Kompleksie integrāli

Šis pants papildina nenoteiktu integrālu priekšmetu, un tajā ir iekļauti integrāli, kurus es uzskatu par diezgan sarežģītu. Nodarbība tika izveidota par atkārtotiem apmeklētāju pieprasījumiem, kuri izteica vēlmes, lai vietnē tiktu demontēti sarežģītāki piemēri.

Tiek pieņemts, ka šī teksta lasītājs ir labi sagatavots un zina, kā piemērot galvenās integrācijas metodes. Tējkannas un cilvēki, kas nav ļoti droši risināti ar integrāliem, būtu jānodod pirmajā stundā - Nenoteikta neatņemama. Risinājumu piemērikur jūs varat apgūt tēmu ar gandrīz nulli. Pieredzējušāki studenti var iepazīties ar integrācijas metodēm un metodēm, kas manos rakstos vēl nav izpildījuši.

Kādi integrāli tiks uzskatīti?

Pirmkārt, mēs apsvērsim integrālus ar saknēm, lai atrisinātu, kas tiek konsekventi izmantots nomainīt mainīgo un integrācija daļās. Tas ir, vienā piemērā, divas pieņemšanas ir apvienotas. Un vēl vairāk.

Tad mēs iepazīsimies ar interesantu un oriģinālu metodes informācijas neatņemama sev. Šī metode ir atrisināta ne tik maz integrālu.

Trešais programmas skaits iet integrāli no sarežģītām frakcijām, kas aizlidoja iepriekšējos dokumentos iepriekšējos pantos.

Ceturtkārt, trigonometrisko funkciju papildu integrāli tiks izjaukti. Jo īpaši ir metodes, kas ļauj izvairīties no universāla trigonometriskā aizstāšanas laikietilpīgajiem laikiem.

(2) Integrand funkciju, numerators uz saucēja.

(3) Izmantojiet linearitātes īpašumu uz nenoteiktu integrālu. Pēdējā integrējumā nekavējoties slauciet funkciju zem diferenciālā zīmes.

(4) veikt atlikušos integrālus. Lūdzu, ņemiet vērā, ka logaritmā var izmantot kronšteinus, nevis moduli, jo.

(5) Mēs tur aizvieto, izsakot no tiešās nomaiņas "TE":

Masochian studenti var vienaldzīgi atbildēt un saņemt sākotnējo integrand funkciju, kā es tikko darīju. Nē, nē, es izpildīju pārbaudi pareizajā nozīmē \u003d)

Kā jūs varat redzēt, lēmuma laikā man bija jāizmanto vēl vairāk nekā divi risinājuma lēmumi, tāpēc attiecībā uz represijām ar līdzīgiem integrāliem, jums ir vajadzīgas pārliecinātas integrācijas prasmes, nevis mazākā pieredze.

Praksē, protams, kvadrātsakne ir biežāk sastopams, šeit ir trīs piemēri neatkarīgam risinājumam:

2. piemērs.

Atrast nenoteikta neatņemama

3. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

4. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Šie piemēri tāda paša veida, tāpēc pilnīgs risinājums beigās raksta būs tikai, piemēram, 2, piemēriem 3-4 - viena atbilde. Kādu aizstājēju piemērot sākumā lēmumiem, es domāju, protams,. Kāpēc es paņemu tāda paša veida piemērus? Bieži atrodami jūsu lomā. Biežāk, iespējams, tikai kaut kas līdzīgs .

Bet ne vienmēr, ja zem Arctgennes, sinusa, kosine, eksponenciālo utt. Iezīmes ir lineāras funkcijas sakne, ir jāpiemēro vairākas metodes. Dažos gadījumos ir iespējams "atbrīvoties no", tas ir, tūlīt pēc nomaiņas, tiek iegūts vienkāršs integrālis, kas ir pamatskolas. Vienkāršākais no ierosinātajiem uzdevumiem ir 4. piemērs, tajā pēc nomaiņas izrādās salīdzinoši vienkāršs integrālis.

Metodes informācijas neatņemama sev

Asprātīga un skaista metode. Nekavējoties apsveriet žanra klasiku:

5. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Saskaņā ar saknes ir kvadrātveida biccoon, un, mēģinot integrēt šo piemēru, tējkanna var ciest stundām. Šāda neatņemama sastāvdaļās un nāk uz sevi. Principā tas nav grūti. Ja jūs zināt, kā.

Apzīmē latīņu vēstules neatņemamo neatņemamo un sākt risinājumu:

Mēs integrējam daļās:

(1) Mēs sagatavojam aizvietošanas funkciju augsnes nodaļai.

(2) Mēs sadalām rezerves funkciju. Iespējams, ne visiem skaidri, es rakstīšu sīkāk:

(3) Izmantojiet linearitātes īpašumu uz nenoteiktu integrālu.

(4) Ņemiet pēdējo integrēto ("Long" logaritmu).

Tagad mēs skatāmies paši lēmuma sākumā:

Un galu galā:

Kas notika? Tā rezultātā mūsu manipulācijas, integrālis saņēma sev!

Mēs pielīdzinām sākumu un beigas:

Mēs pārceļamies uz kreiso pusi ar zīmes maiņu:

Un demo demoloze labajā pusē. Rezultātā:

Pastāvīgā, stingri runājot, bija jāpievieno agrāk, bet to piešķīra beigās. Es stingri iesaku lasīt to, kas šeit ir par stingru:

Piezīme: Šķiet, ka šāds risinājums ir stingrāks posms:

Pa šo ceļu:

Pastāvīgu var atkārtoti izmantot. Kāpēc jūs varat atjaunot? Jo tas joprojām notiek jebkurš Vērtības, un šajā ziņā starp konstantēm un nav atšķirības.
Rezultātā:

Šāds triks ar atkārtotu konstantu tiek plaši izmantota diferenciālvienādojumi. Un tur es būs stingri. Un šeit šāda brīvība ir pieļaujama tikai tad, lai jūs nejaukt ar liekām lietām un koncentrētos uz pati integrācijas metodi.

6. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Vēl viens tipisks neatņemams pašlēmumu. Pilnīgs risinājums un atbilde stundas beigās. Atšķirība ar iepriekšējās piemēru atbildi būs!

Ja zem kvadrātsakne Ir kvadrātveida trīskāršais, risinājums jebkurā gadījumā tiek samazināts līdz diviem izjauktiem piemēriem.

Piemēram, apsveriet integrālu . Viss, kas jums jādara, ir iepriekš izvēlieties Full Square:
.
Pēc tam tiek veikta lineāra aizvietošana, kas maksā "bez jebkādām sekām":
Tā rezultātā integrācija ir iegūta. Kaut kas pazīstams, vai ne?

Vai tik piemērs, ar kvadrātu atlekšanai:
Mēs izcelt pilnu kvadrātu:
Un pēc lineārās nomaiņas mēs saņemam integrālu, kas ir arī atrisināts ar algoritmu jau apsvērumu.

Apsvērt vēl divas tipisks piemērs Uz uzņemšanas informācijas neatņemama sev:
- neatņemama no izstādes, kas reizināta ar sinusa;
- neatņemama no izstādes, kas reizināta ar kosinu.

Norādītajos integrālos daļās būs jāintegrē divas reizes:

7. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Integrand funkcija ir izstāde, kas reizināts ar sinusa.

Mēs divreiz integrējam daļās un atnesiet neatņemamu sevi:

Tā rezultātā divu laika integrāciju daļās, integrālis ir gotten pati. Mēs pielīdzināmies sākuma un beigu risinājumus:

Mēs pārceļamies uz kreiso pusi ar zīmes maiņu un izteikt savu neatņemamu:

Gatavs. Tāpat ir vēlams cīnīties pret labo pusi, ti. Lai padarītu eksponentu iekavās, un iekavās likt sinusa ar kosining "skaistā" kārtībā.

Tagad dodieties atpakaļ uz piemēru sākumu, vai drīzāk - integrēties daļās:

Jo mēs izraudzījāmies eksponentu. Rodas jautājums, vienmēr ir nepieciešams atsaukties uz eksponentu? Nav nepieciešams. Faktiski, pārbaudotajā integrālajā princips nav atšķirībasKo atsaukties, bija iespējams doties uz citu ceļu:

Kāpēc tas ir iespējams? Tā kā eksponents pārvēršas par sevi (un diferenciācijas laikā, un integrācijas laikā), sinusa ar kosine savstarpēji kļūst viens otru (atkal - gan diferenciācijas laikā, gan integrācijas laikā).

Tas ir, trigonometrisko funkciju var apzīmēt. Bet, pārbaudotajā piemērā, tas ir mazāk racionāli, jo parādīsies frakcijas. Ja vēlaties, jūs varat mēģināt atrisināt šo piemēru otrajā veidā, atbildes ir jāsadala.

8. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Tas ir piemērs neatkarīgam risinājumam. Pirms izlemt, padomājiet par to ir izdevīgāk šajā gadījumā, lai apzīmētu, eksponents vai trigonometriskā funkcija? Pilnīgs risinājums un atbilde stundas beigās.

Un, protams, neaizmirstiet, ka lielākā daļa no atbildēm šajā nodarbībā ir diezgan viegli pārbaudīt diferenciāciju!

Piemēri netika uzskatīti par visgrūtāk. Praksē integrāli biežāk atrodami, kur ir pastāvīgs eksponents rādītājs un argumentu trigonometriskās funkcijas, piemēram:. Domājams, ka līdzīgā integrālā būs daudz, es bieži sajaukt mani. Fakts ir tāds, ka, risinot frakciju izskatu varbūtību, un tas ir ļoti vienkārši kaut kas intensīvs zaudēt. Turklāt kļūdu iespējamība pazīmēs ir lieliska, lūdzu, ņemiet vērā, ka eksponenta indikatorā ir mīnus zīme, un tas rada papildu grūtības.

Pēdējā posmā bieži tiek iegūts aptuveni šāds:

Pat lēmuma beigās jābūt ārkārtīgi uzmanīgiem un kompetenti risināt frakcijas:

Sarežģītu frakciju integrēšana

Lēnām mēs nonākam pie nodarbības ekvatora un sākt apsvērt integrālus no frakcijas. Atkal, ne visi no tiem ir superswit, tikai vienu iemeslu dēļ vai citus piemērus bija mazliet "ne tēmā" citos rakstos.

Mēs turpinām sakņu tēmu

9. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Denominatorā zem saknes ir kvadrātveida trīs-stale plus ārpus saknes "uzlabot" formā "IKSA". Šāda veida neatņemamība tiek atrisināta, izmantojot standarta nomaiņu.

Mēs izlemjam:

Nomaiņa šeit ir vienkārša:

Mēs skatāmies dzīvē pēc nomaiņas:

(1) Pēc aizvietošanas mēs sniedzam vispārējiem saucēju noteikumiem zem saknes.
(2) Mēs izturamies no saknes.
(3) numerators un saucējs samazinot. Tajā pašā laikā, zem saknes, es pārkārtoju komponentus ērtā kārtībā. Ar noteiktu eksperimentu, soļus (1), (2) var izlaist, veicot komentētus pasākumus mutiski.
(4) iegūto neatņemamo, kā jūs atceraties no nodarbības Integrējot dažas frakcijas, nolemj pilna laukuma sadales metode. Izvēlieties pilnu kvadrātu.
(5) Integrācija mēs saņemam vislielāko "Long" logaritmu.
(6) veikt aizstājēju. Ja sākotnēji, tad atpakaļ :.
(7) Galīgā darbība ir vērsta uz frizūru rezultātu: zem saknes, viņi atkal apvieno komponentus uz vispārējo saucēju un izturēt no saknes.

10. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Tas ir piemērs neatkarīgam risinājumam. Šeit pastāvīgais ir pievienots vientuļajam "ICSU", un nomaiņa ir gandrīz vienāda:

Vienīgais, kas jums ir nepieciešams papildus, ir izteikts "x" no nomaiņas:

Pilnīgs risinājums un atbilde stundas beigās.

Dažreiz tādā vietā, kas atrodas zem saknes, var būt kvadrātveida bicker, tas nemaina risinājumu, lai atrisinātu, tas būs vēl vieglāk. Sajust atšķirību:

11. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

12. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Īsi lēmumi un atbildes stundas beigās. Jāatzīmē, ka 11. piemērs ir tieši binomijas neatņemama, kura lēmums tika ņemts vērā stundā Integrāli no neracionālām funkcijām.

Neatņemama no neiedomājama polinoma ar 2. pakāpi līdz pakāpei

(Polinoms saucējs)

Vairāk reti, bet tomēr tikšanās praktiskie piemēri Integrāla veids.

13. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Bet atgriezieties, piemēram, ar laimīgs skaits 13 (godīgi, neietilpst). Šī integrālā ir arī no kategorijas tiem, ar kuriem jūs varat būt diezgan pietiekami, ja jūs nezināt, kā atrisināt.

Lēmums sākas ar mākslīgo transformāciju:

Kā sadalīt skaitītāju uz saucēju, es domāju, ka viss ir saprotams.

Iegūtā integrālā daļa tiek veikta daļās:

Noņemts skats (- dabiskais numurs) atkārtots Grādu samazināšanas formula:
kur - neatņemama pakāpe zemāka.

Es esmu pārliecināts par taisnīgumu šo formulu par pravieti integrēto.
Šajā gadījumā:, mēs izmantojam formulu:

Kā jūs varat redzēt, atbildes sakrīt.

14. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Tas ir piemērs neatkarīgam risinājumam. Šķīduma paraugā iepriekšminētā formula bija divreiz.

Ja zem grāda atrodas neatkarīga par reizinātājiem Kvadrātveida trīs reizes, tad šķīdums nāk uz leju, lai bicked, izceļot pilnu kvadrātu, piemēram:

Ko darīt, ja jūs esat papildus skaitītājā, ir polinoms? Šajā gadījumā tiek izmantota nenoteiktu koeficientu metode, un integrētā funkcija ir aprakstīta frakciju apjomā. Bet manā praksē šādu piemēru es neatbilstu, tāpēc es nokavēju Šis gadījums rakstā Integrāli no frakcionētās racionālas funkcijasEs garām un tagad. Ja šāds integrāls joprojām tiekas, skatiet mācību grāmatu - viss ir vienkāršs. Es neuzskatu, ka tas ir lietderīgi iekļaut materiālu (pat vienkāršu), tikšanās varbūtību, ar kuru viņa cenšas nulles.

Kompleksu trigonometrisko funkciju integrācija

Īpašuma vārds "komplekss" vairumam piemēru ir daudzējādā ziņā nosacījumu. Sāksim ar tangentiem un kotangēniem augstos grādos. No viedokļa par Tangentas un Kotangenta risināšanas metodēm gandrīz to pašu, tāpēc es runāšu vairāk par pieskari, kas nozīmē, ka integrālās integrācijas risinājuma saņemšana ir godīga un arī cotangent.

Uz iepriekš minēto stundu mēs uzskatījām universāla trigonometriskā aizstāšana Lai atrisinātu konkrētu veidu integrālu trigonometrisko funkciju. Universālā trigonometriskā aizstāšanas trūkums ir tāds, ka tad, kad tas tiek izmantots, lielgabarīta integrāli ar sarežģītiem aprēķiniem bieži notiek. Un dažos gadījumos var novērst universālu trigonometrisko aizstāšanu!

Apsveriet citu kanonisku piemēru, neatņemama sastāvdaļa sadalīta sinusā:

17. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Šeit jūs varat izmantot universālu trigonometrisko aizstāšanu un saņemt atbildi, bet ir racionālāks ceļš. Es sniegšu pilnīgu risinājumu ar komentāriem par katru soli:

(1) Izmantojiet divkāršā leņķa sinusa trigonometrisko formulu.
(2) Mēs veicam mākslīgu transformāciju: denominatorā mēs sadalām un vairoties.
(3) Saskaņā ar zināmo formulu saucējs, mēs pārvēršam frakciju tangentā.
(4) Slauciet funkciju zem diferenciālā zīmes.
(5) Ņemiet integrālu.

Pāris vienkārši piemēri Pašu risinājumiem:

18. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

PIEZĪME: Vispirms vispirms ir jāizmanto formula Un rūpīgi veic līdzīgi iepriekšējam darbības piemēram.

19. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Nu, tas ir pilnīgi vienkāršs piemērs.

Pilns risinājums un atbildes stundas beigās.

Es domāju, ka tagad nevienam nav problēmu ar integrāliem:
utt

Kāda ir metodes ideja? Ideja ir tāda, ka ar transformāciju palīdzību trigonometriskās formulas organizēt tikai tangentos un pieskares atvasinājumu. Tas ir, tas ir par aizstājot: . Piemēri 17-19, mēs faktiski piemēroja šo nomaiņu, bet integrāli bija tik vienkārši, ka tas maksā līdzvērtīgu efektu - apkopot funkciju zem zīmes diferenciālā.

Līdzīgi argumenti, kā jau esmu norādījis, jūs varat tērēt cotangent.

Ir oficiāls priekšnoteikums iepriekš minētās nomaiņas izmantošanai:

Kosmas un sinusa grādu summa ir vesels negatīvs skaitlis, piemēram:

integrētam - veselam negatīvam skaitlim.

! Piezīme : Ja Integrand funkcija satur tikai sinusa vai tikai kosints, tad integrāls tiek ņemts uz negatīvu nepāra grādu (vienkāršākie gadījumi piemēriem Nr. 11, 18).

Apsveriet pāris informatīvus uzdevumus šim noteikumam:

20 piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Sinusa un kosines grādu summa: 2 - 6 \u003d -4 ir vesels negatīvs skaitlis, kas nozīmē, ka neatņemamu var samazināt pieskares un tās atvasināto instrumentu: \\ t

(1) Mēs pārveidojam saucēju.
(2) Saskaņā ar slaveno formulu, mēs saņemam.
(3) Mēs pārveidojam saucēju.
(4) Mēs izmantojam formulu .
(5) nodod funkciju zem diferenciālā pazīmes.
(6) Mēs aizstājam. Pieredzējušākus studentus nevar aizstāt, bet tomēr labāk ir aizstāt pieskari ar vienu vēstuli - mazāks risks ir sajaukts.

21. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Tas ir piemērs neatkarīgam risinājumam.

Turiet čempiona kārtās sākas \u003d)

Bieži vien integrālā darbībā ir "solyanka":

22. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Šajā integrālajā gadījumā pieskare sākotnēji ir klāt, kas tūlīt notiek jau pazīstamā domā:

Mākslīgā transformācija pašā sākumā un atlikušās darbības bez komentāriem, jo \u200b\u200bviss tika minēts iepriekš.

Radošo piemēru pāris neatkarīgam risinājumam:

23. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

24. piemērs.

Atrodiet nenoteiktu integrālu

Jā, tajās, protams, ir iespējams samazināt sinusa, kosīna pakāpi, lai izmantotu universālu trigonometrisko aizstāšanu, bet lēmums būs daudz efektīvāks un īsāks, ja tas tiek veikts caur tangentiem. Pilnīgs risinājums un atbildes stundas beigās

Galvenie integrāli, kas katram studentam jāzina

Uzskaitītie integrāli ir pamats, pamata bāze. Šīs formulas jāatceras. Aprēķinot sarežģītākus integrālus, jums būs jāizmanto tos pastāvīgi.

Īpaša uzmanība jāpievērš formulām (5), (7), (9), (12), (13), (17) un (19). Neaizmirstiet, kad integrējot pievienot atbildei patvaļīgu konstantu!

Integrāla no Konstantas

∫ d x \u003d a x + c (1)

Enerģijas funkcijas integrēšana

Faktiski, tas bija iespējams ierobežot tikai formulas (5) un (7), bet pārējie integrāli no šīs grupas ir radušās tik bieži, ka ir vērts maksāt nedaudz uzmanības tiem.

∫ x d x \u003d x 2 2 + c (2)
∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c (3)
∫ 1 x d x \u003d 2 x + c (4)
∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C (5)
∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c (6)
∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1) (7)

Integrāli no indikatīvās funkcijas un no hiperbolisko funkciju

Protams, formula (8) (varbūt ērtākā iegaumēšanai) var uzskatīt par privātais gadījums Formulas (9). Formulas (10) un (11) Hiperboliskās sinusa un hiperbolisko kosīna integrālam ir viegli iegūti no formulas (8), bet labāk ir vienkārši atcerēties šīs attiecības.

∫ E X D X \u003d E X + C (8)
∫ x d x \u003d x ln a + c (A\u003e 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x \u003d c h x + c (10)
∫ c h x d x \u003d s h x + c (11)

Trigonometrisko funkciju pamata integrāli

Kļūda, ko studenti bieži veido: sajaukt zīmes formulās (12) un (13). Atceroties, ka sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosiniem, daudzi iemesli uzskata, ka SINX funkcijas neatņemama sastāvdaļa ir COSX. Tā nav taisnība! Sine neatņemama ir vienāda ar "mīnus kosining", bet integrālis no Cosx ir "tikai sinusa":

∫ Sin x d x \u003d - cos x + c (12)
∫ cos x d x \u003d sin x + c (13)
∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c (14)
∫ 1 Sin 2 x D x \u003d - c t g x + c (15)

Integrāli samazināts līdz apgrieztām trigonometriskām funkcijām

Formula (16), kas izraisa arctangent, protams, ir īpašs formulas (17) gadījums A \u003d 1. Tāpat (18) - īpašs gadījums (19).

∫ 1 1 + x 2 D x \u003d A R C T G X + C \u003d - A R C C T G X + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 \u003d 1 a r c t g x a + c (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 D x \u003d ARCSIN X + C \u003d - ARCCOS X + C (18)
∫ 1 A 2 - x 2 D X \u003d ARCSIN X A + C \u003d - ARCCOS X A + C (A\u003e 0) (19)

Sarežģītāki integrāli

Šīs formulas ir vēlams atcerēties. Tos izmanto arī diezgan bieži, un viņu secinājums ir diezgan garlaicīgs.

∫ 1 x 2 + a 2 d x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x \u003d ln | X + x 2 - a 2 | + C (21)
∫ 2 - x 2 d x \u003d x 2 A 2 - x 2 + A 2 2 ARCSIN X A + C (A\u003e 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a\u003e 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x \u003d x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | X + x 2 - a 2 | + C (a\u003e 0) (24)

Vispārējās integrācijas noteikumi

1) neatņemama no divu funkciju summas ir vienāda ar attiecīgo integrālo summu: ∫ (F (x) + g (x)) d x \u003d ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx (25 )

2) Divu funkciju atšķirības atšķirība ir vienāda ar atšķirību starp attiecīgajiem integrāliem: ∫ (f (x) - g (x)) d x \u003d ∫ f (x) d x - ∫ g (x) dx ( 26)

3) nemainīgu var izņemt no neatņemamas zīmes: ∫ c f (x) d x \u003d c ∫ f (x) d x (27)

Tas ir viegli pamanāms, ka īpašums (26) ir tikai kombinācija īpašībām (25) un (27).

4) Integrēta kompleksa funkcija Ja iekšējā funkcija ir lineāra: ∫ f (a x + b) d x \u003d 1 a f (a x + b) + c (a ≠ 0) (28)

Šeit f (x) ir primitīva funkciju f (x). Piezīme. Šī formula ir piemērota tikai gadījumā, ja iekšējai funkcijai ir skats AX + B.

SVARĪGI: Nav vispārējas formulas neatņemamai no divu funkciju produkta, kā arī par daļu no frakcijas:

∫ F (x) g (x) d x \u003d? ∫ F (x) g (x) d x \u003d? (trīsdesmit)

Tas nenozīmē, protams, ka frakcija vai darbs nevar integrēt. Tikai katru reizi, redzot neatņemamu tipu (30), jums būs jāizgudro veids "cīnīties" ar viņu. Dažos gadījumos jūs varēsiet integrēties daļās, kaut kur būs jāaizstāj mainīgais, un dažreiz var palīdzēt pat "Skola" formulas Algebra vai trigonometrija.

Vienkāršs piemērs, kā aprēķināt nenoteiktu integrētu

1. piemērs Atrodiet neatņemamu sastāvdaļu: ∫ (3 x 2 + 2 sin x - 7 E x + 12) D x

Mēs izmantojam formulas (25) un (26) (neatņemama summa vai funkciju atšķirība ir vienāda ar summu vai atšķirību atbilstošo integrālu. Mēs iegūstam: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 Sin x d x - ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Atgādināt, ka konstante var būt pār neatņemama zīme (formula (27)). Izteiksme pārveidota prātā

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e \u200b\u200bx d x + 12 ∫ 1 d x

Un tagad vienkārši izmantojiet galveno integrālo tabulu. Mums būs jāpiemēro formulas (3), (12), (8) un (1). Integrēt jaudas funkciju, sinusa, eksponentu un konstante 1. Neaizmirstiet pievienot beigām patvaļīga konstante ar:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 E x + 12 x + c

Pēc elementārām transformācijām mēs saņemam galīgo atbildi:

X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + c

Pārbaudiet sevi ar diferenciāciju: Veikt atvasinājums no funkcijas Un pārliecinieties, ka tas ir vienāds ar izteiksmes sākotnējiem veidiem.

Kopsavilkuma neatņemama tabula

∫ d x \u003d x + c

∫ x d x \u003d x 2 2 + c

∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c

∫ 1 x d x \u003d 2 x + c

∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C.

∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c

∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1)

∫ e x d x \u003d e x + c

∫ x d x \u003d x ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x \u003d c h x + c

∫ c h x d x \u003d s h x + c

∫ Sin X d x \u003d - cos x + c

∫ cos x d x \u003d sin x + c

∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c

∫ 1 sin 2 x d x \u003d - c t g x + c

∫ 1 1 + x 2 D x \u003d A R C T G X + C \u003d - A R C C T G X + C

∫ 1 x 2 + a 2 \u003d 1 a a r c t g x a + c (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x \u003d ARCSIN X + C \u003d - ARCCOS X + C

∫ 1 A 2 - x 2 D x \u003d ARCSIN X A + C \u003d - ARCCOS X A + C (A\u003e 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x \u003d ln | x + x 2 + a 2 | + C.

∫ 1 x 2 - a 2 d x \u003d ln | X + x 2 - a 2 | + C.

∫ A 2 - x 2 D x \u003d x 2 A 2 - x 2 + A 2 2 ARCSIN X A + C (A\u003e 0)

∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a\u003e 0)

∫ x 2 - a 2 d x \u003d x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | X + x 2 - a 2 | + C (a\u003e 0)

Lejupielādējiet neatņemamu tabulu (II daļa) šajā saitē

Ja jūs mācāties universitātē, ja jums ir grūtības ar augstāko matemātiku (matemātisko analīzi, lineāro algebru, varbūtības teoriju, statistiku), ja jums ir nepieciešami kvalificēti skolotāja pakalpojumi, dodieties uz lapu apmācīt augstāko matemātiku . Mēs atrisināsim savas problēmas kopā!

Varbūt jūs arī interesē