Pemecahan masalah dalam matematika seringkali disertai dengan banyak kesulitan bagi siswa. Membantu siswa mengatasi kesulitan-kesulitan ini, serta mengajar mereka untuk menerapkan pengetahuan teoretis yang ada ketika memecahkan masalah spesifik di semua bagian kursus dalam mata pelajaran “Matematika” adalah tujuan utama situs kami.

Ketika mulai menyelesaikan masalah pada topik tersebut, siswa harus mampu mengkonstruksi suatu titik pada suatu bidang dengan menggunakan koordinatnya, serta menemukan koordinat suatu titik tertentu.

Perhitungan jarak antara dua titik A(x A; y A) dan B(x B; y B) yang diambil pada suatu bidang dilakukan dengan menggunakan rumus d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), di mana d adalah panjang segmen yang menghubungkan titik-titik tersebut pada bidang.

Jika salah satu ujung ruas berimpit dengan titik asal koordinat, dan ujung lainnya berkoordinat M(x M; y M), maka rumus menghitung d berbentuk OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Perhitungan jarak antara dua titik berdasarkan koordinat titik-titik tersebut

Contoh 1.

Tentukan panjang ruas yang menghubungkan titik A(2; -5) dan B(-4; 3) pada bidang koordinat (Gbr. 1).

Larutan.

Rumusan masalah menyatakan: x A = 2; x B = -4; y A = -5 dan y B = 3. Carilah d.

Menerapkan rumus d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), kita mendapatkan:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Perhitungan koordinat suatu titik yang berjarak sama dari tiga titik tertentu

Contoh 2.

Tentukan koordinat titik O 1 yang berjarak sama dari tiga titik A(7; -1) dan B(-2; 2) dan C(-1; -5).

Larutan.

Dari rumusan kondisi masalah maka O 1 A = O 1 B = O 1 C. Misalkan titik O 1 yang diinginkan mempunyai koordinat (a; b). Dengan menggunakan rumus d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) kita temukan:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Mari kita buat sistem dua persamaan:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Setelah mengkuadratkan ruas kiri dan kanan persamaan, kita tulis:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Sederhananya, mari kita menulis

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Setelah menyelesaikan sistem, kita mendapatkan: a = 2; b = -1.

Titik O 1 (2; -1) berjarak sama dari tiga titik yang ditentukan dengan syarat tidak terletak pada garis lurus yang sama. Titik ini merupakan pusat lingkaran yang melalui tiga titik tertentu (Gbr. 2).

3. Perhitungan absis (ordinat) suatu titik yang terletak pada sumbu absis (ordinat) dan berada pada jarak tertentu dari suatu titik tertentu

Contoh 3.

Jarak titik B(-5; 6) ke titik A yang terletak pada sumbu Sapi adalah 10. Tentukan titik A.

Larutan.

Dari rumusan kondisi masalah diperoleh ordinat titik A sama dengan nol dan AB = 10.

Menyatakan absis titik A dengan a, kita tulis A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Kita mendapatkan persamaan √((a + 5) 2 + 36) = 10. Sederhanakan, kita punya

sebuah 2 + 10a – 39 = 0.

Akar persamaan ini adalah 1 = -13; dan 2 = 3.

Kami mendapatkan dua poin A 1 (-13; 0) dan A 2 (3; 0).

Penyelidikan:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Kedua poin yang diperoleh sesuai dengan kondisi permasalahan (Gbr. 3).

4. Perhitungan absis (ordinat) suatu titik yang terletak pada sumbu absis (ordinat) dan berjarak sama dari dua titik tertentu

Contoh 4.

Carilah titik pada sumbu Oy yang berjarak sama dari titik A (6, 12) dan B (-8, 10).

Larutan.

Misalkan koordinat titik yang terletak pada sumbu Oy yang diperlukan oleh kondisi soal adalah O 1 (0; b) (pada titik yang terletak pada sumbu Oy, absisnya nol). Maka dari kondisi tersebut O 1 A = O 1 B.

Dengan menggunakan rumus d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) kita temukan:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Kita mempunyai persamaan √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) atau 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Setelah disederhanakan diperoleh: b – 4 = 0, b = 4.

Poin O 1 (0; 4) diperlukan oleh kondisi masalah (Gbr. 4).

5. Perhitungan koordinat suatu titik yang terletak pada jarak yang sama dari sumbu koordinat dan suatu titik tertentu

Contoh 5.

Temukan titik M yang terletak pada bidang koordinat pada jarak yang sama dari sumbu koordinat dan dari titik A(-2; 1).

Larutan.

Titik M yang diperlukan, seperti titik A(-2; 1), terletak pada sudut koordinat kedua, karena berjarak sama dari titik A, P 1 dan P 2 (Gbr. 5). Jarak titik M dari sumbu koordinat adalah sama, sehingga koordinatnya adalah (-a; a), dimana a > 0.

Dari kondisi soal maka MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

itu. |-sebuah| = sebuah.

Dengan menggunakan rumus d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) kita temukan:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Mari kita buat persamaan:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Setelah mengkuadratkan dan menyederhanakan, kita mendapatkan: a 2 – 6a + 5 = 0. Selesaikan persamaannya, carilah a 1 = 1; dan 2 = 5.

Kita memperoleh dua titik M 1 (-1; 1) dan M 2 (-5; 5) yang memenuhi kondisi masalah.

6. Perhitungan koordinat suatu titik yang terletak pada jarak tertentu yang sama dari sumbu absis (ordinat) dan dari titik tertentu

Contoh 6.

Carilah titik M sedemikian rupa sehingga jaraknya dari sumbu ordinat dan dari titik A(8; 6) sama dengan 5.

Larutan.

Dari kondisi soal MA = 5 dan absis titik M sama dengan 5. Misalkan ordinat titik M sama dengan b, maka M(5; b) (Gbr. 6).

Berdasarkan rumus d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) kita mempunyai:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Mari kita buat persamaan:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Sederhanakan, kita peroleh: b 2 – 12b + 20 = 0. Akar-akar persamaan ini adalah b 1 = 2; b 2 = 10. Akibatnya, ada dua titik yang memenuhi syarat soal: M 1 (5; 2) dan M 2 (5; 10).

Diketahui bahwa banyak siswa, ketika memecahkan masalah secara mandiri, memerlukan konsultasi terus-menerus tentang teknik dan metode penyelesaiannya. Seringkali, seorang siswa tidak dapat menemukan cara untuk memecahkan suatu masalah tanpa bantuan seorang guru. Siswa dapat menerima saran yang diperlukan untuk memecahkan masalah di situs web kami.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara mencari jarak antara dua titik pada bidang?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Jarak dari titik ke titik adalah panjang segmen yang menghubungkan titik-titik ini pada skala tertentu. Oleh karena itu, dalam mengukur jarak, Anda perlu mengetahui skala (satuan panjang) yang akan dilakukan pengukurannya. Oleh karena itu, masalah mencari jarak dari suatu titik ke titik biasanya dipertimbangkan baik pada garis koordinat atau dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang pada bidang atau ruang tiga dimensi. Dengan kata lain, paling sering Anda harus menghitung jarak antar titik menggunakan koordinatnya.

Pada artikel ini, pertama-tama kita akan mengingat kembali bagaimana jarak dari titik ke titik pada garis koordinat ditentukan. Selanjutnya kita memperoleh rumus untuk menghitung jarak antara dua titik pada suatu bidang atau ruang menurut koordinat yang diberikan. Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan secara rinci solusi dari contoh dan masalah umum.

Navigasi halaman.

Jarak antara dua titik pada suatu garis koordinat.

Mari kita definisikan dulu notasinya. Kami akan menyatakan jarak dari titik A ke titik B sebagai .

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa jarak titik A yang berkoordinat ke titik B yang berkoordinat sama dengan modulus selisih koordinat, itu adalah, untuk setiap lokasi titik pada garis koordinat.

Jarak dari titik ke titik pada bidang, rumus.

Kita memperoleh rumus untuk menghitung jarak antar titik dan diberikan dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang pada suatu bidang.

Tergantung pada lokasi titik A dan B, opsi berikut ini dimungkinkan.

Jika titik A dan B berimpit, maka jarak keduanya adalah nol.

Jika titik A dan B terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu absis, maka titik-titik tersebut berimpit dan jaraknya sama dengan jarak . Pada paragraf sebelumnya kita telah mengetahui bahwa jarak antara dua titik pada suatu garis koordinat sama dengan modulus selisih koordinatnya, oleh karena itu, . Karena itu, .

Demikian pula, jika titik A dan B terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu ordinat, maka jarak titik A ke titik B ditentukan sebagai .

Dalam hal ini, segitiga ABC berkonstruksi persegi panjang, dan Dan . Oleh teori Pitagoras kita dapat menuliskan persamaannya, dari mana .

Mari kita rangkum semua hasil yang diperoleh: jarak suatu titik ke titik pada bidang dicari melalui koordinat titik-titik tersebut dengan menggunakan rumus .

Rumus yang dihasilkan untuk mencari jarak antar titik dapat digunakan jika titik A dan B berimpit atau terletak pada garis lurus yang tegak lurus salah satu sumbu koordinat. Jika A dan B berimpit, maka . Jika titik A dan B terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu Ox, maka. Jika A dan B terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu Oy, maka .

Jarak antar titik dalam ruang, rumus.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang Oxyz di ruang angkasa. Mari kita dapatkan rumus untuk mencari jarak dari suatu titik ke titik .

Secara umum titik A dan B tidak terletak pada bidang yang sejajar dengan salah satu bidang koordinat. Mari kita menggambar melalui titik A dan B bidang yang tegak lurus sumbu koordinat Ox, Oy dan Oz. Titik perpotongan bidang-bidang ini dengan sumbu koordinat akan memberi kita proyeksi titik A dan B pada sumbu-sumbu tersebut. Kami menunjukkan proyeksinya .

Jarak yang diperlukan antara titik A dan B adalah diagonal dari parallelepiped persegi panjang yang ditunjukkan pada gambar. Secara konstruksi, dimensi paralelepiped ini sama Dan . Dalam pelajaran geometri SMA terbukti bahwa kuadrat diagonal suatu balok sama dengan jumlah kuadrat ketiga dimensinya, oleh karena itu, . Berdasarkan informasi pada bagian pertama artikel ini, kita dapat menulis persamaan berikut, oleh karena itu,

dari mana kita mendapatkannya rumus mencari jarak antar titik dalam ruang .

Rumus ini juga berlaku jika poin A dan B

• sesuai;
• termasuk dalam salah satu sumbu koordinat atau garis yang sejajar dengan salah satu sumbu koordinat;
• termasuk dalam salah satu bidang koordinat atau bidang yang sejajar dengan salah satu bidang koordinat.

Mencari jarak titik ke titik, contoh dan penyelesaiannya.

Jadi, kita telah memperoleh rumus untuk mencari jarak antara dua titik pada garis koordinat, bidang, dan ruang tiga dimensi. Saatnya untuk melihat solusi dari contoh-contoh umum.

Jumlah soal yang langkah terakhirnya adalah mencari jarak antara dua titik menurut koordinatnya sangatlah banyak. Tinjauan lengkap atas contoh-contoh tersebut berada di luar cakupan artikel ini. Di sini kita akan membatasi diri pada contoh-contoh di mana koordinat dua titik diketahui dan jarak antara keduanya perlu dihitung.

Dengan menggunakan koordinat, lokasi suatu benda di dunia ditentukan. Koordinat ditunjukkan dengan garis lintang dan garis bujur. Garis lintang diukur dari garis khatulistiwa di kedua sisi. Di belahan bumi utara garis lintangnya positif, di belahan bumi selatan garis lintangnya negatif. Bujur diukur dari meridian utama baik timur atau barat, masing-masing diperoleh bujur timur atau barat.

Menurut posisi yang diterima secara umum, meridian utama dianggap sebagai meridian yang melewati Observatorium Greenwich lama di Greenwich. Koordinat geografis lokasi dapat diperoleh dengan menggunakan navigator GPS. Perangkat ini menerima sinyal sistem penentuan posisi satelit dalam sistem koordinat WGS-84, yang seragam untuk seluruh dunia.

Model navigator berbeda dalam pabrikan, fungsionalitas, dan antarmuka. Saat ini, navigator GPS internal juga tersedia di beberapa model ponsel. Namun model apa pun dapat merekam dan menyimpan koordinat suatu titik.

Jarak antar koordinat GPS

Untuk menyelesaikan permasalahan praktis dan teoritis di beberapa industri, diperlukan kemampuan menentukan jarak antar titik berdasarkan koordinatnya. Ada beberapa cara untuk melakukan ini. Bentuk kanonik yang mewakili koordinat geografis: derajat, menit, detik.

Misalnya, Anda dapat menentukan jarak antara koordinat berikut: titik No. 1 - lintang 55°45′07″ LU, bujur 37°36′56″ BT; titik No.2 - lintang 58°00′02″ LU, bujur 102°39′42″ BT.

Cara termudah adalah dengan menggunakan kalkulator untuk menghitung panjang antara dua titik. Di mesin pencari browser, Anda harus mengatur parameter pencarian berikut: online - untuk menghitung jarak antara dua koordinat. Di kalkulator online, nilai lintang dan bujur dimasukkan ke dalam kolom kueri untuk koordinat pertama dan kedua. Saat menghitung, kalkulator online memberikan hasil - 3.800.619 m.

Metode selanjutnya lebih memakan waktu, tetapi juga lebih visual. Anda harus menggunakan program pemetaan atau navigasi yang tersedia. Program di mana Anda dapat membuat titik menggunakan koordinat dan mengukur jarak di antara titik tersebut meliputi aplikasi berikut: BaseCamp (analog modern dari program MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Semua program di atas tersedia untuk semua pengguna jaringan. Misalnya, untuk menghitung jarak antara dua koordinat di Google Earth, Anda perlu membuat dua label yang menunjukkan koordinat titik pertama dan titik kedua. Kemudian, dengan menggunakan alat “Penggaris”, Anda perlu menghubungkan tanda pertama dan kedua dengan sebuah garis, program akan secara otomatis menampilkan hasil pengukuran dan menunjukkan jalur pada citra satelit Bumi.

Dalam contoh yang diberikan di atas, program Google Earth mengembalikan hasilnya - panjang jarak antara titik No. 1 dan titik No. 2 adalah 3.817.353 m.

Mengapa terjadi kesalahan saat menentukan jarak

Semua perhitungan jarak antar koordinat didasarkan pada perhitungan panjang busur. Jari-jari bumi terlibat dalam menghitung panjang busur. Namun karena bentuk bumi yang mendekati ellipsoid pepat, maka jari-jari bumi pada titik-titik tertentu berbeda-beda. Untuk menghitung jarak antar koordinat diambil nilai rata-rata jari-jari bumi yang memberikan kesalahan dalam pengukuran. Semakin besar jarak yang diukur, semakin besar kesalahannya.

Matematika

§2. Koordinat suatu titik pada bidang

3. Jarak antara dua titik.

Anda dan saya sekarang dapat berbicara tentang titik dalam bahasa angka. Misalnya tidak perlu lagi dijelaskan: ambil sebuah titik yang jaraknya tiga satuan di sebelah kanan sumbu dan lima satuan di bawah sumbu. Cukuplah untuk mengatakan secara sederhana: ambillah maksudnya.

Kami telah mengatakan bahwa hal ini menciptakan keuntungan tertentu. Jadi, kita dapat mengirimkan gambar yang terdiri dari titik-titik melalui telegraf, mengkomunikasikannya ke komputer, yang tidak memahami gambar sama sekali, tetapi memahami angka dengan baik.

Pada paragraf sebelumnya, kita mendefinisikan beberapa kumpulan titik pada bidang menggunakan hubungan antar angka. Sekarang mari kita coba menerjemahkan konsep dan fakta geometris lainnya secara konsisten ke dalam bahasa angka.

Kita akan mulai dengan tugas yang sederhana dan umum.

Temukan jarak antara dua titik pada bidang.

Larutan:
Seperti biasa, kita berasumsi bahwa titik-titik diberikan berdasarkan koordinatnya, dan tugas kita adalah menemukan aturan yang dapat digunakan untuk menghitung jarak antar titik, dengan mengetahui koordinatnya. Saat menurunkan aturan ini, tentu saja, diperbolehkan menggunakan gambar, tetapi aturan itu sendiri tidak boleh berisi referensi apa pun ke gambar tersebut, tetapi hanya menunjukkan tindakan apa dan dalam urutan apa yang harus dilakukan pada nomor yang diberikan - koordinat titik - untuk mendapatkan angka yang diinginkan - jarak antar titik.

Mungkin beberapa pembaca akan menganggap pendekatan pemecahan masalah ini aneh dan tidak masuk akal. Sederhananya, kata mereka, titik-titik diberikan, bahkan dengan koordinat. Gambarlah titik-titik ini, ambil penggaris dan ukur jarak di antara titik-titik tersebut.

Cara ini terkadang tidak terlalu buruk. Namun, bayangkan lagi Anda sedang berhadapan dengan komputer. Dia tidak punya penggaris, dan dia tidak menggambar, tapi dia bisa menghitung dengan sangat cepat sehingga itu tidak menjadi masalah baginya sama sekali. Perhatikan bahwa masalah kita dirumuskan sedemikian rupa sehingga aturan untuk menghitung jarak antara dua titik terdiri dari perintah yang dapat dijalankan oleh mesin.

Lebih baik menyelesaikan masalah yang diajukan untuk kasus khusus terlebih dahulu ketika salah satu titik ini terletak pada titik asal koordinat. Mulailah dengan beberapa contoh numerik: tentukan jarak dari titik asal; Dan .

Catatan. Gunakan teorema Pythagoras.

Sekarang tuliskan rumus umum untuk menghitung jarak suatu titik dari titik asal.

Jarak suatu titik dari titik asal ditentukan dengan rumus:

Jelasnya, aturan yang diungkapkan oleh rumus ini memenuhi kondisi yang disebutkan di atas. Secara khusus, ini dapat digunakan dalam perhitungan pada mesin yang dapat mengalikan angka, menjumlahkannya, dan mengekstrak akar kuadrat.

Sekarang mari kita selesaikan masalah umum

Diberikan dua titik pada sebuah bidang, tentukan jarak antara keduanya.

Larutan:
Mari kita nyatakan dengan , , , proyeksi titik-titik dan pada sumbu koordinat.

Mari kita nyatakan titik potong garis dengan huruf . Dari segitiga siku-siku dengan menggunakan teorema Pythagoras kita peroleh:

Tetapi panjang ruas sama dengan panjang ruas tersebut. Titik-titik dan , terletak pada sumbu dan masing-masing mempunyai koordinat dan . Menurut rumus yang diperoleh pada paragraf 3 paragraf 2, jarak antara keduanya adalah .

Dengan argumen serupa, kita menemukan bahwa panjang segmen sama dengan . Mengganti nilai yang ditemukan dan ke dalam rumus yang kita peroleh.

Pada artikel ini kita akan melihat cara menentukan jarak dari titik ke titik secara teoritis dan menggunakan contoh tugas tertentu. Untuk memulainya, mari kita perkenalkan beberapa definisi.

Definisi 1

Jarak antar titik adalah panjang ruas yang menghubungkannya, pada skala yang ada. Skala perlu ditetapkan agar memiliki satuan panjang untuk pengukuran. Oleh karena itu, pada dasarnya masalah mencari jarak antar titik diselesaikan dengan menggunakan koordinatnya pada garis koordinat, pada bidang koordinat, atau ruang tiga dimensi.

Data awal: garis koordinat O x dan sebuah titik sembarang A yang terletak di atasnya.Setiap titik pada garis tersebut mempunyai satu bilangan real: misalkan bilangan tertentu untuk titik A x A, itu juga merupakan koordinat titik A.

Secara umum dapat dikatakan bahwa panjang suatu ruas tertentu dinilai dibandingkan dengan suatu ruas yang diambil sebagai satuan panjang pada skala tertentu.

Jika titik A bersesuaian dengan bilangan real bilangan bulat, dengan meletakkan secara berurutan dari titik O ke titik sepanjang garis lurus O A ruas - satuan panjang, kita dapat menentukan panjang ruas O A dari jumlah seluruh ruas satuan yang disisihkan.

Misalnya, titik A sesuai dengan angka 3 - untuk mencapainya dari titik O, Anda perlu memberhentikan tiga unit segmen. Jika titik A memiliki koordinat - 4, segmen satuan disusun dengan cara yang sama, tetapi dalam arah negatif yang berbeda. Jadi, dalam kasus pertama, jarak O A sama dengan 3; dalam kasus kedua O A = 4.

Jika titik A mempunyai bilangan rasional sebagai koordinatnya, maka dari titik asal (titik O) kita memplot bilangan bulat dari segmen satuan, dan kemudian bagian yang diperlukan. Namun secara geometris tidak selalu memungkinkan untuk melakukan pengukuran. Misalnya, sulit untuk memplot pecahan 4 111 pada garis koordinat.

Dengan menggunakan metode di atas, sangat tidak mungkin untuk memplot bilangan irasional pada garis lurus. Misalnya koordinat titik A adalah 11. Dalam hal ini, kita dapat beralih ke abstraksi: jika koordinat titik A yang diberikan lebih besar dari nol, maka O A = x A (angka tersebut diambil sebagai jarak); jika koordinatnya kurang dari nol, maka O A = - x A . Secara umum, pernyataan-pernyataan ini benar untuk sembarang bilangan real x A.

Ringkasnya: jarak dari titik asal ke titik yang berhubungan dengan bilangan real pada garis koordinat adalah:

• 0 jika titik tersebut berimpit dengan titik asal;

• x A, jika x A > 0;

• - x A jika x A< 0 .

Dalam hal ini jelas bahwa panjang ruas itu sendiri tidak boleh negatif, oleh karena itu dengan menggunakan tanda modulus kita tuliskan jarak dari titik O ke titik A dengan koordinat x A: O A = x A

Pernyataan berikut ini benar: jarak dari satu titik ke titik lain akan sama dengan modulus selisih koordinat. Itu. untuk titik A dan B yang terletak pada garis koordinat yang sama untuk setiap lokasi dan mempunyai koordinat yang bersesuaian x A Dan x B: A B = x B - x A .

Data awal: titik A dan B terletak pada suatu bidang pada sistem koordinat persegi panjang O x y dengan koordinat yang diberikan: A (x A, y A) dan B (x B, y B).

Mari kita menggambar garis tegak lurus melalui titik A dan B ke sumbu koordinat O x dan O y dan memperoleh titik proyeksi sebagai hasilnya: A x, A y, B x, B y. Berdasarkan lokasi titik A dan B, opsi berikut dapat dilakukan:

Jika titik A dan B berimpit, maka jarak antara keduanya adalah nol;

Jika titik A dan B terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu O x (sumbu absis), maka titik-titik tersebut berimpit, dan | A B | = | A y Oleh y | . Karena jarak antar titik sama dengan modulus selisih koordinatnya, maka A y B y = y B - y A, dan oleh karena itu, A B = A y B y = y B - y A.

Jika titik A dan B terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu O y (sumbu ordinat) - analogi paragraf sebelumnya: A B = A x B x = x B - x A

Jika titik A dan B tidak terletak pada garis lurus yang tegak lurus salah satu sumbu koordinat, maka kita mencari jarak antara keduanya dengan menurunkan rumus perhitungan:

Kita melihat bahwa segitiga A B C berbentuk persegi panjang. Dalam hal ini, AC = A x B x dan B C = A y B y. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita buat persamaan: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , lalu ubah menjadi: A B = A x B x 2 + A y B kamu 2 = x B - x A 2 + kamu B - kamu A 2 = (x B - x A) 2 + (kamu B - kamu A) 2

Mari kita tarik kesimpulan dari hasil yang diperoleh: jarak titik A ke titik B pada bidang ditentukan dengan perhitungan menggunakan rumus menggunakan koordinat titik-titik tersebut

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Rumus yang dihasilkan juga menegaskan pernyataan yang telah dibentuk sebelumnya untuk kasus titik-titik yang kebetulan atau situasi ketika titik-titik terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu. Jadi, jika titik A dan B berimpit, persamaan berikut ini benar: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Untuk situasi dimana titik A dan B terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Untuk kasus ketika titik A dan B terletak pada garis lurus yang tegak lurus sumbu ordinat:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Data awal: sistem koordinat persegi panjang O x y z dengan titik-titik sembarang yang terletak di atasnya dengan koordinat tertentu A (x A, y A, z A) dan B (x B, y B, z B). Jarak antara titik-titik ini perlu ditentukan.

Mari kita perhatikan kasus umum ketika titik A dan B tidak terletak pada bidang yang sejajar dengan salah satu bidang koordinat. Mari kita menggambar bidang yang tegak lurus sumbu koordinat melalui titik A dan B dan memperoleh titik proyeksi yang sesuai: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Jarak antara titik A dan B adalah diagonal dari parallelepiped yang dihasilkan. Menurut konstruksi pengukuran paralelepiped ini: A x B x , A y B y dan A z B z

Dari mata kuliah geometri kita mengetahui bahwa kuadrat diagonal suatu parallelepiped sama dengan jumlah kuadrat dimensinya. Berdasarkan pernyataan ini, kita memperoleh persamaan: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Berdasarkan kesimpulan yang diperoleh sebelumnya, kami menulis sebagai berikut:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Mari kita ubah ekspresinya:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (kamu B - kamu A) 2 + z B - z A 2

Terakhir rumus menentukan jarak antar titik dalam ruang akan terlihat seperti ini:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Rumus yang dihasilkan juga berlaku untuk kasus ketika:

Poinnya bertepatan;

Letaknya pada satu sumbu koordinat atau garis lurus yang sejajar dengan salah satu sumbu koordinat.

Contoh penyelesaian masalah mencari jarak antar titik

Contoh 1

Data awal: diberikan garis koordinat dan titik-titik yang terletak di atasnya dengan koordinat A (1 - 2) dan B (11 + 2). Kita perlu mencari jarak dari titik asal O ke titik A dan antara titik A dan B.

Larutan

1. Jarak titik acuan ke titik tersebut masing-masing sama dengan modulus koordinat titik tersebut O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Jarak antara titik A dan B kita definisikan sebagai modulus selisih koordinat titik-titik tersebut: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Jawaban: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Contoh 2

Data awal: diberikan sistem koordinat persegi panjang dan dua titik yang terletak di atasnya A (1, - 1) dan B (λ + 1, 3). λ adalah bilangan real. Kita perlu mencari semua nilai bilangan ini yang jarak A B sama dengan 5.

Larutan

Untuk mencari jarak titik A dan B harus menggunakan rumus A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Mengganti nilai koordinat sebenarnya, kita mendapatkan: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Kami juga menggunakan kondisi yang ada bahwa A B = 5 dan persamaannya akan benar:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Jawaban: A B = 5 jika λ = ± 3.

Contoh 3

Data awal: suatu ruang tiga dimensi ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang O x y z dan titik A (1, 2, 3) dan B - 7, - 2, 4 terletak di dalamnya.

Larutan

Untuk menyelesaikan soal tersebut, kita menggunakan rumus A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Dengan mensubstitusikan nilai riil, diperoleh: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Jawaban: | A B | = 9

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter