MATEMĀTISKĀS SHĒMAS SISTĒMU MODELĒŠANAI

SISTĒMU MEMĀTISKO MODEĻU KONSTRUKCIJAS PAMATPIEEJAS

Sākotnējā informācija sistēmu funkcionēšanas procesu matemātisko modeļu konstruēšanā ir dati par pētāmās (projektētās) sistēmas mērķi un darbības apstākļiem. S... Šī informācija nosaka sistēmas modelēšanas galveno mērķi. S un ļauj formulēt prasības izstrādātajam matemātiskajam modelim M. Turklāt abstrakcijas līmenis ir atkarīgs no to jautājumu loka, uz kuriem sistēmas pētnieks vēlas iegūt atbildi, izmantojot modeli, un zināmā mērā nosaka matemātiskās shēmas izvēli.

Matemātiskās shēmas. Matemātiskās shēmas jēdziena ieviešana ļauj uzskatīt matemātiku nevis par aprēķina metodi, bet gan par domāšanas metodi, kā jēdzienu formulēšanas līdzekli, kas ir vissvarīgākais pārejā no verbāla sistēmas apraksta uz. tā funkcionēšanas procesa formāls attēlojums kāda matemātiska modeļa (analītiskā vai imitācijas) veidā. Izmantojot matemātisko shēmu, sistēmas S pētnieku, pirmkārt, būtu jāinteresē jautājums par kartējuma piemērotību konkrētu reālo procesu shēmu veidā pētāmajā sistēmā, nevis iespēja iegūt atbilde (risinājuma rezultāts) uz konkrētu pētījuma jautājumu. Piemēram, kolektīvās informācijas skaitļošanas sistēmas darbības procesa attēlojums rindu shēmu tīkla veidā ļauj labi aprakstīt sistēmā notiekošos procesus, taču ar sarežģītiem ienākošo plūsmu un pakalpojumu plūsmu likumiem, tas neļauj iegūt rezultātus skaidrā veidā.

Matemātiskā shēma var definēt kā saikni pārejā no jēgpilna uz formālu sistēmas darbības procesa aprakstu, ņemot vērā ārējās vides ietekmi, tas ir, pastāv ķēde "aprakstošais modelis - matemātiskā shēma - matemātiskā (analītiskā un/ vai imitācija) modelis”.

Katru konkrēto sistēmu S raksturo īpašību kopums, kas tiek saprasts kā vērtības, kas atspoguļo modelētā objekta (reālās sistēmas) uzvedību un ņem vērā tā funkcionēšanas apstākļus mijiedarbībā ar ārējo vidi (sistēmu) E. Veidojot sistēmas matemātisko modeli, ir jāatrisina jautājums par tā pilnīgumu. Modeļa pilnīgumu galvenokārt regulē robežas izvēle “sistēma S - vide E» . Tāpat jāatrisina modeļa vienkāršošanas problēma, kas palīdz izcelt sistēmas galvenās īpašības, atmetot sekundārās. Turklāt sistēmas īpašību piešķiršana galvenajai vai sekundārajai būtībā ir atkarīga no sistēmas modelēšanas mērķa (piemēram, sistēmas funkcionēšanas procesa varbūtības-laika raksturlielumu analīze, sistēmas darbības sintēze). sistēmas struktūra utt.).

Objekta formālais modelis. Modelēšanas objekta modeli, t.i., sistēmu S, var attēlot kā lielumu kopu, kas apraksta reālas sistēmas funkcionēšanas procesu un kopumā veido šādas apakškopas: ievades darbības katrai sistēmai

;

agregāts vides ietekmes

;

agregāts iekšējie, (savējie) parametri sistēmas

;

agregāts izejas raksturlielumi sistēmas

.

Turklāt uzskaitītajās apakškopās var atšķirt pārvaldītos un nepārvaldītos mainīgos. Vispār , , , ir nesadalītu apakškopu elementi un satur gan deterministiskus, gan stohastiskus komponentus.

Modelējot sistēmu S, ievada darbības, ārējās vides ietekmes E un sistēmas iekšējie parametri ir neatkarīgi (eksogēni) mainīgie, kuriem vektora formā ir forma ,,, un sistēmas izejas raksturlielumi ir atkarīgie (endogēnie) mainīgie un vektora formā ir forma).

S sistēmas funkcionēšanas procesu laikus apraksta operators F s , kas vispārīgā gadījumā pārveido eksogēnos mainīgos par endogēniem atbilstoši formas attiecībām

. (1)

Sistēmas izejas raksturlielumu atkarību kopums no laika y j (t) visiem veidiem
sauca izvades trajektorija
. Tiek saukta atkarība (1). sistēmas funkcionēšanas likumsS un apzīmēts F s . Vispārīgā gadījumā sistēmas funkcionēšanas likums F s var norādīt funkcijas, funkcionālo, loģisko nosacījumu veidā, algoritmiskās un tabulas formās vai verbālās atbilstības noteikuma veidā.

Sistēmas S aprakstam un izpētei ļoti svarīga ir koncepcija darbības algoritmsA s , ar ko saprot izejas raksturlielumu iegūšanas metodi, ņemot vērā ievades ietekmes
, vides ietekmes
un savus sistēmas parametrus
. Ir skaidrs, ka tas pats funkcionēšanas likums F s sistēma S var tikt realizēta dažādos veidos, t.i., izmantojot daudz dažādu funkcionēšanas algoritmu A s .

Attiecības (1) ir modelēšanas objekta (sistēmas) uzvedības matemātisks apraksts laikā t, tas ir, tie atspoguļo tā dinamiskās īpašības. Tāpēc šāda veida matemātiskos modeļus parasti sauc dinamiski modeļi(sistēmas).

Priekš statiskie modeļi matemātiskais modelis (1) ir kartējums starp divām modelētā objekta īpašību apakškopām Y un { X, V, H), ko vektora formā var uzrakstīt kā

. (2)

Attiecības (1) un (2) var norādīt dažādos veidos: analītiski (izmantojot formulas), grafiski, tabulas veidā utt. Šādas attiecības dažos gadījumos var iegūt, izmantojot sistēmas S īpašības noteiktos laikos, t.s. štatos. Sistēmas S stāvokli raksturo vektori

un
,

kur
,
, …,
pašlaik
;
,
, …,
pašlaik
utt.,
.

Ja sistēmas S funkcionēšanas procesu uzskatām par secīgu stāvokļu maiņu
, tad tās var interpretēt kā punkta koordinātas Uz-dimensiju fāzes telpa. Turklāt katra procesa realizācija atbildīs noteiktai fāzes trajektorijai. Visu iespējamo stāvokļu vērtību apkopojums sauca stāvokļa telpa modelēšanas objekts Z, Turklāt
.

Sistēmas S stāvokļi laika momentā t 0 < t*T tos pilnībā nosaka sākotnējie nosacījumi
[kur
,
, …,
], ievades ietekmes
, savus sistēmas parametrus
un vides ietekme
, kas notika noteiktā laika periodā t*- t 0 , Ar izmantojot divus vektoru vienādojumus

; (3)

. (4)

Pirmais sākotnējā stāvokļa vienādojums un eksogēni mainīgie
definē vektora funkciju
, un otrais atbilstoši iegūtajai stāvokļu vērtībai
- endogēnie mainīgie sistēmas izejā
. Tādējādi objekta vienādojumu ķēde "ievade-stāvoklis-izeja" ļauj noteikt sistēmas raksturlielumus

. (5)

Vispārīgā gadījumā laiku sistēmas S modelī var uzskatīt uz modelēšanas intervāla (0, T) gan nepārtraukti, gan diskrēti, t.i., kvantēti garuma segmentos
laika vienības katrs kad
, kur
- paraugu ņemšanas intervālu skaits.

Tādējādi zem objekta matemātiskais modelis(reālā sistēma) saprast ierobežotu mainīgo apakškopu (
} kopā ar matemātiskajām attiecībām starp tām un raksturlielumiem
.

Ja modelēšanas objekta matemātiskajā aprakstā nav nejaušības elementu vai tie netiek ņemti vērā, tas ir, ja var pieņemt, ka šajā gadījumā ārējās vides stohastiskie efekti
un stohastiskie iekšējie parametri
nav, tad modelis tiek izsaukts deterministisks tādā nozīmē, ka raksturlielumus unikāli nosaka deterministiski ievades dati

. (6)

Acīmredzot deterministiskais modelis ir īpašs stohastiskā modeļa gadījums.

Tipiskas shēmas. Dotās matemātiskās attiecības atspoguļo vispārīgas matemātiskās shēmas un ļauj aprakstīt plašu sistēmu klasi. Tomēr objektu modelēšanas praksē sistēmu inženierijas un sistēmu analīzes jomā sistēmu izpētes sākumposmā racionālāk ir izmantot tipiskas matemātiskās shēmas: diferenciālvienādojumi, galīgie un varbūtības automāti, rindu sistēmas, Petri tīkli u.c.

Tipiskām matemātiskām shēmām, kurām nav tādas vispārīguma pakāpes kā aplūkotajiem modeļiem, ir vienkāršības un skaidrības priekšrocības, bet ar ievērojamu pielietojuma iespēju sašaurināšanos. Diferenciālie, integrālie, integro-diferenciālie un citi vienādojumi tiek izmantoti, lai attēlotu sistēmas, kas darbojas nepārtrauktā laikā kā deterministiskus modeļus, kad pētījumā netiek ņemti vērā nejaušības faktori, un tiek izmantoti galīgie automāti un galīgo atšķirību shēmas, lai attēlotu sistēmas, kas darbojas diskrēts laiks.... Varbūtības automāti tiek izmantoti kā stohastiskie modeļi (ņemot vērā nejaušības faktorus), lai attēlotu sistēmas ar diskrētu laiku, un rindas sistēmas tiek izmantotas, lai attēlotu sistēmas ar nepārtrauktu laiku utt.

Uzskaitītās tipiskās matemātiskās shēmas, protams, nevar izlikties, ka uz to pamata var aprakstīt visus procesus, kas notiek lielajās informācijas pārvaldības sistēmās. Šādām sistēmām dažos gadījumos daudzsološāka ir apkopoto modeļu izmantošana.

Apkopotie modeļi (sistēmas) ļauj aprakstīt plašu pētījumu objektu klāstu, atspoguļojot šo objektu sistēmisko raksturu. Tieši ar apkopotu aprakstu sarežģīts objekts (sistēma) tiek sadalīts ierobežotā skaitā daļās (apakšsistēmās), vienlaikus saglabājot savienojumus, kas nodrošina daļu mijiedarbību.

Tādējādi, konstruējot sistēmu funkcionēšanas procesu matemātiskos modeļus, var izdalīt šādas galvenās pieejas: nepārtraukti-deterministiskā (piemēram, diferenciālvienādojumi); diskrēti-deterministiski (galīgi automāti); diskrētie stohastiskie (varbūtības automāti); nepārtraukti-stohastiskā (rindu sistēmas); vispārināta vai universāla (agregātsistēmas).

NEPĀRTRAUKTAS NOTEIKŠANAS MODEĻI (D-CIRCUTI)

Apskatīsim nepārtrauktās-deterministiskās pieejas iezīmes, piemēram, izmantojot diferenciālvienādojumus kā matemātiskos modeļus. Diferenciālvienādojumi sauc tādus vienādojumus, kuros viena vai vairāku mainīgo funkcijas nav zināmas, un vienādojumā ir iekļautas ne tikai funkcijas, bet arī dažādu kārtu to atvasinājumi. Ja nezināmie ir vairāku mainīgo funkcijas, tad vienādojumus sauc par daļējiem diferenciālvienādojumiem, pretējā gadījumā, aplūkojot tikai viena neatkarīga mainīgā funkcijas, vienādojumus sauc par parastajiem diferenciālvienādojumiem.

Pamata attiecības. Parasti šādos matemātiskajos modeļos laiks tiek izmantots kā neatkarīgs mainīgais, no kura ir atkarīgas nezināmas meklētās funkcijas t. Tad matemātiskā sakarība deterministiskām sistēmām (6) vispārējā formā būs

, (7)

kur
,
un
- P-dimensiju vektori;
- vektora funkcija, kas ir definēta uz dažiem ( P+1) -dimensionāls
iestatīts un ir nepārtraukts.

Tā kā šāda veida matemātiskās shēmas atspoguļo pētāmās sistēmas dinamiku, tas ir, tās uzvedību laikā, tās sauc D- shēmas(ang. dinamisks).

Vienkāršākajā gadījumā parastajam diferenciālvienādojumam ir forma

. (8)

Vissvarīgākais pielietojums sistēmu inženierijā D- shēma kā matemātisks aparāts automātiskās vadības teorijā. Lai ilustrētu D-ķēžu uzbūves un pielietojuma iezīmes, apskatīsim vienkāršāko piemēru divu dažāda fizikāla rakstura elementāru sistēmu funkcionēšanas procesa formalizēšanai: mehāniskai. S M (svārsta svārstības, 1. att., a) un elektriskā S K (oscilācijas ķēde, 1. att., b).

Rīsi. 1. Elementārās sistēmas

Svārsta mazo svārstību procesu apraksta parastais diferenciālvienādojums

kur
- svārsta balstiekārtas masa un garums; g - brīvā kritiena paātrinājums;
- svārsta novirzes leņķis laika momentā t.

No šī svārsta brīvās svārstības vienādojuma var atrast interesējošo raksturlielumu aplēses. Piemēram, svārsta šūpošanās periods

.

Līdzīgi procesus elektriskās svārstību ķēdē apraksta ar parasto diferenciālvienādojumu

kur L Uz , AR Uz - kondensatora induktivitāte un kapacitāte; q(t) - kondensatora uzlāde laikā t.

No šī vienādojuma jūs varat iegūt dažādus aprēķinus par procesa raksturlielumiem svārstību ķēdē. Piemēram, elektrisko svārstību periods

.

Acīmredzot, ieviešot apzīmējumu
,
, ,
, mēs iegūstam parastu otrās kārtas diferenciālvienādojumu, kas apraksta šīs slēgtā cikla sistēmas uzvedību:

kur
- sistēmas parametri; z(t) - sistēmas stāvoklis attiecīgajā laikā t.

Tādējādi šo divu objektu uzvedību var izpētīt, pamatojoties uz vispārēju matemātisko modeli (9). Turklāt jāatzīmē, ka vienas sistēmas uzvedību var analizēt, izmantojot otru. Piemēram, svārsta uzvedība (sistēma S M) var pētīt, izmantojot elektrisko svārstību ķēdi (sistēmu S K).

Ja pētāmā sistēma S, t.i., svārsts vai kontūra, mijiedarbojas ar ārējo vidi E, pēc tam tiek parādīta ievades darbība X(t) (ārējais spēks svārstam un ķēdes enerģijas avots), un šādas sistēmas nepārtraukti-deterministiskais modelis būs formā

No matemātiskā modeļa vispārējās shēmas viedokļa X(t) ir ievades (vadības) darbība, un sistēmas S stāvokli šajā gadījumā var uzskatīt par izejas raksturlielumu, tas ir, pieņemt, ka izejas mainīgais sakrīt ar sistēmas stāvokli noteiktā laikā y =z.

Iespējamie pielietojumi. Risinot sistēmu inženierijas problēmas, liela nozīme ir lielu sistēmu pārvaldības problēmām. Pievērsiet uzmanību sistēmām automātiskā vadība- aprakstīts īpašs dinamisko sistēmu gadījums D- shēmas un izcelti atsevišķā modeļu klasē to praktiskās specifikas dēļ.

Aprakstot automātiskās vadības procesus, tie parasti pieturas pie reāla objekta attēlojuma divu sistēmu veidā: kontroles un vadāmās (kontroles objekts). Vispārējās daudzdimensiju automātiskās vadības sistēmas struktūra ir parādīta attēlā. 2, kur ir norādīti endogēnie mainīgie:
- ievades (galveno) ietekmju vektors;
- traucējošo ietekmju vektors;
- kļūdu signālu vektors;
- kontroles darbību vektors; eksogēni mainīgie:
- sistēmas S stāvokļu vektors;
parasti ir izejas mainīgo vektors
=
.

Rīsi. 2. Automātiskās vadības sistēmas uzbūve

Mūsdienīga vadības sistēma ir programmatūras un aparatūras rīku kopums, kas nodrošina kontroles objekta noteikta mērķa sasniegšanu. Cik precīzi kontroles objekts sasniedz doto mērķi, viendimensijas sistēmai var spriest pēc stāvokļa koordinātas plkst (t). Atšķirība starp doto plkst aizmugure (t) un derīgs plkst (t) kontrolētā mainīgā izmaiņu likums ir kontroles kļūda . Ja noteiktais kontrolējamā daudzuma izmaiņu likums atbilst ievades (galvenās) darbības izmaiņu likumam, t.i.
, tad
.

Sistēmas, kurām kontroles kļūdas
vienmēr tiek saukti par ideāliem. Praksē ideālu sistēmu ieviešana nav iespējama. Tātad kļūda h"(t) - nepieciešams automātiskās vadības elements, kas balstīts uz negatīvās atgriezeniskās saites principu, lai panāktu izejas mainīgā atbilstību y(t) tās norādītajā vērtībā tiek izmantota informācija par novirzi starp tām. Automātiskās vadības sistēmas uzdevums ir mainīt mainīgo y(t) saskaņā ar doto likumu ar noteiktu precizitāti (ar pieļaujamu kļūdu). Projektējot un ekspluatējot automātiskās vadības sistēmas, nepieciešams izvēlēties šādus sistēmas parametrus S, kas nodrošinātu nepieciešamo vadības precizitāti, kā arī sistēmas stabilitāti pārejas procesā.

Ja sistēma ir stabila, tad praktiski interesē sistēmas uzvedība laikā, kontrolējamā mainīgā maksimālā novirze ir plkst (t) pārejas procesā pārejas procesa laiks utt. Secinājumus par dažādu klašu automātiskās vadības sistēmu īpašībām var izdarīt diferenciālvienādojumu veidā, kas aptuveni apraksta procesus sistēmās. Diferenciālvienādojuma secību un tā koeficientu vērtības pilnībā nosaka sistēmas statiskie un dinamiskie parametri. S.

Tātad, izmantojot D- shēmaļauj formalizēt nepārtraukti deterministisku sistēmu funkcionēšanas procesu S un novērtē to galvenos raksturlielumus, izmantojot analītisko vai simulācijas pieeju, kas ieviesta atbilstošas ​​valodas veidā nepārtrauktu sistēmu modelēšanai vai izmantojot analogās un hibrīdās skaitļošanas iekārtas.

Klasifikācija jebkurā kompetences jomā ir būtiska. Tas ļauj vispārināt uzkrāto pieredzi, racionalizēt priekšmeta jomas jēdzienus. Matemātiskās modelēšanas metožu straujā attīstība un to pielietošanas jomu daudzveidība noveda pie liela skaita dažāda veida modeļu rašanās un nepieciešamības klasificēt modeļus tajās kategorijās, kas ir universālas visiem modeļiem vai ir nepieciešamas šajā jomā. piemēram, no uzbūvētā modeļa. Sniegsim dažu kategoriju piemēru: lietošanas joma; ņemot vērā laika faktoru (dinamiku) modelī; zināšanu nozare; modeļu prezentācijas veids; nejaušu (vai nenoteiktu) faktoru esamība vai neesamība; efektivitātes kritērija veids un noteiktie ierobežojumi utt.

Analizējot matemātisko literatūru, mēs esam identificējuši visizplatītākās klasifikācijas pazīmes:

1. Pēc ieviešanas metodes (ieskaitot formālo valodu) visus matemātiskos modeļus var iedalīt analītiskā un algoritmiskā.

Analītisks — modeļi, kas izmanto standarta matemātisko valodu. Simulācija - modeļi, kuros tiek izmantota īpaša modelēšanas valoda vai universāla programmēšanas valoda.

Analītiskus modeļus var uzrakstīt analītisko izteiksmju veidā, t.i. izteiksmju veidā, kas satur saskaitāmu skaitu aritmētisko darbību un pāreju uz limitu, piemēram:. Algebriskā izteiksme ir īpašs analītiskās izteiksmes gadījums, kā rezultātā tā nodrošina precīzu nozīmi. Ir arī konstrukcijas, kas ļauj ar noteiktu precizitāti atrast iegūto vērtību (piemēram, elementāras funkcijas izvēršana pakāpju rindā). Modeļus, kas izmanto šo paņēmienu, sauc par aptuveniem.

Savukārt analītiskie modeļi tiek sadalīti teorētiskā un empīriskā modeļiem. Teorētiskie modeļi atspoguļo reālās struktūras un procesus pētāmajos objektos, tas ir, tie ir balstīti uz viņu darba teoriju. Empīriskie modeļi tiek veidoti, pamatojoties uz objekta reakciju uz vides apstākļu izmaiņām pētīšanu. Šajā gadījumā objekta darbības teorija netiek aplūkota, objekts pats par sevi ir tā sauktā "melnā kaste", un modelis ir noteikta interpolācijas atkarība. Empīriskus modeļus var izveidot no eksperimentāliem datiem. Šie dati tiek iegūti tieši uz pētāmajiem objektiem vai ar to fizisko modeļu palīdzību.

Ja procesu nevar aprakstīt analītiskā modeļa veidā, to apraksta, izmantojot īpašu algoritmu vai programmu. Šis modelis ir algoritmisks. Veidojot algoritmiskos modeļus, tiek izmantotas skaitliskās vai simulācijas pieejas. Skaitliskajā pieejā matemātisko attiecību kopa tiek aizstāta ar ierobežotu dimensiju analogu (piemēram, pāreja no nepārtraukta argumenta funkcijas uz diskrēta argumenta funkciju). Pēc tam tiek konstruēts skaitļošanas algoritms, t.i. aritmētisko un loģisko darbību secības. Atrastais diskrētā analoga risinājums tiek pieņemts kā aptuvens sākotnējās problēmas risinājums. Simulācijas pieejā tiek diskretizēts pats modelēšanas objekts un tiek veidoti atsevišķu sistēmas elementu modeļi.

2. Pēc matemātisko modeļu prezentācijas formas izšķir:

1) Invariants modelis ir matemātisks modelis, kas tiek attēlots ar vienādojumu sistēmu (diferenciālo, algebrisko), neņemot vērā šo vienādojumu risināšanas metodes.

2) Algebriskais modelis - modeļu attiecība ir saistīta ar izvēlēto skaitliskā risinājuma metodi un uzrakstīta algoritma veidā (aprēķinu secība).

3) Analītiskais modelis - ir nepārprotama vēlamo mainīgo lielumu atkarība no dotajām vērtībām. Šādi modeļi tiek iegūti, pamatojoties uz fizikāliem likumiem vai tiešas sākotnējo diferenciālvienādojumu integrācijas rezultātā, izmantojot tabulu integrāļus. Tie ietver arī regresijas modeļus, kas iegūti, pamatojoties uz eksperimentālajiem rezultātiem.

4) Grafiskais modelis ir attēlots grafiku, ekvivalentu shēmu, diagrammu un tamlīdzīgā veidā. Lai izmantotu grafiskos modeļus, ir jābūt grafikas elementu nosacīto attēlu un invariantā matemātiskā modeļa komponentu nepārprotamas atbilstības noteikumam.

3. Atkarībā no efektivitātes kritērija veida un noteiktajiem ierobežojumiem modeļi tiek iedalīti sīkāk lineāra un nelineāra. Lineārajos modeļos efektivitātes kritērijs un noteiktie ierobežojumi ir modeļa mainīgo lineāras funkcijas (pretējā gadījumā nelineārie modeļi). Pieņēmums par efektivitātes kritērija lineāro atkarību un modeļa mainīgajiem uzlikto ierobežojumu kopumu ir praktiski pieņemams. Tas dod iespēju lēmumu pieņemšanai izmantot labi attīstītu lineāro programmēšanas aparātu.

4. Ņemot vērā laika faktoru un izmantošanas jomu, tie atšķiras statiskie un dinamiskie modeļi... Ja visi modelī iekļautie lielumi nav atkarīgi no laika, tad mums ir objekta vai procesa statisks modelis (vienreizēja informācijas šķēle par objektu). Tie. statiskais modelis ir modelis, kurā laiks nav mainīgs lielums. Dinamiskais modelis ļauj redzēt objekta izmaiņas laika gaitā.

5. Atkarībā no pušu skaita, kas pieņem lēmumu, ir divu veidu matemātiskie modeļi: aprakstošs un normatīvs... Aprakstošajā modelī nav lēmumu pieņēmēju. Formāli šādu pušu skaits aprakstošajā modelī ir nulle. Tipisks šādu modeļu piemērs ir rindu sistēmas modelis. Aprakstojošo modeļu veidošanai var izmantot arī ticamības teoriju, grafu teoriju, varbūtību teoriju, statistiskās pārbaudes metodi (Monte Carlo metodi).

Normatīvajam modelim ir daudz aspektu. Principā var izdalīt divu veidu normatīvos modeļus: optimizācijas modeļus un spēļu teorētiskos modeļus. Optimizācijas modeļos galvenais risinājumu izstrādes uzdevums ir tehniski reducēts līdz stingrai efektivitātes kritērija maksimizēšanai vai minimizēšanai, t.i. tiek noteiktas tādas kontrolēto mainīgo vērtības, pie kurām efektivitātes kritērijs sasniedz galējo vērtību (maksimumu vai minimumu).

Optimizācijas modeļu attēloto risinājumu izstrādei līdzās klasiskajām un jaunajām variāciju metodēm (ekstrēmuma meklēšana) visplašāk tiek izmantotas matemātiskās programmēšanas metodes (lineārā, nelineārā, dinamiskā). Spēles teorētisko modeli raksturo pušu skaita daudzveidība (vismaz divas). Ja ir divas partijas ar pretējām interesēm, tad tiek izmantota spēļu teorija, ja partiju skaits ir lielāks par divām un starp tām nav iespējamas koalīcijas un kompromisi, tad tiek izmantota bezkoalīcijas spēļu teorija. n personām.

6. Atkarībā no nejaušu (vai nenoteiktu) faktoru esamības vai neesamības pastāv deterministisks un stohastisks matemātiskie modeļi. Deterministiskajos modeļos visas attiecības, mainīgie un konstantes ir precīzi norādītas, kas noved pie rezultējošās funkcijas nepārprotamas definīcijas. Deterministiskais modelis tiek konstruēts gadījumos, kad darbības rezultātu ietekmējošie faktori ļauj pietiekami precīzi mērīt vai novērtēt, un nejaušības faktoru vai nu nav, vai arī tos var atstāt novārtā.

Ja daži vai visi modelī iekļautie parametri pēc savas būtības ir nejauši mainīgie vai gadījuma funkcijas, tad modelis pieder pie stohastisko modeļu klases. Stohastiskajos modeļos tiek noteikti nejaušo mainīgo sadalījuma likumi, kas noved pie iegūtās funkcijas varbūtības novērtējuma un realitāte tiek parādīta kā noteikts nejaušs process, kura gaitu un iznākumu apraksta ar noteiktiem gadījuma lielumu raksturlielumiem: matemātiskās gaidas. , dispersijas, sadalījuma funkcijas utt. Šāda modeļa konstruēšana ir iespējama, ja ir pietiekami daudz faktu materiāla, lai novērtētu nepieciešamos varbūtību sadalījumus vai ja aplūkojamās parādības teorija ļauj šos sadalījumus noteikt teorētiski (balstoties uz varbūtības teorijas formulām, robežteorēmām u.c. .).

7. Atkarībā no modelēšanas mērķiem ir aprakstošs, optimizācija un pārvaldība modeļiem. Aprakstošajos (no latīņu valodas descriptio - apraksts) modeļos tiek pētīti modeļa parametru maiņas likumi. Piemēram, materiāla punkta kustības modelis pielietoto spēku ietekmē, pamatojoties uz Ņūtona otro likumu:. Norādot punkta stāvokli un paātrinājumu noteiktā laika momentā (ievades parametri), masu (iekšējais parametrs) un pielikto spēku (ārējās ietekmes) variācijas likumu, ir iespējams noteikt punkta koordinātas un ātrums jebkurā laika brīdī (izejas dati).

Optimizācijas modeļus izmanto, lai noteiktu labāko (optimālo), pamatojoties uz noteiktu kritēriju, simulējamā objekta parametrus vai šī objekta vadības metodes. Optimizācijas modeļi tiek veidoti, izmantojot vienu vai vairākus aprakstošos modeļus, un tiem ir vairāki kritēriji optimāluma noteikšanai. Ievades parametru vērtību diapazonam var tikt noteikti ierobežojumi vienādību vai nevienlīdzību veidā, kas saistīti ar aplūkojamā objekta vai procesa iezīmēm. Optimizācijas modeļa piemērs ir pārtikas devas apkopošana noteiktā diētā (kā ievades dati darbojas produkta kaloriju saturs, izmaksu cenas utt.).

Vadības modeļi tiek izmantoti lēmumu pieņemšanai dažādās mērķtiecīgas cilvēka darbības jomās, kad no visa alternatīvu kopuma tiek izvēlētas vairākas alternatīvas un kopējais lēmumu pieņemšanas process ir šādu alternatīvu secība. Piemēram, referāta izvēle paaugstināšanai no vairākiem, ko sagatavojuši studenti. Problēmas sarežģītība slēpjas gan nenoteiktībā par ievaddatiem (atskaite sagatavota patstāvīgi vai izmantots kāda cita darbs), gan mērķos (darba zinātniskais raksturs un tā struktūra, prezentācijas līmenis un apmācības līmenis). students, eksperimenta rezultāti un iegūtie secinājumi). Tā kā vienā un tajā pašā situācijā pieņemtā lēmuma optimālums var tikt interpretēts dažādi, tad optimāluma kritērija forma vadības modeļos nav iepriekš noteikta. Optimalitātes kritēriju veidošanas metodes atkarībā no nenoteiktības veida tiek aplūkotas izvēles un lēmumu pieņemšanas teorijā, balstoties uz spēļu teoriju un operāciju pētījumiem.

8.Atšķirt pēc pētījuma metodes analītiskā, skaitliskā un simulācija modeļiem. Analītiskais modelis ir formalizēts sistēmas apraksts, kas ļauj iegūt skaidru vienādojuma risinājumu, izmantojot labi zināmu matemātisko aparātu. Skaitlisko modeli raksturo atkarība, kas pieļauj tikai daļējus skaitliskus risinājumus konkrētiem modeļa sākuma nosacījumiem un kvantitatīviem parametriem. Simulācijas modelis ir sistēmas un ārējo ietekmju aprakstu kopums, sistēmas funkcionēšanas algoritmi vai sistēmas stāvokļa maiņas noteikumi ārējo un iekšējo traucējumu ietekmē. Šie algoritmi un noteikumi nedod iespēju izmantot pieejamās analītiskā un skaitliskā risinājuma matemātiskās metodes, bet ļauj simulēt sistēmas funkcionēšanas procesu un fiksēt interesējošos raksturlielumus. Tālāk tiks sīkāk aplūkoti daži analītiskie un simulācijas modeļi, šo modeļu izpēte ir saistīta ar studentu profesionālās darbības specifiku norādītajā apmācības virzienā.

1.4. Matemātisko modeļu grafiskais attēlojums

Matemātikā lielumu savienojuma formas var attēlot ar neatkarīga mainīgā (argumenta) formas vienādojumiem, y- atkarīgais mainīgais (funkcija). Matemātiskās modelēšanas teorijā neatkarīgo mainīgo sauc par faktoru, bet atkarīgo mainīgo sauc par reakciju. Turklāt atkarībā no matemātiskā modeļa konstruēšanas jomas terminoloģija tiek nedaudz mainīta. Daži faktora un reakcijas definīciju piemēri atkarībā no studiju jomas ir parādīti 1. tabulā.

1. tabula. Dažas jēdzienu "faktors" un "atbilde" definīcijas

Grafiski attēlojot matemātisko modeli, faktorus un atbildes uzskatīsim par mainīgajiem, kuru vērtības pieder reālo skaitļu kopai.

Matemātiskā modeļa grafiskais attēlojums ir kāda reakcijas virsma, kas atbilst punktu izvietojumam in k- dimensiju faktora telpa X... Var vizualizēt tikai viendimensijas un divdimensiju atbildes virsmas. Pirmajā gadījumā šī ir punktu kopa reālā plaknē, bet otrajā - punktu kopa, kas veido virsmu telpā (lai attēlotu šādus punktus, ir ērti izmantot līmeņa līnijas - veids, kā parādīt divdimensiju faktoru telpā uzbūvētas telpas virsmas reljefs X(8. att.).

Tiek izsaukta zona, kurā ir noteikta reakcijas virsma definīcijas domēns X *.Šī platība, kā likums, ir tikai daļa no kopējās faktoru telpas. X(X*Ì X) un tiek piešķirts, izmantojot ierobežojumus, kas noteikti kontroles mainīgajiem x i rakstīts kā vienādības:

x i = C i , i = 1,…, m;

f j(x) = C j, j = 1,…, l

vai nevienlīdzības:

x i min £ x i£ x i maks., i= 1,…, k;

f j(x) £ C j, j = 1,…, n,

Šajā gadījumā funkcijas f j(x) var būt atkarīgi gan vienlaikus no visiem mainīgajiem, gan no kādas to daļas.

Nevienlīdzību veida ierobežojumi raksturo vai nu fiziskus ierobežojumus pētāmā objekta procesiem (piemēram, temperatūras ierobežojumi), vai tehniskus ierobežojumus, kas saistīti ar objekta darbības apstākļiem (piemēram, maksimālais griešanas ātrums, izejvielu rezervju ierobežojumi ).

Modeļu izpētes iespējas būtībā ir atkarīgas no reakcijas virsmas īpašībām (reljefa), jo īpaši no uz tās pieejamo “virsotņu” skaita un kontrasta. Virsotņu (ieleju) skaits nosaka modalitāte atbildes virsmas. Ja definīcijas apgabalā uz atbildes virsmas ir viena virsotne (ieleja), modelis tiek izsaukts unimodāls.

Funkciju maiņas raksturs šajā gadījumā var būt dažāds (9. att.).

Modelim var būt pirmā veida pārtraukuma punkti (9. att. (a)), otrā veida pārtraukuma punkti (9. att. (b)). 9. (c) attēlā parādīts nepārtraukti diferencējams unimodāls modelis.

Visos trijos gadījumos, kas parādīti 9. attēlā, ir izpildīta vispārējā vienmodalitātes prasība:

ja W (x *) ir W ekstremitāte, tad no nosacījuma x 1< x 2 < x* (x 1 >x 2> x *) seko W (x 1)< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W (x 2)> W (x *), ja ekstrēmums ir minimums, tas ir, palielinoties attālumam no ekstremālā punkta, funkcijas W (x) vērtība nepārtraukti samazinās (palielinās).

Līdzās unimodālajiem modeļiem aplūkoti polimodālie modeļi (10. att.).

Vēl viena svarīga reakcijas virsmas īpašība ir tās kontrasts, kas parāda iegūtās funkcijas jutīgumu pret faktoru izmaiņām. Kontrastu raksturo atvasinājumu vērtības. Demonstrēsim kontrasta raksturlielumus, izmantojot divdimensiju reakcijas virsmas piemēru (11. att.).

Punkts a atrodas uz "nogāzes", kas raksturo vienādu kontrastu visiem mainīgajiem x i (i= 1,2), punkts b atrodas "gravā", kurā dažādiem mainīgajiem ir atšķirīgs kontrasts (mums ir slikta funkcijas nosacītība), punkts Ar atrodas uz "plato", kur kontrasts visiem mainīgajiem ir zems x i norāda uz ekstremitātes tuvumu.

1.5. Matemātisko modeļu konstruēšanas pamatmetodes

Sniegsim modelēto sistēmu formalizētās reprezentācijas metožu klasifikāciju Volkova V.N. un Denisova A.A. Pamatterminoloģija, teoriju piemēri, kas tiek izstrādātas, pamatojoties uz aprakstītajām metožu klasēm, kā arī to pielietojuma apjoms un iespējas ir piedāvāti 1. pielikumā.

Sistēmu modelēšanas praksē visplašāk tiek izmantotas analītiskās un statistikas metodes.

1) Analītiskās metodes matemātisko modeļu konstruēšanai.

Matemātisko modeļu konstruēšanas analītisko metožu terminoloģiskā aparāta pamatā ir klasiskās matemātikas jēdzieni (formula, funkcija, vienādojums un vienādojumu sistēma, nevienlīdzība, atvasinājums, integrālis utt.). Šīs metodes raksturo terminoloģijas skaidrība un derīgums, izmantojot klasiskās matemātikas valodu.

Balstoties uz analītiskām koncepcijām, ir radušās un attīstījušās tādas matemātiskās teorijas kā klasiskā matemātiskā analīze (piemēram, funkciju izpētes metodes), mūsdienu matemātiskās programmēšanas un spēļu teorijas pamati. Turklāt matemātiskā programmēšana (lineārā, nelineārā, dinamiskā, veselā skaitļa utt.) satur gan problēmas iestatīšanas līdzekļus, gan paplašina modeļa adekvātuma pierādīšanas iespējas, atšķirībā no vairākām citām matemātikas jomām. Idejas par optimālu matemātisku programmēšanu ekonomisko (jo īpaši, saplākšņa loksnes optimālas griešanas problēmas) problēmu risināšanai piedāvāja L.V. Kantorovičs.

Ļaujiet mums izskaidrot metodes iezīmes, izmantojot piemēru.

Piemērs. Pieņemsim, ka divu veidu produktu ražošanai A un V jums ir jāizmanto trīs veidu izejvielas. Tajā pašā laikā šāda veida ražošanas vienības ražošanai A Tiek patērētas 4 vienības. pirmā tipa izejvielas, 2 gab. 2. un 3. vienība 3. veids. Šāda veida ražošanas vienības ražošanai V Tiek patērētas 2 vienības. 1. tipa izejvielas, 5 gab. 2. veids un 4 vienības. 3. izejvielu veids. Rūpnīcas noliktavā ir 35 vienības. 1. veida izejvielas, 43 - 2., 40 - 3. veida izejvielas. No veida produkcijas vienības pārdošanas A rūpnīcas peļņa ir 5 tūkstoši rubļu, un no produkcijas vienības pārdošanas formas V peļņa ir 9 tūkstoši rubļu. Nepieciešams sastādīt problēmas matemātisku modeli, kas nodrošina maksimālu peļņu.

Katra izejvielu veida patēriņa rādītāji šāda veida izstrādājuma vienības ražošanai ir norādīti tabulā. Tajā norādīta arī peļņa no katra produkcijas veida realizācijas un kopējais uzņēmuma rīcībā esošais šāda veida izejvielu daudzums.

Apzīmēsim ar x 1 un x 2 saražotās produkcijas apjoms A un V attiecīgi. Plāna pirmās pakāpes materiāla izmaksas būs 4x1 + 2x 2, un tie nedrīkst pārsniegt krājumus, t.i. 35 kg:

4x 1 + 2x 2 35.

Ierobežojumi attiecībā uz otrās klases materiāliem ir līdzīgi:

2x 1 + 5x 2 43,

un par trešās klases materiālu

3x 1 + 4x 2 40.

Peļņa no pārdošanas x 1 ražošanas vienības A un x 2 ražošanas vienības B būs z = 5x 1+ 9x 2(objektīva funkcija).

Mēs saņēmām problēmas modeli:

Grafisks problēmas risinājums ir parādīts 11. attēlā.

Optimāls (labākais, t.i., funkcijas maksimums z) uzdevuma risinājums atrodas punktā A (risinājums izskaidrots 5. nodaļā).

Sapratu x 1=4,x 2= 7, funkcijas vērtība z punktā A:.

Tādējādi maksimālās peļņas vērtība ir 83 tūkstoši rubļu.

Papildus grafiskajai problēmas risināšanai ir arī vairākas īpašas metodes (piemēram, simpleksā metode) vai tiek izmantotas lietotās programmatūras pakotnes, kas tās realizē. Atkarībā no mērķa funkcijas veida izšķir lineāro un nelineāro programmēšanu, atkarībā no mainīgo rakstura izšķir veselo skaitļu programmēšanu.

Matemātiskās programmēšanas vispārīgās iezīmes var atšķirt:

1) mērķa funkcijas jēdziena ieviešana un ierobežojumi ir līdzekļi problēmas noteikšanai;

2) vienā modelī iespējams apvienot atšķirīgus kritērijus (dažādas dimensijas, piemērā - izejvielu krājumi un peļņa);

3) matemātiskās programmēšanas modelis ļauj pāriet uz mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazona robežu;

4) iespēja realizēt soli pa solim algoritmu rezultātu iegūšanai (soli pa solim tuvināšana optimālajam risinājumam);

5) skaidrība, kas panākta ar problēmas ģeometrisko interpretāciju, kas palīdz gadījumos, kad problēmu formāli atrisināt nav iespējams.

2) Statistiskās metodes matemātisko modeļu konstruēšanai.

Statistikas metodes matemātisko modeļu konstruēšanai kļuva plaši izplatītas un sāka plaši izmantot, attīstoties varbūtību teorijai 19. gadsimtā. Tie ir balstīti uz nejaušu (stohastisko) notikumu varbūtības likumiem, atspoguļojot reālas parādības. Termins "stohastisks" ir jēdziena "nejaušs" skaidrojums, norāda uz iepriekš noteiktiem, noteiktiem iemesliem, kas ietekmē procesu, un jēdzienu "nejaušs" raksturo neatkarība no šādu iemeslu ietekmes vai neesamības.

Statistikas modeļi tiek parādīti diskrētu gadījuma lielumu un to vērtību parādīšanās modeļu veidā vai nepārtrauktu notikumu (procesu) sadalījuma atkarību veidā. Stohastisko modeļu veidošanas teorētiskie pamati ir detalizēti aprakstīti 2. nodaļā.

Kontroles jautājumi

1. Formulējiet matemātiskās modelēšanas galveno problēmu.

2. Sniedziet matemātiskā modeļa definīciju.

3. Uzskaitiet galvenos eksperimentālās pieejas trūkumus pētījumā.

4. Uzskaitiet modeļa veidošanas galvenos posmus.

5. Uzskaitiet matemātisko modeļu veidus.

6. Sniedziet īsu modeļu veidu aprakstu.

7. Kādu formu iegūst matemātiskais modelis, ja to attēlo ģeometriski?

8. Kā tiek noteikti analītiskā tipa matemātiskie modeļi?

Uzdevumi

1. Izveidojiet matemātisko modeli problēmas risināšanai un klasificējiet modeli:

1) Noteikt maksimālo tilpumu cilindriskam kausam, kura virsma (bez vāka) ir S.

2) Uzņēmums nodrošina regulāru ražošanu ar bez traucējumiem komponenšu piegādi no diviem apakšuzņēmējiem. Piegādes atteikuma varbūtība no pirmā apakšuzņēmēja -, no otrā -. Atrodiet uzņēmuma neveiksmes iespējamību.

2. Malthus modelis (1798) apraksta populācijas vairošanos ar ātrumu, kas ir proporcionāls tās lielumam. Diskrētā formā šis likums ir ģeometriskā progresija:; vai likums, kas uzrakstīts diferenciālvienādojuma veidā, ir eksponenciālas populācijas pieauguma modelis un labi apraksta šūnu populāciju pieaugumu, ja nav nekādu ierobežojumu:. Iestatiet sākotnējos nosacījumus un parādiet, kā modelis darbojas.

Sākotnējā informācija sistēmu funkcionēšanas procesu MM konstruēšanā ir dati par pētāmās (projektējamās) sistēmas S mērķi un darbības apstākļiem. Šī informācija nosaka modelēšanas galveno mērķi, prasības MM, abstrakcijas līmeni. , un matemātiskās modelēšanas shēmas izvēle.

Koncepcija matemātiskā shēmaļauj uzskatīt matemātiku nevis par aprēķina metodi, bet gan par domāšanas metodi, jēdzienu formulēšanas līdzekli, kas ir vissvarīgākais pārejā no verbāla apraksta uz formalizētu tā funkcionēšanas procesa attēlojumu. daži MM.

Lietojot paklājiņu. shēma, pirmkārt, sistēmas pētnieku vajadzētu interesēt jautājums par displeja piemērotību konkrētu reālo procesu shēmu veidā pētāmajā sistēmā, nevis iespēja iegūt atbildi (risinājuma rezultāts) uz konkrētu pētījuma jautājumu.

Piemēram, kolektīvai lietošanai paredzētas ICS darbības procesa attēlojums rindu shēmu tīkla veidā ļauj labi aprakstīt sistēmā notiekošos procesus, bet ar sarežģītiem ienākošo plūsmu un pakalpojumu plūsmu likumiem neļauj iegūt rezultātus skaidrā veidā.

Matemātiskā shēma var definēt kā saikni pārejā no jēgpilna uz formalizētu sistēmas funkcionēšanas procesa aprakstu, ņemot vērā ārējās vides ietekmi. Tie. ir ķēde: aprakstošais modelis - matemātiskā shēma - simulācijas modelis.

Katru konkrēto sistēmu S raksturo īpašību kopums, kas tiek saprasts kā vērtības, kas atspoguļo modelētā objekta (reālās sistēmas) uzvedību un tā funkcionēšanas apstākļus mijiedarbībā ar ārējo vidi (sistēmu) E.

Konstruējot sistēmas S MM, ir jāatrisina jautājums par tā pilnīgumu. Modelēšanas pilnīgumu regulē galvenokārt robežu izvēle "Sistēma S - vide E". Tāpat jāatrisina MM vienkāršošanas problēma, kas palīdz izcelt sistēmas galvenās īpašības, atmetot modelēšanas sekundāros mērķus.

Simulācijas objekta MM, t.i. Sistēmas S var attēlot kā lielumu kopu, kas apraksta reālas sistēmas funkcionēšanas procesu un vispārīgā gadījumā veido šādas apakškopas:

X - ieejas ietekmes kopa uz Sх i Х, i = 1… n x;

Ārējās vides ietekmju kopums v l V, l = 1… n v;

Sistēmas iekšējo (iekšējo) parametru kopa h k H, k = 1… n h;

Sistēmas y j Y, j = 1… n y izejas raksturlielumu kopa.

Uzskaitītajos komplektos var atšķirt kontrolētos un nekontrolētos daudzumus. Kopumā X, V, H, Y ir nesavienotas kopas, kas satur gan deterministiskus, gan stohastiskus komponentus. Ievades darbības E un iekšējie parametri S ir neatkarīgi (eksogēni) mainīgie.Izvades raksturlielumi - atkarīgie mainīgie (endogēnie)... Darbības procesu S apraksta operators F S:

(1)

Izvades trajektorija.F S - funkcionēšanas likums S.F S var būt funkcija, funkcionālie, loģiskie nosacījumi, algoritms, tabula vai noteikumu verbāls apraksts.

Darbības algoritms A S - metode izejas raksturlielumu iegūšanai, ņemot vērā ievades ietekmi Acīmredzot vienu un to pašu FS var realizēt dažādos veidos, t.i. izmantojot daudz dažādu A S.

Saistība (1) ir matemātisks apraksts par objekta S modelēšanas uzvedību laikā t, t.i. atspoguļo to dinamiskās īpašības... (1) ir sistēmas S dinamisks modelis. Statiskajiem apstākļiem MM ir kartējumi X, V, H uz Y, t.i. (2)

Attiecības (1), (2) var norādīt ar formulām, tabulām utt.

Arī attiecības dažos gadījumos var iegūt, izmantojot sistēmas īpašības noteiktos laika punktos, ko sauc par stāvokļiem.

Sistēmas S stāvokļus raksturo vektori:

un , kur uz doto brīdi t l  (t 0, T)

laikā t ll  (t 0, T) utt. k = 1 ... n Z.

Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) ir punkta koordinātas k-dimensiju fāzes telpā. Katra procesa realizācija atbildīs noteiktai fāzes trajektorijai.

Visu iespējamo stāvokļu vērtību kopu () sauc par modelēšanas objekta stāvokļa telpu Z un z k Z.

Sistēmas stāvoklis S laika intervālā t 0 , kur ievade, iekšējie parametri un ārējās vides ietekme, kas notika laika intervālā t * - t 0, izmantojot 2 vektoru vienādojumus:

; (3)

citādi: . (5)

Laiks mod. S simulācijas intervālā (t 0, T) var uzskatīt gan par nepārtrauktu, gan diskrētu, t.i. kvantēts uz segmenta garuma t.

Tādējādi ar objekta MM mēs domājam ierobežotu mainīgo kopu () kopā ar matemātisko savienojumu starp tiem un raksturlielumiem.

Modelēšanu sauc par deterministisko, ja operatori F, Ф ir deterministiski, t.i. konkrētai ievadei izvade ir deterministiska. Deterministiskā modelēšana ir īpašs stohastiskās modelēšanas gadījums. Praksē objektu modelēšanai sistēmu analīzes jomā pētījuma primārajos posmos racionālāk ir izmantot standarta matemātiskās shēmas: dif. vienādojumi, galīgie un varbūtības automāti, QS utt.

Nav apsēsts. tāda vispārīguma pakāpe kā modeļi (3), (4), tipiski matemātiskās shēmas priekšrocība ir vienkāršība un skaidrība, bet ar ievērojamu pielietojuma jomas sašaurināšanos.

Kā deterministisks modeļiem, kad pētījumā netiek ņemts vērā nejaušs fakts, nepārtrauktā laikā strādājošu sistēmu attēlošanai tiek izmantoti diferenciāļi, integrāļi un citi vienādojumi, bet diskrētā laikā strādājošu sistēmu attēlošanai tiek izmantoti galīgie automāti un galīgo starpību shēmas.

Stohastisko modeļu sākumā (ņemot vērā nejaušības koeficientu) sistēmas ar diskrētu laiku attēlošanai tiek izmantoti varbūtības automāti, bet nepārtraukta laika sistēmas attēlošanai tiek izmantotas rindas sistēmas (QS). Tā sauktais agregāts modeļiem.

Apkopotie modeļi (sistēmas) ļauj aprakstīt plašu pētījumu objektu klāstu, atspoguļojot šo objektu sistēmisko raksturu. Tieši ar apkopotu aprakstu sarežģīts objekts tiek sadalīts ierobežotā skaitā daļās (apakšsistēmās), vienlaikus saglabājot savienojumus, nodrošinot daļu mijiedarbību.

16 Sistēmu modelēšanas matemātiskās shēmas.

Galvenās pieejas sistēmas matemātisko modeļu konstruēšanā. Nepārtraukti determinēti modeļi. Diskrēti-deterministiskie modeļi. Diskrēti stohastiskie modeļi. Nepārtrauktie stohastiskie modeļi. Tīkla modeļi. Kombinētie modeļi.

Galvenās pieejas sistēmas matemātisko modeļu konstruēšanā.

Sākotnējā informācija sistēmu funkcionēšanas procesu matemātisko modeļu konstruēšanā ir dati par pētāmās (projektētās) sistēmas mērķi un darbības apstākļiem. S.

Matemātiskās shēmas

Reālie procesi tiek parādīti konkrētu diagrammu veidā. Paklājs. shēmas - pāreja no jēgpilna apraksta uz formālu sistēmas aprakstu, ņemot vērā vides ietekmi.

Formālais objekta modelis

Simulācijas objekta modelis,

i., sistēmas S, var attēlot kā daudzumu kopu,

aprakstot reālas sistēmas funkcionēšanas un ģenerēšanas procesu

kopumā šādas apakškopas:

Agregāts ievades darbības katrai sistēmai

Xi, bijušais, (e- raksturs pieder)i=1; nx

Agregāts vides ietekmes

vl eVl = 1; nv

Agregāts iekšējie (pašie) parametri sistēmas

hkeHk = 1; nh

Agregāts izejas raksturlielumi sistēmas

yJeYj = 1; ny

Varat atšķirt pārvaldītos un nepārvaldītos mainīgos.

Modelējot sistēmas, ievades ietekmes, vides ietekmes un iekšējie parametri satur gan deterministiskus, gan stohastiskus komponentus.

ievades ietekmes, vides ietekmes E un sistēmas iekšējie parametri ir neatkarīgi (eksogēni) mainīgie.

Sistēmas darbības process S operatora laicīgi aprakstījis Fs, kas vispārīgā gadījumā pārveido eksogēnos mainīgos par endogēniem atbilstoši formas attiecībām:

y(t) = Fs (x, v, h, t) — visi ar vektori.

Sistēmas funkcionēšanas likumu Fs var norādīt funkcijas, funkcionālo, loģisko nosacījumu veidā, algoritmiskās un tabulas formās vai verbālās atbilstības noteikuma veidā.

Darbojošā algoritma As jēdziens - metode izvades raksturlielumu iegūšanai, ņemot vērā ievades darbības, ārējās vides ietekmi un sistēmas iekšējos parametrus.

Tiek ieviesti arī sistēmas stāvokļi - sistēmas īpašības konkrētos laika punktos.

Visu iespējamo stāvokļu vērtību kopums veido objekta stāvokļa telpu.

Tādējādi objekta "ievade - stāvokļi - izvade" vienādojumu ķēde ļauj noteikt sistēmas raksturlielumus:

Tādējādi zem objekta matemātiskais modelis(reālā sistēma) saprot ierobežotu mainīgo apakškopu (x (t), v (t), h(t)) kopā ar matemātiskām attiecībām starp tām un raksturlielumiem y (t).

Tipiskas shēmas

Pētījuma sākumposmā tiek izmantotas standarta shēmas. : diferenciālvienādojumi, galīgie un varbūtības automāti, rindu sistēmas, Petri tīkli u.c.

Diferenciālie, integrālie, integro-diferenciālie un citi vienādojumi tiek izmantoti, lai attēlotu sistēmas, kas darbojas nepārtrauktā laikā kā deterministiskus modeļus, kad pētījumā netiek ņemti vērā nejaušības faktori, un tiek izmantoti galīgie automāti un galīgo atšķirību shēmas, lai attēlotu sistēmas, kas darbojas diskrēts laiks....

Varbūtības automāti tiek izmantoti kā stohastiskie modeļi (ņemot vērā nejaušības faktorus), lai attēlotu sistēmas ar diskrētu laiku, un rindas sistēmas tiek izmantotas, lai attēlotu sistēmas ar nepārtrauktu laiku utt.

Tādējādi, konstruējot sistēmu funkcionēšanas procesu matemātiskos modeļus, var izdalīt šādas galvenās pieejas: nepārtraukti-deterministiskā (piemēram, diferenciālvienādojumi); diskrēti-deterministiski (galīgi automāti); diskrētie stohastiskie (varbūtības automāti); nepārtraukti-stohastiskā (rindu sistēmas); vispārinātas vai universālas (agregētas sistēmas).

Nepārtraukti determinēti modeļi

Apskatīsim nepārtraukti deterministiskās pieejas iezīmes, izmantojot piemēru, izmantojot Mat. modeļiem diferenciālvienādojumi.

Diferenciālvienādojumi ir vienādojumi, kuros viena mainīgā vai vairāku mainīgo funkcijas nav zināmas, un vienādojumā ir iekļautas ne tikai to funkcijas, bet arī dažādu secību atvasinājumi.

Ja nezināmie ir vairāku mainīgo funkcijas, tad vienādojumus sauc - daļējie diferenciālvienādojumi. Ja viena neatkarīga mainīgā nezināmas funkcijas, tad parastie diferenciālvienādojumi.

Vispārējās matemātiskās attiecības deterministiskām sistēmām:

Diskrēti-deterministiskie modeļi.

DDM tiek pārskatīti automātu teorija (TA)... TA ir teorētiskās kibernētikas sadaļa, kas pēta ierīces, kas apstrādā diskrētu informāciju un maina to iekšējos stāvokļus tikai pieņemamā laikā.

Valsts mašīna sauc par automātu, kurā iekšējo stāvokļu un ieejas signālu kopa (un līdz ar to arī izejas signālu kopa) ir galīgas kopas.

Galīgā stāvokļa mašīna ir daudz iekšējo stāvokļu un ieejas signālu, kas ir ierobežotas kopas. Mašīna ko dod F-shēma: F = ,

kur z, x, y ir attiecīgi ierobežotas ieejas un izejas signālu kopas (alfabēts) un ierobežotas iekšējo stāvokļu kopas (alfabēts). z0ÎZ - sākuma stāvoklis; j (z, x) - pārejas funkcija; y (z, x) - izejas funkcija.

Automāts darbojas diskrētā automāta laikā, kura momenti ir cikli, tas ir, blakus viens otram vienādi laika intervāli, no kuriem katrs atbilst ieejas, izejas signāla un iekšējā stāvokļa nemainīgām vērtībām. Abstraktam automātam ir viens ieejas un viens izejas kanāls.

Lai definētu F - automātu, ir jāapraksta visi kopas F = elementi , t.i., ievades, iekšējās un izvades alfabēts, kā arī pārejas un izvades funkcijas. Lai iestatītu F - automātu darbu, visbiežāk tiek izmantotas tabulas, grafiskās un matricas metodes.

Tabulas iestatīšanas veidā tiek izmantotas pārejas un izejas tabulas, kuru rindas atbilst automāta ieejas signāliem, bet kolonnas - tā stāvokļiem.

Darba Apraksts F- Miles ložmetējs pāreju j un izeju y tabulas ilustrē tabula (1), bet F - Mūra automāta - aprakstu ilustrē pāreju tabula (2).

1. tabula

Pārejas
…………………………………………………………
…………………………………………………………

2. tabula

…………………………………………………………

Tabulas piemēri, kā norādīt F - Mīla automātu F1 ar trīs stāvokļiem, diviem ieejas un diviem izejas signāliem, ir sniegti 3. tabulā, bet F - Mūra automātam F2 - 4. tabulā.

3. tabula

Pārejas

4. tabula

Vēl viens veids, kā definēt ierobežotu stāvokļu mašīnu, izmanto virzīta grafa jēdzienu. Automāta grafs ir virsotņu kopa, kas atbilst dažādiem automāta stāvokļiem un savieno grafa loku virsotnes, kas atbilst noteiktām automāta pārejām. Ja ieejas signāls xk izraisa pāreju no stāvokļa zi uz stāvokli zj, tad automāta grafikā loku, kas savieno virsotni zi ar virsotni zj, apzīmē ar xk. Lai iestatītu pārejas funkciju, grafikas loki ir jāatzīmē ar atbilstošiem izejas signāliem.

Rīsi. 1. Mealy (a) un Moore (b) automātu grafiki.

Risinot modelēšanas uzdevumus, galīgā stāvokļa mašīnas matricas definīcija bieži ir ērtāka forma. Šajā gadījumā automāta savienojumu matrica ir kvadrātmatrica C = || cij ||, kuras rindas atbilst sākuma stāvokļiem, bet kolonnas - pārejas stāvokļiem.

Piemērs. Iepriekš apskatītajam Mūra automātam F2 mēs rakstām stāvokļa matricu un izvades vektoru:

;

Diskrēti stohastiskie modeļi

Lai Ф ir visu iespējamo formas (zk, yi) pāru kopa, kur уi ir izvades elements

apakškopa Y. Mēs pieprasām, lai jebkurš kopas G elements inducētu

uz komplekta Ф kāds šādas formas sadalījuma likums:

Elementi no Ф (z1, y2) (z1, y2zk, yJ-1) (zK, yJ)

(xi, zs) b11 b1bK (J-1) bKJ

Informācijas tīkli "href =" / text / category / informatcionnie_seti / "rel =" bookmark "> datora informācijas apstrāde no attāliem termināļiem utt.

Tajā pašā laikā, raksturīgi

šādu objektu darbība ir nejauša lietojumprogrammu (prasību) parādīšanās priekš

pakalpojumu un pakalpojuma izbeigšanu nejaušā laikā,

tas ir, to funkcionēšanas procesa stohastiskais raksturs.

QS tiek saprasta kā dinamiska sistēma, kas izstrādāta, lai efektīvi apkalpotu nejaušu lietojumprogrammu plūsmu ar ierobežotiem sistēmas resursiem. QS vispārinātā struktūra ir parādīta 3.1. attēlā.

Rīsi. 3.1. SMO shēma.

Viendabīgās pretenzijas, kas nonāk QS ievadē, tiek iedalītas tipos, atkarībā no ģenerējošā iemesla, i tipa pretenziju plūsmas intensitāte (i = 1 ... M) tiek apzīmēta ar li. Visu veidu lietojumprogrammu kopums ir QS ienākošā plūsma.

Tiek veikta pieteikumu apkalpošana m kanāliem.

Atšķirt universālos un specializētos pakalpojumu kanālus. Universālajam j tipa kanālam uzskata par zināmām patvaļīga tipa pretenziju apkalpošanas ilguma sadales funkcijas Fji (t). Specializētajiem kanāliem noteikta veida pretenziju kanālu apkalpošanas ilguma sadales funkcijas nav noteiktas, šo pretenziju piešķiršana šim kanālam.

Q - ķēdes var izpētīt analītiski un ar simulācijas modeļiem. Pēdējais nodrošina lielisku daudzpusību.

Apskatīsim rindas jēdzienu.

Jebkurā elementārajā apkalpošanas aktā var izdalīt divas galvenās sastāvdaļas: prasības izsniegšanas sagaidīšana un faktiskā prasības apkalpošana. To var attēlot kādas i-tās servisa ierīces Pi formā, kas sastāv no prasību akumulatora, kurā vienlaikus var būt li = 0 ... LiH pretenzijas, kur LiH ir i-tā akumulatora jauda, ​​un prasību apkalpošanas kanāls, ki.

Rīsi. 3.2. TKO ierīces shematiskā diagramma

Katrs apkalpošanas ierīces Pi elements saņem notikumu straumes: pretenziju straumi wi uz akumulatoru Hi un apkalpošanas ui straumi uz kanālu ki.

Pēc notikumu plūsmas(PS) ir notikumu virkne, kas notiek viens pēc otra dažos nejaušos laika momentos. Atšķirt homogēnu un neviendabīgu notikumu plūsmas. Homogēns PS raksturo tikai šo notikumu pienākšanas momenti (izraisošie momenti), un to nosaka secība (tn) = (0 £ t1 £ t2… £ tn £…), kur tn ir n-tās pienākšanas brīdis. notikums - nenegatīvs reālais skaitlis. TSA var norādīt arī kā laika intervālu secību starp n-to un n-1-to notikumu (tn).

Heterogēns PS sauc par secību (tn, fn), kur tn - momentus izraisošs; fn - notikumu atribūtu kopa. Piemēram, to var attiecināt uz vienu vai otru pretenziju avotu, prioritātes esamību, spēju apkalpot viena vai cita veida kanālu utt.

Pretenzijas, ko apkalpo kanāls ki, un pretenzijas, kas serveri Pi dažādu iemeslu dēļ netika apkalpotas, veido izvades straumi yiÎY.

Servisa iekārtas Pi funkcionēšanas procesu var attēlot kā tās elementu stāvokļu maiņas procesu laikā Zi (t). Pāreja uz jaunu Pi stāvokli nozīmē izmaiņas tajā esošo pieprasījumu skaitā (kanālā ki un akumulatorā Hi). Tas. Pi stāvokļu vektoram ir šāda forma:, kur ir piedziņas stāvokļi, (https://pandia.ru/text/78/362/images/image010_20.gif "width = 24 augstums = 28 "height = 28" > = 1 - krātuvē ir viens pieprasījums ..., = - krātuve ir pilnībā aizņemta; - kanāla ki stāvoklis (= 0 - kanāls ir brīvs, = 1 kanāls ir aizņemts).

Reālu objektu Q-diagrammas veidojas no daudzu elementāru apkalpošanas ierīču Pi sastāva. Ja paralēli ir pieslēgtas ki dažādas servisa ierīces, tad ir daudzkanālu pakalpojums (daudzkanālu Q-shēma), un, ja ierīces Pi un to paralēlās kompozīcijas ir savienotas virknē, tad ir daudzfāžu pakalpojums (daudzfāžu Q-shēma).

Lai definētu Q-shēmu, ir jāapraksta arī tās funkcionēšanas algoritmi, kas nosaka pretenziju uzvedības noteikumus dažādās neskaidrās situācijās.

Atkarībā no šādu situāciju rašanās vietas ir algoritmi (disciplīnas) pretenziju gaidīšanai akumulatorā Нi un pretenziju apkalpošanai kanālā ki. Pieteikumu plūsmas neviendabīgums tiek ņemts vērā, ieviešot prioritāšu klasi - relatīvās un absolūtās prioritātes.

Tas. Q shēma, kas apraksta jebkuras sarežģītības QS darbības procesu, ir unikāli definēta kā kopu kopa: Q = .

Tīkla modeļi.

Paralēlu sistēmu un procesu struktūras un mijiedarbības formālam aprakstam, kā arī cēloņu un seku attiecību analīzei sarežģītās sistēmās izmanto Petri Nets, ko sauc par N-shēmām.

Formāli N-shēmu dod formas četrkāršs

N = ,

kur B ir ierobežota simbolu kopa, ko sauc par pozīcijām, B ≠ O;

D ir ierobežota simbolu kopa, ko sauc par pārejām D ≠ O,

B ∩ D ≠ O; I — ievades funkcija (tiešās parādīšanās funkcija)

I: B × D → (0, 1); О - izvades funkcija (apgrieztā biežuma funkcija),

О: B × D → (0, 1). Tādējādi ievades funkcija I kartē pāreju dj uz

ievades pozīciju kopa bj I (dj) un izvades funkcijas O kartes

pāreja dj uz izvades pozīciju kopu bj О (dj). Katrai pārejai

dj https://pandia.ru/text/78/362/images/image013_14.gif "width =" 13 "height =" 13 "> B | I (bi, dj) = 1),

O (dj) = (bi B | O (dj, bi) = 1),

i = 1, n; j = 1, m; n = | B |, m = | D |.

Līdzīgi katrai pozīcijai bi B tiek ieviestas definīcijas

I pozīcijas (bi) ieejas pāreju un izejas pāreju kopa

pozīcija O (bi):

I (bi) = (dj D | I (dj, bi,) = 1),

O (bi) = (dj D | O (bi, dj) = 1).

Petri tīkls ir divpusējs virzīts grafs, kas sastāv no divu veidu virsotnēm - pozīcijām un pārejām, kas savienotas ar lokiem; viena veida virsotnes nevar tieši savienot.

Petri tīkla piemērs. Balti apļi norāda pozīcijas, svītras - pārejas, melni apļi - etiķetes.

Orientācijas loki savieno pozīcijas un pārejas, un katrs loks ir vērsts no vienas kopas elementa (pozīcijas vai pārejas) uz citas kopas elementu.

(pāreja vai pozīcija). N-dizaina grafiks ir multigrāfs, jo tā

atzīst vairāku loku esamību no vienas virsotnes uz otru.

Dekompozīcija "href =" / text / category / dekompozitciya / "rel =" grāmatzīme "> Sarežģītas sistēmas sadalīšana tiek attēlota kā savstarpēji saistītu elementu daudzlīmeņu struktūra, kas apvienota dažādu līmeņu apakšsistēmās.

Agregāts darbojas kā A diagrammas elements, un savienojums starp agregātiem (S sistēmas iekšienē un ar ārējo vidi E) tiek veikts, izmantojot konjugācijas operatoru R.

Jebkuru vienību raksturo šādas kopas: laiki T, ieejas X un izejas Y signāli, stāvokļi Z katrā laika momentā t. Vienības stāvoklis brīdī tT tiek apzīmēts kā z (t) Z,

un ieejas un izejas signālus attiecīgi kā x (t) X un y (t) Y.

Pieņemsim, ka agregāta pāreja no stāvokļa z (t1) uz stāvokli z (t2) ≠ z (t1) notiek īsā laika intervālā, t.i., notiek lēciens δz.

Vienības pārejas no stāvokļa z (t1) uz z (t2) nosaka pašas vienības iekšējie (iekšējie) parametri h (t) H un ieejas signāli x (t) X.

Sākotnējā laika momentā t0 stāvokļiem z ir vērtības, kas vienādas ar z0, ti, z0 = z (t0), ko nosaka procesa z (t) sadalījuma likums laikā t0, proti, J. Pieņemsim, ka process iekārtas funkcionēšanu darbības ievades signāla xn gadījumā apraksta nejaušs operators V. Tad brīdī, kad ieejas signāls pienāk pie bloka tnT

xn jūs varat noteikt stāvokli

z (tn + 0) = V.

Apzīmējam puslaika intervālu t1< t ≤ t2 как (t1, t2], а полуинтервал

t1 ≤ t< t2 как .

Nejaušo operatoru V un U kolekcija tiek uzskatīta par agregāta pāreju uz jauniem stāvokļiem operatoru. Šajā gadījumā vienības funkcionēšanas process sastāv no stāvokļu δz lēcieniem ieejas signālu x ienākšanas brīžos (operators V) un stāvokļu izmaiņām starp šiem momentiem tn un tn + 1 (operators U). Operatoram U netiek uzlikti nekādi ierobežojumi, tāpēc ir pieļaujami stāvokļu δz lēcieni brīžos, kas nav ieejas signālu x ierašanās laiks. Turpmāk lēcienu momenti δz tiks saukti par īpašiem laika momentiem tδ, bet stāvokļi z (tδ) - īpašie A-shēmas stāvokļi. Lai aprakstītu stāvokļu δz lēcienus īpašos laikos tδ, izmantosim nejaušo operatoru W, kas ir operatora U īpašs gadījums, t.i.

z (tδ + 0) = W.

Stāvokļu kopā Z izšķir apakškopu Z (Y) tā, ka, ja z (tδ) sasniedz Z (Y), tad šis stāvoklis ir izejas operatora noteiktais izejas signāla izdošanas brīdis.

y = G.

Tādējādi ar agregātu mēs saprotam jebkuru objektu, ko definē sakārtota aplūkoto kopu T, X, Y, Z, Z (Y), H un nejaušu operatoru V, U, W, G sakārtota kolekcija.

Ieejas signālu secība, kas sakārtota to ienākšanas secībā A-shēmā, tiks saukta par ievades ziņojumu vai x-ziņojumu. Izejas signālu secība, kas sakārtota atkarībā no izdošanas laika, tiks saukta par izejas ziņojumu vai y-ziņojumu.

JA ĪSUMĀ

Nepārtraukti deterministiski modeļi (D-shēmas)

Tos izmanto, lai pētītu sistēmas, kas darbojas nepārtrauktā laikā. Šādu sistēmu aprakstīšanai galvenokārt tiek izmantoti diferenciālvienādojumi, integrālie, integrālie diferenciāļi. Parastos diferenciālvienādojumos tiek aplūkota tikai viena neatkarīga mainīgā funkcija, bet daļējos diferenciālvienādojumos - vairāku mainīgo funkcijas.

Kā piemēru D-modeļu pielietošanai var minēt mehāniskā svārsta vai elektriskās svārstību ķēdes darbības izpēti. D-modeļu tehnisko bāzi veido analogie datori (AVM) vai šobrīd strauji attīstās hibrīddatori (GVM). Kā zināms, datora izpētes pamatprincips ir tāds, ka saskaņā ar dotajiem vienādojumiem pētnieks (AVM lietotājs) saliek ķēdi no atsevišķiem tipiskiem mezgliem - darbības pastiprinātājiem, iekļaujot shēmas mērogošanas, slāpēšanas, tuvināšanas, utt.

ABM struktūra mainās atbilstoši reproducējamo vienādojumu formai.

Digitālajā datorā struktūra paliek nemainīga, bet tā mezglu darbības secība mainās saskaņā ar tajā noteikto programmu. AVM un digitālā datora salīdzinājums skaidri parāda atšķirību starp simulāciju un statistisko modelēšanu.

ABM īsteno simulācijas modeli, bet parasti neizmanto statistiskās modelēšanas principus. Digitālajos datoros lielākā daļa simulācijas modeļu ir balstīti uz nejaušu skaitļu, procesu izpēti, t.i., uz statistisko modelēšanu. Nepārtrauktā-deterministiskie modeļi tiek plaši izmantoti mašīnbūvē automātiskās vadības sistēmu izpētē, slāpēšanas sistēmu izvēlē, rezonanses parādību un svārstību identificēšanā tehnoloģijā.
utt.

Diskrēti-deterministiskie modeļi (F-shēmas)

Darbojas ar diskrētu laiku. Šie modeļi ir pamats mūsdienās ārkārtīgi svarīgas un plaši izplatītas diskrētu automātu sistēmu darbības izpētei. Viņu pētījumam ir izstrādāts neatkarīgs automātu teorijas matemātiskais aparāts. Pamatojoties uz šo teoriju, sistēma tiek uzskatīta par automātu, kas apstrādā diskrētu informāciju un mainās atkarībā no tās apstrādes rezultātiem, tās iekšējiem stāvokļiem.

Šis modelis ir balstīts uz elementu un mezglu skaita samazināšanas principiem ķēdē, ierīcē, visas ierīces optimizācijā un tās mezglu darbības secībā. Līdzās elektroniskajām shēmām šajā modelī aprakstīto mašīnu pārsteidzošs pārstāvis ir robots, kas kontrolē (saskaņā ar doto programmu) tehnoloģiskos procesus noteiktā deterministiskā secībā.

Šajā modelī ir aprakstīta arī ciparu vadības iekārta. Apstrādes detaļu secības izvēle šajā mašīnā tiek veikta, iestatot vadības bloku (kontrolieri), kas noteiktos laika punktos ģenerē vadības signālus / 4 /.

Automātiskā teorija izmanto Būla funkciju matemātisko aparātu, kas darbojas ar divām iespējamām signālu vērtībām, 0 un 1.

Automāti tiek sadalīti automātos bez atmiņas, automātos ar atmiņu. Viņu darba apraksts tiek veikts, izmantojot tabulas, matricas, grafikus, kas parāda mašīnas pārejas no viena stāvokļa uz otru. Analītiskie novērtējumi jebkura veida mašīnas darbības aprakstam ir ļoti apgrūtinoši un pat ar salīdzinoši nelielu elementu skaitu, mezgliem, kas veido ierīci, praktiski nav praktiski. Tāpēc, izmantojot simulāciju, tiek pētītas sarežģītas automātu shēmas, kas neapšaubāmi ietver robotizētas ierīces.

Diskrēti stohastiskie modeļi (P-shēmas)

Tos izmanto, lai pētītu varbūtības automātu darbu. Šāda veida automātos pārejas no viena stāvokļa uz otru tiek veiktas ārējo signālu ietekmē un ņemot vērā automāta iekšējo stāvokli. Tomēr atšķirībā no T-automātiem šīs pārejas nav stingri noteiktas, bet var notikt ar zināmu varbūtību.

Šāda modeļa piemērs ir diskrēta Markova ķēde ar ierobežotu stāvokļu kopu. F-shēmu analīze balstās uz pāreju varbūtību matricu apstrādi un transformāciju un varbūtību grafiku analīzi. Jau salīdzinoši vienkāršu ierīču, kuru uzvedību raksturo F-shēmas, analīzei ieteicams izmantot simulāciju. Šādas simulācijas piemērs ir dots 2.4. punktā.

Nepārtrauktie stohastiskie modeļi (Q-shēmas)

Tos izmanto plašu sistēmu analīzē, ko uzskata par rindu sistēmām. Kā servisa procesu var attēlot procesus, kas pēc savas fiziskās būtības atšķiras: produktu piegādes plūsmas uzņēmumam, pēc pasūtījuma izgatavotu komponentu un produktu plūsmas, detaļu plūsmas uz montāžas līnijas, kontroles darbību plūsmas no vadības centra. ACS uz darba vietām un atgriež pieprasījumus informācijas apstrādei datorā utt.

Parasti šīs plūsmas ir atkarīgas no daudziem faktoriem un konkrētām situācijām. Tāpēc vairumā gadījumu šīs plūsmas ir nejaušas laikā ar iespēju jebkurā laikā mainīties. Šādu shēmu analīze tiek veikta, pamatojoties uz rindu teorijas matemātisko aparātu. Tie ietver nepārtrauktu Markova ķēdi. Neskatoties uz ievērojamiem sasniegumiem analītisko metožu, rindu teorijas attīstībā, Q-shēmu analīzi ar analītiskām metodēm var veikt tikai ar būtiskiem vienkāršojošiem pieņēmumiem un pieņēmumiem. Detalizētu lielāko daļu šo shēmu izpēti, īpaši tādas sarežģītas kā procesa vadības sistēmas, robotu sistēmas, var veikt tikai, izmantojot simulāciju.

Vispārinātie modeļi (A diagrammas)

Pamatojoties uz jebkuras sistēmas funkcionēšanas procesu aprakstu, pamatojoties uz apkopošanas metodi. Ar apkopotu aprakstu sistēma ir sadalīta atsevišķās apakšsistēmās, kuras var uzskatīt par ērtu matemātiskajam aprakstam. Šādas sadalīšanas (dekompozīcijas) rezultātā tiek parādīta sarežģīta sistēma daudzlīmeņu sistēmas veidā, kuras atsevišķie līmeņi (agregāti) ir pakļauti analīzei. Balstoties uz atsevišķu agregātu analīzi un ņemot vērā šo agregātu savstarpējās savienojamības likumus, ir iespējams veikt visaptverošu visas sistēmas izpēti.

, Jakovļeva sistēmas. 4. izd. - M .: Augstskola, 2005 .-- S. 45-82.

Sistēmu modelēšanas matemātiskās shēmas

Simulācijas plusi un mīnusi

Galvenais cieņa simulācija sarežģītu sistēmu izpētē:

· Spēja izpētīt sistēmas S funkcionēšanas procesa iezīmes jebkuros apstākļos;

· Datora izmantošanas dēļ ievērojami samazinās testu ilgums, salīdzinot ar pilna mēroga eksperimentu;

· Simulācijai var izmantot reālas sistēmas vai tās daļu pilna mēroga testu rezultātus;

· Modelētās sistēmas struktūras, algoritmu un parametru variācijas elastība, meklējot optimālo sistēmas versiju;

· Sarežģītām sistēmām – tā ir vienīgā praktiski realizējamā metode sistēmu funkcionēšanas procesa izpētei.

Galvenais ierobežojumiem simulācijas modelēšana:

· Sistēmu funkcionēšanas procesa īpašību pilnīgai analīzei un optimālā varianta meklēšanai nepieciešams daudzkārt reproducēt simulācijas eksperimentu, variējot problēmas sākotnējos datus;

· Lieli datora laika izdevumi.

Mašīnu modelēšanas efektivitāte. Simulējot ir nepieciešams nodrošināt sistēmas modeļa maksimālo efektivitāti. Efektivitāte parasti definē kā zināmu atšķirību starp kādu modeļa darbības laikā iegūto rezultātu vērtības mēru un izmaksām, kas tika ieguldītas tā izstrādē un izveidē.

Simulācijas modelēšanas efektivitāti var novērtēt pēc vairākiem kritērijiem:

Simulācijas rezultātu precizitāte un ticamība,

Veidošanas laiks un darbs ar modeli M,

Mašīnas resursu izmaksas (laiks un atmiņa),

· Modeļa izstrādes un ekspluatācijas izmaksas.

Labākais efektivitātes rādītājs ir iegūto rezultātu salīdzinājums ar reāliem pētījumiem. Izmantojot statistisko pieeju, ar noteiktu precizitātes pakāpi (atkarībā no mašīnas eksperimenta realizāciju skaita) tiek iegūti vidējie sistēmas uzvedības raksturlielumi.

Kopējās datora laika izmaksas veido katra simulācijas algoritma ievades un izvades laiks, skaitļošanas operāciju veikšanas laiks, ņemot vērā piekļuvi operatīvajai atmiņai un ārējām ierīcēm, kā arī katra modelēšanas algoritma sarežģītību un eksperimentu plānošana.

Matemātiskās shēmas.Matemātiskais modelis Ir matemātisko objektu (skaitļu, mainīgo, kopu, vektoru, matricu u.c.) un attiecību kopums starp tiem, kas adekvāti atspoguļo izveidotā tehniskā objekta fizikālās īpašības. Tiek saukts matemātiskā modeļa veidošanas un izmantošanas process analīzei un sintēzei matemātiskā modelēšana.

Veidojot sistēmas matemātisko modeli, ir jāatrisina jautājums par tā pilnīgumu. Modeļa pilnīgumu regulē galvenokārt robežu sistēmas izvēle S- Trešdiena E". Tāpat jāatrisina modeļa vienkāršošanas problēma, kas palīdz izcelt atkarībā no modelēšanas mērķa sistēmas galvenās īpašības, atmetot sekundārās.

Pārejā no jēgpilna uz formālu sistēmas funkcionēšanas procesa aprakstu, ņemot vērā ārējās vides ietekmi, piemēro matemātiskā shēma kā ķēdes posms "aprakstošais modelis - matemātiskā shēma - matemātiskais (analītiskais un/vai simulācijas) modelis".

Objekta formālais modelis. Objekta modelis (sistēmas S) var attēlot kā lielumu kopu, kas raksturo reālas sistēmas darbības procesu:

Ievades ietekmes uz sistēmu kopums

x i = X,i =;

Vides ietekmju kopums

v j = V, j= ;

Sistēmu iekšējo (iekšējo) parametru kopums

h k = H, k =;

Sistēmas izejas raksturlielumu kopums

y j = Y, j =.

Vispār x i, v j, h k, y j ir nesadalītu apakškopu elementi un satur gan deterministiskus, gan stohastiskus komponentus.

Ievades ietekmes, vides ietekmes E un sistēmas iekšējie parametri ir neatkarīgs (eksogēni) mainīgie, kuriem vektora formā ir atbilstošā forma ( t) = (x 1 (t), x 2 (t), …, x nX(t)); (t) = (v 1 (t), v 2 (t), …, v nV(t)); (t) = (h 1 (t), h 2 (t), …, h nН(t)), un izvades raksturlielumi ir atkarīgi (endogēns) mainīgajiem un vektora formā ir šāda forma: ( t) = (plkst 1 (t), plkst 2 (t), …, pie nY(t)). Varat atšķirt pārvaldītos un nepārvaldītos mainīgos.

Sistēmas darbības process S operatora laicīgi aprakstījis F S, kas pārveido eksogēnos mainīgos par endogēniem atbilstoši formas attiecībām

(t) = F S(,,, t). (2.1)

Sistēmas izejas raksturlielumu atkarību kopums no laika y j(t) visiem veidiem j = sauca izvades trajektorija (t). Tiek izsaukta atkarība (2.1). sistēmas funkcionēšanas likums F S, kas ir norādīts funkcijas, funkcionālo, loģisko nosacījumu veidā, algoritmiskā, tabulas formā vai verbālās atbilstības noteikuma veidā. A S funkcionēšanas algoritms sauc par metodi izejas raksturlielumu iegūšanai, ņemot vērā ievades ietekmi ( t), vides ietekme ( t) un pašas sistēmas parametrus ( t). Tas pats funkcionēšanas likums F S sistēmas S var īstenot dažādos veidos, t.i. izmantojot dažādus darbības algoritmus A S.

Tiek saukti matemātiskie modeļi dinamisks(2.1) ja matemātiskās attiecības raksturo modelēšanas objekta (sistēmas) uzvedību laikā t, t.i. atspoguļo dinamiskās īpašības.

Priekš statisks modeļiem, matemātiskais modelis ir kartēšana starp divām modelētā objekta īpašību apakškopām Y un ( X, V, H) noteiktā brīdī, ko vektora formā var uzrakstīt kā

= f(, , ). (2.2)

Attiecības (2.1) un (2.2) var norādīt dažādos veidos: analītiski (izmantojot formulas), grafiski, tabulas veidā utt. Šīs attiecības var iegūt, izmantojot sistēmas īpašības S noteiktos laika punktos, ko sauc par stāvokļiem. Sistēmas stāvoklis S ko raksturo vektori

" = (z " 1, z " 2, …, Z "k) un "" = (z "" 1 ,z "" 2 ,…, Z "" k),

kur z " 1 = z 1 (t "), z " 2 = z 2 (t "), …, z "k= z k(t ") šobrīd t "Î ( t 0 , T); z "" 1 = z 1 (t ""), z "" 2 = z 2 (t ""), …, z "" k = z k(t "") šobrīd t ""Î ( t 0 , T) utt. k =.

Ja ņemam vērā sistēmas funkcionēšanas procesu S kā stāvokļu secīga maiņa z 1 (t), z 2 (t), …, z k(t), tad tās var interpretēt kā punkta koordinātas k- dimensijas fāzes telpa... Turklāt katra procesa realizācija atbildīs noteiktai fāzes trajektorijai. Tiek izsaukta visu iespējamo stāvokļu () vērtību kopa stāvokļa telpa modelēšanas objekts Z, un
z kÎ Z.

Sistēmas stāvokļi S pašlaik t 0 < t* £ T ir pilnībā noteiktas ar sākotnējiem nosacījumiem 0 = ( z 0 1 , z 0 2 , …, z 0 k) [kur z 0 1 = z 1 (t 0),
z 0 2 = z 2 (t 0), …, z 0 k = z k(t 0)], ievades darbības ( t), iekšējie parametri ( t) un ārējās vides ietekmi ( t), kas notika laika intervālā t* – t 0, izmantojot divus vektoru vienādojumus

(t) = Ф (0,,,, t); (2.3)

(t) = F (, t). (2.4)

Pirmais vienādojums sākuma stāvoklim 0 un eksogēnajiem mainīgajiem,, nosaka vektora funkciju ( t), bet otrais atbilstoši iegūtajai stāvokļu vērtībai ( t) Vai sistēmas izejā ir endogēni mainīgie ( t). Tādējādi objekta vienādojumu ķēde "ievade - stāvokļi - izvade" ļauj noteikt sistēmas raksturlielumus

(t) = F [Ф (0,,,, t)]. (2.5)

Kopumā laiks sistēmas modelī S var uzskatīt simulācijas intervālā (0, T) gan nepārtrauktas, gan diskrētas, t.i. kvantificēts segmentos ar garumu D t laika vienības katrs kad T = m D t, kur m = - paraugu ņemšanas intervālu skaits.

Tādējādi zem matemātiskais modelis objekts (reālā sistēma) saprot ierobežotu mainīgo apakškopu (( t), (t), (t)) kopā ar matemātiskajiem sakariem starp tiem un raksturlielumiem ( t).

Ja modelēšanas objekta matemātiskajā aprakstā nav nejaušu elementu vai tie netiek ņemti vērā, t.i. ja varam pieņemt, ka šajā gadījumā ārējās vides stohastiskās ietekmes ( t) un stohastiskie iekšējie parametri ( t) nav, tad modelis tiek izsaukts deterministisks tādā nozīmē, ka raksturlielumus unikāli nosaka deterministiski ievades dati

(t) = f(, t). (2.6)

Acīmredzot deterministiskais modelis ir īpašs stohastiskā modeļa gadījums.

Tipiskas matemātiskās shēmas. Objektu modelēšanas praksē sistēmu inženierijas un sistēmu analīzes jomā sistēmu izpētes sākumposmā racionālāk ir izmantot tipiskas matemātiskās shēmas: diferenciālvienādojumi, galīgie un varbūtības automāti, rindu sistēmas, Petri tīkli, apkopotās sistēmas utt.

Tipiskām matemātiskām shēmām ir vienkāršības un skaidrības priekšrocības. Diferenciālie, integrālie, integro-diferenciālie un citi vienādojumi tiek izmantoti, lai attēlotu sistēmas, kas darbojas nepārtrauktā laikā kā deterministiskus modeļus, kad pētījumā netiek ņemti vērā nejaušības faktori, un tiek izmantoti galīgie automāti un galīgo atšķirību shēmas, lai attēlotu sistēmas, kas darbojas diskrēts laiks. Varbūtības automāti tiek izmantoti kā stohastiskie modeļi (ņemot vērā nejaušības faktorus), lai attēlotu sistēmas ar diskrētu laiku, un rindas sistēmas tiek izmantotas, lai attēlotu sistēmas ar nepārtrauktu laiku. Petri tīklus izmanto, lai analizētu cēloņu un seku sakarības sarežģītās sistēmās, kurās vienlaicīgi notiek vairāki procesi. Lai aprakstītu nepārtrauktu un diskrētu, deterministisko un stohastisko sistēmu (piemēram, ASOIU) uzvedību, var pielietot vispārinātu (universālu) pieeju, kuras pamatā ir apkopota sistēma. Apkopotajā aprakstā sarežģīts objekts (sistēma) tiek sadalīts ierobežotā skaitā daļās (apakšsistēmās), vienlaikus saglabājot savienojumus, kas nodrošina daļu mijiedarbību.

Tādējādi, veidojot sistēmu funkcionēšanas procesu matemātiskos modeļus, var izdalīt šādas galvenās pieejas: nepārtraukti-deterministiskā ( D-shēma); diskrēti-deterministisks ( F-shēma); diskrēta stohastiska ( R-shēma); nepārtraukts-stohastisks ( J-shēma); tīkls ( N-shēma); vispārināts vai universāls ( a- shēma).

2.2. Nepārtraukti determinēti modeļi ( D- shēma)

Pamatattiecības... Apskatīsim nepārtrauktās-deterministiskās pieejas iezīmes, piemēram, izmantojot diferenciālvienādojumus kā matemātiskos modeļus. Diferenciālvienādojumi tiek saukti par vienādojumiem, kuros viena vai vairāku mainīgo funkcijas nav zināmas, un vienādojumā ir iekļautas ne tikai funkcijas, bet arī dažādu kārtu to atvasinājumi. Ja vairāku mainīgo nezināmas funkcijas, tad tiek izsaukti vienādojumi daļējie diferenciālvienādojumi, pretējā gadījumā, apsverot viena neatkarīga mainīgā funkciju, tiek izsaukti vienādojumi parastie diferenciālvienādojumi.

Vispārīgā matemātiskā sakarība deterministiskām sistēmām (2.6) būs

" (t) = (, t); (t 0) = 0 , (2.7)

kur " = d/dt, = (y 1 , y 2 , …, g n) un = ( f 1 , f 2 , …, f n) – n-dimensiju vektori; (, t) ir vektora funkcija, kas ir definēta uz dažiem ( n+1) -dimensijas (, t) iestatīts un ir nepārtraukts.

Šāda veida matemātiskās shēmas sauc D-ķēdes(ang. dynamic), tie atspoguļo pētāmās sistēmas dinamiku, un laiks parasti kalpo kā neatkarīgs mainīgais, no kura ir atkarīgas nezināmas nezināmas funkcijas t.

Vienkāršākajā gadījumā parastajam diferenciālvienādojumam ir šāda forma:

y"(t) = f(y, t). (2.8)

Apsveriet vienkāršāko piemēru divu dažāda rakstura elementāru ķēžu funkcionēšanas procesa formalizēšanai: mehāniskai S M (svārsta šūpoles, 2.1. attēls, a) un elektrisko S K (oscilācijas ķēde, 2.1. att., b).

Rīsi. 2.1. Elementāras sistēmas

Svārsta mazo svārstību procesu apraksta parastais diferenciālvienādojums

m M l M 2 ( d 2 F(t)/ dt 2) + m M gl M F(t) = 0,

kur m M, l M ir svārsta balstiekārtas masa un garums; g- gravitācijas paātrinājums; F(t) Ir svārsta novirzes leņķis laika momentā t.

No šī svārsta brīvās svārstības vienādojuma var atrast interesējošo raksturlielumu aplēses. Piemēram, svārsta šūpošanās periods

T M = 2p.

Līdzīgi procesus elektriskās svārstību ķēdē apraksta ar parasto diferenciālvienādojumu

L K ( d 2 q(t)/dt 2) + (q(t)/C K) = 0,

kur L K, C K - kondensatora induktivitāte un kapacitāte; q(t) Vai kondensatora lādiņš laika momentā t.

No šī vienādojuma jūs varat iegūt dažādus aprēķinus par procesa raksturlielumiem svārstību ķēdē. Piemēram, elektrisko svārstību periods

T M = 2p.

Acīmredzot, ieviešot apzīmējumu h 2 = m M l M 2 = L K, h 1 = 0,
h 0 = m M gl M = 1 / C K, F(t) = q(t) = z(t), mēs iegūstam parastu otrās kārtas diferenciālvienādojumu, kas apraksta šīs slēgtā cikla sistēmas darbību:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = 0, (2.9)

kur h 0 , h 1 , h 2 - sistēmas parametri; z(t) Vai sistēmas stāvoklis šobrīd
laiks t.

Tādējādi šo divu objektu uzvedību var pētīt, pamatojoties uz vispārējo matemātisko modeli (2.9). Turklāt jāatzīmē, ka svārsta uzvedība (sistēma S M) var izpētīt, izmantojot elektrisko svārstību ķēdi (sistēmu S UZ).

Ja pētāmā sistēma S(svārsts vai kontūra) mijiedarbojas ar ārējo vidi E, pēc tam tiek parādīta ievades darbība x(t) (ārējais spēks svārstam un ķēdes enerģijas avots), un šādas sistēmas nepārtraukti deterministiskajam modelim būs šāda forma:

h 2 (d 2 z(t)/dt 2) + h 1 (dz(t)/dt) + h 0 z(t) = x(t). (2.10)

No vispārējā matemātiskā modeļa viedokļa (sk. 2.1. punktu) x(t) ir ievades (vadības) darbība un sistēmas stāvoklis Sšajā gadījumā to var uzskatīt par izejas raksturlielumu, t.i. izvades mainīgais atbilst sistēmas stāvoklim noteiktā laikā y = z.

Iespējamie pielietojumi D- shēma... Lai aprakstītu lineārās vadības sistēmas, tāpat kā jebkuru dinamisku sistēmu, nehomogēniem diferenciālvienādojumiem ir nemainīgi koeficienti

kur,,…, - nezināma laika funkcija un tās atvasinājumi; un ir zināmas funkcijas.

Izmantojot, piemēram, VisSim programmatūras pakotni, kas paredzēta ar diferenciālvienādojumiem aprakstāmu procesu simulācijai vadības sistēmās, simulējam parasta nehomogēna diferenciālvienādojuma risinājumu.

kur ir kāda vajadzīgā laika funkcija intervālā ar nulles sākuma nosacījumiem, mēs ņemam h 3 =1, h 2 =3, h 1 =1, h 0 =3:

Attēlojot doto vienādojumu attiecībā pret augstāko no atvasinājumiem, iegūstam vienādojumu

kurus var modelēt, izmantojot VisSim pakotnes veidojošo bloku kopu: aritmētiskie bloki - Gain (reizināšana ar konstanti), Summing-Junction (summētājs); integrācijas bloki - Integrators (skaitliskā integrācija), Transfer Function (vienādojuma iestatīšana, kas attēlota kā pārsūtīšanas funkcija); bloki signālu iestatīšanai - Const (konstants), Step (vienības funkcija "soļa" formā), Ramp (lineāri pieaugošs signāls); signālu bloki-uztvērēji - Plot (rādīt signālu laika domēnā, ko pētnieks analizē simulācijas laikā).

attēlā. 2.2 parāda šī diferenciālvienādojuma grafisko attēlojumu. Kreisākā integratora ievade atbilst mainīgajam, vidējā integratora ievade - un galējā labā integratora ievade. Labākā integratora izvade atbilst mainīgajam y.

Aprakstīts īpašs dinamisko sistēmu gadījums D- shēmas ir automātiskās vadības sistēmas(SPG)un regulējums(SAR). Reāls objekts tiek parādīts divu sistēmu veidā: kontrole un kontrolēta (kontroles objekts). Vispārējās daudzdimensiju automātiskās vadības sistēmas struktūra ir parādīta attēlā. 2.3, kur norādīts endogēns mainīgie: ( t) Vai ievades (galvenās) ietekmes vektors; ( t) Vai traucējošo ietekmju vektors; " (t) Vai kļūdu signālu vektors; "" (t) - kontroles darbību vektors; eksogēni mainīgie: ( t) Ir sistēmas stāvokļa vektors S; (t) ir izejas mainīgo vektors, parasti ( t) = (t).

Rīsi. 2.2. Vienādojuma grafiskais attēlojums

Vadības sistēma ir programmatūras un aparatūras rīku kopums, kas nodrošina kontroles objekta noteikta mērķa sasniegšanu. Cik precīzi objekts sasniedz noteikto mērķi, var spriest (viendimensionālai sistēmai) pēc stāvokļa koordinātas y(t). Atšķirība starp doto yēzelis ( t) un derīgs y(t) vadāmā mainīgā izmaiņu likums ir kontroles kļūda " (t) = yēzelis ( t) – y(t). Ja noteiktais kontrolējamā daudzuma izmaiņu likums atbilst ievades (galvenās) darbības izmaiņu likumam, t.i. x(t) = yēzelis ( t), tad " (t) = x(t) – y(t).

Sistēmas, kurām kontroles kļūdas " (t) = 0 vienmēr tiek izsaukti ideāls... Praksē ideālu sistēmu ieviešana nav iespējama. Automātiskās vadības sistēmas uzdevums ir mainīt mainīgo y(t) saskaņā ar doto likumu ar noteiktu precizitāti (ar pieļaujamu kļūdu). Sistēmas parametriem jānodrošina nepieciešamā vadības precizitāte, kā arī sistēmas stabilitāte pārejas procesā. Ja sistēma ir stabila, tad analizējiet sistēmas uzvedību laikā, kontrolējamā mainīgā maksimālo novirzi y(t) pārejas procesā, pārejas procesa laiks utt. Diferenciālvienādojuma secību un tā koeficientu vērtību pilnībā nosaka sistēmas statiskie un dinamiskie parametri.

Rīsi. 2.3. Automātiskās vadības sistēmas struktūra:

УC - vadības sistēma; OU - kontroles objekts

Tātad, izmantojot D-shēmas ļauj formalizēt nepārtraukti deterministisku sistēmu darbības procesu S un novērtē to galvenos raksturlielumus, izmantojot analītisko vai simulācijas pieeju, kas ieviesta atbilstošas ​​valodas veidā nepārtrauktu sistēmu modelēšanai vai izmantojot analogās un hibrīdās skaitļošanas iekārtas.

2.3. Diskrēti-deterministiskie modeļi ( F- shēma)

Pamatattiecības... Apskatīsim diskrēti-deterministiskās pieejas iezīmes, piemēram, izmantojot automātu teoriju kā matemātisku aparātu. Sistēma tiek attēlota automāta formā kā ierīce ar ieejas un izejas signāliem, kas apstrādā diskrētu informāciju un maina savus iekšējos stāvokļus tikai pieņemamā laikā. Valsts mašīna tiek izsaukts automāts, kurā iekšējo stāvokļu, ieejas un izejas signālu kopas ir galīgas kopas.

Abstrakti galīgus automātus var attēlot kā matemātisko shēmu ( F-shēma), ko raksturo seši elementi: ierobežota kopa X ievades signāli (ievades alfabēts); ierobežots kopums Y izejas signāli (izejas alfabēts); ierobežots kopums Z iekšējie stāvokļi (iekšējais alfabēts vai stāvokļu alfabēts); sākotnējais stāvoklis z 0 , z 0 Î Z; pārejas funkcija j ( z, x); izvades funkcija y ( z, x). Automātiskās mašīnas komplekts F- shēma: F = á Z, X, Y, y, j, z 0 ñ, darbojas diskrētā laikā, kura momenti ir pulksteņi, no kuriem katrs atbilst konstantām ieejas un izejas signālu un iekšējo stāvokļu vērtībām. Mēs apzīmējam stāvokli, kā arī atbilstošos ieejas un izejas signālus t- pulkstenis plkst t= 0, 1, 2, ..., cauri z(t), x(t), g(t). Turklāt pēc nosacījuma z(0) = z 0 un z(t)Î Z, x(t)Î X, y(t)Î Y.

Abstraktā stāvokļa mašīnai ir viens ieejas un viens izvades kanāls. Katrā mirklī t= 0, 1, 2, ... diskrētais laiks F- mašīna ir noteiktā stāvoklī z(t) no komplekta Z automāta stāvokļi un sākotnējā laika momentā t= 0 tas vienmēr ir sākuma stāvoklī z(0) = z 0. Šobrīd t spējot z(t), automāts spēj uztvert signālu ievades kanālā x(t)Î X un izvada signālu izvades kanālā y(t) = y [ z(t),x(t)], pārejot uz stāvokli z ( t+1) = j [ z(t), x(t)], z(t)Î Z, y(t)Î Y... Abstraktā ierobežotā stāvokļa mašīna ievieš zināmu ievades alfabēta vārdu kopas kartēšanu X par daudziem nedēļas nogales vārdiem
alfabēts Y... Citiem vārdiem sakot, ja stāvokļa mašīnas ievade ir iestatīta uz sākotnējo stāvokli z 0, ievadiet ievades alfabēta burtus noteiktā secībā x(0), x(1), x(2), ..., t.i. ievades vārdu, tad izvada alfabēta burti pēc kārtas parādīsies iekārtas izvadā y(0), y(1), y(2),…, veidojot izvadvārdu.

Tādējādi stāvokļa mašīnas darbs notiek saskaņā ar šādu shēmu: katrā t-th pulksteni uz iekārtas ieeju stāvoklī z(t), tiek dots kāds signāls x(t), uz ko tā reaģē ar pāreju ( t+1) no pulksteņa uz jauno stāvokli z(t+1) un dodot kādu izejas signālu. Iepriekš minēto var aprakstīt ar šādiem vienādojumiem: for F-pirmā veida automāts, ko sauc arī par automātiskās jūdzes,

z(t+1) = j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.15)

y(t) = y [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.16)

priekš F- otrā veida automāts

z(t+1) = j [ z(t), x(t)], t= 0, 1, 2, …; (2.17)

y(t) = y [ z(t), x(t - 1)], t= 1, 2, 3,…. (2.18)

Otrā veida automāts, kuram

y(t) = y [ z(t)], t= 0, 1, 2, …, (2.19)

tie. izejas funkcija ir neatkarīga no ievades mainīgā x(t) tiek saukts Mūra triecienšautene.

Tādējādi vienādojumi (2.15) - (2.19), kas pilnībā definē
F-automāts ir (2.3) un (2.4) vienādojumu īpašs gadījums, kad
sistēma S- deterministisks un diskrēts signāls nonāk tā vienīgajā ieejā X.

Pēc stāvokļu skaita izšķir galīgo stāvokļu mašīnas ar atmiņu un bez atmiņas. Automātiem ar atmiņu ir vairāk nekā viens stāvoklis, un automātiem bez atmiņas (kombinētajām vai loģiskajām shēmām) ir tikai viens stāvoklis. Šajā gadījumā saskaņā ar (2.16) kombinētās ķēdes darbība ir tāda, ka tā piešķir katram ieejas signālam x(t) noteiktu izejas signālu y(t), t.i. realizē formas loģisko funkciju

y(t) = y [ x(t)], t= 0, 1, 2, … .

Šo funkciju sauc par Būla, ja alfabēts X un Y pie kurām pieder signāla vērtības x un y, sastāv no diviem burtiem.

Pēc diskrētā laika skaitīšanas rakstura galīgā stāvokļa mašīnas iedala sinhronās un asinhronās. Sinhronā režīmā F-automāti laikus, kuros automāts "nolasa" ieejas signālus, nosaka obligātie sinhronizācijas signāli. Pēc nākamā sinhronizācijas signāla, ņemot vērā "lasīto" un saskaņā ar vienādojumiem (2.15) - (2.19), notiek pāreja uz jaunu stāvokli un izejā tiek izdots signāls, pēc kura iekārta var uztvert nākamo vērtību. no ieejas signāla. Tādējādi mašīnas reakcija uz katru ieejas signāla vērtību beidzas vienā ciklā, kura ilgumu nosaka intervāls starp blakus esošajiem sinhronizācijas signāliem. Asinhrons F- iekārta nepārtraukti nolasa ievades signālu un tādējādi reaģē uz pietiekami ilgu nemainīgas vērtības ievades signālu x, tas var, kā izriet no (2.15) - (2.19), vairākas reizes mainīt stāvokli, dodot atbilstošo izejas signālu skaitu, līdz tas nonāk stabilā, kuru šis ieejas signāls vairs nevar mainīt.

Iespējamie pielietojumi F- shēma. Lai uzstādītu finālu F-automāts, nepieciešams aprakstīt visus komplekta elementus F= <Z, X, Y, y, j, z 0>, t.i. ievades, iekšējie un izvada alfabēti, kā arī pāreju un izeju funkcijas, un starp stāvokļu kopu ir nepieciešams izdalīt stāvokli z 0, kurā automāts atrodas stāvoklī t= 0. Ir vairāki veidi, kā iestatīt darbu F-automāti, bet visbiežāk tiek izmantoti tabulas, grafiskie un matricas.

Tabulas metodē tiek iestatītas pāreju un izeju tabulas, kuru rindas atbilst automāta ieejas signāliem, bet kolonnas - tā stāvokļiem. Pirmā kolonna kreisajā pusē atbilst sākotnējam stāvoklim z 0. Krustojumā i rinda un k- pārejas tabulas kolonnā atbilstošā vērtība j ( z k, x i) pāreju funkcija, bet izvadu tabulā - atbilstošā y ( z k, x i) izvades funkcijas. Priekš F- Mūra automāts abas tabulas var kombinēt.

Darba Apraksts F-automāts Jūdzes ar pāreju tabulām j un izvadiem y ir parādītas tabulā. 2.1, un apraksts F-Mores automāts - pēc pārejas tabulas (2.2. tabula).

2.1. tabula

X i	z k
z 0	z 1	…	z k
Pārejas
x 1	j ( z 0 , x 1)	j ( z 1 , x 1)	…	j ( z k,x 1)
x 2	j ( z 0 , x 2)	j ( z 1 , x 2)	…	j ( z k,x 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k,x i)
Izejas
x 1	y ( z 0 , x 1)	y ( z 1 , x 1)	…	y ( z k, x 1)
x 2	y ( z 0 , x 2)	y ( z 1 , x 2)	…	y ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	y ( z 0 , x i)	y ( z 1 , x i)	…	y ( z k, x i)

2.2. tabula

x i	y ( z k)
y ( z 0)	y ( z 1)	…	y ( z k)
z 0	z 1	…	z k
x 1	j ( z 0 , x 1)	j ( z 1 , x 1)	…	j ( z k, x 1)
x 2	j ( z 0 , x 2)	j ( z 1 , x 2)	…	j ( z k, x 2)
…	…	…	…	…
x i	j ( z 0 , x i)	j ( z 1 , x i)	…	j ( z k, x i)

Tabulas iestatīšanas veida piemēri F-automātiskās jūdzes F 1 ir norādīti tabulā. 2.3, un par F- Mūra mašīna F 2 - tabulā. 2.4.

2.3. tabula

x i	z k
z 0	z 1	z 2
Pārejas
x 1	z 2	z 0	z 0
x 2	z 0	z 2	z 1
Izejas
x 1	y 1	y 1	y 2
x 2	y 1	y 2	y 1

2.4. tabula

	Y
x i	y 1	y 1	y 3	y 2	y 3
	z 0	z 1	z 2	z 3	z 4
x 1	z 1	z 4	z 4	z 2	z 2
x 2	z 3	z 1	z 1	z 0	z 0

Grafiskā galīgā stāvokļa mašīnas definēšanas veidā tiek izmantots virzīta grafa jēdziens. Automāta grafs ir virsotņu kopa, kas atbilst dažādiem automāta stāvokļiem un savieno grafa loku virsotnes, kas atbilst noteiktām automāta pārejām. Ja ieejas signāls x k izraisa pāreju no stāvokļa z i stāvoklī z j, tad automāta grafikā redzams loks, kas savieno virsotni z i ar augšpusi z j, apzīmēts x k... Lai iestatītu izeju funkciju, grafikas loki ir jāatzīmē ar atbilstošiem izejas signāliem. Miles mašīnām šo marķējumu veic šādi: ja ievades signāls x k iedarbojas uz valsti z i, tad mēs iegūstam loku, kas iziet no z i un atzīmēts x k; šis loks ir papildus marķēts ar izejas signālu y= y ( z i, x k). Mūra automātam līdzīgs grafa marķējums ir šāds: ja ieejas signāls x k, iedarbojoties uz noteiktu automāta stāvokli, izraisa pāreju uz stāvokli z j, tad loks ir vērsts uz z i un atzīmēts x k, papildus atzīmējiet nedēļas nogali
signāls y= y ( z j, x k).

attēlā. 2.4. a, b dotas iepriekš tabulās F-Jūdžu mašīnas F 1 un Mūrs F 2 attiecīgi.

Rīsi. 2.4. Automātiskie grafiki a - Miles un b - Moore

Galīga automāta matricas piešķiršanai automāta savienojumu matrica ir kvadrātveida AR=||ar ij||, rindas atbilst sākuma stāvokļiem un kolonnas atbilst pārejas stāvokļiem. Elements ar ij = x k/g s stāvot krustojumā
i rinda un j-th kolonna, Miles automāta gadījumā atbilst ieejas signālam x k izraisot pāreju no stāvokļa z i stāvoklī z j, un izejas signālu g s ko rada šī pāreja. Miles mašīnai F 1, kas aplūkots iepriekš, savienojumu matricai ir šāda forma:

x 2 /y 1 – x 1 /y 1

C 1 = x 1 /y 1 – x 2 /y 2 .

x 1 /y 2 x 2 /y 1 –

Ja pāreja no valsts z i stāvoklī z j notiek vairāku signālu iedarbībā, matricas elements c ij ir šīs pārejas ievades-izejas pāru kopa, kas savienota ar disjunkcijas zīmi.

Priekš F-mūra mašīnas elements ar ij ir vienāds ar ieejas signālu kopu pārejā ( z i, z j), un izvadi apraksta ar izvadu vektoru

= y ( z k) ,

i kura komponents ir izejas signāls, kas norāda stāvokli z i.

Iepriekšminētajam F- Mūra mašīna F2 savienojumu matrica un izvadu vektors ir šādā formā:

–x 1 –x 2 –plkst 1

–x 2 – –x 1 plkst 1

C 2 = –x 2 – –x 1 ; = y 3

x 2 –x 1 – –plkst 2

x 2 –x 1 – –plkst 3

Deterministiskajiem automātiem ir izpildīts pāreju unikalitātes nosacījums: automāts noteiktā stāvoklī neviena ieejas signāla ietekmē nevar pāriet vairāk kā vienā stāvoklī. Piemērots grafiskajam iestatīšanas veidam F-automāts, tas nozīmē, ka automātu grafikā divas vai vairākas malas, kas apzīmētas ar vienu un to pašu ieejas signālu, nevar iziet no nevienas virsotnes. Un mašīnas savienojumu matricā AR jebkurš ievades signāls katrā līnijā nedrīkst parādīties vairāk kā vienu reizi.

Priekš F- automātisks stāvoklis z k sauca ilgtspējīgs, ja par kādu ievadi x i ÎX kuram j ( z k, x i) = z k, j ( z k,x i) = y k. F- sauc mašīnu asinhrons, ja katra valsts z k ÎZ stabils.

Tādējādi jēdziens diskrēti deterministiskajā pieejā objektu īpašību izpētei modeļos ir matemātiska abstrakcija, kas ir ērta, lai aprakstītu plašu reālu objektu funkcionēšanas procesu klasi automatizētās vadības sistēmās. Caur F- no automāta var aprakstīt objektus, kuriem raksturīga diskrētu stāvokļu klātbūtne un darba diskrēts raksturs laikā - tie ir datora elementi un mezgli, vadības, regulēšanas un vadības ierīces, laika un telpas sistēmas informācijas apmaiņas tehnoloģiju pārslēgšana utt.

2.4. Diskrēti stohastiskie modeļi ( R- shēma)

Pamatattiecības... Apskatīsim matemātisko shēmu konstruēšanas iezīmes ar diskrēti-stohastisko pieeju varbūtiskajiem (stohastiskajiem) automātiem. Vispār varbūtības automāts
R-shēmas(angļu probabijistic automat) var tikt definēts kā diskrēts seriāls informācijas pārveidotājs ar atmiņu, kura darbība katrā ciklā ir atkarīga tikai no tajā esošās atmiņas stāvokļa, un to var raksturot statistiski.

Iepazīstinām ar matemātisko jēdzienu R-automāts, izmantojot ieviestos jēdzienus F- automāts. Apsveriet komplektu G, kura elementi ir visi iespējamie pāri ( x i, z s), kur x i un z s- ievades apakškopas elementi X un attiecīgi stāvokļu Z apakškopas. Ja ir divas šādas funkcijas j un y, tās tiek izmantotas kartējumu veikšanai G®Z un G®Y, tad viņi tā saka F = X, Y, j, y> definē deterministiska tipa automātu.

Apskatīsim vispārīgāku matemātisko shēmu. Ļaujiet
Ф - visu iespējamo formu pāru kopa ( z k, y i), kur i- izvades apakškopas elements Y... Mēs pieprasām, lai jebkurš komplekta elements G Kopā Ф inducēts kāds šādas formas sadalījuma likums:

Kurā b kj= 1, kur b kj- automāta pārejas uz stāvokli varbūtības z k un signāla izskats izejā y j ja viņš varētu z s un pie tā ievades šajā laika brīdī signāls tika uztverts x i... Šādu sadalījumu skaits tabulu veidā ir vienāds ar kopas elementu skaitu G... Šo tabulu kopu apzīmējam ar B. Tad četri elementi P = sauc par varbūtības automātu
(R- automāts).

Iespējamie pielietojumi P- shēma.Ļaujiet komplekta elementiem G izraisīt dažus sadalījuma likumus apakškopām Y un Z, ko var attēlot attiecīgi šādā formā:

Kurā z k = 1 un q j = 1, kur z k un q j - pārejas varbūtības
R- automāts stāvoklī z k un izejas signāla izskats y k ar nosacījumu, ka
R z s un tā ieeja saņēma ieejas signālu x i.

Ja visiem k un j attiecības pastāv q j z k = b kj, tad tādi
R- sauc mašīnu Mailsa varbūtības automāts... Šī prasība nozīmē sadalījumu neatkarības nosacījuma izpildi jaunajam stāvoklim R-automātiskā ierīce un tās izejas signāls.

Tagad ļaujiet izejas signāla definīcijai R- automāts ir atkarīgs tikai no stāvokļa, kurā automāts atrodas noteiktā darba ciklā. Citiem vārdiem sakot, ļaujiet katram izvades apakškopas elementam Y inducē izvades varbūtības sadalījumu, kam ir šāda forma:

Šeit s i = 1, kur s i- izejas signāla parādīšanās varbūtība y i plkst plkst vārdi un tas R- mašīna bija stāvoklī z k.

Ja visiem k un i attiecības pastāv z k s i =b ki tad tādi
R- sauc mašīnu Mūra varbūtības automāts. Koncepcija
R-Mailijas un Mūra automāti tiek ieviesti pēc analoģijas ar deterministisko
F- automāts. Konkrēts gadījums R- automāts definēts kā P=X, Y, B> ir automāti, kuros deterministiski tiek noteikta pāreja uz jaunu stāvokli vai izejas signāls. Ja izejas signāls
R-automāts tiek noteikts deterministiski, tad šādu automātu sauc
Y-... Tāpat
Z-deterministisks varbūtības automāts sauca R- automāts, kurā jauna stāvokļa izvēle ir deterministiska.

Piemērs 2.1. Lai tas tiek dots Y-deterministisks P- mašīna

attēlā. 2.5 parāda šī automāta virzītu pāreju grafiku. Grafa virsotnes ir saistītas ar automāta stāvokļiem, bet loki – ar iespējamām pārejām no viena stāvokļa uz otru. Lokiem ir svari, kas atbilst pārejas varbūtībām p ij, un šo stāvokļu izraisīto izejas signālu vērtības ir rakstītas netālu no grafika virsotnēm. Jānovērtē kopējās galīgās palikšanas varbūtības P-automāts stāvokļos z 2 un z 3 .

Rīsi. 2.5. Varbūtības automāta grafiks

Izmantojot analītisko pieeju, var pierakstīt zināmās attiecības no Markova ķēžu teorijas un iegūt vienādojumu sistēmu galīgo varbūtību noteikšanai. Šajā gadījumā sākotnējais stāvoklis z 0 var ignorēt, jo sākotnējais sadalījums neietekmē galīgo varbūtību vērtības. Tad mums ir

kur ar k- galīgā uzturēšanās iespējamība R- Automātiskā ierīce stāvoklī z k.

Mēs iegūstam vienādojumu sistēmu

Mēs pievienojam šiem vienādojumiem normalizācijas nosacījumu Ar 1 + Ar 2 + Ar 3 + Ar 4 = 1. Tad, atrisinot vienādojumu sistēmu, iegūstam Ar 1 = 5/23, Ar 2 = 8/23, Ar 3 = 5/23,
Ar 4 = 5/23. Pa šo ceļu, Ar 2 + Ar 3 = 13/23 = 0,5652. Citiem vārdiem sakot, ar nebeidzamu darbu, kas sniegts šajā piemērā Y-deterministisks
R-automāts tā izejā tiek veidota bināra secība ar viena rašanās varbūtību, kas vienāda ar 0,5652.

Līdzīgi R-automāti var tikt izmantoti kā Markova secību ģeneratori, kas nepieciešami sistēmu funkcionēšanas procesu konstruēšanā un ieviešanā S vai vides ietekme E.

2.5. Nepārtrauktie stohastiskie modeļi ( J- shēma)

Pamatattiecības... Mēs apskatīsim nepārtrauktās-stohastiskās pieejas iezīmes, izmantojot tipiskas matemātikas piemēru Q- shēmas - rindu sistēmas(angļu rindu sistēma).

Kā apkalpošanas procesu var attēlot dažādus pēc savas fiziskās būtības ekonomisko, ražošanas, tehnisko un citu sistēmu funkcionēšanas procesus, piemēram: preču piegādes plūsmas noteiktam uzņēmumam, detaļu un komponentu plūsmas uz montāžas līnijas. darbnīca, pieprasījumi apstrādāt datorinformāciju no attāliem termināļiem utt. Šajā gadījumā raksturīga šādu objektu darbības pazīme ir pretenziju (prasību) nejauša parādīšanās apkalpošanai un apkalpošanas pabeigšana nejaušos laikos, t.i. to funkcionēšanas procesa stohastisko raksturu.

Pēc notikumu plūsmas tiek saukta notikumu secība, kas notiek viens pēc otra dažos nejaušos laika momentos. Atšķirt homogēnu un neviendabīgu notikumu plūsmas. Notikumu straume sauca viendabīgs, ja to raksturo tikai šo notikumu pienākšanas momenti (izraisošie momenti) un to dod secība ( t n} = {0 £ t£ 1 t 2 ... £ t n£ … }, kur t n - ierašanās brīdis P- notikums ir nenegatīvs reālais skaitlis. Viendabīgu notikumu plūsmu var norādīt arī kā laika intervālu secību starp P- m un (n - 1) notikumi (t n), kas viennozīmīgi saistās ar izaicinošo momentu secību ( t n} , kur t n = t n– t n -1 ,P³ 1, t 0 = 0, tie. t 1 = t 1 . Neviendabīgu notikumu straume sauc par secību ( t n, f n} , kur t n - izaicinoši brīži; f n - notikumu zīmju komplekts. Piemēram, attiecībā uz apkalpošanas procesu nevienmērīgai pretenziju plūsmai var tikt piešķirta piederība noteiktam pretenziju avotam, prioritātes esamība, iespēja apkalpot viena vai cita veida kanālu.

Jebkurā elementārajā apkalpošanas aktā var izdalīt divas galvenās sastāvdaļas: prasības izsniegšanas sagaidīšana un faktiskā prasības apkalpošana. To var attēlot dažu formā i- servisa ierīce P i(2.6. att.), kas sastāv no pasūtījumu akumulatora Sveiki, kas vienlaikus var būt j i= pieteikumi kur L i H– jaudu
i- dodieties uz krātuvi un kanālu pieprasījumu apkalpošanai (vai tikai kanālu) K i. Katram servisa ierīces elementam P i notikumu straumes pienāk: uz disku Sveiki lietojumprogrammu plūsma ar es, katram kanālam K i - pakalpojumu plūsma un es.

Rīsi. 2.6. Lietojumprogrammu apkalpošanas ierīce

Kanāla apkalpotās lietojumprogrammas K i, un pieprasījumi, kas atstāja ierīci P i netiek apkalpota dažādu iemeslu dēļ (piemēram, diska pārpildes dēļ Sveiki), veido izvades straumi y i Î Y, tie. laika intervāli starp pasūtījumu izejas brīžiem veido izejas mainīgo apakškopu.

Parasti lietojumprogrammu plūsma w i ÎW, tie. laika intervāli starp pasūtījumu parādīšanās brīžiem pie ieejas K i, veido nepārvaldītu mainīgo apakškopu un pakalpojumu plūsmu tu es ОU, tie. laika intervāli starp pretenzijas apkalpošanas sākumu un beigām veido kontrolēto mainīgo apakškopu.

Servisa ierīces darbības process P i var attēlot kā tā laika elementu stāvokļu maiņas procesu z i(t). Pāreja uz jaunu stāvokli par P i nozīmē izmaiņas tajā esošo lietojumprogrammu skaitā (kanālā K i un piedziņā Sveiki). Tādējādi stāvokļu vektors P i izskatās kā: , kur z i H- piedziņas stāvoklis Sveiki (z i H= 0 - disks ir tukšs, z i H= 1 — krātuvē ir viens pieprasījums, ..., z i H = L i H – disks ir pilnībā pilns); L i H - noliktavas ietilpība Sveiki, mēra pēc aplikāciju skaita, kas tajā var ietilpt; z i k - kanāla stāvoklis K i(z i k = 0 – kanāls ir bezmaksas, z i k= 1 — kanāls ir aizņemts).

Iespējamie pielietojumi Q- shēmas. Sistēmu modelēšanas praksē ar sarežģītākām strukturālajām attiecībām un uzvedības algoritmiem formalizēšanai tiek izmantotas nevis atsevišķas servisa ierīces, bet gan
Q- shēma , ko veido daudzu elementāru pakalpojumu ierīču sastāvs P i. Ja kanāli K i paralēli tiek pieslēgtas dažādas servisa ierīces, tad notiek daudzkanālu apkalpošana ( daudzkanālu Q- shēma) , un ja ierīces P i un to paralēlās kompozīcijas ir savienotas virknē, tad ir daudzfāžu pakalpojums ( daudzfāzu Q- shēma) . Tātad par darbu Q- shēmā ir jāizmanto konjugāta operators R, atspoguļojot struktūras elementu (kanālu un uzglabāšanas ierīču) savstarpējo savienojumu.