmasına izin verin. Bu fonksiyonların evrişimi eşitlikle tanımlanan yeni bir t fonksiyonudur (eğer bu integral varsa). Orijinal fonksiyonlar için, işlem her zaman daraltılabilir ve (17) 4 Gerçekten de, orijinal fonksiyonların m'nin bir fonksiyonu olarak çarpımı sonlu bir fonksiyondur, yani. bazı sonlu aralığın dışında kaybolur (bu durumda, aralığın dışında. Sonlu sürekli fonksiyonlar için, evrişim işlemi tatmin edicidir ve şu formülü elde ederiz: Evrişim işleminin değişmeli olduğunu doğrulamak kolaydır, Teorem 11 (çarpma). Eğer evrişim t) bir görüntüye sahipse Evrişimin (orijinal fonksiyonların büyüme üssü ile orijinal fonksiyon olduğunu doğrulamak kolaydır, "burada, fonksiyonların büyüme üsleri sırasıyla. böyle bir işlem yasaldır) ve gecikme teoremini uygulayarak elde ederiz. Böylece (18) ve (19)'dan görüntülerin çarpımının orijinallerin katlanmasına, Prter 9'a karşılık geldiğini bulduk. Çarpım teoremi sayesinde Problem f(t), T periyoduna sahip periyodik bir fonksiyon olsun. Laplace görüntüsünün F(p)'nin formül 3 ile verildiğini gösterin. : F (p) işlevi verildiğinde, / ( işlevini bulmamız gerekir.<)>kimin görüntüsü F (p). Karmaşık bir p değişkeninin F(p) fonksiyonunun bir görüntü işlevi görmesi için yeterli koşulları formüle edelim. Teorem 12. Eğer bir F (p) 1) fonksiyonu yarı düzlemde analitikse, arg p'ye göre düzgün bir şekilde herhangi bir yarı düzlemde R s0 için sıfıra eğilimliyse; 2) integral kesinlikle yakınsar, o zaman F (p) bazı orijinal fonksiyon Probleminin bir görüntüsüdür. F (p) = işlevi, bazı orijinal işlevlerin bir görüntüsü olarak hizmet edebilir mi? İşte görüntüden orijinali bulmanın bazı yolları. 3.1. Görüntü tablolarını kullanarak orijinali bulma Her şeyden önce, F (p) fonksiyonunu daha basit, "tablo" bir forma getirmeye değer. Örneğin, F(p) argümanı p'nin kesirli rasyonel bir fonksiyonu olduğunda, elemanter kesirlere ayrıştırılır ve Laplace dönüşümünün uygun özellikleri kullanılır. Örnek 1. F (p) fonksiyonunun aslını bulunuz şeklinde yazalım Laplace dönüşümünün yer değiştirme teoremini ve lineerlik özelliğini kullanarak Örnek 2. Fonksiyonun aslını bulun 4 F (p) yazalım ) Bu nedenle 3.2. Tersine çevirme teoreminin kullanımı ve sonuçları Teorem 13 (inversiyon). Eğer fonksiyon fit) büyüme üssü s0 olan orijinal bir fonksiyonsa ve F(p) onun görüntüsü ise, o zaman f(t) fonksiyonunun herhangi bir süreklilik noktasında, integralin herhangi bir düz çizgi boyunca alındığı ve anlaşıldığı yerde bağıntı geçerlidir. temel değer anlamında, yani Formül (1), Laplace dönüşümü ters çevirme formülü veya Mellin formülü olarak adlandırılır. Gerçekten de, örneğin, f (t)'nin her sonlu segmentte parçalı düzgün olduğunu varsayalım (\ displaystyle F (s) = \ varphi), böyle φ (z 1, z 2,…, z n) (\ displaystyle \ varphi (z_ (1), \; z_ (2), \; \ ldots, \; z_ (n))) her biri hakkında analitik z k (\ görüntü stili z_ (k)) ve için sıfıra eşittir z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ displaystyle z_ (1) = z_ (2) = \ ldots = z_ (n) = 0), ve F k (s) = L (fk (x)) (σ> σ ak: k = 1, 2,…, n) (\ displaystyle F_ (k) (s) = (\ matematik (L)) \ (f_ (k) (x) \) \; \; (\ sigma> \ sigma _ (ak) \ iki nokta üst üste k = 1, \; 2, \; \ ldots, \; n)), o zaman ters dönüşüm vardır ve karşılık gelen ileri dönüşüm mutlak yakınsama apsisine sahiptir.

Not: bunlar varoluş için yeterli koşullardır.

• evrişim teoremi

Ana makale: evrişim teoremi

• Orijinali farklılaştırma ve bütünleştirme

Orijinalin argümana göre ilk türevinin Laplace görüntüsü, görüntünün ikincisinin argümanı eksi orijinalin sağda sıfırdaki çarpımıdır:

L (f ′ (x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (\ displaystyle (\ matematik (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+))).)

Başlangıç ​​ve son değer teoremleri (limit teoremleri):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ displaystyle f (\ infty) = \ lim _ (s \ to 0) sF (s)) fonksiyonun tüm kutupları ise s F (s) (\ displaystyle sF (s)) sol yarı düzlemdedir.

Sonlu değer teoremi, orijinalin sonsuzdaki davranışını basit bir ilişki kullanarak tanımladığı için çok faydalıdır. Bu, örneğin, dinamik bir sistemin yörüngesinin kararlılığını analiz etmek için kullanılır.

• Diğer özellikler

Doğrusallık:

L (a f (x) + b g (x)) = bir F (s) + b G (s). (\ displaystyle (\ matematik (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)

Bir sayı ile çarpma:

L (f (a x)) = 1 bir F (s a). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ sol ((\ frac (s) (a)) \ sağ).)

Bazı fonksiyonların doğrudan ve ters Laplace dönüşümü

Aşağıda bazı fonksiyonlar için bir Laplace dönüşümü tablosu verilmiştir.

№	İşlev	zaman alanı x (t) = L - 1 (X (s)) (\ displaystyle x (t) = (\ matematik (L)) ^ (- 1) \ (X (s) \))	frekans alanı X (s) = L (x (t)) (\ displaystyle X (s) = (\ matematik (L)) \ (x (t) \))	yakınsama bölgesi için nedensel sistemler
1	mükemmel gecikme	δ (t - τ) (\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \)	e - τ s (\ displaystyle e ^ (- \ tau s) \)
1 A	tek dürtü	δ (t) (\ displaystyle \ delta (t) \)	1 (\ görüntü stili 1 \)	∀ s (\ displaystyle \ forall s \)
2	gecikme n (\ görüntü stili n)	(t - τ) n n! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\ displaystyle (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n)}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e - τ s (s + α) n + 1 (\ görüntü stili (\ frac (e ^ (- \ tau s)) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a	yatıştırıcı n (\ görüntü stili n)-inci sıra	t n n! ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n)) (n)}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.1	yatıştırıcı q (\ görüntü stili q)-inci sıra	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (q)) (\ Gamma (q + 1))) \ cdot H (t))	1 s q + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (q + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a.2	birim işlevi	H (t) (\ görüntü stili H (t) \)	1 sn (\ görüntü stili (\ frac (1) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2b	gecikme birimi işlevi	H (t - τ) (\ displaystyle H (t- \ tau) \)	e - τ s s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2c	hız adımı	t ⋅ H (t) (\ displaystyle t \ cdot H (t) \)	1 sn 2 (\ görüntü stili (\ frac (1) (s ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2 boyutlu	n (\ görüntü stili n)-frekans kaymalı sıra	t n n! e - α t ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ frac (t ^ (n)) (n)}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) ((s + \ alpha) ^ (n + 1))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha)
2d.1	üstel bozunma	e - α t ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ cdot H (t) \)	1 s + α (\ displaystyle (\ frac (1) (s + \ alpha)))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
3	üstel yaklaşım	(1 - e - α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle (1-e ^ (- \ alpha t)) \ cdot H (t) \)	α s (s + α) (\ displaystyle (\ frac (\ alpha) (s (s + \ alpha))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
4	sinüs	günah ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
5	kosinüs	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
6	hiperbolik sinüs	s h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ matrm (sh) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	α s 2 - α 2 (\ görüntü stili (\ frac (\ alpha) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | a | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
7	hiperbolik kosinüs	c h (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ matrm (ch) \, (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	s s 2 - α 2 (\ görüntü stili (\ frac (s) (s ^ (2) - \ alpha ^ (2))))	s> | a | (\ displaystyle s> | \ alpha | \)
8	katlanarak azalan sinüs	e - α t günah ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ günah (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
9	katlanarak azalan kosinüs	e - α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle e ^ (- \ alpha t) \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s + \ alpha) ((s + \ alpha) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alpha \)
10	kök n (\ görüntü stili n)-inci sıra	t n ⋅ H (t) (\ displaystyle (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t))	s - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\ displaystyle s ^ (- (n + 1) / n) \ cdot \ Gamma \ sol (1 + (\ frac (1) (n)) ) \ sağ))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
11	doğal logaritma	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ ln \ sol ((\ frac (t) (t_ (0))) \ sağ) \ cdot H (t))	- t 0 s [ln ⁡ (t 0 s) + γ] (\ displaystyle - (\ frac (t_ (0)) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ gama])	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
12	Bessel işlevi birinci tür Emir n (\ görüntü stili n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^)) ) )) \ sağ) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) (n> - 1) (\ displaystyle (n> -1) \)
13	birinci tür Emir n (\ görüntü stili n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 - ω 2) - ns 2 - ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^)) ) )) \ sağ) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)))))	s> | ω | (\ displaystyle s> | \ omega | \)
14	Bessel işlevi ikinci tür sıfır sipariş	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle Y_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t) \)	- 2 arsh (s / α) π s 2 + α 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ matrm (arsh) (s / \ alpha)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + \ alpha) ^ (2)))))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
15	değiştirilmiş Bessel işlevi ikinci tür, sıfır sipariş	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displaystyle K_ (0) (\ alpha t) \ cdot H (t))
16	hata fonksiyonu	e r f (t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ matrm (erf) (t) \ cdot H (t))	es s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4) \ matrm (erfc) (s / 2)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
Tabloya notlar: H (t) (\ görüntü stili H (t) \); α (\ görüntü stili \ alfa \), β (\ görüntü stili \ beta \), τ (\ görüntü stili \ tau \) ve ω (\ displaystyle \ omega \) - Diğer dönüşümlerle ilişki Temel bağlantılar mellin dönüşümü Mellin dönüşümü ve ters Mellin dönüşümü, basit bir değişken değişikliği ile iki taraflı Laplace dönüşümü ile ilgilidir. Mellin dönüşümünde ise G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ sg (θ) θ d θ (\ displaystyle G (s) = (\ matematik (M)) \ sol \ (g (\ teta) \ sağ \) = \ int \ limitler _ (0) ^ (\ infty) \ teta ^ (s) (\ frac (g (\ teta)) (\ teta)) \, d \ teta) koymak θ = e - x (\ displaystyle \ teta = e ^ (- x)), sonra iki taraflı bir Laplace dönüşümü elde ederiz. Z-dönüşümü Z (\ görüntü stili Z)-transform, değişkenlerin değiştirilmesiyle üretilen bir kafes fonksiyonunun Laplace dönüşümüdür: z ≡ e s T, (\ displaystyle z \ equiv e ^ (sT),) borel dönüşümü Borel dönüşümünün integral formu Laplace dönüşümü ile aynıdır, ayrıca Laplace dönüşümünün kullanımının daha geniş bir fonksiyon sınıfına genişletildiği genelleştirilmiş bir Borel dönüşümü de vardır. bibliyografya Van der Pol B., Bremer H.İki taraflı Laplace dönüşümüne dayalı işlemsel hesap. - M.: Yabancı edebiyat yayınevi, 1952. - 507 s. Ditkin V.A., Prudnikov A.P.İntegral dönüşümler ve işlem hesabı. - M.: "Nauka" yayınevinin fiziksel ve matematiksel literatürünün ana baskısı, 1974. - 544 s. Ditkin V.A., Kuznetsov P.I.İşlemsel Analiz El Kitabı: Teorinin Temelleri ve Formül Tabloları. - M.: Devlet teknik ve teorik literatür yayınevi, 1951. - 256 s. Carslow H., Jaeger D. Uygulamalı Matematikte İşlemsel Yöntemler. - M.: Yabancı edebiyat yayınevi, 1948. - 294 s. Kozhevnikov N.I., Krasnoshchekova T.I., Shishkin N.E. Fourier serileri ve integralleri. Alan teorisi. Analitik ve özel fonksiyonlar. Laplace dönüşür. - E.: Nauka, 1964 .-- 184 s. M. L. Krasnov, G. I. Makarenko Operasyonel hesap. Hareketin kararlılığı. - E.: Nauka, 1964 .-- 103 s. Mikusinsky Y. Operatör hesabı. - M.: Yabancı edebiyat yayınevi, 1956. - 367 s. Romanovsky P.I. Fourier serisi. Alan teorisi. Analitik ve özel fonksiyonlar. Laplace dönüşür. - E.: Nauka, 1980 .-- 336 s.