Saya malas. Agar anak-anak sibuk untuk waktu yang lama, dan untuk tidur siang sendiri, dia meminta mereka untuk menambahkan angka dari 1 hingga 100.
Gauss menjawab dengan cepat: 5050. Begitu cepat? Guru itu tidak mempercayainya, tetapi si jenius muda itu benar. Menambahkan semua angka dari 1 hingga 100 adalah untuk pengecut! Gauss menemukan rumus:
$$ \ sum_ (1) ^ (n) = \ frac (n (n + 1)) (2) $$
$$ \ sum_ (1) ^ (100) = \ frac (100 (100 + 1)) (2) = 50 \ cdot 101 = 5050 $$
Bagaimana dia melakukannya? Mari kita coba mencari tahu dengan menggunakan contoh jumlah dari 1 hingga 10.
Metode satu: bagi angka menjadi pasangan
Mari kita menulis angka dari 1 hingga 10 sebagai matriks dengan dua baris dan lima kolom:
$$ \ kiri (\ mulai (array) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 \ akhir (array) \ kanan) $$
Menariknya, jumlah setiap kolom adalah 11 atau $n + 1 $. Dan ada 5 pasang angka seperti itu atau $\frac(n)(n)(2)$. Kami mendapatkan rumus kami:
$$ Number \ Columns \ cdot Sum \ Numbers \ in \ Columns = \ frac (n) (2) \ cdot (n + 1) $$
Jika jumlah suku ganjil?
Bagaimana jika Anda menjumlahkan angka dari 1 hingga 9? Kami kehilangan satu angka untuk membuat lima pasangan, tetapi kami dapat mengambil nol:
$$ \ kiri (\ mulai (array) (c) 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \ akhir (array) \ kanan) $$
Jumlah kolom sekarang adalah 9 atau tepatnya $ n $. Dan jumlah kolom? Masih ada lima kolom (berkat nol!), Tapi sekarang jumlah kolom adalah $ \ frac (n + 1) (2) $ (y kita punya $ n + 1 $ dan setengah jumlah kolom).
$$ Nomor \ kolom \ cdotSum \ angka \ di \ kolom = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$
Cara kedua: gandakan dan tulis di dua baris
Kami menghitung jumlah angka sedikit berbeda dalam dua kasus ini.
Mungkin ada cara menghitung jumlah dengan cara yang sama untuk bilangan genap dan ganjil?
Alih-alih membuat semacam "pengulangan" dari angka, mari kita tulis dalam dua baris, sambil mengalikan jumlah angka dengan dua:
$$ \ kiri (\ mulai (array) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ akhir (array) \ kanan) $$
Untuk kasus ganjil:
$$ \ kiri (\ mulai (array) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ akhir (array) \ kanan) $$
Dapat dilihat bahwa dalam kedua kasus jumlah kolom adalah $ n + 1 $, dan jumlah kolom adalah $ n $.
$$ Nomor \ kolom \ cdot Jumlah \ angka \ di \ kolom = n \ cdot (n + 1) $$
Tapi kita hanya membutuhkan jumlah dari satu baris, jadi:
$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$
Cara ketiga: buat persegi panjang
Ada satu penjelasan lagi, mari kita coba melipat salib, katakanlah kita memiliki salib:
Sepertinya hanya representasi berbeda dari cara kedua - setiap baris piramida berikutnya memiliki lebih banyak salib dan lebih sedikit nol. Jumlah semua salib dan nol adalah luas persegi panjang.
$$ Luas = Tinggi \ cdot Lebar = n \ cdot (n + 1) $$
Tapi kita membutuhkan jumlah salib, jadi:
$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$
Cara keempat: mean aritmatika
Diketahui: $ Average \ Arithmetic = \ frac (Sum) (Count \ Members) $
Maka: $Jumlah = mean\arithmetic\cdot Number\members $
Kami tahu jumlah anggota - $ n $. Bagaimana cara menyatakan mean aritmatika?
Perhatikan angkanya didistribusikan secara merata. Untuk setiap angka besar, ada angka kecil di ujung yang lain.
1 2 3, rata-rata 2
1 2 3 4, rata-rata 2.5
Dalam hal ini, mean aritmatika adalah mean aritmatika dari angka 1 dan $ n $, yaitu $ Average \ arithmetic = \ frac (n + 1) (2) $
$$ Jumlah = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$
Cara kelima: integral
Kita semua tahu bahwa integral tertentu menghitung jumlah. Mari kita hitung jumlah dari 1 hingga 100 dengan integral? Ya, tapi pertama-tama, mari kita cari jumlah dari 1 hingga 3. Biarkan angka-angka kita menjadi fungsi dari y (x). Mari kita menggambar:
Ketinggian dari tiga persegi panjang persis angka dari 1 sampai 3. Mari kita menggambar garis lurus melalui tengah "topi":
Akan lebih baik untuk menemukan persamaan garis ini. Ini melewati titik (1.5; 1) dan (2.5; 2). $ y = k \ cdot x + b $.
$$ \ begin (cases) 2.5k + b = 2 \\ 1.5k + b = 1 \ end (cases) \ Rightarrow k = 1; b = -0,5 $$
Jadi, persamaan garis lurus yang dapat digunakan untuk mendekati persegi panjang kita adalah $ y = x-0,5 $
Ini memotong segitiga kuning dari persegi panjang, tetapi "menambahkan" segitiga biru dari atas. Kuning sama dengan biru. Pertama, pastikan bahwa menggunakan integral mengarah ke rumus Gauss:
$$ \ int_ (1) ^ (n + 1) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2 )) (|) ^ (n + 1) _ (1) = \ frac ((n + 1) ^ (2)) (2) - \ frac (n + 1) (2) = \ frac (n ^ ( 2) + 2n + 1-n-1) (2) = \ frac (n ^ (2) + n) (2) $$
Sekarang mari kita hitung jumlah dari 1 hingga 3, dengan x kita ambil dari 1 hingga 4, sehingga ketiga persegi panjang kita menjadi integral:
$$ \ int_ (1) ^ (4) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (4) _ (1) = \ frac (4 ^ (2)) (2) -2- (0,5-0,5) = 6 $$
$$ \ int_ (1) ^ (101) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (101) _ (1) = \ frac (101 ^ (2)) (2) -50,5- (0,5-0,5) = 5100,5-50,5 = 5050 $$
Dan mengapa semua ini perlu?
$$ \ frac (n (n + 1)) (2) = \ frac (n ^ (2)) (2) + \ frac (n) (2) $$
Pada hari pertama satu orang datang ke situs Anda, pada hari kedua dua ... Setiap hari jumlah kunjungan meningkat 1. Berapa banyak kunjungan yang akan diperoleh situs pada akhir hari ke-1000?
$$ \ frac (n (n + 1)) (2) = \ frac (n ^ (2)) (2) + \ frac (n) (2) = \ frac (1000 ^ (2)) (2) + \ frac (1000) (2) = 500000 + 500 = 500500 $$
Siklus "Matematika yang menghibur" didedikasikan untuk anak-anak yang menyukai matematika dan orang tua yang mencurahkan waktu untuk perkembangan anak-anak mereka, "melempar" tugas dan teka-teki yang menarik dan menghibur kepada mereka.
Artikel pertama dalam seri ini dikhususkan untuk aturan Gauss.
Sedikit sejarah
Matematikawan terkenal Jerman Karl Friedrich Gauss (1777-1855) berbeda dari teman-temannya sejak kecil. Terlepas dari kenyataan bahwa ia berasal dari keluarga miskin, ia belajar membaca, menulis, dan berhitung sejak dini. Dalam biografinya, bahkan disebutkan bahwa pada usia 4-5 tahun ia mampu mengoreksi kesalahan perhitungan ayahnya, hanya dengan mengamatinya.
Salah satu penemuan pertamanya dibuat pada usia 6 tahun di kelas matematika. Guru perlu memikat anak-anak untuk waktu yang lama dan dia mengusulkan masalah berikut:
Tentukan jumlah semua bilangan asli dari 1 sampai 100.
Gauss muda mengatasi tugas ini dengan cukup cepat, menemukan pola menarik yang tersebar luas dan digunakan hingga hari ini dalam penghitungan lisan.
Mari kita coba selesaikan masalah ini secara lisan. Tapi pertama-tama, mari kita ambil angka dari 1 hingga 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Perhatikan baik-baik jumlah ini dan coba tebak apa yang bisa dilihat Gauss yang tidak biasa? Untuk menjawabnya, Anda harus memiliki ide yang bagus tentang komposisi angka.
Gauss mengelompokkan bilangan-bilangan tersebut sebagai berikut:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Dengan demikian, Karl kecil menerima 5 pasang angka, yang masing-masing menambahkan hingga 11. Kemudian, untuk menghitung jumlah bilangan asli dari 1 hingga 10, Anda perlu
Mari kita kembali ke masalah awal. Gauss memperhatikan bahwa perlu untuk mengelompokkan angka menjadi pasangan sebelum menjumlahkan, dan dengan demikian menemukan algoritme yang dengannya Anda dapat dengan cepat menambahkan angka dari 1 hingga 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Tentukan banyaknya pasangan dalam deret bilangan asli. Dalam hal ini, ada 50 di antaranya.
Kami merangkum angka pertama dan terakhir dari seri ini. Dalam contoh kami, ini adalah 1 dan 100. Kami mendapatkan 101.
Kami mengalikan jumlah yang dihasilkan dari suku pertama dan terakhir dalam deret ini dengan jumlah pasangan dalam deret ini. Kami mendapatkan 101 * 50 = 5050
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 sampai 100 adalah 5050.
Masalah untuk menggunakan aturan Gauss
Dan sekarang kami menawarkan Anda masalah di mana aturan Gauss digunakan sampai tingkat tertentu. Seorang siswa kelas empat cukup mampu memahami dan memecahkan masalah ini.
Anda dapat memberi anak kesempatan untuk bernalar sendiri, sehingga dia sendiri yang "menciptakan" aturan ini. Atau Anda dapat membongkarnya dan melihat bagaimana dia bisa menerapkannya. Di antara tugas-tugas di bawah ini, ada contoh di mana Anda perlu memahami cara memodifikasi aturan Gaussian untuk menerapkannya ke urutan tertentu.
Bagaimanapun, agar seorang anak dapat beroperasi dengan ini dalam perhitungannya, perlu untuk memahami algoritma Gauss, yaitu kemampuan untuk membagi dengan benar menjadi pasangan dan menghitung.
Penting! Jika suatu rumus dihafal tanpa pemahaman, maka rumus itu akan cepat terlupakan.
Soal 1
Cari jumlah bilangan:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Larutan.
Pertama, Anda dapat memberi anak kesempatan untuk memecahkan sendiri contoh pertama dan menawarkan untuk menemukan cara yang mudah untuk melakukan ini dalam pikiran. Selanjutnya, analisis contoh ini bersama anak dan tunjukkan bagaimana Gauss melakukannya. Yang terbaik adalah menuliskan seri untuk kejelasan dan menghubungkan pasangan angka dengan garis yang menambahkan hingga angka yang sama. Penting agar anak memahami bagaimana pasangan terbentuk - kami mengambil yang terkecil dan terbesar dari angka yang tersisa, asalkan jumlah angka dalam baris genap.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Tugas2
Ada 9 bobot 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Apakah mungkin untuk membagi beban ini menjadi tiga tumpukan dengan berat yang sama?
Larutan.
Menggunakan aturan Gauss, kami menemukan jumlah semua bobot:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (d)
Jadi, jika kita dapat mengelompokkan bobot sehingga setiap tumpukan berisi bobot dengan total berat 15g, maka masalahnya terpecahkan.
Salah satu opsi:
- 9g, 6g
- 8g, 7g
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Temukan sendiri opsi lain yang memungkinkan bersama anak Anda.
Perhatikan anak pada fakta bahwa ketika memecahkan masalah seperti itu, lebih baik untuk selalu mulai mengelompokkan dengan bobot (angka) yang lebih besar.
Soal 3
Apakah mungkin untuk membagi permukaan jam dengan garis lurus menjadi dua bagian sehingga jumlah angka di setiap bagian sama?
Larutan.
Untuk memulainya, terapkan aturan Gauss pada deret angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: temukan jumlah dan lihat apakah itu habis dibagi 2:
Jadi bisa dibagi. Sekarang mari kita lihat caranya.
Oleh karena itu, perlu untuk menggambar garis pada dial sehingga 3 pasang jatuh menjadi satu setengah, dan tiga ke yang lain.
Jawaban: garis akan berjalan antara angka 3 dan 4, dan kemudian antara angka 9 dan 10.
Tugas4
Apakah mungkin menggambar dua garis lurus pada pelat jam sehingga jumlah angka di setiap bagiannya sama?
Larutan.
Untuk memulainya, terapkan aturan Gauss pada deret angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: temukan jumlah dan lihat apakah itu habis dibagi 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 habis dibagi 3 tanpa sisa, jadi Anda bisa membaginya. Sekarang mari kita lihat caranya.
Menurut aturan Gauss, kami mendapatkan 6 pasang angka, yang masing-masing menambahkan hingga 13:
1 dan 12, 2 dan 11, 3 dan 10, 4 dan 9, 5 dan 8, 6 dan 7.
Oleh karena itu, perlu untuk menggambar garis pada dial sehingga 2 pasang jatuh ke setiap bagian.
Jawaban: baris pertama akan berjalan di antara angka 2 dan 3, dan kemudian di antara angka 10 dan 11; baris kedua adalah antara angka 4 dan 5, dan kemudian antara 8 dan 9.
Soal 5
Sekawanan burung terbang. Ada satu burung (pemimpin) di depan, diikuti oleh dua, lalu tiga, empat, dst. Berapa banyak burung dalam kawanan itu, jika ada 20 burung di baris terakhir?
Larutan.
Kami mendapatkan bahwa kami perlu menambahkan angka dari 1 hingga 20. Dan untuk menghitung jumlah seperti itu, Anda dapat menerapkan aturan Gauss:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Soal 6
Bagaimana cara menempatkan 45 ekor kelinci dalam 9 kandang agar semua kandang memiliki jumlah kelinci yang berbeda?
Larutan.
Jika anak memutuskan dan memahami contoh dari tugas 1 dengan pemahaman, maka ia langsung ingat bahwa 45 adalah jumlah angka dari 1 hingga 9. Oleh karena itu, kita menanam kelinci seperti ini:
- sel pertama adalah 1,
- yang kedua - 2,
- ketiga - 3,
- kedelapan - 8,
- kesembilan - 9.
Tetapi jika anak tidak dapat segera mengetahuinya, maka cobalah untuk mendorongnya pada gagasan bahwa masalah seperti itu dapat diselesaikan dengan kekerasan dan harus dimulai dengan jumlah minimum.
Soal 7
Hitung jumlah menggunakan trik Gauss:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Larutan.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Soal 8
Ada satu set 12 bobot 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. 4 bobot dikeluarkan dari set, yang total massanya sama dengan sepertiga dari total massa seluruh set bobot. Apakah mungkin untuk menempatkan beban yang tersisa pada dua timbangan yang terdiri dari 4 buah pada setiap panci sehingga mereka berada dalam keseimbangan?
Larutan.
Kami menerapkan aturan Gauss untuk menemukan massa total berat:
1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (d)
Kami menghitung massa beban yang dihilangkan:
Oleh karena itu, beban yang tersisa (dengan massa total 78-26 = 52 g) harus ditempatkan 26 g pada setiap panci timbangan agar berada dalam kesetimbangan.
Kami tidak tahu bobot mana yang dihilangkan, jadi kami harus mempertimbangkan semua opsi yang memungkinkan.
Menerapkan aturan Gauss, bobot dapat dipecah menjadi 6 pasang dengan bobot yang sama (masing-masing 13g):
1d dan 12d, 2d dan 11d, 3d dan 10, 4d dan 9d, 5d dan 8d, 6d dan 7d.
Maka pilihan terbaik adalah ketika, saat melepas 4 bobot, dua pasang dari atas dihapus. Dalam hal ini, kita akan memiliki 4 pasang: 2 pasang di satu skala dan 2 pasang di sisi lain.
Skenario kasus terburuk adalah ketika 4 bobot yang dilepas mematahkan 4 pasang. Kami akan memiliki 2 pasangan yang tidak terputus dengan berat total 26g, yang berarti kami meletakkannya di satu timbangan, dan bobot yang tersisa dapat ditempatkan di timbangan lain dan mereka juga akan menjadi 26g.
Semoga sukses dalam perkembangan anak-anak Anda.
Hari ini kita akan membahas salah satu soal matematika yang harus saya selesaikan dengan keponakan saya. Dan kemudian kita akan mengimplementasikannya melalui PHP. Dan kami akan mempertimbangkan beberapa opsi untuk menyelesaikan masalah ini.
Tugas:
Anda perlu dengan cepat menambahkan semua angka dari 1 hingga 100 satu demi satu dan mencari tahu jumlah semua angka.
Solusi dari masalah:
Faktanya, ketika kami memecahkan masalah ini untuk pertama kalinya, kami tidak menyelesaikannya dengan benar! Tetapi kami tidak akan menulis tentang solusi yang salah untuk masalah ini.
Dan solusinya sangat sederhana dan sepele - Anda perlu menambahkan 1 dan 100 dan mengalikannya dengan 50. (Karl Gaus memiliki solusi seperti itu ketika dia masih sangat muda ...)
(1 + 100)*50.
Bagaimana mengatasi masalah ini melalui php?
Hitung jumlah semua angka dari 1 hingga 100 melalui PHP.
Ketika kami telah memecahkan masalah ini, kami memutuskan untuk melihat apa yang mereka tulis di Internet tentang masalah ini! Dan saya menemukan beberapa bentuk di mana talenta muda tidak dapat memecahkan masalah ini dan mencoba melakukannya melalui siklus.
Jika tidak ada syarat khusus untuk melakukannya melalui loop, maka tidak ada gunanya melakukannya melalui loop!
Dan ya! Jangan lupa bahwa di php Anda dapat menyelesaikan masalah dengan banyak cara! satu.
Kode ini dapat menambahkan urutan angka apa saja secara umum, mulai dari satu hingga tak terhingga.
Mari kita implementasikan solusi kita dalam bentuk yang paling sederhana:
$end = $_POST["peremennaya"];
$res = $end / 2* ($i + $end);
