Iracionální funkce z proměnné je funkce, která je vytvořena z variabilních a libovolných konstant s použitím konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení (erekce v celočíselném stupni), divize a extrahování kořenů. Iracionální funkce se liší od racionálního v tom, že iracionální funkce obsahuje operace extrakce kořenů.
Existují tři hlavní typy iracionální funkce, neurčité integrály, z nichž jsou dány integrály z racionálních funkcí. Jedná se o integrály obsahující kořeny libovolných celočíselných stupňů od zlomkové lineární funkce (kořeny mohou mít různé stupně, ale ze stejné frakční lineární funkce); Integrály z diferenciálního binomu a integrálů s druhou odmocninou čtverečních tří záběrů.
Důležitá poznámka. Kořeny jsou smysluplné!
Při výpočtu integrálů obsahujících kořeny se často nachází druh formuláře, kde je nějaká funkce z integrační proměnné. Mělo by to být na mysli. To znamená, s t\u003e 0, | t | \u003d T. . S T.< 0, | t | \u003d - t. Při výpočtu těchto integrálů proto potřebujete samostatně zvážit případy t\u003e 0 a t.< 0 . To lze provést, pokud píšete známky nebo tam, kde je to nutné. Znamená, že horní znamení odkazuje na případ t\u003e 0 a dno - do případu t< 0 . S další konverzí jsou tyto značky obvykle sníženy.
Druhý přístup je možný, ve kterém je integrovaná funkce a výsledek integrace lze zobrazit jako komplexní funkce z komplexních proměnných. Pak nemůžete následovat příznaky v oddělených výrazech. Tento přístup je použitelný, pokud je integrovaná funkce analytická, tj. Diferencovaná funkce z komplexní proměnné. V tomto případě integrovaná funkce a integrál je to vícehodnotové funkce. Po integraci, při nahrazení numerických hodnot je proto nutné vybrat jednoznačný pobočku (riemannian povrch) funkce integrace, a zvolit příslušnou pobočku výsledku integrace.
Lineární iracionalita
Jedná se o integrály s kořeny ze stejné frakční lineární funkce:
,
kde r je racionální funkce - racionální čísla, m 1, n 1, ..., m s, n s jsou celá čísla, α, β, γ, Δ - platná čísla.
Tyto integrály se sníží na integrál z funkce racionální funkce:
kde n je společný jmenovatel čísel r 1, ..., r s.
Kořeny nemusí být nutně z frakční lineární funkce, ale také lineární (γ \u003d 0, Δ \u003d 1nebo z integrační proměnné x (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, Δ \u003d 1).
Zde jsou příklady takových integrálů:
,
.
Integrály z diferenciálních boxů
Integrály z diferenciálních binomů mají formulář:
,
kde m, n, p je racionální čísla, a, b - platná čísla.
Tyto integrály se sníží na integrály z racionálních funkcí ve třech případech.
1) Pokud je P je celé číslo. Substituce X \u003d T N, kde n je celkový jmenovatel frakcí m a N.
2) Pokud - celek. Substituce A x n + b \u003d t m, kde m je počet čísel p.
3) Pokud - celek. Substituce A + B X - n \u003d t m, kde m je jmenovatel čísla P.
V ostatních případech nejsou tyto integrály vyjádřeny prostřednictvím elementárních funkcí.
Někdy mohou být tyto integrály zjednodušeny pomocí vzorců:
;
.
Integrály obsahující druhou odmocninu čtverečních
Takové integrály jsou:
,
kde r je racionální funkce. Pro každé takové integrální existuje několik metod řešení.
1)
Pomocí transformací, které vedou k jednodušším integrálům.
2)
Aplikovat trigonometrické nebo hyperbolické substituce.
3)
Aplikovat substituce eulerů.
Zvažte tyto metody podrobněji.
1) Konverze funkce integrové
Pomocí vzorce a provádění algebraických transformací přiveďte funkci Reintroduct na mysli:
,
kde φ (x), ω (x) je racionální funkce.
píši
Integrál formuláře:
,
kde p n (x) je polynomiální stupeň n.
Tyto integrály jsou metodou nejistých koeficientů pomocí totožnosti:
.
Rozlišení této rovnice a rovnováž levé a pravé části, najdeme koeficienty I.
II Type.
Integrál formuláře:
,
kde p m (x) je polynomiální stupeň m.
Substituce t \u003d. (X - α) -1 Tento integrál je řízen na předchozí typ. Pokud m ≥ n, pak by měla být frakce přidělena do celé části.
III Type.
Tady děláme substituci:
.
Poté, co integrál bude mít formu:
.
Dále trvalé α, β, musíte si vybrat takový, že v denominátoru koeficienty na t se obrátili na nulu:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Integrál se rozpadne součet integrálů dvou typů:
,
,
které jsou integrovány substitucemi:
u 2 \u003d A 1 t 2 + C 1,
v 2 \u003d 1 + c 1 t -2.
2) Trigonometrické a hyperbolické substituce
Pro integrály formuláře > 0
,
Máme tři hlavní náhrady:
;
;
;
Pro integrály, a > 0
,
Máme následující náhrady:
;
;
;
A nakonec pro integrály, a > 0
,
Substituce jsou následující:
;
;
;
3) Substituce Euler
Také integrály mohou být sníženy na integrály z racionálních funkcí jedné ze tří substitucí Euler:
, s\u003e 0;
, s c\u003e 0;
kde x 1 je kořen rovnice A x 2 + b x + c \u003d 0. Pokud má tato rovnice platné kořeny.
Eliptické integrály
Závěrem za závěr zvažte integrály formuláře:
,
kde r je racionální funkce ,. Takové integrály se nazývají eliptický. Obecně nejsou vyjádřeny prostřednictvím elementárních funkcí. Existují však případy, kdy existují vztahy mezi koeficienty A, B, C, D, s takovými integrály jsou vyjádřeny prostřednictvím elementárních funkcí.
Níže je uveden příklad spojený s návratovými polynomy. Výpočet těchto integrálů se provádí pomocí substitucí:
.
Příklad
Vypočítejte integrál:
.
Rozhodnutí
Substituci.
.
Zde na x\u003e 0
(U\u003e. 0
) Vezmeme si horní znamení "+". S x.< 0
(U.< 0
) - Dolní '-'.
.
Odpovědět
Reference:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, sbírka úkolů na vyšší matematice, "LAN", 2003.
Funkce F (x), diferencovatelná v této mezery, se nazývá ideální pro funkci F (x) nebo integrálem z f (x), pokud pro všechny x ∈x, rovnost platí:
F "(x) \u003d f (x). (8.1)
Nalezení všech primárních pro tuto funkci je to nazývá integrace. Nejistá integrální funkcef (x) v této mezery se nazývá sada všech primitivních funkcí pro funkci f (x); Označení -
Pokud f (x) je nějaký druh funkční funkce f (x), pak ∫ f (x) dx \u003d f (x) + c, (8.2)
kde je libovolná konstanta.
Stolní integrály
Přímo z definice dostaneme základní vlastnosti určitý integrál a seznam tabulkových integrálů:
1) d∫f (x) dx \u003d f (x)
2) ∫df (x) \u003d f (x) + c
3) ∫af (x) dx \u003d a∫f (x) dx (a \u003d const)
4) ∫ (f (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx
Seznam tabulkových integrálů
1. ∫x m dx \u003d x m + 1 / (m + 1) + c; (m ≠ -1)
3.∫a x dx \u003d A x / ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1)
4.∫e x dx \u003d e x + c
5.∫Sin x dx \u003d cosx + c
6.∫cos x dx \u003d - hřích x + c
7. \u003d ArctG X + C
8. \u003d Arcsin X + C
10. \u003d - CTG X + C
Výměna proměnné
Pro integraci mnoha funkcí, způsob výměny proměnné nebo substituceumožňující přinést integrály do tabulkové formy.
Pokud je funkce F (Z) kontinuální pro [α, β], funkce z \u003d g (x) má kontinuální derivát a α ≤ g (x) ≤ β, pak
∫ f (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) dz, (8.3)
kromě toho, po integraci, substituce Z \u003d g (x) by měla být provedena v pravé části.
Pro prokázání, stačí napsat zdrojový integrál ve formuláři:
∫ f (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (x)) DG (x).
Například:
Metoda integrace v částech
Nechť u \u003d f (x) a v \u003d g (x) jsou funkce, které jsou spojité. Pak dílo,
d (UV)) \u003d UDV + VDU nebo UDV \u003d D (UV) - VDU.
Pro výraz D (UV), první, samozřejmě, bude UV, takže vzorec je:
∫ udv \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)
Tento vzorec vyjadřuje pravidlo integrace v částech. Výsledkem je integrace exprese UDV \u003d UV "DX pro integraci výrazu VDU \u003d VU" DX.
Například musíte najít ∫xcosx dx. Dát u \u003d x, dv \u003d cosxdx, takže du \u003d dx, v \u003d Sinx. Pak
∫XCOSXDX \u003d ∫X D (SIN X) \u003d X SIN X - ∫SIN x DX \u003d X SIN X + COSX + C.
Pravidlo integrace v částech má omezenější rozsah než nahrazení proměnné. Existují však celé třídy integrálů, například
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e sekera a další, které jsou vypočteny za použití integrace v částech.
Určitý integrál
Koncept konkrétního integrálu je zvýšen následovně. Nechte F (x) funkci definovat na segmentu. Rozdělujeme segment [A, B] n. Díly Dots A \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i \u003d x I - X I-1. Součet formy F (ξ i) δ x I se nazývá integrální částkaa jeho limit na λ \u003d maxΔx i → 0, pokud existuje a je konečný, nazývaný Určitý integrálfunkce f (x) a. před b. A indikováno:
F (ξ i) Δx i (8.5).
Funkce F (x) V tomto případě se nazývá integrovatelné na řezuČísla A a B se nazývají nižší a horní integrální limit.
Pro konkrétní integrální jsou následující vlastnosti platné:
4), (K \u003d CONST, K∈R);
5)
6)
7) f (ξ) (b - a) (∈∈).
Poslední majetek se nazývá Nejzaznačný průměrný význam.
Nechť f (x) být nepřetržitý. Pak je na tomto segmentu neurčitý integrál
∫f (x) dx \u003d f (x) + c
a probíhá formule Newton Labitsa., závazný specifický integrál s nejistým:
F (b) - f (a). (8.6)
Geometrická interpretace: určitý integrál je plocha zakřivení lichotiva, omezená z křivky Y \u003d F (X), rovný X \u003d A a X \u003d B a segment osy VŮL..
Neplatné integrály
Integrály s nekonečným limitem a integrály z diskontinuálního (neomezeného) funkcí se nazývají nekompatibilní. Neslučitelné integrály I laskavosti - Jedná se o integrály v nekonečné mezeře definované následovně:
(8.7)
Pokud tento limit existuje a je konečný, pak volal converging neúplný integrál z f (x) V intervalu [A, + ∞) a funkce f (x) se nazývá integrován na nekonečný interval[A, + ∞). Jinak o integrálu říct, že neexistuje nebo se liší.
Stejným způsobem se stanoví nepochopitelné integrály v intervalech (-∞, b] a (-∞, + ∞):
Definujeme koncept integrálu z neomezené funkce. Pokud je f (x) nepřetržité pro všechny hodnoty x. Řez, kromě bodu c, ve kterém f (x) má nekonečnou mezeru, potom nekompatibilní integrovaný rod rod F (x) v rozsahu od A do B Částka se nazývá:
pokud tyto limity existují a jsou konečné. Označení:
Příklady výpočtu integrálů
Příklad 3.30. Vypočítejte ∫dx / (x + 2).
Rozhodnutí. Označte T \u003d X + 2, pak DX \u003d DT, ∫dx / (x + 2) \u003d ∫dt / t \u003d ln | t | + C \u003d ln | x + 2 | + C.
Příklad 3.31.. Najít ∫ tgxdx.
Rozhodnutí.∫ tgxdx \u003d ∫Sinx / cosxdx \u003d - ∫dcosx / cosx. Nechť t \u003d cosx, pak ∫ tgxdx \u003d -∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -ln | cosx | + c.
Příklad3.32 . Najít ∫dx / SinxRozhodnutí.
Příklad3.33. Najít .
Rozhodnutí. = .
Příklad3.34 . Najít ∫Arctgxdx.
Rozhodnutí. Integrujeme do částí. Označte U \u003d ArctGX, DV \u003d DX. Pak du \u003d dx / (x 2 +1), v \u003d x, odkud ∫Arctgxdx \u003d xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) \u003d xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + c; tak jako
∫XDX / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫d (x 2 + 1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + c.
Příklad3.35 . Vypočítat ∫lnxdx.
Rozhodnutí. Pomocí integračního vzorce v částech dostaneme:
U \u003d lnx, dv \u003d dx, du \u003d 1 / x dx, v \u003d x. Pak ∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d Xlnx - ∫dx + c \u003d xlnx - x + c.
Příklad3.36 . Vypočítejte ∫e x SINXDX.
Rozhodnutí. Označte u \u003d e x, dv \u003d sinxdx, pak du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - cosx → ∫ e x sinxdx \u003d - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integrální ∫e X Cosxdx také integruje v částech: U \u003d E X, DV \u003d Cosxdx, Du \u003d E X DX, v \u003d Sinx. My máme:
∫ e x cosxdx \u003d e x SINX - ∫ e x SINXDX. Přijaté ∫e x sinxdx \u003d - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, odkud 2∫e x sinx dx \u003d - e x cosx + e x sinx + s
Příklad 3.37. Vypočítejte J \u003d ∫cos (lnx) dx / x.
Rozhodnutí.Od DX / X \u003d DLNX, pak J \u003d ∫Cos (lnx) d (lnx). Nahrazení lnx přes t, přijdeme do stolu integrál j \u003d ∫ costdt \u003d sint + c \u003d hřích (lnx) + c.
Příklad 3.38 . Vypočítejte J \u003d.
Rozhodnutí. Vzhledem k tomu, že \u003d D (lnx), vyrábíme substituci lnx \u003d t. Pak j \u003d. 
.
Příklad 3.39
. Vypočítejte integrál J \u003d 
.
Rozhodnutí.My máme: 
. Proto \u003d.
=
\u003d. Zadává se tak SQRT (Tan (X / 2)).
A pokud kliknete na výstavní kroky v pravém horním rohu, získejte podrobné řešení.
Komplexní integrály
Tento článek doplňuje předmět nejistých integrálů a v něm integrály, které považuji za poměrně komplikované. Lekce byla vytvořena na opakovaných žádostech návštěvníků, kteří přispěly přání, takže na místě jsou rozebrány obtížnější příklady.
Předpokládá se, že čtenář tohoto textu je dobře připraven a ví, jak aplikovat hlavní techniky integrace. Čajníky a lidé, kteří nejsou velmi s jistotou zabývají integrály, by měly být poukázány na první lekci - Nejistý integrál. Příklady řešeníkde můžete ovládat téma s téměř nulovou. Zkušení studenti se mohou seznámit s technikami a metodami integrace, které v mých článcích se ještě nesetkali.
Jaké integrály budou zvažovány?
Za prvé, budeme zvažovat integrály s kořeny, abychom vyřešili, který je důsledně používán výměna proměnné a integrace v částech. To znamená, že jsou v jednom příkladu kombinovány dvě recepce. A ještě více.
Pak se seznámíme se zajímavým a originálním informace o metodě Integral pro sebe. Tato metoda je vyřešena ne tak málo integrálů.
Třetí číslo programu půjde integrály z složitých zlomků, které letěly minulé pokladny v předchozích článcích.
Za čtvrté, další integrály z trigonometrických funkcí budou rozebrat. Zejména existují metody, které vám umožní vyhnout se časově náročnému trigonometrické substituci.
(2) V integrové funkci, numerátor na jmenovatele.
(3) Použijte vlastnost linearity neurčitého integrálu. V posledním integrálu okamžitě zametat funkci pod znakem diference.
(4) Zbývající integrály. Upozorňujeme, že v logaritmu můžete použít závorky, ne modul, protože.
(5) Držíme náhradu, vyjadřující od přímé výměny "Te":
Masochian studenti mohou lhostejnit odpověď a získat původní integrace, jak jsem právě udělal. Ne, ne, splnil jsem ověření ve správném smyslu \u003d)
Jak vidíte, během rozhodnutí jsem musel používat ještě více než dvě rozhodnutí řešení, takže pro represály s podobnými integrály potřebujete jisti, že dovednosti v oblasti integrace a ne nejmenší zkušenosti.
Samozřejmě, Square Root je běžnější, zde jsou tři příklady pro nezávislé řešení:
Příklad 2.
Najít neurčitý integrál
Příklad 3.
Najít neurčitý integrál
Příklad 4.
Najít neurčitý integrál
Tyto příklady stejného typu, takže kompletní řešení na konci výrobku budou pouze pro příklad 2, v příkladech 3-4 - jedno odpovědi. Jaká náhrada použijete na začátku rozhodnutí, myslím, že je to samozřejmě. Proč jsem vyzvedl stejný typ příkladů? Často nalezený ve vaší roli. Častěji, možná jen něco jako 
.
Ale ne vždy, kdy pod arctgennes, sinusem, cosine, exponenciální atd. Funkce jsou kořen lineární funkce, musí být použito několik metod. V některých případech je možné "zbavit se", to je ihned po výměně, se získá jednoduchý integrál, což je elementární trvá. Nejjednodušší z navrhovaných úkolů je příklad 4, v něm po výměně ukazuje relativně jednoduchý integrál.
Informace o metodě Integral pro sebe
Vtipný a krásný způsob. Okamžitě zvážit klasiku žánru:
Příklad 5.
Najít neurčitý integrál
Pod kořenem je čtvercový biccoon a při pokusu o integraci tohoto příkladu může konvice trpět celou dobu. Takový integrál je pořízen v částech a přichází na sebe. V zásadě to není těžké. Pokud víte, jak.
Označte považován za integrál latinského dopisu a začněte řešení: 
Integrujeme do částí: 
(1) Připravíme náhradní funkci pro dělení půdy.
(2) Rozdělujeme náhradní funkci. Možná ne všechny jasně, budu napsat podrobněji:
(3) Použijte vlastnost linearity neurčitého integrálu.
(4) Vezměte poslední integrál ("dlouhý" logaritmus).
Nyní se podíváme na začátek rozhodnutí: 
A na konci: 
Co se stalo? V důsledku našich manipulací se integrál dostal do sebe!
Srovnáváme začátek a konec: 
Přeneseme na levou stranu se změnou značky: 
A demo demolóza na pravé straně. Jako výsledek: 
Konstantní, přísně řečeno, muselo být přidáno dříve, ale připsal to na konci. Důrazně doporučuji číst, co je zde pro přísnost:
Poznámka:
Přísnější finálová fáze řešení vypadá takto:
Takto:
Konstanta může být znovu použita. Proč můžete znovu vydat? Protože to stále trvá Žádný Hodnoty a v tomto smyslu mezi konstantami a neexistuje žádný rozdíl.
Jako výsledek:
Takový trik s reissed constant je široce používán v diferenciální rovnice. A tam budu přísný. A tady je taková svoboda povolena mnou jen proto, aby vás zmást s nadbytečnými věcmi a zaměřit se na samotnou integrační metodu.
Příklad 6.
Najít neurčitý integrál
Další typický integrál pro sebe-rozhodnutí. Kompletní řešení a odpověď na konci lekce. Rozdíl s odezvou předchozího příkladu bude!
Pokud je druhá odmocnina čtvercová trojnásobná, pak se roztok v každém případě sníží na dva demontované příklady.
Zvažte například integrál 
. Vše, co potřebujete udělat, je vyberte plné náměstí:
.
Dále se provádí lineární náhrada, která stojí "bez následků":
V důsledku toho se získá integrál. Něco známého, že?
Nebo takový příklad, s náměstím odrazil:
Zvýrazňujeme plné náměstí:
A po lineární výměně získáme integrál, který je také řešen algoritmem již zvažovaným.
Zvažte dva typičtější příklady o přijetí informací integrálu pro sebe:
- integrál z vystavování násobeného sinusem;
- Integrál z výstavního prostředí násobeného kosinem.
V uvedených integrálech v částech budou muset být integrovány dvakrát:
Příklad 7.
Najít neurčitý integrál
Funkce integrand je vystavovatel násoben sinusem.
Dvakrát integrujeme do dílů a přineseme integrálu sobě: 
V důsledku dvoučasové integrace do částí se integrál dostal sám sobě. Srovnáváme se začátkem a konečných řešení:
Přeneseme na levou stranu se změnou značky a vyjadřujeme náš integrál: 
Připraven. Také je žádoucí bojovat proti pravé straně, tj. Udělat exponent pro držáky a v závorkách k lyžování sinus s kosinou v "krásném" pořadí.
Vraťme se zpátky na začátek příkladu nebo spíše - k integraci do částí: 
Pro určení vystavovatele. Otázka vzniká, je vždy nutné odkazovat na vystavovatele? Není nezbytné. Ve skutečnosti ve zkoumaném integrálu zásada žádný rozdílCo je třeba odkazovat, bylo možné jít na jinou cestu: 
Proč je to možné? Vzhledem k tomu, že vystavovatel se změní na sebe (a během diferenciace a během integrace) se sinus s Cosinem vzájemně stává navzájem (opět - jak během diferenciace, tak během integrace).
To znamená, že trigonometrická funkce může být označena. Ve zkoušeném příkladu je však méně racionální, protože zlomily frakce. Pokud si přejete, můžete se pokusit tento příklad vyřešit druhým způsobem, odpovědi musí být shodeno.
Příklad 8.
Najít neurčitý integrál
To je příklad nezávislého řešení. Před rozhodnutím o tom přemýšlejte o tom, že je v tomto případě výhodnější pro označení, exponent nebo trigonometrickou funkci? Kompletní řešení a odpověď na konci lekce.
A samozřejmě nezapomeňte, že většina odpovědí této lekce je poměrně snadná zkontrolovat diferenciaci!
Příklady nebyly považovány za nejtěžší. V praxi jsou integrály častěji zjištěny, kde je konstantní v exponentu indikátoru a v argumentu trigonometrické funkce, například:. Myšlenka v podobném integrálu bude muset udělat mnoho, často mě zaměňuji. Faktem je, že při řešení pravděpodobnosti vzhledu zlomků, a je velmi prostě něco intenzivní ztratit. Kromě toho je pravděpodobnost chyb v značkách skvělé, upozorňujeme, že v indikátoru exponentu je minus znamení, a to dělá další potíže.
V konečné fázi se často získá přibližně následující:
Dokonce i na konci rozhodnutí by mělo být velmi pozorné a kompetentně řešit zlomky: 
Integrace složitých zlomků
Pomalu se dostaneme do lekčního rovníku a začít zvažovat integrály ze zlomků. Opět ne všichni z nich jsou Superswit, jen z jednoho důvodu nebo jiné příklady byly trochu "ne v tématu" v jiných článcích.
Pokračujeme v tématu kořenů
Příklad 9.
Najít neurčitý integrál
V denominator, pod kořenem je čtverec tři stale plus mimo kořen "Zlepšit" ve formě "Iksa". Integrál tohoto typu je řešen pomocí standardní výměny.
Rozhodneme se: 
Výměna zde je jednoduchá: 
Podíváme se na život po výměně: 
(1) Po substituci dáváme celkovému jmenovateli termínu pod kořenem.
(2) Vydržíme z kořene.
(3) Numerátor a jmenovatel snižuje. Ve stejné době, pod kořenem, jsem překonal komponenty v pohodlném pořadí. S určitým experimentem mohou být kroky (1), (2) vynechány prováděním komentovaných akcí ústně.
(4) výsledný integrál, jak si pamatujete z lekce Integrace některých zlomků, rozhodne způsob alokace plného náměstí. Vyberte plné náměstí.
(5) Integrace Získáme maximální "dlouhý" logaritmus.
(6) Proveďte náhradu. Pokud zpočátku, pak zpět :.
(7) Konečná akce je zaměřena na účes výsledku: Pod kořenem znovu přinášejí komponenty k celkovému jmenovateli a vydrželi z kořene.
Příklad 10.
Najít neurčitý integrál 
To je příklad nezávislého řešení. Zde byla konstanta přidána do osamělého "ICSU", a náhrada je téměř stejná: 
Jediná věc, kterou musíte dodatečně udělat, je vyjádřit "x" od výměny: 
Kompletní řešení a odpověď na konci lekce.
Někdy v takovém integrálu pod kořenem může být čtvercový bicker, nezmění řešení pro řešení, bude to ještě jednodušší. Cítit rozdíl:
Příklad 11.
Najít neurčitý integrál
Příklad 12.
Najít neurčitý integrál
Stručná rozhodnutí a odpovědi na konci lekce. Je třeba poznamenat, že příklad 11 je přesně binomiální integrál, jejichž rozhodnutí bylo považováno za lekci Integrály z iracionálních funkcí.
Integrál z nerozpustného polynomu 2. stupně do stupně
(Polynomiální v denominátoru)
Vzácnější, ale, nicméně v praktických příkladech, pohled integrálu.
Příklad 13.
Najít neurčitý integrál
Ale pojďme se vrátit například se šťastným číslem 13 (upřímně, nehodil). Tento integrál je také z kategorie těch, se kterými můžete být dost docela dost, pokud nevíte, jak vyřešit.
Rozhodnutí začíná umělou transformací: 
Jak rozdělit numatelátor na denominátor, myslím, že všechno je chápáno.
Výsledný integrál je pořízen v částech: 
Pro zobrazení integrálu (- přirozené číslo) odstraněno opakující se Vzorec redukce stupně:
kde 
- Nedílný stupeň nižší.
Budu přesvědčen o spravedlnosti tohoto vzorce pro Propethed integrál.
V tomto případě: použijeme vzorec: 
Jak vidíte, odpovědi se shodují.
Příklad 14.
Najít neurčitý integrál
To je příklad nezávislého řešení. Ve vzorku roztoku byl výše uvedený vzorec dvakrát.
Pokud je umístěn nezávislí na multiplikátorech Square TworPold, pak řešení přichází dolů na lůžko zvýrazněním kompletního náměstí, například:
Co když jste navíc v nulerátoru, je polynom? V tomto případě se používá způsob neurčitých koeficientů a integrovaná funkce je popsána v množství frakcí. Ale v mé praxi takového příkladu setkal jsem se, tak jsem tento případ vynechal v článku Integrály ze zlomkové racionální funkceChybí mi a teď. Pokud se takový integrál stále setká, podívejte se na učebnici - všechno je jednoduché. Nepovažuji za účelu účely, aby zahrnoval materiál (dokonce jednoduchý), pravděpodobnost setkání, s nimiž se usiluje o nulu.
Integrace komplexních trigonometrických funkcí
Adjektivum "Komplex" pro většinu příkladů je v mnoha směrech podmíněných. Začněme se tangens a kotangenem ve vysokých stupních. Z hlediska metod řešení tangenta a kotangentu, téměř totéž, takže budu mluvit více o tangenci, což znamená, že prokázaný příjem řešení integrálu je spravedlivé a pro kotangent.
Na výše uvedené lekci jsme zvážili univerzální trigonometrická substituce Řešení specifického typu integrálů z trigonometrických funkcí. Nedostatek univerzální trigonometrické substituce je, že když se používá, objemné integrály s obtížnými výpočty se často vyskytují. A v některých případech je možné se vyhnout univerzální trigonometrické substituce!
Zvažte další kanonický příklad, integrál z jednotky rozdělený do sinusu:
Příklad 17.
Najít neurčitý integrál
Zde můžete použít univerzální trigonometrickou substituci a získat odpověď, ale existuje racionální cesta. Dám kompletní řešení s komentáři pro každý krok:
(1) Použijte trigonometrický vzorec duálního sinusu.
(2) Provádíme umělou transformaci: v denominátoru dělíme a násobíme.
(3) Podle známého vzorce v denominátoru obracíme frakci v tečnosti.
(4) zametat funkci pod znakem diference.
(5) Vezměte integrál.
Pár jednoduchých příkladů pro nezávislé řešení:
Příklad 18.
Najít neurčitý integrál
Poznámka: Formulář by měla být použita nejprve první akce 
A pečlivě provádět podobně jako předchozí příklad akce.
Příklad 19.
Najít neurčitý integrál
To je velmi jednoduchý příklad.
Plná řešení a odpovědi na konci lekce.
Myslím, že teď nikdo nemá problémy s integrály: 
atd.
Jaká je myšlenka metody? Myšlenka je, že s pomocí transformací, trigonometrických vzorců organizovat pouze tečna integrand a tečkovaný derivát. To znamená, že je to o nahrazení: 
. V příkladech 17-19 jsme skutečně aplikovali tuto náhradu, ale integrály byly tak jednoduché, že stojí rovnocenný efekt - shrnout funkci pod náznakem diferenciálu.
Podobné argumenty, jak jsem již stanovil, můžete utratit za cotangent.
Pro použití výše uvedené výměny je formální předpoklad:
Součet stupňů Cosine a Sinus je celé negativní číslo, např.:
pro integrál - celé záporné číslo.
Dokázal se! Poznámka Pokud funkce integrand obsahuje pouze sinus nebo pouze cosin, pak je integrál užíván v negativním podivném stupni (nejjednodušší případy v příkladech č. 11, 18).
Zvažte několik informativních úkolů pro toto pravidlo:
Příklad 20.
Najít neurčitý integrál
Součet stupňů sinusu a kosinu: 2 - 6 \u003d -4 je celé negativní číslo, což znamená, že integrál může být snížen na tečny a její derivát: 
(1) Transformujeme denominátora.
(2) Podle slavného vzorce se dostaneme.
(3) Transformujeme denominátora.
(4) Používáme vzorec 
.
(5) Odevzdání funkce pod označením diferenciálu.
(6) Nahradíme. Zkušení studenti nemohou být nahrazeni, ale stále je lepší nahradit tečnu s jedním písmenem - menší riziko je zmatené.
Příklad 21.
Najít neurčitý integrál
To je příklad nezávislého řešení.
Držte se, začínají kola šampiona \u003d)
Často v integrové funkci je "Solyanka":
Příklad 22.
Najít neurčitý integrál 
V tomto integrálu je tečna zpočátku přítomna, která okamžitě sleduje v již známém myšlení:
Umělá transformace na samém počátku a zbývajících kroků bez komentáře, protože všechno bylo zmíněno výše.
Dvojice tvůrčích příkladů pro nezávislé řešení:
Příklad 23.
Najít neurčitý integrál 
Příklad 24.
Najít neurčitý integrál 
Ano, v nich, samozřejmě, je možné snížit stupeň sinusu, cosine, použít univerzální trigonometrickou substituci, ale rozhodnutí bude mnohem efektivnější a kratší, pokud se provádí přes tečny. Kompletní řešení a odpovědi na konci lekce
V pátém století před naším letopočtem, starověký řecký filozof Zenon Elayky formuloval své slavné vratrské, nejznámější je Achilles a želva Aritia. To je způsob, jak to zní:Předpokládejme, že Achilles běží desetkrát rychleji než želva, a je za ním ve vzdálenosti tisíce kroků. Po té době, pro které Achilles běží přes tuto vzdálenost, stovky se havoří na stejné straně. Když Achilles běží sto kroků, želva se plazí asi deset kroků a tak dále. Proces bude pokračovat do nekonečna, Achilles nikdy nedovolí k želvu.
Toto uvažování se stalo logickým šokem pro všechny následné generace. Aristoteles, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... všechny z nich považoval za apriologii Zenonu. Šok se ukázal být tak silný, že " ... Diskuse Pokračovat a v současné době přijde k obecnému stanovisku k podstatě paradoxy do vědecké komunity dosud nebylo možné ... matematická analýza, teorie sad, nových fyzikálních a filozofických přístupů se podílela na studium problému; Žádný z nich se nestal obecně přijímaným vydáním problému ..."[Wikipedia," Yenon Apriya "]. Každý chápe, že jsou blokovány, ale nikdo nerozumí, jaký podvod je.
Z pohledu matematiky, Zeno v jeho aprorii jasně ukázal přechod z hodnoty. Tento přechod implikuje aplikaci namísto konstanty. Pokud jde o chápu, matematický přístroj používání proměnných měrných jednotek měření je ještě dosud nevyvinul, nebo nebylo aplikováno na aperition Zenonu. Použití naší běžné logiky nás vede k pasti. My, setrvačností myšlení používáme střídači trvalé časové měřicí jednotky. Z fyzického hlediska vypadá jako zpomalení času na jeho úplnou zastávku v okamžiku, kdy Achilles je plněná želva. Pokud se čas zastaví, Achilles už nemůže předjet želvu.
Pokud otočíte logiku obvykle, všechno se stává na místě. Achilles běží konstantní rychlostí. Každý následný segment jeho dráhy je desetkrát kratší než předchozí. V souladu s tím čas strávený na jeho překonání, desetkrát méně než předchozí. Pokud aplikujete koncept "nekonečno" v této situaci, bude správně říci, že "Achilles nekonečně rychle chytí želvu."
Jak se vyhnout této logické pasti? Zůstaňte ve stálých časových měřicích jednotkách a nepohybujte se na zpětné hodnoty. V jazyce Zenonu to vypadá takto:
Pro tuto dobu, pro které Achilles běží tisíc kroků, stovky kroků praská želva na stejnou stranu. Pro příští časový interval se rovná prvnímu, Achilles provozuje další tisíc kroků a želva bude trvat sto kroků. Achilles je nyní osm set kroků před želvou.
Tento přístup adekvátně popisuje realitu bez jakýchkoli logických paradoxů. To však není kompletní řešení problému. Na Zenonian Agrac A Achilles a želva je velmi podobná prohlášení Einstein o neodolnosti rychlosti světla. Tento problém musíme ještě studovat, přehodnotit a vyřešit. A rozhodnutí by mělo být hledáno nekonečně velké množství, ale v jednotkách měření.
Další zajímavý Yenon Aproria vypráví o letových šipkách:
Létající šipka je stále, protože v každém okamžiku, kdy spočívá, a protože spočívá v každém okamžiku času, vždy spočívá.
V tomto panství je logický paradox velmi jednoduchý - stačí objasnit, že v každém okamžiku se létající šipka odpočívá v různých místech prostoru, což je ve skutečnosti pohyb. Zde je třeba poznamenat další moment. Podle jedné fotografie auta na silnici není možné určit skutečnost jeho pohybu, ani vzdálenost k ní. Chcete-li zjistit skutečnost pohybu vozu, potřebujete dvě fotografie z jednoho bodu v různých bodech v čase, ale není možné určit vzdálenost. Chcete-li zjistit vzdálenost od auta, dvě fotografie z různých míst vesmíru na jednom okamžiku, ale není možné určit skutečnost pohybu (přirozeně další údaje jsou stále potřebné pro výpočty, trigonometrii, které vám pomohou). To, co chci věnovat zvláštní pozornost je, že dva body v čase a dva body v prostoru jsou různé věci, které by neměly být zaměňovány, protože poskytují různé příležitosti pro výzkum.
středa, 4. července 2018
Velmi dobré rozdíly mezi mnoha a multiset jsou popsány v Wikipedii. Díváme se.
Jak vidíte, "tam nemohou být dva identické prvky v sadě", ale pokud jsou v sadě v sadě, existují, taková sada se nazývá "mix". Podobná logika absurdních rozumných bytostí nikdy nerozumí. To je úroveň mluvících papoušků a vyškolených opic, které chybí ze slova "vůbec." Matematika se chová jako obyčejní trenéři, kázali naše absurdní nápady.
Jakmile inženýři, kteří postavili most během testů mostu, byli v lodi pod mostem. Pokud most se zhroutil, talentový inženýr zemřel pod troskami jeho stvoření. Pokud můstek odolal zátěž, talentovaný inženýr postavil další mosty.
Jako matematika se neskrýval za frází "Chur, jsem v domě", přesněji, "matematika studuje abstraktní koncepty," existuje jedna pupeční šňůra, která je nerozlučně vážně váže realitou. Tato pupeční šňůra jsou peníze. Aplikujte matematickou teorii souprav samotných matematik.
Učili jsme matematiku velmi dobře a teď jsme seděli na pokladně, vydáme plat. To přichází k nám matematik za vaše peníze. Počítáme na to celou částku a rozloží se na stůl na různých stohách, ve kterých přidáme účty jedné důstojnosti. Pak bereme z každého zásobníku na jeden účet a ruku matematiky jeho "matematické sady platů". Vysvětlete matematiku, že zbytek účtů obdrží pouze tehdy, když dokazuje, že sada bez stejných prvků není roven množině se stejnými prvky. Začne se nejzajímavější.
Za prvé, logika poslanců bude fungovat: "Je možné ji aplikovat na ostatní, pro mě - nízké!". Bude existovat další ujištění, že existují různá čísla na účty stejné důstojnosti, což znamená, že nemohou být považovány za stejné prvky. No, počítat plat s mincemi - na mincích nejsou žádná čísla. Zde se matematik začne nelíbí fyzika: Na různých mincích existuje jiné množství nečistot, krystalové struktury a umístění atomů, každá mince je jedinečná ...
A teď mám nejzajímavější otázku: Kde je linie, za kterou se prvky multisamentu promění v prvky sady a naopak? Taková tvář neexistuje - každý vyřeší šamanie, vědu tady a ne ležící.
Tady se dívají. Bereme fotbalové stadiony se stejnou oblastí pole. Pole oblast je stejná - to znamená, že máme multipart. Pokud však považujeme jména stejných stadionů - máme mnoho, protože jména jsou jiná. Jak vidíte, stejná sada prvků je nastaven i multiset. Jak správné? A tady matematik-šaman-Shiller vytáhne Trump Ace z rukávu a začne nám říci o sadě nebo o multisetu. V každém případě nás přesvědčí své právo.
Abychom pochopili, jak moderní šamani provozují teorii sad, uvázat ji do reality, to stačí odpovědět na jednu otázku: Jak se liší prvky jedné sady od prvků jiné sady? Ukážu vám, bez jakéhokoliv "představitelného jako ne jediný celek" nebo "není promyšlený jako celek."
neděle, 18. března 2018
Množství čísel je tanec šamanů s tamburína, která nemá žádný vztah k matematice. Ano, v lekcích z matematiky se učí najít množství čísel čísel a používat ji, ale jsou šamani, aby trénovali vaše potomky na své dovednosti a moudrosti, jinak budou šamani jednoduše vyčištěni.
Potřebujete důkazy? Otevřete Wikipedia a pokuste se najít počet čísel stránky. To neexistuje. Neexistuje žádný vzorec v matematice, ve kterém můžete najít množství čísel libovolného čísla. Koneckonců, čísla jsou grafické symboly, se kterým píšeme čísla a jazyk matematiky, úkol zní takto: "Najít součet grafických znaků zobrazujících libovolné číslo". Matematika nemůže tento úkol vyřešit, ale šamani jsou elementární.
Pojďme se zabývat tím, co děláme, abychom našli množství počtu zadaného čísla. A tak, pojďme mít číslo 12345. Co by mělo být provedeno, aby bylo možné najít množství čísel tohoto čísla? Zvažte všechny kroky v pořádku.
1. Zaznamenejte číslo na kus papíru. Co jsme udělali? Transformovali jsme číslo v grafickém symbolu čísla. To není matematická akce.
2. Řezíme jeden obraz získaný na několik snímků obsahujících individuální čísla. Řezání snímků nejsou matematickou akcí.
3. Převádíme jednotlivé grafické znaky v číslech. To není matematická akce.
4. Složíme čísla. To je již matematika.
Množství čísel 12345 je 15. Jedná se o "frézy a šicí kurky" od šamanů aplikují matematiky. Ale to není všechno.
Z hlediska matematiky nezáleží na tom, ve kterém číselném systému zapisujeme číslo. Takže v různých číselných systémech bude množství čísel stejné číslo jiné. V matematice je číselný systém indikován ve formě nižšího indexu vpravo od čísla. S velkým počtem 12345 nechci oklamat hlavu, zvážit číslo 26 článku. Tyto číslo píšeme v binárních, osmičkách, desetinných a hexadecimálních číselných systémech. Nezvažujeme každý krok pod mikroskopem, už jsme udělali. Podívejme se na výsledek.
Jak vidíte v různých číselných systémech, součet čísel stejného čísla se získá jiný. Tento výsledek pro matematiku nemá nic společného. Je to jako určení oblasti obdélníku v metrech a centimetrech byste získali zcela jiné výsledky.
Zero ve všech systémech přepětí vypadá stejně a množství čísel nemá. To je další argument ve prospěch co. Otázka pro matematiky: Jak v matematice je uvedeno, že není číslo? Co pro matematiky nic než čísla neexistuje? Pro šamanské, můžu být povolen, ale pro vědce - ne. Realita spočívá nejen čísel.
Získaný výsledek by měl být považován za důkaz, že číselné systémy jsou jednotky čísel. Koneckonců nemůžeme porovnat čísla s různými jednotkami měření. Pokud stejná akce s různými jednotkami měření stejné hodnoty vede k různým výsledkům po jejich srovnání, znamená to, že nemá nic společného s matematikou.
Co je skutečná matematika? To je, když výsledek matematické akce nezávisí na hodnotě čísla používaného jednotkou měření a na tom, kdo provádí tuto akci.
Ach! Není to ženská toaleta?
Dívka! To je laboratoř pro studium neurčitého svatosti duší v Ascense do nebe! Nimbi shora a šipka nahoru. Co jiného?
Žena ... Nimbi shora a arogantní dolů - je to muž.
Pokud jste před očima několikrát denně bliká, je to práce designérského umění,
Pak to není překvapující, že ve vašem autě náhle najdete podivnou ikonu:
Osobně dělám úsilí o sebe, abych byl v manžuce (jeden obrázek), vidět minus čtyři stupně (složení několika snímků: mínus znamení, číslo čtyři, označení stupňů). A nemyslím si, že tato dívka je blázen, který nezná fyziku. Je to prostě arc stereotyp vnímání grafických obrazů. A matematika jsme neustále učili. Zde je příklad.
1a není "mínus čtyři stupně" nebo "jeden a". Jedná se o "manžetovou osobu" nebo počet "dvacet šest" v hexadecimálním číselném systému. Ti lidé, kteří neustále pracují v tomto číslu, automaticky vnímají číslo a dopis jako jeden grafický symbol.
