Փոփոխականի իռացիոնալ ֆունկցիան այն գործառույթն է, որը ձևավորվում է փոփոխական և կամայական հաստատուններից ՝ գումարելով, հանում, բազմապատկում (ամբողջ թվին հասցնելուց), արմատների բաժանում և արդյունահանում գործողությունների սահմանափակ քանակով: Ռացիոնալ գործառույթից իռացիոնալ գործառույթը տարբերվում է նրանով, որ իռացիոնալ գործառույթը պարունակում է արմատներ հանելու գործողություններ:

Կան երեք հիմնական տեսակներ իռացիոնալ գործառույթներ, որոնց անորոշ ինտեգրալները կրճատվում են ռացիոնալ գործառույթների ինտեգրալների: Սրանք գծեր կոտորակային գործառույթից կամայական ամբողջ աստիճանների արմատներ պարունակող ինտեգրալներ են (արմատները կարող են լինել տարբեր աստիճանի, բայց միևնույն գծային կոտորակային գործառույթից); դիֆերենցիալ երկբանի ինտեգրալներ և քառակուսի եռանկյունի քառակուսի արմատով ինտեգրալներ:

Կարեւոր նշում. Արմատները երկիմաստ են:

Արմատներ պարունակող ինտեգրալները հաշվարկելիս հաճախ հանդիպում են ձևի արտահայտություններ, որտեղ կա ինտեգրման փոփոխականի որոշակի գործառույթ: Պետք է նկատի ունենալ, որ. Այսինքն ՝ t> - ի համար 0, | տ | = տ... Տ< 0, | տ | = - տ.Հետեւաբար, նման ինտեգրալները հաշվարկելիս անհրաժեշտ է առանձին դիտարկել t> դեպքերը 0 եւ տ< 0 ... Դա կարելի է անել նշաններ գրելով կամ անհրաժեշտության դեպքում: Ենթադրելով, որ վերին նշանը վերաբերում է գործին t> 0 , իսկ ստորինը `գործին տ< 0 ... Հետագա վերափոխումից հետո այս նշանները, որպես կանոն, չեղարկում են միմյանց:

Հնարավոր է նաև երկրորդ մոտեցումը, որի դեպքում կարելի է համարել ինտեգրման ինտեգրանը և արդյունքը բարդ գործառույթներբարդ փոփոխականների վրա: Այնուհետեւ դուք չեք կարող հետեւել արմատական ​​արտահայտությունների նշաններին: Այս մոտեցումը կիրառելի է, եթե ինտեգրանը վերլուծական է, այսինքն ՝ բարդ փոփոխականի տարբերակելի գործառույթ: Այս դեպքում և՛ ինտեգրանը, և՛ դրա ինտեգրալը բազմարժեք գործառույթներ են: Հետևաբար, ինտեգրումից հետո, թվային արժեքները փոխարինելիս, անհրաժեշտ է ընտրել ինտեգրանի մեկարժեք արժեք ունեցող ճյուղ (Ռիմանի մակերես), և դրա համար ընտրել ինտեգրման արդյունքի համապատասխան ճյուղը:

Կոտորակային գծային իռացիոնալություն

Սրանք նույն գծային կոտորակային ֆունկցիայի արմատներով ինտեգրալներ են.
,
որտեղ R- ը ռացիոնալ ֆունկցիա է, ռացիոնալ թվեր են, m 1, n 1, ..., m s, n s ամբողջ թվեր են, α, β, γ, δ իրական թվեր:
Նման ինտեգրալները փոխարինման միջոցով վերածվում են ռացիոնալ գործառույթի ինտեգրալի.
, որտեղ n- ը r 1, ..., r s թվերի ընդհանուր հայտարարն է:

Արմատները կարող են պարտադիր չլինել գծային կոտորակային գործառույթից, այլ նաև գծայինից (γ = 0, δ = 1), կամ ինտեգրման փոփոխականի վրա (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Ահա այդպիսի ինտեգրալների օրինակներ.
, .

Դիֆերենցիալ երկհամարների ինտեգրալներ

Դիֆերենցիալ երկբնական ինտեգրալներն են.
,
որտեղ m, n, p ռացիոնալ թվեր են, a, b իրական թվեր:
Նման ինտեգրալները երեք դեպքում կրճատվում են ռացիոնալ գործառույթների ինտեգրալների:

1) Եթե p- ն ամբողջ թիվ է: Փոխարինում x = t N, որտեղ N- ը m և n կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է:
2) Եթե - ամբողջական: Փոխարինում a x n + b = t M, որտեղ M- ը p- ի հայտարարն է:
3) Եթե - ամբողջական: Փոխարինում a + b x - n = t M, որտեղ M- ն p- ի հայտարարն է:

Մնացած դեպքերում նման ինտեգրալներն արտահայտված չեն տարրական գործառույթներով:

Երբեմն նման ինտեգրալները կարող են պարզեցվել `օգտագործելով կրճատման բանաձևեր.
;
.

Քառակուսի եռանկյունի քառակուսի արմատ պարունակող ինտեգրալներ

Նման ինտեգրալներն ունեն հետևյալ ձևը.
,
որտեղ R- ը ռացիոնալ գործառույթ է: Յուրաքանչյուր նման ինտեգրալի համար կան լուծման մի քանի մեթոդներ:
1) Փոխակերպումների օգնությամբ հանգեցրեք ավելի պարզ ինտեգրալների:
2) Կիրառեք եռանկյունաչափական կամ հիպերբոլիկ փոխարինումներ:
3) Կիրառել Էյլերի փոխարինումները:

Եկեք ավելի սերտ նայենք այս մեթոդներին:

1) ինտեգրանի փոխակերպում

Կիրառելով բանաձևը և կատարելով հանրահաշվական փոխակերպումներ ՝ մենք ինտեգրանը բերում ենք հետևյալ ձևին.
,
որտեղ φ (x), ω (x) ռացիոնալ գործառույթներ են:

Տիպ I

Ձևի ինտեգրալ.
,
որտեղ P n (x) n աստիճանի բազմանդամ է:

Նման ինտեգրալները հայտնաբերվում են ինքնությունը օգտագործելով չսահմանված գործակիցների մեթոդով.

.
Տարբերակելով այս հավասարումը և հավասարեցնելով ձախ և աջ կողմերը ՝ մենք գտնում ենք A i գործակիցները:

II տիպ

Ձևի ինտեգրալ.
,
որտեղ P m (x) m աստիճանի բազմանդամ է:

Փոխարինում t = (x - α) -1այս ինտեգրալը կրճատվում է նախորդ տիպի: Եթե ​​m ≥ n, ապա կոտորակի ամբողջ մասը պետք է ընտրվի:

III տիպ

Այստեղ մենք կատարում ենք փոխարինումը.
.
Դրանից հետո ինտեգրալը կստանա ձևը.
.
Ավելին, α, β հաստատունները պետք է ընտրվեն այնպես, որ հայտարարի մեջ t գործակիցները անհետանան.
B = 0, B 1 = 0:
Այնուհետև ինտեգրալը քայքայվում է երկու տեսակի ինտեգրալների գումարի մեջ.
,
,
որոնք ինտեգրված են փոխարինումներով.
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2:

2) եռանկյունաչափական և հիպերբոլային փոխարինումներ

Ձևի ինտեգրալների համար ՝ ա > 0 ,
մենք ունենք երեք հիմնական փոխարինում.
;
;
;

Ինտեգրալների համար ՝ ա > 0 ,
մենք ունենք հետևյալ փոխարինումները.
;
;
;

Եվ, վերջապես, ինտեգրալների համար ՝ ա > 0 ,
փոխարինումները հետևյալն են.
;
;
;

3) Էյլերի փոխարինումներ

Բացի այդ, ինտեգրալները կարող են կրճատվել Էյլերի երեք փոխարինումներից մեկի ռացիոնալ գործառույթների ինտեգրալների.
,> 0 -ի համար;
, c> 0 համար;
, որտեղ x 1 հավասարման արմատն է a x 2 + b x + c = 0: Եթե ​​այս հավասարումը իրական արմատներ ունի:

Էլիպտիկ ինտեգրալներ

Եզրափակելով, հաշվի առեք ձևի ինտեգրալները.
,
որտեղ R- ը ռացիոնալ գործառույթ է, Նման ինտեգրալները կոչվում են էլիպս: Ընդհանուր առմամբ, դրանք արտահայտված չեն տարրական գործառույթների առումով: Այնուամենայնիվ, կան դեպքեր, երբ կան հարաբերություններ A, B, C, D, E գործակիցների միջև, որոնցում նման ինտեգրալներն արտահայտվում են տարրական գործառույթներով:

Ստորև բերված է վերադարձի բազմանդամների հետ կապված օրինակ: Նման ինտեգրալների հաշվարկը կատարվում է փոխարինումների միջոցով.
.

Օրինակ

Հաշվիր ինտեգրալը.
.

Լուծում

Մենք փոխարինում ենք կատարում:

.
Ահա x> - ի համար 0 (u> 0 ) մենք վերցնում ենք վերին նշանը +: X- ի համար< 0 (u< 0 ) - ավելի ցածր ' - '.

.

Պատասխանեք

Հղումներ:
Ն.Մ. Գյունթեր, Ռ.Օ. Կուզմին, Բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրների հավաքածու, «Լան», 2003:

Տրված X միջակայքում տարբերակելի F (x) ֆունկցիան կոչվում է ֆունկցիայի համար հակադեղատիվ f (x), կամ f (x) - ի անբաժանելի մաս, եթե x ∈ X- ի դեպքում գործում է հետևյալ հավասարությունը.

F "(x) = f (x). (8.1)

Տրված ֆունկցիայի համար բոլոր հակաթերատիվ միջոցների հայտնաբերումը կոչվում է դրա ինտեգրում: Ֆունկցիայի անորոշ անբաժանելի մասը f (x) տվյալ ընդմիջման վրա X- ը f (x) ֆունկցիայի բոլոր հակաօրինական միջոցների ամբողջությունն է. նշանակում -

Եթե ​​F (x) որոշ պարզունակ է f (x) ֆունկցիայի համար, ապա ∫ f (x) dx = F (x) + C, (8.2)

որտեղ C- ն կամայական հաստատուն է:

Ինտեգրալ սեղան

Անմիջապես սահմանումից մենք ստանում ենք ոչ -ի հիմնական հատկությունները որոշակի ինտեգրալև աղյուսակի ինտեգրալների ցանկ.

1) d∫f (x) dx = f (x)

2) fdf (x) = f (x) + C

3) ∫af (x) dx = a∫f (x) dx (a = const)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Աղյուսակի ինտեգրալների ցանկ

1.∫x մ dx = x մ + 1 / (մ + 1) + C; (մ ≠ -1)

3. aa dx = a x / ln a + C (a> 0, a ≠ 1)

4.∫e x dx = e x + C

5. մեղք x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - մեղք x + C

7. = արկտան x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Փոփոխական փոխարինում

Շատ գործառույթներ ինտեգրելու համար օգտագործեք փոփոխականի կամ փոխարինումներ,թույլ տալով ինտեգրալները վերածել աղյուսակային ձևի:

Եթե ​​f (z) գործառույթը շարունակական է [α, β], ապա z = g (x) ֆունկցիան ունի շարունակական ածանցյալ և α ≤ g (x) ≤ β, ապա

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫f (z) dz, (8.3)

ավելին, ինտեգրումից հետո z = g (x) փոխարինումը պետք է կատարվի աջ կողմում:

Ապացույցի համար բավական է բնօրինակ ինտեգրալը գրել տեսքով.

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x):

Օրինակ:

Ինտեգրում ըստ մասերի

Թող u = f (x) և v = g (x) լինեն շարունակական գործառույթներ: Այնուհետեւ, ըստ աշխատանքի,

d (uv)) = udv + vdu կամ udv = d (uv) - vdu:

D (uv) արտահայտության համար ակնհայտորեն հակավիրուսային միջոցը կլինի uv, ուստի հետևյալ բանաձևը գործում է.

D udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Այս բանաձևն արտահայտում է կանոնը մասերի համակցում... Այն բերում է udv = uv "dx արտահայտության ինտեգրումը vdu = vu" dx արտահայտության ինտեգրմանը:

Թող, օրինակ, պահանջվի գտնել ∫xcosx dx: Մենք դնում ենք u = x, dv = cosxdx, այնպես որ du = dx, v = sinx: Հետո

∫xcosxdx = ∫x d (sin x) = x sin x - insin x dx = x sin x + cosx + C

Մասերի կողմից ինտեգրման կանոնն ունի ավելի սահմանափակ շրջանակ, քան փոփոխական փոխարինումը: Բայց կան ինտեգրալների ամբողջ դասեր, օրինակ ՝

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax և այլն, որոնք հաշվարկվում են ՝ օգտագործելով մասերի ինտեգրումը:

Որոշակի ինտեգրալ

Որոշակի ինտեգրալ հասկացությունը ներկայացվում է հետևյալ կերպ. Թող f (x) գործառույթը սահմանվի հատվածի վրա: Մենք բաժանում ենք [a, b] հատվածը nմասերը ըստ կետերի a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i -1: F (ξ i) Δ x i ձևի գումարը կոչվում է անբաժանելի գումար, և դրա սահմանը λ = maxΔx i → 0, եթե այն գոյություն ունի և վերջավոր է, կոչվում է որոշակի ինտեգրալգործառույթը f (x) անախքան բև նշվում է ՝

F (ξ i) Δx i (8.5).

F (x) ֆունկցիան այս դեպքում կոչվում է ինտեգրվող հատվածի վրա, կոչվում են a և b թվերը ինտեգրալի ստորին և վերին սահմանը.

Հետևյալ հատկությունները վավեր են որոշակի ինտեգրալի համար.

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f (ξ) (b-a) (ξ∈).

Վերջին հատկությունը կոչվում է միջին արժեքի թեորեմ.

Թող f (x) շարունակական լինի: Հետո այս հատվածի վրա կա անորոշ ինտեգրալ

∫f (x) dx = F (x) + C

և տեղի է ունենում Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, որոշակի ինտեգրալը միացնելով անորոշին.

F (b) - F (a): (8.6)

Երկրաչափական մեկնաբանություն. Որոշակի ինտեգրալը դա կոր գծագծի մակերեսն է, որը վերևից սահմանափակված է y = f (x) կորով, x = a և x = b ուղիղ գծերով և առանցքի հատվածով: Եզ.

Անպատշաճ ինտեգրալներ

Անվերջ սահմաններով ինտեգրալներ և անընդհատ (անսահմանափակ) գործառույթների ինտեգրալներ են կոչվում ոչ պատշաճ Առաջին տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալներ -դրանք անվերջ ընդմիջման ինտեգրալներ են, որոնք սահմանվում են հետևյալ կերպ.

(8.7)

Եթե ​​այս սահմանը գոյություն ունի և վերջավոր է, ապա այն կոչվում է f (x) - ի ոչ պատշաճ ինտեգրալ[a, + ∞) միջակայքի վրա, և կոչվում է f (x) գործառույթը ինտեգրալելի անսահման ընդմիջումով[ա, + ∞): Հակառակ դեպքում, ինտեգրալն ասում են գոյություն չունի կամ տարբերվում է.

Անընդհատ ինտեգրալները (-∞, բ] և (-∞, + ∞) նույնությամբ սահմանվում են.

Եկեք սահմանենք անսահմանափակ գործառույթի անբաժանելի հասկացությունը: Եթե ​​f (x) շարունակական է բոլոր արժեքների համար xհատված, բացառությամբ գ կետի, որտեղ f (x) ունի անսահման ընդհատում, ապա երկրորդ տեսակի ոչ պատշաճ ինտեգրալ f (x) սկսած ա -ից մինչև բգումարը կոչվում է ՝

եթե այդ սահմանները գոյություն ունեն և վերջնական են: Նշանակում:

Ինտեգրալների հաշվարկման օրինակներ

Օրինակ 3.30.Հաշվարկել ∫dx / (x + 2):

Լուծում:Մենք նշանակում ենք t = x + 2, ապա dx = dt, ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln | t | + C = ln | x + 2 | + C.

Օրինակ 3.31... Գտեք ∫ tgxdx:

Լուծում: Tgxdx = ∫sinx / cosxdx = - ∫dcosx / cosx. Թող t = cosx, ապա ∫ tgxdx = -∫ dt / t = - ln | t | + C = -ln | cosx | + C.

Օրինակ3.32 ... Գտնել ∫dx / sinx

Լուծում:

Օրինակ3.33. Գտնել:

Լուծում: = .

Օրինակ3.34 ... Գտնել ∫arctgxdx.

Լուծում: Մենք ինտեգրվում ենք մասերով: Մենք սահմանում ենք u = arctgx, dv = dx: Այնուհետեւ du = dx / (x 2 +1), v = x, որտեղից ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) = xarctgx +1/2 ln (x 2 +1) +C; որովհետեւ
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) +C.

Օրինակ3.35 ... Հաշվիր nlnxdx:

Լուծում:Կիրառելով ինտեգրման բանաձևը ըստ մասերի ՝ մենք ստանում ենք.
u = lnx, dv = dx, du = 1 / x dx, v = x Հետո ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C

Օրինակ3.36 ... Գնահատեք xe x sinxdx:

Լուծում:Մենք նշանակում ենք u = e x, dv = sinxdx, ապա du = e x dx, v = ∫sinxdx = - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx: Ինտեգրալ cose x cosxdx- ը նույնպես ինտեգրելի է մասերով `u = e x, dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx: Մենք ունենք:
X e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Մենք ստացանք xe x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, որտեղից 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + С.

Օրինակ 3.37. Հաշվիր J = oscos (lnx) dx / x:

Լուծում:Քանի որ dx / x = dlnx, ապա J = ∫cos (lnx) d (lnx): Lnx- ը t- ով փոխարինելով, մենք հասնում ենք աղյուսակային ինտեգրալին J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C:

Օրինակ 3.38 ... Հաշվիր J =:

Լուծում:Հաշվի առնելով, որ = d (lnx), մենք փոխարինում ենք lnx = t: Հետո J = .

Օրինակ 3.39 ... Հաշվիր J = ինտեգրալը .

Լուծում:Մենք ունենք: ... Հետեւաբար =
=
= մուտքագրված է այս sqrt (tan (x / 2)):

Եվ եթե սեղմեք արդյունքների պատուհանի վերին աջ անկյունում ցուցադրվող քայլերի վրա, մանրամասն լուծում կստանաք:

Դիմում

Ինտեգրալներ առցանց կայքում `ուսանողների և դպրոցականների փոխանցած նյութի համախմբման համար: Եվ վերապատրաստեք ձեր գործնական հմտությունները: Ինտեգրալների առցանց լուծումը ձեզ համար մի քանի րոպեի ընթացքում կօգնի ձեզ որոշել գործընթացի բոլոր փուլերը: Ամեն անգամ, երբ սկսում եք ինտեգրալ առցանց լուծել, դուք պետք է որոշեք դրա տեսակը, առանց դրա դուք չեք կարող կիրառել ցանկացած մեթոդ, բացառությամբ ամբողջական աղյուսակի: Ոչ բոլոր աղյուսակային ինտեգրալներն են հստակ երևում տրված օրինակից, երբեմն հակաարտադրողականը գտնելու համար անհրաժեշտ է վերափոխել սկզբնական գործառույթը: Գործնականում ինտեգրալների լուծումը կրճատվում է բնօրինակը գտնելու խնդրի մեկնաբանմամբ, այսինքն ՝ անսահմանափակ գործառույթների ընտանիքից ստացվող հակախառնվածքով, բայց եթե ինտեգրման սահմանները տրված են, ապա ըստ Նյուտոն-Լեյբնիցի բանաձևի, կա միայն մեկ գործառույթ, որի վրա կիրառվում են հաշվարկները: Առցանց ինտեգրալներ `առցանց անորոշ ինտեգրալ և առցանց որոշակի ամբողջական: Առցանց գործառույթի անբաժանելի մասը ցանկացած թվերի գումարն է, որոնք նախատեսված են դրանք ինտեգրելու համար: Հետևաբար, ոչ պաշտոնական ձևով առցանց ինտեգրալը գործառույթի գրաֆիկի և աբսցիսայի միջև ընկած հատվածն է ինտեգրման շրջանակներում: Ինտեգրալներով խնդիրների լուծման օրինակներ: Եկեք հաշվարկենք բարդ ինտեգրալ մեկ փոփոխականի վրա և դրա պատասխանը կապենք խնդրի հետագա լուծման հետ: Հնարավոր է, ինչպես ասում են, ուղղակիորեն գտնել ինտեգրալի ինտեգրալը: Բարձր ճշգրտությամբ ցանկացած ինտեգրալ որոշում է գործչի գծերով սահմանափակված տարածքը: Սա նրա երկրաչափական իմաստներից մեկն է: Այս մեթոդը հեշտացնում է ուսանողների համար: Մի քանի քայլ, ըստ էության, մեծ ազդեցություն չեն ունենա վեկտորային վերլուծության վրա: Ինտեգրալ ֆունկցիան առցանց ինտեգրալ հաշվարկի հիմնական հասկացությունն է: Անորոշ ինտեգրալների լուծում: Ըստ վերլուծության հիմնական թեորեմի ՝ ինտեգրումը տարբերակման հակառակ գործողություն է, որն օգնում է լուծել դիֆերենցիալ հավասարումները: Կան ինտեգրացիոն գործողությունների մի քանի տարբեր սահմանումներ, որոնք տարբերվում են տեխնիկական մանրամասներով: Այնուամենայնիվ, դրանք բոլորը համատեղելի են, այսինքն ՝ ինտեգրման ցանկացած երկու մեթոդ, եթե դրանք կարող են կիրառվել տվյալ գործառույթի վրա, կտան նույն արդյունքը: Ամենապարզը Ռիմանի ինտեգրալն է `որոշակի ինտեգրալ կամ անորոշ ինտեգրալ: Ոչ ֆորմալ կերպով, մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ինտեգրալը կարող է մուտքագրվել որպես գրաֆիկի տակ գտնվող տարածք (ֆունկցիայի գրաֆիկի և աբսցիսայի առանցքի միջև պարունակվող պատկերը): Suchանկացած նման ենթախնդիր կարող է արդարացնել, որ ինտեգրալի հաշվարկը չափազանց անհրաժեշտ կլինի կարևոր մոտեցման հենց սկզբում: Մի մոռացեք սա! Փորձելով գտնել այս տարածքը, մենք կարող ենք դիտարկել որոշակի թվով ուղղահայաց ուղղանկյուններից բաղկացած թվեր, որոնց հիմքերը միասին կազմում են ինտեգրման հատվածը և ստացվում են հատվածը համապատասխան հատվածների փոքր հատվածների բաժանելով: Առցանց ինտեգրալների լուծում .. Առցանց ինտեգրալ - առցանց անորոշ ինտեգրալ և առցանց որոշիչ ինտեգրալ: Առցանց ինտեգրալների լուծում. Առցանց անորոշ ինտեգրալ և առցանց որոշակի ամբողջական: Հաշվիչը լուծում է ինտեգրալները ՝ գործողությունների նկարագրությամբ մանրամասն և անվճար: Ֆունկցիայի առցանց անորոշ ինտեգրալը տվյալ ֆունկցիայի բոլոր հակաարտադրողականների հավաքածուն է: Եթե ​​ֆունկցիան որոշված ​​և շարունակական է ընդմիջումով, ապա դրա համար կա հակադեղատիվ գործառույթ (կամ հակախառնիչների ընտանիք): Ինտեգրալը սահմանում է միայն այնպիսի արտահայտություն, որի պայմանները սահմանվում են ձեր կողմից նման անհրաժեշտության առաջացման դեպքում: Ավելի լավ է ուշադիր մոտենալ այս հարցին և զգալ կատարված աշխատանքից ներքին գոհունակություն: Բայց ինտեգրալը դասականից տարբերվող ձևով հաշվարկելը երբեմն հանգեցնում է անսպասելի արդյունքների, և դա չի կարող զարմացնել: Ուրախ եմ, որ այն փաստը, որը դրական արձագանք կունենա կատարվածին: Ամբողջական մանրամասն քայլ առ քայլ լուծումներով ամբողջական ինտեգրալների և անորոշ ինտեգրալների ցանկ: Բոլոր ինտեգրալները ՝ մանրամասն լուծմամբ առցանց: Անորոշ ինտեգրալ: Առցանց անորոշ ինտեգրալ գտնելը շատ տարածված խնդիր է բարձրագույն մաթեմատիկայում և գիտության այլ տեխնիկական ճյուղերում: Ինտեգրման հիմնական մեթոդները: Ինտեգրալ, որոշակի և անորոշ ինտեգրալի սահմանում, ինտեգրալների աղյուսակ, Նյուտոն-Լեյբնից բանաձև: Եվ կրկին, դուք կարող եք գտնել ձեր ինտեգրալը ՝ օգտագործելով ինտեգրալ արտահայտությունների աղյուսակը, բայց դեռ պետք է գալ դրան, քանի որ ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ, որքան թվում էր առաջին հայացքից: Սխալներ գտնելուց առաջ մտածեք ավարտված շենքերի մասին: Որոշիչ ինտեգրալ և դրա հաշվարկման մեթոդներ: Առցանց որոշակի ինտեգրալ փոփոխական վերին սահմանով: Ինտեգրալ լուծում առցանց: Exampleանկացած օրինակ, որն օգնում է հաշվարկել ինտեգրալը ՝ օգտագործելով աղյուսակային բանաձևեր, կլինի օգտակար ուղեցույց բոլոր հմտությունների մակարդակի ուսանողների համար: Ամենակարևոր քայլը դեպի ճիշտ պատասխանը .. Integrals online. Անսահմանափակ ինտեգրալներ, որոնք պարունակում են ցուցիչ և լոգարիթմական գործառույթներ: Ինտեգրալ լուծում առցանց. Դուք կստանաք մանրամասն լուծում տարբեր տեսակի ինտեգրալների համար `անորոշ, որոշակի, ոչ պատշաճ: Որոշակի ինտեգրալ հաշվիչը հաշվարկում է ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալը առցանց `ընդմիջումով` օգտագործելով թվային ինտեգրումը: Ֆունկցիայի անբաժանելի մասը հաջորդականության գումարի անալոգն է: Ոչ ֆորմալ առումով, որոշակի ինտեգրալը ֆունկցիայի գրաֆիկի մասի տարածքն է: Առցանց ինտեգրալ լուծում .. Առցանց ինտեգրալը առցանց անորոշ ինտեգրալ է և առցանց որոշակի ամբողջական: Հաճախ նման ինտեգրալը որոշում է, թե որքան ծանր է մարմինն իր համեմատ նույն խտության օբյեկտից, և անկախ նրանից, թե ինչ ձև ունի, քանի որ մակերեսը ջուր չի ներծծում: Առցանց ինտեգրալների լուծում .. Առցանց ինտեգրալներ `առցանց անորոշ ինտեգրալ և առցանց որոշակի ամբողջական: Յուրաքանչյուր կրտսեր ուսանող գիտի, թե ինչպես գտնել ինտեգրալը առցանց: Դպրոցական ծրագրի հիման վրա մաթեմատիկայի այս հատվածը նույնպես ուսումնասիրվում է, բայց ոչ մանրամասն, այլ միայն նման բարդ և կարևոր թեմայի հիմունքները: Շատ դեպքերում ուսանողները ինտեգրալների ուսումնասիրությունը սկսում են լայնածավալ տեսությունից, որին նախորդում են նաև կարևոր թեմաներ, ինչպիսիք են ածանցյալը և սահմանի անցումը. Դրանք նույնպես սահմաններ են: Ինտեգրալների լուծումը աստիճանաբար սկսվում է պարզ գործառույթների ամենատարրական օրինակներից և ավարտվում անցյալ դարում և նույնիսկ շատ ավելի վաղ առաջարկված բազմաթիվ մոտեցումների և կանոնների կիրառմամբ: Ինտեգրալ հաշվարկը տեղեկատվական նպատակների համար է `լիցեյներում և դպրոցներում, այսինքն` միջնակարգ կրթական հաստատություններում: Մեր կայքի կայքը միշտ կօգնի ձեզ, և ինտեգրալների առցանց լուծումը ձեզ համար կդառնա սովորական, և ամենակարևորը `հասկանալի խնդիր: Այս ռեսուրսի հիման վրա դուք հեշտությամբ կարող եք հասնել գերազանցության այս մաթեմատիկական բաժնում: Քայլ առ քայլ հասկանալով սովորած կանոնները, օրինակ ՝ ինտեգրումը, մաս -մաս կամ Չեբիշևի մեթոդի կիրառումը, հեշտությամբ կարող եք լուծել ցանկացած թեստ առավելագույն միավորների համար: Այսպիսով, ինչպե՞ս, ի վերջո, կարող ենք հաշվել ինտեգրալը ՝ օգտագործելով ինտեգրալների հայտնի աղյուսակը, բայց այնպես, որ լուծումը լինի ճիշտ, ճիշտ և հնարավորինս ճշգրիտ հնարավոր պատասխանի դեպքում: Ինչպե՞ս սովորել սա և հնարավո՞ր է, որ սովորական առաջին կուրսեցին դա անի հնարավորինս կարճ ժամանակում: Այս հարցին մենք դրականորեն կպատասխանենք. Միեւնույն ժամանակ, դուք ոչ միայն կկարողանաք լուծել ցանկացած օրինակ, այլեւ հասնել բարձրակարգ ինժեների մակարդակին: Գաղտնիքը ավելի պարզ է, քան երբևէ. Դուք պետք է առավելագույն ջանքեր գործադրեք, անհրաժեշտ ժամանակը հատկացնեք ինքնապատրաստմանը: Unfortunatelyավոք, դեռ ոչ ոք այլ ճանապարհ չի գտել: Բայց ամեն ինչ այնքան ամպամած չէ, որքան թվում է առաջին հայացքից: Եթե ​​այս հարցով դիմեք մեր սպասարկման կայքին, ապա մենք կդարձնենք ձեր կյանքը ավելի հեշտ, քանի որ մեր կայքը կարող է մանրամասն հաշվարկել ինտեգրալները առցանց ՝ շատ մեծ արագությամբ և անթերի ճշգրիտ պատասխանով: Ըստ էության, ինտեգրալը չի ​​որոշում, թե ինչպես է փաստարկների հարաբերակցությունը ազդում համակարգի կայունության վրա որպես ամբողջություն: Եթե ​​միայն ամեն ինչ հավասարակշռված լիներ: Ինչպես կսովորեք այս մաթեմատիկական թեմայի հիմունքները, ծառայությունը կարող է գտնել ցանկացած ինտեգրանի ինտեգրալ, եթե այդ ինտեգրալը կարող է լուծվել տարրական գործառույթներում: Հակառակ դեպքում, տարրական գործառույթներում չընդունված ինտեգրալների դեպքում գործնականում չի պահանջվում պատասխան գտնել անալիտիկ կամ, այլ կերպ ասած, հստակ տեսքով: Ինտեգրալների բոլոր հաշվարկները նվազեցվում են տվյալ ինտեգրանի հակախառնվածը որոշելու համար: Դա անելու համար նախ հաշվեք անորոշ ինտեգրալը առցանց մաթեմատիկայի բոլոր օրենքների վրա: ապա, անհրաժեշտության դեպքում, ինտեգրալի վերին և ստորին արժեքները փոխարինվում են: Եթե ​​չի պահանջվում որոշել կամ հաշվարկել անորոշ ինտեգրալի թվային արժեքը, ապա ստացված հակադիվիվացիոն ֆունկցիային ավելանում է հաստատուն, դրանով իսկ սահմանելով հակադիվատիվ գործառույթների ընտանիք: Գիտության և ընդհանրապես ցանկացած ինժեներական բնագավառում, ներառյալ շարունակական մեդիայի մեխանիկան, հատուկ տեղ գրավելը, ինտեգրումը նկարագրում է ամբողջ մեխանիկական համակարգերը, դրանց շարժումները և շատ ավելին: Շատ դեպքերում կազմված ինտեգրալը որոշում է նյութական կետի շարժման օրենքը: Դա շատ կարևոր գործիք է կիրառական գիտությունների ուսումնասիրության մեջ: Ելնելով դրանից ՝ չի կարելի չասել մեխանիկական համակարգերի գոյության և վարքի օրենքները որոշելու մասշտաբային հաշվարկների մասին: Կայքում ինտեգրալների լուծման առցանց հաշվիչը հզոր գործիք է պրոֆեսիոնալ ինժեներների համար: Մենք դա հաստատ կարող ենք երաշխավորել ձեզ, բայց մենք կկարողանանք հաշվարկել ձեր ինտեգրալը միայն այն բանից հետո, երբ ճիշտ արտահայտությունը մտցնեք ինտեգրանի տիրույթ: Մի վախեցեք սխալվելուց, այս հարցում ամեն ինչ շտկելի է: Սովորաբար, ինտեգրալների լուծումը կրճատվում է հայտնի դասագրքերից կամ հանրագիտարաններից աղյուսակի գործառույթների օգտագործմամբ: Ինչպես ցանկացած այլ անորոշ ինտեգրալ, այն կհաշվարկվի `օգտագործելով ստանդարտ բանաձևը` առանց չափազանց կոպիտ քննադատության: Հեշտությամբ և բնականաբար, առաջին կուրսի ուսանողները ընկալում են թռիչքի ժամանակ ուսումնասիրված նյութը, և երբեմն նրանցից ամբողջականը գտնելու համար տևում է ոչ ավելի, քան երկու րոպե: Եվ եթե ուսանողը սովորել է ինտեգրալների աղյուսակը, ապա ընդհանուր առմամբ նա կարող է իր գլխում որոշել պատասխանները: Մակերևույթների նկատմամբ փոփոխականների գործառույթների ընդլայնումն ի սկզբանե նշանակում է աբցիսայի ինչ -որ պահի վեկտորի ճիշտ ուղղություն: Մակերևութային գծերի անկանխատեսելի պահվածքը որոշակի ինտեգրալներ է վերցնում որպես հիմք մաթեմատիկական գործառույթների փոխադարձ աղբյուրի մեջ: Գնդակի ձախ եզրը հարթության մեջ դիտելիս չի դիպչում այն ​​գլանին, որի մեջ գրված է շրջանագիծը: Փոքր տարածքների գումարը, որոնք բաժանված են հարյուրավոր կտորային շարունակական գործառույթների, տվյալ ֆունկցիայի առցանց ինտեգրալն է: Ինտեգրալի մեխանիկական նշանակությունը կայանում է բազմաթիվ կիրառական խնդիրների մեջ, սա մարմինների ծավալի որոշումն է և մարմնի զանգվածի հաշվարկը: Եռակի և կրկնակի ինտեգրալները ներգրավված են հենց այս հաշվարկներում: Մենք պնդում ենք, որ ինտեգրալների առցանց լուծումն իրականացվում է միայն փորձառու ուսուցիչների հսկողության ներքո և բազմաթիվ ստուգումների միջոցով: Մեզ հաճախ հարցնում են այն ուսանողների առաջընթացի մասին, ովքեր չեն հաճախում դասախոսություններին, բաց են թողնում դրանք առանց որևէ պատճառի, ինչպես են նրանք կարողանում գտնել ինտեգրալն իրենք են: Մենք պատասխանում ենք, որ ուսանողներն ազատ մարդիկ են և կարող են լավ վերապատրաստվել որպես արտաքին ուսանող ՝ պատրաստվելով թեստի կամ քննության հարմարավետ տնային միջավայրում: Վայրկյանների ընթացքում մեր ծառայությունը կօգնի բոլոր նրանց, ովքեր ցանկանում են հաշվարկել տվյալ գործառույթի ինտեգրալը փոփոխականի նկատմամբ: Ստուգեք ստացված արդյունքը `վերցնելով հակաարտադրական ֆունկցիայի ածանցյալը: Այս դեպքում ինտեգրալի լուծույթից հաստատունն անհետանում է: Այս կանոնը ակնհայտ է բոլորի համար: Քանի որ բազմակողմանի գործողությունները հիմնավորված են, անորոշ ինտեգրալը հաճախ կրճատվում է ՝ տարածաշրջանը փոքր մասերի բաժանելով: Այնուամենայնիվ, որոշ ուսանողներ և դպրոցականներ անտեսում են այս պահանջը: Ինչպես միշտ, առցանց ինտեգրալները կարող են մանրամասն լուծվել մեր սպասարկման կայքի կողմից և չկան սահմանափակումներ հարցումների քանակի վերաբերյալ, ամեն ինչ անվճար է և հասանելի բոլորին: Չկան շատ նման կայքեր, որոնք քայլ առ քայլ պատասխան են տալիս վայրկյանների ընթացքում, և որ ամենակարևորն է ՝ բարձր ճշգրտությամբ և հարմար տեսքով: Վերջին օրինակում, տնային աշխատանքի հինգերորդ էջում կար մեկը, որը ցույց է տալիս ինտեգրալը քայլ առ քայլ հաշվարկելու անհրաժեշտությունը: Բայց մի մոռացեք այն մասին, թե ինչպես է հնարավոր գտնել պատրաստի ծառայության միջոցով ինտեգրալ, ժամանակի փորձարկված և փորձարկված հազարավոր լուծված օրինակների միջոցով առցանց: Ինչպես է նման ինտեգրալը որոշում համակարգի շարժումը, հստակ և հստակորեն վկայում է մածուցիկ հեղուկի շարժման բնույթը, որը նկարագրված է այս հավասարումների համակարգով:

Բարդ ինտեգրալներ

Այս հոդվածը լրացնում է անորոշ ինտեգրալների թեման և ներառում է այն ինտեգրալները, որոնք ես բավականին դժվարանում եմ: Դասը ստեղծվեց այցելուների կրկնվող խնդրանքներով, ովքեր հայտնեցին իրենց ցանկությունները, որ ավելի բարդ օրինակներ նույնպես վերլուծվեին կայքում:

Ենթադրվում է, որ այս տեքստի ընթերցողը լավ պատրաստված է և գիտի, թե ինչպես կիրառել ինտեգրման հիմնական տեխնիկան: Մարդիկ և մարդիկ, ովքեր այնքան էլ վստահ չեն ինտեգրալների մասին, պետք է անդրադառնան առաջին դասին ՝ Անորոշ ինտեգրալ: Լուծումների օրինակներ, որտեղ կարող եք գործնականում զրոյից տիրապետել թեմային: Ավելի փորձառու ուսանողները կարող են ծանոթանալ ինտեգրման տեխնիկային և մեթոդներին, որոնք դեռ չեն հանդիպել իմ հոդվածներում:

Ի՞նչ ինտեգրալներ են դիտարկվելու:

Նախ, մենք կդիտարկենք արմատներով ինտեգրալներ, որոնց լուծման համար մենք հաջորդաբար օգտագործում ենք փոփոխական փոխարինումեւ մասերի համակցում... Այսինքն, մեկ օրինակում միանգամից երկու տեխնիկա է համակցված: Եվ նույնիսկ ավելին:

Հետո կծանոթանանք մի հետաքրքիր ու օրիգինալ ինտեգրալն իր համար նվազեցնելու մեթոդը... Ոչ այնքան քիչ ինտեգրալներ են լուծվում այս կերպ:

Thirdրագրի երրորդ համարը կտրվի բարդ կոտորակների ինտեգրալներին, որոնք նախորդ հոդվածներում անցել են տոմսարկղերի կողքով:

Չորրորդ, կվերլուծվեն եռանկյունաչափական գործառույթների լրացուցիչ ինտեգրալներ: Մասնավորապես, կան մեթոդներ, որոնք խուսափում են ժամանակատար համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինումից:

(2) Ինտեգրանում մենք համարիչը բաժանում ենք հայտարարի տերմինով տերմինի վրա:

(3) Մենք օգտագործում ենք անորոշ ինտեգրալի գծային հատկությունը: Վերջին ինտեգրալում ՝ անմիջապես գործառույթը բերում ենք դիֆերենցիալ նշանի տակ.

(4) Վերցրեք մնացած ինտեգրալները: Նկատի ունեցեք, որ փակագծերը կարող են օգտագործվել լոգարիթմում, այլ ոչ թե մոդուլում, քանի որ:

(5) Մենք իրականացնում ենք հակադարձ փոխարինում ՝ արտահայտելով «te» ուղղակի փոխարինումից.

Մազոխիստ ուսանողները կարող են տարբերակել պատասխանը և ստանալ սկզբնական ինտեգրանը, ինչպես ես պարզապես արեցի: Ոչ, ոչ, ես ստուգումն արել եմ ճիշտ իմաստով =)

Ինչպես տեսնում եք, լուծման ընթացքում անհրաժեշտ էր օգտագործել լուծման նույնիսկ ավելի քան երկու մեթոդ, ուստի նման ինտեգրալների հետ գործ ունենալու համար անհրաժեշտ են վստահ ինտեգրման հմտություններ և ոչ թե ամենափոքր փորձը:

Գործնականում, իհարկե, քառակուսի արմատն ավելի տարածված է, ահա անկախ լուծման երեք օրինակ.

Օրինակ 2

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Օրինակ 3

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Օրինակ 4

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Այս օրինակները նույն տիպի են, ուստի հոդվածի վերջում ամբողջական լուծումը կլինի միայն Օրինակ 2 -ի համար, 3-4 -րդ օրինակներում `մեկ պատասխան: Կարծում եմ, լուծումների սկզբում ինչ փոխարինում օգտագործել, ակնհայտ է: Ինչու՞ վերցրի նույն տիպի օրինակներ: Նրանք հաճախ հանդիպում են իրենց դերում: Ավելի հաճախ, գուցե, պարզապես նման բան .

Բայց ոչ միշտ, երբ գծային ֆունկցիայի արմատը գտնվում է եռանկյունաձև, սինուս, կոսինուս, ցուցիչ և այլ գործառույթների տակ, միանգամից մի քանի մեթոդ պետք է կիրառվի: Մի շարք դեպքերում հնարավոր է «հեշտությամբ իջնել», այսինքն ՝ փոխարինումից անմիջապես հետո ստացվում է պարզ ինտեգրալ, որը վերցվում է տարրական: Վերոնշյալ առաջադրանքներից ամենահեշտը 4 -րդ օրինակն է, որում փոխարինելուց հետո ստացվում է համեմատաբար պարզ ինտեգրալ:

Ինտեգրալն իր մեջ նվազեցնելով

Հնարամիտ և գեղեցիկ մեթոդ: Եկեք անմիջապես նայենք ժանրի դասականներին.

Օրինակ 5

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Արմատի տակ կա քառակուսի երկհամանիշ, և երբ փորձում են ինտեգրել այս օրինակը, թեյնիկը կարող է ժամերով տուժել: Նման ինտեգրալը վերցվում է կտոր առ մաս և կրճատվում ինքն իրեն: Սկզբունքորեն, դժվար չէ: Եթե ​​գիտեք, թե ինչպես:

Եկեք լատինատառ նշենք քննարկվող ինտեգրալը և սկսենք լուծումը.

Մենք մաս առ մաս ինտեգրվում ենք.

(1) Պատրաստել ամբողջական բաժանման գործառույթ տերմինի բաժանման համար:

(2) Մենք ինտեգրանդը բաժանում ենք տերմինով: Թերևս բոլորը չեն հասկանում, ես ավելի մանրամասն կգրեմ.

(3) Մենք օգտագործում ենք անորոշ ինտեգրալի գծային հատկությունը:

(4) Վերցրեք վերջին ինտեգրալը («երկար» լոգարիթմ):

Այժմ մենք նայում ենք լուծման հենց սկզբին.

Եվ վերջում.

Ինչ է պատահել? Մեր մանիպուլյացիաների արդյունքում ինտեգրալը կրճատվեց ինքն իրեն:

Եկեք հավասարեցնենք սկիզբն ու վերջը.

Տեղափոխվեք ձախ ՝ նշանի փոփոխությամբ.

Եվ մենք տանում ենք աջ կողմը: Որպես արդյունք:

Անընդհատ, խստորեն ասած, պետք է ավելացվեր ավելի վաղ, բայց ավելացվեր վերջում: Ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս կարդալ այստեղ խիստը.

Նշում: Ավելի խիստ ՝ լուծման վերջին փուլն ունի հետևյալ տեսքը.

Այսպես.

Հաստատուն կարող է վերափոխվել որպես. Ինչու՞ կարող եք նորից նշանակել: Որովհետեւ դեռ ընդունում է ցանկացածարժեքները, և այս իմաստով տարբերություն չկա հաստատունների և.
Որպես արդյունք:

Նմանատիպ մշտական ​​վերափոխման հնարքը լայնորեն կիրառվում է դիֆերենցիալ հավասարումներ... Եվ այնտեղ ես խիստ կլինեմ: Եվ այստեղ այդպիսի ազատությունը թույլատրվում է իմ կողմից միայն ձեզ ավելորդ բաների հետ չշփոթեցնելու և ինտեգրման հենց մեթոդի վրա կենտրոնանալու համար:

Օրինակ 6

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Անկախ լուծման մեկ այլ բնորոշ ինտեգրալ: Ամբողջական լուծում և պատասխան ձեռնարկի վերջում: Պատասխանի տարբերությունը նախորդ օրինակից կլինի!

Եթե ​​քառակուսի արմատի տակ կա քառակուսի եռանուն, ապա լուծումն ամեն դեպքում կրճատվում է երկու վերլուծված օրինակների:

Օրինակ, հաշվի առեք ինտեգրալը ... Այն, ինչ ձեզ հարկավոր է անել, նախօրոք է ընտրել ամբողջական քառակուսին:
.
Հաջորդը, իրականացվում է գծային փոխարինում, որը բաժանվում է «առանց որևէ հետևանքի».
, որի արդյունքում կազմվում է ինտեգրալ: Ինչ -որ ծանոթ բան, այնպես չէ՞:

Կամ նման օրինակ ՝ քառակուսի երկհամարով.
Ընտրեք ամբողջական քառակուսին.
Եվ, գծային փոխարինումից հետո, մենք ստանում ենք ինտեգրալ, որը նույնպես լուծվում է արդեն դիտարկված ալգորիթմի համաձայն:

Մտածեք ևս երկու բնորոշ օրինակ, թե ինչպես կարելի է ինտեգրալն իր համար նվազեցնել.
- ցուցիչի ինտեգրալ ՝ սինուսով բազմապատկված.
Արդյո՞ք ցուցիչի ինտեգրալը բազմապատկվում է կոսինուսով:

Թվարկված ինտեգրալներում ըստ մասերի, մենք ստիպված կլինենք արդեն երկու անգամ ինտեգրվել.

Օրինակ 7

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Ինտեգրանը ցուցիչն է ՝ բազմապատկած սինուսով:

Մենք երկու անգամ ինտեգրվում ենք մասերով և ինտեգրալը կրճատում ենք ինքն իրեն.

Մասերի կողմից կրկնակի ինտեգրման արդյունքում ինտեգրալը կրճատվեց ինքն իրեն: Եկեք լուծման սկիզբն ու վերջը հավասարեցնենք.

Տեղափոխվեք ձախ նշանի փոփոխությամբ և արտահայտեք մեր ինտեգրալը.

Պատրաստ է: Theանապարհին նպատակահարմար է սանրել աջ կողմը, այսինքն. դրեք ցուցիչը փակագծերից դուրս, իսկ փակագծերում դասավորեք սինուսն ու կոսինուսը «գեղեցիկ» կարգով:

Հիմա վերադառնանք օրինակի սկզբին, ավելի ճիշտ `մասերի ինտեգրմանը.

Որովհետև մենք նշանակել ենք ցուցադրողին: Հարց է ծագում ՝ ճի՞շտ է, որ ցուցիչը միշտ պետք է նշվի: Ոչ անհրաժեշտ. Փաստորեն, համարվող ինտեգրալում հիմնովին նշանակություն չունիԻնչի համար նշանակել, հնարավոր էր գնալ այլ ճանապարհով.

Ինչու՞ է դա հնարավոր: Քանի որ ցուցիչը վերածվում է ինքն իր (ինչպես տարբերակման, այնպես էլ ինտեգրման ժամանակ), սինուսն ու կոսինուսը փոխադարձաբար փոխակերպվում են միմյանց (կրկին ՝ թե՛ տարբերակման, թե՛ ինտեգրման ժամանակ):

Այսինքն, կարող եք նաև նշանակել եռանկյունաչափական գործառույթ: Բայց դիտարկված օրինակում սա ավելի քիչ ռացիոնալ է, քանի որ կոտորակներ կհայտնվեն: Wishանկության դեպքում կարող եք փորձել լուծել այս օրինակը երկրորդ եղանակով, պատասխանները պետք է լինեն նույնը:

Օրինակ 8

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Սա օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար: Որոշում կայացնելուց առաջ մտածեք, թե այս դեպքում որն է ավելի շահավետ նշանակել `ցուցիչ կամ եռանկյունաչափական ֆունկցիա: Ամբողջական լուծում և պատասխան ձեռնարկի վերջում:

Եվ, իհարկե, հիշեք, որ այս դասի պատասխանների մեծ մասը բավականին հեշտ է տարբերակել:

Օրինակները համարվում էին ոչ թե ամենադժվարը: Գործնականում ինտեգրալներն ավելի տարածված են, երբ հաստատունը գտնվում է ինչպես եռանկյունաչափական ֆունկցիայի ցուցիչի, այնպես էլ փաստարկի մեջ, օրինակ. Շատերը ստիպված կլինեն մոլորվել նման ինտեգրալի մեջ, իսկ ես ինքս հաճախ շփոթվում եմ: Փաստն այն է, որ լուծման մեջ կոտորակների առաջացման մեծ հավանականություն կա, և աննկատությամբ ինչ -որ բան կորցնելը շատ հեշտ է: Բացի այդ, նշանների մեջ սխալի մեծ հավանականություն կա, նշեք, որ ցուցիչն ունի մինուս նշան, և դա լրացուցիչ դժվարություն է բերում:

Վերջնական փուլում հաճախ ստացվում է հետևյալը.

Նույնիսկ լուծման վերջում դուք պետք է չափազանց զգույշ լինեք և գրագետ զբաղվեք կոտորակների հետ.

Բարդ կոտորակների ինտեգրում

Մենք կամաց -կամաց մոտենում ենք դասի հասարակածին և սկսում կոտորակների ինտեգրալներ դիտարկել: Կրկին, ոչ բոլորն են չափազանց բարդ, պարզապես այս կամ այն ​​պատճառով օրինակները մի փոքր «թեմայից դուրս» էին այլ հոդվածներում:

Շարունակելով արմատների թեման

Օրինակ 9

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Արմատի տակ հայտարարում քառակուսի եռանուն գումարած «հավելում» արմատից դուրս «x» տեսքով է: Այս տեսակի ինտեգրալը լուծվում է ստանդարտ փոխարինման միջոցով:

Մենք որոշում ենք.

Փոխարինումը պարզ է.

Մենք կյանքին նայում ենք փոխարինումից հետո.

(1) Փոխարինումից հետո մենք արմատների տակ գտնվող պայմանները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի:
(2) Մենք հանում ենք արմատի տակից:
(3) Համարը և հայտարարը նվազեցրեք ըստ: Միևնույն ժամանակ, արմատից ներքև, ես պայմանները վերադասավորեցի հարմար հերթականությամբ: Որոշ փորձի դեպքում (1), (2) քայլերը կարող են բաց թողնվել ՝ մեկնաբանված գործողությունները բանավոր կատարելով:
(4) Ստացված ինտեգրալը, ինչպես հիշում եք դասից Որոշ կոտորակների ինտեգրում, լուծված լրիվ քառակուսի ընտրության մեթոդը... Ընտրեք ամբողջական քառակուսի:
(5) Ինտեգրմամբ մենք ստանում ենք սովորական «երկար» լոգարիթմ:
(6) Մենք իրականացնում ենք հակառակ փոխարինում: Եթե ​​սկզբում, ապա հետ.
(7) Վերջնական գործողությունն ուղղված է արդյունքի սանրվածքին. Արմատի տակ մենք կրկին բերում ենք պայմանները ընդհանուր հայտարարի և հանում դրանք արմատից:

Օրինակ 10

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Սա օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար: Այստեղ հաստատուն է ավելացվել միայնակ X- ին, և փոխարինումը գրեթե նույնն է.

Միակ բանը, որ պետք է լրացուցիչ անել, փոխարինումից «x» արտահայտելն է.

Ամբողջական լուծում և պատասխան ձեռնարկի վերջում:

Երբեմն նման ինտեգրալում կարող է արմատի տակ լինել քառակուսի երկվանի, սա չի փոխում լուծումը, այն նույնիսկ ավելի պարզ կլինի: Feգացեք տարբերությունը.

Օրինակ 11

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Օրինակ 12

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Հակիրճ լուծումներ և պատասխաններ դասի վերջում: Պետք է նշել, որ օրինակ 11 -ը հենց այդպես է երկակի ինտեգրալ, որի լուծման մեթոդը դիտարկվեց դասում Իռացիոնալ գործառույթների ինտեգրալներ.

Աստիճան 2 -ի անբաժանելի բազմանդամի ինտեգրալ

(բազմանդամը հայտարարի մեջ)

Ավելի հազվագյուտ, բայց, այնուամենայնիվ, գործնական օրինակներում հանդիպում ենք ինտեգրալի ձևին:

Օրինակ 13

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Բայց վերադառնանք բախտորոշ 13 -ի օրինակին (անկեղծ ասած, ճիշտ չէի կռահում): Այս ինտեգրալը նաև այն կատեգորիայի մեջ է, որի հետ դուք կարող եք բավականին տանջել ինքներդ ձեզ, եթե չգիտեք, թե ինչպես լուծել այն:

Լուծումը սկսվում է արհեստական ​​վերափոխումից.

Կարծում եմ, բոլորն արդեն հասկանում են, թե ինչպես կարելի է համարիչը բաժանել հայտարարի տերմինի վրա տերմինի:

Ստացված ինտեգրալը վերցվում է կտոր առ մաս.

Ձևի անբաժանելի մասի համար (բնական թիվ է), մենք ստացել ենք կրկնվողԱստիճանի նվազեցման բանաձև.
, որտեղ - ցածր աստիճանի ինտեգրալ:

Եկեք ստուգենք լուծված ինտեգրալի այս բանաձևի վավերականությունը:
Այս դեպքում մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ինչպես տեսնում եք, պատասխանները նույնն են:

Օրինակ 14

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Սա օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար: Նմուշի լուծույթը երկու անգամ անընդմեջ օգտագործում է վերը նշված բանաձևը:

Եթե ​​աստիճանի տակ կա անլուծելիքառակուսի եռյակ, ապա լուծումը կրճատվում է երկակի անվանման ՝ ընտրելով ամբողջական քառակուսին, օրինակ.

Ի՞նչ կլինի, եթե համարիչում լինի լրացուցիչ բազմանդամ: Այս դեպքում օգտագործվում է չսահմանված գործակիցների մեթոդը, և ինտեգրանդն ընդլայնվում է կոտորակների գումարի մեջ: Բայց նման օրինակի իմ պրակտիկայում երբեք չի հանդիպել, այնպես որ ես այս գործը բաց թողեցի հոդվածում Կոտորակային ռացիոնալ գործառույթի ինտեգրալներ, Ես հիմա բաց կթողնեմ: Եթե ​​այդպիսի ինտեգրալ դեռ կա, տես դասագիրքը. Այնտեղ ամեն ինչ պարզ է: Ես տեղին չեմ համարում նյութեր (նույնիսկ պարզ) ներառելը, որոնց հետ հանդիպման հավանականությունը զրոյի է ձգտում:

Բարդ եռանկյունաչափական գործառույթների ինտեգրում

Օրինակների մեծ մասի համար «դժվար» ածականը կրկին հիմնականում պայմանական է: Սկսենք բարձր աստիճանի շոշափողներից և կողակիցներից: Տանգենցի և կոթանգենտի լուծման համար օգտագործվող մեթոդների տեսանկյունից դրանք գրեթե նույնն են, ուստի ես ավելի շատ կխոսեմ տանգենտի մասին ՝ ենթադրելով, որ ինտեգրալի լուծման ցուցադրված մեթոդը գործում է նաև կոթանգենցի համար:

Վերոնշյալ դասում մենք նայեցինք ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինումեռանկյունաչափական գործառույթների ինտեգրալների որոշ տեսակների լուծման համար: Համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինման թերությունն այն է, որ այն օգտագործելիս հաճախ առաջանում են դժվարին հաշվարկներով ծանր ինտեգրալներ: Եվ որոշ դեպքերում կարելի է խուսափել ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինումից:

Քննենք մեկ այլ կանոնական օրինակ ՝ սինուսով բաժանված միասնության ինտեգրալը.

Օրինակ 17

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Այստեղ դուք կարող եք օգտագործել ընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինում և ստանալ պատասխանը, բայց կա ավելի ռացիոնալ միջոց: Ես կտրամադրեմ ամբողջական լուծում ՝ յուրաքանչյուր քայլի մեկնաբանություններով.

(1) Մենք օգտագործում ենք կրկնակի անկյան սինուս եռանկյունաչափական բանաձևը:
(2) Մենք իրականացնում ենք արհեստական ​​կերպարանափոխություն. Հայտարարի մեջ բաժանիր և բազմապատկիր:
(3) Ըստ հայտարարի հայտնի բանաձևի ՝ մենք կոտորակը վերածում ենք շոշափողի:
(4) Մենք ֆունկցիան բերում ենք դիֆերենցիալի նշանի տակ:
(5) Վերցրեք ինտեգրալը:

Անկախ լուծման մի քանի պարզ օրինակ.

Օրինակ 18

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Նշում. Առաջին քայլը ձուլման բանաձևն օգտագործելն է և ուշադիր իրականացնել նախորդ օրինակի նման գործողությունները:

Օրինակ 19

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Դե, սա շատ պարզ օրինակ է:

Լրացրեք լուծումները և պատասխանները դասի ավարտին:

Կարծում եմ, որ այժմ ոչ ոք խնդիրներ չի ունենա ինտեգրալների հետ.
եւ այլն

Ո՞րն է մեթոդի հիմքում ընկած գաղափարը: Գաղափարը կայանում է նրանում, որ ինտեգրանում կազմակերպվում են միայն շոշափուկներն ու շոշափելիքի ածանցյալը ՝ օգտագործելով փոխակերպումներ, եռանկյունաչափական բանաձևեր: Այսինքն, մենք խոսում ենք փոխարինելու մասին. ... Օրինակներ 17-19 -ում մենք իրականում կիրառում էինք այս փոխարինումը, բայց ինտեգրալներն այնքան պարզ էին, որ հարցը դիտարկվում էր համարժեք գործողությամբ `գործառույթը դիֆերենցիալ նշանի տակ դնելով:

Նմանատիպ պատճառաբանությունը, ինչպես արդեն նշեցի, կարող է իրականացվել կոթանգենտի համար:

Կա նաև վերը նշված փոխարինումը կիրառելու պաշտոնական նախադրյալ.

Կոսինուսի և սինուսի լիազորությունների գումարը բացասական ամբողջ ԱՆԳԱՄ թիվ է, օրինակ:

ինտեգրալի համար `բացասական ամբողջ ԱENԵՎԻ համար:

! Նշում .

Այս կանոնի համար հաշվի առեք մի քանի ավելի իմաստալից առաջադրանքներ.

Օրինակ 20

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Սինուսի և կոսինուսի ուժերի գումարը ՝ 2 - 6 = –4 բացասական ամբողջ ԱENԵՎ թիվ է, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրալը կարող է իջեցվել տանգենսների և դրա ածանցյալի.

(1) Փոխակերպի՛ր հայտարարը:
(2) Ըստ հայտնի բանաձևի, մենք ստանում ենք.
(3) Փոխակերպել հայտարարը:
(4) Մենք օգտագործում ենք բանաձևը .
(5) Մենք ֆունկցիան բերում ենք դիֆերենցիալի նշանի տակ:
(6) Մենք իրականացնում ենք փոխարինում: Ավելի փորձառու ուսանողները կարող են չփոխարինել, բայց միևնույն է, ավելի լավ է շոշափողը փոխարինել մեկ տառով `շփոթության ավելի քիչ հավանականություն կա:

Օրինակ 21

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Սա օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար:

Սպասեք, չեմպիոնական փուլերը սկսվում են =)

Հաճախ ինտեգրանում կա «խաբեբա».

Օրինակ 22

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Այս ինտեգրալն ի սկզբանե պարունակում է շոշափող, որն անմիջապես հուշում է արդեն ծանոթ մտքին.

Արհեստական ​​վերափոխում հենց սկզբում, իսկ մնացած քայլերը թողնում եմ առանց մեկնաբանության, քանի որ ամեն ինչ արդեն քննարկվել է վերևում:

Ինքնորոշման մի քանի ստեղծագործական օրինակ.

Օրինակ 23

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Օրինակ 24

Գտեք անորոշ ինտեգրալը

Այո, դրանցում, իհարկե, կարող եք իջեցնել սինուսի, կոսինուսի աստիճանները, օգտագործել ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինումը, սակայն լուծումը շատ ավելի արդյունավետ և կարճ կլինի, եթե այն գծեք շոշափումների միջոցով: Ամբողջական լուծում և պատասխաններ դասի վերջում

Ք.ա. հինգերորդ դարում հին հույն փիլիսոփա Eleենոն Էլեացին ձևակերպեց իր հայտնի ապորիաները, որոնցից ամենահայտնին «Աքիլեսն ու կրիան» ապորիան է: Այսպես է հնչում.

Ենթադրենք, Աքիլլեսը կրիայից տասն անգամ ավելի արագ է վազում եւ հազար քայլ հետ է մնում դրանից: Այս հեռավորությունը վազելու համար Աքիլեսից պահանջվող ժամանակի ընթացքում կրիան նույն ուղղությամբ հարյուր քայլ սողալու է: Երբ Աքիլլեսը վազի հարյուր քայլ, կրիան կսողա ևս տասը քայլ և այլն: Գործընթացը կշարունակվի անվերջ, Աքիլեսը երբեք չի հասնի կրիային:

Այս պատճառաբանությունը տրամաբանական ցնցում առաջացրեց հաջորդ բոլոր սերունդների համար: Արիստոտելը, Դիոգենեսը, Կանտը, Հեգելը, Հիլբերտը ... Նրանք բոլորը, այս կամ այն ​​կերպ, համարում էին enoենոնի ապորիաները: Theնցումն այնքան ուժեղ էր, որ « ... քննարկումները շարունակվում են ներկայումս, գիտական ​​հանրությանը դեռ չի հաջողվել ընդհանուր կարծիքի գալ պարադոքսների էության վերաբերյալ ... հարցի ուսումնասիրության մեջ ներգրավվել են մաթեմատիկական վերլուծություն, բազմությունների տեսություն, ֆիզիկական և փիլիսոփայական նոր մոտեցումներ: ; դրանցից ոչ մեկը չի դարձել հարցի ընդհանուր ընդունված լուծում ...«[Վիքիպեդիա, enoենոնի ապորիա»]: Բոլորը հասկանում են, որ իրենց խաբում են, բայց ոչ ոք չի հասկանում, թե որն է խաբեությունը:

Մաթեմատիկայի տեսանկյունից Zենոնը իր ապորիայի մեջ հստակ ցույց տվեց անցումը մեծությունից դեպի: Այս անցումը ենթադրում է հաստատունների փոխարեն կիրառում: Ինչքանով որ ես հասկանում եմ, փոփոխական չափման միավորներ կիրառելու մաթեմատիկական ապարատը կա՛մ դեռ մշակված չէ, կա՛մ չի կիրառվել enoենոնի ապորիայի դեպքում: Մեր սովորական տրամաբանությունը կիրառելը մեզ տանում է ծուղակի մեջ: Մենք, մտածողության իներցիայով, ժամանակի չափման մշտական ​​միավորներ ենք կիրառում փոխադարձի վրա: Ֆիզիկական տեսանկյունից այն կարծես ժամանակի ընդլայնում է, մինչև ամբողջովին դադարեցվի այն պահին, երբ Աքիլեսը կրիայի հետ հավասար է: Եթե ​​ժամանակը կանգ առնի, Աքիլլեսն այլևս չի կարող առաջ անցնել կրիայից:

Եթե ​​մենք շրջենք այն տրամաբանությունը, որին մենք սովոր ենք, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի: Աքիլլեսը վազում է հաստատուն արագությամբ: Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, այն հաղթահարելու համար ծախսված ժամանակը տասն անգամ ավելի քիչ է, քան նախորդը: Եթե ​​այս իրավիճակում կիրառենք «անվերջություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել «Աքիլլեսն անսահման արագ կհասնի կրիային»:

Ինչպե՞ս կարող եք խուսափել այս տրամաբանական ծուղակից: Մնացեք մշտական ​​ժամանակային միավորներում և հետ մի՛ գնացեք: Enoենոնի լեզվով ասված է այսպես.

Այն ընթացքում, որի ընթացքում Աքիլլեսը կվազի հազար քայլ, կրիան նույն ուղղությամբ հարյուր քայլ կսողա: Nextամանակի հաջորդ ընդմիջմանը, որը հավասար է առաջինին, Աքիլլեսը կանցնի ևս հազար քայլ, իսկ կրիան կսողա հարյուր քայլ: Այժմ Աքիլլեսը ութ հարյուր քայլ առաջ է կրիայից:

Այս մոտեցումը համարժեք կերպով նկարագրում է իրականությունը ՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների: Բայց սա խնդրի ամբողջական լուծում չէ: Լույսի արագության անհաղթահարելիության մասին Էյնշտեյնի հայտարարությունը շատ նման է enoենոն ապորիայի «Աքիլեսն ու կրիան»: Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերաիմաստավորենք և լուծենք այս խնդիրը: Եվ լուծումը պետք է փնտրել ոչ թե անսահման մեծ թվով, այլ չափման միավորներով:

Մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա Zենոն պատմում է թռչող նետի մասին.

Թռչող սլաքը անշարժ է, քանի որ ժամանակի ամեն պահի այն հանգստանում է, և քանի որ այն հանգստանում է ամեն պահի, միշտ հանգստանում է:

Այս ապորիայի դեպքում տրամաբանական պարադոքսը հաղթահարվում է շատ պարզ. Բավական է հստակեցնել, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահի թռչող սլաքը հանգստանում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է: Այստեղ պետք է նշել մեկ այլ կետ. Theանապարհին գտնվող մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ դրա շարժման փաստը, ոչ էլ դրա հեռավորությունը: Մեքենայի շարժման փաստը որոշելու համար անհրաժեշտ է երկու լուսանկար, որոնք արված են նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, սակայն դրանցից հեռավորությունը հնարավոր չէ որոշել: Մեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար ձեզ հարկավոր է երկու լուսանկար, որոնք արված են տիեզերքի տարբեր կետերից միաժամանակ, բայց դրանք չեն կարող որոշել շարժման փաստը (բնականաբար, հաշվարկների համար դեռ անհրաժեշտ են լրացուցիչ տվյալներ, եռանկյունաչափությունը կօգնի ձեզ): Այն, ինչ ես ուզում եմ հատուկ ուշադրություն հրավիրել, այն է, որ ժամանակի երկու կետերը և տարածության երկու կետերը տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք հետազոտության տարբեր հնարավորություններ են տալիս:

Չորեքշաբթի, 4 հուլիսի 2018

Կոմպլեկտի և բազմակողմանիի տարբերությունը շատ լավ նկարագրված է Վիքիպեդիայում: Մենք նայում ենք:

Ինչպես տեսնում եք, «հավաքածուի մեջ չեն կարող լինել երկու նույնական տարրեր», բայց եթե հավաքածուի մեջ կան նույնական տարրեր, ապա այդպիսի հավաքածուն կոչվում է «բազմաշերտ»: Աբսուրդի նման տրամաբանությունը երբեք չի հասկանա բանական էակները: Սա թութակների և վարժեցված կապիկների մակարդակն է, որոնց ինտելեկտը բացակայում է «ամբողջությամբ» բառից: Մաթեմատիկոսները հանդես են գալիս որպես սովորական մարզիչներ ՝ մեզ քարոզելով իրենց անհեթեթ գաղափարները:

Մի անգամ կամուրջը կառուցող ինժեներները կամրջի տակ նավակի մեջ էին կամրջի փորձարկումների ժամանակ: Եթե ​​կամուրջը փլուզվի, ապա անգործունակ ինժեները մահանում է իր ստեղծած փլատակների տակ: Եթե ​​կամուրջը կարողանար դիմանալ բեռին, տաղանդավոր ինժեները կկառուցեր այլ կամուրջներ:

Անկախ նրանից, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները թաքնվում «chur, I'm in the house» արտահայտության հետևում, ավելի ճիշտ ՝ «մաթեմատիկան ուսումնասիրում է վերացական հասկացությունները», կա մեկ պորտալար, որն անքակտելիորեն կապում է դրանք իրականության հետ: Այս պորտալարը փող է: Եկեք կիրառենք մաթեմատիկական բազմությունների տեսությունը հենց մաթեմատիկոսների վրա:

Մենք շատ լավ մաթեմատիկա էինք սովորում և հիմա նստած ենք դրամարկղի մոտ ՝ աշխատավարձեր տալով: Ահա գալիս է մաթեմատիկոս իր փողի համար: Մենք հաշվում ենք նրա ամբողջ գումարը և մեր սեղանին դնում տարբեր կույտերի մեջ, որոնցում դնում ենք նույն անվանական արժեքի թղթադրամները: Հետո յուրաքանչյուր կույտից վերցնում ենք մեկական հաշիվ և մաթեմատիկոսին տալիս նրա «աշխատավարձի մաթեմատիկական հավաքածուն»: Եկեք բացատրենք մաթեմատիկան, որ մնացած հաշիվները նա կստանա միայն այն ժամանակ, երբ ապացուցի, որ առանց նույնական տարրերի բազմությունը հավասար չէ նույնական տարրերով բազմությանը: Այստեղ է սկսվում զվարճանքը:

Նախ ՝ պատգամավորների տրամաբանությունը կգործի ՝ «Դուք կարող եք դա կիրառել ուրիշների վրա, դուք չեք կարող դա կիրառել ինձ վրա»: Ավելին, մենք կսկսենք մեզ հավաստիացնել, որ նույն անվանական արժեքի թղթադրամների վրա կան տարբեր անվանական թվեր, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող համարվել նույն տարրերը: Լավ, եկեք աշխատավարձը հաշվենք մետաղադրամներով - մետաղադրամների վրա թվեր չկան: Այստեղ մաթեմատիկոսը կսկսի խելագարորեն հիշել ֆիզիկան. Տարբեր մետաղադրամներ ունեն տարբեր քանակությամբ կեղտ, յուրաքանչյուր մետաղադրամի ատոմների բյուրեղային կառուցվածքը և դասավորությունը եզակի է ...

Եվ հիմա ես ունեմ ամենահետաքրքիր հարցը. Որտե՞ղ է այն գիծը, որից այն կողմ բազմաբնակարան տարրերը վերածվում են հավաքածուի տարրերի և հակառակը: Նման գիծ գոյություն չունի. Ամեն ինչ որոշում են շամանները, գիտությունը այստեղ ոչ մի տեղ պառկած չէր:

Նայեք այստեղ: Մենք ընտրում ենք նույն խաղադաշտով ֆուտբոլային մարզադաշտեր: Դաշտերի մակերեսը նույնն է, ինչը նշանակում է, որ մենք ստացել ենք բազմաշերտ: Բայց եթե հաշվի առնենք նույն մարզադաշտերի անունները, շատ բան կստանանք, քանի որ անունները տարբեր են: Ինչպես տեսնում եք, միևնույն տարրերի հավաքածուն միաժամանակ և՛ հավաքածու է, և՛ բազմաշերտ: Ինչպե՞ս է դա ճիշտ: Եվ ահա մաթեմատիկոս-շաման-շուլլերը թևից հանում է հաղթաթուղթ էսին և սկսում մեզ պատմել կա՛մ հավաքածուի, կա՛մ բազմակողմանի մասին: Ամեն դեպքում, նա մեզ կհամոզի, որ ինքը ճիշտ է:

Հասկանալու համար, թե ինչպես են ժամանակակից շամանները գործում հավաքածուի տեսության հետ ՝ այն կապելով իրականությանը, բավական է պատասխանել մեկ հարցի. Ինչո՞վ են մեկ հավաքածուի տարրերը տարբերվում մեկ այլ հավաքածուի տարրերից: Ես ցույց կտամ ձեզ ՝ առանց որևէ «մտածելի որպես մեկ ամբողջության» կամ «ոչ մտածելի որպես ամբողջության»:

Կիրակի, 18 մարտի 2018 թ

Թվի թվանշանների գումարը շամանների պար է դափի հետ, որը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ: Այո, մաթեմատիկայի դասերին մեզ սովորեցնում են գտնել թվի թվանշանների գումարը և օգտագործել այն, բայց այդ պատճառով նրանք շամաններ են `իրենց սերունդներին իրենց հմտություններն ու իմաստությունը սովորեցնելու համար, հակառակ դեպքում շամանները պարզապես կմահանան:

Ապացույցի կարիք ունե՞ք: Բացեք Վիքիպեդիան և փորձեք գտնել «Թվերի թվերի գումարը» էջը: Այն գոյություն չունի: Մաթեմատիկայում չկա բանաձև, որով կարելի է գտնել ցանկացած թվի թվանշանների գումարը: Ի վերջո, թվերը գրաֆիկական խորհրդանիշներ են, որոնց օգնությամբ մենք գրում ենք թվեր, և մաթեմատիկայի լեզվով առաջադրանքը հնչում է այսպես. «Գտեք ցանկացած թիվ ներկայացնող գրաֆիկական խորհրդանիշների գումարը»: Մաթեմատիկոսները չեն կարող լուծել այս խնդիրը, բայց շամանները `դա տարրական է:

Տեսնենք, թե ինչ և ինչպես ենք անում, որպեսզի գտնենք տվյալ թվի թվանշանների գումարը: Եվ այսպես, եկեք ունենանք 12345 թիվը: Ի՞նչ պետք է արվի, որպեսզի գտնենք այս թվի թվանշանների գումարը: Եկեք հաջորդաբար անցնենք բոլոր քայլերը:

1. Մենք թիվը գրում ենք թղթի վրա: Ի՞նչ ենք մենք արել: Մենք թիվը վերածել ենք թվի գրաֆիկական խորհրդանիշի: Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ:

2. Ստացված մեկ նկարը կտրեցինք առանձին թվեր պարունակող մի քանի նկարների: Նկարը կտրելը մաթեմատիկական գործողություն չէ:

3. Անհատական ​​գրաֆիկական խորհրդանիշները փոխակերպեք թվերի: Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ:

4. Ավելացրու ստացված թվերը: Հիմա դա մաթեմատիկա է:

12345 թվանշանների գումարը 15 է: Սրանք մաթեմատիկոսների կողմից օգտագործվող շամաններից «կտրելու և կարելու դասընթացներ» են: Բայց դա դեռ ամենը չէ:

Մաթեմատիկայի տեսանկյունից էական չէ, թե որ թվային համակարգում ենք գրում թիվը: Այսպիսով, տարբեր թվային համակարգերում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր կլինի: Մաթեմատիկայում թվային համակարգը նշվում է որպես թվի աջ կողմի ենթավերնագիր: Մեծ թվով 12345 -ով, ես չեմ ուզում գլուխս հիմարացնել, հաշվի առեք հոդվածից 26 թիվը: Եկեք այս թիվը գրենք երկուական, ութանկյուն, տասնորդական և տասնվեցական թվային համակարգերում: Մենք մանրադիտակով չենք նայելու յուրաքանչյուր քայլի, մենք դա արդեն արել ենք: Տեսնենք արդյունքը:

Ինչպես տեսնում եք, տարբեր թվային համակարգերում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր է: Այս արդյունքը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ: Դա նույնն է, ինչ եթե լրիվ այլ արդյունքներ ստանաք, երբ ուղղանկյան մակերեսը որոշեք մետրերով և սանտիմետրերով:

Բոլոր թվային համակարգերում զրոյական տեսքը նույնն է և չունի թվանշանների գումար: Սա ևս մեկ փաստարկ է այն բանի համար, որ. Հարց մաթեմատիկոսներին. Ինչպե՞ս է մի բան, որը թվ չէ, նշանակված է մաթեմատիկայում: Ի՞նչ է, մաթեմատիկոսների համար, բացի թվերից: Շամանների համար ես կարող եմ դա թույլ տալ, իսկ գիտնականների համար `ոչ: Իրականությունը միայն թվերով չէ:

Ստացված արդյունքը պետք է դիտվի որպես ապացույց, որ թվային համակարգերը թվերի չափման միավոր են: Ի վերջո, մենք չենք կարող թվերը համեմատել չափման տարբեր միավորների հետ: Եթե ​​նույն քանակի տարբեր չափման միավորներով նույն գործողությունները դրանց համեմատությունից հետո հանգեցնում են տարբեր արդյունքների, ապա դա ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ:

Ի՞նչ է իրական մաթեմատիկան: Սա այն դեպքում, երբ մաթեմատիկական գործողության արդյունքը կախված չէ թվի մեծությունից, օգտագործվող չափման միավորից և նրանից, թե ով է կատարում այս գործողությունը:

Նշան դռան վրա Բացում է դուռը և ասում.

Օuհ Սա կանացի զուգարան չէ՞:
- Երիտասարդ կին! Սա լաբորատորիա է երկինք համբարձվելու ժամանակ հոգիների անխտիր սրբության ուսումնասիրության համար: Halo վերևում և սլաքը ՝ դեպի վեր: Էլ ի՞նչ զուգարան:

Իգական ... Վերևի և ներքևի սլաքը արու է:

Եթե ​​այսպիսի դիզայներական արվեստի մի կտոր փայլում է ձեր աչքերի առջև օրական մի քանի անգամ,

Հետո զարմանալի չէ, որ ձեր մեքենայում դուք հանկարծ մի տարօրինակ պատկերակ եք գտնում.

Անձամբ ես ջանքեր եմ գործադրում իմ վրա, որպեսզի խեղճացած մարդու մեջ (մեկ նկար) ես տեսնեմ մինուս չորս աստիճան (մի քանի նկարների կազմ. Մինուս նշան, թիվ չորս, աստիճանների նշանակում): Եվ ես չեմ կարծում, որ այս աղջիկը հիմար է, ով ֆիզիկա չգիտի: Նա պարզապես ունի գրաֆիկական պատկերների ընկալման կարծրատիպ: Եվ մաթեմատիկոսները մեզ անընդհատ սովորեցնում են սա: Ահա մի օրինակ.

1 Ա -ն «մինուս չորս աստիճան» կամ «մեկ ա» չէ: Սա «թուխ մարդ» է կամ «քսան վեց» թիվը ՝ տասնվեցերորդ նշումով: Այն մարդիկ, ովքեր անընդհատ աշխատում են այս թվային համակարգում, ինքնաբերաբար ընկալում են թիվը և տառը որպես մեկ գրաֆիկական խորհրդանիշ: