Viens no veidiem, kā atrisināt diferenciālvienādojumus (vienādojumu sistēmas) ar nemainīgiem koeficientiem, ir integrālo pārveidojumu metode, kas ļauj reālā mainīgā funkciju (sākotnējo funkciju) aizstāt ar kompleksa mainīgā funkciju (funkcijas attēls). ). Rezultātā diferenciācijas un integrācijas operācijas oriģinālo funkciju telpā tiek pārveidotas par algebrisko reizināšanu un dalīšanu attēla funkciju telpā. Viens no integrālo pārveidojumu metodes pārstāvjiem ir Laplasa transformācija.

Nepārtraukta Laplasa transformācija- integrāla transformācija, kas savieno kompleksa mainīgā funkciju (funkcijas attēlu) ar reāla mainīgā funkciju (funkcijas oriģināls). Šajā gadījumā reāla mainīgā funkcijai ir jāatbilst šādiem nosacījumiem:

Funkcija ir definēta un diferencējama uz visas reāla mainīgā pozitīvās pusass (funkcija atbilst Dirihlē nosacījumiem);

Funkcijas vērtība līdz sākuma brīdim ir vienāda ar nulli ;

Funkcijas pieaugumu ierobežo eksponenciālā funkcija, t.i. reāla mainīgā funkcijai pastāv šādi pozitīvi skaitļi M un Ar , kas kur c - absolūtās konverģences abscisa (dažs pozitīvs skaitlis).

Laplasa transformācija (tiešā integrālā transformācija) reāla mainīgā funkciju sauc par šādas formas funkciju (kompleksa mainīgā funkcija):

Funkciju sauc par funkcijas oriģinālu, un funkciju sauc par tās attēlu. Sarežģīts mainīgais sauc par Laplasa operatoru, kur leņķiskā frekvence ir kāds pozitīvs konstants skaitlis.

Kā pirmo piemēru mēs definējam attēlu nemainīgai funkcijai

Kā otru piemēru mēs definējam kosinusa funkcijas attēlu ... Ņemot vērā Eilera formulu, kosinusa funkciju var attēlot kā divu eksponenciālu summu .

Praksē tiešās Laplasa transformācijas veikšanai tiek izmantotas transformāciju tabulas, kurās tiek uzrādīti tipisko funkciju oriģināli un attēli. Dažas no šīm funkcijām ir parādītas zemāk.

Oriģināls un attēls eksponenciālai funkcijai

Oriģināls un attēls kosinusa funkcijai

Oriģināls un attēls sinusa funkcijai

Oriģināls un attēls eksponenciāli dilstošam kosinusam

Oriģināls un attēls eksponenciāli dilstošam sinusam

Jāņem vērā, ka funkcija ir Heaviside funkcija, kas argumenta negatīvajām vērtībām pieņem nulli un argumenta pozitīvajām vērtībām vērtību, kas vienāda ar vienu.

Laplasa transformācijas īpašības

Linearitātes teorēma

Laplasa transformācija ir lineāra, t.i. jebkura lineāra sakarība starp funkcijas oriģināliem ir derīga šo funkciju attēliem.

Linearitātes īpašība atvieglo sarežģītu attēlu oriģinālu atrašanu, jo tas ļauj funkcijas attēlu attēlot kā vienkāršu terminu summu un pēc tam atrast katra attēlotā vārda oriģinālus.

Oriģināla diferenciācijas teorēma funkcijas

Sākotnējās funkcijas diferenciācija atbilst reizināšana

Sākotnējiem nosacījumiem, kas nav nulles:

Ar nulles sākuma nosacījumiem (īpašs gadījums):

Tādējādi funkcijas diferencēšanas operācija tiek aizstāta ar aritmētisko darbību funkcijas attēla telpā.

Oriģināla integrācijas teorēma funkcijas

Sākotnējās funkcijas integrācija atbilst nodaļa funkciju attēlus uz Laplasa operatoru.

Tādējādi funkcijas integrēšanas darbība tiek aizstāta ar aritmētisko darbību funkcijas attēla telpā.

Līdzības teorēma

Funkcijas argumenta maiņa (signāla saspiešana vai paplašināšana) laika apgabalā izraisa pretējas izmaiņas argumentā un funkcijas attēla ordinātā.

Impulsa ilguma palielināšanās izraisa tā spektrālās funkcijas saspiešanu un spektra harmonisko komponentu amplitūdu samazināšanos.

Aizkaves teorēma

Signāla aizkave (nobīde, nobīde) ar sākotnējās funkcijas argumentu pēc intervāla noved pie spektra fāzes-frekvences funkcijas izmaiņām (visu harmoniku fāzes leņķis) par noteiktu daudzumu, nemainot moduli (amplitūdu) spektra funkcija).

Iegūtā izteiksme ir derīga jebkurai

Nobīdes teorēma

Signāla aizkave (nobīde, nobīde) ar funkcijas attēla argumentu noved pie sākotnējās funkcijas reizināšanas ar eksponenciālu faktoru

No praktiskā viedokļa eksponenciālo funkciju attēlu noteikšanai tiek izmantota pārvietojuma teorēma.

Konvolūcijas teorēma

Konvolūcija ir matemātiska darbība, ko piemēro divām funkcijām, un rezultātā tiek iegūta trešā funkcija. Citiem vārdiem sakot, ja ir noteiktas lineāras sistēmas reakcija uz impulsu, varat izmantot konvolūciju, lai aprēķinātu sistēmas reakciju uz visu signālu.

Tādējādi divu funkciju oriģinālu konvolūciju var attēlot kā šo funkciju attēlu produktu. Saskaņošanas teorēma tiek izmantota, apsverot pārsūtīšanas funkcijas, kad tiek noteikta sistēmas reakcija (izejas signāls no četru portu tīkla), kad signāls tiek ievadīts četru portu tīkla ieejā ar impulsa pārejas reakciju.

Lineārs kvadrupols

Apgrieztā Laplasa transformācija

Laplasa transformācija ir atgriezeniska, t.i. reālā mainīgā funkcija ir unikāli noteikta no kompleksa mainīgā funkcijas . Šim nolūkam tiek izmantota apgrieztā Laplasa transformācijas formula(Mellina formula, Bromviča integrālis), kurai ir šāda forma:

Šajā formulā integrācijas robežas nozīmē, ka integrācija iet pa bezgalīgu taisni, kas ir paralēla iedomātajai asij un krusto reālo asi punktā. Ņemot vērā, ka pēdējo izteiksmi var pārrakstīt šādi:

Praksē, lai veiktu apgriezto Laplasa transformāciju, funkcijas attēlu ar nedefinētu koeficientu metodi sadala vienkāršāko daļu summā un katrai daļai (atbilstoši linearitātes īpašībai) nosaka funkcijas oriģinālu. , tostarp ņemot vērā tipisko funkciju tabulu. Šī metode ir derīga, lai parādītu funkciju, kas ir pareiza racionāla daļa. Jāņem vērā, ka visvienkāršāko daļu var attēlot kā lineāro un kvadrātisko faktoru reizinājumu ar reāliem koeficientiem atkarībā no saucēja sakņu veida:

Ja saucējā ir nulles sakne, funkcija tiek sadalīta daļdaļā, piemēram:

Ja saucējā ir nulle n-kārtīga sakne, funkcija tiek sadalīta tipa daļā:

Ja saucējā ir reāla sakne, funkcija tiek sadalīta daļdaļā, piemēram:

Ja saucējā ir reāla n-vairākkārtēja sakne, funkcija tiek sadalīta daļskaitlī, piemēram:

Ja saucējā ir iedomāta sakne, funkcija tiek sadalīta daļdaļā, piemēram:

Sarežģītu konjugētu sakņu gadījumā saucējā funkcija tiek sadalīta daļdaļā, piemēram:

∙ Vispār ja funkcijas attēls ir regulāra racionāla daļa (skaitītāja pakāpe ir mazāka par racionālās daļas saucēja pakāpi), tad to var izvērst vienkāršāko daļskaitļu summā.

∙ Konkrētā gadījumā ja funkcijas attēla saucēju sadala tikai vienkāršās vienādojuma saknēs, tad funkcijas attēlu var sadalīt vienkāršāko daļskaitļu summā šādi:

Nezināmus koeficientus var noteikt, izmantojot nedefinēto koeficientu metodi vai vienkāršotā veidā, izmantojot šādu formulu:

Funkcijas vērtība punktā;

Funkcijas atvasinājuma vērtība punktā.

Atšifrējums

1 Laplasa transformācija Īsa informācija Laplasa transformācija, ko plaši izmanto ķēžu teorijā, ir integrāla transformācija, ko izmanto laika funkcijām f, kas vienāda ar nulli< L { f } f d F, где = + комплексная переменная Величина выбирается так, чтобы интеграл сходился Если функция f возрастает не быстрее, чем экспонента, то интеграл преобразования Лапласа сходится, если >Var pierādīt, ka, ja Laplasa integrālis konverģē uz kādu vērtību s, tad tas definē funkciju F, kas ir analītiska visā pusplaknē> s Šādi definēto funkciju F var analītiski turpināt visā kompleksā mainīgā = +, izņemot atsevišķus vienskaitļa punktus.Visbiežāk šis turpinājums tiek veikts, formulu, kas iegūta, aprēķinot integrāli, paplašinot uz visu kompleksā mainīgā plakni.Funkcija F, kas analītiski tiek turpināta uz visu komplekso plakni, ir ko sauc par laika funkcijas f Laplasa attēlu vai vienkārši attēlu.Funkciju f attiecībā pret tās attēlu F sauc par oriģinālu Ja attēls F ir zināms, tad oriģinālu var atrast, izmantojot apgriezto Laplasa transformāciju f F d for > Labajā pusē esošais integrālis ir kontūras integrālis pa taisnu līniju, kas ir paralēla ordinātu asij Vērtība izvēlēta tā, lai pusplaknē R> nebūtu funkcijas F vienskaitļa punktu. ir apgrieztās Laplasa transformācijas un apzīmētas ar simbolu f L (F) L 7

2 Apsveriet dažas Laplasa transformācijas īpašības Linearitāte Šo īpašību var uzrakstīt kā vienādību L (ff) L (f) L (f) Laplasa transformācija no funkcijas atvasinājuma df L () d df d F fdf 3 Laplasa transformācija no integrālis: L (fd) df 8 fdd F df: dffdd Apsveriet vienkāršāko Laplasa transformācijas pielietojumu ķēdes teorijā. Attēlā parādīti vienkāršākie ķēžu elementi: pretestība, induktivitāte un kapacitāte Momentānais sprieguma kritums pāri pretestībai ir vienādība, kas joprojām pastāv. Oma likuma formu, bet jau sprieguma un strāvas attēliem Momentānajam spriegumam pāri induktivitātei sakarība diu L, d ie nav tiešas proporcionalitātes, Ohma likums šeit nepastāv Pēc Laplasa transformācijas iegūstam U. = LI LI +

3 Ja, kā tas bieži notiek, I + =, tad sakarība iegūst formu U = LI Tādējādi sprieguma un strāvas attēliem atkal ir spēkā Oma likums.Pretestības lomu spēlē lielums L, kas tiek saukta par induktivitātes pretestību Attiecībā uz kapacitāti mums ir saistība starp sprieguma momentānām vērtībām un induktivitāti uid C Pēc Laplasa transformācijas šī attiecība ir UI formā, C te ir Oma likuma forma, un kapacitatīvā pretestība ir vienāds ar C Sastādīsim ķēžu teorijā atrasto elementāro funkciju tiešo un apgriezto Laplasa transformāciju tabulu vienības soli nosaka vienādības: pie; pie Laplasa šīs funkcijas transformācija būs L () L () d d 3 L () 4 L () 5 L (sin) 9

4 3 6) (cos L 7) () sin (LL) (L 8) cos (L 9) (F dff L! Ndnnnn L! Nnn L Tagad apsveriet racionālās daļas apgriezto transformāciju, proti, attēls bbbb BF nnnnmmmm Ļaujiet m< n и знаменатель имеет только простые корни Тогда n n K K K B, где, n корни полинома B, стоящего в знаменателе изображения Коэффициенты K, K, K n могут быть найдены следующим

5 3 ceļi Sadalīsim attēlu vienkāršās daļās un reizinām ar: nn KKKKB Tagad pacentīsimies Tad labajā pusē paliek tikai K: lim BK Labajā pusē ir formas nenoteiktība, kas tiek paplašināta atbilstoši L'Hôpital's noteikums: "BK Aizstājot, mēs iegūstam" n BB Zināma vienkāršas daļdaļas apgrieztā transformācija: L Tāpēc "n BBL Procenti ir īpašs gadījums, kad viena no saucēja saknēm ir vienāda ar nulli: BF Šajā gadījumā dekompozīcija no F vienkāršās daļās būs forma, kā izriet no iepriekšējās," n BBB un B nav saknes pie nulles

6 3 Līdz ar to funkcijas F apgrieztajai Laplasa transformācijai būs šāda forma: n B B B "L Aplūkosim citu gadījumu, kad polinomam saucējā B ir vairākas saknes. Pieņemsim, ka m< n и корень кратности l При разложении на простые дроби этому корню соответствует сумма: l l l K K K Обратное преобразование слагаемых этой суммы мы уже имели выше см п:! n n n L Таким образом, обратное преобразование суммы будет иметь вид: M, где M полином от степени l

7 Dažas vispārīgas ķēžu īpašības Ļaujiet kompleksai ķēdei saturēt P zarus un Q mezglus Tad saskaņā ar pirmo un otro Kirhhofa likumu var sastādīt P + Q vienādojumus P strāvām zaros un Q mezgla potenciāliem Viens no Q mezgla potenciāliem tiek pieņemts kā nulle Bet vienādojumu skaitu var samazināt uz Q, ja kā maiņstrāvas izmantojam cilpas strāvas Šajā gadījumā automātiski izpildās pirmais Kirhofa likums, jo katra strāva ieiet un iziet no mezgla, tas ir, dod kopējā strāva ir vienāda ar nulli, un turklāt mezglu potenciālu Q tiek izteikts caur cilpas strāvām Kopējais vienādojumu skaits, un tāpēc neatkarīgās cilpas kļūst vienādas ar P + QQ = PQ + Neatkarīgus vienādojumus var uzrakstīt tieši ja cilpas strāvas tiek ņemtas par nezināmām.viena no pārējām kontūrām att. Katrai no kontūrām tiek sastādīti vienādojumi saskaņā ar otro Kirhhofa likumu. a Parasti zaru pretestība ir vienāda ar i R i C i L kur i, =, n, n ir neatkarīgo ķēžu skaits. Cilpas strāvu vienādojumi ir šādi: I I n I n E; I I n I n E; ni n I nn I n En i, Šeit E i ir visu i-tajā ķēdē iekļauto EMF summa. i-tās kontūras Pretestības ii attēlo i-tajā kontūrā iekļauto pretestību summu Pretestība i ir daļa no i-tās pretestība 33 Att. Neatkarīgo kontūru piemērs

8 Vienādojumam m-tajai ķēdei būs šāda forma: ķēde, kas ir iekļauta arī th ķēdē Ir skaidrs, ka pasīvai ķēdei ir patiesa vienādība i = i. Apsveriet, kā ķēdes strāvu vienādojumi aktīvajām ķēdēm, kas satur tranzistori tiek modificēti, fig mi mi mn I n Em I i Pārnesot otro vārdu no labās puses uz kreiso pusi, mēs šo vienādojumu pārveidojam šādi: mi mi I i mn I n Em nezināmie, mezglu potenciāli ir izmantots arī, skaitīts no viena mezgla potenciāla, ņemts par nulli Y ko var pārrakstīt šādi: kur att. Tranzistora ekvivalenta ķēde kompleksā shēmā U YU U YnU U n I, YUY U Y nu n I, Y Y Y Y n

9 Mezglu potenciālu vienādojumu sistēmai ir forma Y U YU Y nu n I; YU YU Y nu n I; Yn U Yn U YnnU n Kurā ir atkarīgi strāvas avoti. Tagad aplūkosim ķēžu vienādojumu risinājumus Cilpas strāvu vienādojumu sistēmas atrisinājumam ir forma th strāvai: I, kur sistēmas galvenais determinants ir tas pats noteicošais faktors, kurā i-tā kolonna tiek aizstāta ar elektromotora spēkiem no labajām pusēm E, E, E n Pieņemsim, ka ķēdē ir tikai viens EMF E, kas iekļauts ievades ķēdē, kuram ir piešķirts pirmais numurs. vienādojumi jāsastāda tā, lai caur mūs interesējošo atzaru iet tikai viena ķēdes strāva, 4. att. Tad ieejas strāva ir vienāda ar IE, kur atbilstošais algebriskā komplementa determinants i 4. attēls Ķēde ar EMF ievades ķēdē 35

10 Attiecību EI sauc par ieejas pretestību. Turpretim šī pretestība ņem vērā visu ķēžu ietekmi. no pirmās ķēdes uz otro. 5 5. att. Ķēde ar strāvas avotu pie ieejas "UI" I, Y "Y" un pārraides vadītspēju no pirmā mezgla uz otro: U "I" IYT, YT "" kur I ir strāva, kas tiek piegādāta pirmajam mezglam, U un U spriegums, kas iegūts pirmajā un otrajā mezglā, "ir galvenais mezglu potenciālu vienādojumu sistēmas determinants, un" i ir atbilstošais algebriskais papildinājums starp un Y ir relācija Y Pasīvai ķēdei mums bija = Tāpēc sistēmas galvenais determinants ir simetrisks No tā izriet, ka algebriskie papildinājumi ir vienādi: = Tāpēc ir vienādi un pārraides pretestība T = T Šo īpašību sauc par īpašību savstarpīgums. Tā, kā redzam, ir pretestības matricas simetrija.Savstarpīguma īpašība 6. attēlā ir formulēta šādi: ja ieejas ķēdē esošais EMF izvades ķēdē rada zināmu strāvu, tad tas pats EMF, kas iekļauts izejas ķēde izraisīs ievades ķēdē,

11 re strāva ar tādu pašu vērtību Īsumā šī īpašība dažkārt tiek formulēta šādi: EMF ievades ķēdē un ampērmetru izejas ķēdē var apmainīt, savukārt ampērmetra rādījums nemainīsies 6. attēls Ķēdes uzvedība ar īpašību savstarpīguma 7 UE 7. attēls Sprieguma pārneses koeficients, tad Kā izriet no diagrammas 7. attēlā: UUI n; ; K n E T E; I T U n Līdzīgi var noteikt strāvas pārvades koeficientu I K I 8. att.: I Tātad I U ​​Yn I; Y; K n I YT I U Y T I 8. att. Strāvas pārvades koeficients Yn Y T T 37

12 3 Vairāk par ķēžu funkciju vispārīgajām īpašībām Ķēžu funkcijas ir mainīgā funkcijas, kas iegūtas, risinot vienādojumus, piemēram, ieejas vadītspējas pretestība, pārraides vadītspējas pretestība utt. mainīgais un ir daļa m Ф B bnmnbmmnn 38 bb un koeficienti ir reāli. Pretējā gadījumā to var attēlot formā Ф bmnm, "" "kur, m,", "," n vienādojumu saknes mbnmnbmnm, nbb Vērtības =, m sauc par funkcijas Ф nullēm, bet vērtības = ",", "n par poliem Φ Acīmredzot divas racionālas funkcijas, kuru nulles un stabi sakrīt, var atšķirties tikai ar nemainīgiem faktoriem. citiem vārdiem sakot, ķēdes parametru atkarības raksturu no frekvences pilnībā nosaka ķēdes funkcijas nulles un stabi.polinoms iegūst konjugāta vērtību * = * un B * = B * No tā izriet, ka, ja polinoms to Ja ir sarežģīta sakne, tad tā būs arī sakne Tādējādi ķēdes funkcijas nulles un stabi var būt vai nu reāli, vai veidot kompleksus konjugētus pārus Ļaujiet Ф ir ķēdes funkcija Apsveriet tās vērtības pie =: Ф Ф Ф Tā kā koeficienti skaitītājā un saucējā Ф ir reāli, tad Ф Ф n,

13 Nē Ф Ф Ф, Ф Ф Ф Salīdzinot šīs vienādības, ņemot vērā iepriekš doto vienādību, mēs iegūstam, ka Ф Ф, Ф Ф, tas ir, ķēdes funkcijas reālā daļa ir pāra funkcija no frekvences, un iedomātais nepāra. Frekvences funkcija 3 Stabilitāte un fiziskā iespējamība Aplūkosim vienādību, kas nosaka strāvu ieejas pretestībā, ko rada spriegums U: UIB Lai U ir soli vienība, un tad I, B kur un B ir polinomi no Izmantojot izplešanās formulu, mēs var iegūt i BB ", kur polinoma B nulles un līdz ar to pretestības funkcijas nulles un galvenā determinanta nulles: = Ja vismaz vienai nullei ir pozitīva reālā daļa, tad es palielināsies bezgalīgi. Tādējādi pretestība, no kuras vismaz viena nulle atrodas labajā pusplaknē, atbilst nestabilai sistēmai, 39

14 me To pašu secinājumu var izdarīt attiecībā uz pārraides pretestību T, ieejas vadītspēju Y, pārraides vadītspēju YT Definīcija Ķēdes funkciju sauc par fiziski īstenojamu, ja tā atbilst ķēdei, kas sastāv no reāliem elementiem un nevienai no tās dabiskajām vibrācijām. ir amplitūda, kas bezgalīgi palielinās ar Definīcijā norādīto ķēdi sauc par stabilu Ķēdes fiziski realizējamās stabilās funkcijas galvenā determinanta nulles un līdz ar to pretestības un vadītspējas funkciju nullēm jāatrodas tikai kreisajā pusē. mainīgā pusplakne vai uz reālo frekvenču ass Ja divas vai vairākas nulles sakrīt ar vairākām saknēm, tad atbilstošajiem atrisinājumiem ir forma: M, kur M ir m pakāpes polinoms, m ir saknes daudzkārtība If, vienlaikus =, un m>, tad atbilstošais risinājums bezgalīgi palielinās o koeficients e transmisija, tad viss iepriekš teiktais attiecas nevis uz nullēm, bet gan uz pārraides koeficienta ķēdes funkcijas poliem Faktiski: n K T nulles ir funkcijas K stabi, un slodzes pretestība ir pasīva; tās nulles noteikti atrodas pareizajā plaknē No iepriekš minētā izriet, ka ķēdes fiziski realizējamajām funkcijām ir šādas īpašības: kamēr ķēdes funkcijas nulles un stabi ir vai nu reāli, vai veido sarežģītus konjugātus pārus; b ķēdes funkcijas reālās un iedomātās daļas reālās frekvencēs ir attiecīgi pāra un nepāra frekvences funkcija; galvenā determinanta nullēs, un līdz ar to vadītspējas pretestība un pārraides vadītspējas pretestība nevar atrasties labajā pusplaknē, un vairākas nulles ne labajā pusplaknē, ne uz reālo frekvenču ass T 4

15 3 Pārejas procesi pastiprinātājos Atrisinot ķēdes vienādojumu sistēmu, tiek iegūts izejas signāla attēls noteiktai ieejai U = KE Ķēdes funkciju laika domēnā var atrast, izmantojot apgriezto Laplasa transformāciju u L (KE) Vislielāko interesi rada pārejošs process ar ieejas signālu soļa formā Reakcija Sistēmas reakciju uz vienu soli sauc par pārejas funkciju.Zinot pārejas funkciju, var atrast sistēmas reakciju uz patvaļīgas ieejas signālu. forma.Viena soļa attēlam ir forma, tāpēc sistēmas reakcija uz vienu soli ir: K h L Apgriezto Laplasa transformāciju var uzrakstīt šādi: h LKK 4 d Tajā pašā laikā>, jo ceļš no integrācijas jāatrodas pa labi no pola = Lielu interesi rada definīcija 3. attēls Pastiprinātāja pārejas funkcijas kontūra pēc tā integrācijas veida ar frekvences reakciju Šim nolūkam pārejas integrācijas aprēķināšanas ceļam jābūt apvienojumā ar reālo frekvenču funkcijas asi = Pols t punkts = šajā gadījumā jums vajadzētu apiet apli ar mazu rādiusu r 3. att.: h r K d K r r K r d d r r

16 4 Dosimies uz robežu r Tad mums ir d KVKK d KV h Šeit izteiksme V ar integrāli nozīmē šī integrāļa galveno vērtību Iegūtā formula ļauj atrast pārejas funkciju, izmantojot pastiprinājuma frekvences reakciju Uz Pamatojoties uz šo formulu, var izdarīt dažus vispārīgus secinājumus Aizstāt mainīgo h ar: d KVK h Bet h, kā izriet no cēloņsakarības principa, jo signāls parādās pie> Pastiprinājuma funkcija K ir sarežģīta un to var attēlot kā reālās un iedomātās daļas summa: K = K + K r Aizvietojot izteiksmē h, iegūstam d KKVK r Diferencējot attiecībā pret, iegūstam d KK r jeb cos sin sin cos d KKKK rr

17 Integranda iedomātā daļa ir frekvences nepāra funkcija, tāpēc tās integrālis ir vienāds ar nulli. Tā kā reālā daļa ir pāra frekvences funkcija, nosacījumam, kuram jāizpilda fiziski realizējamais pārneses koeficients, ir šāda forma: K. cos K sin dr at Šis nosacījums, kā mēs redzējām, izriet no cēloņsakarības principa Var parādīt, ka sistēma, kuras pārraides koeficientu var uzrakstīt kā polinomu K, B attiecību, ir stabila tādā nozīmē, ka visas polinoma nulles B atrodas kreisajā pusplaknē, atbilst cēloņsakarības principam. Lai to izdarītu, mēs pētām integrāli K hd priekš< и >Ieviesīsim divas slēgtas kontūras un B, kas parādītas 3. attēlā 3. att. Integrācijas kontūras: plkst.< ; B при > 43

18 44 Aplūkosim funkciju, kurā integrālis ir pārņemts slēgtā kontūrā Košī integrāļa teorēmas dēļ integrālis ir vienāds ar nulli, jo labajā pusplaknē integrālis ir analītisks ar nosacījumu. Integrāli var uzrakstīt kā integrāļu summa atsevišķās integrācijas kontūras sadaļās: sin cos R r R rr RR d RRK rdrr K d K d K h Kopš cos> at /< < /, то при < последний интеграл стремится к нулю при R т е h h при R Отсюда следует что h при < Рассмотрим функцию где интеграл берется по контуру B Здесь R вычеты подынтегральной функции относительно полюсов, лежащих в левой полуплоскости Аналогично предыдущему можно показать, что при >atbilst h B h R Tādējādi: R h, for>

19 Atlikums attiecībā pret vienkāršu polu ir vienāds ar RB ", kas mums jau bija pirms K lim, 45 lim B Piemērs Apskatīsim integrējošās ķēdes shēmu, kas parādīta 33. attēlā. Šai ķēdei pārneses koeficients un tā iedomātais un reālais daļām ir forma: K; K; K r, kur RC Pierādīsim, ka saskaņā ar iepriekš doto cēloņsakarības nosacījumu ir jāizpilda vienlīdzība Vienlīdzība ir zināma cos sin d cos d Atšķiriet labo un kreiso pusi pēc: sin d Reizinot šīs vienādības kreiso un labo pusi ar, iegūstam: sin d, 33. att. Integrējošās shēmas shēma, no kuras izriet vienādība, kas jāpierāda Ar sistēmas pārejas funkciju var atrast tās reakciju uz jebkuru ievadi. signāls Šim nolūkam mēs aptuveni attēlojam ieejas signālu kā vienības soļu summu 34. att

20 34. att. Ieejas signāla attēlojums Šo attēlojumu var uzrakstīt šādi: uuu Nākamais uu "Atbilde uz vienības soli būs vienāda ar h Tāpēc izejas signālu var aptuveni attēlot šādi: uuhu" h Pāreja uz robežu plkst. , summas vietā iegūstam integrāli uuhu "hd Šī viena no Duhamela integrāļa formām Integrējot pa daļām, var iegūt citu Duhamela integrāļa formu: uuhuh "d Un, visbeidzot, mainot mainīgo =" , mēs varam iegūt vēl divas Duhamela integrāļa formas: uuhu "hd; u u h u h "d 46

21 4 Dažas divu polu ķēžu īpašības 4 Ieejas vadītspējas pretestības funkcijas vispārīgās īpašības Divu terminālu tīklus pilnībā raksturo ieejas vadītspējas pretestības funkcija Šai funkcijai nevar būt nulles labajā pusplaknē, kā arī vairākas nulles uz reālo frekvenču ass Tā kā Y, tad Y nulles atbilst poliem un otrādi.Ievades vadītspējas pretestības funkcijai nevar būt stabi labajā pusplaknē un vairāki stabi uz reālo frekvenču ass Pasīvie divi- termināļu tīkli vienmēr ir stabili, jo tajos nav enerģijas avotu. Vadīšanas ieejas pretestības izteiksmei ir šāda forma: mbnmnbmn 47 mnbb Bezgalīgi attālā reālo frekvenču ass punktā ir spēkā šāda asimptotiskā vienādība: bm mn Kopš uz reālo frekvenču ass nedrīkst būt vairākas nulles un stabi, no tā izriet, ka mn te skaitītāja un saucēja polinomu pakāpes nevar atšķirties vairāk kā par vienu.Ņemot vērā wb uzvedību lisi = līdzīgi var parādīt, ka skaitītāja un saucēja mazākie eksponenti nevar atšķirties vairāk kā par vienu. Šo apgalvojumu fiziskā nozīme ir tāda, ka ļoti augstās un ļoti zemās frekvencēs pasīvai divu polu ierīcei ir jādarbojas kā kapacitāte vai induktivitāte vai aktīvā pretestība n, 4 Divu terminālu tīkla enerģijas funkcijas Pieņemsim, ka divu termināļu tīkls ir noteikta sarežģīta ķēde, kas satur aktīvās pretestības, kapacitātes un induktīvo.

Ja uz divtermināla spailēm tiek pielikts sinusoidālais spriegums, tad divās spailē tiek izkliedēta kāda jauda, ​​kuras vidējā vērtība P raksturo enerģijas izkliedi Elektriskā un magnētiskā enerģija tiek uzkrāta kondensatoros un induktoros, vidējā kuru vērtības tiks apzīmētas ar WE un WH Mēs aprēķinām šīs vērtības, izmantojot cilpas strāvu vienādojumus. Iepriekš minēto lielumu izteiksmes rakstām tieši pēc analoģijas ar vienkāršākajiem gadījumiem Tātad pretestībai R vidējā izkliedētā jauda ir vienāds ar PRII Līdzīgi ķēdei, kurā ir vairāki atzari, vidējo jaudu var izteikt ar cilpas strāvām: P i R i I i I Vidējā enerģija, kas uzkrāta induktivitātē, ir vienāda ar WHLII Sarežģītai ķēdei mēs izsakām šo vērtību caur cilpas strāvām: WH 4 i L i I Vidējā kondensatorā uzkrātā enerģija ir Bet tāpēc WEWE i ICUUIUCIIC 4 IIC 48

23 Pamatojoties uz šo attiecību, mēs varam uzrakstīt izteiksmi kopējās vidējās elektriskās enerģijas vērtībai: WE 4 Ii I i Ci Noskaidrosim, kā šie lielumi ir saistīti ar ieejas spriegumiem un strāvām Lai to izdarītu, pierakstiet cilpas strāvu vienādojumus IRILIE ; C I i R i I Li I; Ci Reiziniet katru vienādojumu ar atbilstošo strāvu 49 Ii un saskaitiet visus I Ii Ri I Ii Li I Ii EI i i i Ci Ja R i = R i; L i = L i; C i = C i, tas ir, ķēde atbilst savstarpības principam, un tajā nav aktīvo elementu, tad: i i i R I I P; i i L I I 4W; i II i E i Ci H 4 W Aizstājot iepriekšminētajā vienādībā, mēs iegūstam funkcijas E * IP 4 WH 4 WE P 4 WH WE

24 Telledhena teorēma ļauj atrast izteiksmes Y pretestībai un vadītspējai enerģijas funkciju izteiksmē: EIEIIIIIIEYEEE 5 P WH WIIP WH WEE No izteiksmēm, kas iegūtas par un Y, var izdarīt dažus secinājumus attiecībā uz enerģijas funkcijām.Ievades pretestība un pasīvās ķēdes vadītspējai ir nenegatīva reālā daļa uz reālo frekvenču ass Tas ir identisks ir nulle tikai tad, ja ķēdē nav enerģijas zudumu Stabilitātes nosacījumi prasa, lai Y arī nebūtu nulles un polu labajā pusē. plakne. Polu neesamība nozīmē, ka Y ir analītiskas funkcijas labajā pusplaknē, ka, ja funkcija ir analītiska kādā reģionā, tad tās reālā un iedomātā daļa sasniedz mazāko un lielāko vērtību uz reģiona robežas. Tā kā ieejas pretestības un vadītspējas funkcijas ir analītiskas labajā pusplaknē, tad to reālā daļa uz robežas šī apgabala uz reālo frekvenču ass sasniedz mazāko vērtību, bet uz reālo frekvenču ass reālā daļa ir nenegatīva, tāpēc tā ir pozitīva visā labajā pusplaknē. Turklāt funkcijas un Y ņem reālās vērtības ​​reālajām vērtībām, jo ​​tās ir polinomu dalījuma koeficients ar reāliem koeficientiem Funkciju, kas pieņem reālās vērtības par reālajām vērtībām un kurai ir pozitīva reālā daļa labajā pusplaknē, sauc par pozitīvu reālo funkciju. Ievades pretestība un vadītspējas funkcijas ir pozitīvas reālās funkcijas Funkcija bija pozitīva reālā funkcija 3 Iedomātā daļa uz reālās frekvences ass ir vienāda ar nulli, ja divu terminālu ierīce nesatur reaktīvos elementus vai magnētiskās un EE vidējās rezerves;

25 elektriskās enerģijas divu terminālu tīklā ir vienādas Tas ir rezonanses gadījumā; frekvenci, kurā tas notiek, sauc par rezonanses frekvenci. Jāņem vērā, ka, atvasinot enerģijas koeficientus un Y, būtībā tika izmantota savstarpīguma īpašība, ka nav atkarīgu avotu. Ķēdēm, kas neatbilst savstarpīguma principam. un satur atkarīgus avotus, šī formula var izrādīties nepareiza 4. attēlā parādīta virknes rezonanses ķēdes diagramma Apskatīsim, ko dod enerģijas formula šajā vienkāršākajā gadījumā Jauda, ​​kas izkliedēta pretestībā R, kad strāva I plūst, ir vienāda ar PIR vidējo vērtību elektrisko un magnētisko enerģiju rezerves ir vienādas: WHLICU; W E Spriegums U pāri kondensatoram, kad plūst strāva I, ir No šejienes W E I U C I C Enerģijas formulā aizstājot, mēs iegūstam L I I R I

26 Šeit E E C C S I S E R R RC RC C C Ļaujiet, S >> C, lai pirmo iekavās esošo vārdu var neņemt vērā S lampas slīpums Tad ieejas pretestība būs S I E RC E RC I S S RC kur Req; Leq SS 4. att. Elektroniskā pretestība RC SR eq L eq, Ir skaidrs, ka ieejas pretestības aprēķins, izmantojot enerģijas funkcijas, šajā gadījumā dos nepareizu rezultātu Patiešām, šajā ķēdē nav magnētiskās enerģijas rezerves, kas nosaka induktivitāti Enerģijas formulas nepiemērotības iemesls šai ķēdei ir atkarīga avota klātbūtne ķēdē Izvēloties nepieciešamo fāzes nobīdi lampas vadības režģa ķēdē, ir iespējams iegūt induktīvo vai kapacitatīvo fāzi. nobīde starp spriegumu un strāvu ieejā un attiecīgi ieejas pretestības induktīvo vai kapacitatīvo raksturu.pasīvās ķēdes pretestība vai vadītspēja nav negatīva uz reālo frekvenču ass Tā var būt vienāda ar nulli identiski jebkurām frekvencēm. tikai tad, ja visiem ķēdes elementiem nav zudumu, tas ir, tie ir tīri reaktīvi, bet pat zudumu klātbūtnē reālā pretestības vai vadītspējas daļa var dažās frekvencēs pazūd 5

27 Ja tas nekur nepazūd uz iedomātās ass, tad nemainīgu vērtību var atņemt no pretestības vai vadītspējas funkcijas, nepārkāpjot fiziskās iespējamības nosacījumus, lai reālā daļa, kas paliek nenegatīva, ar noteiktu frekvenci pārvērstos uz nulli. . no poliem mainīgā labajā pusplaknē, tas ir, tas ir analītisks šajā reģionā, tad tā reālajai daļai ir minimālā vērtība pie tās robežas, tas ir, uz iedomātās ass. Tāpēc, atņemot šo minimālo vērtību, tiek atstāta reālā daļa pozitīva labajā pusplaknē Ieejas vadītspējas pretestības funkciju sauc par funkciju no tipa minimuma -aktīvā vadīšanas pretestība, ja tās reālā daļa pazūd uz reālo frekvenču ass, tā ka šīs komponentes samazinājums ir nav iespējams, nepārkāpjot pasivitātes nosacījumus. tad reālās daļas nullei uz reālo frekvenču ass ir vismaz , c un neminimāli aktīva tipa d reizinājums 43. attēlā un ķēdei ir neminimāli aktīva tipa ieejas pretestība, jo reālā pretestības daļa nepazūd nevienā reālajā frekvencē Tajā pašā laikā vadītspējas reālā daļa izzūd pie frekvences = Tāpēc ķēde ir minimālas aktīvās vadītspējas ķēde 43. attēlā b ķēde ir ķēde. minimālā aktīvā pretestība, jo pretestības reālā daļa pazūd bezgalīgā frekvencē 53

28 43. attēlā ķēde ir ķēde ar minimālo aktīvās pretestību R = pie virknes ķēdes rezonanses frekvences.. ķēdei 3. ķēdē ir ierobežota pretestība pie rezonanses frekvences 44 Aktīvo divu terminālu tīklu ieejas vadītspējas pretestības. 44. att. Divu terminālu ierīces: a ar EML avotu, b ar papildus pretestību R Aktīvo divu terminālu ieejas vadītspējas pretestības atšķirībā no pasīvām divu terminālu ierīcēm nav pozitīvas funkcijas, un tāpēc šādi divu terminālu tīkli noteiktos apstākļos var būt nestabilam Apsveriet šeit pieejamās iespējas. Pretestībai ir nulles mainīgā labajā pusplaknē, bet tur nav polu. Aplūkosim 44. attēlā redzamo shēmu un novietojiet eksponenciāli pieaugošus risinājumus, t.i., divu polu niks ir nestabils, ja to darbina no EML avota vai, citādi, ja tā spailēm ir īssavienojums. No otras puses, tā kā tai nav stabu labajā pusplaknē, tā ir analītiska funkcija šajā pusplaknē. no tā izriet, ka reālā daļa sasniedz minimumu pie labās pusplaknes robežas, ti, reālo frekvenču asīm Šis minimums ir negatīvs, jo pretējā gadījumā tā būtu pozitīva reālā funkcija un labajā pusē nevarētu būt nulles pusplakne.Reālās daļas minimumu uz reālās frekvences ass var palielināt līdz nullei, pievienojot pozitīvu reālo pretestību Šajā gadījumā funkcija + R kļūst par pozitīvu reālo funkciju Tāpēc divu termināļu tīkls, pievienojot pretestība R būs stabila īssavienojuma laikā 44. att., b.

29 Vadītspējai Y ir nulles labajā pusplaknē, bet tur nav polu. Šis ir pretējs iepriekšējam, jo ​​tas nozīmē, ka = / Y ir stabi labajā pusplaknē, bet tur nav nulles. .Šajā gadījumā tiek pētīta stabilitāte ķēdē ar strāvas avotu 45.att., a Ja Y labajā pusplaknē ir nulles, tad divu termināļu tīkls ir nestabils tukšgaitas darbības laikā. Tā kā Y labajā pusplaknē nav polu, funkciju Y var padarīt par reālu pozitīvu funkciju, pievienojot pozitīvu reālo vadītspēju G Gmin Tādējādi divu terminālu ierīces veids, kurā vadītspēja Y ir nulles labajā pusplaknē, bet tur nav polu, var padarīt stabilu, pievienojot pietiekami lielu reālo vadītspēju. no sprieguma avota 3 Funkcijai ir nulles un stabi labajā pusplaknē.Šajā gadījumā stabilitātes jautājuma risināšanai ir nepieciešama īpaša uzmanība Tātad, mēs varam izdarīt šādus secinājumus: ja aktīvs divu termināļu tīkls ir stabils, ja to baro no strāvas avota, tam nav stabu labajā pusplaknē, tad to var padarīt stabilu. ja barošanu nodrošina no sprieguma avota, virknē savienojot kādu pozitīvu materiāla pretestību; ja aktīvā divu spaiļu ierīce ir stabila, ja to baro no sprieguma avota Y, un tai nav polu labajā pusplaknē, tad to var padarīt stabilu, ja to baro no strāvas avota, paralēli pieslēdzot pietiekami lielu reālo vadītspēju Piemērs Apsveriet negatīvās pretestības R paralēlais savienojums ar kapacitāti C 46. att. RCR Šeit R RC CI 55 Y b G 45. att. Divu polu tīkli: a ar strāvas avotu; b pieskaitot vadītspēju Y Y 46. att. Divpolu ar negatīvu pretestību I

30 Kā redzams, tai nav nulles labajā pusplaknē, līdz ar to šāda ķēde ir stabila, ja tiek barota no sprieguma avota Bet tā ir nestabila tukšgaitā Pieskaitīsim virknē induktivitāti L Tad 47. att. tuneļa diode RRL LCR L RC RC Šai funkcijai ir nulles labajā pusplaknē: , RC 4 RC LC Tāpēc ķēde ir nestabila, ja to baro no sprieguma avota, bet tai ir arī pols labajā pusplaknē. mēģiniet padarīt to stabilu, pievienojot virknē R zināmu pretestību 47. att. Tad R LCR RRC LRRLR RC RC Stabilitātes nosacījums ir tas, ka labajā pusplaknē nav skaitītāja nulles. Šim nolūkam visiem trinoma koeficientiem skaitītājā ir jābūt jābūt pozitīvam: RR CL; RR Šīs divas nevienādības var uzrakstīt šādi: L CR RR Acīmredzot šādas nevienādības ir iespējamas, ja LLR vai R RC C R pie nosacījuma R Ķēde 47. attēlā ir ekvivalenta tuneļa diodes C ķēdei.

31 tuneļdiodes darbības režīma stabilizēšanas iespējas, izmantojot ārējo pretestību Piemērs Aplūkosim LC ķēdi ar paralēli savienotu negatīvo pretestību 48. att. Atrodiet nosacījumus ķēdes stabilitātei bez slodzes Lai to izdarītu, aprēķiniet vadītspēju: th. R vai R> R o Kad ir izpildīta apgrieztā nevienādība, ķēdē tiek ierosinātas pašsvārstības ar rezonanses ķēdes frekvenci 45 noteiktās robežās, nepārkāpjot pasivitātes nosacījumus. Fiziski šīs reālās komponentes izmaiņas ar nemainīgu vērtību nozīmē. reālas aktīvās pretestības pievienošana vai izslēgšana, ideālā gadījumā neatkarīgi no frekvences Izmaiņas pretestības funkcijas reaktīvā komponentā n vadītspēja ar nemainīgu vērtību nav pieļaujama, jo tādējādi tiek pārkāpti ķēdes funkcijas iedomātās sastāvdaļas nepāra fiziskās realizēšanas nosacījumi. Fiziski tas izskaidrojams ar to, ka nav elementu ar tīri reaktīvo frekvenci neatkarīgu vadītspējas pretestību. reaktīvā komponenta maiņa bez aktīvās komponentes izmaiņām iespējama gadījumā, ja vadītspējas pretestībai ir stabi uz reālo frekvenču ass.Fiziskās iespējamības apstākļu dēļ šādiem poliem jābūt vienkāršiem un sarežģītiem konjugātiem

32 Ļaujiet pretestībai būt stabi frekvencēs Tad mēs varam atšķirt vienkāršās daļskaitļus MNBB Ir viegli redzēt, ka NNMMN r MB r 58 B * M, MM Apsveriet vienas no frakcijām uzvedību, piemēram, M / tuvu = Tad MMM r M r M Blakus frekvencei reālā komponente maina zīmi, kas ir pretrunā ar fiziskās realizējamības nosacījumiem Tāpēc M r = N r = Tad M = N Turklāt var parādīt, ka M = N> Patiešām, mēs liekam = +, un> Tad daļa iegūst vērtību M /, kurai jābūt lielākai par nulli, jo daļai labajā pusplaknē ir jābūt reālai pozitīvai funkcijai Tātad, M = N> Tātad, ja tai ir komplekss konjugāts stabi uz reālo frekvenču ass, tad to var attēlot formā: MM, B un atbilst fiziskās iespējamības nosacījumiem, ja tie ir izpildīti Tiešām , nav stabu labajā pusplaknē, jo tai tur nav polu .Tāpēc tā ir analītiska funkcija labajā pusplaknē. No otras puses, pirmais termins aizņem Reālo frekvenču asis ir tīri iedomātas vērtības. Tāpēc tām ir vienādas reālās daļas uz reālo frekvenču asīm. Pirmā vārda atdalīšana neietekmē reālo daļu uz reālo frekvenču asīm No tā izriet, ka labajā pusē plakne ir arī pozitīva funkcija r

33 Turklāt reālajām vērtībām ir vajadzīgas reālās reālās vērtības labajā pusplaknē. Līdz ar to tā ir reāla pozitīva funkcija M Pretestība piemīt paralēlai rezonanses ķēdei bez zudumiem: LCCC, LC LC un LC un MC : M "Y, YM" kur izteiksme attēlo virknes rezonanses ķēdes vadītspēju: YCLLCL Papildus poliem punktos ±, tas ir, ierobežotās frekvencēs, stabi ir iespējami nulles un bezgalīgās frekvencēs. Šie stabi atbilst termini :, L, Y, YC, CL t neatbilst kapacitātei vai induktivitātei Šis apgalvojums ir patiess. Ieejas pretestība pasīvās ķēdes vadītspēja turpina atbilst fiziskās iespējamības nosacījumiem, ja 59

34 atņemt no tā vadītspējas pretestību, kas atbilst poliem, kas atrodas uz reālo frekvenču ass.pretestības un vadītspējas stabi bez reālām frekvencēm Šādu polu klātbūtne nozīmētu iespēju tajos pastāvēt brīvas svārstības bez slāpēšanas Bet daudzās gadījumos ar labu tuvinājumu var neņemt vērā zudumus reaktīvajos elementos 46 Tīri reaktīvo elementu ķēžu īpašības Bieži gadās, ka ķēde tiek veidota no elementiem ar nelieliem zudumiem Tādā gadījumā zudumu ietekmi dažkārt var neievērot Tas ir interesē noskaidrot ķēžu īpašības bez zudumiem, kā arī noskaidrot, kādos apstākļos zudumus var atstāt novārtā Pieņemsim, ka visi ķēdes elementi ir tīri reaktīvi Ir viegli parādīt, ka šajā gadījumā uz reālo frekvenču ass pretestība un vadītspēja Y ņem iedomātas vērtības Patiešām, šajā gadījumā zudumu jauda ir vienāda ar nulli, tāpēc: W I 6 H WE W Y E WE; Tā kā pretestības jeb vadītspējas iedomātā daļa ir ķēdes nepāra funkcija, tad šajā gadījumā = Tāpēc vispārīgākā gadījumā = Fiziskās iespējamības nosacījumi prasa, lai tai nebūtu nulles un stabi labajā pusplaknē Bet tā kā =, tad arī kreisajā pusplaknē nevajadzētu būt nullēm un stabiem. Tāpēc H

35 funkcijas un Y var būt nulles un stabi tikai uz reālo frekvenču ass.Fiziski tas ir saprotams, jo ķēdē bez zudumiem brīvās svārstības nesamitrinās. No tā izriet, ka izmantojot uz ass guļošo polu identificēšanas metodi reālās frekvences, funkcijas un Y iespējams reducēt līdz šādai formai: bnbnb Y Citiem vārdiem sakot, divu polu ierīci ar pretestību var attēlot kā šādu diagrammu Fostera formas 49. attēlā:; 49. att. Pirmā Fostera forma Attiecīgi Y var tikt attēlots kā -th Foster forma 4. att. 4. att. Otrā Foster forma Var parādīt, ka nullēm un poliem uz reālo frekvenču ass jāmainās tikai vienkārša, tad tuvu nullei funkciju var attēlot formā M o, kur o ir lielākas pakāpes mazums, salīdzinot ar Tuvu labajā pusplaknē, reālajam daudzumam jābūt pozitīvam, un tas ir iespējams tikai tad, ja M ir reāls 6

36 ir lielums, un M> Līdz ar to, tuvu nullei = iedomātā komponente var mainīties tikai ar pozitīvu atvasinājumu, mainot zīmi no uz "+", ir jābūt pārtraukumam, kas ķēdēm ar saliktiem elementiem var būt tikai pols Visi tas, kas teikts, attiecas arī uz vadītspēju Y Nulles sauc par rezonanses punktiem, stabi ir antirezonanses punkti. Tāpēc rezonanses vienmēr mijas ar antirezonansēm Vadītspējai Y rezonanses atbilst poliem un antirezonanses nullēm Ir viegli redzēt, ka gan rezonanses punktos, gan antirezonanses punktos vidējās elektriskās un magnētiskās enerģijas rezerves ir vienādas. Patiešām, rezonanses punktos =, ti, WHWE = antirezonanses punktos Y =, tāpēc WEWH = Tagad parādīsim, ka ķēdēm bez zudumiem notiek šādas formulas, es dodu pretestības un vadītspējas atkarība no frekvences Atveidosim pretestību un vadītspēju formā: X, Y B Tad: dx WH W d I db WH WE d E Pierādījumam aplūkosim pretestības definīciju E I 6 E; Ļaujiet E = mīnusi Diferencēsim pēc frekvences: d E di d I d Pieņemsim, ka E ir reāla vērtība Tad ķēdei bez zudumiem I ir tīri iedomāta vērtība Šajā gadījumā d E d I di d I I un

37 Tagad pievērsīsimies vienādojumu sistēmai cilpas strāvām n 4: I Li I Ei, i, n C Pieņemot, ka tikai E, mēs reizinām katru vienādojumu ar un saskaitām visus vienādojumus: i, i I di i Li I di i E di, i, C i, Tālāk pievēršamies sakarībai, kas iegūta arī p 4 bezzudumu ķēdēm: i, L i I Ii ii, IIC ii E Diferencējot pēc frekvences pie E = mīnusi, iegūstam: III id Li I Ii Li IdIi i, i, Ci i, I di di IL di IE di CC iiii, ii, i, i di I di IL di IL di I niiiiiiii, i, Ci i, i, Ci E di E di , jo E ir reāla vērtība pēc pieņēmuma No iepriekš minētā izriet arī, ka: i, LI i di ii, IdI C ii E di di i 63

38 Aizvietojot kopsummā, iegūstam: di, L i I Ii i, IIC ii E di E Samazinot līdzīgus terminus kreisajā un labajā pusē, atrodam: di I Ii E di d Li I Ii i, i, Ci E bija atrasts sadaļā n 4, vienāds ar i, L i I Ii i, Ii IC i 4 WHWE di Aizstājot izteiksmē pretestības funkcijas atvasinājumu, iegūstam: d E di WH W d I d I Līdzīgi var pierādīt otrā vienādība dy W d E WE No šīm formulām izriet, ka, palielinoties frekvencei, tīri reaktīvo elementu ķēdes pretestība un vadītspēja var tikai palielināties.Atkarībā no nulles un polu klātbūtnes nulles un bezgalīgās frekvencēs, grafiks X un B atkarībai var būt kāds no šādiem veidiem, kas parādīts 4. attēlā. Visbeidzot, mēs mēģināsim noskaidrot, kā nelielu zudumu klātbūtne ietekmē ķēdes, kas sastāv no reaktīviem elementiem, pretestību.<<, <, где = + -й полюс сопротивления Это означает, что полюсы и нули сопротивления смещаются с оси вещественных частот на малую величину затухания H E 64

39 Vājināšanās dažādiem poliem var būt atšķirīga. Tāpēc ir ieteicams ņemt vērā pretestības funkcijas uzvedību viena no poliem tuvumā.

40 Tā kā mūs interesē vērtības uz reālo frekvenču ass, tas jāaizstāj ar Skaitītājā, mēs varam atmest, mazs, salīdzinot ar nosacījumu: Šo izteiksmi var pārveidot šādi:, Qx "kur ; Q; x; kvantitāti Q >> sauc par kvalitātes faktoru, lielumu x sauc par relatīvo atskaņošanu Tuva rezonanse Turklāt mums ir: vērtība C x QQ;; QQCC sauc par rezonanses ķēdes raksturīgo pretestību. Apsveriet, kā rezonanses tuvumā esošās pretestības reālās un iedomātās daļas ir atkarīgas no frekvences: QQ x R; Im Q x Q x 66

41 Tuvā rezonanse Im palielinās, bet pie rezonanses iziet cauri nullei ar negatīvu atvasinājumu R reālajai daļai ir maksimums pie rezonanses.runājot, laukums zem rezonanses līknes R nav atkarīgs no Q faktora. Palielinoties Q koeficientam līknes platums samazinās, bet augstums palielinās, tā, ka laukums paliek nemainīgs Qx >>, reālā daļa strauji samazinās, un iedomātā daļa ir vienāda ar Im x 67, tas ir, tā mainās tāpat kā cilpas bez zudumiem gadījumā

42 Tātad atkarība no frekvences, ieviešot mazus zudumus, maz mainās frekvencēs, kas ir atdalītas no rezonanses frekvences ar vērtību >> Tuvumā frekvencei, kurss būtiski mainās Vadības pols Y, tas ir, virknes vadītspēja rezonanses ķēde atbilst polam līdzīgai sakarībai: kur Q; gq Y, Qx g raksturīgā vadītspēja; L x Nulle atbilst vadītspējas polam Y Tuva nullei, tāpēc pretestību uz reālo frekvenču ass var attēlot šādi: Qx x, Y gq Q kur = / g mainās tuvu nullei tāpat kā iepriekš 68

43 5 Četrpolu 5 Četrpola pamatvienādojumi Kvadrupols ir ķēde, kurai ir divi spaiļu pāri: ieeja, kurai ir pievienots signāla avots, un izeja, kurai ir pievienota slodze. signāla avots n un slodzes pretestība n ir iekļauti T Kad tie mainās, un T mainās Vēlams, lai būtu vienādojumi un parametri, kas raksturo pašu četru portu tīklu Koeficients ir pārraides vadītspējas apgrieztais lielums tukšgaitā izejā spaiļu pāris: 69 II; 5. att. Četru portu tīkla ieslēgšana I Šeit U un U ir spriegumi ieejas un izejas spailēs, I un I ir strāvas, kas plūst caur ieejas un izejas spailēm četru portu tīkla virzienā, skatiet 5. attēlu. vienādojumu sistēmai, kas savieno spriegumus un strāvu, ir vienkārša nozīme. Vērtība ir proporcionalitātes koeficients starp I un U pie strāvas izejas spailēs I =, tas ir, bez slodzes izejas spailēs; citiem vārdiem sakot, šī ir ieejas pretestība tukšgaitā pie izejas = x Līdzīgi šī ir ieejas pretestība no izejas spaiļu sāniem tukšgaitā pirmajā spaiļu pārī = x Koeficientam ir nozīme: vērtība, kas ir pretēja pārraides vadītspējai tukšgaitā pie pirmā spaiļu pāra, ti, pie nulles strāvas ievades spailēm U un IYT x YT x

44 I U; YT x YT x Ņemiet vērā, ka pasīvajam četru portu tīklam abas pārraides vadītspējas ir vienādas viena ar otru, pateicoties savstarpīguma principam.Tāpēc = = / Y Tx Iepriekš doto vienādojumu sistēmu var uzrakstīt šādi: IU x I ; YT x IU x I YT x I, jo strāva šajā gadījumā tiek virzīta no četru portu tīkla, tas ir, pretējā virzienā, salīdzinot ar iepriekš pieņemto. Aizstājot U otrajā vienādojumā, mēs iegūstam, no kurienes I, I n I x I YTx IY x Tx Aizvietojot I pirmajā vienādojumā, mēs iegūstam UI x Y Tx n No šejienes mēs atrodam ieejas pretestību nx U x IY Pēc analoģijas varat arī uzrakstīt izejas pretestības izteiksmi, nomainot indeksi un: T xnx 7

45 out x YT xnx 5 Četru polu ierīces raksturīgie parametri Ievērojamu interesi rada gadījums, kad ģenerators un slodze tiek saskaņoti vienlaicīgi, ti, kad n = c un n = c, attiecība in = c un out = c notiek Izteiksmēs aizstājot in un out , iegūstam vienādojumus, kas ļauj atrast c un c: cc x x YT x YT x 7 cc Šo sistēmu risina šādi No pirmā vienādojuma atrodam: no kurienes cc x x; x, Y Tx c x x YT x x YTx x c x kz c x kz x

46 Ņemiet vērā, ka īssavienojums un īssavienojums ir ieejas pretestības attiecīgi no pirmā un otrā spaiļu pāra puses, ja rodas īssavienojums uz otra spaiļu pāra. Slodzi, kas vienāda ar raksturīgo pretestību c, sauc par saskaņotu. Ja šādā veidā ir ieslēgts jebkurš četru portu tīklu skaits, atbilstība tiek saglabāta jebkurā šķērsgriezumā. UI c I c ln I c U cg ln U Raksturīgā pārraides koeficienta reālo daļu reālām frekvencēm sauc par raksturīgo vājinājumu, un iedomāto daļu sauc par raksturīgo fāzes konstanti, iegūstiet arī attiecību: I g I; U c g U U U I I

47 Raksturīgais pārraides koeficients ir ērts ar to, ka ar saskaņotu divu portu tīklu kaskādes savienojumu iegūtais pārraides koeficients ir vienāds ar atsevišķu četru portu tīklu pārraides koeficientu summu. Raksturīgo pārvades koeficientu var atrast no šādas attiecības: Raksturīgās pretestības c un c, vispārīgi runājot, ir atkarīgas no frekvences Tāpēc raksturīgo parametru izmantošana ne vienmēr ir ērta, lai attēlotu pārraides pretestību T. četru terminālu tīkls uz konstantu reālo slodzi R ar tīri aktīvo pretestību ģeneratora R 53. att. Šajā gadījumā pārraidi nosaka, izmantojot darbības pārraides koeficientu UI ln, UI kur U "un I" ir un strāva, ko ģenerators spēj attīstīt pie pretestības, kas vienāda ar ģeneratora iekšējo pretestību, ti: EU, IE, R 73 EUI, 4R U un I spriegums un slodzes strāva Šajā gadījumā U = IR Aizstājot, mēs iegūt darbības pārraides koeficientam ln No šejienes mēs iegūstam 4R ERI ln ERRTIRR

48 Vērtība ir kompleksā mainīgā funkcija Reālām frekvencēm =: = + B, kur darbības vājināšanās, B ir fāzes konstante Darbības vājināšanās ir vienāda ar ln TRR 74 ln PP mx, jo P mx ir maksimālā jauda, ​​kas ģenerators var dot četru portu tīkla ieejai, un P ir jauda, ​​kas piešķirta slodzei RP mx EPIR 4R Parādīsim, ka reālā pozitīvā funkcija Patiešām, tā kā T labajā pusplaknē nav nulles, funkcija ir analītiska labajā pusplaknē.Tāpēc tai proporcionālā analītiskā funkcija atrodas arī labajā pusplaknē analītiskums, šajā gadījumā uz reālo frekvenču ass Apgrieztā vērtība sasniedz mazāko vērtību uz šīs ass pasīvs četrports uz reālo frekvenču ass, tāpēc R> visā labajā pusplaknē Tālāk T ln 4R R Funkcija T ir divu polinomu dalīšanas koeficients ar reāliem koeficientiem, un T ir reāls pozitīvs e vērtības reālajām Tāpēc tas ir reāls arī reālajām vērtībām Līdz ar to varam secināt, ka reāla pozitīva funkcija Vislabāk ir atrisināta četru portu tīkla sintēzes problēma ar noteiktu darbības pārraides koeficientu vispārējā gadījumā. ar tā sauktā šķērsotā četru ostu tīkla palīdzību, kuram noteiktos apstākļos ir T

4.11. Laplasa transformācijas īpašības. 1) Atbilstība viens pret vienu: s (S И (2) Laplasa transformācijas linearitāte: s И () И 1 (s2 (S1 S2 (un arī 3)) Analītiskums S И (): ja s (apmierina

4 Lekcija 5 DINAMISKO ĶĒMU ANALĪZE Plāns Elektrisko ķēžu stāvokļu vienādojumi Stāvokļa vienādojumu veidošanas algoritms 3 Stāvokļa vienādojumu sastādīšanas piemēri 4 Secinājumi Elektrisko ķēžu stāvokļu vienādojumi

4 .. Laplasa transformācijas īpašības.) Viens pret vienu atbilstība: S И () 2) Laplasa transformācijas linearitāte: s (s () И () И 2 S S2 (), kā arī 3) Analītiskums S И (): ja atbilst nosacījumam

64 6. lekcija ELEKTRISKĀS ĶĒMU ANALĪZES DARBĪBAS METODE Laplasa transformācijas plāns Laplasa transformācijas īpašības 3 elektrisko ķēžu analīzes operatora metode 4 Oriģināla noteikšana ar zināmo.

2.2. Operatora metode pāreju aprēķināšanai. Teorētiskā informācija. Aprēķinot pārejas procesus sarežģītās shēmās ar klasisko metodi, ļoti bieži ir grūti atrast integrācijas konstantes.

70 7. lekcija SHĒMU OPERATORA FUNKCIJAS Plāns Operatora ievades un pārsūtīšanas funkcijas Ķēžu funkciju poli un nulles 3 Secinājumi Operatora ievades un pārsūtīšanas funkcijas Ķēdes operatora funkciju sauc.

Sinusoidālā strāva "uz plaukstas" Lielākā daļa elektriskās enerģijas tiek ģenerēta EML veidā, kas laika gaitā mainās saskaņā ar harmoniskās (sinusoidālās) funkcijas likumu. Harmonisko EML avoti ir

4 Lekcija ELEKTROŠĶĒMU RESONANSES FREKVENČES RAKSTUROJUMS Rezonanse un tās nozīme radioelektronikā Kompleksās pārvades funkcijas 3 Logaritmiskās frekvences raksturlielumi 4 Secinājumi Rezonanse un.

Pārejoši procesi "uz delnas". Jūs jau zināt metodes, kā aprēķināt ķēdi, kas atrodas vienmērīgā stāvoklī, tas ir, vienā, kad strāvas, piemēram, sprieguma kritumi uz atsevišķiem elementiem, laika gaitā ir nemainīgi.

Rezonanse plaukstā. Rezonanse ir pasīva divu terminālu tīkla režīms, kas satur induktīvos un kapacitatīvos elementus, kurā tā pretestība ir nulle. Rezonanses stāvoklis

Piespiedu elektriskās vibrācijas. Maiņstrāva Aplūkosim elektriskās svārstības, kas rodas, kad ķēdē ir ģenerators, kura elektromotora spēks periodiski mainās.

3. nodaļa Maiņstrāva Teorētiskā informācija Lielākā daļa elektroenerģijas tiek ģenerēta EML veidā, kas laika gaitā mainās saskaņā ar harmoniskās (sinusoidālās) funkcijas likumu.

Lekcija 3. Atskaitījumi. Galvenā teorēma par atlikumiem Funkcijas f () atlikums izolētā vienskaitļa punktā a ir komplekss skaitlis, kas vienāds ar integrāļa f () 2 vērtību, kas ņemta pozitīvā virzienā i pa apli.

Elektromagnētiskās svārstības Kvazistacionāras strāvas Procesi oscilācijas ķēdē Svārstību ķēde ķēde, kas sastāv no virknē savienotām induktivitātes spolēm, kondensatora ar kapacitāti C un rezistora

1 5 Elektriskās svārstības 51 Svārstību ķēde Par svārstībām fizikā sauc ne tikai periodiskas ķermeņu kustības, bet arī jebkuru periodisku vai gandrīz periodisku procesu, kurā vērtības viena vai

Pasīvās ķēdes Ievads Problēmās aplūkoti amplitūdas-frekvences, fāzes-frekvences un pārejas raksturlielumu aprēķini pasīvajās ķēdēs. Lai aprēķinātu nosauktos raksturlielumus, jums jāzina

BRĪVĀS UN PIESPIEDĀTĀS VIBRĀCIJAS PĒTĪJUMS OSCILATORISKĀ ĶĒĒ Brīvas elektriskās vibrācijas svārstību ķēdē Aplūkosim svārstību ķēdi, kas sastāv no virknē savienotiem kondensatoriem

3. lekcija Tēma Oscilācijas sistēmas Sekvenciālā svārstību ķēde. Spriegumu rezonanse Sērijveida svārstību ķēde ir ķēde, kurā virknē ir savienota spole un kondensators

Maskavas Valsts universitāte M.V. Lomonosovs Fizikas fakultāte Vispārējās fizikas katedra

Materiāli pašmācībai disciplīnā "Elektrisko ķēžu teorija" specialitāšu studentiem: -6 4 s "Industriālā elektronika" (daļa), -9 s "Modelēšana un datordizains

Kompleksā amplitūdas metode Harmoniskās sprieguma svārstības elementu R spailēs vai izraisa tādas pašas frekvences harmoniskās strāvas plūsmu. Funkciju diferencēšana, integrēšana un pievienošana

4. pielikums Piespiedu elektriskās svārstības Maiņstrāva Sekojošā teorētiskā informācija var būt noderīga, gatavojoties laboratorijas darbam 6, 7, 8 laboratorijā "Elektrība un magnētisms"

54 5. lekcija Furjē transformācija un spektrālā metode elektrisko ķēžu analīzei Plāns Aperiodisko funkciju spektri un Furjē transformācija Dažas Furjē transformācijas īpašības 3 Spektrālā metode

Eksāmens Sprieguma rezonanse (turpinājums) i iω K = K = ω = = ω => r + iω + r + i ω iω r + ω K = ω r + ω Pie frekvences ω 0 saucējs ir minimāls, tā ka ω0 = 0 => ω0 ω 0 = šo frekvenci sauc par rezonansi

2. nodaļa. Pārejas procesu aprēķināšanas metodes. 2.1. Klasiskā aprēķina metode. Teorētiskā informācija. Pirmajā nodaļā tika aplūkotas metodes ķēdes aprēķināšanai līdzsvara stāvoklī, tas ir

Yastrebov NI KPI RTF cafe TOP wwwystrevkievu Shematiskās funkcijas Ķēžu funkciju aparāts ir izmantojams gan ķēžu analīzei uz līdzstrāvu un harmoniskām strāvām, gan patvaļīga veida ietekmei līdzsvara stāvoklī

4.9. Ķēdes pārejošā reakcija, tās saistība ar impulsa reakciju. Aplūkosim funkciju K j K j j> S j j K j S 2 Pieņemsim, ka K jω piemīt Furjē transformācija h K j Ja eksistē IH k K j, tad

9. lekcija Diferenciālvienādojumu linearizācija Augstāku kārtu lineārie diferenciālvienādojumi Homogēnie vienādojumi to atrisinājumu īpašības Nehomogēnu vienādojumu atrisinājumu īpašības Definīcija 9 Lineārie

Metodiskā izstrāde Problēmu risināšana ar TFKP Kompleksie skaitļi Darbības ar kompleksajiem skaitļiem Kompleksā plakne Komplekso skaitli var attēlot algebriskā un trigonometriskā eksponenciālā

Satura rādītājs IEVADS Sadaļa KLASISKĀ PĀREJAS APRĒĶINĀŠANAS METODE Sadaļa PĀREJAS APRĒĶINĀŠANA AR NEJAUŠĀM IEVADĒM, IZMANTOJOT PĀRSLĀJA INTEGRĀLUS 9 KONTROLES JAUTĀJUMI7

4 ELEKTROMAGNĒTISKĀS VIBRĀCIJAS UN VIĻŅI Svārstību ķēde ir elektriskā ķēde, kas sastāv no kondensatoriem un spolēm, kurā ir iespējams kondensatora uzlādes oscilācijas process.

3.5. Sarežģīta paralēla svārstību ķēde I Ķēde, kurā vismaz viens paralēlais zars satur abu zīmju reaktivitātes. I С С I I Starp un nav magnētiska savienojuma. Rezonanses stāvoklis

LEKCIJA N38. Analītiskās funkcijas uzvedība bezgalībā. Īpaši punkti. Funkcijas atlikumi ... bezgalīgi attāla punkta apkārtne ... Laurent izvērsums bezgalīgi attāla punkta apkārtnē .... 3. Uzvedība

4 Lekcija 3 ELEKTRISKĀS ĶĒMES FREKVENČU RAKSTUROJUMS Kompleksās pārvades funkcijas Logaritmiskās frekvences raksturlielumi 3 Secinājums Kompleksās pārvades funkcijas (kompleksās frekvences raksturlielumi)

Svārstības. 3. lekcija Ģenerators Lai izskaidrotu ģeneratora darbības principu, vispirms apskatīsim, kas notiek, kad stieples plakans pagrieziens griežas vienmērīgā magnētiskā veidā.

DIFERENCIĀLVIENĀDĀJUMI Vispārīgi jēdzieni

Harmonisko svārstību avota (GCI) aprēķins Nodrošiniet GCI sākotnējo ķēdi attiecībā pret transformatora primāro tinumu ar ekvivalentu sprieguma avotu Noteikt tā parametrus (EMF un iekšējo

11. darbs PIEDĀVOTĀS VIBRĀCIJAS UN RESONANSES PARĀDĪBAS PĒTĪJUMS OSCILĒJOŠĀ ĶĒĒ Ķēdē, kurā ir induktors un kondensators, var rasties elektriskās svārstības. Darbs mācās

4. tēma .. Maiņstrāvas ķēdes Tēmas jautājumi .. Maiņstrāvas ķēde ar induktivitāti .. Maiņstrāvas ķēde ar induktivitāti un aktīvo pretestību. 3. Maiņstrāvas ķēde ar jaudu. 4. Ķēdes mainīgais

4 Lekcija REZISTĪVO ĶĒMU ANALĪZE Plāns Elektrisko ķēžu analīzes uzdevums Kirhofa likumi Pretestības ķēžu analīzes piemēri 3 Ķēdes sadaļas ekvivalentās transformācijas 4 Secinājumi Elektrisko ķēžu analīzes uzdevums

708. variants Elektriskajā ķēdē darbojas sinusoidālā EMF e (ωt) sin (ωt ψ) avots. Shēmas shēma parādīta attēlā .. EMF E avota efektīvā vērtība, sākuma fāze un ķēdes parametru vērtība

Sākotnējie dati R1 = 10 omi R2 = 8 omi R3 = 15 omi R4 = 5 omi R5 = 4 omi R6 = 2 omi E1 = 10 V E2 = 15 V E3 = 20 V Kirgofa likumi (pastāvīgs spriegums) 1. Meklējam mezglus Mezgls punkts , kurā ir savienoti trīs (vai vairāk) vadītāji

LEKCIJA Svārstības. Piespiedu svārstības att. Svārstību avots M mathcale baro virkni svārstību ķēdi, kas sastāv no pretestības R, induktora L un kondensatora ar kapacitāti.

Eksāmens Spriegumu rezonanse (turpinājums) Pieņemsim, ka spriegums vienā ķēdē ir spriegums visā svārstību ķēdē, un spriegums ķēdes izejā ir spriegums pāri kondensatoram, tad amplitūda

akadēmiskā gada rudens semestris 3. tēma NEPERIODISKU SIGNĀLU HARMONISKĀ ANALĪZE Tiešās un inversās Furjē transformācijas Signāla spektrālais raksturlielums Amplitūdas-frekvences un fāzes-frekvences spektri

Lekcija 6. Lineāras divu vienādojumu sistēmas ar nemainīgiem reālajiem koeficientiem atpūtas punktu klasifikācija. Apsveriet divu lineāru diferenciālvienādojumu sistēmu ar nemainīgu reālo vērtību

54 5. lekcija Furjē transformācija un spektrālā metode elektrisko ķēžu analīzei Plāns Aperiodisko funkciju spektri un Furjē transformācija 2 Dažas Furjē transformācijas īpašības 3 Spektrālā metode

Tēma: Maiņstrāvas likumi Elektriskā strāva ir lādētu daļiņu vai makroskopisku ķermeņu sakārtota kustība. Mainīgais lielums ir strāva, kas laika gaitā maina savu vērtību

Exam Impedance Impedance Impedance jeb kompleksā pretestība pēc definīcijas ir vienāda ar kompleksā sprieguma attiecību pret komplekso strāvu: Z ɶ Ņemiet vērā, ka pretestība arī ir vienāda ar attiecību

Satura rādītājs Ievads. Pamatjēdzieni .... 4 1. Voltera integrālvienādojumi ... 5 Mājas darba varianti .... 8 2. Voltera integrālvienādojuma atrisinātājs. 10 mājasdarbu iespējas ... 11

II nodaļa Integrāļi Antiatvasinājuma funkcija un tās īpašības Funkciju F () sauc par nepārtrauktas funkcijas f () antiatvasinājumu intervālā a b, ja F () f (), a; b (;) Piemēram, funkcijai f () antiatvasinājumi

Klasiskā metode. 1. att.- elektriskās ķēdes sākotnējā shēma Shēmas parametri: E = 129 (V) w = 10000 (rad / s) R1 = 73 (Ohm) R2 = 29 (Ohm) R3 = 27 (Ohm) L = 21 ( mgn) C = 0,97 (μF) Induktivitātes pretestība:

Sarežģītu lineāru elektrisko ķēžu aprēķināšanas metodes Pamats: spēja sastādīt un atrisināt lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas - sastādītas vai nu līdzstrāvas ķēdei, vai pēc simbolizācijas

KONKRĒTS INTEGRĀLS. Integrāļu summas un definētais integrālis Dota funkcija y = f (), kas definēta intervālā [, b], kur< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

8 7. lekcija SHĒMU OPERATORA FUNKCIJAS Operatora ievades un pārsūtīšanas funkcijas Ķēžu funkciju poli un nulles 3 Secinājumi Operatora ievades un pārsūtīšanas funkcijas Ķēdes operatora funkcija ir sakarība

68 7. lekcija PĀREJAS PROCESI PIRMĀS KĀRTĪBAS SHĒMĀS 1. plāns Pārejas procesi pirmās kārtas RC ķēdēs 2. Pārejas procesi pirmās kārtas R-ķēdēs 3. Pārejas procesu aprēķinu piemēri ķēdēs

4 MAKStrāvas SINUSOIDĀLĀS STRAUKAS LINEĀRĀS ELEKTRISKĀS ĶĒDES UN TO APRĒĶINĀŠANAS METODES 4.1. ELEKTRISKĀS MAŠĪNAS. SINUSOIDĀLĀS Strāvas RAŽOŠANAS PRINCIPS 4.1.012. Sinusoidālo strāvu sauc par momentānu

Federālā izglītības aģentūra Valsts augstākās profesionālās izglītības iestāde "KUBAN STATE UNIVERSITY" Fizikas un tehnoloģiju fakultāte Optoelektronikas katedra

~ ~ FKP Košī kompleksa mainīgā FKP funkcijas atvasinājums - Rīmaņa nosacījums FKP likumsakarības jēdziens Kompleksā skaitļa attēls un forma FKP forma: kur divu mainīgo reālā funkcija ir reāla

Tas ir cita veida integrālo pārveidojumu nosaukums, kas kopā ar Furjē transformāciju tiek plaši izmantots radiotehnikā, lai atrisinātu dažādas problēmas, kas saistītas ar signālu izpēti.

Sarežģīta frekvences koncepcija.

Spektrālās metodes, kā jau zināms, balstās uz to, ka pētāmais signāls tiek attēlots kā bezgala liela elementāru skaita summa, no kuriem katrs periodiski mainās laikā atbilstoši likumam.

Šī principa dabiskais vispārinājums slēpjas faktā, ka kompleksu eksponenciālu signālu vietā ar tīri iedomātiem indikatoriem tiek ņemti vērā eksponenciālie signāli tādā formā, kur ir kompleksais skaitlis: ko sauc par komplekso frekvenci.

Divus šādus sarežģītus signālus var izmantot, lai izveidotu reālu signālu, piemēram, saskaņā ar šādu noteikumu:

kur ir kompleksā konjugāta vērtība.

Patiešām, šajā gadījumā

Atkarībā no sarežģītās frekvences reālās un iedomātās daļas izvēles var iegūt dažādus reālus signālus. Tātad, ja, bet iegūst parastās formas If harmoniskās svārstības, tad atkarībā no zīmes iegūst vai nu pieaugošas, vai dilstošas ​​eksponenciālās svārstības laikā. Šādi signāli iegūst sarežģītāku formu, kad. Šeit reizinātājs apraksta aploksni, kas laika gaitā mainās eksponenciāli. Daži tipiski signāli ir parādīti attēlā. 2.10.

Sarežģītas frekvences jēdziens izrādās ļoti noderīgs, pirmkārt, tāpēc, ka tas ļauj, neizmantojot vispārinātas funkcijas, iegūt signālu spektrālos attēlojumus, kuru matemātiskie modeļi nav integrējami.

Rīsi. 2.10. Reāli signāli, kas atbilst dažādām kompleksās frekvences vērtībām

Būtisks ir arī cits apsvērums: formas (2.53) eksponenciālie signāli kalpo kā "dabisks" līdzeklis svārstību pētīšanai dažādās lineārās sistēmās. Šie jautājumi tiks pētīti Ch. astoņi.

Jāņem vērā, ka patiesā fiziskā frekvence ir kompleksās frekvences iedomātā daļa. Nav īpaša termina kompleksās frekvences reālajai daļai.

Pamata attiecības.

Ļaut būt kādam reālam vai kompleksam signālam, kas definēts pie t> 0 un vienāds ar nulli pie negatīvām laika vērtībām. Šī signāla Laplasa transformācija ir kompleksa mainīgā funkcija, ko dod integrālis:

Signālu sauc par oriģinālu, un funkciju sauc par tā Laplasa attēlu (īsumā, tikai attēlu).

Nosacījums, kas nodrošina integrāļa (2.54) esamību, ir šāds: signālam jābūt ne vairāk kā eksponenciālam pieauguma ātrumam, t.i., jāapmierina nevienlīdzība, kur ir pozitīvi skaitļi.

Kad šī nevienlīdzība ir izpildīta, funkcija pastāv tādā nozīmē, ka integrālis (2.54) saplūst absolūti visiem kompleksajiem skaitļiem, kuriem skaitli a sauc par absolūtās konverģences abscisu.

Mainīgo galvenajā formulā (2.54) var identificēt ar komplekso frekvenci Patiešām, tīri iedomātā kompleksā frekvencē, kad formula (2.54) pārvēršas par formulu (2.16), kas nosaka signāla Furjē transformāciju, kas ir nulle pie Tādējādi var apsvērt Laplasa transformāciju

Tāpat kā Furjē transformācijas teorijā, ir iespējams, zinot attēlu, atjaunot oriģinālu. Šim nolūkam apgrieztajā Furjē transformācijas formulā

jāveic analītisks turpinājums, pārejot no iedomātā mainīgā uz komplekso argumentu a. Kompleksās frekvences plaknē integrācija tiek veikta pa bezgalīgi garu vertikālu asi, kas atrodas pa labi no absolūtās konverģences abscisas. Tā kā at ir diferenciālis, apgrieztā Laplasa transformācijas formula iegūst formu

Sarežģīta mainīgā funkciju teorijā ir pierādīts, ka Laplasa attēliem ir "labas" īpašības no gluduma viedokļa: tādi attēli visos kompleksās plaknes punktos, izņemot saskaitāmu t.s. vienskaitļa punkti ir analītiskas funkcijas. Atsevišķi punkti, kā likums, ir vieni vai vairāki stabi. Tāpēc, lai aprēķinātu formas (2.55) integrāļus, var izmantot elastīgas atlieku teorijas metodes.

Praksē plaši tiek izmantotas Laplasa transformāciju tabulas, kurās tiek apkopota informācija par atbilstību starp oriģināliem. un attēli. Tabulu klātbūtne padarīja Laplasa transformācijas metodi populāru gan teorētiskajos pētījumos, gan radioinženiertehnisko ierīču un sistēmu inženiertehniskajos aprēķinos. Pielikumos ir šāda tabula, kas ļauj atrisināt diezgan plašu problēmu loku.

Laplasa transformāciju aprēķināšanas piemēri.

Attēlu aprēķināšanas metodēm ir daudz kopīga ar to, kas jau ir pētīts saistībā ar Furjē transformāciju. Apskatīsim tipiskākos gadījumus.

2.4. piemērs, vispārinātā eksponenciālā impulsa attēls.

Pieņemsim, kur ir fiksēts kompleksais skaitlis. Funkcijas klātbūtne nosaka vienādību pie Izmantojot formulu (2.54), mums ir

Ja tad skaitītājs pazudīs, kad tiek aizstāta augšējā robeža. Rezultātā mēs saņemam korespondenci

Kā īpašs formulas (2.56) gadījums var atrast reāla eksponenciāla video impulsa attēlu:

un komplekss eksponenciāls signāls:

Visbeidzot, ievietojot (2.57), mēs atrodam Heaviside funkcijas attēlu:

Piemērs 2.5. Delta funkcijas attēls.

Iepriekš aplūkojām integrālo Furjē transformāciju ar kodolu K (t, О = е Furjē transformācija ir neērta ar to, ka ir jāizpilda nosacījums par funkcijas f (t) absolūto integrējamību uz visas t ass. Laplasa transformācija ļauj mums lai atbrīvotos no šī ierobežojuma.. Definīcija 1. Funkcija oriģināls nozīmēs jebkuru reāla argumenta t kompleksas vērtības funkciju f (t), kas atbilst šādiem nosacījumiem: šādu punktu ierobežots asu * intervāls var būt tikai galīgs skaitlis 2. funkcija f (t) ir vienāda ar nulli t negatīvām vērtībām, f (t) = 0 3. palielinoties t, modulis f (t) palielinās ne ātrāk kā eksponenciāla funkcija, ti, tur eksistē tādi skaitļi M> 0 un s, ka visiem t Ir skaidrs, ka, ja nevienādība (1) ir spēkā kādam s = aj, tad tā būs spēkā arī JEBKURAM 82> 8]. = infs, kurai nevienādība (1) , sauc par funkcijas f (t) pieauguma ātrumu. komentēt. Vispārīgā gadījumā nevienādība nepastāv, bet novērtējums ir derīgs, ja e> 0 ir jebkurš. Tātad funkcijai ir pieauguma eksponents в0 = Tai nevienlīdzība \ t \ ^ M V * ^ 0 nepastāv, bet nevienādība | f | ^ Mei. Nosacījums (1) ir daudz mazāk ierobežojošs nekā nosacījums (*). 1. piemērs. funkcija neizpilda nosacījumu ("), bet nosacījums (1) ir izpildīts jebkuram s> I un A /> I; augšanas ātrums 5o = Tātad šī ir sākotnējā funkcija. No otras puses, funkcija nav oriģināla funkcija: tai ir bezgalīga pieauguma secība, “o = + oo. Vienkāršākā sākotnējā funkcija ir tā sauktā vienības funkcija.Ja kāda funkcija atbilst 1. definīcijas 1. un 3. nosacījumam, bet neizpilda 2. nosacījumu, tad produkts jau ir oriģinālā funkcija. Apzīmējuma vienkāršības labad mēs parasti izlaidīsim faktoru rj (t), vienojoties, ka visas funkcijas, kuras mēs uzskatīsim, ir vienādas ar nulli negatīvam t, tāpēc, ja mēs runājam par kādu funkciju f (t), piemēram, o sin ty cos t, el utt., tad vienmēr tiek nozīmētas šādas funkcijas (2. att.): n = n (0 1. att. 2. definīcija. Lai f (t) ir sākotnējā funkcija. Attēls funkcijas f (t ) pēc Laplasa ir ar formulu definēta kompleksa mainīgā funkcija F (p) LAPLACE TRANSFORM Pamatdefinīcijas Rekvizīti Funkciju konvolūcija Reizināšanas teorēma Oriģināla atrašana no attēla Inversijas teorēmas izmantošana operacionālajam aprēķinam Duhamela formula Integrācija lineāro diferenciālvienādojumu sistēmu ar nemainīgiem koeficientiem Integrālvienādojumu atrisinājums kur integrālis pārņemts pozitīvā pusass t. Funkciju F (p) sauc arī par funkcijas / (/) Laplasa transformāciju; transformācijas kodols K (t) p) = e ~ pt. To, ka funkcijai ir savs attēls F (p), rakstīsim 2. Piemērs. Atrodiet vienības funkcijas r) (t) attēlu. Funkcija ir oriģināla funkcija ar pieauguma ātrumu no 0 līdz 0. Saskaņā ar formulu (2) funkcijas rj (t) attēls būs funkcija If then for, integrālis funkcijas labajā pusē. pēdējā vienādība saplūdīs, un iegūsim tā, ka funkcijas rj (t) attēls būs funkcija £. Kā vienojāmies, rakstīsim, ka rj (t) = 1, un tad iegūtais rezultāts tiks uzrakstīts šādi: Teorēma 1. Jebkurai sākotnējai funkcijai f (t) ar pieauguma eksponentu z0 tiek definēts attēls F (p). pusplaknē R ep = s > s0 un ir analītiska funkcija šajā pusplaknē (3. att.). Ļaut Lai pierādītu attēla F (p) esamību norādītajā pusplaknē, pietiek konstatēt, ka nepareizais integrālis (2) konverģē absolūti priekš a> Izmantojot (3), iegūstam, kas pierāda attēla absolūto konverģenci. integrālis (2). Tajā pašā laikā mēs ieguvām Laplasa transformācijas F (p) novērtējumu konverģences pusplaknē Diferencējot izteiksmi (2) formāli zem integrāļa zīmes attiecībā pret p, mēs atklājam, ka integrāļa (5) esamība ir konstatēts tāpat kā integrāļa (2) esamība. Piemērojot integrāciju pa daļām F "(p), mēs iegūstam aprēķinu, kas nozīmē integrāļa (5) absolūto konverģenci. (Neintegrāļa terminam 0., - ir nulles robeža t + oo). integrāls ( 5) konverģē vienmērīgi attiecībā pret p, jo tas ir majorizēts ar konverģentu integrāli, kas ir neatkarīgs no p. Līdz ar to diferencēšana attiecībā uz p ir likumīga un ir spēkā vienādība (5). Tā kā eksistē atvasinājums F "(p), Laplass pārveidot F (p) visur pusplaknē Rep = 5> 5о ir analītiska funkcija. Nevienlīdzība (4) nozīmē Secinājumu. Ja tievajam p ir tendence uz bezgalību, lai Re p = s pieaugtu bezgalīgi, tad 3. piemērs. Atradīsim arī jebkura kompleksā skaitļa funkcijas attēlu. Funkcijas f (() eksponents ir vienāds ar a. > a, bet arī visos punktos p, izņemot punktu p = a, kur šim attēlam ir vienkāršs pols. Nākotnē mēs ne reizi vien sastapsimies līdzīga situācija, kad attēls F (p) ir analītiska funkcija visā kompleksā mainīgā p plaknē, lai izslēgtu izolētus singulārus punktus. Nav pretrunas ar 1. teorēmu. Pēdējais tikai apgalvo, ka pusplaknē Rep> «o funkcijai F (p) nav vienskaitļa punktu: izrādās, ka tie visi atrodas vai nu pa kreisi no līnijas Rep = so, vai arī pašā šajā taisnē. Ievērojiet ne. Operacionālajā aprēķinos dažkārt tiek izmantots funkcijas f (f) Heaviside attēls, kas definēts ar vienādību un atšķiras no Laplasa attēla ar koeficientu p. §2. Laplasa transformācijas īpašības Tālāk apzīmēsim oriģinālās funkcijas un cauri to attēlus pēc Laplasa. £ biw dee ir nepārtrauktas funkcijas), kurām ir vienāds attēls, tad tās ir identiski vienādas. Teopewa 3 (n "yeyiost * pārveidojot Laplasu). Ja funkcijas ir oriģinālas, tad jebkurām gaisa kompleksajām konstantēm Apgalvojuma derīgums izriet no attēlu noteicošā integrāļa linearitātes īpašības:, ir attiecīgi funkciju pieauguma tempi). Pamatojoties uz šo īpašību, mēs iegūstam Līdzīgi mēs atrodam to un tālāk 4. teorēmu (līdzības). Ja f (t) ir sākotnējā funkcija un F (p) ir tās Laplasa attēls, tad jebkurai konstantei a> 0 Liekot pie = m, mēs iegūstam Izmantojot šo teorēmu, no formulām (5) un (6) iegūstam 5. teorēmu. (par oriģināla atšķiršanu). Ļaut ir oriģinālā funkcija ar attēlu F (p) un ļaujiet - būt arī sākotnējās funkcijas, un kur ir funkcijas pieauguma temps Tad un vispār Šeit mēs domājam pareizo ierobežojošo vērtību Let. Ļaujiet mums atrast attēlu, kas mums ir Integrējot pa daļām, mēs iegūstam Neintegrālais termins (10) labajā pusē pazūd pie k. Ja Rc p = s> h, mums ir aizstāšana t = Odet - / ( 0). Otrais vārds labajā pusē (10) ir vienāds ar pF (p). Tādējādi sakarība (10) iegūst formu un tiek pierādīta formula (8). Konkrēti, ja Lai atrastu attēlu f (n \ t), mēs rakstām, no kurienes, integrējot n reizes pa daļām, mēs iegūstam 4. piemēru. Izmantojot teorēmu par oriģināla diferenciāciju, atrodiet funkcijas f (t) = attēlu. grēks2 t. Tāpēc 5. teorēma nosaka Laplasa integrāļa transformācijas ievērojamu īpašību: tā (tāpat kā Furjē transformācija) pārveido diferenciācijas darbību algebriskā reizināšanas operācijā ar p. Iekļaušanas formula. Ja tās ir oriģinālās funkcijas, tad Patiešām, saskaņā ar 1. teorēmas secinājumu katram attēlam ir tendence uz nulli kā. Tātad, no kurienes izriet iekļaušanas formula (6. teorēma (par attēla diferenciāciju). Attēla diferenciācija tiek reducēta līdz reizināšanai ar oriģinālu. Tā kā funkcija F (p) pusplaknē ir analītiska, to var diferencēts attiecībā uz p. Mums ir pēdējais, kas nozīmē tikai to, ka 5. piemērs. Izmantojot 6. teorēmu, atrodiet funkcijas 4 attēlu Kā jūs zināt, tātad (Atkal piemērojot 6. teorēmu, mēs atrodam, vispārīgi, 7. teorēmu (oriģināla integrācija). Oriģināla integrācija). tiek reducēts uz attēla dalīšanu ar to, ka, ja ir oriģināla funkcija, tad tā būs oriģināla funkcija, turklāt Pieņemsim. Pateicoties tā, ka No otras puses, no kurienes F = Pēdējais ir ekvivalents pierādītajai sakarībai (13 Piemērs 6. Atrodiet funkcijas M attēlu Šajā gadījumā, lai Tāpēc 8. teorēma (attēla integrācija) .Ja integrālis arī saplūst, tas kalpo kā funkcijas ^ attēls: LAPLACE TRANSFORM Pamatdefinīcijas Properties Convolution of funkcijas Reizināšanas teorēma Oriģināla atrašana pēc attēla Operacionālā aprēķina apgrieztās teorēmas izmantošana Duhamela formula Lineāro diferenciālvienādojumu sistēmu integrācija ar nemainīgiem koeficientiem Risinājuma integrālvienādojumi Patiešām, pieņemot, ka integro ceļš atrodas uz pusplaknes tā, ka mēs varam mainīt integrācijas secību Pēdējā vienādība nozīmē, ka tas ir funkcijas attēls Piemērs 7. Atrast funkcijas M attēlu Kā zināms,. Tāpēc, tā kā mēs ievietojam, mēs iegūstam £ = 0, for. Tāpēc relācija (16) iegūst formu Piemērs. Atrodiet grafiski dotas funkcijas f (t) attēlu (5. att.). Funkcijas f (t) izteiksmi rakstīsim šādi: Šo izteiksmi var iegūt šādi. Apsveriet funkciju un atņemiet no tās funkciju Starpība būs vienāda ar vienu. Iegūtajai starpībai pievienojam funkciju Rezultātā iegūstam funkciju f (t) (6.c att.), lai No šejienes, izmantojot aizkaves teorēmu, atrodam 10. teorēmu (nobīde). tad jebkuram kompleksam skaitlim p0 Patiešām, teorēma ļauj no zināmiem funkciju attēliem atrast tādu pašu funkciju attēlus, kas reizināti ar eksponenciālu funkciju, piemēram, 2.1. Funkciju konvolūcija. Reizināšanas teorēma Funkcijas f (t) u ir definētas un nepārtrauktas visiem t. Šo funkciju konvolūcija ir jauna t funkcija, ko definē vienlīdzība (ja šis integrālis pastāv). Sākotnējām funkcijām darbība vienmēr ir saliekama, un (17) 4 Patiešām, sākotnējo funkciju reizinājums kā funkcija m ir galīga funkcija, t.i. pazūd ārpus kāda ierobežota intervāla (šajā gadījumā ārpus intervāla. Galīgām nepārtrauktām funkcijām konvolūcijas darbība ir apmierināma, un iegūstam formulu Ir viegli pārbaudīt, vai konvolūcijas darbība ir komutatīva, 11. teorēma (reizināšana). Ja, tad konvolūcijai t) ir attēls Ir viegli pārbaudīt, vai konvolūcija (sākotnējo funkciju ir sākotnējā funkcija ar pieauguma eksponentu "kur ir attiecīgi funkciju pieauguma eksponenti. šāda darbība ir likumīga) un pielietojot atpalicības teorēmu, iegūstam Tādējādi no (18) un (19) secinām, ka attēlu reizinājums atbilst oriģinālu locīšanai, Prter 9. Atrodiet funkcijas A attēlu funkcijas V (0 ir konvolūcija no funkcijas.. Pamatojoties uz reizināšanas teorēmu Problēma. Lai f (t) ir periodiska funkcija ar periodu T. Parādiet, ka tās Laplasa attēls F (p) ir dots pēc formulas 3. Oriģināla atrašana no attēla Problēma tiek uzdota šādi : ņemot vērā funkciju F (p), mums jāatrod funkcija / (<)>kura attēls ir F (p). Formulēsim nosacījumus, kas ir pietiekami, lai kompleksa mainīgā p funkcija F (p) kalpotu kā attēls. 12. teorēma. Ja funkcija F (p) 1) analītiska pusplaknē tā tiecas uz nulli jebkurā pusplaknē R s0 vienmērīgi attiecībā pret arg p; 2) integrālis saplūst absolūti, tad F (p) ir kādas oriģinālās funkcijas attēls Problēma. Vai funkcija F (p) = var kalpot kā kādas oriģinālās funkcijas attēls? Šeit ir daži veidi, kā no attēla atrast oriģinālu. 3.1. Oriģināla atrašana, izmantojot attēlu tabulas Vispirms funkciju F (p) ir vērts pārnest uz vienkāršāku, "tabulas" formu. Piemēram, ja F (p) ir argumenta p daļēja racionāla funkcija, to sadala elementārās daļās un izmanto Laplasa transformācijas atbilstošās īpašības. Piemērs 1. Atrodiet oriģinālu funkcijai Ierakstīsim funkciju F (p) formā Izmantojot pārvietošanas teorēmu un Laplasa transformācijas linearitātes īpašību, iegūstam 2. piemēru. Atrodiet oriģinālu funkcijai 4 Uzrakstīsim F (p ), tātad 3.2. Inversijas teorēmas izmantošana un tās sekas 13. teorēma (inversija). Ja funkcija fit) ir oriģināla funkcija ar pieauguma eksponentu s0 un F (p) ir tās attēls, tad jebkurā funkcijas f (t) nepārtrauktības punktā pastāv sakarība, kur integrālis tiek ņemts pa jebkuru taisni un tiek saprasts. galvenās vērtības izpratnē, ti, kā Formula (1) tiek saukta par Laplasa transformācijas inversijas formulu jeb Melina formulu. Patiešām, pieņemsim, ka, piemēram, f (t) ir pa daļām gluds katrā galīgajā segmentā (\ displaystyle F (s) = \ varphi), tātad φ (z 1, z 2,…, z n) (\ displeja stils \ varphi (z_ (1), \; z_ (2), \; \ ldots, \; z_ (n))) analītiski par katru z k (\ displaystyle z_ (k)) un ir vienāds ar nulli z 1 = z 2 =… = z n = 0 (\ displeja stils z_ (1) = z_ (2) = \ lpunkti = z_ (n) = 0), un F k (s) = L (fk (x)) (σ> σ ak: k = 1, 2,…, n) (\ displeja stils F_ (k) (s) = (\ mathcal (L)) \ (f_ (k) (x) \) \; \; (\ sigma> \ sigma _ (ak) \ kols k = 1, \; 2, \; \ lpunkti, \; n)), tad pastāv apgrieztā transformācija un atbilstošajai uz priekšu vērstajai transformācijai ir absolūtās konverģences abscisa.

Piezīme: tie ir pietiekami nosacījumi pastāvēšanai.

• Konvolūcijas teorēma

Galvenais raksts: Konvolūcijas teorēma

• Oriģināla atšķiršana un integrēšana

Oriģināla pirmā atvasinājuma Laplasa attēls attiecībā pret argumentu ir attēla reizinājums ar pēdējā argumentu, no kura atņemts oriģināls ar nulli labajā pusē:

L (f ′ (x)) = s ⋅ F (s) - f (0 +). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f "(x) \) = s \ cdot F (s) -f (0 ^ (+)).)

Sākotnējās un beigu vērtības teorēmas (robežu teorēmas):

f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\ displaystyle f (\ infty) = \ lim _ (s \ to 0) sF (s)) ja visi funkcijas poli s F (s) (\ displaystyle sF (s)) atrodas kreisajā pusplaknē.

Galīgo vērtību teorēma ir ļoti noderīga, jo tā apraksta oriģināla uzvedību bezgalībā, izmantojot vienkāršu sakarību. To, piemēram, izmanto, lai analizētu dinamiskas sistēmas trajektorijas stabilitāti.

• Citas īpašības

Linearitāte:

L (a f (x) + b g (x)) = a F (s) + b G (s). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (af (x) + bg (x) \) = aF (s) + bG (s).)

Reizināšana ar skaitli:

L (f (a x)) = 1 a F (s a). (\ displaystyle (\ mathcal (L)) \ (f (ax) \) = (\ frac (1) (a)) F \ left ((\ frac (s) (a)) \ right).)

Dažu funkciju tiešā un apgrieztā Laplasa transformācija

Zemāk ir Laplasa transformācijas tabula dažām funkcijām.

№	Funkcija	Laika domēns x (t) = L - 1 (X (s)) (\ displeja stils x (t) = (\ matemātiskā (L)) ^ (- 1) \ (X (s) \))	Frekvences domēns X (s) = L (x (t)) (\ displeja stils X (s) = (\ mathcal (L)) \ (x (t) \))	Konverģences reģions priekš cēloņsakarības sistēmas
1	ideāla nobīde	δ (t - τ) (\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \)	e - τ s (\ displaystyle e ^ (- \ tau s) \)
1a	viens impulss	δ (t) (\ displeja stils \ delta (t) \)	1 (\ displeja stils 1 \)	∀ s (\ displeja stils \ visiem s \)
2	aizkavēšanās n (\ displeja stils n)	(t - τ) n n! e - α (t - τ) ⋅ H (t - τ) (\ displeja stils (\ frac ((t- \ tau) ^ (n)) (n}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !}	e - τ s (s + α) n + 1 (\ displeja stils (\ frac (e ^ (- \ tau s)) ((s + \ alfa) ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2a	nomierinošs līdzeklis n (\ displeja stils n)-tais pasūtījums	t n n! ⋅ H (t) (\ displeja stils (\ frac (t ^ (n))) (n}\cdot H(t)} !}	1 s n + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (n + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2.a.1	nomierinošs līdzeklis q (\ displaystyle q)-tais pasūtījums	t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\ displeja stils (\ frac (t ^ (q))) (\ Gamma (q + 1))) \ cdot H (t))	1 s q + 1 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (q + 1))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2.a.2	vienības funkcija	H (t) (\ displeja stils H (t) \)	1 s (\ displaystyle (\ frac (1) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2b	lag vienības funkcija	H (t - τ) (\ displaystyle H (t- \ tau) \)	e - τ s s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (- \ tau s)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2c	Ātruma solis	t ⋅ H (t) (\ displeja stils t \ cdot H (t) \)	1 s 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (s ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
2d	n (\ displeja stils n)-th order ar frekvences nobīdi	t n n! e - α t ⋅ H (t) (\ displeja stils (\ frac (t ^ (n))) (n}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !}	1 (s + α) n + 1 (\ displeja stils (\ frac (1) ((s + \ alfa) ^ (n + 1))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alfa)
2d.1	eksponenciālā sabrukšana	e - α t ⋅ H (t) (\ displeja stils e ^ (- \ alfa t) \ cdot H (t) \)	1 s + α (\ displaystyle (\ frac (1) (s + \ alfa)))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alfa \)
3	eksponenciālā tuvināšana	(1 - e - α t) ⋅ H (t) (\ displeja stils (1-e ^ (- \ alfa t)) \ cdot H (t) \)	α s (s + α) (\ displaystyle (\ frac (\ alfa) (s (s + \ alfa))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
4	sinusa	sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displeja stils \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) (s ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
5	kosinuss	cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s s 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (s)) (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
6	hiperboliskais sinuss	s h (α t) ⋅ H (t) (\ displeja stils \ mathrm (sh) \, (\ alfa t) \ cdot H (t) \)	α s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (\ alfa) (s ^ (2) - \ alfa ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alfa | \)
7	hiperboliskais kosinuss	c h (α t) ⋅ H (t) (\ displeja stils \ mathrm (ch) \, (\ alfa t) \ cdot H (t) \)	s s 2 - α 2 (\ displaystyle (\ frac (s)) (s ^ (2) - \ alfa ^ (2))))	s> | α | (\ displaystyle s> | \ alfa | \)
8	eksponenciāli bojājas sinusa	e - α t sin ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displeja stils e ^ (- \ alfa t) \ sin (\ omega t) \ cdot H (t) \)	ω (s + α) 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega) ((s + \ alfa) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alfa \)
9	eksponenciāli bojājas kosinuss	e - α t cos ⁡ (ω t) ⋅ H (t) (\ displeja stils e ^ (- \ alfa t) \ cos (\ omega t) \ cdot H (t) \)	s + α (s + α) 2 + ω 2 (\ displeja stils (\ frac (s + \ alfa) ((s + \ alfa) ^ (2) + \ omega ^ (2))))	s> - α (\ displaystyle s> - \ alfa \)
10	sakne n (\ displeja stils n)-tais pasūtījums	t n ⋅ H (t) (\ displeja stils (\ sqrt [(n)] (t)) \ cdot H (t))	s - (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\ displaystyle s ^ (- (n + 1) / n) \ cdot \ Gamma \ left (1 + (\ frac (1) (n)) ) \ taisnība))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
11	naturālais logaritms	ln ⁡ (t t 0) ⋅ H (t) (\ displeja stils \ ln \ kreisi ((\ frac (t) (t_ (0))) \ pa labi) \ cdot H (t))	- t 0 s [ln ⁡ (t 0 s) + γ] (\ displeja stils - (\ frac (t_ (0)) (s)) [\ ln (t_ (0) s) + \ gamma])	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
12	Besela funkcija pirmais veids pasūtījums n (\ displeja stils n)	J n (ω t) ⋅ H (t) (\ displeja stils J_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 + ω 2) - ns 2 + ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n)) \ left (s + (\ sqrt (s ^ (2)) + \ omega ^ (2 ) )) \ pa labi) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) + \ omega ^ (2)))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \) (n> - 1) (\ displaystyle (n> -1) \)
13	pirmais veids pasūtījums n (\ displeja stils n)	I n (ω t) ⋅ H (t) (\ displeja stils I_ (n) (\ omega t) \ cdot H (t))	ω n (s + s 2 - ω 2) - ns 2 - ω 2 (\ displaystyle (\ frac (\ omega ^ (n)) \ pa kreisi (s + (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)) ) )) \ pa labi) ^ (- n)) (\ sqrt (s ^ (2) - \ omega ^ (2)))))	s> | ω | (\ displaystyle s> | \ omega | \)
14	Besela funkcija otrais veids nulles kārtība	Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displeja stils Y_ (0) (\ alfa t) \ cdot H (t) \)	- 2 arsh (s / α) π s 2 + α 2 (\ displaystyle - (\ frac (2 \ mathrm (arsh) (s / \ alfa)) (\ pi (\ sqrt (s ^ (2) + \ alfa) ^ (2))))))	s> 0 (\ displaystyle s> 0 \)
15	modificēta Besela funkcija otrais veids, nulles kārtība	K 0 (α t) ⋅ H (t) (\ displeja stils K_ (0) (\ alfa t) \ cdot H (t))
16	kļūdas funkcija	e r f (t) ⋅ H (t) (\ displeja stils \ mathrm (erf) (t) \ cdot H (t))	e s 2/4 e r f c (s / 2) s (\ displaystyle (\ frac (e ^ (s ^ (2) / 4)) \ mathrm (erfc) (s / 2)) (s)))	s> 0 (\ displaystyle s> 0)
Piezīmes pie tabulas: H (t) (\ displeja stils H (t) \); α (\ displeja stils \ alfa \), β (\ displaystyle \ beta \), τ (\ displaystyle \ tau \) un ω (\ displaystyle \ omega \) - Saistība ar citām pārvērtībām Fundamentālie savienojumi Mellina transformācija Mellina transformācija un apgrieztā Melina transformācija ir saistītas ar divpusējo Laplasa transformāciju ar vienkāršu mainīgo maiņu. Ja Mellinas transformācijā G (s) = M (g (θ)) = ∫ 0 ∞ θ sg (θ) θ d θ (\ displeja stils G (s) = (\ mathcal (M)) \ kreisi \ (g (\ teta) \ labi \) = \ int \ limits _ (0) ^ (\ infty) \ theta ^ (s) (\ frac (g (\ theta)) (\ theta)) \, d \ theta) ielieciet θ = e - x (\ displeja stils \ teta = e ^ (- x)), tad iegūstam divpusēju Laplasa transformāciju. Z-transformācija Z (\ displaystyle Z)-transformācija ir režģa funkcijas Laplasa transformācija, kas iegūta, mainot mainīgos: z ≡ e s T, (\ displaystyle z \ equiv e ^ (sT),) Borel transformācija Borela transformācijas integrālā forma ir identiska Laplasa transformācijai, ir arī vispārināta Borela transformācija, ar kuras palīdzību Laplasa transformācijas lietojums tiek paplašināts uz plašāku funkciju klasi. Bibliogrāfija Van der Pols B., Brēmers H. Operacionālais aprēķins, kas balstīts uz divpusējo Laplasa transformāciju. - M.: Ārzemju literatūras apgāds, 1952. - 507 lpp. Ditkins V.A., Prudņikovs A.P. Integrāltransformācijas un operacionālais aprēķins. - M.: Izdevniecības "Nauka" fiziskās un matemātiskās literatūras galvenais izdevums, 1974. - 544 lpp. Ditkins V.A., Kuzņecovs P.I. Operacionālā aprēķina rokasgrāmata: teorijas pamati un formulu tabulas. - M.: Valsts tehniskās un teorētiskās literatūras izdevniecība, 1951. - 256 lpp. Kārslovs H., Jēgers D. Darbības metodes lietišķajā matemātikā. - M.: Ārzemju literatūras apgāds, 1948. - 294 lpp. Koževņikovs N.I., Krasnoščekova T.I., Šiškins N.E. Furjē rinda un integrāļi. Lauka teorija. Analītiskās un speciālās funkcijas. Laplass pārveido. - M.: Nauka, 1964 .-- 184 lpp. M. L. Krasnovs, G. I. Makarenko Operacionālais aprēķins. Kustības stabilitāte. - M.: Nauka, 1964 .-- 103 lpp. Mikusinskis Y. Operatora aprēķins. - M.: Ārzemju literatūras apgāds, 1956. - 367 lpp. Romanovskis P.I. Furjē sērija. Lauka teorija. Analītiskās un speciālās funkcijas. Laplass pārveido. - M.: Nauka, 1980 .-- 336 lpp.