Բարդ ինտեգրալներ

Այս հոդվածը լրացնում է անորոշ ինտեգրալների թեման, եւ դրա մեջ այն ինտեգրումները, որոնք ես համարում եմ բավականին բարդ: Դասը ստեղծվել է այցելուների կրկնակի պահանջների հիման վրա, որոնք ցանկություններ են հայտնել, որպեսզի կայքում ավելի բարդ օրինակներ ապամոնտաժվեն:

Ենթադրվում է, որ այս տեքստի ընթերցողը լավ պատրաստված է եւ գիտի, թե ինչպես կիրառել ինտեգրման հիմնական տեխնիկան: Teapots- ը եւ մարդիկ, ովքեր այնքան էլ վստահ չեն ինտեգրալների հետ, պետք է անդրադառնան առաջին դասին - Անորոշ ինտեգրալ: Լուծումների օրինակներՈրտեղ կարող եք տիրապետել թեմային գրեթե զրոյով: Ավելի փորձառու ուսանողներ կարող են ծանոթանալ ինտեգրման տեխնիկային եւ մեթոդներին, որոնք դեռեւս չեն հանդիպել:

Ինչ են համարվելու ինտեգրալներ:

Նախ, մենք կքննարկենք արմատներով ինտեգրալները, լուծելու, ինչը հետեւողականորեն օգտագործվում է Փոխարինելը փոփոխականին մի քանազոր Մասների ինտեգրում, Այսինքն, մի օրինակ, երկու ընդունելություն համակցված է: Եվ նույնիսկ ավելին:

Այնուհետեւ մենք կծանոթանանք հետաքրքիր եւ բնօրինակին Մեթոդի տեղեկատվությունը Ինքներդ ձեզ համար ինտեգրալ, Այս մեթոդը լուծվում է ոչ այնքան քիչ ինտեգրալներ:

Ծրագրի երրորդ թիվը կանցնի ինտեգրալներ այն բարդ ֆրակցիաներից, որոնք նախորդ հոդվածներում թռչում են դրամարկղերի հետ:

Չորրորդ, տրիգոնոմետրիկ գործառույթների լրացուցիչ ինտեգրումները կբաժանվեն: Մասնավորապես, կան մեթոդներ, որոնք թույլ են տալիս խուսափել համընդհանուր տրիգոնոմետրիկ փոխարինման ժամանակատարից:

(2) Ինտեգրենդի գործառույթում, անվանումով համարանիշը:

(3) Օգտագործեք անորոշության անբաժանելիության գծային գույքը: Անմիջապես վերջին ինտեգրալում Գործառույթը մաքրեք դիֆերենցիալի նշանի տակ.

(4) Վերցրեք մնացած ինտեգրումները: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ լոգարիթմում կարող եք օգտագործել փակագծեր, այլ ոչ թե մոդուլ:

(5) Մենք փոխարինում ենք անցկացնում, արտահայտելով «TE» ուղղակի փոխարինումից.

Մասոչիացի ուսանողները կարող են անտարբերեցնել պատասխանը եւ ստանալ բնօրինակ ինտեգրական գործառույթը, ինչպես ես պարզապես արեցի: Ոչ, ոչ, ես ճիշտ իմաստով կատարեցի ստուգումը \u003d)

Ինչպես տեսնում եք, որոշման ընթացքում ես պետք է օգտագործեի լուծման նույնիսկ երկու որոշում, այնպես որ նմանատիպ ինտեգրալների նկատմամբ հաշվեհամասեր, ձեզ հարկավոր է վստահ ինտեգրման հմտություններ եւ ոչ թե ամենափոքր փորձը:

Գործնականում, իհարկե, քառակուսի արմատն ավելի տարածված է, ահա անկախ լուծման երեք օրինակ.

Օրինակ 2.

Գտնել Անորոշ ինտեգրալ

Օրինակ 3.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Օրինակ 4.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Նույն տիպի այս օրինակները, ուստի հոդվածի վերջում ամբողջական լուծումը կլինի միայն օրինակ 2-ը, 3-4-ը `մեկ պատասխան: Ինչ փոխարինում է դիմելու որոշումների սկզբում, կարծում եմ ակնհայտորեն: Ինչու ես վերցրեցի նույն տեսակի օրինակներ: Հաճախ հայտնաբերվում է ձեր դերում: Ավելի հաճախ, գուցե, պարզապես նման բան .

Բայց ոչ միշտ, երբ Arctgennes- ի, sinus- ի, կոսինի, էքսպոնենտալ եւ այլն առանձնահատկությունների տակ են գծային գործառույթի արմատը, պետք է կիրառվեն մի քանի մեթոդներ: Որոշ դեպքերում հնարավոր է «ազատվել», այսինքն `փոխարինումից անմիջապես հետո ձեռք է բերվում մի պարզ ինտեգրալ, որը տարրական տեւում է: Առաջարկվող առաջադրանքներից ամենադյուրին 4-ը օրինակ է, դրանում փոխարինվելուց հետո այն ստացվում է համեմատաբար պարզ ինտեգրալ:

Մեթոդի տեղեկատվությունը Ինքներդ ձեզ համար ինտեգրալ

Սրամիտ եւ գեղեցիկ մեթոդ: Անմիջապես հաշվի առեք ժանրի դասականները.

Օրինակ 5.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Արմատի տակ կա քառակուսի երկխոն, եւ երբ փորձում է ինտեգրվել այս օրինակը, թեյնիկը կարող է տառապել ժամերով: Նման ինտեգրալը վերցվում է մասերում եւ իջնում \u200b\u200bինքն իրեն: Սկզբունքորեն, դժվար չէ: Եթե \u200b\u200bգիտեք, թե ինչպես:

Նշեք լատինական նամակի համար նախատեսված անբաժանելի եւ լուծումը սկսեք.

Մենք ինտեգրվում ենք մասերում.

(1) Մենք պատրաստում ենք փոխարինման գործառույթ հողի բաժանման համար:

(2) Մենք բաժանում ենք փոխարինման գործառույթը: Միգուցե ոչ բոլորին, ես ավելի մանրամասն գրելու եմ.

(3) Օգտագործեք անորոշության անբաժանելիության գծային գույքը:

(4) Վերցրեք վերջին ինտեգրալը («Երկար» լոգարիթմ):

Այժմ մենք նայում ենք որոշման հենց սկզբին.

Եվ վերջում.

Ինչ է պատահել? Մեր մանիպուլյացիաների արդյունքում ինտեգրալը ինքն իրեն հասավ:

Մենք հավասարեցնում ենք սկիզբը եւ ավարտը.

Մենք փոխանցում ենք ձախ կողմում `նշանի փոփոխությամբ.

Եւ Դեմոը քանդում է աջ կողմը: Որպես արդյունք:

Կայուն, խստորեն ասած, պետք է ավելի շուտ ավելացվեր, բայց վերջում վերագրեց այն: Ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս կարդալ այն, ինչ այստեղ է խստության համար.

Նշում: Լուծման ավելի խիստ եզրափակիչ փուլը այսպիսին է.

Այս կերպ:

Անընդհատ կարող է օգտագործվել: Ինչու կարող եք վերաթողարկել: Քանի որ այն դեռ տեւում է Ոչ մի Արժեքներ, եւ այս իմաստով կայունության միջեւ եւ տարբերություն չկա:
Որպես արդյունք:

Վերանայված կայունության նման հնարքը լայնորեն օգտագործվում է Դիֆերենցիալ հավասարումներ, Եվ այնտեղ ես խիստ կլինեմ: Եվ ահա այդպիսի ազատությունը ինձ թույլ է տալիս միայն, որպեսզի չխառնվի ձեզ ավելորդ բաներով եւ կենտրոնանանք Ինտեգրացիայի մեթոդի վրա:

Օրինակ 6.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Ինքնադրսեւորման եւս մեկ բնորոշ անբաժանելի: Ամբողջական լուծում եւ պատասխան դասի վերջում: Նախորդ օրինակի պատասխանի տարբերությունը կլինի:

Եթե \u200b\u200bտակ Քառակուսի արմատ Կա քառակուսի եռակի, ցանկացած դեպքում լուծումը կրճատվում է երկու ապամոնտաժված օրինակների:

Օրինակ, հաշվի առեք ինտեգրալը , Այն ամենը, ինչ դուք պետք է անեք, նախա- Ընտրեք ամբողջական հրապարակ:
.
Հաջորդը, գծային փոխարինում է իրականացվում, որն արժե «առանց որեւէ հետեւանքների».
Արդյունքում ստացվում է ինտեգրալ: Ինչ-որ ծանոթ բան, այնպես չէ:

Կամ նման օրինակ, քառակուսիով:
Մենք կարեւորում ենք լիարժեք հրապարակ.
Եվ, գծային փոխարինումից հետո մենք ստանում ենք ինտեգրալ, որը լուծվում է նաեւ արդեն դիտարկված ալգորիթմի կողմից:

Դիտարկենք եւս երկու Բնորոշ օրինակ Ընդունելության մասին տեղեկատվություն Ինքներդ ձեզ համար:
- sinus- ի կողմից բազմապատկված ցուցահանդեսից ինտեգրալ;
- ցուցահանդեսից ինտեգրալը բազմապատկվում է կոսինով:

Թվարկված ինտեգրալներում մասերում պետք է երկու անգամ ինտեգրվի.

Օրինակ 7.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Ինտեգիրտ գործառույթը Sinus- ի կողմից բազմապատկված ցուցահանդես է:

Մենք երկու անգամ մասերի մեջ ենք դնում եւ ինտեգրալը բերում ինքներդ ձեզ.

Մասերի երկկողմանի ինտեգրման արդյունքում ինտեգրալը ինքն իրեն է հասել: Մենք հավասարեցնում ենք սկիզբը եւ ավարտական \u200b\u200bլուծումները.

Մենք փոխանցում ենք ձախ կողմում `նշանի փոփոխությամբ եւ արտահայտում ենք մեր ինտեգրալը.

Պատրաստ: Բացի այդ, ցանկալի է պայքարել աջ կողմի, այսինքն: Փակագծեր պատրաստելու համար `փակագծերի համար եւ փակագծերում« գեղեցիկ »կարգով սինուս դնելու համար:

Հիմա եկեք վերադառնանք օրինակի սկիզբը, ավելի ճիշտ `մասերի ինտեգրմանը.

Որովհետեւ մենք նշանակեցինք ցուցահանդեսը: Հարցը ծագում է, միշտ անհրաժեշտ է վկայակոչել ցուցահանդեսին: Ոչ անհրաժեշտ. Իրականում, ուսումնասիրված ինտեգրալում սկզբունք Ոչ մի տարբերությունԻնչ վերաբերում է դրան, հնարավոր եղավ գնալ մեկ այլ ճանապարհով.

Ինչու է հնարավոր: Քանի որ ցուցահանդեսը վերածվում է ինքնուրույն (եւ տարբերակման ընթացքում եւ ինտեգրման ընթացքում) կոսինով սինուսը փոխադարձաբար դառնում է միմյանց (կրկին `տարբերակման ժամանակ):

Այսինքն, տրիգոնոմետրիկ գործառույթը կարող է նշվել: Բայց, քննված օրինակով, դա ավելի քիչ բանական է, քանի որ կոտորակները կհայտնվեն: Եթե \u200b\u200bցանկանում եք, կարող եք փորձել լուծել այս օրինակը երկրորդ ձեւով, պատասխանները պետք է համընկնեն:

Օրինակ 8:

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Սա օրինակ է անկախ լուծման համար: Որոշելուց առաջ մտածեք, որ այս դեպքում ավելի ձեռնտու է այս դեպքում `ցուցիչ կամ տրիգոնոմետրիկ գործառույթ նշանակելու համար: Ամբողջական լուծում եւ պատասխան դասի վերջում:

Եվ, իհարկե, մի մոռացեք, որ այս դասի պատասխանների մեծ մասը բավականին հեշտ է ստուգել տարբերակումը:

Օրինակները չեն համարվել ամենադժվարը: Գործնականում, ինտեգրալները ավելի հաճախ հայտնաբերվում են, որտեղ կա մշտական \u200b\u200bցուցիչում եւ տրիգոնոմետրիկ գործառույթի վիճաբանության մեջ, օրինակ. Նմանատիպ ինտեգրալում միտքը պետք է շատերը պատրաստի, ես հաճախ շփոթում եմ ինձ: Փաստն այն է, որ ֆրակցիաների հայտնվելու հավանականությունը լուծելու հարցում եւ շատ բան է կորցնում կորցնելու համար: Բացի այդ, նշանների սխալների հավանականությունը հիանալի է, խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ցուցիչի ցուցանիշում կա մինուս նշան, եւ դա լրացուցիչ դժվարություն է առաջացնում:

Վերջնական փուլում հաճախ ստացվում է հետեւյալը.

Նույնիսկ որոշման ավարտին պետք է լինի ծայրաստիճան ուշադիր եւ իրավասու զբաղվել կոտորակներով.

Բարդ ֆրակցիաների ինտեգրումը

Դանդաղորեն հասնում ենք դասի Հասարակածին եւ սկսում եմ հաշվի առնել ֆրակցիաներից ինտեգրումները: Կրկին, ոչ բոլորն են գերհագեցած, պարզապես մեկ պատճառով կամ մեկ այլ օրինակներ այլ հոդվածներում մի փոքր «թեմայի մեջ չէ»:

Մենք շարունակում ենք արմատների թեման

Օրինակ 9.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Դենոմինատորում արմատի տակ կա քառակուսի եռահարկ գումարած «IKSA» - ի տեսքով «բարելավում» արմատից դուրս: Այս տեսակի անբաժանելիությունը լուծվում է ստանդարտ փոխարինման միջոցով:

Մենք որոշում ենք.

Այստեղ փոխարինումը պարզ է.

Փոխարինումից հետո մենք նայում ենք կյանքին.

(1) փոխարինումից հետո մենք տալիս ենք ընդհանուր դավանանքի տերմիններին արմատի տակ:
(2) Մենք դիմանում ենք արմատից:
(3) NEMERATOR եւ DESOMINATOR Նվազում է: Միեւնույն ժամանակ, արմատի տակ ես վերադասավորում էի բաղադրիչները հարմարավետ կարգով: Որոշ փորձով, քայլերը (1), (2) կարող են բաց թողնել, կատարելով բանավոր մեկնաբանություններ:
(4) արդյունքում ստացված ինտեգրալը, ինչպես հիշում եք դասը Մի քանի ֆրակցիաների ինտեգրումը, որոշում է Ամբողջ հրապարակի բաշխման մեթոդ, Ընտրեք ամբողջական հրապարակ:
(5) Ինտեգրումը Մենք ստանում ենք առավելագույն «երկար» լոգարիթմ:
(6) փոխարինում անցկացնել: Եթե \u200b\u200bսկզբում, ապա ետ.
(7) Վերջնական գործողությունը ուղղված է արդյունքի hairstyle- ին. Արմատի տակ նրանք բերում են բաղադրիչները ընդհանուր դավանանքի մեջ եւ դիմանում են արմատից:

Օրինակ 10.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Սա օրինակ է անկախ լուծման համար: Այստեղ անընդհատ ավելացվել է միայնակ «ICSU» - ին, իսկ փոխարինումը գրեթե նույնն է.

Միակ բանը, որ ձեզ հարկավոր է լրացուցիչ անել, արտահայտվում է «x» փոխարինումից.

Ամբողջական լուծում եւ պատասխան դասի վերջում:

Երբեմն արմատի տակ գտնվող այդպիսի անբաժանելիության մեջ կարող է լինել քառակուսի բշտիկ, այն չի փոխում լուծման լուծումը, դա կլինի նույնիսկ ավելի հեշտ: Զգացեք տարբերությունը.

Օրինակ 11.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Օրինակ 12.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

ՍՏԵՂԾԱԳԻՏԱԿԱՆ ՈՐՈՇՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ՊԱՏԱՍԽԱՆ դասի վերջում: Հարկ է նշել, որ օրինակ 11-ը ճիշտ է bINOMIAL INTEGRAL, որի որոշումը քննարկվեց դասում Իռացիոնալ գործառույթներից ինտեգրալներ.

2-րդ աստիճանի աստիճանի անվիճելի բազմամոլից բաղկացուցիչ մասնագիտություն

(բազմամյա դավանանքի մեջ)

Ավելի հազվադեպ, բայց, այնուամենայնիվ, հանդիպումը Գործնական օրինակներ Ինտեգրալի տեսակը:

Օրինակ 13.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Բայց վերադառնալ օրինակ Երջանիկ համար 13 (Անկեղծորեն, չհամապատասխանեց): Այս ինտեգրալը նույնպես այն կատեգորիայից է, որոնցով դուք կարող եք բավականին գեղեցիկ լինել, եթե չգիտեք, թե ինչպես լուծել:

Որոշումը սկսվում է արհեստական \u200b\u200bվերափոխումից.

Ինչպես բաժանել թվագրողը դոմինատորին, կարծում եմ, որ ամեն ինչ հասկանալի է:

Արդյունքում ստացված ինտեգրալը վերցված է մասերում.

Տեսադաշտի համար (- բնական համար) հանվել է պարբերական Աստիճանի իջեցման բանաձեւ.
որտեղ - Ինտեգրալ աստիճան ցածր:

Ես համոզված կլինեմ այս բանաձեւի արդարության մասին մարգարեության անբաժանելիության համար:
Այս դեպքում, մենք օգտագործում ենք բանաձեւը.

Ինչպես տեսնում եք, պատասխանները համընկնում են:

Օրինակ 14.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Սա օրինակ է անկախ լուծման համար: Լուծման նմուշում վերոհիշյալ բանաձեւը երկու անգամ էր:

Եթե \u200b\u200bաստիճանի տակ է գտնվում Անկախ բազմապատկիչներից Քառակուսի եռակի, ապա լուծումը իջնում \u200b\u200bէ B Baked- ի, ընդգծելով ամբողջական հրապարակ, օրինակ.

Ինչ անել, եթե դուք լրացուցիչ եք համարանիշում, կա բազմամհրոմ: Այս դեպքում օգտագործվում է անորոշ գործակիցների մեթոդը, եւ ինտեգրված գործառույթը նկարագրված է ֆրակցիաների քանակով: Բայց նման օրինակի իմ պրակտիկայում Ես չհանդիպեցի, այնպես որ ես կարոտել եմ Այս դեպքը Հոդվածում Կոտրիտալ ռացիոնալ գործառույթից ինտեգրալներԵս կարոտում եմ եւ հիմա: Եթե \u200b\u200bայդպիսի ինտեգրալը դեռ բավարարում է, տեսեք դասագիրքը. Այնտեղ ամեն ինչ պարզ է: Ես նպատակահարմար չեմ համարում ներառել նյութը (նույնիսկ պարզ), հանդիպման հավանականությունը, որի հետ նա ձգտում է զրոյի:

Բարդ եռանկյունաձեւ գործառույթների ինտեգրում

Օրինակների մեծ մասի համար ածական «համալիրը» պայմանականորեն պայմանական է: Եկեք սկսենք տանգենտներից եւ կոստանգեններից բարձր աստիճաններով: Բանգենտ եւ Կոտանանգենտ լուծելու մեթոդների տեսանկյունից գրեթե նույնը, այնպես որ ես ավելի շատ կխոսեմ շոշափելիքի մասին, նկատի ունենալով, որ ինտեգրալի լուծման ցուցաբերված ընդունումը նույնպես արդար է եւ կոլանգենում:

Վերը նշված դասի վրա մենք համարեցինք Ունիվերսալ տրիգոնոմետրիկ փոխարինում Տրիգոնոմետրիկ գործառույթներից ինտեգրալների որոշակի տեսակը լուծելու համար: Համընդհանուր տրիգոնոմետրիկ փոխարինման բացակայությունն այն է, որ երբ այն օգտագործվում է, հաճախ ծանր հաշվարկներով ծանրակշիռ ինտեգրալներ են առաջանում: Եվ համընդհանուր տրիգոնոմետրիկ փոխարինման որոշ դեպքերում կարելի է խուսափել:

Դիտարկենք մեկ այլ կանոնական օրինակ, ստորաբաժանումից բաղկացած անբաժանելիությունը բաժանվեց Սինուսի.

Օրինակ 17.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Այստեղ դուք կարող եք օգտագործել համընդհանուր տրիգոնիկ փոխարինում եւ ստանալ պատասխան, բայց կա ավելի ռացիոնալ ուղի: Յուրաքանչյուր քայլի համար ես ամբողջական լուծում կտամ.

(1) Օգտագործեք երկակի անկյունային սինուսի տրիգոնոմետրիկ բանաձեւը:
(2) Մենք իրականացնում ենք արհեստական \u200b\u200bվերափոխում. Դենոմինատորում մենք բաժանվում եւ բազմապատկում ենք:
(3) Դենոմինատորի հայտնի բանաձեւի համաձայն, մենք կոտորածում ենք շոշափելի:
(4) Դիֆերենի նշանի տակ մաքրեք գործառույթը:
(5) Վերցրեք ինտեգրալը:

Զույգ Պարզ օրինակներ Ինքնուրույն լուծումների համար.

Օրինակ 18.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Նշում. Առաջին առաջին գործողությունը պետք է օգտագործվի բանաձեւի կողմից Եւ ուշադիր իրականացնել նման գործողությունների նախորդ օրինակին:

Օրինակ, 19:

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Դե, սա շատ պարզ օրինակ է:

Դասի վերջում լիարժեք լուծումներ եւ պատասխաններ:

Կարծում եմ, հիմա ոչ ոք խնդիրներ չունի ինտեգրալների հետ.
Եվ այլն

Որն է մեթոդի գաղափարը: Գաղափարն այն է, որ վերափոխումների օգնությամբ «Եռանկյունաչափական բանաձեւերը» ինտեգրման մեջ կազմակերպելու են միայն տանգենտներ եւ շոշափելի ածանցյալ: Այսինքն, խոսքը փոխարինելու մասին է. , 17-19 օրինակներում մենք իրականում կիրառեցինք այս փոխարինումը, բայց ինտեգրալներն այնքան պարզ էին, որ արժեն համարժեք ազդեցություն, դիֆերենցիալի նշանով ամփոփել գործառույթը:

Նմանատիպ փաստարկներ, ինչպես ես արդեն սահմանված եմ, կարող եք ծախսել Cotangent- ի համար:

Վերը նշված փոխարինման օգտագործման համար կա պաշտոնական նախապայման.

Կոսինի եւ սինուս աստիճանի գումարը մի ամբողջ բացասական թիվ է, օրինակ,

Ինտեգրալի համար `մի ամբողջ բացասական համար:

ԻՇԽԱՆՈՒԹՅՈՒՆ Նշում Եթե \u200b\u200bինտեգրման գործառույթը պարունակում է միայն սինուս կամ միայն կոսոն, ապա ինտեգրալը վերցվում է բացասական տարօրինակ աստիճանի (ամենապարզ դեպքերը `թիվ 11, 18):

Հաշվի առեք այս կանոնների համար ավելի շատ տեղեկատվական առաջադրանքներ.

Օրինակ 20:

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Սինուսի եւ կոսմինի աստիճանի գումարը.

(1) Մենք վերափոխում ենք դավանանքը:
(2) Համաձայն հանրաճանաչ բանաձեւի, մենք ստանում ենք:
(3) Մենք վերափոխում ենք դավանանքը:
(4) Մենք օգտագործում ենք բանաձեւը .
(5) Գործառույթը հանձնել դիֆերենցիալ:
(6) Մենք փոխարինում ենք: Ավելի փորձառու ուսանողներ չեն կարող փոխարինվել, բայց դեռ ավելի լավ է փոխարինել շոշափումը մեկ տառով, ավելի քիչ ռիսկ է շփոթվում:

Օրինակ 21.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Սա օրինակ է անկախ լուծման համար:

Պահել, չեմպիոնի փուլերը սկսվում են \u003d)

Հաճախ ինտեգրման գործառույթում «Սոլյանկա» է.

Օրինակ 22.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Այս ինտեգրման մեջ շոշափումը սկզբում առկա է, որն անմիջապես հետապնդում է արդեն ծանոթ մտքի մեջ.

Արհեստական \u200b\u200bվերափոխում հենց սկզբում եւ մնացած քայլերը մնում է առանց մեկնաբանության, քանի որ վերեւում ամեն ինչ նշվեց:

Անկախ լուծման համար ստեղծագործական օրինակներ.

Օրինակ 23.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Օրինակ 24.

Գտեք անորոշ ինտրեգրալ

Այո, նրանց մեջ, իհարկե, հնարավոր է իջեցնել սինուսի, կոսինի աստիճանը, օգտագործելու ունիվերսալ տրիգոնոմետրիկ փոխարինում, բայց որոշումը կլինի շատ ավելի արդյունավետ եւ ավելի կարճ, եթե այն իրականացվի շոշափումների միջոցով: Ամբողջական լուծում եւ պատասխաններ դասի վերջում

Հիմնական ինտեգրալները, որոնք յուրաքանչյուր ուսանող պետք է իմանան

Թվարկված ինտեգրումը հիմք է հանդիսանում, հիմնադրամի բազան: Այս բանաձեւերը պետք է հիշել: Ավելի բարդ ինտեգրալներ հաշվարկելիս ստիպված կլինեք դրանք անընդհատ օգտագործել:

Հատուկ ուշադրություն դարձրեք բանաձեւերին (5), (7), (9), (12), (12), (13), (17) եւ (19): Մի մոռացեք, երբ ինտեգրվում է պատասխանը կամայական հաստատունը:

Ինտեգրալ Կոնստանտայից

∫ a D x \u003d a x + c (1)

Ինտեգրելու էներգիայի գործառույթը

Փաստորեն, հնարավոր եղավ սահմանափակել միայն բանաձեւերով (5) եւ (7), բայց այս խմբից մնացած ինտեգրալները հանդիպում են այնքան հաճախ, որ արժե մի փոքր ուշադրություն դարձնել նրանց:

∫ x D x \u003d x 2 2 + C (2)
∫ x 2 D x \u003d x 3 3 + C (3)
∫ 1 x D x \u003d 2 x + c (4)
∫ 1 x D x \u003d ln | X | + C (5)
∫ 1 x 2 D x \u003d - 1 x + c (6)
∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

Integrals ցուցիչ գործառույթից եւ հիպերբոլիկ գործառույթներից

Իհարկե, բանաձեւը (8) (թերեւս անգիր համար ամենահարմարը) կարելի է համարել Մասնավոր գործ Բանաձեւեր (9): Հիպերբոլիկ սինուսից եւ հիպերբոլիկ կոսրից ինտեգրվելու բանաձեւերը (10) եւ (11) հեշտությամբ բխում են բանաձեւից (8), բայց ավելի լավ է պարզապես հիշել այդ հարաբերությունները:

∫ e x D x \u003d e x + c (8)
∫ a x D x \u003d a x ln a + c (A\u003e 0, A ≠ 1) (9)
∫ s H x D x \u003d c h x + c (10)
∫ C H x D x \u003d s h x + c (11)

Հիմնական ինտեգրալները եռանկյունաչափ գործառույթներից

Սխալ, որ ուսանողները հաճախ ստիպում են. Խառնաշփոթ նշաններ բանաձեւերում (12) եւ (13): Հիշելով, որ սինուս ածանցյալը հավասար է կոսինին, ինչ-ինչ պատճառներով շատերը կարծում են, որ Sinx գործառույթի անբաժանելիությունը Cosx է: Սա ճիշտ չէ! Սինուսի անբաժանելիությունը հավասար է «մինուս կոսին», բայց Cosx- ի անբաժանելիությունը «պարզապես սինուս» է.

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C (12)
∫ COS X D X \u003d SIN X + C (13)
∫ 1 հատ 2 x D x \u003d t g x + c (14)
∫ 1 մեղք 2 x D x \u003d - c t g x + c (15)

Ինտեգրումները կրճատվել են շրջադարձային գործառույթների մեջ

Բանաձեւ (16), որը հանգեցնում է Arctangent- ի, բնականաբար, բանաձեւի հատուկ դեպք է (17) A \u003d 1-ում: Նմանապես, (18) - հատուկ դեպք (19):

∫ 1 1 + x 2 դ x \u003d a r c t g x + c \u003d - a r c c t g x + c (16)
∫ 1 x 2 + a 2 \u003d 1 A R C T G X A + C (A ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 D x \u003d arcsin x + c \u003d - ARCCOS X + C (18)
∫ 1 A 2 - x 2 D x \u003d Arcsin x A + C \u003d - ARCCOS X A + C (A\u003e 0) (19)

Ավելի բարդ ինտեգրալներ

Այս բանաձեւերը նույնպես ցանկալի են հիշել: Դրանք բավականին հաճախ օգտագործվում են, եւ նրանց եզրակացությունը բավականին հոգնեցուցիչ է:

∫ 1 x 2 + A 2 D x \u003d ln | x + x 2 + A 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - A 2 D x \u003d ln | X + x 2 - A 2 | + C (21)
∫ A 2 - x 2 D x \u003d x 2 a 2 - x 2 + A 2 2 ARCSIN X A + C (A\u003e 0) (22)
∫ x 2 + a 2 D x \u003d x 2 x 2 + A 2 + A 2 2 LN | x + x 2 + a 2 | + C (A\u003e 0) (23)
∫ x 2 - A 2 D x \u003d x 2 x 2 - A 2 - A 2 2 LN | X + x 2 - A 2 | + C (A\u003e 0) (24)

Ընդհանուր ինտեգրման կանոններ

1) Երկու գործառույթների գումարը հավասար է համապատասխան ինտեգրալների գումարին. ∫ (f (x) + g (x)) D x \u003d ∫ f (x) DX (25 )

2) Երկու գործառույթի տարբերության անբաժանելիությունը հավասար է համապատասխան ինտեգրալների միջեւ տարբերությանը. ∫ (F (x) - G (x)) D x \u003d ∫ f (x) dx ( 26)

3) մշտական \u200b\u200bկարելի է հանել ինտեգրալ նշանից. ∫ C F (x) D x \u003d C ∫ F (x) D X (27)

Հեշտ է նկատել, որ գույքը (26) պարզապես հատկությունների համադրություն է (25) եւ (27):

4) ինտեգրալ բարդ գործառույթից, եթե ներքին գործառույթը գծային է. ∫ f (a x + b) D x \u003d 1 a f) + C (A ≠ 0) (28)

Այստեղ F (x) պարզունակ է գործառույթի համար F (x): Նշում. Այս բանաձեւը հարմար է միայն այն գործի համար, երբ ներքին գործառույթը ունի Ax + B:

ԿԱՐԵՎՈՐ. Երկու գործառույթների արտադրանքից անբաժանելի բանաձեւ չկա, ինչպես նաեւ մասնաբաժնի համար:

∫ f (x) g (x) D x \u003d? ∫ f (x) g (x) D x \u003d? (երեսուն)

Սա, իհարկե, չի նշանակում, որ կոտորակը կամ աշխատանքը չեն կարող ինտեգրվել: Ուղղակի ամեն անգամ, տեսնելով ինտեգրալ տիպ (30), դուք պետք է հորինեք նրա հետ «կռվելու» ճանապարհը: Որոշ դեպքերում դուք կկարողանաք ինտեգրվել մասերում, ինչ-որ տեղ ստիպված կլինի փոխարինել փոփոխականը, եւ երբեմն նույնիսկ օգնություն կարող են ունենալ «Դպրոց» բանաձեւեր Հանրահաշիվ կամ եռանկյուն:

Անորոշ ինտեգրալ հաշվարկելու պարզ օրինակ

Օրինակ 1. Գտեք ինտեգրալ. ∫ (3 x 2 + 2 SIN X - 7 E x + 12) D x

Մենք օգտագործում ենք բանաձեւերը (25) եւ (26) (գործառույթների քանակի կամ տարբերության անբաժանելիությունը հավասար է համապատասխան ինտեգրալների գումարին կամ տարբերությանը: Մենք ստանում ենք. ∫ 3 x 2 D x + ∫ 2 SIN X D X - ∫ 7 e x D x + ∫ 12 D x

Հիշեցնենք, որ անընդհատ կարելի է պատրաստել ինտեգրալ նշանով (բանաձեւ (27)): Արտահայտությունը վերածվել է մտքի

3 ∫ x 2 D x + 2 ∫ SIN X D X - 7 ∫ E X D x + 12 ∫ 1 D x

Եվ այժմ պարզապես օգտագործեք հիմնական ինտեգրալների աղյուսակը: Մենք պետք է կիրառենք բանաձեւեր (3), (12), (8) եւ (1): Ինտեգրել էներգիայի գործառույթը, սինուսը, ցուցիչը եւ կայուն 1. Մի մոռացեք ավելացնել կամայական կայունության ավարտը.

3 x 3 3 - 2 COS X - 7 E x + 12 x + c

Տարրական վերափոխումներից հետո մենք ստանում ենք վերջնական պատասխանը.

X 3 - 2 COS X - 7 E x + 12 x + c

Ստուգեք ինքներդ ձեզ տարբերակմամբ. Վերցրեք Գործառույթից ածանցյալ Եվ համոզվեք, որ այն հավասար է արտահայտման նախնական եղանակներին:

Ամփոփիչ ինտեգրալ աղյուսակ

∫ a D x \u003d a x + c

∫ x D x \u003d x 2 2 + C

∫ x 2 D x \u003d x 3 3 + C

∫ 1 x D x \u003d 2 x + c

∫ 1 x D x \u003d ln | X | + Գ.

∫ 1 x 2 D x \u003d - 1 x + c

∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x D x \u003d e x + c

∫ a x D x \u003d a x ln a + c (A\u003e 0, A ≠ 1)

∫ s H x D x \u003d c h x + c

∫ C H x D x \u003d s h x + c

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C

∫ COS X D X \u003d SIN X + C

∫ 1 COS 2 x D x \u003d t g x + c

∫ 1 մեղքը 2 x d x \u003d - c t g x + c

∫ 1 1 + x 2 D x \u003d a r c t g x + c \u003d - a r c c t g x + c

∫ 1 x 2 + a 2 \u003d 1 A R C T G X A + C (A ≠ 0)

1 1 - X - x 2 D x \u003d arcsin x + c \u003d - arccos x + c

∫ 1 A 2 - x 2 D x \u003d Arcsin x A + C \u003d - ARCCOS X A + C (A\u003e 0)

∫ 1 x 2 + A 2 D x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + Գ.

∫ 1 x 2 - A 2 D x \u003d ln | X + x 2 - A 2 | + Գ.

∫ a 2 - x 2 D x \u003d x 2 a 2 - x 2 + A 2 2 ARCSIN X A + C (A\u003e 0)

∫ x 2 + a 2 D x \u003d x 2 x 2 + A 2 + A 2 2 LN | x + x 2 + a 2 | + C (A\u003e 0)

∫ x 2 - A 2 D x \u003d x 2 x 2 - A 2 - A 2 2 LN | X + x 2 - A 2 | + C (A\u003e 0)

Ներբեռնեք ինտեգրալ աղյուսակը (Մաս II) այս հղմանը

Եթե \u200b\u200bդուք սովորում եք համալսարանում, եթե դժվարություններ ունեք բարձրագույն մաթեմատիկայի (մաթեմատիկական վերլուծություն, գծային հանրահաշիվ, հավանականության տեսություն, վիճակագրություն), եթե Ձեզ անհրաժեշտ է որակավորված ուսուցիչների ծառայություններ, գնացեք էջ Դասավանդող ամենաբարձր մաթեմատիկայում , Մենք միասին կլուծենք ձեր խնդիրները:

Գուցե ձեզ նույնպես հետաքրքրում է