Բարդ փոփոխականի z- ի գծային ֆունկցիան այն ձևի ֆունկցիան է, որտեղ a- ին և 6-ին տրվում են բարդ թվեր, և a Φ 0. Գծային գործառույթը սահմանվում է անկախ z փոփոխականի բոլոր արժեքների համար, մեկարժեք է և քանի որ հակադարձ գործառույթը նույնպես մեկարժեք է, միարժեք ՝ ամբողջ հարթության վրա z: Գծային ֆունկցիան վերլուծական է ամբողջ բարդ հարթության մեջ, և դրա ածանցյալը, հետևաբար, դրանով իրականացվող քարտեզագրումը համահունչ է ամբողջ հարթությունում: Կոտորակային գծային ֆունկցիան ձևի ֆունկցիա է `տրված բարդ թվեր, և կոտորակային գծային գործառույթը որոշվում է zy անկախ փոփոխականի բոլոր արժեքների համար, բացառությամբ z =-|, մեկարժեք է և, քանի որ հակադարձ գործառույթը Բարդ փոփոխականի տարրական ֆունկցիաները Կոտորակային ռացիոնալ գործառույթներ Ուժի օրենքի էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գործառույթ Լոգարիթմական ֆունկցիա Եռանկյունաչափական և հիպերբոլիկ ֆունկցիաները միարժեք են, միարժեք են ամբողջ բարդ հարթության վրա, բացառելով z =-այս տարածաշրջանում գործառույթը (3) վերլուծական է և հետևաբար, դրա ածանցյալը համապատասխան է: Եկեք ընդլայնենք (3) ֆունկցիայի սահմանումը z = - \ կետում, դնելով £) = oo և նշանակենք z (oo) = կետը անսահմանության w = oo կետին: Այնուհետև գծային կոտորակային ֆունկցիան կլինի միարժեք: ընդլայնված բարդ հարթությունում z. Օրինակ 1. Հաշվի առեք գծային-կոտորակային ֆունկցիան: Հավասարությունից հետևում է, որ r և u բարդ թվերի մոդուլները հարաբերակցվում են հարաբերակցության հետ, և իրենք այդ թվերը տեղակայված են O կետից դուրս եկող և իրական առանցքի սիմետրիկ ճառագայթների վրա: Մասնավորապես, միավոր շրջանագծի | z | = 1 գնալ միավոր շրջանագծի L = 1. Այս դեպքում միակցված թիվը տրվում է բարդ թվին (նկ. 11): Նկատի ունեցեք նաև, որ r = -g գործառույթը քարտեզագրում է անվերջության կետը r - oo դեպի զրոյական կետ r - 0. 2.2. Հզորության գործառույթ Հզորության գործառույթ, որտեղ n- ը բնական թիվ է, վերլուծական ամբողջ բարդ հարթությունում; նրա ածանցյալը = nzn ~] n> 1 -ի համար ոչ զրո է բոլոր կետերում, բացառությամբ z = 0. w և z- ն (4) բանաձևով ցուցադրական տեսքով գրելով (5) բանաձևից ստանում ենք, որ Z \ և z2 բարդ թվերն այնպիսին են, որ որտեղ k ամբողջ թիվ է գնում մի կետ w: Հետևաբար, n> 1-ի դեպքում (4) քարտեզագրումը z- հարթության վրա միարժեք չէ: Դոմենի ամենապարզ օրինակը, որտեղ քարտեզագրումը ry = zn միարժեք չէ, այն հատվածն է, որտեղ a- ն իրական թիվ է: (7) տիրույթում քարտեզագրումը (4) համապատասխան է: - բազմարժեք է, քանի որ յուրաքանչյուր բարդ թվի համար z = r1 σε Φ 0- ում կարելի է նշել տարբեր բարդ թվեր, որոնք իրենց n -րդ աստիճանհավասար է z- ի: Նկատի ունեցեք, որ բարդ փոփոխականի n աստիճանի բազմանդամը գործառույթ է, որտեղ տրվում են բարդ թվեր, և ao Φ 0. degreeանկացած աստիճանի բազմանդամը վերլուծական գործառույթ է ամբողջ բարդ հարթության վրա: 2.3. Կոտորակային-ռացիոնալ գործառույթը Կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան այն ձևի ֆունկցիան է, որտեղ) բարդ փոփոխականի z բազմազնին են: Կոտորակային ռացիոնալ գործառույթը վերլուծական է ամբողջ հարթությունում, բացառությամբ այն կետերի, որոնցում Q (z) հայտարարը անհետանում է: Օրինակ 3. ukուկովսկու __ ֆունկցիան վերլուծական է ամբողջ z հարթության վրա `բացառելով z = 0. կետը: Եկեք պարզենք, թե ինչ պայմաններ կան այն բարդ հարթության այն տարածաշրջանի վրա, որի համաձայն regionուկովսկու գործառույթը, որը դիտարկվում է այս տարածաշրջանում, միարժեք չէ: M Թող Z) և zj կետերը ըստ գործառույթի (8) հասցվեն մեկ կետի: Հետո, մենք ստանում ենք, որ, հետևաբար, ukուկովսկու գործառույթի միարժեքության համար անհրաժեշտ և բավարար է պայմանը բավարարելու համար: Միարժեքության պայմանը (9) բավարարող տիրույթի օրինակ է շրջանագծի արտաքին | z | > 1. Քանի որ ukուկովսկու ֆունկցիայի ածանցյալը Բարդ փոփոխականի տարրական գործառույթներ Կոտորակային ռացիոնալ գործառույթներ Հզորության գործառույթ Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա Լոգարիթմական գործառույթ Եռանկյունաչափական և հիպերբոլիկ գործառույթներն ամենուր ոչ զրո են, բացառությամբ կետերի, այս գործառույթով իրականացվող տարածաշրջանի քարտեզագրումը կլինի համապատասխան: (Նկ. 13): Նկատի ունեցեք, որ միավորի սկավառակի | I- ը նաև ukուկովսկու գործառույթի միարժեքության տիրույթն է: Բրինձ 13 2.4. Onուցադրական գործառույթը ez ցուցիչ գործառույթը սահմանվում է z = x + zy ցանկացած բարդ թվի համար հետևյալ կերպ. X = 0 -ի համար մենք ստանում ենք Էյլերի բանաձևը. Եկեք նկարագրենք էքսոնենցիալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները. 1. Իրական z- ի համար այս սահմանումը նույնն է, ինչ սովորաբար. Սա կարող է ուղղակիորեն հաստատվել `y = 0. 2. ez գործառույթը վերլուծական է ամբողջ բարդ հարթության վրա, և դրա համար մնում է սովորական տարբերակման բանաձևը: 3. Լրացման թեորեմը պահպանվում է e գործառույթի համար: Մենք դնում ենք 4. ez գործառույթը պարբերական է ՝ երևակայական հիմնական պարբերությամբ 2xi: Իրոք, ցանկացած ամբողջ թվի համար k Շերտը չի պարունակում մեկ զույգ կետեր, որոնք կապված են հարաբերության հետ (12), հետևաբար, կատարված ուսումնասիրությունից հետևում է, որ w = e "քարտեզագրումը շղթայում մեկ տող է (նկ. 14): Որպես ածանցյալ ՝ սա քարտեզագրումը համահունչ է: Նշում: rg ֆունկցիան ցանկացած շերտում միարժեք չէ: Լոգարիթմական ֆունկցիան, որտեղ տրված, անհայտ հավասարումից, մենք ստանում ենք Հետևաբար գործառույթը, ֆունկցիայի հակադարձը սահմանված է ցանկացածի համար և ներկայացված է բանաձևով, որտեղ բազմարժեք ֆունկցիան կոչվում է լոգարիթմական և նշվում է հետևյալ կերպ. Այնուհետև մենք ստանում ենք 2.6 բանաձև Ln z- ի համար: Եռանկյունաչափական և հիպերբոլիկ գործառույթներ Էյլերի բանաձևից (11) իրական y- ի համար մենք ստանում ենք. z թիվը հետևյալ բանաձևերի միջոցով. Բարդ փաստարկի սինուսն ու կոսինուսը հետաքրքիր հատկություններ ունեն: Թվարկենք հիմնականները: sinz և cos z գործառույթները ՝ 1) իրական x z-x- ը համընկնում է սովորական սինուսների և կոսինուսների հետ. 2) վերլուծական են ամբողջ բարդ հարթության վրա. 3) ենթարկվել սովորական տարբերակման բանաձևերին. 4) պարբերական ՝ 2 մ. 5) sin z- ը կենտ գործառույթ է, իսկ cos z- ը `զույգ գործառույթ. 6) պահպանվում են սովորական եռանկյունաչափական հարաբերությունները: Թվարկված բոլոր հատկությունները հեշտությամբ ստացվում են բանաձևերից (15): Բարդ տիրույթում tgz և ctgz գործառույթները որոշվում են բանաձևերով, իսկ հիպերբոլիկ գործառույթները ՝ բանաձևերով: ևս մեկ կարևոր հատկություն. բարդ հարթության վրա | \, նրանք ընդունում են կամայականորեն մեծ դրական հատկություններ: Օգտագործելով հատկությունները 6 և բանաձևեր (18), մենք ստանում ենք, որ բարդ փոփոխականի տարրական գործառույթներ Կոտորակային ռացիոնալ գործառույթներ Հզորության գործառույթ Էքսպոնենցիալ գործառույթ Լոգարիթմական գործառույթ Եռանկյունաչափական և հիպերբոլիկ գործառույթներ , մենք ունենք օրինակ 4. Հեշտ է ստուգել, ​​որ -4 Իրոք,

11 Բարդ փոփոխականի հիմնական գործառույթները

Եկեք հիշենք բարդ ցուցիչի սահմանումը. Հետո

Maclaurin շարքի ընդլայնում: Այս շարքի մերձեցման շառավիղը + է, ինչը նշանակում է, որ բարդ ցուցիչը վերլուծական է ամբողջ բարդ հարթության վրա և

(exp z) "= exp z; exp 0 = 1. (2)

Առաջին հավասարությունն այստեղ հետևում է, օրինակ, ուժային շարքի տերմինների տարբերակման թեորեմից:

11.1 Եռանկյունաչափական և հիպերբոլիկ գործառույթներ

Սինուսային բարդ փոփոխականկոչվում է գործառույթ

Բարդ փոփոխականի կոսինուսկա գործառույթ

Բարդ փոփոխականի հիպերբոլիկ սինուսսահմանվում է այսպես.

Բարդ փոփոխականի հիպերբոլիկ կոսինուսգործառույթ է

Եկեք նշենք նոր ներդրված գործառույթների որոշ հատկություններ:

Ա.Եթե ​​x∈ ℝ, ապա cos x, sin x, ch x, sh x∈:

Բ.Եռանկյունաչափական և հիպերբոլիկ գործառույթների միջև կա հետևյալ կապը.

cos iz = ch z; sin iz = ish z, ch iz = cos z; sh iz = isin z.

Բ. Հիմնական եռանկյունաչափական և հիպերբոլիկ ինքնություններ:

cos 2 z + sin 2 z = 1; ch 2 z-sh 2 z = 1:

Հիմնական հիպերբոլիկ ինքնության ապացույց:

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը բխում է հիմնական հիպերբոլիկ ինքնությունից `հաշվի առնելով եռանկյունաչափական և հիպերբոլիկ գործառույթների միջև կապը (տես հատկություն Բ)

Գ Լրացման բանաձևեր:

Մասնավորապես,

Դ.Եռանկյունաչափական և հիպերբոլիկ ֆունկցիաների ածանցյալները հաշվարկելու համար պետք է կիրառել թեորեմը հզորությունների շարքի տերմին-տերմին տարբերակման վերաբերյալ: Մենք ստանում ենք.

(cos z) "= - մեղք z; (մեղք z)" = cos z; (ch z) "= sh z; (sh z)" = ch z.

Ե. Cos z, ch z գործառույթները զույգ են, իսկ sin z, sh z գործառույթները ՝ կենտ:

Գ. (Պարբերականություն) E z գործառույթը պարբերական է ՝ 2π i ժամանակահատվածով: Cos z, sin z գործառույթները պարբերական են ՝ 2π, իսկ ch z, sh z գործառույթները ՝ 2πi ժամանակահատվածով: Ավելին,

Կիրառելով գումարի բանաձևերը ՝ մենք ստանում ենք

Զ. Իրական և մտացածին մասերի տարրալուծումներ:

Եթե ​​f (z) մեկ արժեք ունեցող վերլուծական ֆունկցիան bijectively քարտեզագրում է D տիրույթը G տիրույթի վրա, ապա D- ն կոչվում է ճեղքվածքի տիրույթ:

ԵՎ.Տիրույթ D k = (x + iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Ապացույց. Հարաբերությունից (5) հետևում է, որ քարտեզագրման exp. D k → ℂ ներարկիչ է: Թող w լինի ցանկացած ոչ զրո բարդ թիվ: Այնուհետև լուծելով հավասարումները e x = | w | և e iy = w / | w | իրական փոփոխականներով x և y (ընտրեք y կես միջակայքից)