დავალება 5.

მდგომარეობა:მოწყობილობის აწყობა შესაძლებელია მაღალი ხარისხის ნაწილებისგან და ჩვეულებრივი ხარისხის ნაწილებისგან. მოწყობილობების 40% აწყობილია მაღალი ხარისხის ნაწილებისგან.

მაღალი ხარისხის მოწყობილობისთვის, მისი საიმედოობა დროის ინტერვალში t არის 0,95; ჩვეულებრივი მოწყობილობებისთვის, საიმედოობა არის 0,7. მოწყობილობა გამოცდილი იყო t დროზე და მუშაობდა უნაკლოდ.

იპოვეთ ალბათობა, რომ ის აწყობილია მაღალი ხარისხის ნაწილებისგან.

გამოსავალი: H 1 - მოწყობილობა აწყობილია მაღალი ხარისხის ნაწილებისგან,

H 2 - მოწყობილობა აწყობილია ჩვეულებრივი ხარისხის ნაწილებისგან.

ამ ჰიპოთეზების ალბათობა გამოცდილებამდე:

ექსპერიმენტის შედეგად დაფიქსირდა მოვლენა A - მოწყობილობა უპრობლემოდ მუშაობდა დრო t.

ამ მოვლენის პირობითი ალბათობა H 1 და H 2 ჰიპოთეზების მიხედვით არის:

ჩვენ ვპოულობთ ჰიპოთეზის H 1 ალბათობას ექსპერიმენტის შემდეგ:

ალბათობის ფესვი საშუალო კვადრატული დისპერსიის მათემატიკური

მათემატიკური სტატისტიკა

სავარჯიშო 1.

მდგომარეობა:შეადგინეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი X, გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

მონადირე ისვრის თამაშს, სანამ არ მოხვდება, მაგრამ შეუძლია გასროლა არაუმეტეს სამი გასროლისა. ყოველი გასროლის ალბათობა არის 0,6. შეადგინეთ X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - მსროლელის მიერ გასროლილი გასროლების რაოდენობა. გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

გამოსავალი:ალბათობა იმისა, რომ გამოტოვების რაოდენობა არის 0, არის 0,6

• - ალბათობა იმისა, რომ გაცდენების რაოდენობა უდრის 1-ს, უდრის 0,4 0,6 = 0,24 (პირველში გამოტოვებული, მეორეში დარტყმა)
• - ალბათობა იმისა, რომ გაცდენების რაოდენობა არის 2, უდრის 0,4 0,4 ​​0,6 = 0,096 (პირველ ორში არ დაარტყა, მესამეში მოხვდა)
• - ალბათობა იმისა, რომ გაცდენების რაოდენობა არის 3, უდრის 0.4 0.4 0.4 = 0.064 (პირველ სამში არ მოხვდა)

მათემატიკური მოლოდინი არის 0 0.6+1 0.24+2 0.096+3 0.064 = 0.624

M(x*x)=0.24 +0.384+0.576=1.2

D(x)=1.2-0.389376=0.810624

დავალება 2.

მდგომარეობა:შემთხვევითი მნიშვნელობა Xმოცემული განაწილების ფუნქციით F(X).

ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი კონცეფციაა კონცეფცია შემთხვევითი ცვლადი.

შემთხვევითიდაურეკა ღირებულება, რომელიც ტესტების შედეგად იღებს გარკვეულ შესაძლო მნიშვნელობებს, რომლებიც წინასწარ არ არის ცნობილი და დამოკიდებულია შემთხვევით მიზეზებზე, რომელთა წინასწარ გათვალისწინება შეუძლებელია.

შემთხვევითი ცვლადები აღინიშნება დიდი ასოებილათინური ანბანი X, ი, ზდა ა.შ. ან ლათინური ანბანის მთავრული ასოებით მარჯვენა ხელმოწერით და მნიშვნელობები, რომლებსაც შეუძლიათ შემთხვევითი ცვლადები - ლათინური ანბანის შესაბამისი მცირე ასოებით x, წ, ზდა ა.შ.

შემთხვევითი ცვლადის კონცეფცია მჭიდროდ არის დაკავშირებული შემთხვევითი მოვლენის კონცეფციასთან. კავშირი შემთხვევით მოვლენასთანმდგომარეობს იმაში, რომ შემთხვევითი ცვლადის მიერ გარკვეული რიცხვითი მნიშვნელობის მიღება არის შემთხვევითი მოვლენა, რომელიც ხასიათდება ალბათობით .

პრაქტიკაში, არსებობს შემთხვევითი ცვლადების ორი ძირითადი ტიპი:

1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადები;

2. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები.

შემთხვევითი ცვლადი არის შემთხვევითი მოვლენების რიცხვითი ფუნქცია.

მაგალითად, შემთხვევითი ცვლადი არის ქულების რაოდენობა, რომელიც დაეცა კამათლის სროლისას, ან სასწავლო ჯგუფიდან შემთხვევით შერჩეული მოსწავლის სიმაღლე.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადებიშემთხვევით ცვლადებს უწოდებენ, რომლებიც იღებენ მხოლოდ ერთმანეთისგან დისტანციურ მნიშვნელობებს, რომლებიც შეიძლება წინასწარ იყოს ჩამოთვლილი.

განაწილების კანონი(განაწილების ფუნქცია და განაწილების სერია ან ალბათობის სიმკვრივე) სრულად აღწერს შემთხვევითი ცვლადის ქცევას. მაგრამ რიგ ამოცანებში საკმარისია ვიცოდეთ შესასწავლი რაოდენობის ზოგიერთი რიცხვითი მახასიათებელი (მაგალითად, მისი საშუალო მნიშვნელობა და მისგან შესაძლო გადახრა), რათა პასუხი გასცეს დასმულ კითხვას. განვიხილოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლები.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონინებისმიერი თანაფარდობა ეწოდება , შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობებსა და მათ შესაბამის ალბათობებს შორის კავშირის დამყარება .

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მაგიდები:

შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ალბათობის ჯამი უდრის ერთს, ე.ი.

განაწილების კანონი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი გრაფიკულად: აბსცისის ღერძზე გამოსახულია შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობები, ორდინატულ ღერძზე კი ამ მნიშვნელობების ალბათობა; მიღებული წერტილები დაკავშირებულია სეგმენტებით. აგებულ პოლიხაზს ე.წ განაწილების პოლიგონი.

მაგალითი. მონადირე 4 რაუნდით ისვრის თამაშში პირველ დარტყმამდე ან ყველა რაუნდის გამოყენებამდე. პირველი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,7, ყოველი მომდევნო გასროლით მცირდება 0,1-ით. შეადგინეთ მონადირის მიერ გამოყენებული ვაზნების რაოდენობის განაწილების კანონი.

გამოსავალი.ვინაიდან მონადირეს, რომელსაც აქვს 4 რაუნდი, შეუძლია გააკეთოს ოთხი გასროლა, შემდეგ შემთხვევითი მნიშვნელობა X- მონადირის მიერ გამოყენებული ვაზნების რაოდენობამ შეიძლება მიიღოს მნიშვნელობები 1, 2, 3, 4. შესაბამისი ალბათობების საპოვნელად წარმოგიდგენთ მოვლენებს:

- „დაარტყა მე-ომ გასროლა”, ;

- „მენატრება მე- th shot”, და მოვლენები და არის წყვილი დამოუკიდებელი.

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, გვაქვს:

,

დამოუკიდებელი მოვლენების გამრავლების თეორემით და შეუთავსებელი მოვლენების მიმატების თეორემით ვპოულობთ:

(მონადირემ პირველი გასროლით დაარტყა მიზანს);

(მონადირე მიზანს მეორე გასროლიდან მოხვდა);

(მონადირე მიზანს მესამე გასროლიდან მოხვდა);

(მონადირემ მიზანს მეოთხე გასროლიდან დაარტყა ან ოთხივე გაუშვა).

გადამოწმება: - სწორია.

ამრიგად, შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი Xროგორც ჩანს:

მაგალითი.მუშა მართავს სამ მანქანას. ალბათობა იმისა, რომ ერთ საათში პირველ მანქანას არ დასჭირდება კორექტირება, არის 0,9, მეორე არის 0,8, მესამე არის 0,7. შეადგინეთ განაწილების კანონი იმ მანქანების რაოდენობისთვის, რომლებიც საჭიროებენ კორექტირებას ერთი საათის განმავლობაში.

გამოსავალი.შემთხვევითი მნიშვნელობა X- მანქანების რაოდენობას, რომლებიც საჭიროებენ კორექტირებას ერთი საათის განმავლობაში, შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0.1, 2, 3. შესაბამისი ალბათობების საპოვნელად წარმოგიდგენთ მოვლენებს:

- “მე- მანქანა საჭიროებს კორექტირებას ერთი საათის განმავლობაში”, ;

- “მე- მანქანა არ საჭიროებს კორექტირებას ერთი საათის განმავლობაში. ”

პრობლემის პირობით გვაქვს:

, .