Integral kompleks.

Pasal ini menyelesaikan subjek integral yang tidak pasti, dan di dalamnya integral yang saya anggap cukup rumit dimasukkan. Pelajaran itu dibuat pada permintaan pengunjung yang berulang yang menyatakan keinginan agar contoh-contoh yang lebih sulit dibongkar di situs.

Diasumsikan bahwa pembaca teks ini dipersiapkan dengan baik dan tahu bagaimana menerapkan teknik utama integrasi. Tekot dan orang-orang yang tidak terlalu percaya diri ditangani dengan integral harus dirujuk ke pelajaran pertama - Integral yang tidak pasti. Contoh solusiDi mana Anda dapat menguasai topik dengan hampir nol. Mahasiswa yang lebih berpengalaman dapat membiasakan diri dengan teknik dan metode integrasi, yang dalam artikel saya belum bertemu.

Integral apa yang akan dipertimbangkan?

Pertama, kami akan mempertimbangkan integral dengan akar, untuk dipecahkan yang digunakan secara konsisten mengganti variabel dan integrasi di bagian. Artinya, dalam satu contoh, dua resepsi digabungkan. Dan bahkan lebih.

Maka kita akan berkenalan dengan menarik dan asli informasi Metode Integral untuk diri Anda sendiri. Metode ini diselesaikan tidak sedikit integral.

Angka ketiga dari program ini akan menjadi integral dari fraksi kompleks yang menerbangkan register kas melewati artikel sebelumnya.

Keempat, integral tambahan dari fungsi trigonometri akan dibongkar. Secara khusus, ada metode yang memungkinkan Anda untuk menghindari waktu memakan substitusi trigonometrik universal.

(2) Dalam fungsi integrand, pembilang pada penyebut.

(3) Gunakan properti linearitas dari integral yang tidak terbatas. Di bagian integral terakhir segera sapu fungsi di bawah tanda diferensial.

(4) Ambil bagian integral yang tersisa. Harap dicatat bahwa dalam logaritma Anda dapat menggunakan kurung, bukan modul, sejak itu.

(5) Kami memegang pengganti, mengekspresikan dari penggantian langsung "te":

Siswa Masochian dapat menandingi jawabannya dan mendapatkan fungsi integrand asli seperti yang baru saja saya lakukan. Tidak, tidak, saya memenuhi verifikasi dalam arti yang benar \u003d)

Seperti yang Anda lihat, selama keputusan saya harus menggunakan lebih dari dua keputusan solusi, jadi untuk pembalasan dengan integral serupa, Anda membutuhkan keterampilan integrasi yang percaya diri dan bukan pengalaman terkecil.

Dalam praktiknya, tentu saja, akar kuadrat lebih umum, berikut adalah tiga contoh untuk solusi independen:

Contoh 2.

Mencari integral yang tidak pasti

Contoh 3.

Temukan integral yang tidak terbatas

Contoh 4.

Temukan integral yang tidak terbatas

Contoh-contoh ini dengan tipe yang sama, sehingga solusi lengkap di akhir artikel hanya akan misalnya 2, dalam contoh 3-4 - satu jawaban. Penggantian apa yang berlaku di awal keputusan, saya pikir jelas. Mengapa saya mengambil jenis contoh yang sama? Sering ditemukan dalam peran Anda. Lebih sering, mungkin, hanya sesuatu seperti .

Tetapi tidak selalu, ketika di bawah Arctgennes, sinus, cosinus, eksponensial, dll. Fitur adalah akar dari fungsi linear, beberapa metode harus diterapkan. Dalam beberapa kasus, dimungkinkan untuk "menyingkirkan", yaitu, segera setelah penggantian, integral sederhana diperoleh, yang didemonstrasikan. Yang paling mudah dari tugas yang diusulkan adalah contoh 4, di dalamnya setelah penggantian ternyata integral yang relatif sederhana.

Informasi Metode Integral untuk diri Anda sendiri

Metode yang jenaka dan indah. Segera pertimbangkan klasik genre:

Contoh 5.

Temukan integral yang tidak terbatas

Di bawah akar ada bikco persegi, dan ketika mencoba mengintegrasikan contoh ini, ketel dapat menderita selama berjam-jam. Integral semacam itu diambil di bagian-bagian dan turun ke dirinya sendiri. Pada prinsipnya, itu tidak sulit. Jika Anda tahu caranya.

Menunjukkan oleh integral dari huruf Latin dan memulai solusi:

Kami berintegrasi dalam bagian:

(1) Kami menyiapkan fungsi pengganti untuk divisi tanah.

(2) Kami membagi fungsi penggantian. Mungkin tidak semua dengan jelas, saya akan menulis lebih detail:

(3) Gunakan properti linearitas dari integral yang tidak terbatas.

(4) Ambil logaritma integral ("panjang" terakhir).

Sekarang kita melihat awal keputusan:

Dan pada akhirnya:

Apa yang terjadi? Sebagai hasil dari manipulasi kami, integral itu sampai pada dirinya sendiri!

Kami menyamakan awal dan akhir:

Kami mentransfer ke sisi kiri dengan perubahan tanda:

Dan demo didemoloskan ke sisi kanan. Hasil dari:

Konstanta, secara ketat, harus ditambahkan sebelumnya, tetapi menghubungkannya pada akhirnya. Saya sangat merekomendasikan membaca apa yang ada di sini untuk keras:

catatan: Tahap akhir yang lebih ketat dari solusi ini terlihat seperti ini:

Lewat sini:

Konstanta dapat digunakan kembali. Kenapa kamu bisa diterbitkan kembali? Karena masih membutuhkan apa saja Nilai, dan dalam pengertian ini antara konstanta dan tidak ada perbedaan.
Hasil dari:

Trik seperti itu dengan konstanta yang diterbitkan kembali banyak digunakan di persamaan diferensial.. Dan di sana saya akan ketat. Dan di sini kebebasan seperti itu diizinkan oleh saya hanya agar tidak membingungkan Anda dengan hal-hal berlebihan dan fokus pada metode integrasi itu sendiri.

Contoh 6.

Temukan integral yang tidak terbatas

Integral khas lain untuk keputusan diri sendiri. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran. Perbedaan dengan respons dari contoh sebelumnya akan!

Jika di bawah akar pangkat dua Ada tiga triple persegi, solusi dalam hal apa pun dikurangi menjadi dua contoh pembongkaran.

Misalnya, pertimbangkan integral . Yang perlu Anda lakukan adalah pra- pilih Full Square.:
.
Selanjutnya, penggantian linear dilakukan, yang dikenakan biaya "tanpa konsekuensi":
Akibatnya, integral diperoleh. Sesuatu yang akrab, bukan?

Atau contoh seperti itu, dengan persegi memantul:
Kami menyoroti persegi penuh:
Dan, setelah penggantian linear, kami mendapatkan integral, yang juga diselesaikan oleh algoritma yang sudah dipertimbangkan.

Pertimbangkan dua lagi contoh khas. Pada informasi penerimaan integral untuk diri sendiri:
- Integral dari pameran dikalikan dengan sinus;
- Integral dari SAMPAI dikalikan dengan cosinus.

Dalam integral yang tercantum pada bagian-bagian harus diintegrasikan dua kali:

Contoh 7.

Temukan integral yang tidak terbatas

Fungsi integrand adalah seorang peserta pameran dikalikan dengan sinus.

Kami mengintegrasikan dua kali di bagian dan membawa bagian integral untuk diri sendiri:

Sebagai hasil dari integrasi dua kali di bagian, integral telah mencapai dirinya sendiri. Kami menyamakan solusi awal dan akhir:

Kami mentransfer ke sisi kiri dengan perubahan tanda dan mengungkapkan integral kami:

Siap. Juga, diinginkan untuk memerangi sisi kanan, I.E. Untuk membuat eksponen untuk tanda kurung, dan dalam tanda kurung untuk berbaring sinus dengan kosinus dalam urutan "indah".

Sekarang mari kita kembali ke awal contoh, atau lebih tepatnya - untuk integrasi di bagian:

Karena kami menunjuk peserta pameran. Pertanyaan itu muncul, selalu perlu untuk merujuk pada pameran untuk? Tidak perlu. Bahkan, dalam integral yang diperiksa prinsip tidak ada perbedaanApa yang harus dirujuk, dimungkinkan untuk pergi ke cara lain:

Kenapa mungkin? Karena peserta pameran berubah menjadi dirinya sendiri (dan selama diferensiasi, dan selama integrasi), sinus dengan cosinus saling saling menjadi satu sama lain (sekali lagi - baik selama diferensiasi, dan selama integrasi).

Artinya, fungsi trigonometri dapat dilambangkan. Tetapi, dalam contoh yang diperiksa, itu kurang rasional, karena fraksi akan muncul. Jika mau, Anda dapat mencoba menyelesaikan contoh ini dengan cara kedua, jawabannya harus bertepatan.

Contoh 8.

Temukan integral yang tidak terbatas

Ini adalah contoh untuk solusi independen. Sebelum memutuskan, pikirkan tentang hal ini lebih menguntungkan dalam hal ini untuk menunjuk, eksponen atau fungsi trigonometri? Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Dan, tentu saja, jangan lupa bahwa sebagian besar jawaban dari pelajaran ini cukup mudah untuk memeriksa diferensiasi!

Contohnya tidak dianggap tidak yang paling sulit. Dalam praktiknya, integral lebih sering ditemukan, di mana ada konstanta dalam indikator eksponen dan dalam argumen fungsi trigonometri, misalnya:. Pikiran dalam integral yang sama harus membuat banyak, saya sering membingungkan saya. Faktanya adalah bahwa dalam memecahkan probabilitas penampilan fraksi, dan sangat hanya sesuatu yang kuat untuk kalah. Selain itu, kemungkinan kesalahan dalam tanda-tanda sangat bagus, harap dicatat bahwa di indikator eksponen ada tanda minus, dan ini membuat kesulitan tambahan.

Pada tahap akhir, kira-kira berikut ini sering diperoleh:

Bahkan pada akhir keputusan harus sangat penuh perhatian dan kompeten berurusan dengan fraksi:

Mengintegrasikan fraksi yang kompleks.

Perlahan-lahan kita sampai pada pelajaran khatulistiwa dan mulai mempertimbangkan integral dari fraksi. Sekali lagi, tidak semuanya superswit, hanya karena satu alasan atau contoh lain sedikit "tidak dalam topik" di artikel lain.

Kami melanjutkan topik akar

Contoh 9.

Temukan integral yang tidak terbatas

Dalam penyebut, di bawah akar ada persegi tiga basi plus di luar akar "meningkatkan" dalam bentuk "iksa". Integral dari jenis ini diselesaikan dengan menggunakan penggantian standar.

Kami memutuskan:

Penggantian di sini sederhana:

Kami melihat kehidupan setelah penggantian:

(1) Setelah substitusi, kami berikan ke istilah penyebut keseluruhan di bawah root.
(2) Kami bertahan dari akarnya.
(3) pembilang dan penyebutnya mengurangi. Pada saat yang sama, di bawah root, saya mengatur ulang komponen dalam urutan yang nyaman. Dengan eksperimen tertentu, langkah-langkah (1), (2) dapat dilewati dengan melakukan tindakan komentar secara oral.
(4) integral yang dihasilkan, seperti yang Anda ingat dari pelajaran Mengintegrasikan beberapa fraksi., memutuskan metode alokasi persegi penuh. Pilih kotak penuh.
(5) Integrasi Kami mendapatkan logaritma "panjang" terbaik.
(6) melakukan penggantian. Jika awalnya, lalu kembali :.
(7) Tindakan terakhir ditujukan untuk gaya rambut hasil: Di bawah akar, mereka kembali membawa komponen ke penyebut keseluruhan dan bertahan dari akar.

Contoh 10.

Temukan integral yang tidak terbatas

Ini adalah contoh untuk solusi independen. Di sini konstanta telah ditambahkan ke "ICSU" yang sepi, dan penggantiannya hampir sama:

Satu-satunya hal yang perlu Anda lakukan adalah mengungkapkan "X" dari penggantian:

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Kadang-kadang dalam integral seperti itu di bawah akar mungkin ada bintik persegi, itu tidak mengubah solusi untuk dipecahkan, itu akan lebih mudah. Rasakan perbedaan nya:

Contoh 11.

Temukan integral yang tidak terbatas

Contoh 12.

Temukan integral yang tidak terbatas

Keputusan singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Perlu dicatat bahwa contoh 11 persis integral Binomial., keputusan siapa yang dipertimbangkan dalam pelajaran Integral dari fungsi irasional.

Integral dari polinomial yang tidak dapat dikomposisi dari tingkat ke-2 ke tingkat

(Polinomial di penyebut)

Lebih langka, tetapi, namun, bertemu di contoh praktis Jenis integral.

Contoh 13.

Temukan integral yang tidak terbatas

Tetapi kembali misalnya dengan sELAMAT NOMOR. 13 (Jujur, tidak cocok). Integral ini juga dari kategori yang dengannya Anda bisa cukup jika Anda tidak tahu bagaimana menyelesaikannya.

Keputusan dimulai dengan transformasi buatan:

Cara membagi numerator ke penyebut, saya pikir semuanya dipahami.

Integral yang dihasilkan diambil di bagian:

Untuk tampilan integral (- angka alami) dihapus berulang Rumus Pengurangan Gelar:
dimana - Gelar integral lebih rendah.

Saya akan diyakinkan tentang keadilan formula ini untuk integral nabi.
Dalam hal ini,:, kami menggunakan rumus:

Seperti yang Anda lihat, jawabannya bertepatan.

Contoh 14.

Temukan integral yang tidak terbatas

Ini adalah contoh untuk solusi independen. Dalam sampel solusi, formula yang disebutkan di atas adalah dua kali.

Jika di bawah derajat berada mandiri pada pengganda Persegi tiga kali lipat, maka solusinya turun ke Bicked dengan menyoroti persegi lengkap, misalnya:

Bagaimana jika Anda juga ada di pembilang ada polinomial? Dalam hal ini, metode koefisien tidak terbatas digunakan, dan fungsi terintegrasi dijelaskan dalam jumlah fraksi. Tetapi dalam praktik saya dari contoh seperti itu saya tidak bertemu, jadi aku rindu kasus ini di dalam artikel Integral dari fungsi rasional fraksionalAku rindu dan sekarang. Jika integral seperti itu masih bertemu, lihat buku teks - semuanya sederhana di sana. Saya tidak menganggapnya bijaksana untuk memasukkan materi (bahkan sederhana), probabilitas pertemuan yang ia beringkali untuk nol.

Integrasi fungsi trigonometri yang kompleks

Adjektiva "kompleks" untuk sebagian besar contoh dalam banyak hal bersyarat. Mari kita mulai dengan garis singgung dan kotangenes dalam derajat tinggi. Dari sudut pandang metode pemecahan singgung dan kotangent, hal yang hampir sama, jadi saya akan berbicara lebih banyak tentang garis singgung, menyiratkan bahwa penerimaan yang ditunjukkan dari larutan integral juga adil dan untuk kotangent juga.

Pada pelajaran di atas, kami mempertimbangkan substitusi trigonometri universal Untuk memecahkan jenis integral tertentu dari fungsi trigonometri. Kurangnya substitusi trigonometrik universal adalah bahwa ketika digunakan, integral besar dengan perhitungan yang sulit sering terjadi. Dan dalam beberapa kasus substitusi trigonometrik universal dapat dihindari!

Pertimbangkan contoh kanonik lain, integral dari unit dibagi menjadi sinus:

Contoh 17.

Temukan integral yang tidak terbatas

Di sini Anda dapat menggunakan substitusi trigonometrik universal dan mendapatkan jawaban, tetapi ada jalur yang lebih rasional. Saya akan memberikan solusi lengkap dengan komentar untuk setiap langkah:

(1) Gunakan rumus trigonometri dari sinus sudut ganda.
(2) Kami melakukan transformasi buatan: dalam penyebut yang kami bagi dan berkembang biak.
(3) Menurut formula yang diketahui dalam penyebut, kita mengubah fraksi di garis singgung.
(4) Sapu fungsi di bawah tanda diferensial.
(5) Ambil integral.

Pasangan contoh sederhana Untuk solusi diri:

Contoh 18.

Temukan integral yang tidak terbatas

Catatan: Tindakan paling pertama harus digunakan oleh rumus Dan dengan hati-hati melakukan mirip dengan contoh tindakan sebelumnya.

Contoh 19.

Temukan integral yang tidak terbatas

Nah, ini adalah contoh yang sama sekali sederhana.

Solusi dan jawaban penuh di akhir pelajaran.

Saya pikir sekarang tidak ada yang memiliki masalah dengan integral:
dll.

Apa ide metode ini? Idenya adalah bahwa dengan bantuan transformasi, rumus trigonometri untuk berorganisasi dalam integrand satu singgung dan turunan singgung. Artinya, ini tentang penggantian: . Dalam contoh 17-19, kami benar-benar menerapkan penggantian ini, tetapi integralnya sangat sederhana sehingga harganya efek yang setara - untuk merangkum fungsi di bawah tanda diferensial.

Argumen serupa, seperti yang telah saya tetapkan, Anda dapat menghabiskan untuk kotangent.

Ada prasyarat formal untuk penggunaan penggantian di atas:

Jumlah derajat cosinus dan sinus adalah angka negatif, misalnya:

untuk integral - angka negatif.

! Catatan : Jika fungsi integrand hanya mengandung sinus atau hanya cosinus, maka integral diambil pada tingkat negatif ganjil (kasus paling sederhana dalam contoh No. 11, 18).

Pertimbangkan beberapa tugas informatif untuk aturan ini:

Contoh 20.

Temukan integral yang tidak terbatas

Jumlah derajat sinus dan cosinus: 2 - 6 \u003d -4 adalah angka negatif, yang berarti bahwa integral dapat dikurangi menjadi garis singgung dan turunannya:

(1) Kami mengubah penyebut.
(2) Menurut formula yang terkenal, kita dapatkan.
(3) Kami mengubah penyebut.
(4) Kami menggunakan rumus .
(5) Menyerahkan fungsi di bawah tanda diferensial.
(6) Kami mengganti. Mahasiswa yang lebih berpengalaman tidak dapat diganti, tetapi masih lebih baik untuk mengganti garis singgung dengan satu huruf - lebih sedikit risiko bingung.

Contoh 21.

Temukan integral yang tidak terbatas

Ini adalah contoh untuk solusi independen.

Tunggu, putaran Champion dimulai \u003d)

Seringkali dalam fungsi integrand adalah "solyanka":

Contoh 22.

Temukan integral yang tidak terbatas

Dalam integral ini, garis singgung awalnya hadir, yang segera mengejar pemikiran yang sudah akrab:

Transformasi buatan di awal dan tersisa langkah-langkah yang tersisa tanpa komentar, karena semuanya disebutkan di atas.

Sepasang contoh kreatif untuk solusi independen:

Contoh 23.

Temukan integral yang tidak terbatas

Contoh 24.

Temukan integral yang tidak terbatas

Ya, di dalamnya, tentu saja, dimungkinkan untuk menurunkan tingkat sinus, cosinus, untuk menggunakan substitusi trigonometrik universal, tetapi keputusan akan jauh lebih efisien dan lebih pendek jika dilakukan melalui garis singgung. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran

Integral utama yang harus diketahui setiap siswa

Integral yang terdaftar adalah basis, basis fondasi. Rumus ini harus diingat. Saat menghitung integral yang lebih kompleks, Anda harus menggunakannya secara konstan.

Bayar perhatian khusus pada formula (5), (7), (9), (12), (13), (17) dan (19). Jangan lupa ketika mengintegrasikan menambah jawaban sewenang-wenang dengan!

Integral dari Constanta.

∫ A D X \u003d A X + C (1)

Mengintegrasikan fungsi daya

Bahkan, dimungkinkan untuk membatasi hanya dengan formula (5) dan (7), tetapi sisa integral dari kelompok ini ditemui sesering tidak perlu memperhatikan mereka.

∫ x d x \u003d x 2 2 + c (2)
∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c (3)
∫ 1 x d x \u003d 2 x + c (4)
∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C (5)
∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c (6)
∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1) (7)

Integral dari fungsi indikatif dan dari fungsi hiperbolik

Tentu saja, rumus (8) (mungkin yang paling nyaman untuk menghafal) dapat dianggap sebagai kasus pribadi Formula (9). Formula (10) dan (11) untuk integral dari sinus hiperbolik dan kosinus hiperbolik mudah berasal dari formula (8), tetapi lebih baik untuk hanya mengingat hubungan ini.

∫ E x D x \u003d E X + C (8)
∫ A x d x \u003d A x LN A + C (A\u003e 0, a ≠ 1) (9)
∫ S H X D X \u003d C H X + C (10)
∫ C H x D x \u003d S H X + C (11)

Integral dasar dari fungsi trigonometri

Kesalahan yang sering dilakukan siswa: membingungkan tanda-tanda dalam formula (12) dan (13). Dengan mengingat bahwa derivatif sinus sama dengan kosinus, banyak karena beberapa alasan menganggap bahwa integral dari fungsi SINX adalah COSX. Ini tidak benar! Integral dari sinus sama dengan "minus cosinus", tetapi integral dari cosx adalah "hanya sinus":

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C (12)
∫ cos x d x \u003d sin x + c (13)
∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c (14)
∫ 1 Sin 2 x D x \u003d - C T G X + C (15)

Integral dikurangi menjadi fungsi trigonometri terbalik

Formula (16), yang mengarah ke Arctangent, secara alami, adalah kasus khusus formula (17) di A \u003d 1. Demikian pula, (18) - kasus khusus (19).

∫ 1 1 + x 2 D x \u003d A R C T G X + C \u003d - A R C C T G X + C (16)
∫ 1 x 2 + A 2 \u003d 1 A R C T G x A + C (A ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - X 2 D x \u003d Arcsin X + C \u003d - Arccos X + C (18)
∫ 1 A 2 - X 2 D x \u003d Arcsin x A + C \u003d - Arccos x A + C (A\u003e 0) (19)

Integral yang lebih kompleks

Rumus ini juga diinginkan untuk diingat. Mereka juga cukup sering digunakan, dan kesimpulan mereka cukup membosankan.

∫ 1 x 2 + A 2 d x \u003d ln | x + x 2 + A 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - A 2 d x \u003d ln | X + x 2 - a 2 | + C (21)
∫ A 2 - x 2 d x \u003d x 2 A 2 - X 2 + A 2 2 Arcsin x A + C (A\u003e 0) (22)
∫ x 2 + A 2 d x \u003d x 2 x 2 + A 2 + A 2 2 LN | x + x 2 + A 2 | + C (a\u003e 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x \u003d x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | X + x 2 - A 2 | + C (a\u003e 0) (24)

Aturan Integrasi Umum

1) Integral dari jumlah dua fungsi sama dengan jumlah integral masing-masing: ∫ (f (x) + g (x)) d x \u003d ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx (25) )

2) integral dari perbedaan dua fungsi sama dengan perbedaan antara integral yang sesuai: ∫ (f (x) - g (x)) d x \u003d ∫ f (x) d x - ∫ g (x) dx ( 26)

3) Konstanta dapat diambil dari tanda integral: ∫ c f (x) d x \u003d c ∫ f (x) d x (27)

Sangat mudah untuk memperhatikan bahwa properti (26) hanyalah kombinasi dari properti (25) dan (27).

4) Integral dari fungsi kompleks jika fungsi internal linier: ∫ F (A x + b) d x \u003d 1 a f (a x + b) + c (A ≠ 0) (28)

Di sini f (x) adalah primitif untuk fungsi f (x). Catatan: Formula ini hanya cocok untuk kasus ketika fungsi internal memiliki tampilan AX + B.

PENTING: Tidak ada formula universal untuk integral dari produk dua fungsi, serta untuk integral dari fraksi:

∫ f (x) g (x) d x \u003d? ∫ F (x) g (x) d x \u003d? (tigapuluh)

Ini tidak berarti, tentu saja, bahwa fraksi atau pekerjaan tidak dapat diintegrasikan. Setiap kali, melihat tipe integral (30), Anda harus menciptakan cara "berkelahi" dengannya. Dalam beberapa kasus, Anda akan dapat mengintegrasikan bagian-bagian, di suatu tempat harus mengganti variabel, dan kadang-kadang bantuan bahkan dapat memilikinya Formula "sekolah" Aljabar atau trigonometri.

Contoh sederhana menghitung integral yang tidak pasti

Contoh 1. Temukan Integral: ∫ (3 x 2 + 2 Sin X - 7 E X + 12) D x

Kami menggunakan formula (25) dan (26) (integral dari jumlah atau perbedaan fungsi sama dengan jumlah atau perbedaan integral yang sesuai. Kami memperoleh: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x - ∫ 7 E x D x + ∫ 12 D x

Ingatlah bahwa konstanta dapat dibuat atas tanda integral (rumus (27)). Ekspresi dikonversi ke pikiran

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e \u200b\u200bx d x + 12 ∫ 1 d x

Dan sekarang cukup gunakan tabel integral utama. Kita perlu menerapkan formula (3), (12), (8) dan (1). Integrasikan fungsi daya, sinus, eksponen dan konstan 1. Jangan lupa tambahkan ke ujung konstanta sewenang-wenang dengan:

3 X 3 3 - 2 COS X - 7 E X + 12 X + C

Setelah transformasi elementer, kami mendapatkan jawaban akhir:

X 3 - 2 COS X - 7 E X + 12 X + C

Periksa diri Anda dengan diferensiasi: ambil derivatif dari fungsi Dan pastikan itu sama dengan cara awal dalam ekspresi.

Ringkasan Tabel Integral.

∫ A D X \u003d A X + C

∫ x d x \u003d x 2 2 + c

∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c

∫ 1 x d x \u003d 2 x + c

∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C.

∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c

∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1)

∫ E x d x \u003d e x + c

∫ A x d x \u003d A x ln A + C (a\u003e 0, a ≠ 1)

∫ S h x d x \u003d c h x + c

∫ C H x D x \u003d S H X + C

∫ sin x d x \u003d - cos x + c

∫ cos x d x \u003d sin x + c

∫ 1 COS 2 x D x \u003d T G X + C

∫ 1 Sin 2 x D x \u003d - C T G X + C

∫ 1 1 + x 2 d x \u003d A R C T G X + C \u003d - A R C C T G X + C

∫ 1 x 2 + A 2 \u003d 1 A R C T G x A + C (A ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 D x \u003d Arcsin X + C \u003d - Arccos X + C

∫ 1 A 2 - X 2 D x \u003d Arcsin x A + C \u003d - Arccos x A + C (A\u003e 0)

∫ 1 x 2 + A 2 d x \u003d ln | x + x 2 + A 2 | + C.

∫ 1 x 2 - A 2 d x \u003d ln | X + x 2 - A 2 | + C.

∫ A 2 - x 2 d x \u003d x 2 A 2 - X 2 + A 2 2 Arcsin x A + C (A\u003e 0)

∫ x 2 + A 2 d x \u003d x 2 x 2 + A 2 + A 2 2 LN | x + x 2 + A 2 | + C (a\u003e 0)

∫ x 2 - a 2 d x \u003d x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | X + x 2 - A 2 | + C (a\u003e 0)

Unduh tabel integral (Bagian II) pada tautan ini

Jika Anda belajar di universitas jika Anda mengalami kesulitan dengan matematika tertinggi (analisis matematika, aljabar linear, teori probabilitas, statistik), jika Anda memerlukan layanan guru yang berkualitas, pergi ke halaman tutor dalam matematika tertinggi . Kami akan memecahkan masalah Anda bersama!

Mungkin Anda juga akan tertarik