Fungsi irasional dari variabel adalah fungsi yang dibentuk dari konstanta variabel dan sewenang-wenang menggunakan jumlah operasi penambahan, pengurangan, multiplikasi (ereksi dalam tingkat integer), divisi dan mengekstraksi akar. Fungsi irasional berbeda dari rasional karena fungsi irasional mengandung operasi ekstraksi akar.

Ada tiga jenis utama fungsi irasional, integral yang tidak terbatas dari yang diberikan untuk integral dari fungsi rasional. Ini adalah integral yang berisi akar dari gelar integer sewenang-wenang dari fungsi linear fraksional (akar dapat dari berbagai derajat, tetapi dari fungsi linear fraksi yang sama); Integral dari binoma dan integral diferensial dengan akar kuadrat dari persegi tiga tembakan.

Komentar penting. Akar bermakna!

Saat menghitung integral yang mengandung akar, spesies formulir sering ditemukan, di mana ada beberapa fungsi dari variabel integrasi. Itu harus diingat bahwa. Yaitu, dengan t\u003e 0, | t | \u003d T. . Dengan t.< 0, | t | \u003d - t. Oleh karena itu, ketika menghitung integral tersebut, Anda perlu secara terpisah mempertimbangkan kasus t\u003e 0 dan T.< 0 . Ini dapat dilakukan jika Anda menulis tanda atau di mana itu perlu. Menyiratkan bahwa tanda atas mengacu pada kasus t\u003e 0 , dan bagian bawah - untuk kasus t< 0 . Dengan konversi lebih lanjut, tanda-tanda ini biasanya saling berkurang.

Pendekatan kedua adalah mungkin, di mana fungsi terintegrasi dan hasil integrasi dapat dilihat sebagai fungsi kompleks dari variabel kompleks. Maka Anda tidak dapat mengikuti tanda-tanda dalam ekspresi terpisah. Pendekatan ini berlaku jika fungsi terintegrasi adalah analitik, yaitu fungsi yang berbeda dari variabel kompleks. Dalam hal ini, fungsi terintegrasi dan integral dari itu adalah fungsi multi-nilai. Oleh karena itu, setelah integrasi, ketika mengganti nilai numerik, perlu untuk memilih cabang yang tidak ambigu (permukaan Riemannian) dari fungsi integrand, dan untuk memilih cabang yang sesuai dari hasil integrasi.

Irasionalitas linear

Ini adalah integral dengan akar dari fungsi linear fraksional yang sama:
,
Di mana R adalah fungsi rasional - bilangan rasional, m 1, n 1, ..., m, n S adalah bilangan bulat, α, β, γ, δ - angka yang valid.
Integral tersebut dikurangi menjadi integral dari fungsi fitur rasional:
Di mana n adalah penyebut umum dari angka R 1, ..., r s.

Akar mungkin belum tentu dari fungsi linear fraksional, tetapi juga dari linier (γ \u003d 0, δ \u003d 1), atau dari variabel integrasi x (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, δ \u003d 1).

Berikut adalah contoh integral seperti itu:
, .

Integral dari Binom diferensial

Integral dari binom diferensial memiliki bentuk:
,
Di mana M, N, P adalah angka rasional, A, b - angka yang valid.
Integral semacam itu dikurangi menjadi integral dari fungsi rasional dalam tiga kasus.

1) Jika p adalah integer. Substitusi x \u003d T n, di mana n adalah penyebut total dari fraksi M dan N.
2) Jika - keseluruhan. Substitusi x n + b \u003d t m, di mana m adalah jumlah angka p.
3) Jika - keseluruhan. Substitusi A + B x - N \u003d T M, di mana M adalah penyebut nomor P.

Dalam kasus lain, integral tersebut tidak diungkapkan melalui fungsi dasar.

Terkadang integral seperti itu dapat disederhanakan menggunakan formula:
;
.

Integral yang berisi akar kuadrat dari persegi tiga

Integral semacam itu adalah:
,
di mana r adalah fungsi rasional. Untuk setiap integral tersebut ada beberapa metode solusi.
1) Menggunakan transformasi untuk mengarah ke integral yang lebih sederhana.
2) Menerapkan substitusi trigonometri atau hiperbolik.
3) Terapkan substitusi Euler.

Pertimbangkan metode ini secara lebih rinci.

1) Konversi fungsi integrand

Menggunakan rumus, dan melakukan transformasi aljabar, membawa fungsi reintroduct ke pikiran:
,
Di mana φ (x), ω (x) adalah fungsi rasional.

saya mengetik

Integral dari formulir:
,
di mana p n (x) adalah gelar polinomial n.

Integral semacam itu adalah metode koefisien yang tidak pasti menggunakan identitas:

.
Membedakan persamaan ini dan menyamakan bagian kiri dan kanan, kita menemukan koefisien A I.

II Type.

Integral dari formulir:
,
di mana p m (x) adalah gelar polinom m.

Substitusi t \u003d. (X - α) -1 Integral ini didorong ke tipe sebelumnya. Jika m ≥ n, maka fraksi harus dialokasikan ke seluruh bagian.

III Type.

Di sini kita membuat substitusi:
.
Setelah itu integral akan mengambil formulir:
.
Selanjutnya, permanen α, β, Anda perlu memilih sedemikian rupa sehingga dalam penyebutnya koefisien pada t berbalik ke nol:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Kemudian integral menghancurkan jumlah integral dari dua jenis:
,
,
yang terintegrasi dengan substitusi:
u 2 \u003d A 1 T 2 + C 1,
v 2 \u003d 1 + c 1 t -2.

2) Pergantian trigonometri dan hiperbolik

Untuk integral formulir, a > 0 ,
Kami memiliki tiga substitusi utama:
;
;
;

Untuk integral, a > 0 ,
Kami memiliki substitusi berikut:
;
;
;

Dan akhirnya untuk integral, a > 0 ,
Substitusi adalah sebagai berikut:
;
;
;

3) Pergantian Euler

Juga integral dapat dikurangi menjadi integral dari fungsi rasional dari salah satu dari tiga substitusi Euler:
, dengan a\u003e 0;
, dengan C\u003e 0;
Di mana x 1 adalah akar dari persamaan A x 2 + b x + c \u003d 0. Jika persamaan ini memiliki akar yang valid.

Integral Elips.

Kesimpulannya, pertimbangkan integral bentuk:
,
di mana R adalah fungsi rasional ,. Integral semacam itu disebut Elliptic. Secara umum, mereka tidak diungkapkan melalui fungsi dasar. Namun, ada kasus-kasus ketika ada hubungan antara koefisien A, B, C, D, E, dengan integral tersebut diekspresikan melalui fungsi dasar.

Di bawah ini adalah contoh yang terkait dengan pengembalian polinomial. Perhitungan integral tersebut dilakukan dengan menggunakan substitusi:
.

Contoh

Hitung integral:
.

Keputusan

Membuat substitusi.

.
Di sini di x\u003e 0 (U\u003e. 0 ) Kami mengambil tanda atas '+'. Dengan X.< 0 (U.< 0 ) - Bawah '-'.

.

Menjawab

Referensi:
N. Gunter, R.O. Kuzmin, koleksi tugas pada matematika yang lebih tinggi, "LAN", 2003.

Fungsi f (x), dapat dibedakan dalam celah ini, disebut sempurna untuk Fungsi F (x), atau dengan integral dari f (x), jika untuk x ∈x, kesetaraan itu benar:

F "(x) \u003d f (x). (8.1)

Menemukan semua yang utama untuk fitur ini disebut integrasi. Fungsi integral yang tidak pastif (x) pada celah ini disebut set semua fungsi primitif untuk fungsi f (x); Penunjukan -

Jika f (x) adalah semacam fungsi fungsional f (x), maka ∫ f (x) dx \u003d f (x) + c, (8.2)

di mana ada konstanta sewenang-wenang.

Tabel Integrals.

Langsung dari definisi kita mendapatkan sifat dasar tidak integral tertentu dan daftar integral tabular:

1) d∫f (x) dx \u003d f (x)

2) ∫df (x) \u003d f (x) + c

3) ∫af (x) dx \u003d a∫f (x) dx (a \u003d const)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Daftar Integral Tabular

1. ∫x m dx \u003d x m + 1 / (m + 1) + c; (m ≠ -1)

3.∫a x dx \u003d a x / ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1)

4.∫e x dx \u003d e x + c

5.∫sin x dx \u003d cosx + c

6.∫COS X DX \u003d - SIN X + C

7. \u003d Arctg X + C

8. \u003d Arcsin X + C

10. \u003d - CTG X + C

Mengganti variabel

Untuk integrasi banyak fungsi, metode mengganti variabel atau substitusimemungkinkan untuk membawa integral ke bentuk tabel.

Jika fungsi f (z) terus menerus ke [α, β], fungsi z \u003d g (x) memiliki derivatif kontinu dan α ≤ g (x) ≤ β, maka

∫ F (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) dz, (8.3)

selain itu, setelah integrasi, substitusi z \u003d g (x) harus dibuat di bagian kanan.

Untuk membuktikan, sudah cukup untuk menulis sumber integral dalam formulir:

∫ F (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (x)) dg (x).

Sebagai contoh:

Metode integrasi di bagian

Biarkan u \u003d f (x) dan v \u003d g (x) berfungsi yang terus menerus. Kemudian, dengan bekerja,

d (UV)) \u003d UDV + VDU atau UDV \u003d D (UV) - VDU.

Untuk ekspresi D (UV), yang pertama, jelas, akan menjadi UV, jadi rumusnya adalah:

∫ UDV \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)

Formula ini mengekspresikan aturan integrasi di bagian. Ini menghasilkan integrasi ekspresi UDV \u003d UV "DX untuk mengintegrasikan ekspresi VDU \u003d VU" DX.

Biarkan, misalnya, Anda perlu menemukan ∫xcosx dx. Letakkan u \u003d x, dv \u003d cosxdx, sehingga du \u003d dx, v \u003d sinx. Kemudian

∫xcosxdx \u003d ∫x d (sin x) \u003d x sin x - ∫sin x dx \u003d x sin x + cosx + c.

Aturan integrasi di bagian ini memiliki ruang lingkup yang lebih terbatas daripada penggantian variabel. Tetapi ada seluruh kelas integral, misalnya,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e kapak dan lain-lain yang dihitung menggunakan integrasi di bagian.

Integral tertentu

Konsep integral tertentu ditingkatkan sebagai berikut. Biarkan fungsi f (x) didefinisikan pada segmen. Kami memecahkan segmen [A, B] pada n. titik titik A \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Jumlah formulir f (ξ i) δ x i disebut jumlah integral, dan batasnya pada λ \u003d maxΔx i → 0, jika ada dan terbatas, disebut Integral tertentufungsi f (x) dari sEBUAH. sebelum dgn B. Dan ditunjukkan:

F (ξ i) Δx i (8.5).

Fungsi f (x) dalam hal ini disebut diintegrasikan pada Cut., angka A dan B disebut Batas integral bawah dan atas.

Untuk integral tertentu, sifat-sifat berikut ini valid:

4), (k \u003d const, k∈r);

5)

6)

7) f (ξ) (b - a) (ξ∈).

Properti terakhir disebut Teorest pada makna rata-rata.

Biarkan f (x) terus menerus. Maka ada integral yang tidak terbatas pada segmen ini

∫f (x) dx \u003d f (x) + c

dan berlangsung formula Newton Labitsa., mengikat integral tertentu dengan tidak pasti:

F (b) - f (a). (8.6)

Interpretasi geometris: integral tertentu adalah area trapezium curvilinear, terbatas dari di atas kurva y \u003d f (x), lurus x \u003d a dan x \u003d b dan segmen sumbu LEMBU..

Integral Tidak Valid.

Integral dengan batasan dan integral tanpa batas dari fungsi terputus-putus (tidak terbatas) disebut tidak kompatibel. Integral yang tidak kompatibel dari saya baik - Ini adalah integral pada celah tak terbatas yang didefinisikan sebagai berikut:

(8.7)

Jika batas ini ada dan terbatas, kemudian dipanggil konvergen Integral Tidak Lengkap dari F (x) pada interval [A, + ∞), dan fungsi f (x) disebut terintegrasi pada interval yang tak terbatas[A, + ∞). Sebaliknya tentang integral katakan dia tidak ada atau berbeda.

Dengan cara yang sama, integral yang tidak dapat dipahami pada interval (-∞, b] dan (-∞, + ∞) ditentukan:

Kami mendefinisikan konsep integral dari fungsi tanpa batas. Jika f (x) terus menerus untuk semua nilai x. Potong, kecuali untuk titik C, di mana f (x) memiliki celah tanpa akhir, maka genus Integral II yang tidak kompatibel dari F (x) dalam kisaran dari a ke b Jumlahnya disebut:

jika batas ini ada dan terbatas. Penunjukan:

Contoh perhitungan integral

Contoh 3.30. Hitung ∫dx / (x + 2).

Keputusan. Denment oleh t \u003d x + 2, lalu dx \u003d dt, ∫dx / (x + 2) \u003d ∫dt / t \u003d ln | t | + C \u003d ln | x + 2 | + C.

Contoh 3.31.. Temukan ∫ TGXDX.

Keputusan.∫ TGXDX \u003d ∫SINX / COSXDX \u003d - ∫DCOSX / COSX. Biarkan t \u003d cosx, lalu ∫ TGXDX \u003d -∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -ln | cosx | + C.

Contoh3.32 . Temukan ∫dx / sinx

Keputusan.

Contoh3.33. Mencari .

Keputusan. = .

Contoh3.34 . Temukan ∫arctgxdx.

Keputusan. Kami berintegrasi dalam beberapa bagian. Denote u \u003d arctgx, dv \u003d dx. Lalu du \u003d dx / (x 2 +1), v \u003d x, dari mana ∫arctgxdx \u003d xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) \u003d xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + c; sebagai
∫XDX / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫D (x 2 +1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + c.

Contoh3.35 . Hitung ∫lnxdx.

Keputusan. Menggunakan rumus integrasi di bagian, kami dapatkan:
u \u003d lnx, dv \u003d dx, du \u003d 1 / x dx, v \u003d x. Lalu ∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d Xlnx - ∫dx + c \u003d xlnx - x + c.

Contoh3.36 . Hitung ∫e x SinxDX.

Keputusan. Denote u \u003d e x, dv \u003d sinxdx, lalu du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - cosx → ∫ e x sinxdx \u003d - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integral ∫e x cosxdx juga berintegrasi dalam bagian: u \u003d e x, dv \u003d cosxdx, du \u003d e x dx, v \u003d sinx. Kita punya:
∫ E X COSXDX \u003d E X SINX - ∫ E X SINXDX. Diterima ∫e x sinxdx \u003d - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, dari mana 2∫e x sinx dx \u003d - e x cosx + e x sinx + s

Contoh 3.37. Hitung J \u003d ∫cos (LNX) DX / X.

Keputusan.Sejak DX / X \u003d DLNX, lalu j \u003d ∫cos (lnx) d (lnx). Mengganti LNX melalui T, kami datang ke tabel integral j \u003d ∫ costdt \u003d sint + c \u003d sin (lnx) + C.

Contoh 3.38 . Menghitung j \u003d.

Keputusan. Mempertimbangkan itu \u003d D (lnx), kami memproduksi substitusi lnx \u003d t. Lalu j \u003d. .

Contoh 3.39 . Hitung integral J \u003d .

Keputusan.Kita punya: . Oleh karena itu \u003d.
=
\u003d. Dimasukkan SO SQRT (tan (x / 2)).

Dan jika Anda mengklik langkah-langkah pertunjukan di sudut kanan atas, maka dapatkan solusi terperinci.

aplikasi

Integral online di situs untuk konsolidasi oleh siswa dan anak-anak sekolah melalui material berlalu. Dan melatih keterampilan praktis Anda. Solusi integral lengkap secara online untuk Anda dalam beberapa menit akan membantu menentukan semua tahapan proses. Setiap kali mulai memecahkan integral online, Anda perlu mengidentifikasinya, tanpa metode ini tidak dapat diterapkan jika tidak Hitung tabel integral. Tidak setiap integral tabular terlihat jelas dari contoh yang ditentukan, kadang-kadang Anda perlu mengkonversi fungsi sumber untuk menemukan primitif. Dalam praktiknya, solusi integral dikurangi menjadi interpretasi masalah untuk menemukan inisial, yaitu, primitif dari keluarga fungsi yang tak terbatas, tetapi jika batas integrasi ditentukan, maka hanya satu fungsi tetap menggunakan rumus laboratorium untuk perhitungan mana. Integral Online - Integral online yang tidak terbatas dan integral secara online tertentu. Fungsi integral dari online adalah jumlah angka apa pun yang dimaksudkan untuk integrasi mereka. Oleh karena itu, secara informal, integral online tertentu adalah area antara jadwal fungsi dan sumbu absis dalam integrasi. Contoh penyelesaian tugas dengan integral. Mari kita hitung integral kompleks dalam satu variabel dan kaitkan responsnya dengan solusi lebih lanjut dari masalah tersebut. Mungkin saja kata mereka, di dahi untuk menemukan integral dari fungsi integrand. Setiap bagian integral dengan akurasi tinggi menentukan area garis yang terbatas. Ini adalah salah satu makna geometrisnya. Metode ini memfasilitasi posisi siswa. Beberapa tahap, pada kenyataannya, tidak akan memiliki banyak pengaruh pada analisis vektor. Fungsi online terintegrasi adalah konsep utama kalkulus integral .. solusi integral yang tidak pasti. Menurut teorema analisis utama, integrasi adalah operasi, diferensiasi terbalik daripada persamaan diferensial membantu. Ada beberapa definisi berbeda dari operasi integrasi yang berbeda dalam detail teknis. Namun, semuanya kompatibel, yaitu, ada dua cara untuk berintegrasi, jika mereka dapat diterapkan pada fungsi ini, akan memberikan hasil yang sama. Yang paling sederhana adalah integral dari Riemann - integral tertentu atau integral yang tidak terbatas. Integral informal fungsi satu variabel dapat diperkenalkan sebagai area di bawah grafik (angka-angka menyimpulkan antara jadwal fungsi dan sumbu absis). Subtunk semacam itu mampu membuktikan bahwa integral akan sangat diperlukan pada awal pendekatan penting. Jangan lupa! Mencoba menemukan area ini, Anda dapat mempertimbangkan bentuk yang terdiri dari sejumlah persegi panjang vertikal, basis yang bersama-sama segmen integrasi dan diperoleh ketika membelah segmen yang sesuai dengan jumlah segmen kecil. Memecahkan Integral Online. Integral online - Integral online yang tidak terbatas dan integral secara online tertentu. Memecahkan Integral Online: Integral online yang tidak terbatas dan integral secara online tertentu. Kalkulator memecahkan integral dengan deskripsi detail tindakan dan gratis! Integral online yang tidak pasti untuk suatu fungsi adalah kombinasi dari semua fitur utama ini. Jika fungsi ditentukan dan terus menerus pada interval, maka ia memiliki fungsi primitif (atau keluarga utama). Integral hanya mendefinisikan ekspresi, kondisi yang Anda diminta untuk munculnya kebutuhan seperti itu. Lebih baik mendekati kasus ini dengan hati-hati dan mengalami kepuasan internal dari pekerjaan yang dilakukan. Tetapi untuk menghitung metode integral yang berbeda dari klasik, kadang-kadang mengarah pada hasil yang tidak terduga dan tidak mungkin untuk mengejutkannya. Saya senang bahwa fakta yang akan memiliki resonansi positif pada apa yang terjadi. Daftar integral spesifik dan integral integral yang tidak pasti dengan solusi langkah-demi-langkah terperinci lengkap. Semua integral dengan mode online terperinci. Integral yang tidak pasti. Menemukan Integral Online yang tidak terbatas adalah tugas yang sangat sering dalam matematika yang lebih tinggi dan bagian teknis ilmu pengetahuan lainnya. Metode integrasi dasar. Definisi integral, integral spesifik dan tidak terbatas, tabel integral, formula Newton-Labender. Dan lagi, Anda dapat menemukan integral Anda pada tabel ekspresi integral, namun, masih perlu untuk datang, karena semuanya tidak sesederhana mungkin terlihat pada pandangan pertama. Pikirkan tentang bangunan yang dilakukan lebih awal daripada ada kesalahan. Integral dan metode tertentu untuk perhitungannya. Integral khusus online dengan batas atas variabel. Memecahkan Integral Online. Setiap contoh yang akan membantu menghitung integral pada formula tabel akan menjadi kepemimpinan yang berguna untuk bertindak untuk siswa dari tingkat persiapan apa pun. Langkah paling penting menuju jawaban yang benar .. Integral online. Integral yang tidak pasti yang berisi fungsi eksponensial dan logaritmik. Solusi integral online - Anda akan menerima solusi terperinci untuk berbagai jenis integral: tidak pasti, pasti, internal. Kalkulator integral tertentu menghitung integral spesifik online dari fungsi pada interval menggunakan integrasi numerik. Fungsi integral adalah analog dari jumlah urutan. Secara informal, integral tertentu adalah area bagian dari fungsi grafis. Solusi Integral Online. Integral Online - Integral online yang tidak terbatas dan integral secara online tertentu. Seringkali, integral semacam itu menentukan seberapa besar tubuh lebih sulit dibandingkan dengan objek dari kepadatan yang sama, dan tidak masalah bentuk apa itu, karena permukaannya tidak menyerap air. Memecahkan Integral Online .. Integral Online - sebuah integral online tanpa batas online dan integral secara online tertentu. Cara menemukan integral online tahu setiap siswa kursus junior. Atas dasar program sekolah, bagian matematika ini juga dipelajari, tetapi tidak secara rinci, tetapi hanya keledai topik yang sulit dan penting. Dalam kebanyakan kasus, siswa melanjutkan studi tentang integral dengan teori yang luas, yang juga didahului dengan topik-topik penting, seperti turunan dan batas transisi - mereka batasan. Solusi integral secara bertahap dimulai dengan contoh-contoh paling dasar dari fungsi-fungsi sederhana, dan berakhir dengan penggunaan banyak pendekatan dan aturan yang diusulkan pada abad terakhir dan bahkan lebih awal. Perhitungan integral dibiasakan di lyceum dan sekolah, yaitu, di lembaga pendidikan sekunder. Situs situs kami akan selalu membantu Anda dan solusi integral online akan menjadi biasa bagi Anda, dan pekerjaan yang paling penting. Atas dasar sumber daya ini, Anda dapat dengan mudah mencapai kesempurnaan di bagian matematika ini. Mengisi langkah demi langkah di bawah aturan, misalnya, seperti integrasi, dalam beberapa bagian atau penggunaan metode Chebyshev, Anda dapat dengan mudah memutuskan jumlah maksimum tes apa pun. Jadi bagaimana kita masih menghitung integral, menerapkan tabel integral yang diketahui integral, tetapi sehingga solusinya benar, benar dan dengan balasan setinggi mungkin? Bagaimana cara mempelajari ini dan apakah mungkin untuk menjadikannya manusia baru konvensional dalam waktu sesingkat mungkin? Anda akan menjawab pertanyaan ini secara afirmatif - Anda bisa! Pada saat yang sama, Anda tidak hanya akan dapat menyelesaikan contoh apa pun, tetapi juga mencapai tingkat insinyur kelas atas. Rahasianya sederhana seperti sebelumnya - perlu untuk melakukan upaya maksimal, untuk memberikan jumlah waktu yang diperlukan untuk persiapan diri. Sayangnya, tidak ada yang datang dengan cara yang berbeda! Tetapi tidak semuanya begitu keruh, seperti yang terlihat pada pandangan pertama. Jika Anda merujuk ke situs layanan kami dengan pertanyaan ini, maka kami akan memfasilitasi hidup Anda, karena situs web kami dapat menghitung integrasi online secara rinci, dengan kecepatan yang sangat tinggi dan akurat tanpa cacat. Intinya, integral tidak menentukan bagaimana rasio argumen tentang stabilitas sistem secara keseluruhan terpengaruh. Kalau saja semuanya seimbang. Seiring dengan cara Anda akan mengetahui dasar-dasar tema matematika ini, layanan dapat menemukan integral dari fungsi integrand jika integral ini dapat diizinkan dalam fungsi dasar. Jika tidak, integral dalam praktik tidak diperlukan dalam fungsi dasar dalam praktiknya, tidak perlu menemukan jawaban dalam analitis atau, dengan kata lain, secara eksplisit. Semua perhitungan integral dikurangi menjadi definisi fungsi primitif dari fungsi integrand yang diberikan. Untuk melakukan ini, mereka pertama-tama menghitung integral yang tidak terbatas di semua hukum matematika online. Kemudian, jika perlu, gantikan nilai bagian atas dan bawah integral. Jika Anda tidak perlu menentukan atau menghitung nilai numerik dari integral yang tidak terbatas, maka konstanta ditambahkan ke fungsi pra-bentuk, dengan demikian menentukan keluarga fungsi primitif. Tempat khusus dalam sains dan secara umum di setiap wilayah teknik, termasuk mekanisme media padat, integrasi menggambarkan seluruh sistem mekanis, gerakan mereka dan banyak lagi. Dalam banyak kasus, integral menentukan hukum gerak dari titik material. Ini adalah alat yang sangat penting dalam belajar ilmu terapan. Pengupasan dari ini, tidak mungkin untuk tidak mengatakan tentang perhitungan skala besar untuk menentukan hukum keberadaan dan perilaku sistem mekanik. Solusi Kalkulator Integral Online Situs web online adalah alat yang ampuh untuk insinyur profesional. Kami pasti menjamin Anda, tetapi untuk menghitung integral Anda hanya dapat setelah Anda memasukkan ekspresi sebelumnya ke bidang fungsi integrand. Jangan takut untuk membuat kesalahan, semuanya bisa diperbaiki dalam masalah ini! Biasanya, solusi integral dikurangi menjadi aplikasi fungsi tabel dari buku teks terkenal atau ensiklopedia. Seperti yang lain, integral yang tidak terbatas akan dihitung sesuai dengan rumus standar tanpa keluhan kasar khusus. Mudah dan mudah, siswa dari kursus pertama meraih materi yang dipelajari dan bagi mereka untuk menemukan integral kadang-kadang tidak lebih dari dua menit. Dan jika siswa mempelajari tabel integral, maka secara umum mungkin ada dalam pikiran untuk menentukan jawaban. Menyebarkan fungsi-fungsi dengan variabel relatif terhadap permukaan yang awalnya berarti arah vektor yang benar pada beberapa titik absis. Perilaku permukaan permukaan yang tidak terduga mengambil integral tertentu untuk dasar dalam sumber respons fungsi matematika. Tepi kiri bola tidak menyangkut silinder di mana lingkaran itu tertulis jika menonton irisan di pesawat. Jumlah area kecil, rusak pada ratusan fungsi kontinu piecewise ada integral online dari fungsi yang diberikan. Makna mekanis dari integral adalah banyak tugas terapan, ini adalah penentuan volume tubuh dan perhitungan berat badan. Tiga dan integral ganda berpartisipasi hanya perhitungan ini. Kami bersikeras bahwa solusi integral online dilakukan hanya di bawah pengawasan guru yang berpengalaman dan melalui berbagai pemeriksaan. Kami sering ditanya tentang kinerja siswa yang tidak menghadiri kuliah, berjalan-jalan tanpa alasan, bagaimana mereka berhasil menemukannya integral sendiri. Kami menjawab bahwa para siswa bebas dan dapat menjalani pelatihan externo, mempersiapkan ujian atau ujian di rumah yang nyaman. Dalam hitungan detik, layanan kami akan membantu setiap keinginan untuk menghitung integral dari fungsi tertentu dalam variabel. Periksa hasil yang dihasilkan harus diambil oleh turunan dari fungsi primitif. Pada saat yang sama, konstanta dari larutan integral ditarik ke nol. Aturan ini jelas untuk semua orang. Karena membenarkan operasi multidusi, integral yang tidak terbatas sering dikurangi menjadi divisi area menjadi bagian-bagian kecil. Namun, beberapa siswa dan anak-anak sekolah mengabaikan persyaratan ini. Seperti biasa integral online dapat menyelesaikan situs layanan kami dan tidak ada batasan pada jumlah permintaan, semuanya gratis dan dapat diakses oleh semua orang. Tidak ada banyak situs seperti itu dalam hitungan detik memberikan respons langkah demi langkah, dan yang paling penting dengan akurasi tinggi dan dalam bentuk yang nyaman. Pada contoh terakhir di halaman kelima pekerjaan rumah, itu dipenuhi yang menunjukkan perlunya menghitung integral dalam tahap. Tetapi tidak perlu melupakan bagaimana mungkin untuk menemukan integral dengan bantuan layanan jadi, diuji dan diuji pada ribuan contoh padat online. Karena integral semacam itu menentukan pergerakan sistem, cukup jelas bagi kita dan jelas tentang hal ini menunjukkan sifat pergerakan cairan kental, yang dijelaskan oleh sistem persamaan ini.

Integral kompleks.

Pasal ini menyelesaikan subjek integral yang tidak pasti, dan di dalamnya integral yang saya anggap cukup rumit dimasukkan. Pelajaran itu dibuat pada permintaan pengunjung yang berulang yang menyatakan keinginan agar contoh-contoh yang lebih sulit dibongkar di situs.

Diasumsikan bahwa pembaca teks ini dipersiapkan dengan baik dan tahu bagaimana menerapkan teknik utama integrasi. Tekot dan orang-orang yang tidak terlalu percaya diri ditangani dengan integral harus dirujuk ke pelajaran pertama - Integral yang tidak pasti. Contoh solusiDi mana Anda dapat menguasai topik dengan hampir nol. Mahasiswa yang lebih berpengalaman dapat membiasakan diri dengan teknik dan metode integrasi, yang dalam artikel saya belum bertemu.

Integral apa yang akan dipertimbangkan?

Pertama, kami akan mempertimbangkan integral dengan akar, untuk dipecahkan yang digunakan secara konsisten mengganti variabel dan integrasi di bagian. Artinya, dalam satu contoh, dua resepsi digabungkan. Dan bahkan lebih.

Maka kita akan berkenalan dengan menarik dan asli informasi Metode Integral untuk diri Anda sendiri. Metode ini diselesaikan tidak sedikit integral.

Angka ketiga dari program ini akan menjadi integral dari fraksi kompleks yang menerbangkan register kas melewati artikel sebelumnya.

Keempat, integral tambahan dari fungsi trigonometri akan dibongkar. Secara khusus, ada metode yang memungkinkan Anda untuk menghindari waktu memakan substitusi trigonometrik universal.

(2) Dalam fungsi integrand, pembilang pada penyebut.

(3) Gunakan properti linearitas dari integral yang tidak terbatas. Di bagian integral terakhir segera sapu fungsi di bawah tanda diferensial.

(4) Ambil bagian integral yang tersisa. Harap dicatat bahwa dalam logaritma Anda dapat menggunakan kurung, bukan modul, sejak itu.

(5) Kami memegang pengganti, mengekspresikan dari penggantian langsung "te":

Siswa Masochian dapat menandingi jawabannya dan mendapatkan fungsi integrand asli seperti yang baru saja saya lakukan. Tidak, tidak, saya memenuhi verifikasi dalam arti yang benar \u003d)

Seperti yang Anda lihat, selama keputusan saya harus menggunakan lebih dari dua keputusan solusi, jadi untuk pembalasan dengan integral serupa, Anda membutuhkan keterampilan integrasi yang percaya diri dan bukan pengalaman terkecil.

Dalam praktiknya, tentu saja, akar kuadrat lebih umum, berikut adalah tiga contoh untuk solusi independen:

Contoh 2.

Temukan integral yang tidak terbatas

Contoh 3.

Temukan integral yang tidak terbatas

Contoh 4.

Temukan integral yang tidak terbatas

Contoh-contoh ini dengan tipe yang sama, sehingga solusi lengkap di akhir artikel hanya akan misalnya 2, dalam contoh 3-4 - satu jawaban. Penggantian apa yang berlaku di awal keputusan, saya pikir jelas. Mengapa saya mengambil jenis contoh yang sama? Sering ditemukan dalam peran Anda. Lebih sering, mungkin, hanya sesuatu seperti .

Tetapi tidak selalu, ketika di bawah Arctgennes, sinus, cosinus, eksponensial, dll. Fitur adalah akar dari fungsi linear, beberapa metode harus diterapkan. Dalam beberapa kasus, dimungkinkan untuk "menyingkirkan", yaitu, segera setelah penggantian, integral sederhana diperoleh, yang didemonstrasikan. Yang paling mudah dari tugas yang diusulkan adalah contoh 4, di dalamnya setelah penggantian ternyata integral yang relatif sederhana.

Informasi Metode Integral untuk diri Anda sendiri

Metode yang jenaka dan indah. Segera pertimbangkan klasik genre:

Contoh 5.

Temukan integral yang tidak terbatas

Di bawah akar ada bikco persegi, dan ketika mencoba mengintegrasikan contoh ini, ketel dapat menderita selama berjam-jam. Integral semacam itu diambil di bagian-bagian dan turun ke dirinya sendiri. Pada prinsipnya, itu tidak sulit. Jika Anda tahu caranya.

Menunjukkan oleh integral dari huruf Latin dan memulai solusi:

Kami berintegrasi di bagian:

(1) Kami menyiapkan fungsi pengganti untuk divisi tanah.

(2) Kami membagi fungsi penggantian. Mungkin tidak semua dengan jelas, saya akan menulis lebih detail:

(3) Gunakan properti linearitas dari integral yang tidak terbatas.

(4) Ambil logaritma integral ("panjang" terakhir).

Sekarang kita melihat awal keputusan:

Dan pada akhirnya:

Apa yang terjadi? Sebagai hasil dari manipulasi kami, integral itu sampai pada dirinya sendiri!

Kami menyamakan awal dan akhir:

Kami mentransfer ke sisi kiri dengan perubahan tanda:

Dan demo didemoloskan ke sisi kanan. Hasil dari:

Konstanta, secara ketat, harus ditambahkan sebelumnya, tetapi menghubungkannya pada akhirnya. Saya sangat merekomendasikan membaca apa yang ada di sini untuk keras:

catatan: Tahap akhir yang lebih ketat dari solusi ini terlihat seperti ini:

Lewat sini:

Konstanta dapat digunakan kembali. Kenapa kamu bisa diterbitkan kembali? Karena masih membutuhkan apa saja Nilai, dan dalam pengertian ini antara konstanta dan tidak ada perbedaan.
Hasil dari:

Trik seperti itu dengan konstanta yang diterbitkan kembali banyak digunakan di persamaan diferensial.. Dan di sana saya akan ketat. Dan di sini kebebasan seperti itu diizinkan oleh saya hanya agar tidak membingungkan Anda dengan hal-hal berlebihan dan fokus pada metode integrasi itu sendiri.

Contoh 6.

Temukan integral yang tidak terbatas

Integral khas lain untuk keputusan diri sendiri. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran. Perbedaan dengan respons dari contoh sebelumnya akan!

Jika akar kuadrat adalah triple persegi, maka solusi dalam hal apa pun dikurangi menjadi dua contoh pembongkaran.

Misalnya, pertimbangkan integral . Yang perlu Anda lakukan adalah pra- pilih Full Square.:
.
Selanjutnya, penggantian linear dilakukan, yang dikenakan biaya "tanpa konsekuensi":
Akibatnya, integral diperoleh. Sesuatu yang akrab, bukan?

Atau contoh seperti itu, dengan persegi memantul:
Kami menyoroti persegi penuh:
Dan, setelah penggantian linear, kami mendapatkan integral, yang juga diselesaikan oleh algoritma yang sudah dipertimbangkan.

Pertimbangkan dua contoh khas pada penerimaan informasi integral untuk diri sendiri:
- Integral dari pameran dikalikan dengan sinus;
- Integral dari SAMPAI dikalikan dengan cosinus.

Dalam integral yang tercantum pada bagian-bagian harus diintegrasikan dua kali:

Contoh 7.

Temukan integral yang tidak terbatas

Fungsi integrand adalah seorang peserta pameran dikalikan dengan sinus.

Kami mengintegrasikan dua kali di bagian dan membawa bagian integral untuk diri sendiri:

Sebagai hasil dari integrasi dua kali di bagian, integral telah mencapai dirinya sendiri. Kami menyamakan solusi awal dan akhir:

Kami mentransfer ke sisi kiri dengan perubahan tanda dan mengungkapkan integral kami:

Siap. Juga, diinginkan untuk memerangi sisi kanan, I.E. Untuk membuat eksponen untuk tanda kurung, dan dalam tanda kurung untuk berbaring sinus dengan kosinus dalam urutan "indah".

Sekarang mari kita kembali ke awal contoh, atau lebih tepatnya - untuk integrasi di bagian:

Karena kami menunjuk peserta pameran. Pertanyaan itu muncul, selalu perlu untuk merujuk pada pameran untuk? Tidak perlu. Bahkan, dalam integral yang diperiksa prinsip tidak ada perbedaanApa yang harus dirujuk, dimungkinkan untuk pergi ke cara lain:

Kenapa mungkin? Karena peserta pameran berubah menjadi dirinya sendiri (dan selama diferensiasi, dan selama integrasi), sinus dengan cosinus saling saling menjadi satu sama lain (sekali lagi - baik selama diferensiasi, dan selama integrasi).

Artinya, fungsi trigonometri dapat dilambangkan. Tetapi, dalam contoh yang diperiksa, itu kurang rasional, karena fraksi akan muncul. Jika mau, Anda dapat mencoba menyelesaikan contoh ini dengan cara kedua, jawabannya harus bertepatan.

Contoh 8.

Temukan integral yang tidak terbatas

Ini adalah contoh untuk solusi independen. Sebelum memutuskan, pikirkan tentang hal ini lebih menguntungkan dalam hal ini untuk menunjuk, eksponen atau fungsi trigonometri? Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Dan, tentu saja, jangan lupa bahwa sebagian besar jawaban dari pelajaran ini cukup mudah untuk memeriksa diferensiasi!

Contohnya tidak dianggap tidak yang paling sulit. Dalam praktiknya, integral lebih sering ditemukan, di mana ada konstanta dalam indikator eksponen dan dalam argumen fungsi trigonometri, misalnya:. Pikiran dalam integral yang sama harus membuat banyak, saya sering membingungkan saya. Faktanya adalah bahwa dalam memecahkan probabilitas penampilan fraksi, dan sangat hanya sesuatu yang kuat untuk kalah. Selain itu, kemungkinan kesalahan dalam tanda-tanda sangat bagus, harap dicatat bahwa di indikator eksponen ada tanda minus, dan ini membuat kesulitan tambahan.

Pada tahap akhir, kira-kira berikut ini sering diperoleh:

Bahkan pada akhir keputusan harus sangat penuh perhatian dan kompeten berurusan dengan fraksi:

Mengintegrasikan fraksi yang kompleks.

Perlahan-lahan kita sampai pada pelajaran khatulistiwa dan mulai mempertimbangkan integral dari fraksi. Sekali lagi, tidak semuanya superswit, hanya karena satu alasan atau contoh lain sedikit "tidak dalam topik" di artikel lain.

Kami melanjutkan topik akar

Contoh 9.

Temukan integral yang tidak terbatas

Dalam penyebut, di bawah akar ada persegi tiga basi plus di luar akar "meningkatkan" dalam bentuk "iksa". Integral dari jenis ini diselesaikan dengan menggunakan penggantian standar.

Kami memutuskan:

Penggantian di sini sederhana:

Kami melihat kehidupan setelah penggantian:

(1) Setelah substitusi, kami berikan ke istilah penyebut keseluruhan di bawah root.
(2) Kami bertahan dari akarnya.
(3) pembilang dan penyebutnya mengurangi. Pada saat yang sama, di bawah root, saya mengatur ulang komponen dalam urutan yang nyaman. Dengan eksperimen tertentu, langkah-langkah (1), (2) dapat dilewati dengan melakukan tindakan komentar secara oral.
(4) integral yang dihasilkan, seperti yang Anda ingat dari pelajaran Mengintegrasikan beberapa fraksi., memutuskan metode alokasi persegi penuh. Pilih kotak penuh.
(5) Integrasi Kami mendapatkan logaritma "panjang" terbaik.
(6) melakukan penggantian. Jika awalnya, lalu kembali :.
(7) Tindakan terakhir ditujukan untuk gaya rambut hasil: Di bawah akar, mereka kembali membawa komponen ke penyebut keseluruhan dan bertahan dari akar.

Contoh 10.

Temukan integral yang tidak terbatas

Ini adalah contoh untuk solusi independen. Di sini konstanta telah ditambahkan ke "ICSU" yang sepi, dan penggantiannya hampir sama:

Satu-satunya hal yang perlu Anda lakukan adalah mengungkapkan "X" dari penggantian:

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Kadang-kadang dalam integral seperti itu di bawah akar mungkin ada bintik persegi, itu tidak mengubah solusi untuk dipecahkan, itu akan lebih mudah. Rasakan perbedaan nya:

Contoh 11.

Temukan integral yang tidak terbatas

Contoh 12.

Temukan integral yang tidak terbatas

Keputusan singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Perlu dicatat bahwa contoh 11 persis integral Binomial., keputusan siapa yang dipertimbangkan dalam pelajaran Integral dari fungsi irasional.

Integral dari polinomial yang tidak dapat dikomposisi dari tingkat ke-2 ke tingkat

(Polinomial di penyebut)

Lebih jarang, tetapi, bagaimanapun, dalam contoh-contoh praktis, pemandangan integral.

Contoh 13.

Temukan integral yang tidak terbatas

Tapi mari kita kembali misalnya dengan nomor 13 yang bahagia (jujur, tidak cocok). Integral ini juga dari kategori yang dengannya Anda bisa cukup jika Anda tidak tahu bagaimana menyelesaikannya.

Keputusan dimulai dengan transformasi buatan:

Cara membagi numerator ke penyebut, saya pikir semuanya dipahami.

Integral yang dihasilkan diambil di bagian:

Untuk tampilan integral (- angka alami) dihapus berulang Rumus Pengurangan Gelar:
dimana - Gelar integral lebih rendah.

Saya akan diyakinkan tentang keadilan formula ini untuk integral nabi.
Dalam hal ini,:, kami menggunakan rumus:

Seperti yang Anda lihat, jawabannya bertepatan.

Contoh 14.

Temukan integral yang tidak terbatas

Ini adalah contoh untuk solusi independen. Dalam sampel solusi, formula yang disebutkan di atas adalah dua kali.

Jika di bawah derajat berada mandiri pada pengganda Persegi tiga kali lipat, maka solusinya turun ke Bicked dengan menyoroti persegi lengkap, misalnya:

Bagaimana jika Anda juga ada di pembilang ada polinomial? Dalam hal ini, metode koefisien tidak terbatas digunakan, dan fungsi terintegrasi dijelaskan dalam jumlah fraksi. Tetapi dalam praktik saya dari contoh seperti itu saya tidak bertemu, jadi saya melewatkan kasus ini di artikel Integral dari fungsi rasional fraksionalAku rindu dan sekarang. Jika integral seperti itu masih bertemu, lihat buku teks - semuanya sederhana di sana. Saya tidak menganggapnya bijaksana untuk memasukkan materi (bahkan sederhana), probabilitas pertemuan yang ia beringkali untuk nol.

Integrasi fungsi trigonometri yang kompleks

Adjektiva "kompleks" untuk sebagian besar contoh dalam banyak hal bersyarat. Mari kita mulai dengan garis singgung dan kotangenes dalam derajat tinggi. Dari sudut pandang metode pemecahan singgung dan kotangent, hal yang hampir sama, jadi saya akan berbicara lebih banyak tentang garis singgung, menyiratkan bahwa penerimaan yang ditunjukkan dari larutan integral juga adil dan untuk kotangent juga.

Pada pelajaran di atas, kami mempertimbangkan substitusi trigonometri universal Untuk memecahkan jenis integral tertentu dari fungsi trigonometri. Kurangnya substitusi trigonometrik universal adalah bahwa ketika digunakan, integral besar dengan perhitungan yang sulit sering terjadi. Dan dalam beberapa kasus substitusi trigonometrik universal dapat dihindari!

Pertimbangkan contoh kanonik lain, integral dari unit dibagi menjadi sinus:

Contoh 17.

Temukan integral yang tidak terbatas

Di sini Anda dapat menggunakan substitusi trigonometrik universal dan mendapatkan jawaban, tetapi ada jalur yang lebih rasional. Saya akan memberikan solusi lengkap dengan komentar untuk setiap langkah:

(1) Gunakan rumus trigonometri dari sinus sudut ganda.
(2) Kami melakukan transformasi buatan: dalam penyebut yang kami bagi dan berkembang biak.
(3) Menurut formula yang diketahui dalam penyebut, kita mengubah fraksi di garis singgung.
(4) Sapu fungsi di bawah tanda diferensial.
(5) Ambil integral.

Beberapa contoh sederhana untuk solusi independen:

Contoh 18.

Temukan integral yang tidak terbatas

Catatan: Tindakan paling pertama harus digunakan oleh rumus Dan dengan hati-hati melakukan mirip dengan contoh tindakan sebelumnya.

Contoh 19.

Temukan integral yang tidak terbatas

Nah, ini adalah contoh yang sama sekali sederhana.

Solusi dan jawaban penuh di akhir pelajaran.

Saya pikir sekarang tidak ada yang memiliki masalah dengan integral:
dll.

Apa ide metode ini? Idenya adalah bahwa dengan bantuan transformasi, rumus trigonometri untuk berorganisasi dalam integrand satu singgung dan turunan singgung. Artinya, ini tentang penggantian: . Dalam contoh 17-19, kami benar-benar menerapkan penggantian ini, tetapi integralnya sangat sederhana sehingga harganya efek yang setara - untuk merangkum fungsi di bawah tanda diferensial.

Argumen serupa, seperti yang telah saya tetapkan, Anda dapat menghabiskan untuk kotangent.

Ada prasyarat formal untuk penggunaan penggantian di atas:

Jumlah derajat cosinus dan sinus adalah angka negatif, misalnya:

untuk integral - angka negatif.

! Catatan : Jika fungsi integrand hanya mengandung sinus atau hanya cosinus, maka integral diambil pada tingkat negatif ganjil (kasus paling sederhana dalam contoh No. 11, 18).

Pertimbangkan beberapa tugas informatif untuk aturan ini:

Contoh 20.

Temukan integral yang tidak terbatas

Jumlah derajat sinus dan cosinus: 2 - 6 \u003d -4 adalah angka negatif, yang berarti bahwa integral dapat dikurangi menjadi garis singgung dan turunannya:

(1) Kami mengubah penyebut.
(2) Menurut formula yang terkenal, kita dapatkan.
(3) Kami mengubah penyebut.
(4) Kami menggunakan rumus .
(5) Menyerahkan fungsi di bawah tanda diferensial.
(6) Kami mengganti. Mahasiswa yang lebih berpengalaman tidak dapat diganti, tetapi masih lebih baik untuk mengganti garis singgung dengan satu huruf - lebih sedikit risiko bingung.

Contoh 21.

Temukan integral yang tidak terbatas

Ini adalah contoh untuk solusi independen.

Tunggu, putaran Champion dimulai \u003d)

Seringkali dalam fungsi integrand adalah "solyanka":

Contoh 22.

Temukan integral yang tidak terbatas

Dalam integral ini, garis singgung awalnya hadir, yang segera mengejar pemikiran yang sudah akrab:

Transformasi buatan di awal dan tersisa langkah-langkah yang tersisa tanpa komentar, karena semuanya disebutkan di atas.

Sepasang contoh kreatif untuk solusi independen:

Contoh 23.

Temukan integral yang tidak terbatas

Contoh 24.

Temukan integral yang tidak terbatas

Ya, di dalamnya, tentu saja, dimungkinkan untuk menurunkan tingkat sinus, cosinus, untuk menggunakan substitusi trigonometrik universal, tetapi keputusan akan jauh lebih efisien dan lebih pendek jika dilakukan melalui garis singgung. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran

Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zenon Elayky merumuskan apiorial-nya yang terkenal, yang paling terkenal adalah Achilles dan Turtle Aritia. Beginilah kedengarannya:

Misalkan Achilles berjalan sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura, dan di belakangnya pada jarak seribu langkah. Untuk saat itu, di mana Achilles berjalan melalui jarak ini, seratus langkah akan mogok di sisi yang sama. Ketika Achilles menjalankan seratus langkah, kura-kura akan merangkak sekitar sepuluh langkah, dan sebagainya. Prosesnya akan terus tak terhingga, Achilles tidak akan pernah mengejar kura-kura.

Alasan ini telah menjadi syok logis untuk semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... semuanya entah bagaimana menganggap apriologi Zenon. Guncangan ternyata begitu kuat sehingga " ... Diskusi terus dan saat ini, untuk sampai pada pendapat umum tentang esensi paradoks untuk komunitas ilmiah belum mungkin ... analisis matematika, teori set, pendekatan fisik dan filosofis terlibat dalam studi tentang masalah; Tak satu pun dari mereka menjadi masalah yang diterima secara umum dari masalah ..."[Wikipedia," Yenon Apriya "]. Semua orang mengerti bahwa mereka diblokir, tetapi tidak ada yang mengerti apa itu penipuan.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aproria-nya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan aplikasi alih-alih konstan. Sejauh yang saya mengerti, peralatan matematika penggunaan variabel unit pengukuran adalah namun belum dikembangkan, atau tidak diterapkan pada aporisi Zenon. Penggunaan logika biasa kami membawa kami ke jebakan. Kami, dengan inersia berpikir, menggunakan unit pengukuran waktu permanen ke inverter. Dari sudut pandang fisik, sepertinya perlambatan waktu untuk berhenti sepenuhnya saat ini ketika Achilles diisi dengan kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyalip kura-kura.

Jika Anda membiarkan logika biasanya, semuanya menjadi ada. Achilles berjalan dengan kecepatan konstan. Setiap segmen selanjutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasi, sepuluh kali kurang dari yang sebelumnya. Jika Anda menerapkan konsep "infinity" dalam situasi ini, itu akan dengan benar mengatakan "Achilles tanpa batas akan dengan cepat mengejar kura-kura."

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam unit pengukuran waktu permanen dan jangan pindah ke nilai terbalik. Dalam bahasa Zenon, sepertinya ini:

Untuk saat itu, yang Achilles berjalan seribu langkah, seratus langkah akan memecahkan kura-kura ke sisi yang sama. Untuk interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berjalan seribu langkah lagi, dan kura-kura akan memecahkan seratus langkah. Sekarang Achilles adalah delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini secara memadai menggambarkan kenyataan tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pada agrac Zenonian Achilles dan kura-kura sangat mirip dengan pernyataan Einstein pada ketidaktahuan kecepatan cahaya. Kami masih harus mempelajari masalah ini, memikirkan kembali dan memecahkan. Dan keputusan harus dicari tidak dalam jumlah yang sangat besar, tetapi dalam satuan pengukuran.

Aproria Yenon lain yang menarik menceritakan tentang panah terbang:

Panah terbang masih, karena pada setiap saat dia beristirahat, dan karena itu beristirahat di setiap saat waktu, selalu beristirahat.

Dalam Manor ini, paradoks logis sangat sederhana - cukup untuk mengklarifikasi bahwa pada setiap saat panah terbang beristirahat pada titik-titik ruang yang berbeda, yang pada kenyataannya, adalah gerakan. Di sini Anda perlu mencatat momen lain. Menurut satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya, atau jaraknya. Untuk menentukan fakta gerakan mobil, Anda perlu dua foto yang terbuat dari satu titik pada titik waktu yang berbeda, tetapi tidak mungkin untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, dua foto terbuat dari berbagai titik ruang pada satu titik waktu, tetapi tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakan (secara alami, data tambahan masih diperlukan untuk perhitungan, trigonometri untuk membantu Anda). Apa yang ingin saya bayar perhatian khusus adalah dua poin dalam waktu dan dua titik di ruang adalah hal yang berbeda yang tidak boleh bingung, karena mereka memberikan peluang yang berbeda untuk penelitian.

rabu, 4 Juli 2018

Perbedaan yang sangat baik antara banyak dan multiset dijelaskan di Wikipedia. Kami melihat.

Seperti yang Anda lihat, "Tidak mungkin ada dua elemen identik dalam satu set", tetapi jika elemen yang identik berada di set, ada, set seperti itu disebut "Mix". Logika serupa dari makhluk yang masuk akal absurd tidak pernah mengerti. Ini adalah tingkat burung beo berbicara dan monyet terlatih, yang hilang dari kata "sama sekali." Matematika bertindak sebagai pelatih biasa, memberitakan ide-ide absurd kita.

Begitu para insinyur yang membangun jembatan selama tes jembatan berada di kapal di bawah jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur tak berbakat mati di bawah reruntuhan ciptaan-Nya. Jika jembatan telah bertahan, seorang insinyur berbakat membangun jembatan lainnya.

Ketika matematika tidak bersembunyi di balik frasa "Chur, aku di rumah", lebih tepatnya, "studi matematika konsep-konsep abstrak," Ada satu tali pusar, yang secara tak terkemuka mengikat mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Terapkan teori matematika set untuk matematika sendiri.

Kami mengajarkan matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di checkout, kami mengeluarkan gaji. Itu datang kepada kami ahli matematika untuk uang Anda. Kami mengandalkannya seluruh jumlah dan lay out di meja Anda pada tumpukan yang berbeda, di mana kami menambahkan tagihan satu martabat. Kemudian kami mengambil dari setiap tumpukan pada satu tagihan dan menyerahkan matematika "serangkaian gaji matematika". Jelaskan matematika bahwa sisa tagihan hanya akan menerima ketika membuktikan bahwa set tanpa elemen yang sama tidak sama dengan set dengan elemen yang sama. Di sini yang paling menarik akan dimulai.

Pertama-tama, logika deputi akan bekerja: "Dimungkinkan untuk menerapkannya kepada orang lain, bagi saya - rendah!". Akan ada jaminan lebih lanjut dari kita bahwa ada angka yang berbeda pada tagihan martabat yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang sama. Nah, hitung gaji dengan koin - tidak ada angka pada koin. Di sini ahli matematika akan mulai tidak suka fisika: pada koin yang berbeda ada jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan lokasi atom masing-masing koin adalah unik ...

Dan sekarang saya memiliki pertanyaan paling menarik: Di mana garis, di belakang elemen multisamen berubah menjadi elemen set dan sebaliknya? Wajah seperti itu tidak ada - semua orang memecahkan dukun, ilmu di sini dan tidak tertidur dekat.

Di sini terlihat. Kami mengambil stadion sepakbola dengan area lapangan yang sama. Area bidangnya sama - itu berarti kita memiliki multipart. Tetapi jika kita mempertimbangkan nama-nama stadion yang sama - kita punya banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, set elemen yang sama adalah set dan multiset. Seberapa benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-shaman-shaman mengeluarkan ace truf dari lengan dan mulai memberi tahu kita tentang set atau tentang multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita tentang haknya.

Untuk memahami bagaimana dukun modern mengoperasikan teori set, mengikatnya dengan kenyataan, itu cukup untuk menjawab satu pertanyaan: Bagaimana elemen satu set berbeda dari elemen lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "yang bisa dibayangkan" atau "tidak bijaksana secara keseluruhan."

minggu, 18 Maret 2018

Jumlah angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak memiliki hubungan dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika, kita diajarkan untuk menemukan jumlah jumlah angka dan menggunakannya, tetapi mereka adalah dukun untuk melatih keturunan Anda dengan keterampilan dan kebijaksanaan mereka, jika tidak, para dukun hanya akan dibersihkan.

Apakah Anda memerlukan bukti? Buka Wikipedia dan cobalah untuk menemukan jumlah halaman angka. Itu tidak ada. Tidak ada formula dalam matematika di mana Anda dapat menemukan jumlah jumlah nomor apa pun. Lagi pula, jumlahnya adalah simbol grafis, yang dengannya kita menulis angka dan dalam bahasa matematika, tugasnya terdengar seperti ini: "Temukan jumlah karakter grafis yang menggambarkan angka apa pun". Matematika tidak dapat menyelesaikan tugas ini, tetapi Shaman adalah dasar.

Mari kita berurusan dengan apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah angka angka yang ditentukan. Jadi, mari kita miliki sejumlah 12345. Apa yang harus dilakukan untuk menemukan jumlah jumlah angka ini? Pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Rekam nomor pada selembar kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami mengubah angka dalam simbol grafis dari nomor tersebut. Ini bukan tindakan matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang diperoleh ke beberapa gambar yang berisi nomor individual. Memotong gambar bukanlah tindakan matematika.

3. Kami mengubah karakter grafis individu dalam jumlah. Ini bukan tindakan matematika.

4. Kami melipat angka. Ini sudah matematika.

Jumlah angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus pemotong dan jahit" dari dukun yang berlaku ahli matematika. Tapi itu tidak semua.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di mana sistem nomor kita menulis angka. Jadi, dalam sistem angka yang berbeda, jumlah jumlah angka yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem angka ditunjukkan dalam bentuk indeks yang lebih rendah di sebelah kanan angka. Dengan sejumlah besar 12345, saya tidak ingin menipu kepalaku, pertimbangkan nomor 26 dari artikel itu. Kami menulis nomor ini dalam sistem biner, oktal, desimal dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami sudah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem angka yang berbeda, jumlah jumlah angka yang sama diperoleh berbeda. Hasil untuk matematika ini tidak ada hubungannya. Ini seperti menentukan area persegi panjang dalam meter dan sentimeter Anda akan mendapatkan hasil yang sama sekali berbeda.

Nol dalam semua sistem lonjakan terlihat sama dan jumlah angka tidak memiliki. Ini adalah argumen lain yang mendukung apa. Pertanyaan kepada ahli matematika: Bagaimana dalam matematika diindikasikan bahwa bukan angka? Apa, untuk matematikawan, tidak ada apa-apa selain angka tidak ada? Bagi dukun, aku bisa diizinkan, tetapi untuk para ilmuwan - tidak. Realitas tidak hanya terdiri dari angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem jumlahnya adalah satuan angka. Lagi pula, kami tidak dapat membandingkan angka dengan berbagai unit pengukuran. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dengan nilai yang sama mengarah pada hasil yang berbeda setelah perbandingannya, itu berarti tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika nyata? Ini adalah ketika hasil tindakan matematika tidak tergantung pada nilai angka yang digunakan oleh unit pengukuran dan pada siapa yang melakukan tindakan ini.

Piring di pintu Membuka pintu dan berkata:

Oh! Bukankah itu toilet wanita?
- Gadis! Ini adalah laboratorium untuk studi tentang kekudusan jiwa-jiwa di Ascension ke Surga! NIMBI dari atas dan panah. Toilet apa lagi?

Wanita ... Nimbi dari atas dan arogan ke bawah - itu laki-laki.

Jika Anda di depan mata Anda beberapa kali sehari berkedip, ini adalah karya seni desainer,

Maka tidak mengherankan bahwa di mobil Anda tiba-tiba menemukan ikon yang aneh:

Secara pribadi, saya melakukan upaya pada diri saya sendiri untuk berada dalam nasabah (satu gambar), untuk melihat minus empat derajat (komposisi beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak berpikir gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Ini hanyalah stereotip busur dari persepsi gambar grafis. Dan matematika kita terus-menerus diajarkan. Berikut ini contohnya.

1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang borgol" atau jumlah "dua puluh enam" dalam sistem nomor heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis memandang angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.