Komplexní integrály

Tento článek doplňuje předmět nejistých integrálů a v něm integrály, které považuji za poměrně komplikované. Lekce byla vytvořena na opakovaných žádostech návštěvníků, kteří přispěly přání, takže na místě jsou rozebrány obtížnější příklady.

Předpokládá se, že čtenář tohoto textu je dobře připraven a ví, jak aplikovat hlavní techniky integrace. Čajníky a lidé, kteří nejsou velmi s jistotou zabývají integrály, by měly být poukázány na první lekci - Nejistý integrál. Příklady řešeníkde můžete ovládat téma s téměř nulovou. Zkušení studenti se mohou seznámit s technikami a metodami integrace, které v mých článcích se ještě nesetkali.

Jaké integrály budou zvažovány?

Za prvé, budeme zvažovat integrály s kořeny, abychom vyřešili, který je důsledně používán výměna proměnné a integrace v částech. To znamená, že jsou v jednom příkladu kombinovány dvě recepce. A ještě více.

Pak se seznámíme se zajímavým a originálním informace o metodě Integral pro sebe. Tato metoda je vyřešena ne tak málo integrálů.

Třetí číslo programu půjde integrály z složitých zlomků, které letěly minulé pokladny v předchozích článcích.

Za čtvrté, další integrály z trigonometrických funkcí budou rozebrat. Zejména existují metody, které vám umožní vyhnout se časově náročnému trigonometrické substituci.

(2) V integrové funkci, numerátor na jmenovatele.

(3) Použijte vlastnost linearity neurčitého integrálu. V posledním integrálu okamžitě zametat funkci pod znakem diference.

(4) Zbývající integrály. Upozorňujeme, že v logaritmu můžete použít závorky, ne modul, protože.

(5) Držíme náhradu, vyjadřující od přímé výměny "Te":

Masochian studenti mohou lhostejnit odpověď a získat původní integrace, jak jsem právě udělal. Ne, ne, splnil jsem ověření ve správném smyslu \u003d)

Jak vidíte, během rozhodnutí jsem musel používat ještě více než dvě rozhodnutí řešení, takže pro represály s podobnými integrály potřebujete jisti, že dovednosti v oblasti integrace a ne nejmenší zkušenosti.

Samozřejmě, Square Root je běžnější, zde jsou tři příklady pro nezávislé řešení:

Příklad 2.

Najít nejistý integrál

Příklad 3.

Najít neurčitý integrál

Příklad 4.

Najít neurčitý integrál

Tyto příklady stejného typu, takže kompletní řešení na konci výrobku budou pouze pro příklad 2, v příkladech 3-4 - jedno odpovědi. Jaká náhrada použijete na začátku rozhodnutí, myslím, že je to samozřejmě. Proč jsem vyzvedl stejný typ příkladů? Často nalezené ve vaší roli. Častěji, možná jen něco jako .

Ale ne vždy, kdy pod arctgennes, sinusem, cosine, exponenciální atd. Funkce jsou kořen lineární funkce, musí být použito několik metod. V některých případech je možné "zbavit se", to je ihned po výměně, se získá jednoduchý integrál, což je elementární trvá. Nejjednodušší z navrhovaných úkolů je příklad 4, v něm po výměně ukazuje relativně jednoduchý integrál.

Informace o metodě Integral pro sebe

Vtipný a krásný způsob. Okamžitě zvážit klasiku žánru:

Příklad 5.

Najít neurčitý integrál

Pod kořenem je čtvercový biccoon a při pokusu o integraci tohoto příkladu může konvice trpět celou dobu. Takový integrál je pořízen v částech a přichází na sebe. V zásadě to není těžké. Pokud víte, jak.

Označte považován za integrál latinského dopisu a začněte řešení:

Integrujeme do částí:

(1) Připravíme náhradní funkci pro dělení půdy.

(2) Rozdělujeme náhradní funkci. Možná ne všechny jasně, budu napsat podrobněji:

(3) Použijte vlastnost linearity neurčitého integrálu.

(4) Vezměte poslední integrál ("dlouhý" logaritmus).

Nyní se podíváme na začátek rozhodnutí:

A na konci:

Co se stalo? V důsledku našich manipulací se integrál dostal do sebe!

Srovnáváme začátek a konec:

Přeneseme na levou stranu se změnou značky:

A demo demolóza na pravé straně. Jako výsledek:

Konstantní, přísně řečeno, muselo být přidáno dříve, ale připsal to na konci. Důrazně doporučuji číst, co je zde pro přísnost:

Poznámka: Přísnější finálová fáze řešení vypadá takto:

Takto:

Konstanta může být znovu použita. Proč můžete znovu vydat? Protože to stále trvá Žádný Hodnoty a v tomto smyslu mezi konstantami a neexistuje žádný rozdíl.
Jako výsledek:

Takový trik s reissed constant je široce používán v diferenciální rovnice. A tam budu přísný. A tady je taková svoboda povolena mnou jen proto, aby vás zmást s nadbytečnými věcmi a zaměřit se na samotnou integrační metodu.

Příklad 6.

Najít neurčitý integrál

Další typický integrál pro sebe-rozhodnutí. Kompletní řešení a odpověď na konci lekce. Rozdíl s odezvou předchozího příkladu bude!

Pokud je pod. odmocnina K dispozici je čtvercový trojitý, řešení v každém případě se sníží na dva demontované příklady.

Zvažte například integrál . Vše, co potřebujete udělat, je vyberte plné náměstí:
.
Dále se provádí lineární náhrada, která stojí "bez následků":
V důsledku toho se získá integrál. Něco známého, že?

Nebo takový příklad, s náměstím odrazil:
Zvýrazňujeme plné náměstí:
A po lineární výměně získáme integrál, který je také řešen algoritmem již zvažovaným.

Zvážit další dva typický příklad Integrované informace o recepci:
- integrál z vystavování násobeného sinusem;
- Integrál z výstavního prostředí násobeného kosinem.

V uvedených integrálech v částech budou muset být integrovány dvakrát:

Příklad 7.

Najít neurčitý integrál

Funkce integrand je vystavovatel násoben sinusem.

Dvakrát integrujeme do dílů a přineseme integrálu sobě:

V důsledku dvoučasové integrace do částí se integrál dostal sám sobě. Srovnáváme se začátkem a konečných řešení:

Přeneseme na levou stranu se změnou značky a vyjadřujeme náš integrál:

Připraven. Také je žádoucí bojovat proti pravé straně, tj. Udělat exponent pro držáky a v závorkách k lyžování sinus s kosinou v "krásném" pořadí.

Vraťme se zpátky na začátek příkladu nebo spíše - k integraci do částí:

Pro určení vystavovatele. Otázka vzniká, je vždy nutné odkazovat na vystavovatele? Není nezbytné. Ve skutečnosti ve zkoumaném integrálu zásada žádný rozdílCo je třeba odkazovat, bylo možné jít na jinou cestu:

Proč je to možné? Vzhledem k tomu, že vystavovatel se změní na sebe (a během diferenciace a během integrace) se sinus s Cosinem vzájemně stává navzájem (opět - jak během diferenciace, tak během integrace).

To znamená, že trigonometrická funkce může být označena. Ve zkoušeném příkladu je však méně racionální, protože zlomily frakce. Pokud si přejete, můžete se pokusit tento příklad vyřešit druhým způsobem, odpovědi musí být shodeno.

Příklad 8.

Najít neurčitý integrál

To je příklad nezávislého řešení. Před rozhodnutím o tom přemýšlejte o tom, že je v tomto případě výhodnější pro označení, exponent nebo trigonometrickou funkci? Kompletní řešení a odpověď na konci lekce.

A samozřejmě nezapomeňte, že většina odpovědí této lekce je poměrně snadná zkontrolovat diferenciaci!

Příklady nebyly považovány za nejtěžší. V praxi jsou integrály častěji zjištěny, kde je konstantní v exponentu indikátoru a v argumentu trigonometrické funkce, například:. Myšlenka v podobném integrálu bude muset udělat mnoho, často mě zaměňuji. Faktem je, že při řešení pravděpodobnosti vzhledu zlomků, a je velmi prostě něco intenzivní ztratit. Kromě toho je pravděpodobnost chyb v značkách skvělé, upozorňujeme, že v indikátoru exponentu je minus znamení, a to dělá další potíže.

V konečné fázi se často získá přibližně následující:

Dokonce i na konci rozhodnutí by mělo být velmi pozorné a kompetentně řešit zlomky:

Integrace složitých zlomků

Pomalu se dostaneme do lekčního rovníku a začít zvažovat integrály ze zlomků. Opět ne všichni z nich jsou Superswit, jen z jednoho důvodu nebo jiné příklady byly trochu "ne v tématu" v jiných článcích.

Pokračujeme v tématu kořenů

Příklad 9.

Najít neurčitý integrál

V denominator, pod kořenem je čtverec tři stale plus mimo kořen "Zlepšit" ve formě "Iksa". Integrál tohoto typu je řešen pomocí standardní výměny.

Rozhodneme se:

Výměna zde je jednoduchá:

Podíváme se na život po výměně:

(1) Po substituci dáváme celkovému jmenovateli termínu pod kořenem.
(2) Vydržíme z kořene.
(3) Numerátor a jmenovatel snižuje. Ve stejné době, pod kořenem, jsem překonal komponenty v pohodlném pořadí. S určitým experimentem mohou být kroky (1), (2) vynechány prováděním komentovaných akcí ústně.
(4) výsledný integrál, jak si pamatujete z lekce Integrace některých zlomků, rozhodne způsob alokace plného náměstí. Vyberte plné náměstí.
(5) Integrace Získáme maximální "dlouhý" logaritmus.
(6) Proveďte náhradu. Pokud zpočátku, pak zpět :.
(7) Konečná akce je zaměřena na účes výsledku: Pod kořenem znovu přinášejí komponenty k celkovému jmenovateli a vydrželi z kořene.

Příklad 10.

Najít neurčitý integrál

To je příklad nezávislého řešení. Zde byla konstanta přidána do osamělého "ICSU", a náhrada je téměř stejná:

Jediná věc, kterou musíte dodatečně udělat, je vyjádřit "x" od výměny:

Kompletní řešení a odpověď na konci lekce.

Někdy v takovém integrálu pod kořenem může být čtvercový bicker, nezmění řešení pro řešení, bude to ještě jednodušší. Cítit rozdíl:

Příklad 11.

Najít neurčitý integrál

Příklad 12.

Najít neurčitý integrál

Stručná rozhodnutí a odpovědi na konci lekce. Je třeba poznamenat, že příklad 11 je přesně binomiální integrál, jejichž rozhodnutí bylo považováno za lekci Integrály z iracionálních funkcí.

Integrál z nerozpustného polynomu 2. stupně do stupně

(Polynomiální v denominátoru)

Vzácnější, ale přesto se setkání praktické příklady Typ integrálu.

Příklad 13.

Najít neurčitý integrál

Ale vrať se například s Šťastné číslo 13 (upřímně, nehodil). Tento integrál je také z kategorie těch, se kterými můžete být dost docela dost, pokud nevíte, jak vyřešit.

Rozhodnutí začíná umělou transformací:

Jak rozdělit numatelátor na denominátor, myslím, že všechno je chápáno.

Výsledný integrál je pořízen v částech:

Pro zobrazení integrálu (- přirozené číslo) odstraněno opakující se Vzorec redukce stupně:
kde - Nedílný stupeň nižší.

Budu přesvědčen o spravedlnosti tohoto vzorce pro Propethed integrál.
V tomto případě: použijeme vzorec:

Jak vidíte, odpovědi se shodují.

Příklad 14.

Najít neurčitý integrál

To je příklad nezávislého řešení. Ve vzorku roztoku byl výše uvedený vzorec dvakrát.

Pokud je umístěn nezávislí na multiplikátorech Square TworPold, pak řešení přichází dolů na lůžko zvýrazněním kompletního náměstí, například:

Co když jste navíc v nulerátoru, je polynom? V tomto případě se používá způsob neurčitých koeficientů a integrovaná funkce je popsána v množství frakcí. Ale v mé praxi takového příkladu setkal jsem se, tak jsem zmeškal tento případ v článku Integrály ze zlomkové racionální funkceChybí mi a teď. Pokud se takový integrál stále setká, podívejte se na učebnici - všechno je jednoduché. Nepovažuji za účelu účely, aby zahrnoval materiál (dokonce jednoduchý), pravděpodobnost setkání, s nimiž se usiluje o nulu.

Integrace komplexních trigonometrických funkcí

Adjektivum "Komplex" pro většinu příkladů je v mnoha směrech podmíněných. Začněme se tangens a kotangenem ve vysokých stupních. Z hlediska metod řešení tangenta a kotangentu, téměř totéž, takže budu mluvit více o tangenci, což znamená, že prokázaný příjem řešení integrálu je spravedlivé a pro kotangent.

Na výše uvedené lekci jsme zvážili univerzální trigonometrická substituce Řešení specifického typu integrálů z trigonometrických funkcí. Nedostatek univerzální trigonometrické substituce je, že když se používá, objemné integrály s obtížnými výpočty se často vyskytují. A v některých případech je možné se vyhnout univerzální trigonometrické substituce!

Zvažte další kanonický příklad, integrál z jednotky rozdělený do sinusu:

Příklad 17.

Najít neurčitý integrál

Zde můžete použít univerzální trigonometrickou substituci a získat odpověď, ale existuje racionální cesta. Dám kompletní řešení s komentáři pro každý krok:

(1) Použijte trigonometrický vzorec duálního sinusu.
(2) Provádíme umělou transformaci: v denominátoru dělíme a násobíme.
(3) Podle známého vzorce v denominátoru obracíme frakci v tečnosti.
(4) zametat funkci pod znakem diference.
(5) Vezměte integrál.

Pár jednoduché příklady Pro vlastní řešení:

Příklad 18.

Najít neurčitý integrál

Poznámka: Formulář by měla být použita nejprve první akce A pečlivě provádět podobně jako předchozí příklad akce.

Příklad 19.

Najít neurčitý integrál

To je naprosto jednoduchý příklad.

Plná řešení a odpovědi na konci lekce.

Myslím, že teď nikdo nemá problémy s integrály:
atd.

Jaká je myšlenka metody? Myšlenka je, že s pomocí transformací, trigonometrických vzorců organizovat pouze tečna integrand a tečkovaný derivát. To znamená, že je to o nahrazení: . V příkladech 17-19 jsme skutečně aplikovali tuto náhradu, ale integrály byly tak jednoduché, že stojí rovnocenný efekt - shrnout funkci pod náznakem diferenciálu.

Podobné argumenty, jak jsem již stanovil, můžete utratit za cotangent.

Pro použití výše uvedené výměny je formální předpoklad:

Součet stupňů Cosine a Sinus je celé negativní číslo, např.:

pro integrál - celé záporné číslo.

Dokázal se! Poznámka Pokud funkce integrand obsahuje pouze sinus nebo pouze cosin, pak je integrál užíván v negativním podivném stupni (nejjednodušší případy v příkladech č. 11, 18).

Zvažte několik informativních úkolů pro toto pravidlo:

Příklad 20.

Najít neurčitý integrál

Součet stupňů sinusu a kosinu: 2 - 6 \u003d -4 je celé negativní číslo, což znamená, že integrál může být snížen na tečny a jeho derivát:

(1) Transformujeme denominátora.
(2) Podle slavného vzorce se dostaneme.
(3) Transformujeme denominátora.
(4) Používáme vzorec .
(5) Odevzdání funkce pod označením diferenciálu.
(6) Nahradíme. Zkušení studenti nemohou být nahrazeni, ale stále je lepší nahradit tečnu s jedním písmenem - menší riziko je zmatené.

Příklad 21.

Najít neurčitý integrál

To je příklad nezávislého řešení.

Držte se, začínají kola šampiona \u003d)

Často v integrové funkci je "Solyanka":

Příklad 22.

Najít neurčitý integrál

V tomto integrálu je tečna zpočátku přítomna, která okamžitě sleduje v již známém myšlení:

Umělá transformace na samém počátku a zbývajících kroků bez komentáře, protože všechno bylo zmíněno výše.

Dvojice tvůrčích příkladů pro nezávislé řešení:

Příklad 23.

Najít neurčitý integrál

Příklad 24.

Najít neurčitý integrál

Ano, v nich, samozřejmě, je možné snížit stupeň sinusu, cosine, použít univerzální trigonometrickou substituci, ale rozhodnutí bude mnohem efektivnější a kratší, pokud se provádí přes tečny. Kompletní řešení a odpovědi na konci lekce

Hlavní integrály, které by každý student měl vědět

Uvedené integrály jsou základem, základovou základnou. Tyto vzorce by měly být zapamatovány. Při výpočtu složitějších integrálů je budete muset používat neustále.

Zvláštní pozornost věnujte zvláštní pozornost vzorce (5), (7), (9), (12), (13), (17) a (19). Nezapomeňte při integraci přidat do odpovědi libovolné konstanty!

Integrál z Constanta.

∫ a d x \u003d a x + c (1)

Integrace funkce napájení

Ve skutečnosti bylo možné omezit pouze vzorce (5) a (7), ale zbytek integrálů z této skupiny se setkávají tak často, že stojí za to zaplatit malou pozornost.

∫ x d x \u003d x 2 2 + c (2)
∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c (3)
∫ 1 x d x \u003d 2 x + c (4)
∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C (5)
∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c (6)
∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1) (7) \\ t

Integrály z orientační funkce a z hyperbolických funkcí

Samozřejmě, vzorec (8) (možná nejvhodnější pro zapamatování) lze považovat za soukromý případ Vzorce (9). Vzorce (10) a (11) pro integrály z hyperbolického sinusu a hyperbolické cosinu jsou snadno odvozeny od vzorce (8), ale je lepší si jen pamatovat tyto vztahy.

∫ e x d x \u003d e x + c (8)
∫ A x d x \u003d A x ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1) (9)
∫ S H X D X \u003d C H X + C (10)
∫ C H X D X \u003d S H X + C (11)

Základní integrály z trigonometrických funkcí

Chyba, kterou studenti často provádí: Zmatené značky ve vzorcích (12) a (13). Vzhledem k tomu, že derivát Sinus je roven Cosinem, mnozí z nějakého důvodu zvažují, že integrál z funkce SINX je COSX. To není pravda! Integrál sinus je roven "mínus cosine", ale integrál z cosxu je "jen sinus":

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C (12)
∫ cos x d x \u003d hřích x + c (13)
∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c (14)
∫ 1 hřích 2 x d x \u003d - c t g x + c (15)

Integrály se snížily na inverzní trigonometrické funkce

Vzorec (16), vedoucí k arktegentu, přirozeně, je zvláštním pouzdrem vzorce (17) při A \u003d 1. Podobně (18) - zvláštní případ (19).

∫ 1 1 + x 2 d x \u003d a r c t g x + c \u003d - a r c c t g x + c (16)
∫ 1 x 2 + a 2 \u003d 1 a a a a r c t g x a + c (a ≠ 0) (17)
∫ 1 - x 2 d x \u003d arcsin x + c \u003d - arccos x + c (18)
∫ 1 A 2 - X 2 D X \u003d ArcSin X A + C \u003d - ARCCOS X A + C (A\u003e 0) (19)

Složitější integrály

Tyto vzorce jsou také žádoucí pamatovat. Oni jsou také používáni poměrně často a jejich závěr je docela únavný.

∫ 1 x 2 + a 2 d x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - A 2 d x \u003d ln | X + X 2 - A 2 | + C (21)
∫ A 2 - X 2 D X \u003d X 2 A 2 - X 2 + A 2 2 ARCSIN X A + C (A\u003e 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (A\u003e 0) (23)
∫ x 2 - A 2 d x \u003d x 2 x 2 - A 2 - A 2 2 ln | X + X 2 - A 2 | + C (A\u003e 0) (24)

Obecná integrační pravidla

1) integrál ze součtu dvou funkcí se rovná součtu odpovídajících integrálů: ∫ (f (x) + g (x)) d x \u003d ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx (25) )

2) integrál rozdílu dvou funkcí se rovná rozdílu mezi odpovídajícími integrály: ∫ (f (x) - g (x)) d x \u003d ∫ f (x) d x - ∫ g (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx (x) dx \\ t 26)

3) Konstanta lze vyjmout z integrálního znaku: ∫ c f (x) d x \u003d c ∫ f (x) d x (27)

Je snadné si všimnout, že majetek (26) je jen kombinací vlastností (25) a (27).

4) Integrál z komplexní funkce Pokud je vnitřní funkce lineární: ∫ F (A X + B) D X \u003d 1 A F (A X + B) + C (A ≠ 0) (28)

Zde f (x) je primitivní pro funkci f (x). Poznámka: Tento vzorec je vhodný pouze pro případ, kdy má vnitřní funkce zobrazení AX + B.

Důležité: Neexistuje univerzální vzorec pro integrál z produktu dvou funkcí, stejně jako pro integrál z frakce:

∫ f (x) g (x) d x \u003d? ∫ f (x) g (x) d x \u003d? (třicet)

To samozřejmě neznamená, že zlomek nebo práce nelze integrovat. Pokaždé, když vidíte integrální typ (30), budete muset vymyslet cestu "boj" s ním. V některých případech budete moci integrovat do dílů, někde bude muset nahradit proměnnou a někdy pomáhat může mít dokonce "Škola" vzorce Algebra nebo trigonometrie.

Jednoduchý příklad výpočtu nejistého integrálu

Příklad 1. Najděte integrál: ∫ (3 x 2 + 2 sin x - 7 e x + 12) d x

Používáme vzorce (25) a (26) (integrál množství nebo rozdílu funkcí se rovná součtu nebo rozdílu odpovídajících integrálů. Získáme: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x - ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Připomeňme, že konstanta může být provedena nad integrovaným znakem (vzorec (27)). Výraz přeměněn na mysl

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ SIN x d x - 7 ∫ e \u200b\u200bx d x + 12 ∫ 1 d x

A nyní jednoduše použijte tabulku hlavních integrálů. Budeme muset aplikovat vzorce (3), (12), (8) a (1). Integrovat funkci výkonu, sinus, exponent a konstanta 1. Nezapomeňte na konec libovolné konstanty pomocí:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + c

Po elementárních transformacích získáme konečnou odpověď:

X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + c

Zkontrolujte se s diferenciací: Take derivace z funkce A ujistěte se, že se rovná počátečním způsobům výrazu.

Shrnutí integrální tabulka

∫ a d x \u003d a x + c

∫ x d x \u003d x 2 2 + c

∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c

∫ 1 x d x \u003d 2 x + c

∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C.

∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c

∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1)

∫ e x d x \u003d e x + c

∫ A x d x \u003d a x ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1)

∫ S h x d x \u003d c h x + c

∫ c h x d x \u003d s h x + c

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C

∫ cos x d x \u003d hřích x + c

∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c

∫ 1 hřích 2 x d x \u003d - c t g x + c

∫ 1 1 + x 2 d x \u003d a r c t g x + c \u003d - a r c t g x + c

∫ 1 x 2 + a 2 \u003d 1 A a a a a r c t g x a + c (a ≠ 0)

∫ 1 - x 2 d x \u003d arcsin x + c \u003d - arccos x + c

∫ 1 A 2 - X 2 D X \u003d ArcSin X A + C \u003d - ARCCOS X A + C (A\u003e 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + C.

∫ 1 x 2 - A 2 d x \u003d ln | X + X 2 - A 2 | + C.

∫ A 2 - X 2 D X \u003d X 2 A 2 - X 2 + A 2 2 ARCSIN X A + C (A\u003e 0)

∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a\u003e 0)

∫ x 2 - A 2 d x \u003d x 2 x 2 - A 2 - A 2 2 ln | X + X 2 - A 2 | + C (a\u003e 0)

Stáhněte si integrální tabulku (část II) na tomto odkazu

Pokud studujete na univerzitě, pokud máte potíže s nejvyšší matematiky (matematická analýza, lineární algebra, teorie pravděpodobnosti, statistiky), pokud potřebujete kvalifikované služby učitele, přejděte na stránku tutor v nejvyšší matematice . Vaše problémy vyřešíme společně!

Možná budete také zájem