3. Impulsní charakteristiky elektrických obvodů
Obvod impulsní odezvy je poměr odezvy obvodu na impulsní akci k oblasti této akce při nulových počátečních podmínkách.
Podle definice ,
kde je odezva obvodu na impulsní akci;
je oblast nárazového impulsu.
Podle známé impulsní odezvy obvodu lze zjistit reakci obvodu na danou akci: .
Jako akční funkce se často používá jedna impulzní akce, nazývaná také delta funkce nebo Diracova funkce.
Delta funkce je funkce rovna nule všude, kromě a její plocha je rovna jedné ():
.
Ke konceptu delta funkce lze dospět uvažováním limitu pravoúhlého pulzu s výškou a trváním, když (obr. 3):
Vytvořme souvislost mezi přenosovou funkcí obvodu a jeho impulsní odezvou, k čemuž použijeme operátorskou metodu.
Podle definice:
Je-li náraz (původní) uvažován pro nejobecnější případ ve formě součinu plochy pulzu a funkce delta, tedy ve tvaru , pak má obraz tohoto nárazu podle korespondenční tabulky tvar:
.
Pak na druhé straně poměr Laplaceově transformované reakce obvodu k oblasti akčního impulsu je impulsní odezvou operátora obvodu:
.
Tudíž, .
K nalezení impulsní odezvy obvodu je nutné použít inverzní Laplaceovu transformaci:
, tedy vlastně 
.
Zobecněním vzorců získáme vztah mezi operátorovou přenosovou funkcí obvodu a operátorovými přechodovými a impulsními odezvami obvodu:
Když tedy znáte jednu z charakteristik obvodu, můžete určit další.
Udělejme identickou transformaci rovnosti přidáním do střední části .
Pak budeme mít.
Pokud 
je obrazem derivace přechodné odezvy, pak lze původní rovnost přepsat jako:
Přesuneme-li se do říše originálů, získáme vzorec, který nám umožňuje určit impulsní odezvu obvodu z jeho známé přechodové odezvy:
Pokud , tak .
Inverzní vztah mezi uvedenými charakteristikami má tvar:
.
Podle přenosové funkce je snadné stanovit přítomnost termínu ve složení funkce.
Pokud jsou stupně v čitateli a jmenovateli stejné, bude daný výraz přítomen. Pokud je funkce správným zlomkem, pak tento výraz nebude existovat.
Příklad: Určete impulsní odezvy pro napětí a v sériovém obvodu znázorněném na obrázku 4.
Pojďme definovat:
Podle srovnávací tabulky přejdeme k originálu:
.
Graf této funkce je na obrázku 5.
Rýže. Pět
Přenosová funkce:
Podle srovnávací tabulky máme:
.
Graf výsledné funkce je na obrázku 6.
Připomeňme, že stejné výrazy lze získat pomocí vztahů navazujících spojení mezi a.
Impulzní odezva ve fyzikálním smyslu odráží proces volných oscilací a z tohoto důvodu lze tvrdit, že v reálných obvodech musí být vždy splněna podmínka:
4. Konvoluční integrály (překryvy)
Zvažte postup stanovení odezvy lineárního elektrického obvodu na komplexní efekt, je-li známa impulsní odezva tohoto obvodu. Budeme předpokládat, že dopad je po částech spojitá funkce znázorněná na obrázku 7.
Nechť je požadováno najít hodnotu reakce v určitém okamžiku. Při řešení tohoto problému představujeme dopad jako součet pravoúhlých pulsů nekonečně malého trvání, z nichž jeden, odpovídající časovému okamžiku , je znázorněn na obrázku 7. Tento puls je charakterizován trváním a výškou .
Z dříve uvažovaného materiálu je známo, že odezvu obvodu na krátký impuls lze považovat za rovnou součinu impulsní odezvy obvodu a oblasti působení impulsu. V důsledku toho bude nekonečně malá složka reakce v důsledku této impulzivní akce v daném okamžiku rovna:
protože oblast pulsu je a čas uplyne od okamžiku jeho aplikace do okamžiku pozorování.
Pomocí principu superpozice lze celkovou odezvu obvodu definovat jako součet nekonečně velkého počtu nekonečně malých součástek, způsobených sekvencí nekonečně malých plošných impulsních akcí předcházejících časovému okamžiku.
Takto:
.
Tento vzorec platí pro jakoukoli hodnotu, takže proměnná se obvykle označuje jednoduše. Pak:
.
Výsledný vztah se nazývá konvoluční integrál nebo překryvný integrál. Funkce, která je nalezena jako výsledek výpočtu konvolučního integrálu, se nazývá konvoluce a .
Jiný tvar konvolučního integrálu můžete najít, pokud změníte proměnné ve výsledném výrazu na:
.
Příklad: zjistěte napětí na kapacitě sériového obvodu (obr. 8), pokud na vstupu působí exponenciální impuls ve tvaru:
řetěz je připojen: se změnou energetického stavu ... (+0),. Uc(-0) = Uc(+0). 3. Přechodné charakteristický elektrický řetězy je: Odpověď na krok jednotky...
Studie řetězy druhá objednávka. Vyhledejte vstup a výstup vlastnosti
Kurz >> Komunikace a komunikace3. Přechodné A impuls vlastnosti řetězy Laplaceův obrázek přechodný vlastnosti má pohled. Pro získání přechodný vlastnosti v ... A., Zolotnitsky V. M., Chernyshev E. P. Základy teorie elektrický řetězy.-SPb.: Lan, 2004. 2. Dyakonov V. P. MATLAB ...
Základní ustanovení teorie přechodný procesy
Abstrakt >> FyzikaLaplace; - dočasné, užívající přechodný A impuls vlastnosti; - frekvence, založená na ... klasické metodě analýzy přechodný kolísání v elektrický řetězy přechodný procesy v elektrický řetězy popsané rovnicemi...
18. Reakce lineárních obvodů na jednotkové funkce. Přechodové a impulsní charakteristiky obvodu, jejich vztah.
Funkce jednotkového kroku (funkce zapnutí) 1 (t) je definován takto:
Funkční graf 1 (t) je znázorněn na Obr. 2.1.
Funkce 1 (t) se rovná nule pro všechny záporné hodnoty argumentu a jedna pro t³ 0 Uveďme také v úvahu funkci posunuté jednotky kroku
Tento efekt se aktivuje v okamžiku t= t..
Napětí ve formě jednokrokové funkce na vstupu obvodu bude při připojení zdroje konstantního napětí U 0 = 1 V at t= 0 pomocí ideálního klíče (obr. 2.3).
Jednotková impulsní funkce (d - funkce, Diracova funkce) je definována jako derivace jednotkové krokové funkce. Protože v té době t= funkce 0 1 (t) prochází diskontinuitou, pak její derivace neexistuje (jde do nekonečna). Tedy funkce jednotkového impulsu
Toto je speciální funkce nebo matematická abstrakce, ale široce se používá při analýze elektrických a jiných fyzikálních objektů. Funkce tohoto druhu jsou uvažovány v matematické teorii zobecněných funkcí.
Působení ve formě jednotkové impulsní funkce lze považovat za rázové působení (dostatečně velká amplituda a nekonečně krátká doba působení). Zavedena je také funkce jednotkového impulsu, posunutá o čas t= t
Funkce jednotkového impulsu je obvykle znázorněna graficky jako svislá šipka u t= 0 a posunuto o - t= t (obr. 2.4).
Vezmeme-li integrál jednotkové impulsní funkce, tzn. určíme oblast, která je jí ohraničena, dostaneme následující výsledek:
Rýže. 2.4.
Je zřejmé, že integrační interval může být jakýkoli, pokud je bod t= 0. Integrál posunuté jednotkové impulsní funkce d ( t-t) se také rovná 1 (pokud je bod t= t). Vezmeme-li integrál jednotkové impulsní funkce vynásobený nějakým koeficientem ALE 0 , pak je zřejmé, že výsledek integrace bude roven tomuto koeficientu. Proto koeficient ALE 0 před d( t) určuje oblast ohraničenou funkcí ALE 0 d( t).
Pro fyzikální interpretaci funkce d - je vhodné ji považovat za limitu, ke které tíhne některá posloupnost obyčejných funkcí, např.
Přechodná a impulsní odezva
přechodná odezva h(t) se nazývá reakce řetězce na akci ve formě jednotkové krokové funkce 1 (t). impulsní odezva g(t) se nazývá reakce obvodu na akci ve tvaru jednotkové impulsní funkce d ( t). Obě charakteristiky jsou určeny za nulových počátečních podmínek.
Přechodové a impulsní funkce charakterizují obvod v přechodovém režimu, protože jsou reakcemi na skoky, tzn. docela těžké pro jakýkoli nárazový systém. Navíc, jak bude ukázáno níže, odezva obvodu na libovolnou akci může být určena pomocí přechodových a impulsních odezev. Přechodové a impulsní odezvy jsou ve vzájemném vztahu stejným způsobem, jako spolu souvisí odpovídající akce. Jednotková impulsní funkce je derivací jednotkové skokové funkce (viz (2.2)), takže impulsní odezva je derivací přechodové odezvy a při h(0) = 0 . (2.3)
Toto tvrzení vyplývá z obecných vlastností lineárních systémů, které jsou popsány lineárními diferenciálními rovnicemi, zejména pokud je její derivace aplikována místo akce na lineární obvod s nulovými počátečními podmínkami, pak bude reakce rovna derivaci původní reakce.
Ze dvou uvažovaných charakteristik se nejjednodušeji určí přechodová, protože ji lze vypočítat z odezvy obvodu na zahrnutí zdroje konstantního napětí nebo proudu na vstupu. Pokud je taková reakce známa, pak k získání h(t) stačí ji vydělit amplitudou vstupní konstantní akce. Z toho vyplývá, že přechodová (stejně jako impulsní) odezva může mít rozměr odporu, vodivosti nebo být bezrozměrnou veličinou v závislosti na rozměru akce a odezvy.
Příklad . Definujte přechodné h(t) a impuls G(t) charakteristiky sériového RC obvodu.
Dopad je vstupní napětí u 1 (t) a reakcí je napětí na kapacitě u 2 (t). Podle definice přechodové odezvy by měla být definována jako napětí na výstupu, když je ke vstupu obvodu připojen zdroj konstantního napětí U 0
Tento problém byl vyřešen v části 1.6, kde byl získán u 2
(t)
= u C
(t)
=
Takto, h(t)
= u 2
(t)
/ U 0
= Impulzní odezva je určena (2.3) 
.
Přechodová charakteristika se používá při výpočtu odezvy lineárního elektrického obvodu, když je na jeho vstup přiveden impuls 
libovolný tvar. V tomto případě vstupní impuls 
aproximovat mnoha kroky a určit odezvu obvodu na každý krok a poté najít integrovaný obvod 
, jako součet reakcí na každou složku vstupního impulsu 
.
Přechodná odezva nebo přechodná funkce 
řetězy -
to je jeho zobecněná charakteristika, která je časovou funkcí, číselně rovna odezvě obvodu na jediný skok napětí nebo proudu na jeho vstupu, za nulových počátečních podmínek (obr. 13.11);
|
|
jinými slovy, je to odezva obvodu bez počáteční energetické rezervy na funkci 
u vchodu.
Výraz reakce na krok
závisí pouze na vnitřní struktuře a hodnotách parametrů prvků obvodu.
Z definice přechodové odezvy obvodu vyplývá, že při vstupní akci 
řetězová reakce 
(obr. 13.11).
Příklad. Nechť je obvod připojen ke zdroji konstantního napětí 
. Pak bude mít vstupní akce tvar, odezva obvodu bude a přechodová odezva napěťového obvodu bude 
. V 
.
násobení řetězové reakce 
za funkci 
nebo 
znamená, že přechodová funkce
v 
A 
v 
, který odráží princip kauzality
v lineárních elektrických obvodech, tzn. odezva (na výstupu obvodu) se nemůže objevit před okamžikem, kdy je signál přiveden na vstup obvodu.
Typy přechodových charakteristik.
Existují následující typy přechodných charakteristik:
|
|
- přechodovou odezvu obvodu z hlediska napětí; |
|
|
- přechodová odezva obvodu z hlediska proudu; |
|
|
- přechodový odpor obvodu, Ohm; |
|
|
- přechodová vodivost obvodu, Sm, |
(13.5)
kde 
jsou úrovně vstupního krokového signálu.
přechodová funkce 
pro jakoukoli pasivní dvouterminálovou síť lze nalézt klasickou nebo operátorskou metodou.
Výpočet přechodové odezvy klasickou metodou. Příklad.
Příklad. Vypočítejme napěťovou přechodovou odezvu pro obvod (obr. 13.12, ale) s parametry.
|
|
Řešení
Použijme výsledek získaný v části 11.4. Podle výrazu (11.20) napětí na indukčnosti
kde 
.
Změňme měřítko podle výrazu (13.5) a sestrojme funkci 
(obr. 13.12, b):
.
Výpočet přechodové odezvy operátorovou metodou
Složitý ekvivalentní obvod původního obvodu bude mít podobu na obr. 13.13.
|
|
Funkce přenosu napětí tohoto obvodu je:
kde 
.
V 
, tj. v 
, obraz 
, a obrázek napětí na cívce 
.
V tomto případě originál 
snímky 
je napěťová přechodná funkce obvodu, tzn.
nebo obecně:
,
(13.6)
ty. přechodová funkce
řetězec je roven inverzní Laplaceově transformaci jeho přenosové funkce
vynásobený obrazem jediného kroku
.
V uvažovaném příkladu (viz obr. 13.12) je funkce přenosu napětí:
kde 
a funkce 
vypadá jako .
Poznámka
.
Pokud je na vstup obvodu přivedeno napětí 
, pak ve vzorci přechodové funkce 
čas 
musí být nahrazeno výrazem 
. V uvažovaném příkladu má funkce zpožděného přenosu napětí tvar:
závěry
Přechodná odezva byla zavedena především ze dvou důvodů.
1. Jednokroková akce 
- křečovitý, a proto dosti silný vnější vliv na jakýkoli systém nebo okruh. Proto je důležité znát reakci systému nebo řetězce při takovém nárazu, tzn. přechodná odezva 
.
2. Se známou přechodnou odezvou 
pomocí Duhamelova integrálu (viz další podkapitoly 13.4, 13.5) je možné určit odezvu systému nebo obvodu na jakoukoli formu vnějších vlivů.
Aby mohli posoudit schopnosti elektrických zařízení, která přijímají a vysílají vstupní akce, uchylují se ke studiu jejich přechodových a impulsních charakteristik.
Kroková odezva h(t) lineárního obvodu, který neobsahuje nezávislé zdroje, se číselně rovná odezvě obvodu na dopad jediného proudového nebo napěťového skoku ve formě jednotkové krokové funkce 1( t) nebo 1( t – t 0) při nulových počátečních podmínkách (obr. 14). Rozměr přechodové odezvy je roven poměru rozměru reakce k rozměru nárazu. Může být bezrozměrný, mít rozměr Ohm, Siemens (Cm).
Rýže. čtrnáct
impulsní odezva k(t) lineárního obvodu, který neobsahuje nezávislé zdroje, se číselně rovná odezvě obvodu na působení jediného impulsu ve tvaru d( t) nebo d( t – t 0) funguje za nulových počátečních podmínek. Jeho rozměr je roven poměru rozměru reakce k součinu rozměru dopadu na čas, takže může mít rozměry s -1 , Oms -1 , Cms -1 .
Impulzní funkce d( t) lze považovat za derivaci jednotkové krokové funkce d( t) = d 1(t)/dt. V souladu s tím je impulsní odezva vždy časovou derivací přechodné odezvy: k(t) = h(0 +)d( t) + dh(t)/dt. Tento vztah se používá k určení impulsní odezvy. Například když pro nějaký řetěz h(t) = 0,7E –100t, pak k(t) = 0,7 d( t) – 70E –100 t. Přechodovou odezvu lze určit klasickou nebo operátorskou metodou pro výpočet přechodných jevů.
Mezi časovou a frekvenční charakteristikou obvodu existuje vztah. Při znalosti funkce přenosu operátora lze najít obrázek řetězové reakce: Y(s) = W(s)X(s), tj. přenosová funkce obsahuje kompletní informaci o vlastnostech obvodu jako systému přenosu signálu od jeho vstupu k výstupu za nulových počátečních podmínek. V tomto případě povaha dopadu a odezvy odpovídá těm, pro které je určena přenosová funkce.
Přenosová funkce pro lineární obvody nezávisí na typu vstupní akce, takže ji lze získat z přechodové odezvy. Tedy při působení jednotkové krokové funkce 1( t) přenosová funkce s přihlédnutím ke skutečnosti, že 1( t) = 1/s, je rovný
W(s) = L [h(t)] / L = L [h(t)] / (1/s), kde L [F(t)] - zápis pro přímou Laplaceovu transformaci přes funkci F(t). Krokovou odezvu lze určit z hlediska přenosové funkce pomocí inverzní Laplaceovy transformace, tzn. h(t) = L –1 [W(s)(1/s)], kde L –1 [F(s)] - zápis pro inverzní Laplaceovu transformaci přes funkci F(s). Tedy přechodná odezva h(t) je funkce, jejíž obrázek je W(s) /s.
Při působení jednotkové impulsní funkce d( t) Přenosová funkce W(s) = L [k(t)] / L = L [k(t)] / 1 = L [k(t)]. Takže impulsní odezva obvodu je k(t) je původní přenosová funkce. Podle známé operátorové funkce obvodu lze pomocí inverzní Laplaceovy transformace určit impulsní odezvu: k(t) W(s). To znamená, že impulsní odezva obvodu jednoznačně určuje frekvenční odezvu obvodu a naopak, protože
W(j w) = W(s)s = j w Protože přechodovou odezvu obvodu lze zjistit ze známé impulzní odezvy (a naopak), je tato také jednoznačně určena frekvenční odezvou obvodu.
Příklad 8 Vypočítejte přechodovou a impulsní charakteristiku obvodu (obr. 15) pro vstupní proud a výstupní napětí pro dané parametry prvků: R= 50 ohmů, L 1 = L 2 = L= 125 mH,
Z= 80 uF.
Rýže. 15
Řešení. Aplikujeme klasickou metodu výpočtu. Charakteristická rovnice Z v = R + pL +
+ 1 / (PC) = 0 pro dané parametry prvků má komplexně sdružené kořeny: p 1,2 =
= – d j wA2 = -100 j 200, který určuje oscilační charakter přechodového procesu. V tomto případě jsou zákony změny proudů a napětí a jejich derivace obecně napsány takto:
y(t) = (M cosw A 2 t+ N hřích A 2 t)E– d t + y vyn; dy(t) / dt =
=[(–M d+ N w A 2) cos w A 2 t – (M w A 2 + N d) sinw A 2 t]E– d t + dy ex / dt, kde w A 2 - frekvence volných kmitů; y vyn - vynucená složka přechodného procesu.
Nejprve najdeme řešení vidíš(t) A já C(t) = C du C(t) / dt pomocí výše uvedených rovnic a následně pomocí Kirchhoffových rovnic určíme potřebná napětí, proudy a podle toho přechodové a impulsní odezvy.
K určení integračních konstant jsou nutné počáteční a vynucené hodnoty těchto funkcí. Jejich počáteční hodnoty jsou známé: vidíš(0 +) = 0 (z definice h(t) A k(t)), protože já C(t) = já L(t) = i(t), pak já C(0 +) = já L(0 +) = 0. Vynucené hodnoty určíme z rovnice sestavené podle druhého Kirchhoffova zákona pro t 0 + : u 1 = R i(t) + (L 1 + L 2) i(t) / dt + vidíš(t), u 1 = 1(t) = 1 = konst,
odtud vidíš() = vidíš vyn = 1, já C() = já C vyn = i() = 0.
Sestavte rovnice pro určení integračních konstant M, N:
vidíš(0 +) = M + vidíš ex (0 +), já C(0 +) = Z(–M d+ N w A 2) + já C vyn (0 +); nebo: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; odtud: M = –1, N= -0,5. Získané hodnoty nám umožňují psát řešení vidíš(t) A já C(t) = i(t): vidíš(t) = [–cos200 t-0,5 sin200 t)E –100t+ 1] B, já C(t) = i(t) = E –100 t] = 0,02
hřích200 t)E –100 t A. Podle druhého Kirchhoffova zákona
u 2 (t) = vidíš(t) + u L 2 (t), u L 2 (t) = u L(t) = ldi(t) / dt= (0,5 cos200 t– 0,25 sin200 t) E –100t B. Potom u 2 (t) =
=(–0,5 cos200 t– 0,75 sin200 t) E –100t+ 1 = [–0,901 sin(200 t + 33,69) E –100t+1]B.
Pojďme zkontrolovat správnost výsledku získaného počáteční hodnotou: na jedné straně u 2 (0 +) = -0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5 a na druhé straně, u 2 (0 +) = vidíš (0 +) + u L(0 +) = 0 + 0,5 - hodnoty jsou stejné.
Akademie Ruska
Katedra fyziky
Přednáška
Přechodové a impulsní charakteristiky elektrických obvodů
Eagle 2009
Vzdělávací a vzdělávací cíle:
Vysvětlit posluchačům podstatu přechodových a impulsních charakteristik elektrických obvodů, ukázat vztah mezi charakteristikami, věnovat pozornost využití uvažovaných charakteristik pro analýzu a syntézu EC, zaměřit se na kvalitní přípravu na praktickou hodinu .
Časová dotace přednášek
Úvodní část ………………………………………………………… 5 min.
Studijní otázky:
1. Přechodové charakteristiky elektrických obvodů………………15 min.
2. Duhamelovy integrály………………………………………………………...25 min.
3. Impulsní charakteristiky elektrických obvodů. Vztah mezi charakteristikami………………………………………………..………...25 min.
4. Konvoluční integrály……………………………………………………………….15 min.
Závěr……………………………………………………………… 5 min.
1. Přechodové charakteristiky elektrických obvodů
Přechodová odezva obvodu (stejně jako impulzní odezva) se vztahuje k časovým charakteristikám obvodu, tj. vyjadřuje určitý přechodový proces za předem stanovených vlivů a počátečních podmínek.
Pro porovnání elektrických obvodů z hlediska jejich odezvy na tyto vlivy je nutné uvést obvody do stejných podmínek. Nejjednodušší a nejpohodlnější jsou nulové počáteční podmínky.
Přechodová odezva obvodu je poměr odezvy řetězce na krokovou akci k hodnotě této akce při nulových počátečních podmínkách.
Podle definice ,
kde je odezva obvodu na krokovou akci;
- velikost kroku [B] nebo [A].
Protože a je děleno velikostí nárazu (toto je skutečné číslo), pak ve skutečnosti - reakce řetězu na jediný krokový náraz.
Pokud je známa přechodová odezva obvodu (nebo může být vypočtena), pak ze vzorce lze najít odezvu tohoto obvodu na skokovou akci při nule NL
.
Vytvořme spojení mezi přenosovou funkcí operátoru obvodu, která je často známá (nebo ji lze nalézt), a přechodovou odezvou tohoto obvodu. K tomu využíváme zavedený koncept funkce operátorského přenosu:
.
Poměr Laplaceovy transformované řetězové reakce k velikosti akce je operátorovou přechodnou odezvou řetězce:
Tudíž .
Odtud se zjistí operátorová přechodová odezva obvodu z funkce operátorského přenosu.
K určení přechodové odezvy obvodu je nutné použít inverzní Laplaceovu transformaci:
pomocí korespondenční tabulky nebo (předběžně) dekompoziční věty.
Příklad: určete přechodovou odezvu pro odezvu napětí na kapacity v sériovém obvodu (obr. 1):
Zde je odpověď na akci krok s hodnotou:
,
odkud přechodná odezva:
.
Přechodové charakteristiky nejběžnějších obvodů jsou uvedeny a uvedeny v referenční literatuře.
2. Duhamelovy integrály
Přechodná odezva se často používá k nalezení odezvy obvodu na komplexní akci. Stanovme si tyto poměry.
Souhlasíme, že akce je spojitá funkce a je aplikována na obvod v čase , a počáteční podmínky jsou nulové.
Danou akci lze znázornit jako součet krokové akce aplikované v daném okamžiku na obvod a nekonečné množství nekonečně malých krokových akcí, které na sebe plynule navazují. Jedna z těchto základních akcí odpovídající okamžiku aplikace je znázorněna na obrázku 2.
Pojďme najít hodnotu řetězové reakce v určitém okamžiku.
Kroková akce s poklesem v čase způsobí reakci rovnou součinu poklesu a hodnotě přechodové odezvy obvodu při , tj. rovné:
Nekonečně malá kroková akce s rozdílem způsobí nekonečně malou reakci 
, kde je čas, který uplynul od okamžiku působení nárazu do okamžiku pozorování. Protože funkce je spojitá, pak:
V souladu s principem superpozice bude reakce rovna součtu reakcí v důsledku souhrnu vlivů předcházejících okamžiku pozorování, tzn.
.
Obvykle jej v posledním vzorci jednoduše nahradí, protože nalezený vzorec je správný pro jakékoli časové hodnoty:
.
Nebo po jednoduchých transformacích:
.
Jakýkoli z těchto poměrů řeší problém výpočtu odezvy lineárního elektrického obvodu na danou spojitou akci podle známé přechodové odezvy obvodu. Tyto vztahy se nazývají Duhamelovy integrály.
3. Impulsní charakteristiky elektrických obvodů
Obvod impulsní odezvy je poměr odezvy obvodu na impulsní akci k oblasti této akce při nulových počátečních podmínkách.
Podle definice ,
kde je odezva obvodu na impulsní akci;
je oblast nárazového impulsu.
Podle známé impulsní odezvy obvodu lze zjistit reakci obvodu na danou akci: 
.
Jako akční funkce se často používá jedna impulzní akce, nazývaná také delta funkce nebo Diracova funkce.
Delta funkce je funkce rovna nule všude, kromě a její plocha je rovna jedné ():
.
Ke konceptu delta funkce lze dospět uvažováním limitu pravoúhlého pulzu s výškou a trváním, když (obr. 3):
Vytvořme souvislost mezi přenosovou funkcí obvodu a jeho impulsní odezvou, k čemuž použijeme operátorskou metodu.
Podle definice:
.
Je-li náraz (původní) uvažován pro nejobecnější případ ve formě součinu plochy pulzu a funkce delta, tedy ve tvaru , pak má obraz tohoto nárazu podle korespondenční tabulky tvar:
.
Pak na druhé straně poměr Laplaceově transformované reakce obvodu k oblasti akčního impulsu je impulsní odezvou operátora obvodu:
.
Tudíž, .
K nalezení impulsní odezvy obvodu je nutné použít inverzní Laplaceovu transformaci:
To je ve skutečnosti.
Zobecněním vzorců získáme vztah mezi operátorovou přenosovou funkcí obvodu a operátorovými přechodovými a impulsními odezvami obvodu:
Když tedy znáte jednu z charakteristik obvodu, můžete určit další.
Udělejme identickou transformaci rovnosti přidáním do střední části .
Pak budeme mít.
Protože se jedná o obraz derivace přechodné odezvy, lze původní rovnost přepsat jako:
Přesuneme-li se do říše originálů, získáme vzorec, který nám umožňuje určit impulsní odezvu obvodu z jeho známé přechodové odezvy:
Pokud , tak .
Inverzní vztah mezi uvedenými charakteristikami má tvar:
.
Podle přenosové funkce je snadné stanovit přítomnost termínu ve složení funkce.
Pokud jsou stupně v čitateli a jmenovateli stejné, bude daný výraz přítomen. Pokud je funkce správným zlomkem, pak tento výraz nebude existovat.
Příklad: Určete impulsní odezvy pro napětí a v sériovém obvodu znázorněném na obrázku 4.
Pojďme definovat:
Podle srovnávací tabulky přejdeme k originálu:
.
Graf této funkce je na obrázku 5.
Rýže. Pět
Přenosová funkce:
Podle srovnávací tabulky máme:
.
Graf výsledné funkce je na obrázku 6.
Poznamenejme, že stejné výrazy lze získat pomocí vztahů navazujících spojení mezi a .
Impulzní odezva ve fyzikálním smyslu odráží proces volných oscilací a z tohoto důvodu lze tvrdit, že v reálných obvodech musí být vždy splněna podmínka:
4. Konvoluční integrály (překryvy)
Zvažte postup stanovení odezvy lineárního elektrického obvodu na komplexní efekt, je-li známa impulsní odezva tohoto obvodu. Budeme předpokládat, že dopad je po částech spojitá funkce znázorněná na obrázku 7.
Nechť je požadováno najít hodnotu reakce v určitém okamžiku. Při řešení tohoto problému představujeme dopad jako součet pravoúhlých pulsů nekonečně malého trvání, z nichž jeden, odpovídající časovému okamžiku , je znázorněn na obrázku 7. Tento puls je charakterizován trváním a výškou .
Z dříve uvažovaného materiálu je známo, že odezvu obvodu na krátký impuls lze považovat za rovnou součinu impulsní odezvy obvodu a oblasti působení impulsu. V důsledku toho bude nekonečně malá složka reakce v důsledku této impulzivní akce v daném okamžiku rovna:
protože oblast pulsu je a čas uplyne od okamžiku jeho aplikace do okamžiku pozorování.
Pomocí principu superpozice lze celkovou odezvu obvodu definovat jako součet nekonečně velkého počtu nekonečně malých součástek, způsobených sekvencí nekonečně malých plošných impulsních akcí předcházejících časovému okamžiku.
Takto:
.
Tento vzorec platí pro jakoukoli hodnotu, takže proměnná se obvykle označuje jednoduše. Pak:
.
Výsledný vztah se nazývá konvoluční integrál nebo překryvný integrál. Funkce , která je nalezena jako výsledek výpočtu konvolučního integrálu, se nazývá konvoluce a .
Jiný tvar konvolučního integrálu můžete najít, pokud změníte proměnné ve výsledném výrazu na:
.
Příklad: zjistěte napětí na kapacitě sériového obvodu (obr. 8), pokud na vstupu působí exponenciální impuls ve tvaru:
Použijme konvoluční integrál:
.
Výraz pro 
byla přijata dříve.
Tudíž, 
, A 
.
Stejný výsledek lze získat aplikací Duhamelova integrálu.
Literatura:
Beletsky A.F. Teorie lineárních elektrických obvodů. - M .: Rádio a komunikace, 1986. (učebnice)
Bakalov V. P. aj. Teorie elektrických obvodů. - M .: Rozhlas a komunikace, 1998. (učebnice);
Kachanov N. S. et al. Lineární radiotechnická zařízení. M.: Voen. vyd., 1974. (učebnice);
Popov V.P. Základy teorie obvodů - M .: Vyšší škola, 2000. (Učebnice)
