See aitab mitte ainult teekannud, vaid isegi neid, kes esimest korda kuulsid sõna "determinant". Kaks aastat on möödas sellest, kui saidil oli vaid kümme lehekülge ja nüüd, pärast minu pikka-pikka teekonda matani maailma, on kõik jälle normaalses vormis.
Kujutage ette, et peate arvutama kolmandat järku determinandi, laiendades seda üle rea (veeru) elementide. Kuigi mida seal kujutada - vaja =) Selle peal võib istuda 5 minutit või 2-3 minutit. Või isegi umbes ühe minuti jooksul. Teie kulutatud aeg ei sõltu ainult teie kogemusest, vaid ka teie teadmistest determinantide omaduste kohta. Pole harvad juhud, kui lahendusprotsess on üsna realistlik taanduda mõneks sekundiks ja mõnikord on tulemus kohe näha! "Jama, milleks säästa matšide pealt ja nii me otsustame kõik," ütlevad mõned. Ütleme. Ja me ei luba vigu ;-) Aga kuidas on lood 4. järku determinandiga, mis on praktikas üsna tavaline? Selle pipraga võitlemiseks kulub 10-20 minutit. Ja see pole isegi lahing, vaid veresaun, kuna arvutusvea tõenäosus on väga suur, mis "mähib" teid otsuse teise vooru. Ja kui viienda järgu determinant? Salvestage ainult determinandi järjekorra alandamine. Jah, selliseid näiteid leiab ka kontrollpaberitest.
Sellel lehel olevad materjalid täiustavad oluliselt teie determinantide lahendamise tehnikat ja lihtsustavad kõrgema matemaatika edasist arendamist.
Tõhusad meetodid determinandi arvutamiseks
Esiteks ei puuduta me determinandi omadusi, vaid lihtsalt selle ratsionaalse arvutamise meetodeid. Need lahendusmeetodid asuvad pinnal ja on paljudele selged, kuid sellest hoolimata peatume neil üksikasjalikumalt. Eeldatakse, et lugeja juba teab, kuidas kolmandat järku determinanti enesekindlalt paljastada. Nagu teada, saab seda determinanti laiendada 6 standardsetel viisidel: mis tahes real või veerus. Näib, et see pole oluline, sest vastus on sama. Kuid kas kõik meetodid on võrdselt lihtsad? Ei. Enamikul juhtudel on olemas vähem tulusaid viise Ja tulusamad viisid lahendusi.
Mõelge determinandile, mida ma esimeses tunnis ohtralt tätoveeringutega katsin. Selles artiklis kirjeldasime seda üksikasjalikult koos piltidega esimesel real. Esimene rida on hea ja akadeemiline, aga kas on võimalik kiiremini tulemust saavutada? Determinandis on null ja seda teise rea või teise veeru võrra laiendades vähenevad arvutused märgatavalt!
Laiendame determinanti teises veerus: 
Praktikas ignoreeritakse nullelemente ja lahendus võtab kompaktsema kuju:
1. harjutus
Laiendage antud determinanti mööda teist rida, kasutades lühendatud tähistust.
Lahendus tunni lõpus.
Kui reas (või veerus on kaks nulli), on see üldiselt tõeline kingitus. Mõelgem determinandile. Kolmandal real on kaks nulli ja me avame selle sellel:
See on kogu lahendus!
Erijuhtum, kui determinandil on nn astus või kolmnurkne vaade, näiteks: - sellises determinandis kõik allpool asuvad numbrid põhidiagonaal, on võrdsed nulliga.
Laiendame seda esimese veeru võrra: 
Praktilistes ülesannetes on mugav juhinduda järgmisest reeglist - sammudeterminant on võrdne selle põhidiagonaali arvude korrutisega:
Sarnane põhimõte kehtib ka teiste järjestuste astmemäärajate puhul, näiteks: 
Kolmnurksed determinandid esinevad mõnedes lineaaralgebra ülesannetes ja nende lahendus on enamasti nii raamitud.
Ja kui determinandi rida (veerg) sisaldab ainult nullid? Vastus on minu arvates selge. Selle probleemi juurde tuleme tagasi determinandi omadustes.
Nüüd kujutame ette, et kauaoodatud bagelid ei kuulu uusaasta kingituse hulka. Nii et rookime paha jõuluvana ära!
Siin ei ole nulle, kuid siiski on võimalus oma elu lihtsamaks teha. Seda determinanti on kõige parem laiendada kolmandas veerus, kuna seal on väikseimad arvud. Sel juhul on lahenduskirje väga kokkuvõtlik:
Lõigu kokkuvõtteks sõnastame arvutuste kuldreegli:
Kasumlikum on avada determinant SELLE rea (veeru) järgi, kus:
1) rohkem nulle;
2) väiksemad numbrid.
Loomulikult kehtib see ka kõrgema järgu määrajate kohta.
Väike näide materjali konsolideerimiseks:
2. ülesanne
Arvutage determinant, laiendades seda rea või veeru kaupa, kasutades kõige ratsionaalsemat viisi
See on näide "tee ise" lahendusest, optimaalne lahendus ja vastus on õppetunni lõpus.
Ja veel üks oluline nõuanne: ära komplekse! Traditsioonilises esimese rea või esimese veeru võrra laiendamises pole vaja "tsüklitena minna". Ühesõnaga, olgu nii!
Määravad omadused
Mõelge esimese õppetunni vanadele tuttavatele: maatriksile 
ja selle määraja 
.
Igaks juhuks kordan üle mõistete elementaarset erinevust: maatriks on elementide tabel, aga determinant on arv.
Maatriksi transponeerimisel selle determinandi väärtus ei muutu
Transponeerime maatriksi: 
Vastavalt omadusele on ülekantud maatriksi determinant võrdne sama väärtusega: 
. Soovijad saavad selles ise veenduda.
Kasutusel on ka selle omaduse lihtsam sõnastus: kui determinant transponeerida, siis selle väärtus ei muutu.
Kirjutame mõlemad determinandid kõrvuti ja analüüsime ühte oluline punkt:
Transponeerimise tulemusena sai esimesest reast esimene veerg, teisest reast sai teine veerg ja kolmandast reast kolmas veerg. Ridadest said veerud, kuid tulemus ei muutunud. Sellest järeldub oluline fakt: determinandi read ja veerud on võrdsed. Teisisõnu, kui omadus on tõene rea puhul, siis sarnane omadus on tõene veeru puhul! Tegelikult oleme sellega juba pikemat aega kokku puutunud - determinanti saab ju laiendada nii reas kui ka võrdselt veerus.
Kas teile ei meeldi stringides olevad numbrid? Transponeeri determinant! On ainult üks küsimus, miks? Vaadeldava omaduse praktiline tähendus on väike, kuid teiste kõrgema matemaatika probleemide paremaks mõistmiseks on kasulik see teadmiste pagasisse visata. Näiteks saab kohe selgeks, miks vektorite uurimine koplanaarsuse jaoks nende koordinaate saab kirjutada nii determinandi ridadesse kui ka veergudesse.
Kui determinandi kaks rida (või kaks veergu) on vahetatud,
siis determinant muudab märki
! Pea meeles , me räägime determinandist! Maatriksis endas ei saa midagi ümber korraldada!
Mängime Rubiku kuubikut determinandiga 
.
Vahetame esimese ja kolmanda rea: 
Määraja on märki muutnud.
Nüüd korraldage saadud determinandis teine ja kolmas rida ümber: 
Määraja muutis taas märki.
Korraldage teine ja kolmas veerg ümber: 
St mis tahes ridade (veergude) paaripermutatsioon toob kaasa determinandi märgi muutumise vastupidiseks.
Mängud on mängud, kuid praktikas on sellised tegevused paremad ära kasuta. Erilist mõtet neist pole, aga segadusse sattuda ja eksida pole raske. Siiski toon välja ühe vähestest olukordadest, kus see on tõesti mõttekas. Oletame, et olete mõne näite lahendamise käigus tõmmanud miinusmärgiga determinandi:
Laiendame seda näiteks esimese rea võrra:
Ilmselge ebamugavus seisneb selles, et pidin tegema tarbetuid ropendamisi suured sulgud, ja seejärel avage need (muide, ma ei soovita tungivalt selliseid toiminguid "ühe istumisega" suuliselt teha).
"Miinusest" vabanemiseks on ratsionaalsem vahetada suvalised kaks rida või kaks veergu. Korraldame ümber näiteks esimese ja teise rea: 
Tundub stiilne, kuid enamasti on negatiivse märgiga otstarbekam teistmoodi toime tulla (loe edasi).
Kaalutud tegevus aitab jällegi paremini mõista näiteks mõnda omadust vektorite ristkorrutis või vektorite segakorrutis.
Nüüd on see huvitavam:
Determinandi reast (veerust) saate välja võtta ühisteguri
!!! Tähelepanu! Reegel on umbes ÜKS rida või umbes ÜKS määrav veerg. Palun ärge ajage segamini maatriksid, maatriksis võetakse kordaja välja / tuuakse sisse KÕIK numbrid korraga.
Alustame reegli erijuhtumist - "miinus üks" või lihtsalt "miinus" eemaldamine.
Kohtume teise patsiendiga: .
Sellel määrajal on liiga palju miinuseid ja tore oleks nende arvu vähendada.
Võtke esimeselt realt välja -1: 
Või lühemalt: 
Determinandi ees olev miinus, nagu juba näidatud, pole mugav. Vaatame determinandi teist rida ja märkame, et seal on liiga palju miinuseid.
Teiselt realt võtame välja "miinuse": 
Mida saab veel teha? Kõik teises veerus olevad arvud jaguvad 4-ga ilma jäägita. Võtke teisest veerust välja 4: 
Tõsi on ka vastupidine reegel - kordaja saab mitte ainult taluma, vaid ka panustada, pealegi, determinandi MIS TAHES real või MIS TAHES veerus.
Lõbu pärast korrutame determinandi kolmanda rea 4-ga: 
Põhjalik mõistus suudab kontrollida algse ja vastuvõetud determinantide võrdsust (õige vastus: -216).
Praktikas viiakse sageli läbi miinuse sisseviimine. Mõelgem determinandile. Determinandi ees oleva miinusmärgi saab sisestada MIS TAHES reale või ANY veergu. Parim kandidaat on kolmas veerg ja lisame sellele miinuse: 
Samuti märkame, et kõik esimeses veerus olevad arvud jaguvad 2-ga ilma jäägita, kuid kas tasub "kaks" välja võtta? Kui kavatsete determinandi järjekorda langetada (millest tuleb juttu viimases osas), on see kindlasti seda väärt. Kui aga determinandi reas (veerg) avada, siis ees olev “kaks” ainult pikendab lahenduse rekordit.
Kui aga kordaja on suur, näiteks 13, 17 vms, siis loomulikult on tulusam nagunii välja võtta. Saame tuttavaks väikese koletisega:. Esimeselt realt võtame välja -11, teisest realt -7:
Ütlete, arvutused klõpsavad juba tavalisel kalkulaatoril nii kiiresti? See on tõsi. Kuid esiteks ei pruugi seda käepärast olla ja teiseks, kui on antud 3. või 4. järgu määraja suurte numbritega, siis ei taha tegelikult nuppudele koputada.
3. ülesanne
Arvutage determinant, arvutades välja read ja veerud
See on tee-seda-ise näide.
Veel paar kasulikku reeglit:
Kui determinandi kaks rida (veergud) on võrdelised
(erijuhtumina on need samad), siis on see determinant võrdne nulliga
Siin on esimese ja teise rea vastavad elemendid proportsionaalsed:
Mõnikord öeldakse, et determinandi stringid lineaarselt sõltuv. Kuna determinandi väärtus transpositsiooni käigus ei muutu, siis ridade lineaarsest sõltuvusest tuleneb veergude lineaarne sõltuvus.
Näide võib panna geomeetrilise tähenduse – kui eeldame, et koordinaadid on ridadesse kirjutatud vektorid ruumi, siis on kaks esimest võrdeliste koordinaatidega vektorit kollineaarsed, mis tähendab, et kõik kolm vektorit - lineaarselt sõltuv, see tähendab, tasapinnaline.
Järgmises näites on kolm veergu proportsionaalsed (ja muide ka kolm rida): 
Siin on teine ja kolmas veerg samad, see on erijuhtum - kui proportsionaalsuskoefitsient on võrdne ühega
Neid omadusi saab praktikas kasutada. Kuid pidage meeles, teadmiste kõrgem tase on mõnikord karistatav ;-) Seetõttu võib olla parem selliseid määrajaid tavapärasel viisil paljastada (teades ette, et see osutub nulliks).
Tuleb märkida, et vastupidine ei pea üldiselt paika- kui determinant on võrdne nulliga, siis sellest pole veel olema et selle read (veerud) on proportsionaalsed. See tähendab, et ridade/veergude lineaarne sõltuvus ei pruugi olla selgesõnaline.
On ka ilmsem märk, kui saab kohe öelda, et determinant on null:
Nullirea (veeru) determinant on null
"Amatöör" kontroll on elementaarne, laiendame determinanti esimese veeru võrra: 
Tulemus aga ei muutu, kui determinanti laiendatakse mis tahes real või veerus.
Pigista välja teine klaas apelsinimahla:
Milliseid determinantide omadusi on kasulik teada?
1) Determinandi väärtus transponeerimisel ei muutu. Mäletame vara.
2) Iga ridade (veergude) paarispermutatsioon muudab determinandi märgi vastupidiseks. Samuti jätame vara meelde ja segaduse vältimiseks püüame seda mitte kasutada.
3) Determinandi reast (veerust) saate kordaja välja võtta (ja tagasi tuua). Kasutame seda seal, kus see on kasulik.
4) Kui determinandi read (veerud) on võrdelised, siis võrdub see nulliga. Nullirea (veeru) determinant on võrdne nulliga.
Tunnis jälgiti korduvalt elementaarset mustrit - mida rohkem nulle reas (veerus), seda lihtsam on determinanti arvutada. Tekib küsimus, kas mingisuguse teisenduse abil on võimalik nulle spetsiaalselt organiseerida? Saab! Tutvume veel ühe väga võimsa varaga:
Determinandi järjekorra vähendamine
On väga hea, kui oled juba tegelenud Gaussi meetod ja omab lahendamise kogemust lineaarvõrrandisüsteemid sel viisil. Tegelikult dubleerib allpool sõnastatud omadus ühte neist elementaarsed teisendused.
Söögiisu suurendamiseks purustame väikese konna: 
Determinandi stringile saate lisada teise stringi, mis on korrutatud nullist erineva arvuga. Sel juhul determinandi väärtus ei muutu
Näide: determinandis saame nulli vasakus ülanurgas.
Selleks teine rida vaimselt või mustandis korrutage 3-ga: (–3, 6) ja lisage teine rida esimesele reale, korrutatuna 3-ga:
Kirjutame tulemuse esimesele reale:
Eksam: 
Nüüd saame samas determinandis paremas allservas nulli. Selle jaoks teisele reale lisage esimene rida, korrutatuna (vaimselt) -2-ga):
Kirjutame tulemuse teisele reale:
Märge: kui elementaarne teisendus muutub TA rida, millele lisame TÜ.
Sõnastame veergude jaoks peegelreegli:
Determinandi veergu saate lisada teise veeru, mis on korrutatud nullist erineva arvuga. Sel juhul determinandi väärtus ei muutu
Võtame loomal käppadest ja seda teisendust kasutades saame üleval vasakul nulli. Selleks korrutage teine veerg mõtteliselt või mustandiga -3-ga: ja lisage teine veerg esimesele veerule, korrutatuna -3-ga:
Kirjutame tulemuse esimesse veergu:
Ja lõpuks saame determinandis paremas allservas nulli. Selle jaoks teise veeru lisame esimese veeru, korrutatuna (vaimselt) 2-ga(vaata ja loe paremalt vasakule):
Tulemus asetatakse teise veergu:
Elementaarse teisenduse käigus see muutub SEE veerg, millele lisame TÜ.
Proovige järgmist näidet kvalitatiivselt seedida.
Saadame kasvanud kahepaikse supi sisse:
Ülesanne on vähendada determinandi järjekorda elementaarteisenduste abil kuni teise järjekorrani.
Kust alustada? Esiteks, determinandis peate valima numbri - "sihtmärk". "Sihtmärk" on peaaegu alati üks või -1. Vaatame määrajat ja märkame, et siin on isegi valikut. Olgu elemendiks sihtnumber: 
Märge : topeltnumbrite tähenduse leiate artiklist Crameri reegel. Maatriksmeetod. IN sel juhul elemendi indeksid näitavad, et see asub teises reas, kolmandas veerus.
Idee on saada kolmandasse veergu kaks nulli: 
Või hankige teisele reale kaks nulli: 
Teises reas on numbrid väiksemad (ärge unustage kuldreeglit), nii et seda on kasulikum võtta. Ja kolmas veerg sihtnumbriga jääb muutumatuks: 
Lisage teisele veerule kolmas veerg:
Midagi polnud vaja korrutada.
Tulemus kirjutatakse teise veergu: 
Esimesele veerule lisame kolmanda veeru, korrutatuna (vaimselt) -2-ga:
Kirjutame tulemuse esimesse veergu, laiendage determinanti mööda teist rida: 
Kuidas alandada determinandi järjekorda? Teises reas on kaks nulli.
Lahendame näite teisel viisil, korraldame nullid kolmandas veerus: 
Teine rida sihtnumbriga jääb muutumatuks: 
Esimesele reale lisage teine rida, korrutatuna (vaimselt) -4-ga: 
Kolmandale reale lisage teine rida, korrutatuna (vaimselt) 3-ga (vaata ja loe alt üles):
Kirjutame tulemuse kolmandale reale, laiendage determinanti kolmandas veerus: 
Märka seda ei ole vaja ridu ega veerge ümber paigutada. Elementaarsed teisendused töötavad hästi nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule. Nii ülalt alla kui alt üles.
4. ülesanne
Arvutage sama determinant, valides elemendi sihtarvuks. Alandage selle järjekorda kahel viisil: hankides nullid teise rida ja saades nullid teise veergu.
See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja lühikommentaarid tunni lõpus.
Mõnikord pole determinandis ühikut või -1, näiteks: . Sel juhul tuleks "sihtmärk" korraldada täiendava elementaarse teisenduse abil. Seda saab teha enamasti mitmel viisil. Näiteks: lisage esimesele reale teine rida, korrutatuna -1-ga: 
Tulemus kirjutatakse esimesele reale: 
! Tähelepanu : POLE TARVIS esimesest reast lahutada teine rida, see suurendab oluliselt vea võimalust. Me lihtsalt foldime! Seetõttu lisame esimesele reale teise rea, korrutatuna -1-ga. Täpselt nii!
Üksus sai kätte, mille saavutamist nõuti. Siis saate esimesse rida või esimesse veergu kaks nulli. Soovijad saavad lahendust täiendada (õige vastus: -176).
Väärib märkimist, et valmis “sihtmärk” esineb kõige sagedamini algses determinandis ning 4. järku ja kõrgema determinandi puhul on täiendav teisendus äärmiselt ebatõenäoline.
Hakime mõned suured kärnkonnad guljašiks:
Ülesanne
Lahendage süsteem lineaarvõrrandid Crameri valemite järgi 
Pole hullu, kui te pole seda veel lugenud. Crameri meetod, saate sel juhul lihtsalt näha, kuidas determinandi "neli korda nelja" järjekord väheneb. Ja reegel ise saab selgeks, kui otsuse käiku veidi süveneda.
Lahendus: kõigepealt arvuta peamine määraja süsteemid: 
Antud determinandi ridade või veergude kaupa laiendades on võimalik minna standardset teed pidi. Tuletades meelde esimese õppetunni algoritmi ja kasutades minu leiutatud märkide maatriksit, laiendame determinanti näiteks "klassikalise" esimese rea võrra:
Ma ei näe teie entusiasmi =) Muidugi võite istuda kümme minutit ja hoolikalt ja hoolikalt sünnitada õige vastus. Aga häda on selles, et edaspidi peame veel 4 neljandat järku determinanti välja arvutama. Seetõttu on ainus mõistlik väljapääs determinandi järjekorra alandamine.
Determinandis on palju ühikuid ja meie ülesanne on valida parim viis. Tuletame meelde kuldreeglit: reas (veerus) peaks olema rohkem nulle ja vähem numbreid. Sel põhjusel on teine rida või neljas veerg üsna sobiv. Neljas veerg tundub atraktiivsem, pealegi on neid kaks. Valige "sihtmärgina" element: 
Esimene rida ei muutu. Ja teine ka - seal on juba vajalik null: 
Kolmandale reale lisage esimene rida, korrutatuna -1-ga (vaata ja loe alt üles):
! Tähelepanu taas : Pole tarvis kolmandast reast lahutada esimene rida. Me lihtsalt foldime!
Tulemus kirjutatakse kolmandale reale: 
Neljandale reale lisage esimene rida, korrutatuna 3-ga (vaata ja loe alt üles):
Tulemus kirjutatakse neljandale reale: 
(1) Laiendage neljandas veerus olevat determinanti. Ärge unustage, et peate elemendile lisama "miinuse" (vt märkide maatriksit).
(2) Määraja järjekord alandatakse 3. kohale. Põhimõtteliselt saab selle lagundada reaks (veeruks), kuid parem on determinandi omadused välja töötada. Teisele reale sisestame miinuse.
(3) Teisele reale lisame esimese rea korrutatuna 3-ga. Kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna 7-ga.
(4) Laiendame determinanti teise veeru võrra, vähendades seeläbi selle järjestust veelgi kahele.
Pange tähele, kuidas lahendus on kahanenud! Peaasi, et elementaarsete ümberkujundamistega veidi "käte" külge saada ja selline võimalus avaneb kohe. Lisaks on teie käsutuses kalkulaator, mis loeb determinante (eelkõige leiate selle lehelt Matemaatilised valemid ja tabelid). Kalkulaatori abil on tehtud toiminguid lihtne kontrollida. Sai määraja 
esimeses etapis - ja kontrollis kohe, kas see on võrdne algse determinandiga.
(1) Laiendage determinanti kolmanda rea võrra. Determinandi järjekorda vähendatakse kolmele.
(2) Sisestage esimesse veergu "miinus".
(3) Teisele reale lisame esimese rea korrutatuna 3-ga. Kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna 5-ga.
(4) Laiendage determinanti teise veeru võrra, vähendades determinandi järjekorda kahele.
Me saame hämmastavaks keeruline lõunasöök ja on aeg magustoiduks: 
See pole isegi enam kärnkonn, vaid Godzilla ise. Võtame ettevalmistatud klaasi apelsinimahla ja vaatame, kuidas determinandi järjekord väheneb. Algoritm on minu arvates selge: viiendast järjestusest langetame selle neljandale, neljandast kolmandale ja kolmandast teise:
(1) Esimesele, kolmandale, neljandale ja viiendale reale lisage teine rida.
(2) Laiendage 3. veerus olevat determinanti. Määraja järjekord on langenud neljale.
(3) 4. veerust võtame välja 2. Esimese rea korrutame -1-ga ja et determinant ei muutuks, paneme selle ette “miinuse”. See transformatsioon edasiste arvutuste lihtsustamiseks.
(4) Lisage esimene rida teisele ja kolmandale reale. Neljandale reale lisage esimene rida, korrutatuna 3-ga.
(5) Laiendage 4. veerus olevat determinanti. Järjekord alandatakse kolmele.
(6) Laiendage 2. veerus olevat determinanti. Järjestus alandatakse kahele.
(7) Võtame 1. veerust välja "miinuse".
Kõik osutus lihtsamaks, kui tundus, kõigil koletistel on nõrgad kohad!
Väsimatud lugejad võivad proovida viiendat järku determinanti kuidagi teisiti lahendada, õnneks on selles palju ühikuid.
2-ga korrutatud teine veerg lisati esimesse veergu.Teine veerg lisati kolmandasse veergu. Determinant avati teisel real.
Alandage determinandi järjekorda, saades teise veergu nullid:
Teine rida lisati esimesele reale, korrutatuna -2-ga. Kolmandale reale lisati teine rida, korrutatud 2-ga.Determinant avati vastavalt teisele veerule.
Ülesanne 5: Lahendus:
(1) Esimesele reale lisame kolmanda rea korrutatuna 3-ga. Teisele reale lisame kolmanda rea korrutatuna 5-ga. 4. reale lisame kolmanda rea korrutatuna 2-ga.
(2) Laiendage determinanti esimese veeru võrra.
(3) Lisage teisele veerule kolmas veerg, korrutatuna 9-ga. Esimesele veerule lisage kolmas veerg.
(4) Laiendage determinanti kolmanda rea võrra.
(1) Lisage esimesele veerule teine veerg. Lisage teine veerg kolmandale veerule
(2) Laiendage determinanti kolmanda rea võrra.
(3) Sisestage esimesele reale "miinus".
(4) Teisele reale lisage esimene rida, korrutatuna 6-ga. Kolmandale reale lisage esimene rida
(5) Laiendage determinanti esimese veeru võrra.
Üldjuhul on $n$-nda järgu determinantide arvutamise reegel üsna tülikas. Teist ja kolmandat järku determinantide jaoks on olemas ratsionaalsed viisid nende arvutamiseks.
Teist järku determinantide arvutused
Teist järku maatriksi determinandi arvutamiseks on vaja põhidiagonaali elementide korrutis lahutada sekundaarse diagonaali elementide korrutis:
$$\left| \begin(massiivi)(ll)(a_(11)) & (a_(12)) \\ (a_(21)) & (a_(22))\end(massiivi)\right|=a_(11) \ cdot a_(22)-a_(12) \cdot a_(21)$$
Näide
Ülesanne. Arvutage teist järku determinant $\left| \begin(massiivi)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(massiivi)\right|$
Lahendus.$\left| \begin(massiivi)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(massiivi)\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14 = 69 $
Vastus.$\left| \begin(massiivi)(rr)(11) & (-2) \\ (7) & (5)\end(massiivi)\right|=69 $
Kolmandat järku determinantide arvutamise meetodid
Kolmandat järku determinantide arvutamiseks kehtivad reeglid.
kolmnurga reegel
Skemaatiliselt saab seda reeglit kujutada järgmiselt:
Esimeses determinandis olevate joontega ühendatud elementide korrutis võetakse plussmärgiga; samamoodi teise determinandi puhul võetakse vastavad korrutised miinusmärgiga, s.t.
$$\left| \begin(massiivi)(ccc)(a_(11)) & (a_(12)) & (a_(13)) \\ (a_(21)) & (a_(22)) & (a_(23)) \\ (a_(31)) & (a_(32)) & (a_(33))\end(massiivi)\right|=a_(11) a_(22) a_(33)+a_(12) a_( 23) a_(31)+a_(13) a_(21) a_(32)-$$
$$-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)-a_(13) a_(22) a_(31)$$
Näide
Ülesanne. Arvutage $\left| \begin(massiivi)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (massiivi)\right|$ kolmnurga meetodil.
Lahendus.$\left| \begin(massiivi)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (massiiv)\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$
$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$
Vastus.
Sarrus valitseb
Determinandist paremale liidetakse kaks esimest veergu ning plussmärgiga võetakse põhidiagonaalil ja sellega paralleelsetel diagonaalidel olevate elementide korrutised; ning sekundaarse diagonaali ja sellega paralleelsete diagonaalide elementide korrutised miinusmärgiga:
$$-a_(13) a_(22) a_(31)-a_(11) a_(23) a_(32)-a_(12) a_(21) a_(33)$$
Näide
Ülesanne. Arvutage $\left| \begin(massiivi)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (massiivi)\right|$ Sarruse reegli abil.
Lahendus. 
$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)= 54 $ $
Vastus.$\left| \begin(massiivi)(rrr)(3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2)\end (massiivi)\right|=54 $
Determinandi rea või veeru laiendus
Determinant võrdub determinandi rea elementide ja nende algebraliste täiendite korrutistega. Tavaliselt vali rida/veerg, milles/-ndas on nullid. Rida või veerg, millel lagunemine toimub, tähistatakse noolega.
Näide
Ülesanne. Laiendades üle esimese rea, arvutage determinant $\left| \begin(massiivi)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(massiivi) \right|$
Lahendus.$\left| \begin(massiivi)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(massiivi) \õige| \leftarrow=a_(11) \cdot A_(11)+a_(12) \cdot A_(12)+a_(13) \cdot A_(13)=$
$1 \cdot(-1)^(1+1) \cdot \left| \begin(massiivi)(cc)(5) & (6) \\ (8) & (9)\end(massiivi)\right|+2 \cdot(-1)^(1+2) \cdot \left | \begin(massiivi)(cc)(4) & (6) \\ (7) & (9)\end(massiivi)\right|+3 \cdot(-1)^(1+3) \cdot \left | \begin(massiivi)(cc)(4) & (5) \\ (7) & (8)\end(massiivi)\right|=-3+12-9=0$
Vastus.
See meetod võimaldab determinandi arvutamise taandada madalamat järku determinandi arvutamiseks.
Näide
Ülesanne. Arvutage $\left| \begin(massiivi)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(massiivi) \right|$
Lahendus. Teeme determinandi ridadel järgmised teisendused: teisest reast lahutame esimesed neli ja kolmandast esimese rea, korrutatuna seitsmega, mille tulemusena saame vastavalt determinandi omadustele determinandi. võrdne antud.
$$\left| \begin(massiivi)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(massiivi) \right|=\left| \begin(massiivi)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (4-4 \cdot 1) & (5-4 \cdot 2) & (6-4 \cdot 3) \\ ( 7-7 \cdot 1) & (8-7 \cdot 2) & (9-7 \cdot 3)\end(massiivi)\right|=$$
$$=\left| \begin(massiivi)(rrr)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12)\ end(massiivi)\right|=\left| \begin(massiivi)(ccc)(1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \cdot(-3)) & (2 \cdot(-6))\end(massiiv)\right|=0$$
Determinant on null, kuna teine ja kolmas rida on võrdelised.
Vastus.$\left| \begin(massiivi)(lll)(1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9)\end(massiivi) \right|=0$
Neljandat ja kõrgemat järku determinantide arvutamiseks kasutatakse kas rea/veeru laiendamist või taandamist kolmnurkseks vormiks või Laplace'i teoreemi.
Determinandi lagunemine rea või veeru elementide järgi
Näide
Ülesanne. Arvutage $\left| \begin(massiivi)(llll)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(massiiv)\right|$ , laiendades selle mõne rea või veeru elementideks.
Lahendus. Teeme esmalt elementaarteisendused determinandi ridadel, tehes võimalikult palju nulle kas reas või veerus. Selleks lahutame kõigepealt esimesest reast üheksa kolmandikku, teisest viis kolmandikku ja neljandast kolm kolmandikku, saame:
$$\left| \begin(massiivi)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(massiivi)\right|=\left| \begin(massiivi)(cccc)(9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(massiivi)\right|=\ vasakule| \begin(massiivi)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(massiivi)\right|$$
Laiendame saadud determinanti esimese veeru elementide võrra:
$$\left| \begin(massiivi)(rrrr)(0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0)\end(massiivi)\right|=0+0+1 \cdot(-1)^( 3+1) \cdot \left| \begin(massiivi)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(massiivi)\right|+0$$
Saadud kolmandat järku determinanti laiendatakse ka rea ja veeru elementidega, olles eelnevalt saanud nullid, näiteks esimeses veerus. Selleks lahutame esimesest reast kaks teist rida ja kolmandast teise:
$$\left| \begin(massiivi)(rrr)(8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0)\ end(massiivi)\right|=\left| \begin(massiivi)(rrr)(0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8)\end( massiiv)\right|=4 \cdot(-1)^(2+2) \cdot \left| \begin(massiivi)(ll)(2) & (4) \\ (4) & (8)\end(massiivi)\right|=$$
$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$
Vastus.$\left| \begin(massiivi)(cccc)(9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6)\end(massiivi)\right|=0$
kommenteerida
Viimast ja eelviimast determinanti ei saanud arvutada, kuid järeldada kohe, et need on võrdsed nulliga, kuna need sisaldavad proportsionaalseid ridu.
Determinandi toomine kolmnurksesse vormi
Üle ridade või veergude tehtavate elementaarteisenduste abil taandatakse determinant kolmnurkseks ja seejärel võrdub selle väärtus vastavalt determinandi omadustele põhidiagonaalil olevate elementide korrutisega.
Näide
Ülesanne. Arvutage determinant $\Delta=\left| \begin(massiivi)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(massiivi)\right|$ viies selle kolmnurksele kujule.
Lahendus. Esiteks teeme põhidiagonaali all olevasse esimesse veergu nullid. Kõiki teisendusi on lihtsam teostada, kui element $a_(11)$ on võrdne 1-ga. Selleks vahetame determinandi esimese ja teise veeru, mis vastavalt determinandi omadustele põhjustab selle muuda märk vastupidiseks:
$$\Delta=\left| \begin(massiivi)(rrrr)(-2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3)\end(massiivi)\right|=-\left| \begin(massiivi)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3)\end(massiivi)\right|$$
$$\Delta=-\left| \begin(massiivi)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(massiivi)\right|$$
Järgmisena saame põhidiagonaali all olevate elementide asemele nullid teise veergu. Ja jällegi, kui diagonaalelement on võrdne $\pm 1$ , siis on arvutused lihtsamad. Selleks vahetame teise ja kolmanda rea (ja samal ajal muudame determinandi vastasmärgiks):
$$\Delta=\left| \begin(massiivi)(rrrr)(1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1)\end(massiivi)\right|$$
OMADUS 1. Determinandi väärtus ei muutu, kui kõik selle read asendatakse veergudega ja iga rida asendatakse sama numbriga veeruga, st.
OMADUS 2. Determinandi kahe veeru või kahe rea permuteerimine võrdub selle korrutamisega -1-ga. Näiteks,
.
OMADUS 3. Kui determinandil on kaks identset veergu või kaks identset rida, siis on see võrdne nulliga.
OMADUS 4. Determinandi ühe veeru või ühe rea kõigi elementide korrutamine mis tahes arvuga k võrdub determinandi korrutamisega selle arvuga k. Näiteks,
.
OMADUS 5. Kui mõne veeru või rea kõik elemendid on võrdsed nulliga, siis determinant ise on võrdne nulliga. See vara on erijuhtum eelmine (k=0 korral).
OMADUS 6. Kui determinandi kahe veeru või kahe rea vastavad elemendid on võrdelised, siis on determinant võrdne nulliga.
OMADUS 7. Kui determinandi n-nda veeru või n-nda rea iga element on kahe liikme summa, siis saab determinandi esitada kahe determinandi summana, millest üks on n-ndas veerus või vastavalt n-ndas veerus. real on esimene nimetatud terminitest ja teises - teine; elemendid ülejäänud kohtades on kolme determinandi verstapostide jaoks samad. Näiteks,
OMADUS 8. Kui liidame mõne veeru (või mõne rea) elementidele teise veeru (või mõne teise rea) vastavad elemendid, korrutatuna mis tahes ühisteguriga, siis determinandi väärtus ei muutu. Näiteks,
.
Determinantide edasised omadused on seotud algebralise komplemendi ja minoori mõistega. Mõne elemendi moll on determinant, mis saadakse antud elemendist, kustutades rea ja veeru, mille ristumiskohas see element asub.
Determinandi mis tahes elemendi algebraline täiend on võrdne selle elemendi molliga, mis on võetud selle märgiga, kui rea ja veeru numbrite summa, mille ristumiskohas element asub, on paarisarv ja vastupidise arvuga märk, kui see arv on paaritu.
Elemendi algebralist täiendit tähistame sama nime ja sama numbriga suure tähega, mis tähistab elementi ennast.
OMADUS 9. Määraja
on võrdne mis tahes veeru (või rea) elementide ja nende algebraliste täiendite korrutistega.
Teisisõnu kehtivad järgmised võrdsused:
, ,
, .
6) Minorid ja algebralised liited.
Definitsioon. Determinandi väike element on th tellida helistas determinant-th order, mis saadakse antud determinant kustutades -nda rea ja -nda veeru, mille ristumiskohas on element .
Määramine: .
Definitsioon. -ndat järku determinandi elemendi algebraline täiend on selle minor, mis võetakse plussmärgiga, kui - paarisarv ja miinusmärgiga muidu.
Määramine: .
Teoreem. (Determinandi laiendamise kohta.)
Determinant on võrdne determinandi mis tahes rea (või veeru) elementide ja nende algebraliste komplementide korrutistega:
7) Pöördmaatriks- selline maatriks A −1 , mille korrutamisel algne maatriks A annab selle tulemusena identiteedi maatriks E:
ruutmaatriks on ümberpööratav siis ja ainult siis, kui see on mitte-mandunud, st tema determinant ei ole võrdne nulliga. Mitteruutmaatriksite jaoks ja degenereerunud maatriksid pöördmaatriksiid ei eksisteeri. Küll aga on võimalik seda mõistet üldistada ja tutvustada pseudoinverssed maatriksid, mis sarnaneb paljude omaduste pöördväärtustega.
8)Maatriksi auaste- kõrgeim järjekord alaealised see maatriks, nullist erinev
Tavaliselt tähistatakse maatriksi auastet () või . Mõlemad nimetused tulid meile võõrkeeltest ja seetõttu saab kasutada mõlemat.
Omadused
Teoreem (minoori alusel): Olgu r = rang A M maatriksi A alusmoll, siis:
põhiread ja põhiveerud on lineaarselt sõltumatud;
maatriksi A mis tahes rida (veerg) on põhiridade (veergude) lineaarne kombinatsioon.
Siin tuuakse välja need omadused, mida tavaliselt kasutatakse kõrgema matemaatika standardkursuse determinantide arvutamiseks. See on teisejärguline teema, millele vajadusel viitame ülejäänud osadest.
Niisiis, antud ruutmaatriksi $A_(n\times n)=\left(\begin(massiivi) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \lpunktid & a_(2n) \\ \lpunktid & \lpunktid & \lpunktid & \lpunktid \\ a_(n1) & a_(n2) & \lpunktid & a_(nn) \\ \end( massiiv )\paremal)$. Igal ruutmaatriksil on tunnus, mida nimetatakse determinandiks (või determinandiks). Selle kontseptsiooni olemust ma siinkohal käsitlema ei hakka. Kui see vajab selgitust, siis palun kirjutage sellest foorumisse ja ma puudutan see küsimus rohkem detaile.
Maatriksi $A$ determinant on tähistatud kui $\Delta A$, $|A|$ või $\det A$. Määrav järjekord võrdne selles olevate ridade (veergude) arvuga.
- Determinandi väärtus ei muutu, kui selle read asendatakse vastavate veergudega, s.t. $\Delta A=\Delta A^T$.
Näita Peida
Asendame selles olevad read veergudega vastavalt põhimõttele: "oli esimene rida - esimene veerg sai", "oli teine rida - teisest veerust sai":
Arvutame saadud determinandi: $\left| \begin(massiivi) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(massiivi) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37 $. Nagu näete, ei ole determinandi väärtus asendamisest muutunud.
- Kui vahetate determinandi kaks rida (veergu), muutub determinandi märk vastupidiseks.
Näide selle atribuudi kasutamisest: show\hide
Mõelge $\left| \begin(massiivi) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(massiivi) \right|$. Leiame selle väärtuse valemi nr 1 abil teist ja kolmandat järku determinantide arvutamise teemast:
$$\left| \begin(massiivi) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(massiivi) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Nüüd vahetame esimese ja teise rea. Hankige determinant $\left| \begin(massiivi) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(massiivi) \right|$. Arvutame saadud determinandi: $\left| \begin(massiivi) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(massiivi) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Seega oli algse determinandi väärtus (-37) ja muudetud reajärjekorraga determinandi väärtus on $-(-37)=37$. Determinandi märk on muutunud vastupidiseks.
- Determinant, milles rea (veeru) kõik elemendid on võrdsed nulliga, on võrdne nulliga.
Näide selle atribuudi kasutamisest: show\hide
Alates $\left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(massiivi) \right|$ kõik kolmanda veeru elemendid on nullid, siis determinant on null , st. $\left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(massiivi) \right|=0$.
- Determinant, milles teatud rea (veeru) kõik elemendid on võrdsed teise rea (veeru) vastavate elementidega, on võrdne nulliga.
Näide selle atribuudi kasutamisest: show\hide
Alates $\left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(massiivi) \right|$ kõik esimese rea elemendid on võrdsed vastava teise rea elemendid, siis on determinant null, s.t. $\left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(massiivi) \right|=0$.
- Kui determinandis on kõik ühe rea (veeru) elemendid võrdelised teise rea (veeru) vastavate elementidega, siis on selline determinant võrdne nulliga.
Näide selle atribuudi kasutamisest: show\hide
Alates $\left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(massiivi) \right|$ teine ja kolmas rida on võrdelised, st. $r_3=-3\cdot(r_2)$, siis on determinant võrdne nulliga, st. $\left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(massiivi) \right|=0$.
- Kui rea (veeru) kõigil elementidel on ühine tegur, siis saab selle teguri determinandi märgist välja võtta.
Näide selle atribuudi kasutamisest: show\hide
Mõelge $\left| \begin(massiivi) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(massiivi) \right|$. Pange tähele, et kõik teise rea elemendid jagatakse 3-ga:
$$\left| \begin(massiivi) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(massiivi) \right|=\left| \begin(massiivi) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(massiivi) \right|$$
Arv 3 on teise rea kõigi elementide ühine tegur. Võtame determinandi märgist välja kolmiku:
$$ \left| \begin(massiivi) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(massiivi) \right|=\left| \begin(massiiv) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(massiivi) \right|= 3\cdot \left| \begin(massiivi) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(massiivi) \right| $$
- Determinant ei muutu, kui kõik teatud rea (veeru) elemendid liidetakse teise rea (veeru) vastavatele elementidele, korrutades need suvalise arvuga.
Näide selle atribuudi kasutamisest: show\hide
Mõelge $\left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(massiivi) \right|$. Lisame teise rea elementidele kolmanda rea vastavad elemendid, korrutatuna 5-ga. Kirjutage see toiming järgmiselt: $r_2+5\cdot(r_3)$. Teist rida muudetakse, ülejäänud read jäävad muutumatuks.
$$ \left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(massiivi) \right| \begin(massiiv) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(massiivi)= \left| \begin(massiiv) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (massiivi) \right|= \left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(massiivi) \right|. $$
- Kui determinandi teatud rida (veerg) on teiste ridade (veergude) lineaarne kombinatsioon, siis on determinant võrdne nulliga.
Näide selle atribuudi kasutamisest: show\hide
Selgitan kohe, mida tähendab väljend "lineaarne kombinatsioon". Olgu meil s rida (või veergu): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Väljendus
$$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$
kus $k_i\in R$ nimetatakse ridade (veergude) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$ lineaarseks kombinatsiooniks.
Näiteks kaaluge järgmist determinanti:
$$ \left| \begin(massiivi) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(massiivi)\right| $$
Selles determinandis saab neljandat rida väljendada esimese kolme rea lineaarse kombinatsioonina:
$$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$
Seetõttu on vaadeldav determinant võrdne nulliga.
- Kui determinandi teatud k-nda rea (k-nda veeru) iga element on võrdne kahe liikme summaga, siis on selline determinant võrdne determinantide summaga, millest esimesel on k- rida ( k-s veerg) on esimesed liikmed ja k-nda rea (k-s veerus) teisel determinandil on teised liikmed. Nende determinantide muud elemendid on samad.
Näide selle atribuudi kasutamisest: show\hide
Mõelge $\left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(massiivi) \right|$. Kirjutame teise veeru elemendid järgmiselt: $\left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(massiivi) \right|$. Siis on selline determinant võrdne kahe determinandi summaga:
$$ \left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(massiivi) \right|= \left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(massiivi) \right|= \left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(massiivi) \right|+ \left| \begin(massiivi) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(massiivi) \right| $$
- Kahe sama järku ruutmaatriksi korrutise determinant on võrdne nende maatriksite determinantide korrutisega, s.o. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Sellest reeglist saate järgmise valemi: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
- Kui maatriks $A$ on mittesingulaarne (st selle determinant ei ole võrdne nulliga), siis $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.
Determinantide arvutamise valemid
Teise ja kolmanda järgu determinantide puhul kehtivad järgmised valemid:
\begin(võrrand) \Delta A=\left| \begin(massiivi) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(massiivi) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(võrrand) \begin(võrrand) \begin(joondatud) & \Delta A=\left| \begin(massiivi) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(massiiv) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11) \end(joondatud) \end(võrrand)
Valemite (1) ja (2) rakendamise näited on teemas "Teist ja kolmandat järku determinantide arvutamise valemid. Determinantide arvutamise näited" .
Maatriksi $A_(n\times n)$ determinanti saab laiendada i-s rida kasutades järgmist valemit:
\begin(võrrand)\Delta A=\summa\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(võrrand)
Selle valemi analoog on olemas ka veergude jaoks. Determinandi laiendamise valem j-ndas veerus on järgmine:
\begin(võrrand)\Delta A=\summa\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(võrrand)
Valemitega (3) ja (4) väljendatud reeglid on üksikasjalikult illustreeritud näidetega ja selgitatud teemas Determinandi järjekorra vähendamine. Determinandi lagunemine reas (veerus).
Toome välja veel ühe ülemise kolmnurkse ja alumise kolmnurkmaatriksi determinantide arvutamise valemi (nende mõistete selgitust vt teemast "Maatriksid. Maatriksitüübid. Põhiterminid"). Sellise maatriksi determinant on võrdne põhidiagonaali elementide korrutisega. Näited:
\begin(joondatud) &\left| \begin(massiivi) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(massiivi) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(massiivi) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(massiivi) \ parem|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(joondatud)
