Setiap gelombang bentuk kompleks dapat direpresentasikan sebagai jumlah gelombang sederhana.

Joseph Fourier sangat ingin menjelaskan secara matematis bagaimana kalor melewati benda padat ( cm. pertukaran panas). Mungkin ketertarikannya pada kehangatan muncul ketika dia berada di Afrika Utara: Fourier menemani Napoleon dalam ekspedisi Prancis ke Mesir dan tinggal di sana selama beberapa waktu. Untuk mencapai tujuannya, Fourier harus mengembangkan metode matematika baru. Hasil penelitiannya dipublikasikan pada tahun 1822 dalam karya “Analytical Theory of Heat” ( Analisis teori de la chaleur), di mana dia memberi tahu cara menganalisis masalah fisik yang kompleks dengan menguraikannya menjadi beberapa yang lebih sederhana.

Metode analisis didasarkan pada apa yang disebut Deret Fourier... Sesuai dengan prinsip interferensi, deret dimulai dengan penguraian bentuk kompleks menjadi bentuk sederhana - misalnya, perubahan permukaan bumi dijelaskan oleh gempa bumi, perubahan orbit komet karena pengaruh tarik-menarik beberapa planet, perubahan fluks panas disebabkan oleh lintasannya melalui rintangan berbentuk tidak beraturan yang terbuat dari bahan penyekat panas. Fourier menunjukkan bahwa bentuk gelombang kompleks dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari gelombang sederhana. Sebagai aturan, persamaan yang menggambarkan sistem klasik mudah diselesaikan untuk masing-masing gelombang sederhana ini. Fourier melanjutkan dengan menunjukkan bagaimana solusi sederhana ini dapat diringkas untuk mendapatkan solusi untuk seluruh masalah kompleks secara keseluruhan. (Secara matematis, deret Fourier adalah metode untuk merepresentasikan fungsi sebagai jumlah harmonik — sinusoida dan kosinus — karenanya analisis Fourier juga dikenal sebagai analisis harmonik.)

Sampai munculnya komputer di pertengahan abad ke-20, metode Fourier dan sejenisnya adalah senjata terbaik di gudang ilmiah ketika menyerang kompleksitas alam. Sejak munculnya metode Fourier yang kompleks, para ilmuwan telah mampu menggunakannya untuk memecahkan tidak hanya masalah sederhana yang dapat diselesaikan dengan penerapan langsung hukum mekanika Newton dan persamaan fundamental lainnya. Banyak pencapaian besar ilmu pengetahuan Newton pada abad ke-19 sebenarnya tidak mungkin dilakukan tanpa menggunakan metode yang pertama kali dikemukakan oleh Fourier. Kemudian, metode ini digunakan dalam memecahkan masalah di berbagai bidang - mulai dari astronomi hingga teknik mesin.

Jean-Baptiste Joseph Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

matematikawan Prancis. Lahir di Auxerre; pada usia sembilan tahun ia menjadi yatim piatu. Sudah di usia muda, ia menunjukkan bakat untuk matematika. Fourier dididik di sekolah gereja dan sekolah militer, kemudian bekerja sebagai guru matematika. Sepanjang hidupnya ia aktif terlibat dalam politik; ditangkap pada tahun 1794 karena melindungi korban teror. Setelah kematian Robespierre dia dibebaskan dari penjara; ambil bagian dalam pembuatan Ecole Polytechnique yang terkenal di Paris; posisinya menjabat sebagai batu loncatan baginya untuk maju di bawah rezim Napoleon. Dia menemani Napoleon ke Mesir dan diangkat menjadi gubernur Mesir Hilir. Sekembalinya ke Prancis pada tahun 1801, ia diangkat menjadi gubernur salah satu provinsi. Pada tahun 1822 ia menjadi sekretaris tetap Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis - posisi berpengaruh di dunia ilmiah Prancis.

Bagian Tinjauan Pendahuluan membahas dua contoh yang sangat sederhana (diambil dari Shumway, 1988) untuk mengilustrasikan sifat analisis spektral dan interpretasi hasil. Jika Anda tidak terbiasa dengan metode ini, disarankan agar Anda melihat dulu bagian ini dari bab ini.

Telusuri dan file data. File Sunspot.sta berisi sebagian kecil dari nomor bintik matahari yang diketahui (Wolfer) dari tahun 1749 hingga 1924 (Anderson, 1971). Di bawah ini adalah daftar beberapa data pertama dari file contoh.

Diasumsikan bahwa jumlah bintik matahari mempengaruhi cuaca di tanah, serta pertanian, telekomunikasi, dll. Dengan menggunakan analisis ini, seseorang dapat mencoba untuk mengetahui apakah aktivitas bintik matahari benar-benar siklus (pada kenyataannya, data ini banyak dibahas dalam literatur; lihat, misalnya, Bloomfield, 1976, atau Shumway, 1988).

Definisi analisis. Setelah menjalankan analisis, buka file data Sunspot.sta. Klik tombol Variables dan pilih variabel Spots (perhatikan bahwa jika file data Sunspot.sta adalah file data yang sedang dibuka dan Spots adalah satu-satunya variabel dalam file tersebut, maka Spots akan dipilih secara otomatis ketika kotak dialog Time Series Analysis terbuka) . Sekarang klik tombol Analisis Fourier (Spectral) untuk membuka kotak dialog Analisis Fourier (Spectral).

Sebelum menerapkan analisis spektral, terlebih dahulu plot jumlah bintik matahari. Perhatikan bahwa berkas Sunspot.sta berisi tahun yang sesuai sebagai nama kasus. Untuk menggunakan nama-nama ini dalam plot garis, klik tab Tampilan Seri dan pilih Nama Kasus di bawah Titik Tandai. Juga, pilih Atur skala sumbu X secara manual dan Min. = 1, dan Step = 10. Kemudian klik tombol Graph di sebelah tombol View Highlighted. variabel.

Hitungan bintik matahari tampaknya mengikuti pola siklus. Tren tidak dilacak, jadi kembali ke jendela Analisis Spektral dan batalkan pilihan Hapus Tren Linier di grup Transformasi Seri Sumber.

Jelas, rata-rata dari seri lebih besar dari 0 (nol). Oleh karena itu, biarkan opsi Kurangi rata-rata dipilih [jika tidak, periodogram akan "tersumbat" dengan puncak yang sangat besar pada frekuensi 0 (nol)].

Anda sekarang siap untuk mulai menganalisis. Sekarang klik OK (Analisis Fourier Univariat) untuk membuka kotak dialog Hasil Analisis Fourier Spektral.

Lihat hasil. Bagian informasi di bagian atas kotak dialog menunjukkan beberapa statistik ringkasan untuk seri tersebut. Ini juga menunjukkan lima puncak terbesar dalam periodogram (dalam frekuensi). Tiga puncak terbesar berada pada frekuensi 0,0852, 0,0909, dan 0,0114. Informasi ini sering berguna saat menganalisis deret yang sangat besar (misalnya, dengan lebih dari 100.000 pengamatan) yang tidak mudah dirender pada satu grafik. Namun, dalam hal ini, mudah untuk melihat nilai periodogram; dengan mengklik tombol Periodogram di bawah Periodogram and Spectral Density Plots.

Grafik periodogram menunjukkan dua puncak yang berbeda. Maksimum adalah pada frekuensi sekitar 0,9. Kembali ke jendela Hasil Analisis Spektral dan klik tombol Ringkasan untuk melihat semua nilai periodogram (dan hasil lainnya) di tabel hasil. Di bawah ini adalah bagian dari tabel hasil dengan puncak terbesar yang ditetapkan oleh periodogram.

Seperti yang dibahas dalam Tinjauan Pendahuluan, Frekuensi adalah jumlah siklus per satuan waktu (di mana setiap pengamatan adalah satu satuan waktu). Jadi, Frekuensi 0,0099 sesuai dengan nilai 11 Periode (jumlah unit waktu yang diperlukan untuk satu siklus lengkap). Karena data bintik matahari di Sunspot.sta adalah pengamatan tahunan, dapat disimpulkan bahwa ada siklus 11 tahun (mungkin sedikit lebih lama dari 11 tahun) dalam aktivitas bintik matahari.

Kepadatan spektral. Biasanya, untuk menghitung perkiraan kerapatan spektral, periodogram dihaluskan untuk menghilangkan fluktuasi acak. Jenis rata-rata bergerak tertimbang dan lebar jendela dapat dipilih di bagian Spectral Windows. Bagian Ikhtisar Pendahuluan membahas opsi-opsi ini secara rinci. Untuk contoh kita, kita akan membiarkan jendela yang dipilih default (Lebar Hamming 5) dan memilih plot Spectral Density.

Kedua puncak itu kini semakin jelas. Mari kita lihat nilai-nilai periodogram berdasarkan periode. Sorot bidang Periode di bagian Grafik. Sekarang pilih plot Spectral Density.

Sekali lagi, ada siklus 11 tahun yang jelas dalam aktivitas bintik matahari; Apalagi ada indikasi adanya siklus yang lebih panjang, sekitar 80-90 tahun.

TRANSFORMASI Fourier DAN ANALISIS SPECTRAL DIGITAL KLASIK.
Medvedev S.Yu., Ph.D.

pengantar

Analisis spektral adalah salah satu metode pemrosesan sinyal yang memungkinkan Anda untuk mengkarakterisasi komposisi frekuensi dari sinyal yang diukur. Transformasi Fourier adalah dasar matematika yang mengaitkan sinyal temporal atau spasial (atau beberapa model sinyal ini) dengan representasinya dalam domain frekuensi. Metode statistik memainkan peran penting dalam analisis spektral, karena sinyal cenderung acak atau berisik ketika disebarkan atau diukur. Jika karakteristik statistik utama dari sebuah sinyal diketahui dengan tepat, atau mereka dapat ditentukan dari interval terbatas dari sinyal ini, maka analisis spektral akan menjadi cabang dari "ilmu pasti". Namun, pada kenyataannya, hanya perkiraan spektrum yang dapat diperoleh dari segmen sinyal. Oleh karena itu, praktik analisis spektral adalah semacam kerajinan (atau seni?) Yang agak subjektif. Perbedaan antara perkiraan spektral yang diperoleh sebagai hasil pemrosesan segmen sinyal yang sama dengan metode yang berbeda dapat dijelaskan oleh perbedaan asumsi yang dibuat mengenai data, metode rata-rata yang berbeda, dll. Jika karakteristik sinyal tidak diketahui secara apriori, tidak dapat dikatakan perkiraan mana yang lebih baik.

Transformasi Fourier - dasar matematika dari analisis spektral
Kami akan membahas secara singkat berbagai jenis transformasi Fourier (lihat lebih detail di).
Mari kita mulai dengan transformasi Fourier dari sinyal kontinu waktu

, (1)

yang mengidentifikasi frekuensi dan amplitudo dari sinusoid kompleks (eksponensial) di mana beberapa osilasi sewenang-wenang didekomposisi.
Transformasi terbalik

. (2)

Keberadaan transformasi Fourier langsung dan terbalik (yang selanjutnya akan kita sebut transformasi Fourier waktu kontinu - CWTF) ditentukan oleh sejumlah kondisi. Cukup - integrabilitas sinyal mutlak

. (3)

Kondisi cukup yang tidak terlalu membatasi - keterbatasan energi sinyal

. (4)

Mari kita sajikan sejumlah properti dasar dari transformasi Fourier dan fungsi yang digunakan di bawah ini, mencatat bahwa jendela persegi panjang ditentukan oleh ekspresi

(5)

dan fungsi sinc dengan ekspresi

(6)

Fungsi sampel dalam domain waktu ditentukan oleh ekspresi

(7)

Fungsi ini juga kadang-kadang disebut sebagai fungsi kelanjutan periodik.

Tabel 1. Properti utama NPF dan fungsi

Properti, fungsi	Fungsi	Transformasi
Linearitas	ag (t) + bh (t)	aG (f) + bH (f)
Pergeseran waktu	h (t - t 0)	H (f) exp (-j2pf t 0)
Offset frekuensi (modulasi)	h (t) exp (j2pf0 t)	H (f - f 0)
penskalaan	(1 / | a |) j (t / a)	H (af)
Teorema konvolusi domain waktu	g (t) * j (t)	G (f) H (f)
Teorema konvolusi dalam domain frekuensi	g (t) j (t)	G (f) * H (f)
Fungsi jendela	Aw (t / T)	2ATsinc (2Tf)
Fungsi sinkronisasi	2AFsinc (2Ft)	Aw (p / F)
Fungsi impuls	Iklan (t)
Hitung fungsi	T (P)	FF (f), F = 1 / T

Sifat penting lainnya ditetapkan oleh teorema Parseval untuk dua fungsi g (t) dan h (t):

. (8)

Jika kita menempatkan g (t) = h (t), maka teorema Parseval direduksi menjadi teorema untuk energi

. (9)

Ungkapan (9) pada dasarnya hanyalah rumusan hukum kekekalan energi di dua bidang (waktu dan frekuensi). Dalam (9) di sebelah kiri adalah energi sinyal total, dengan demikian fungsi

(10)

menggambarkan distribusi energi pada frekuensi untuk sinyal deterministik h (t) dan oleh karena itu disebut densitas energi spektral (STE). Menggunakan ekspresi

(11)

Anda dapat menghitung amplitudo dan spektrum fase dari sinyal h (t).

Operasi Pengambilan Sampel dan Penimbangan

Pada bagian berikutnya, kami akan memperkenalkan deret Fourier waktu diskrit (DTF) atau transformasi Fourier diskrit (DFT) sebagai kasus khusus dari transformasi Fourier waktu kontinu (CFT) menggunakan dua operasi pemrosesan sinyal dasar - pengambilan sampel ( contoh) dan menimbang menggunakan jendela. Di sini kita akan mempertimbangkan pengaruh operasi ini pada sinyal dan transformasinya. Tabel 2 mencantumkan fungsi yang digunakan untuk pembobotan dan pengambilan sampel.

Dengan sampel seragam dengan selang waktu T detik, laju pengambilan sampel F adalah 1 / T Hz. Perhatikan bahwa fungsi pembobotan dan fungsi sampling dalam domain waktu dilambangkan masing-masing TW (time windowing) dan TS (time sampling), dan dalam domain frekuensi - FW (frequency windowing) dan FS (frequency sampling).

Tabel 2. Fungsi penimbangan dan pengambilan sampel

Operasi	Fungsi waktu	Transformasi
Menimbang dalam domain waktu (lebar jendela NT detik)	TW = w (2t / NT - 1)	F (TW) = NTsinc (NTf) • exp (-jpNTf)
Menimbang dalam domain frekuensi (lebar jendela 1 / T Hz)		FW = w (2Tf)
Menghitung waktu (interval T detik)	TS = T T (t)
Pembacaan frekuensi (pada interval 1 / NT Hz)

Misalkan kita mengambil sampel sinyal nyata kontinu x (t) dengan spektrum terbatas, frekuensi atas yang sama dengan F0. NIPF dari sinyal aktual selalu merupakan fungsi simetris dengan lebar penuh 2F0, lihat Gambar 1.
Sampel sinyal x (t) dapat diperoleh dengan mengalikan sinyal ini dengan fungsi sampel:

(12)

Gambar 1 adalah ilustrasi teorema sampling domain waktu untuk sinyal terbatas spektrum nyata:
a - fungsi asli waktu dan transformasi Fouriernya;
b - fungsi hitungan dalam waktu dan transformasi Fouriernya;
c - sampel waktu dari fungsi asli dan transformasi Fourier yang dilanjutkan secara berkala untuk kasus Fo<1/2T;
d - jendela frekuensi (filter low-pass ideal) dan transformasi Fourier-nya (fungsi sinc);
d adalah fungsi asli waktu, dipulihkan oleh operasi konvolusi dengan fungsi sinc.

Menurut teorema konvolusi domain frekuensi, IFT dari sinyal x (t) hanyalah konvolusi spektrum sinyal x (t) dan transformasi Fourier dari fungsi sampling (TS):

. (13)

Konvolusi X(f) dengan Transformasi Fourier fungsi sampling F(TS) = Y1 / T(f) secara periodik meneruskan X(f) dengan interval frekuensi 1 / T Hz. Oleh karena itu, XS (f) adalah spektrum X (f) yang diperpanjang secara periodik. Secara umum, sampel dalam satu domain (misalnya, domain waktu) menghasilkan kelanjutan periodik dalam domain transformasi (misalnya, domain frekuensi). Jika laju pengambilan sampel dipilih cukup rendah (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Untuk mengembalikan sinyal waktu asli dari sampelnya, mis. interpolasi beberapa kontinum nilai antara sampel ini, Anda dapat melewatkan data sampel melalui filter low-pass yang ideal dengan respons frekuensi persegi panjang (Gbr.1d)

. (14)

Akibatnya (lihat Gambar 1 e), transformasi Fourier asli dipulihkan. Dengan menggunakan teorema konvolusi dalam domain waktu dan frekuensi, kita peroleh

. (15)

Ekspresi (15) adalah notasi matematika teorema sampling domain waktu(teorema Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKS), yang menyatakan bahwa dengan menggunakan rumus interpolasi (15), sinyal nyata dengan spektrum terbatas dapat direkonstruksi secara akurat dengan jumlah tak terhingga diketahui waktu sampel yang diambil dengan frekuensi F 2F0. Teorema ganda untuk (15) adalah teorema sampel dalam domain frekuensi untuk sinyal dengan durasi terbatas.
Operasi dalam domain waktu, mirip dengan (14), dijelaskan oleh ekspresi

, (16)

dan transformasi yang sesuai diungkapkan oleh ekspresi

Jadi, IFT X (f) dari sinyal tertentu dengan durasi terbatas dapat direkonstruksi secara jelas dari sampel spektrum yang berjarak sama dari sinyal tersebut jika interval sampling frekuensi yang dipilih memenuhi kondisi F1 / 2T 0 Hz, di mana T 0 adalah durasi sinyal.

Hubungan antara transformasi kontinu dan diskrit

Sepasang transformasi untuk definisi biasa dari transformasi Fourier diskrit N-titik (DFT) urutan waktu x [n] dan titik-N yang sesuai Urutan transformasi Fourier X [k] diberikan oleh

, (18)
. (19)

Untuk mendapatkan estimasi spektral dari sampel data dalam satuan pengukuran energi atau daya yang sesuai, kami menuliskan deret Fourier waktu diskrit (DWRF), yang dapat dianggap sebagai beberapa pendekatan dari transformasi Fourier waktu kontinu (CFT) , berdasarkan penggunaan sejumlah sampel data yang terbatas:

Untuk menunjukkan sifat korespondensi antara DWRF ( diskrit fungsi dalam domain waktu dan frekuensi) dan CFT (fungsi kontinu dalam domain waktu dan frekuensi), kita memerlukan urutan empat operasi komutatif linier: pembobotan dalam domain waktu dan frekuensi dan pengambilan sampel atau sampling dalam domain waktu dan frekuensi. Jika operasi penimbangan dilakukan di salah satu area ini, maka, menurut teorema konvolusi, itu akan sesuai dengan pelaksanaan operasi penyaringan (konvolusi) di area lain dengan fungsi sinc. Demikian juga, jika pengambilan sampel dilakukan di satu area, maka operasi lanjutan berkala dilakukan di area lain. Karena penimbangan dan pengambilan sampel adalah operasi linier dan komutatif, cara pengurutan yang berbeda dimungkinkan, memberikan hasil akhir yang sama untuk hasil antara yang berbeda. Gambar 2 menunjukkan dua kemungkinan urutan dari empat operasi ini.

Beras. 2. Dua kemungkinan urutan dari dua operasi penimbangan dan dua operasi pengambilan sampel, yang menghubungkan NWPF dan FWDF: FW - penerapan jendela dalam domain frekuensi; TW - penerapan jendela dalam domain waktu; FS - pengambilan sampel dalam domain frekuensi; TS - pengambilan sampel domain waktu.
1 - Transformasi Fourier dengan waktu kontinu, persamaan (1);
4 - Transformasi Fourier dengan waktu diskrit, persamaan (22);
5 - Deret Fourier dengan waktu kontinu, persamaan (25);
8 - Deret Fourier dengan waktu diskrit, persamaan (27)

Sebagai hasil dari operasi penimbangan dan pengambilan sampel pada node 1, 4, 5, dan 8, empat jenis hubungan Fourier yang berbeda akan terjadi. Node tempat fungsi berada domain frekuensi kontinu, mengacu pada transformasi Fourier, dan node di mana fungsi dalam domain frekuensi diskrit mengacu pada Deret Fourier(lihat detail di).
Jadi pada node 4, pembobotan frekuensi dan sampling domain waktu menghasilkan konversi waktu-diskrit Fourier (FFT), yang dicirikan oleh fungsi spektrum periodik dalam domain frekuensi dengan periode 1 / T Hz:

(22)

(23)

Perhatikan bahwa ekspresi (22) mendefinisikan fungsi periodik tertentu yang bertepatan dengan fungsi transformasi asli yang ditentukan dalam simpul 1 hanya dalam rentang frekuensi dari -1 / 2T hingga 1/2T Hz. Ekspresi (22) terkait dengan transformasi-Z dari deret diskrit x [n] oleh relasi

(24)

Jadi, DPFT hanyalah transformasi Z yang dihitung pada lingkaran satuan dan dikalikan dengan T.
Jika kita pindah dari node 1 ke node 8 pada Gambar. 2 sepanjang cabang yang lebih rendah, pada node 5 operasi pembobotan dalam domain waktu (membatasi durasi sinyal) dan pengambilan sampel dalam domain frekuensi menghasilkan deret Fourier waktu kontinu (CWRF ). Dengan menggunakan properti dan definisi fungsi yang diberikan pada Tabel 1 dan 2, kita memperoleh pasangan transformasi berikut:
(25)
(26)

Perhatikan bahwa ekspresi (26) mendefinisikan fungsi periodik tertentu, yang bertepatan dengan aslinya (pada simpul 1) hanya dalam interval waktu dari 0 hingga NT.
Terlepas dari mana dari dua urutan empat operasi yang dipilih, hasil akhir pada simpul 8 akan sama - deret Fourier waktu diskrit, yang sesuai dengan pasangan transformasi berikut yang diperoleh dengan menggunakan sifat-sifat yang ditunjukkan pada Tabel 1.

, (27)

dimana k = -N / 2,. ... ... , T / 2-1

, (28)

dimana n = 0,. ... ... , N-1,
Teorema energi untuk DWRF ini memiliki bentuk:

, (29)

dan mengkarakterisasi energi dari urutan N sampel data. Kedua barisan x [n] dan X [k] adalah modulo N periodik, oleh karena itu (28) dapat ditulis dalam bentuk

, (30)

di mana 0 n N. Faktor T dalam (27) - (30) diperlukan untuk (27) dan (28) untuk benar-benar menjadi aproksimasi dari transformasi integral dalam domain integrasi

.(31)

Nol padding

Melalui proses yang disebut padding dengan nol Deret Fourier waktu diskrit dapat dimodifikasi untuk menginterpolasi antara nilai N dari transformasi aslinya. Biarkan sampel data yang tersedia x, ..., x dilengkapi dengan nilai nol x [N], ... X. DWRF dari urutan data titik 2N dengan bantalan nol ini akan diberikan oleh

(32)

di mana batas atas jumlah di sebelah kanan diubah untuk mencerminkan adanya data nol. Misalkan k = 2m, sehingga

, (33)

di mana m = 0,1, ..., N-1, mendefinisikan nilai genap X [k]. Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa untuk nilai indeks k genap, deret Fourier waktu diskrit titik 2N direduksi menjadi deret waktu diskrit titik N. Nilai ganjil dari indeks k sesuai dengan nilai interpolasi WSPF yang terletak di antara nilai WSPF N-point asli. Karena semakin banyak nol ditambahkan ke urutan titik-N asli, lebih banyak data yang diinterpolasi dapat diperoleh. Dalam kasus yang membatasi jumlah input nol yang tidak terbatas, DWRF dapat dianggap sebagai transformasi Fourier waktu-diskrit dari urutan data titik-N:

. (34)

Transformasi (34) sesuai dengan node 6 pada Gambar. 2.
Ada kesalahpahaman bahwa padding nol meningkatkan resolusi karena meningkatkan panjang urutan data. Namun, sebagai berikut dari Gambar. 3, penambahan nol tidak membaik resolusi transformasi yang diperoleh dari urutan data akhir yang diberikan. Nol padding hanya menghasilkan transformasi interpolasi bentuk lebih halus... Selain itu, ini menghilangkan ambiguitas karena adanya komponen sinyal pita sempit, yang frekuensinya terletak di antara titik N yang sesuai dengan perkiraan frekuensi FDP asli. Nol padding juga meningkatkan akurasi estimasi frekuensi puncak spektral. Dengan istilah resolusi spektral yang kami maksud adalah kemampuan untuk membedakan antara respons spektral dari dua sinyal harmonik. Aturan praktis yang diterima secara umum, sering digunakan dalam analisis spektral, adalah bahwa pemisahan frekuensi sinusoida yang dapat dibedakan tidak boleh kurang dari bandwidth jendela yang setara melalui mana segmen (segmen) dari sinusoidal ini diamati.

Gambar 3. Interpolasi bantalan nol:
a - modul perekaman data 16 titik DVRF, berisi tiga sinusoid tanpa bantalan dengan nol (ketidakpastian terlihat: tidak mungkin untuk mengatakan berapa banyak sinusoid dalam sinyal - dua, tiga atau empat);
b - modul FWRF dari urutan yang sama setelah peningkatan dua kali lipat dalam jumlah hitungannya karena penambahan 16 nol (ketidakpastian diperbolehkan, karena ketiga sinusoid dapat dibedakan;
c - modul FWRF dari urutan yang sama setelah peningkatan empat kali lipat dalam jumlah hitungannya karena penambahan nol.

Bandwidth setara dari jendela dapat ditentukan sebagai
di mana W (f) adalah transformasi Fourier waktu diskrit dari fungsi jendela, misalnya, persegi panjang (5). Demikian pula, Anda dapat masuk durasi jendela yang setara

Dapat ditunjukkan bahwa durasi ekivalen dari jendela (atau sinyal lainnya) dan bandwidth ekivalen dari transformasinya adalah nilai yang saling timbal balik: TeBe = 1.

Transformasi Fourier Cepat

Fast Fourier Transform (FFT) bukan hanya jenis lain dari transformasi Fourier, tetapi nama dari sejumlah efektif algoritma dirancang untuk komputasi cepat deret Fourier waktu diskrit. Masalah utama yang muncul dalam implementasi praktis FWRF terletak pada banyaknya jumlah operasi komputasi yang sebanding dengan N2. Meskipun jauh sebelum munculnya komputer, beberapa skema komputasi yang efisien diusulkan yang secara signifikan dapat mengurangi jumlah operasi komputasi, revolusi nyata dibuat oleh publikasi pada tahun 1965 dari sebuah artikel oleh Cooly dan Tukey dengan algoritma praktis untuk cepat (jumlah operasi Nlog 2 N) menghitung FWRF ... Setelah itu, banyak varian, perbaikan dan penambahan ide utama dikembangkan, yang merupakan kelas algoritma yang dikenal sebagai Fast Fourier Transform. Ide utama dari FFT adalah untuk membagi N-point WLDF menjadi dua atau lebih WLGF dengan panjang yang lebih pendek, yang masing-masing dapat dihitung secara terpisah dan kemudian dijumlahkan secara linier dengan yang lain untuk mendapatkan WLPF dari N- asli. urutan titik.
Kami mewakili transformasi Fourier diskrit (DFT) dalam bentuk

, (35)

dimana nilai W N = exp (-j2 / N) disebut faktor balik (selanjutnya pada bagian ini, periode sampling adalah T = 1). Pilih dari barisan x [n] elemen dengan bilangan genap dan ganjil

. (36)

Tapi sejak itu
... Oleh karena itu, (36) dapat ditulis dalam bentuk

, (37)

dimana masing-masing suku merupakan transformasi dari panjang N / 2

(38)

Perhatikan bahwa barisan (WN/2) nk adalah periodik dalam k dengan periode N/2. Oleh karena itu, meskipun angka k dalam ekspresi (37) mengambil nilai dari 0 hingga N-1, masing-masing jumlah dihitung untuk nilai k dari 0 hingga N / 2-1. Dimungkinkan untuk memperkirakan jumlah operasi perkalian dan penjumlahan kompleks yang diperlukan untuk menghitung transformasi Fourier sesuai dengan algoritma (37) - (38). Dua transformasi Fourier titik N / 2 menurut rumus (38) menyiratkan 2 (N / 2) 2 perkalian dan jumlah penambahan yang kira-kira sama. Menggabungkan dua transformasi N / 2 titik dengan rumus (37) membutuhkan N perkalian dan N penambahan. Oleh karena itu, untuk menghitung Transformasi Fourier untuk semua nilai N dari k, perlu dilakukan perkalian dan penjumlahan N + N 2/2. Pada saat yang sama, perhitungan langsung dengan rumus (35) membutuhkan perkalian dan penambahan pada N 2. Bahkan untuk N > 2, pertidaksamaan N + N 2/2< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

Dalam hal ini, karena periodisitas barisan W nk N / 4 dalam k dengan periode N / 4, jumlah (40) hanya perlu dihitung untuk nilai k dari 0 hingga N / 4-1 . Oleh karena itu, perhitungan barisan X [k] menurut rumus (37), (39) dan (40) membutuhkan, karena mudah dihitung, sudah 2N + N 2/4 operasi perkalian dan penjumlahan.
Mengikuti jalur ini, jumlah komputasi X [k] dapat dikurangi lebih banyak dan lebih banyak lagi. Setelah m = log 2 N ekspansi, kita sampai pada transformasi Fourier dua titik dari bentuk

(41)

di mana "transformasi satu titik" X 1 hanyalah sampel dari sinyal x [n]:

X 1 = x [q] / N, q = 0,1, ..., N-1. (42)

Akibatnya, Anda dapat menulis algoritme FFT, yang karena alasan yang jelas telah menerima nama algoritma penipisan waktu :

X 2 = (x [p] + W k 2 x) / N,

dimana k = 0,1, p = 0,1, ..., N / 2 -1;

X 2N / M = X N / M + W k 2N / M X N / M,

dimana k = 0,1, ..., 2N / M -1, p = 0,1, ..., M / 2 -1;

X [k] = X N [k] = X N / 2 + W k N X N / 2, (43)

dimana k = 0,1, ..., N-1

Pada setiap tahap perhitungan, N perkalian dan penambahan kompleks dilakukan. Dan karena jumlah dekomposisi barisan asli menjadi suburutan setengah panjang sama dengan log 2 N, jumlah total operasi perkalian-penjumlahan dalam algoritma FFT sama dengan Nlog 2 N. Untuk N besar, ada penghematan yang signifikan dalam operasi komputasi dibandingkan dengan perhitungan langsung DFT. Misalnya, untuk N = 2 10 = 1024, jumlah operasi berkurang 117 kali.
Algoritma FFT yang dipertimbangkan dengan penipisan dalam waktu didasarkan pada perhitungan transformasi Fourier dengan membentuk suburutan dari urutan input x [n]. Namun, Anda juga dapat menggunakan dekomposisi menjadi suburutan dari transformasi Fourier X [k]. Algoritma FFT berdasarkan prosedur ini disebut algoritma dengan dengan pengurangan frekuensi. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang Transformasi Fourier Cepat, misalnya, di.

Proses acak dan kerapatan spektral daya

Proses acak diskrit x dapat dianggap sebagai beberapa himpunan, atau ansambel, dari urutan waktu (atau spasial) diskrit yang nyata atau kompleks, yang masing-masing dapat diamati sebagai hasil dari beberapa percobaan (n adalah indeks waktu, i adalah nomor pengamatan). Urutan yang diperoleh sebagai hasil dari salah satu pengamatan akan dilambangkan dengan x [n]. Operasi rata-rata ensemble (mis. rata-rata statistik) akan dilambangkan dengan operator<>... Lewat sini, - nilai rata-rata dari proses acak x [n] pada waktu n. Autokorelasi proses acak pada dua waktu yang berbeda n1 dan n2 ditentukan oleh ekspresi r xx = .

Suatu proses acak disebut stasioner dalam pengertian luas jika nilai rata-ratanya konstan (tidak bergantung pada waktu), dan autokorelasi hanya bergantung pada selisih antara indeks waktu m = n1-n2 (pergeseran waktu atau penundaan antar sampel). Jadi, proses acak diskrit stasioner arti luas x [n] dicirikan oleh nilai rata-rata yang konstan =dan urutan autokorelasi(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Perhatikan properti ACP berikut:

r xx | r xx [m] | , r xx [-m] = r * xx [m], (45)

yang berlaku untuk semua m.
Densitas spektral daya (PSD) didefinisikan sebagai transformasi Fourier waktu diskrit (DPFT) dari urutan autokorelasi

. (46)

PSD, yang lebarnya diasumsikan terbatas pada ± 1 / 2T Hz, adalah fungsi frekuensi periodik dengan periode 1 / T Hz. Fungsi PSD menggambarkan distribusi kekuatan proses acak di atas frekuensi. Untuk mengkonfirmasi nama yang dipilih untuk itu, pertimbangkan DPFT terbalik

(47)

dihitung untuk m = 0

(48)

Ciri-ciri autokorelasi pada pergeseran nol kekuatan rata rata proses acak. Menurut (48), area di bawah kurva P xx (f) mencirikan daya rata-rata, oleh karena itu P xx (f) adalah fungsi kerapatan (daya per satuan frekuensi) yang mencirikan distribusi daya di atas frekuensi. Pasangan transformasi (46) dan (47) sering disebut teorema Wiener-Khinchin untuk kasus waktu diskrit. Karena r xx [-m] = r * xx [m], maka PSD harus merupakan fungsi positif yang benar-benar nyata. Jika AKP adalah fungsi real murni, maka r xx [-m] = r xx [m] dan PSD dapat ditulis dalam bentuk Transformasi Fourier cosinus

,

yang juga berarti bahwa P xx (f) = P xx (-f), mis. SPM adalah fungsi genap.
Sampai sekarang, kami telah menggunakan rata-rata statistik atas ansambel untuk menentukan nilai rata-rata, korelasi, dan kerapatan spektral daya dari proses acak. Namun, dalam praktiknya, biasanya tidak mungkin untuk mendapatkan ensemble realisasi dari proses yang diperlukan dimana karakteristik statistik ini dapat dihitung. Diinginkan untuk mengevaluasi semua sifat statistik dari satu realisasi sampel x (t), menggantikan y rata-rata ansambel dari waktu ke waktu... Properti yang memungkinkan perubahan seperti itu terjadi disebut ergodisitas. Mereka mengatakan bahwa proses acak adalah ergodik jika, dengan probabilitas sama dengan satu, semua karakteristik statistiknya dapat diprediksi dari satu realisasi dari ansambel menggunakan rata-rata waktu. Dengan kata lain, nilai rata-rata dari waktu ke waktu dari hampir semua kemungkinan realisasi proses dengan probabilitas satu konvergen ke nilai konstan yang sama - nilai rata-rata di atas ansambel

. (49)

Limit ini, jika ada, konvergen ke mean yang sebenarnya jika dan hanya jika varians dari mean waktu cenderung nol, yang berarti bahwa kondisi berikut terpenuhi:

. (50)

Di sini c xx [m] adalah nilai sebenarnya dari kovarians proses x [n].
Demikian pula, mengamati nilai produk dari sampel proses x [n] pada dua titik waktu, orang dapat mengharapkan bahwa nilai rata-rata akan sama dengan

(51)

Asumsi ergodisitas memungkinkan tidak hanya untuk memperkenalkan, melalui rata-rata dari waktu ke waktu, definisi untuk nilai rata-rata dan autokorelasi, tetapi juga untuk memberikan definisi serupa untuk kerapatan daya spektral.

. (52)

Bentuk PSD yang setara ini diperoleh dengan rata-rata secara statistik modulus TFT dari kumpulan data tertimbang dibagi dengan panjang rekaman data untuk kasus di mana jumlah sampel meningkat hingga tak terhingga. Rata-rata statistik diperlukan di sini karena DPFT itu sendiri adalah variabel acak yang berubah untuk setiap realisasi x [n]. Untuk menunjukkan bahwa (52) ekivalen dengan teorema Wiener-Khinchin, kami menyatakan kuadrat modulus DPTF sebagai produk dari dua deret dan mengubah urutan operasi penjumlahan dan rata-rata statistik:

(53)

Menggunakan ekspresi terkenal

, (54)

relasi (53) dapat direduksi menjadi sebagai berikut:

(55)

Perhatikan bahwa pada tahap terakhir derivasi (55), kami menggunakan asumsi bahwa urutan autokorelasi "meluruh", sehingga

. (56)

Hubungan antara dua definisi PSD (46) dan (52) secara jelas ditunjukkan pada diagram yang ditunjukkan pada Gambar 4.
Jika dalam ekspresi (52) kita tidak memperhitungkan operasi ekspektasi matematis, maka kita memperoleh estimasi PSD

, (57)

yang disebut spektrum sampel.

Beras. 4. Hubungan antara dua metode untuk memperkirakan kerapatan daya spektral

Metode periodogram estimasi spektral

Di atas, kami memperkenalkan dua metode ekuivalen formal untuk menentukan kerapatan spektral daya (PSD). Metode tidak langsung didasarkan pada penggunaan urutan data yang tak terbatas untuk menghitung urutan autokorelasi, transformasi Fourier yang memberikan PSD yang diinginkan. Metode langsung untuk menentukan PSD didasarkan pada penghitungan kuadrat modulus transformasi Fourier untuk urutan data tak terbatas menggunakan rata-rata statistik yang sesuai. PSD yang diperoleh tanpa rata-rata seperti itu ternyata tidak memuaskan, karena kesalahan akar-rata-rata-kuadrat dari perkiraan semacam itu sebanding dengan nilai rata-ratanya. Kami sekarang akan mempertimbangkan metode rata-rata yang memberikan perkiraan spektral yang halus dan stabil secara statistik pada sejumlah sampel yang terbatas. Estimasi PSD berdasarkan transformasi data langsung dan rata-rata selanjutnya disebut periodogram. Estimasi SPM, yang estimasi korelasinya pertama kali dibentuk dari data awal, disebut korelogram... Saat menggunakan metode apa pun untuk memperkirakan PSD, pengguna harus melakukan banyak pertukaran untuk mendapatkan perkiraan spektral yang stabil secara statistik dengan resolusi maksimum yang mungkin dari sejumlah sampel yang terbatas. Pertukaran ini termasuk, antara lain, pilihan jendela untuk pembobotan data dan perkiraan korelasi dan parameter rata-rata domain waktu dan frekuensi yang menyeimbangkan persyaratan pengurangan bobot sidelobe, rata-rata efisien, dan resolusi spektral yang dapat diterima. dalam gambar. 5 adalah diagram yang menunjukkan tahapan utama periodogram metode

Beras. 5. Tahapan utama pendugaan PSD menggunakan metode periodogram

Penerapan metode dimulai dengan pengumpulan N sampel data, yang diambil dengan selang waktu T detik per hitungan, diikuti (jika diinginkan) dengan tahap eliminasi tren. Untuk mendapatkan perkiraan spektral yang stabil secara statistik, data yang tersedia harus dibagi menjadi segmen yang tumpang tindih (jika mungkin) dan kemudian rata-rata spektrum sampel yang diperoleh untuk setiap segmen tersebut. Parameter rata-rata ini diubah oleh pilihan yang tepat dari jumlah sampel per segmen (NSAMP) dan jumlah sampel yang diperlukan untuk menggeser awal segmen berikutnya (NSHIFT), lihat Gambar. 6. Jumlah segmen dipilih tergantung pada tingkat kehalusan (dispersi) yang diperlukan dari perkiraan spektral dan resolusi spektral yang diperlukan. Dengan nilai parameter NSAMP yang kecil, lebih banyak segmen diperoleh, di mana rata-rata akan dilakukan, dan oleh karena itu estimasi dengan varians yang lebih rendah, tetapi juga dengan resolusi frekuensi yang lebih rendah, akan diperoleh. Peningkatan panjang segmen (parameter NSAMP) meningkatkan resolusi, secara alami karena peningkatan varians estimasi karena jumlah rata-rata yang lebih kecil. Panah kembali pada Gambar 5 menunjukkan perlunya beberapa iterasi pada data pada panjang dan jumlah segmen yang berbeda, yang memungkinkan lebih banyak informasi tentang proses yang sedang dipelajari untuk diperoleh.

Gambar 6. Memecah data menjadi segmen-segmen untuk menghitung periodogram

Jendela

Salah satu masalah penting, yang umum untuk semua metode estimasi spektral klasik, terkait dengan pembobotan data. Pemrosesan berjendela digunakan untuk mengontrol efek sidelobe dalam perkiraan spektral. Perhatikan bahwa lebih mudah untuk mempertimbangkan catatan data hingga yang ada sebagai beberapa bagian dari urutan tak terbatas yang sesuai, terlihat melalui jendela yang digunakan. Jadi barisan data observasi x 0 [n] dari N sampel dapat ditulis secara matematis sebagai hasil kali barisan tak hingga x [n] dan fungsi jendela segi empat

X 0 [n] = x [n] persegi [n].
Dalam hal ini, asumsi yang jelas dibuat bahwa semua sampel yang tidak dapat diamati sama dengan nol, terlepas dari apakah ini benar-benar kasusnya. Transformasi Fourier waktu diskrit dari barisan berbobot sama dengan konvolusi dari transformasi barisan x [n] dan jendela persegi panjang rect [n]

X 0 (f) = X (f) * D N (f), dimana
D N (f) = Texp (-j2pfT) sin (pfTN) / sin (pfT).

Fungsi D N (f), disebut fungsi sinc diskrit, atau kernel Dirichlet, adalah DFT dari fungsi persegi panjang. Transformasi urutan hingga yang dapat diamati adalah versi kacau dari transformasi urutan tak terbatas. Pengaruh jendela persegi panjang pada sinusoida waktu diskrit dengan frekuensi f 0 diilustrasikan pada Gambar 7.

Gambar 7. Ilustrasi perpindahan transformasi Fourier waktu diskrit akibat kebocoran akibat pembobotan data: a, b - barisan asli dan tertimbang; b, d - transformasi Fourier mereka.

Dapat dilihat dari gambar bahwa puncak spektral tajam DTFT dari urutan sinusoidal tak terbatas melebar karena konvolusi dengan transformasi jendela. Jadi, lebar minimum puncak spektral dari urutan pembobotan jendela ditentukan oleh lebar lobus transformasi utama dari jendela ini dan tidak bergantung pada data. Sidelobe transformasi jendela akan mengubah amplitudo puncak spektral yang berdekatan (kadang-kadang disebut sebagai kebocoran). Karena DPFT adalah fungsi periodik, superposisi lobus samping dari periode yang berdekatan dapat menyebabkan perpindahan tambahan. Meningkatkan laju sampel mengurangi tumpang tindih sidelobe. Secara alami, distorsi serupa akan diamati dalam kasus sinyal non-sinusoidal. Kebocoran tidak hanya menimbulkan kesalahan amplitudo dalam spektrum sinyal diskrit, tetapi juga dapat menutupi keberadaan sinyal yang lemah. Sejumlah fungsi jendela lain dapat diusulkan yang dapat menurunkan tingkat sidelobe dibandingkan dengan jendela persegi panjang. Menurunkan tingkat lobus samping akan mengurangi bias perkiraan spektral, tetapi ini mengakibatkan perluasan lobus utama spektrum jendela, yang secara alami menyebabkan penurunan resolusi. Oleh karena itu, di sini juga, beberapa kompromi harus dipilih antara lebar lobus utama dan tingkat lobus samping. Beberapa parameter digunakan untuk menilai kualitas jendela. Metrik tradisional adalah bandwidth lobus utama dengan daya setengah. Bandwidth setara yang diperkenalkan di atas digunakan sebagai indikator kedua. Dua metrik juga digunakan untuk menilai karakteristik lobus samping. Yang pertama adalah tingkat maksimumnya, yang kedua adalah tingkat peluruhan, yang mencirikan tingkat penurunan lobus samping dengan jarak dari lobus utama. Tabel 3 menunjukkan definisi dari beberapa fungsi jendela waktu diskrit yang umum digunakan, dan Tabel 4 - karakteristiknya.
Tabel 3. Definisi jendela waktu diskrit N-point khas Max. tingkat lobus samping, dB -31.5

. (46)

metode korelogram estimasi PSD hanyalah substitusi ke dalam ekspresi (46) dari urutan nilai hingga estimasi autokorelasi ( correlograms) alih-alih urutan tak terbatas dari nilai autokorelasi sejati yang tidak diketahui. Anda dapat membaca lebih lanjut tentang metode estimasi spektral correlogram di.

REFERENSI

1. Rabiner L., Gould B. Teori dan aplikasi pemrosesan sinyal digital. M.: Mir, 1978.

2. Marple Jr. S.L. Analisis spektral digital dan aplikasinya: Per. dari bahasa Inggris -M.: Mir, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Pemrosesan sinyal digital.- M.: Radio dan komunikasi, 1990.

4. Carried R., Enokson L. Analisis terapan deret waktu.- M.: Mir, 1982.

Transformasi Fourier Adalah keluarga metode matematika berdasarkan perluasan fungsi kontinu awal waktu menjadi satu set fungsi harmonik dasar (yang merupakan fungsi sinusoidal) dari berbagai frekuensi, amplitudo dan fase. Dapat dilihat dari definisi bahwa ide utama transformasi adalah bahwa fungsi apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah sinusoidal yang tak terbatas, yang masing-masing akan dicirikan oleh amplitudo, frekuensi, dan fase awalnya sendiri.

Transformasi Fourier adalah pelopor analisis spektral. Analisis spektral adalah teknik pemrosesan sinyal yang memungkinkan Anda untuk mengkarakterisasi konten frekuensi dari sinyal yang diukur. Transformasi Fourier yang berbeda digunakan tergantung pada bagaimana sinyal direpresentasikan. Ada beberapa jenis transformasi Fourier:

- Continuous Fourier Transform (dalam literatur bahasa Inggris Continue Time Fourier Transform - CTFT atau, singkatnya, FT);

- Transformasi Fourier Diskrit (dalam literatur Inggris Transformasi Fourier Diskrit - DFT);

- Transformasi Fast Fourier (dalam literatur bahasa Inggris, transformasi Fast Fourier - FFT).

Transformasi Fourier Berkelanjutan

Transformasi Fourier adalah alat matematika yang digunakan di berbagai bidang ilmiah. Dalam beberapa kasus, ini dapat digunakan sebagai sarana untuk memecahkan persamaan kompleks yang menggambarkan proses dinamis yang muncul di bawah pengaruh energi listrik, panas atau cahaya. Dalam kasus lain, ini memungkinkan Anda untuk mengisolasi komponen reguler dalam bentuk gelombang kompleks, yang memungkinkan untuk menginterpretasikan pengamatan eksperimental dengan benar dalam astronomi, kedokteran, dan kimia. Transformasi kontinu sebenarnya merupakan generalisasi dari deret Fourier asalkan periode fungsi yang diperluas cenderung tak hingga. Dengan demikian, transformasi Fourier klasik berkaitan dengan spektrum sinyal yang diambil dari seluruh rentang keberadaan variabel.

Ada beberapa jenis penulisan transformasi Fourier kontinu, yang berbeda satu sama lain dalam nilai koefisien sebelum integral (dua bentuk penulisan):

atau

di mana dan adalah transformasi Fourier dari fungsi atau spektrum frekuensi dari fungsi tersebut;

- frekuensi melingkar.

Perlu dicatat bahwa berbagai jenis rekaman ditemukan di berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Faktor normalisasi diperlukan untuk penskalaan sinyal yang benar dari domain frekuensi ke domain waktu. Faktor normalisasi mengurangi amplitudo sinyal pada keluaran transformasi terbalik sehingga bertepatan dengan amplitudo sinyal asli. Dalam literatur matematika, transformasi Fourier langsung dan invers dikalikan dengan sebuah faktor, sedangkan dalam fisika, faktor tersebut paling sering tidak ditetapkan untuk transformasi langsung, dan faktor tersebut ditetapkan untuk kebalikannya. Jika kita berturut-turut menghitung transformasi Fourier maju dari beberapa sinyal, dan kemudian mengambil transformasi Fourier terbalik, maka hasil transformasi terbalik harus benar-benar bertepatan dengan sinyal asli.

Jika fungsi ganjil pada interval (−∞, + ), maka transformasi Fourier dapat direpresentasikan dalam fungsi sinus:

Jika fungsi genap pada interval (−∞, + ), maka transformasi Fourier dapat direpresentasikan dalam fungsi kosinus:

Dengan demikian, transformasi Fourier kontinu memungkinkan untuk merepresentasikan fungsi non-periodik dalam bentuk integral dari suatu fungsi yang mewakili pada setiap titiknya koefisien deret Fourier untuk fungsi non-periodik.

Transformasi Fourier adalah reversibel, yaitu, jika transformasi Fouriernya dihitung dari fungsi, maka fungsi aslinya dapat dipulihkan secara unik dari transformasi Fourier. Transformasi Fourier terbalik dipahami sebagai integral dari bentuk (dua bentuk notasi):

atau

di mana transformasi Fourier dari fungsi atau spektrum frekuensi dari fungsi tersebut;

- frekuensi melingkar.

Jika fungsi ganjil pada interval (−∞, + ), maka invers transformasi Fourier dapat direpresentasikan dalam fungsi sinus:

Jika fungsi tersebut genap pada interval (−∞, + ), maka invers transformasi Fourier dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi kosinus:

Sebagai contoh, perhatikan fungsi berikut ... Grafik fungsi eksponensial yang diselidiki disajikan di bawah ini.

Karena fungsi tersebut adalah fungsi genap, maka transformasi Fourier kontinu akan didefinisikan sebagai berikut:

Akibatnya, kami memperoleh ketergantungan dari perubahan fungsi eksponensial yang diselidiki pada interval frekuensi (lihat di bawah).

Transformasi Fourier kontinu digunakan, sebagai aturan, dalam teori ketika mempertimbangkan sinyal yang berubah sesuai dengan fungsi yang diberikan, tetapi dalam praktiknya biasanya berhubungan dengan hasil pengukuran, yang merupakan data diskrit. Hasil pengukuran dicatat secara berkala dengan frekuensi sampling tertentu, misalnya 16000 Hz atau 22000 Hz. Namun, dalam kasus umum, pembacaan diskrit dapat berjalan tidak merata, tetapi ini memperumit peralatan matematis analisis, oleh karena itu, dalam praktiknya, biasanya tidak digunakan.

Ada teorema penting Kotelnikov (dalam literatur asing ada nama "teorema Nyquist-Shannon", "teorema pengambilan sampel"), yang menyatakan bahwa sinyal periodik analog dengan spektrum terbatas (lebar terbatas) (0 ... fmax ) dapat direkonstruksi secara jelas tanpa distorsi dan kerugian dengan sampel diskrit yang diambil dengan frekuensi yang lebih besar atau sama dengan dua kali frekuensi atas spektrum - frekuensi pengambilan sampel (fdiscr> = 2 * fmax). Dengan kata lain, pada laju sampling 1000 Hz, sinyal dengan frekuensi hingga 500 Hz dapat direkonstruksi dari sinyal periodik analog. Perlu dicatat bahwa diskritisasi fungsi dalam waktu mengarah ke periodisasi spektrumnya, dan pengambilan sampel spektrum dalam frekuensi mengarah ke periodisasi fungsi.

Ini adalah salah satu transformasi Fourier yang banyak digunakan dalam algoritma pemrosesan sinyal digital.

Transformasi Fourier Diskrit Langsung menetapkan fungsi waktu, yang didefinisikan oleh N-titik pengukuran pada interval waktu tertentu, ke fungsi lain, yang didefinisikan pada interval frekuensi. Perlu dicatat bahwa fungsi domain waktu ditentukan menggunakan sampel-N, dan fungsi domain frekuensi ditentukan menggunakan spektrum lipatan-K.

k indeks frekuensi.

Frekuensi sinyal ke-k ditentukan oleh ekspresi

di mana T adalah periode waktu selama data input diambil.

Transformasi diskrit langsung dapat ditulis ulang dalam hal komponen nyata dan imajiner. Komponen real adalah larik yang berisi nilai-nilai komponen kosinus, dan komponen imajiner adalah larik yang berisi nilai-nilai komponen sinusoidal.

Dari ekspresi terakhir dapat dilihat bahwa transformasi menguraikan sinyal menjadi komponen sinusoidal (disebut harmonik) dengan frekuensi dari satu osilasi per periode hingga N osilasi per periode.

Transformasi Fourier Diskrit memiliki kekhasan, karena urutan diskrit dapat diperoleh dengan jumlah fungsi dengan komposisi yang berbeda dari sinyal harmonik. Dengan kata lain, urutan diskrit didekomposisi menjadi variabel harmonik - ambigu. Oleh karena itu, ketika fungsi diskrit diperluas menggunakan transformasi Fourier diskrit, komponen frekuensi tinggi muncul di paruh kedua spektrum, yang tidak ada dalam sinyal aslinya. Spektrum frekuensi tinggi ini merupakan bayangan cermin dari bagian pertama spektrum (dalam hal frekuensi, fase dan amplitudo). Biasanya paruh kedua spektrum tidak dipertimbangkan, dan amplitudo sinyal dari bagian pertama spektrum digandakan.

Perlu dicatat bahwa perluasan fungsi kontinu tidak mengarah pada munculnya efek cermin, karena fungsi kontinu secara jelas didekomposisi menjadi variabel harmonik.

Amplitudo komponen konstanta adalah nilai rata-rata fungsi selama periode waktu yang dipilih dan ditentukan sebagai berikut:

Amplitudo dan fase komponen frekuensi sinyal ditentukan oleh hubungan berikut:

Nilai amplitudo dan fase yang dihasilkan disebut notasi polar. Vektor sinyal yang dihasilkan akan didefinisikan sebagai berikut:

Pertimbangkan algoritma untuk mentransformasikan fungsi yang diberikan secara diskrit pada interval tertentu (pada periode tertentu) dengan jumlah titik awal

Transformasi Fourier diskrit

Sebagai hasil dari transformasi, kami memperoleh nilai nyata dan imajiner dari fungsi, yang didefinisikan dalam rentang frekuensi.

Transformasi Fourier diskrit terbalik menghubungkan fungsi frekuensi yang didefinisikan oleh spektrum lipatan-K pada domain frekuensi dengan fungsi lain yang didefinisikan pada domain waktu.

N jumlah nilai sinyal yang diukur selama periode tersebut, serta multiplisitas spektrum frekuensi;

k indeks frekuensi.

Seperti yang telah disebutkan, transformasi Fourier diskrit mengaitkan titik-N dari sinyal diskrit dengan sampel spektral N-kompleks dari sinyal. Untuk menghitung satu sampel spektral, N operasi perkalian dan penambahan kompleks diperlukan. Dengan demikian, kompleksitas komputasi dari algoritma transformasi Fourier diskrit adalah kuadratik, dengan kata lain, diperlukan operasi perkalian dan penjumlahan yang kompleks.

1

Kamera pengintai video banyak digunakan untuk memantau situasi lalu lintas di jalan raya dengan intensitas lalu lintas tinggi. Informasi yang diterima dari kamera video berisi data tentang perubahan temporal posisi spasial kendaraan di bidang pandang sistem. Pemrosesan informasi ini berdasarkan algoritme yang digunakan dalam sistem pengukuran televisi (TIS), memungkinkan Anda menentukan kecepatan kendaraan dan memastikan kontrol arus lalu lintas. Faktor-faktor inilah yang menjelaskan meningkatnya minat dalam pemantauan televisi terhadap jalan raya transportasi.

Untuk mengembangkan metode penyaringan gambar kendaraan dengan latar belakang gangguan, perlu diketahui parameter dan karakteristik dasarnya. Sebelumnya penulis melakukan penelitian terhadap spektrum Fourier dan wavelet berlatar belakang alam dan perkotaan. Karya ini dikhususkan untuk mempelajari spektrum kendaraan yang serupa.

• menggunakan kamera digital, bank file .bmp asli dari gambar monokrom kendaraan dari berbagai jenis dibuat (mobil dan truk, bus, untuk setiap kelompok jumlah gambar adalah 20-40 pada sudut dan kondisi pencahayaan yang berbeda); gambar 400 piksel horizontal dan 300 piksel vertikal; rentang kecerahan dari 0 hingga 255 unit;
• karena gambar berisi, selain kendaraan, juga komponen latar belakang, untuk mencegah pengaruhnya pada hasil, itu ditekan secara artifisial ke tingkat nol;
• Analisis karakteristik citra kendaraan dilakukan dengan metode analisis Fourier dan wavelet.

Program yang dikembangkan di lingkungan MATLAB memungkinkan Anda untuk menghitung kecerahan rata-rata (yaitu, ekspektasi matematis dari kecerahan gambar), varians kecerahan, spektrum Fourier dari garis gambar individu dan total, spektogram, serta spektrum wavelet menggunakan berbagai wavelet terkenal. (Haar, Daubechies, Simlet dan lain-lain). Hasil analisis ditampilkan dalam bentuk gambar spektra dua dimensi dan 3D.

Berdasarkan hasil penelitian, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:

• karakteristik kecerahan rata-rata (kecerahan rata-rata, dispersi) gambar berbagai kendaraan memiliki nilai yang sama untuk semua jenis; silau matahari dari kaca dan permukaan mobil memiliki pengaruh yang signifikan terhadap karakteristik kecerahan; tergantung pada intensitas dan arah iluminasi, mobil hitam dapat memiliki karakteristik kecerahan yang mirip dengan mobil ringan;
• terlepas dari jenis kendaraannya, spektrum Fourier dan wavelet memiliki struktur yang serupa;
• lebar spektrum Fourier kendaraan sangat bergantung pada jenis kendaraan; spektrum memiliki struktur yang tidak merata secara signifikan yang berubah dengan perubahan pencahayaan dan orientasi kendaraan; spektrum di bidang horizontal memiliki struktur yang lebih tidak rata daripada di bidang vertikal; karakteristik spektral semi truk dan bus sangat dipengaruhi oleh gambar dan tulisan (iklan) di permukaannya;
• saat memutar mobil, perubahan spektrum gambar di bidang horizontal signifikan, spektrum di bidang vertikal tetap cukup stabil; ini terutama terlihat dalam spektrum wavelet;
• analisis spektrum kendaraan individu dan kendaraan dengan latar belakang interferensi menunjukkan bahwa mereka berbeda dalam tingkat amplitudo komponen spektral; dengan tidak adanya latar belakang, spektrum vertikal jauh lebih seragam; untuk gambar mobil tanpa latar belakang, ada kemungkinan besar penurunan spektrum yang dalam (ketidakrataan yang lebih tinggi), amplop spektrum gambar dengan latar belakang lebih seragam daripada tanpa latar belakang;
• Studi telah menunjukkan bahwa, karena pengaruh kuat dari sejumlah besar faktor, karakteristik spektral kendaraan (keduanya diperoleh dengan menggunakan analisis Fourier dan analisis wavelet) tidak memungkinkan kami untuk mengidentifikasi fitur spektral stabil dari gambar kendaraan; ini mengurangi efisiensi penyaringan spektral gambar, yang dilakukan untuk menekan latar belakang;
• Dalam sistem kontrol lalu lintas otomatis, untuk membedakan mobil dari latar belakang gangguan, perlu menggunakan serangkaian fitur, seperti warna, spektrum, parameter geometris objek (ukuran dan rasio aspek) dan karakteristik dinamis.

BIBLIOGRAFI

1. Makaretsky E.A., Nguyen L.Kh. Investigasi karakteristik gambar latar belakang alam dan perkotaan // Izv. Tusk. Negara Universitas. Teknik radio dan optik radio. - Tula, 2005 .-- T. 7.- Hal.97-104.

Referensi bibliografi

Makaretsky E.A. PENELITIAN FOURIER DAN WAVELET SPECTRA CITRA KENDARAAN // Penelitian fundamental. - 2006. - No. 12. - P. 80-81;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=5557 (tanggal diakses: 15.01. Kami menyampaikan kepada Anda jurnal-jurnal yang diterbitkan oleh "Academy of Natural Sciences"