Es biju slinks. Lai bērni būtu ilgstoši aizņemti un pats pasnaustos, viņš lūdza saskaitīt skaitļus no 1 līdz 100.
Gauss atbildēja ātri: 5050. Tik ātri? Skolotāja tam neticēja, bet jaunajam ģēnijam bija taisnība. Visu skaitļu no 1 līdz 100 saskaitīšana ir paredzēta vīzdeņiem! Gauss atrada formulu:
$$ \ summa_ (1) ^ (n) = \ frac (n (n + 1)) (2) $$
$$ \ summa_ (1) ^ (100) = \ frac (100 (100 + 1)) (2) = 50 \ cdot 101 = 5050 $ $
Kā viņš to izdarīja? Mēģināsim to izdomāt, izmantojot summas piemēru no 1 līdz 10.
Pirmā metode: sadaliet skaitļus pa pāriem
Rakstīsim skaitļus no 1 līdz 10 kā matricu ar divām rindām un piecām kolonnām:
$$ \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 \ end (masīvs) \ pa labi) $$
Interesanti, ka katras kolonnas summa ir 11 vai $ n + 1 $. Un ir 5 šādi skaitļu pāri jeb $ \ frac (n) (2) $. Mēs iegūstam formulu:
$$ Skaitlis \ Kolonnas \ cdot Summa \ Numbers \ in \ Columns = \ frac (n) (2) \ cdot (n + 1) $$
Ja nepāra terminu skaits?
Ko darīt, ja jūs saskaitāt skaitļus no 1 līdz 9? Mums trūkst viena skaitļa, lai izveidotu piecus pārus, bet mēs varam ņemt nulli:
$$ \ pa kreisi (\ sākums (masīvs) (c) 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $$
Kolonnu summa tagad ir 9 vai tieši $ n $. Un kolonnu skaits? Joprojām ir piecas kolonnas (pateicoties nullei!), Bet tagad kolonnu skaits ir $ \ frac (n + 1) (2) $ (y mums ir $ n + 1 $ un puse kolonnu skaita).
$$ Skaitlis \ kolonnas \ cdotSumma \ numuri \ kolonnās = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$
Otrais veids: dubultojiet un rakstiet uz divām rindām
Šajos divos gadījumos mēs aprēķinām skaitļu summu nedaudz savādāk.
Varbūt ir kāds veids, kā vienādi aprēķināt summu pāra un nepāra vārdu skaitam?
Tā vietā, lai no skaitļiem izveidotu sava veida "cilpu", rakstīsim tos divās rindās, vienlaikus reizinot skaitļu skaitu ar diviem:
$$ \ pa kreisi (\ begin (masīvs) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $$
Neparastam gadījumam:
$$ \ pa kreisi (\ begin (masīvs) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ beigas (masīvs) \ pa labi) $$
Redzams, ka abos gadījumos kolonnu summa ir $ n + 1 $, un kolonnu skaits ir $ n $.
$$ Skaitlis \ kolonnas \ cdot Summa \ numuri \ kolonnās = n \ cdot (n + 1) $$
Bet mums ir nepieciešama tikai vienas rindas summa, tāpēc:
$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$
Trešais veids: izveidojiet taisnstūri
Ir vēl viens izskaidrojums, mēģināsim salocīt krustiņus, pieņemsim, ka mums ir krusti:
Tas izskatās kā tikai atšķirīgs otrā ceļa attēlojums - katrā nākamajā piramīdas rindā ir vairāk krustu un mazāk nulles. Visu krustiņu un nulles skaits ir taisnstūra laukums.
$$ Platība = augstums \ cdot Platums = n \ cdot (n + 1) $$
Bet mums ir vajadzīga krustu summa, tāpēc:
$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$
Ceturtais veids: vidējais aritmētiskais
Zināms: $ Vidējais \ Aritmētika = \ frac (summa) (skaits \ dalībnieki) $
Tad: $ Summa = vidējais \ aritmētika \ cdot Skaits \ locekļi $
Mēs zinām dalībnieku skaitu - $ n $. Kā izteikt vidējo aritmētisko?
Ņemiet vērā, ka skaitļi ir vienmērīgi sadalīti. Katram lielam skaitlim otrā galā ir mazs.
1 2 3, vidēji 2
1 2 3 4, vidēji 2,5
Šajā gadījumā vidējais aritmētiskais ir skaitļu 1 un $ n $ vidējais aritmētiskais, tas ir, $ Vidējais \ aritmētiskais = \ frac (n + 1) (2) $
$$ Summa = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$
Piektais veids: integrālis
Mēs visi zinām, ka noteikts integrālis aprēķina summu. Aprēķināsim summu no 1 līdz 100 ar integrāli? Jā, bet vispirms vismaz atradīsim summu no 1 līdz 3. Ļaujiet mūsu skaitļiem būt y (x) funkcijai. Uzzīmēsim attēlu:
Trīs taisnstūru augstumi ir precīzi skaitļi no 1 līdz 3. Novelkam taisnu līniju cauri “vāciņu” vidum:
Būtu jauki atrast šīs līnijas vienādojumu. Tas iet caur punktiem (1.5; 1) un (2.5; 2). $ y = k \ cdot x + b $.
$$ \ sākums (gadījumi) 2,5k + b = 2 \\ 1,5k + b = 1 \beigas (gadījumi) \ Labā bultiņa k = 1; b = -0,5 $
Tādējādi taisnstūra vienādojums, ar kuru mēs varam tuvināt savus taisnstūrus, ir $ y = x-0,5 $
Tas nogriež no taisnstūriem dzeltenos trīsstūrus, bet no augšas "pievieno" tiem zilos. Dzeltens ir vienāds ar zilu. Vispirms pārliecināsimies, ka integrāļa izmantošana noved pie Gausa formulas:
$$ \ int_ (1) ^ (n + 1) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2 )) (|) ^ (n + 1) _ (1) = \ frac ((n + 1) ^ (2)) (2) - \ frac (n + 1) (2) = \ frac (n ^ () 2) + 2n + 1-n-1) (2) = \ frac (n ^ (2) + n) (2) $$
Tagad aprēķināsim summu no 1 līdz 3, ar x ņemam no 1 līdz 4, lai visi trīs mūsu taisnstūri iekļautos integrālī:
$$ \ int_ (1) ^ (4) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (4) _ (1) = \ frac (4 ^ (2)) (2) -2- (0,5-0,5) = 6 $ $
$$ \ int_ (1) ^ (101) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (101) _ (1) = \ frac (101 ^ (2)) (2) -50,5- (0,5-0,5) = 5100,5-50,5 = 5050 USD
Un kāpēc tas viss ir vajadzīgs?
$$ \ frac (n (n + 1)) (2) = \ frac (n ^ (2)) (2) + \ frac (n) (2) $$
Pirmajā dienā jūsu vietni apmeklēja viens cilvēks, otrajā dienā divi... Katru dienu apmeklējumu skaits pieauga par 1. Cik apmeklējumu vietne iegūs līdz 1000. dienas beigām?
$$ \ frac (n (n + 1)) (2) = \ frac (n ^ (2)) (2) + \ frac (n) (2) = \ frac (1000 ^ (2)) (2) + \ frac (1000) (2) = 500 000 + 500 = 500 500 USD
Cikls "Izklaidējošā matemātika" ir veltīts bērniem, kuriem patīk matemātika, un vecākiem, kuri velta laiku savu bērnu attīstībai, "iemetot" viņiem interesantus un izklaidējošus uzdevumus un mīklas.
Pirmais raksts šajā sērijā ir veltīts Gausa likumam.
Mazliet vēstures
Slavenais vācu matemātiķis Karls Frīdrihs Gauss (1777-1855) jau no agras bērnības atšķīrās no saviem vienaudžiem. Neskatoties uz to, ka viņš bija no nabadzīgas ģimenes, viņš pietiekami agri iemācījās lasīt, rakstīt un skaitīt. Viņa biogrāfijā pat minēts fakts, ka 4-5 gadu vecumā viņš spējis labot kļūdu tēva aprēķinos, vienkārši viņu novērojot.
Viens no viņa pirmajiem atklājumiem tika veikts 6 gadu vecumā matemātikas stundā. Skolotājam ilgi vajadzēja savaldzināt bērnus, un viņš ierosināja šādu problēmu:
Atrodiet visu naturālo skaitļu summu no 1 līdz 100.
Jaunais Gauss ar šo uzdevumu tika galā pietiekami ātri, atrodot interesantu modeli, kas kļuva plaši izplatīts un tiek izmantots līdz pat šai dienai mutvārdu skaitīšanā.
Mēģināsim šo problēmu atrisināt mutiski. Bet vispirms pieņemsim skaitļus no 1 līdz 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Apskatiet šo summu un mēģiniet uzminēt, ko neparasts Gauss varētu redzēt? Lai atbildētu, jums ir jābūt labam priekšstatam par skaitļu sastāvu.
Gauss sagrupēja skaitļus šādi:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Tā mazais Kārlis saņēma 5 skaitļu pārus, no kuriem katrs atsevišķi saskaita 11. Tad, lai aprēķinātu naturālo skaitļu summu no 1 līdz 10, vajag
Atgriezīsimies pie sākotnējās problēmas. Gauss pamanīja, ka pirms summēšanas ir nepieciešams grupēt skaitļus pa pāriem, un tādējādi izgudroja algoritmu, ar kura palīdzību jūs varat ātri pievienot skaitļus no 1 līdz 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Atrodiet pāru skaitu naturālu skaitļu virknē. Šajā gadījumā tie ir 50.
Mēs apkopojam šīs sērijas pirmo un pēdējo numuru. Mūsu piemērā tie ir 1 un 100. Mēs iegūstam 101.
Mēs reizinām iegūto rindas pirmā un pēdējā termiņa summu ar šīs sērijas pāru skaitu. Mēs iegūstam 101 * 50 = 5050
Tāpēc naturālo skaitļu summa no 1 līdz 100 ir 5050.
Gausa likuma lietošanas problēmas
Un tagad mēs piedāvājam jums problēmas, kurās Gausa noteikums tiek izmantots vienā vai otrā pakāpē. Ceturtās klases skolnieks ir diezgan spējīgs saprast un atrisināt šīs problēmas.
Jūs varat dot bērnam iespēju argumentēt par sevi, lai viņš pats "izgudroja" šo noteikumu. Vai arī varat to izjaukt un redzēt, kā viņš to var pielietot. Starp tālāk norādītajiem uzdevumiem ir piemēri, kuros jums jāsaprot, kā modificēt Gausa noteikumu, lai to piemērotu noteiktai secībai.
Jebkurā gadījumā, lai bērns ar to darbotos savos aprēķinos, ir jāsaprot Gausa algoritms, tas ir, spēja pareizi sadalīties pa pāriem un skaitīt.
Svarīgs! Ja formulu iegaumē bez saprašanas, tā ļoti ātri aizmirsies.
1. problēma
Atrodiet skaitļu summu:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Risinājums.
Pirmkārt, jūs varat dot bērnam iespēju pašam atrisināt pirmo piemēru un piedāvāt atrast veidu, kā to viegli izdarīt prātā. Pēc tam kopā ar bērnu analizējiet šo piemēru un parādiet, kā Gauss to izdarīja. Vislabāk skaidrības labad pierakstīt virkni un savienot skaitļu pārus ar līnijām, kuru summa ir vienāda. Svarīgi, lai bērns saprastu, kā veidojas pāri – no atlikušajiem skaitļiem ņemam mazāko un lielāko, ar nosacījumu, ka skaitļu skaits rindā ir pāra.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Uzdevums2
Ir 9 svari: 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g, 8 g, 9 g. Vai ir iespējams šos svarus sadalīt trīs vienāda svara kaudzēs?
Risinājums.
Izmantojot Gausa likumu, mēs atrodam visu svaru summu:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (d)
Tātad, ja varam sagrupēt atsvarus tā, lai katrā kaudzē būtu atsvari ar kopējo svaru 15g, tad problēma ir atrisināta.
Viena no iespējām:
- 9g, 6g
- 8g, 7g
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Atrodiet citas iespējamās iespējas pats kopā ar savu bērnu.
Pievērsiet bērna uzmanību tam, ka, risinot šādas problēmas, labāk vienmēr sākt grupēšanu ar lielāku svaru (skaitli).
3. problēma
Vai ir iespējams sadalīt pulksteņa ciparnīcu ar taisnu līniju divās daļās, lai skaitļu summas katrā daļā būtu vienādas?
Risinājums.
Vispirms izmantojiet Gausa likumu skaitļu sērijai 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: atrodiet summu un pārbaudiet, vai tā dalās ar 2:
Tātad jūs varat sadalīt. Tagad redzēsim, kā.
Tāpēc uz ciparnīcas ir jānovelk līnija, lai vienā pusē iekristu 3 pāri, bet otrā - trīs.
Atbilde: līnija darbosies starp cipariem 3 un 4, un pēc tam starp cipariem 9 un 10.
Uzdevums4
Vai uz pulksteņa ciparnīcas var novilkt divas taisnas līnijas, lai katrā daļā skaitļu summa būtu vienāda?
Risinājums.
Vispirms izmantojiet Gausa likumu skaitļu sērijai 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: atrodiet summu un pārbaudiet, vai tā dalās ar 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 dalās ar 3 bez atlikuma, tāpēc var dalīt. Tagad redzēsim, kā.
Saskaņā ar Gausa likumu mēs iegūstam 6 skaitļu pārus, no kuriem katrs kopā veido 13:
1 un 12, 2 un 11, 3 un 10, 4 un 9, 5 un 8, 6 un 7.
Tāpēc uz ciparnīcas ir jāvelk līnijas, lai katrā daļā iekristu 2 pāri.
Atbilde: pirmā rinda darbosies starp cipariem 2 un 3, un pēc tam starp cipariem 10 un 11; otrā rinda ir starp cipariem 4 un 5 un pēc tam starp 8 un 9.
5. problēma
Lido putnu bars. Priekšā ir viens putns (vadonis), kam seko divi, tad trīs, četri utt. Cik putnu ir barā, ja pēdējā rindā ir 20 no tiem?
Risinājums.
Mēs saņemam, ka mums ir jāsaskaita skaitļi no 1 līdz 20. Un, lai aprēķinātu šādu summu, varat piemērot Gausa likumu:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
6. problēma
Kā ievietot 45 trušus 9 būros, lai visos būros būtu atšķirīgs trušu skaits?
Risinājums.
Ja bērns izlēma un ar izpratni saprata piemērus no 1. uzdevuma, tad viņš uzreiz atceras, ka 45 ir skaitļu summa no 1 līdz 9. Tāpēc mēs stādām trušus šādi:
- pirmā šūna ir 1,
- otrais - 2,
- trešais - 3,
- astotais - 8,
- devītais - 9.
Bet, ja bērns to nevar uzreiz izdomāt, mēģiniet viņu piespiest pie domas, ka šādas problēmas var atrisināt ar brutālu spēku un jāsāk ar minimālo skaitu.
7. problēma
Aprēķiniet summu, izmantojot Gausa triku:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Risinājums.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
8. problēma
Ir 12 atsvaru komplekts, kas sver 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g, 8 g, 9 g, 10 g, 11 g, 12 g. No komplekta tika izņemti 4 atsvari, kuru kopējā masa ir vienāda ar vienu trešdaļu no visa atsvaru komplekta kopējās masas. Vai ir iespējams novietot atlikušos svarus uz diviem svariem ar 4 gabaliņiem uz katras pannas, lai tie būtu līdzsvarā?
Risinājums.
Mēs izmantojam Gausa likumu, lai atrastu svaru kopējo masu:
1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (d)
Mēs aprēķinām noņemto atsvaru masu:
Tāpēc atlikušie atsvari (ar kopējo masu 78-26 = 52 g) jānovieto pa 26 g uz katras svaru pannas, lai tie būtu līdzsvarā.
Mēs nezinām, kuri atsvari tika noņemti, tāpēc mums ir jāapsver visas iespējamās iespējas.
Piemērojot Gausa likumu, svarus var sadalīt 6 vienāda svara pāros (katrs 13g):
1.d un 12.d, 2.d un 11.d, 3.d un 10.d, 4d un 9d, 5d un 8d, 6d un 7d.
Tad labākais variants ir tad, kad, noņemot 4 atsvarus, tiek noņemti divi pāri no iepriekšminētajiem. Šajā gadījumā mums būs 4 pāri: 2 pāri vienā skalā un 2 pāri otrā.
Sliktākais scenārijs ir, kad 4 noņemtie atsvari salauž 4 pārus. Mums būs 2 nesadalīti pāri ar kopējo svaru 26g, tas nozīmē, ka liekam uz vienas svaru pannas, bet atlikušos svarus varēs likt uz otra svariem un tie arī būs 26g.
Veiksmi jūsu bērnu attīstībā.
Šodien mēs izskatīsim vienu no matemātikas uzdevumiem, kas man bija jāatrisina ar savu brāļadēlu. Un tad mēs to ieviesīsim caur PHP. Un mēs apsvērsim vairākas iespējas šīs problēmas risināšanai.
Uzdevums:
Ātri viens pēc otra jāsaskaita visi skaitļi no 1 līdz 100 un jānoskaidro visu skaitļu summa.
Problēmas risinājums:
Patiesībā, pirmo reizi atrisinot šo problēmu, mēs to neatrisinājām pareizi! Bet mēs nerakstīsim par nepareizu šīs problēmas risinājumu.
Un risinājums ir tik vienkāršs un triviāls - jums ir jāsaskaita 1 un 100 un jāreizina ar 50. (Kārlim Gausam bija šāds risinājums, kad viņš bija ļoti mazs ...)
(1 + 100)*50.
Kā atrisināt šo problēmu caur php?
Aprēķiniet visu skaitļu summu no 1 līdz 100, izmantojot PHP.
Kad šo problēmu jau esam atrisinājuši, nolēmām paskatīties, ko viņi raksta internetā par šo jautājumu! Un es atradu kādu formu, kurā jaunie talanti nevarēja atrisināt šo problēmu, un mēģināju to izdarīt ciklā.
Ja nav īpašu nosacījumu, lai to darītu caur cilpu, tad nav jēgas to darīt caur cilpu!
Un jā! Neaizmirstiet, ka php jūs varat atrisināt problēmu daudzos veidos! viens.
Šis kods kopumā var pievienot jebkuru skaitļu secību, sākot no viena un līdz pat bezgalībai.
Ieviesīsim mūsu risinājumu tā vienkāršākajā formā:
$ beigas = $ _POST ["peremennaya"];
$ res = $ beigas / 2 * ($ i + $ beigas);
