lusta voltam. Hogy a gyerekek sokáig elfoglalják magukat, és maga is szunyókáljon, megkérte őket, hogy adják össze a számokat 1-től 100-ig.
Gauss gyorsan válaszolt: 5050. Ilyen gyorsan? A tanárnő nem hitte el, de a fiatal zseninek igaza volt. Ha az összes számot 1-től 100-ig adjuk össze, az a nyavalyákra vonatkozik! Gauss megtalálta a képletet:
$$ \ összeg_ (1) ^ (n) = \ frac (n (n + 1)) (2) $$
$$ \ összeg_ (1) ^ (100) = \ töredék (100 (100 + 1)) (2) = 50 \ cdot 101 = 5050 $
Hogyan csinálta? Próbáljuk meg kitalálni az 1-től 10-ig terjedő összeg példájával.
Első módszer: ossza fel a számokat párokra
Írjuk fel a számokat 1-től 10-ig egy kétsoros és öt oszlopos mátrixként:
$$ \ balra (\ kezdete (tömb) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 \ end (tömb) \ jobbra) $$
Érdekes módon az egyes oszlopok összege 11 vagy $ n + 1 $. És van 5 ilyen számpár vagy $ \ frac (n) (2) $. Megkapjuk a képletünket:
$$ Szám \ Oszlopok \ cdot Sum \ Numbers \ in \ Columns = \ frac (n) (2) \ cdot (n + 1) $$
Ha páratlan számú kifejezés?
Mi van, ha összeadja a számokat 1-től 9-ig? Hiányzik egy szám, hogy öt pár legyen, de vehetünk nullát:
$$ \ balra (\ kezdete (tömb) (c) 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \ vége (tömb) \ jobbra) $$
Az oszlopok összege most 9 vagy pontosan $ n $. És az oszlopok száma? Még mindig öt oszlop van (hála a nullának!), De most az oszlopok száma $ \ frac (n + 1) (2) $ (y van $ n + 1 $ és fele az oszlopok számának).
$$ Szám \ oszlopok \ cdotSum \ numbers \ in \ oszlopok = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$
Második mód: duplázd meg és írj két sorba
A számok összegét ebben a két esetben kicsit másképp számítjuk ki.
Esetleg van rá mód, hogy páros és páratlan számú tagra ugyanúgy kiszámoljuk az összeget?
Ahelyett, hogy a számokból egyfajta "hurkot" csinálnánk, írjuk őket két sorba, miközben a számok számát megszorozzuk kettővel:
$$ \ balra (\ start (tömb) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 és 1 \ vége (tömb) \ jobbra) $$
A különös esethez:
$$ \ balra (\ start (tömb) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ vége (tömb) \ right) $$
Látható, hogy mindkét esetben az oszlopok összege $ n + 1 $, az oszlopok száma pedig $ n $.
$$ Szám \ oszlopok \ cdot Összeg \ számok \ \ oszlopokban = n \ cdot (n + 1) $$
De csak egy sor összegére van szükségünk, tehát:
$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$
Harmadik módszer: készíts téglalapot
Van még egy magyarázat, próbáljuk meg összehajtani a kereszteket, mondjuk vannak keresztjeink:
Úgy néz ki, mint a második út eltérő ábrázolása – a piramis minden következő sorában több kereszt és kevesebb nulla található. Az összes kereszt és nulla száma a téglalap területe.
$$ Terület = Magasság \ cdot Szélesség = n \ cdot (n + 1) $$
De szükségünk van a keresztek összegére, tehát:
$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$
Negyedik út: számtani átlag
Ismert: $ Átlag \ Aritmetika = \ frac (összeg) (Szám \ tagok) $
Ekkor: $ Összeg = átlag \ aritmetika \ cdot Szám \ tagok $
Ismerjük a tagok számát - $ n $. Hogyan fejezzük ki a számtani átlagot?
Figyeljük meg, hogy a számok egyenletesen oszlanak el. Minden nagy számhoz van egy kicsi a másik végén.
1 2 3, átlagos 2
1 2 3 4, átlag 2,5
Ebben az esetben a számtani átlag az 1 és $ n $ számok számtani középértéke, azaz $ Átlag \ aritmetic = \ frac (n + 1) (2) $
$$ Összeg = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$
Ötödik út: integrál
Mindannyian tudjuk, hogy egy határozott integrál összeget számít ki. Számítsuk ki az 1-től 100-ig terjedő összeget egy integrállal? Igen ám, de először legalább keressük meg az 1-től 3-ig tartó összeget. Legyenek számaink y (x) függvényei. Rajzoljunk egy képet:
A három téglalap magassága pontosan az 1-től 3-ig terjedő számok. A „sapkák” közepén húzzunk egy egyenest:
Jó lenne megtalálni ennek az egyenesnek az egyenletét. Az (1,5; 1) és (2,5; 2) pontokon halad át. $ y = k \ cdot x + b $.
$$ \ kezdődik (esetek) 2,5k + b = 2 \\ 1,5k + b = 1 \ vége (esetek) \ Jobbra nyíl k = 1; b = -0,5 $$
Így annak az egyenesnek az egyenlete, amellyel közelíthetjük téglalapjainkat: $ y = x-0,5 $
A téglalapokról levágja a sárga háromszögeket, de felülről "ráad" kéket. A sárga egyenlő a kékkel. Először is győződjünk meg arról, hogy az integrál használata a Gauss-képlethez vezet:
$$ \ int_ (1) ^ (n + 1) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2 )) (|) ^ (n + 1) _ (1) = \ frac ((n + 1) ^ (2)) (2) - \ frac (n + 1) (2) = \ frac (n ^ ( 2) + 2n + 1-n-1) (2) = \ frac (n ^ (2) + n) (2) $$
Most számoljuk ki az összeget 1-től 3-ig, x-szel 1-től 4-ig veszünk úgy, hogy mind a három téglalapunk az integrálba essen:
$$ \ int_ (1) ^ (4) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (4) _ (1) = \ frac (4 ^ (2)) (2) -2- (0,5-0,5) = 6 $$
$$ \ int_ (1) ^ (101) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (101) _ (1) = \ frak (101 ^ (2)) (2) -50,5- (0,5-0,5) = 5100,5-50,5 = 5050 $$
És miért van szükség mindezekre?
$$ \ frac (n (n + 1)) (2) = \ frac (n ^ (2)) (2) + \ frac (n) (2) $$
Az első napon egy ember érkezett az oldalára, a második napon kettő... Minden nap 1-gyel nőtt a látogatások száma. Hány látogatást ér el az oldal az 1000. nap végére?
$$ \ frac (n (n + 1)) (2) = \ frac (n ^ (2)) (2) + \ frac (n) (2) = \ frak (1000 ^ (2)) (2) + \ frak (1000) (2) = 500 000 + 500 = 500 500 $
A "Szórakoztató matematika" ciklus azoknak a gyerekeknek szól, akik szeretik a matematikát, és a szülőknek, akik időt fordítanak gyermekeik fejlesztésére, érdekes és szórakoztató feladatokat, fejtörőket "dobva" nekik.
A sorozat első cikke a Gauss-szabálynak szól.
Egy kis történelem
A híres német matematikus, Karl Friedrich Gauss (1777-1855) kora gyermekkora óta különbözött társaitól. Annak ellenére, hogy szegény családból származott, elég korán megtanult olvasni, írni és számolni. Életrajzában még arról is szó esik, hogy 4-5 éves korában, pusztán megfigyeléssel ki tudta javítani apja számítási hibáját.
Egyik első felfedezését 6 évesen tette egy matematika órán. A tanárnak sokáig el kellett ragadnia a gyerekeket, és a következő problémát javasolta:
Keresse meg az összes természetes szám összegét 1 és 100 között.
A fiatal Gauss elég gyorsan megbirkózott ezzel a feladattal, és talált egy érdekes mintát, amely széles körben elterjedt és a mai napig használatos a szóbeli számolásban.
Próbáljuk meg megoldani ezt a problémát szóban. De először vegyük a számokat 1-től 10-ig:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Nézze meg alaposan ezt az összeget, és próbálja kitalálni, mit láthat Gauss? A válaszadáshoz jó ötlettel kell rendelkeznie a számok összetételéről.
Gauss a következőképpen csoportosította a számokat:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Így a kis Karl 5 számpárt kapott, amelyek mindegyike külön-külön 11-et ad. Ezután a természetes számok 1 és 10 közötti összegének kiszámításához szükséges
Térjünk vissza az eredeti problémához. Gauss észrevette, hogy az összegzés előtt a számokat párokba kell csoportosítani, és így feltalált egy algoritmust, amelynek köszönhetően gyorsan hozzáadhat számokat 1-től 100-ig:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Határozza meg a párok számát egy természetes számsorozatban! Ebben az esetben 50 darab van.
Összefoglaljuk ennek a sorozatnak az első és utolsó számát. Példánkban ezek 1 és 100. 101-et kapunk.
A sorozat első és utolsó tagjának eredményül kapott összegét megszorozzuk a sorozat párjainak számával. Azt kapjuk, hogy 101 * 50 = 5050
Ezért az 1-től 100-ig terjedő természetes számok összege 5050.
Problémák a Gauss-szabály használatával kapcsolatban
És most olyan problémákat ajánlunk, amelyekben a Gauss-szabályt valamilyen mértékben alkalmazzák. Egy negyedik osztályos tanuló eléggé képes megérteni és megoldani ezeket a problémákat.
Lehetőséget adhat a gyermeknek arra, hogy önmagát érvelje, így ő maga "találta fel" ezt a szabályt. Vagy szétszedheti, és megnézheti, hogyan tudja alkalmazni. Az alábbi feladatok között vannak olyan példák, amelyekben meg kell értenie, hogyan módosíthatja a Gauss-szabályt, hogy azt egy adott sorozatra alkalmazza.
Mindenesetre ahhoz, hogy a gyermek ezzel operáljon a számításaiban, meg kell értenie a Gauss-algoritmust, vagyis a helyes párokra osztás és számolás képességét.
Fontos! Ha egy képletet megértés nélkül memorizálunk, az nagyon gyorsan feledésbe merül.
1. probléma
Keresse meg a számok összegét:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Megoldás.
Először is megadhatja a gyermeknek a lehetőséget, hogy maga oldja meg az első példát, és felajánlhatja, hogy megtalálja a módját, amellyel ezt könnyen megteheti. Ezután elemezze ezt a példát a gyermekkel együtt, és mutassa meg, hogyan csinálta Gauss. A legjobb, ha felír egy sorozatot az áttekinthetőség kedvéért, és a számpárokat olyan sorokkal köti össze, amelyek összege azonos számot ad. Fontos, hogy a gyermek megértse a párok kialakítását - a fennmaradó számok közül a legkisebbet és a legnagyobbat vesszük, feltéve, hogy a sorban lévő számok száma páros.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Feladat2
9 súlyú 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Lehetséges ezeket a súlyokat három egyenlő súlyú kupacra osztani?
Megoldás.
A Gauss-szabály segítségével megtaláljuk az összes súly összegét:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (d)
Tehát, ha csoportosíthatjuk a súlyokat úgy, hogy minden halomban 15 g össztömegű nehezékek legyenek, akkor a probléma megoldódott.
Az egyik lehetőség:
- 9g, 6g
- 8g, 7g
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Keressen más lehetőségeket saját maga gyermekével együtt.
Fordítsd a gyermek figyelmét arra, hogy az ilyen jellegű problémák megoldása során érdemes mindig nagyobb súllyal (számmal) kezdeni a csoportosítást.
3. probléma
Lehetséges-e az óra számlapját egyenes vonallal két részre osztani úgy, hogy az egyes részeken lévő számok összege egyenlő legyen?
Megoldás.
Először is alkalmazza a Gauss-szabályt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 számok sorozatára: keresse meg az összeget, és nézze meg, osztható-e 2-vel:
Szóval lehet osztani. Most pedig lássuk, hogyan.
Ezért egy vonalat kell húzni a számlapon úgy, hogy 3 pár essen az egyik felébe, három pedig a másikba.
Válasz: a sor a 3 és 4, majd a 9 és 10 között fog futni.
Feladat4
Lehet-e egy óra számlapján két egyenes vonalat húzni úgy, hogy minden részben azonos legyen a számok összege?
Megoldás.
Először is alkalmazza a Gauss-szabályt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 számok sorozatára: keresse meg az összeget, és nézze meg, osztható-e 3-mal:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
A 78 maradék nélkül osztható 3-mal, így osztható. Most pedig lássuk, hogyan.
Gauss szabálya szerint 6 számpárt kapunk, amelyek mindegyike 13-at ad:
1 és 12, 2 és 11, 3 és 10, 4 és 9, 5 és 8, 6 és 7.
Ezért a számlapon vonalakat kell húzni úgy, hogy minden részbe 2 pár essen.
Válasz: az első sor a 2 és 3, majd a 10 és 11 között fog futni; a második sor a 4 és 5, majd a 8 és 9 között van.
5. probléma
Egy madárraj repül. Egy madár (vezér) van előtte, utána kettő, majd három, négy stb. Hány madár van a nyájban, ha 20 van az utolsó sorban?
Megoldás.
Azt kapjuk, hogy össze kell adnunk számokat 1-től 20-ig. És egy ilyen összeg kiszámításához használhatja a Gauss-szabályt:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
6. probléma
Hogyan helyezzünk el 45 nyulat 9 ketrecbe úgy, hogy minden ketrecben eltérő számú nyul legyen?
Megoldás.
Ha a gyermek úgy döntött és megértéssel értette az 1. feladat példáit, akkor azonnal eszébe jut, hogy 45 az 1-től 9-ig terjedő számok összege. Ezért a következőképpen ültetünk nyulakat:
- az első cella 1,
- a második - 2,
- harmadik - 3,
- nyolcadik - 8,
- kilencedik - 9.
De ha a gyermek nem tudja azonnal kitalálni, akkor próbálja rávenni, hogy az ilyen problémák nyers erővel is megoldhatók, és a minimális számmal kell kezdeni.
7. probléma
Számítsa ki az összeget a Gauss-trükk segítségével:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Megoldás.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
8. probléma
Van egy 12 súlykészlet: 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g, 8 g, 9 g, 10 g, 11 g, 12 g. A készletből 4 súlyt távolítottak el, amelyek össztömege megegyezik a teljes súlykészlet össztömegének egyharmadával. Lehetséges-e a megmaradt súlyokat mindkét serpenyőre két 4 db-os mérlegre helyezni úgy, hogy egyensúlyban legyenek?
Megoldás.
A tömegek össztömegének meghatározásához a Gauss-szabályt alkalmazzuk:
1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (d)
Kiszámoljuk az eltávolított súlyok tömegét:
Ezért a fennmaradó súlyokat (78-26 = 52 g össztömeggel) 26 g-ot kell helyezni a mérleg minden serpenyőjére, hogy azok egyensúlyban legyenek.
Nem tudjuk, mely súlyokat távolítottuk el, ezért minden lehetséges lehetőséget mérlegelnünk kell.
A Gauss-szabályt alkalmazva a súlyok 6 egyenlő súlyú párra oszthatók (egyenként 13 g):
1d és 12d, 2d és 11d, 3d és 10, 4d és 9d, 5d és 8d, 6d és 7d.
Akkor a legjobb megoldás, ha 4 súly eltávolításakor a fentiek közül két párat eltávolítanak. Ebben az esetben 4 párunk lesz: 2 pár az egyik skálán és 2 pár a másikon.
A legrosszabb forgatókönyv az, amikor 4 eltávolított súly 4 párt tör el. 2 darab bontatlan párunk lesz 26g össztömeggel, ami azt jelenti, hogy az egyik mérleg serpenyőre tesszük, a többi mérleget pedig a másik mérlegre tehetjük és szintén 26g-osak lesznek.
Sok sikert gyermekei fejlődéséhez.
Ma megvizsgáljuk az egyik matematikai feladatot, amelyet az unokaöcsémmel kellett megoldanom. Ezután PHP-n keresztül megvalósítjuk. És több lehetőséget is megvizsgálunk a probléma megoldására.
A feladat:
Gyorsan össze kell adnia egymás után az összes számot 1-től 100-ig, és meg kell találnia az összes szám összegét.
A probléma megoldása:
Valójában, amikor először megoldottuk ezt a problémát, nem helyesen oldottuk meg! De nem írunk a probléma rossz megoldásáról.
A megoldás pedig olyan egyszerű és triviális – össze kell adni 1-et és 100-at, és meg kell szorozni 50-zel. (Karl Gausnak volt ilyen megoldása, amikor nagyon fiatal volt...)
(1 + 100)*50.
Hogyan lehet ezt a problémát megoldani php-n keresztül?
Számítsa ki az összes szám összegét 1 és 100 között PHP segítségével.
Amikor már megoldottuk ezt a problémát, úgy döntöttünk, megnézzük, mit írnak az interneten erről a kérdésről! És találtam egy olyan formát, ahol a fiatal tehetségek nem tudták megoldani ezt a problémát, és megpróbáltam ezt egy cikluson keresztül megtenni.
Ha nincs különösebb feltétele a hurkon keresztüli megtételének, akkor nincs értelme a hurkon keresztül csinálni!
És igen! Ne felejtsd el, hogy a php-ben sokféleképpen megoldhatod a problémát! egy.
Ez a kód általában bármilyen számsort hozzáadhat, egytől kezdve a végtelenig.
Valósítsuk meg megoldásunkat a legegyszerűbb formájában:
$ end = $ _POST ["peremennaya"];
$ res = $ vége / 2 * ($ i + $ vége);
