Mainīgā iracionālā funkcija ir funkcija, kas tiek veidota no mainīgā lieluma un patvaļīgām konstantēm, izmantojot ierobežotu skaitu saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas (paaugstināšanas līdz veselam skaitlim), dalīšanas un sakņu ekstrakcijas operāciju. Iracionālā funkcija atšķiras no racionālās funkcijas ar to, ka iracionālā funkcija satur operācijas sakņu iegūšanai.

Ir trīs galvenie veidi neracionālas funkcijas, kuras nenoteiktie integrāļi tiek reducēti uz racionālu funkciju integrāļiem. Tie ir integrāļi, kas satur patvaļīgu veselu skaitļu grādu saknes no lineāras daļskaitļa funkcijas (saknes var būt dažādas pakāpes, bet no vienas un tās pašas lineāras daļskaitļa funkcijas); diferenciālbinoma integrāļi un integrāļi ar kvadrātsakni no trinoma kvadrātveida.

Svarīga piezīme. Saknes ir neskaidras!

Aprēķinot integrāļus, kas satur saknes, bieži sastopamas formas izteiksmes, kur ir kāda integrācijas mainīgā funkcija. Jāpatur prātā, ka. Tas ir, par t> 0, | t | = t... Pie t< 0, | t | = - t. Tāpēc, aprēķinot šādus integrāļus, atsevišķi jāapsver gadījumi t> 0 un t< 0 ... To var izdarīt, rakstot zīmes vai vajadzības gadījumā. Pieņemot, ka augšējā zīme attiecas uz gadījumu t> 0 , un apakšējā - uz lietu t< 0 ... Pēc tālākas pārveidošanas šīs zīmes, kā likums, viena otru atceļ.

Iespējama arī otrā pieeja, kurā integrandu un integrācijas rezultātu var uzskatīt par sarežģītas funkcijas uz sarežģītiem mainīgajiem. Tad jūs nevarat sekot zīmēm radikālos izteicienos. Šī pieeja ir piemērojama, ja integrands ir analītisks, tas ir, kompleksa mainīgā diferencējama funkcija. Šajā gadījumā gan integrands, gan tā integrālis ir daudzvērtīgas funkcijas. Tāpēc pēc integrācijas, aizvietojot skaitliskās vērtības, ir jāizvēlas integranda vienvērtības atzars (Riemana virsma) un tam jāizvēlas atbilstošā integrācijas rezultāta atzara.

Daļēja lineārā iracionalitāte

Tie ir integrāļi ar vienas un tās pašas lineāras daļfunkcijas saknēm:
,
kur R ir racionāla funkcija, ir racionāli skaitļi, m 1, n 1, ..., m s, n s ir veseli skaitļi, α, β, γ, δ ir reāli skaitļi.
Šādi integrāļi tiek reducēti līdz racionālas funkcijas integrālim, aizstājot:
, kur n ir skaitļu r 1, ..., r s kopsaucējs.

Saknes var nebūt no lineāras daļfunkcijas, bet arī no lineāras funkcijas (γ = 0, δ = 1), vai uz integrācijas mainīgo x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

Šeit ir šādu integrāļu piemēri:
, .

Diferenciālo binomiālu integrāļi

Diferenciālo binomiālu integrāļi ir:
,
kur m, n, p ir racionālie skaitļi, a, b ir reālie skaitļi.
Šādi integrāļi trīs gadījumos reducējas par racionālu funkciju integrāļiem.

1) Ja p ir vesels skaitlis. Aizvietošana x = t N, kur N ir daļu m un n kopsaucējs.
2) Ja - vesels. Aizvietošana a x n + b = t M, kur M ir p saucējs.
3) Ja - vesels. Aizvietošana a + b x - n = t M, kur M ir p saucējs.

Citos gadījumos šādus integrāļus neizsaka ar elementārfunkcijām.

Dažreiz šādus integrāļus var vienkāršot, izmantojot samazināšanas formulas:
;
.

Integrāļi, kas satur kvadrātveida trinoma kvadrātsakni

Šādi integrāļi ir šādā formā:
,
kur R ir racionāla funkcija. Katram šādam integrālam ir vairākas risināšanas metodes.
1) Ar transformāciju palīdzību novest pie vienkāršākiem integrāļiem.
2) Izmantojiet trigonometriskos vai hiperboliskos aizstāšanas veidus.
3) Izmantojiet Eilera aizvietojumus.

Apskatīsim šīs metodes tuvāk.

1) Integranda transformācija

Lietojot formulu un veicot algebriskās transformācijas, mēs ievietojam integrandu formā:
,
kur φ (x), ω (x) ir racionālas funkcijas.

I tips

Formas integrālis:
,
kur P n (x) ir n pakāpes polinoms.

Šādus integrāļus atrod ar nedefinētu koeficientu metodi, izmantojot identitāti:

.
Diferencējot šo vienādojumu un pielīdzinot kreiso un labo pusi, atrodam koeficientus A i.

II tips

Formas integrālis:
,
kur P m (x) ir m pakāpes polinoms.

Aizstāšana t = (x - α) -1šis integrālis tiek samazināts līdz iepriekšējam tipam. Ja m ≥ n, tad jāizvēlas visa frakcijas daļa.

III tips

Šeit mēs veicam aizstāšanu:
.
Tad integrālim būs šāda forma:
.
Turklāt konstantes α, β jāizvēlas tā, lai koeficienti pie t saucējā izzustu:
B = 0, B 1 = 0.
Tad integrālis sadalās divu veidu integrāļu summā:
,
,
kas ir integrēti ar aizstāšanu:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Trigonometriskās un hiperboliskās aizstāšanas

Formas integrāļiem a > 0 ,
mums ir trīs galvenās aizstāšanas iespējas:
;
;
;

Integrāļiem a > 0 ,
mums ir šādas aizstāšanas iespējas:
;
;
;

Un, visbeidzot, integrāļiem a > 0 ,
aizvietojumi ir šādi:
;
;
;

3) Eilera aizstāšana

Arī integrāļus var reducēt uz racionālu funkciju integrāļiem vienā no trim Eilera aizvietojumiem:
, ja a> 0;
, ja c> 0;
, kur x 1 ir vienādojuma a x 2 + b x + c = 0 sakne. Ja šim vienādojumam ir reālas saknes.

Eliptiskie integrāļi

Noslēgumā apsveriet formas integrāļus:
,
kur R ir racionāla funkcija,. Šādus integrāļus sauc par eliptiskiem. Kopumā tie nav izteikti elementāru funkciju izteiksmē. Taču ir gadījumi, kad starp koeficientiem A, B, C, D, E pastāv attiecības, kurās šādi integrāļi ir izteikti elementārfunkciju izteiksmē.

Tālāk ir sniegts piemērs, kas saistīts ar atgriešanas polinomiem. Šādu integrāļu aprēķins tiek veikts, izmantojot aizvietojumus:
.

Piemērs

Aprēķiniet integrāli:
.

Risinājums

Mēs veicam aizstāšanu.

.
Lūk, par x> 0 (u> 0 ) mēs ņemam augšējo zīmi "+". Par x< 0 (u< 0 ) - zemāks ' - '.

.

Atbilde

Atsauces:
N.M. Ginters, R.O. Kuzmins, Augstākās matemātikas uzdevumu krājums, "Lan", 2003.

Tiek izsaukta funkcija F (x), kas diferencējama noteiktā intervālā X antiderivatīvs funkcijai f (x) vai f (x) integrālis, ja jebkuram x ∈X ir spēkā šāda vienādība:

F "(x) = f (x). (8.1.)

Visu antiatvasinājumu atrašanu noteiktai funkcijai sauc par tās integrācija. Nenoteikts funkcijas integrālis f (x) dotajā intervālā X ir visu funkcijas f (x) antiatvasinājumu kopa; apzīmējums -

Ja F (x) ir kāds primitīvs funkcijai f (x), tad ∫ f (x) dx = F (x) + C, (8.2)

kur C ir patvaļīga konstante.

Integrēts galds

Tieši no definīcijas mēs iegūstam not pamata īpašības noteikts integrālis un tabulas integrāļu saraksts:

1) d∫f (x) dx = f (x)

2) ∫df (x) = f (x) + C

3) ∫af (x) dx = a∫f (x) dx (a = konst.)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Tabulu integrāļu saraksts

1.∫x m dx = x m + 1 / (m + 1) + C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a> 0, a ≠ 1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctāns x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Mainīga nomaiņa

Lai integrētu daudzas funkcijas, izmantojiet mainīgā vai mainīšanas metodi aizstāšanas,ļaujot integrāļus reducēt uz tabulas formu.

Ja funkcija f (z) ir nepārtraukta uz [α, β], funkcijai z = g (x) ir nepārtraukts atvasinājums un α ≤ g (x) ≤ β, tad

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫f (z) dz, (8.3)

turklāt pēc integrācijas labajā pusē ir jāveic aizstāšana z = g (x).

Pierādījumam pietiek uzrakstīt oriģinālo integrāli formā:

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x).

Piemēram:

Integrācija pa daļām

Lai u = f (x) un v = g (x) ir nepārtrauktas funkcijas. Tad saskaņā ar darbu

d (uv)) = udv + vdu vai udv = d (uv) - vdu.

Izteiksmei d (uv) antiatvasinājums acīmredzami būs uv, tāpēc spēkā ir šāda formula:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Šī formula izsaka noteikumu integrācija pa daļām... Tas apvieno izteiksmes udv = uv "dx" integrāciju izteiksmes vdu = vu integrācijā dx.

Ļaujiet, piemēram, atrast ∫xcosx dx. Mēs ieliekam u = x, dv = cosxdx, tātad du = dx, v = sinx. Tad

∫xcosxdx = ∫x d (sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Integrācijas noteikumam pa daļām ir ierobežotāka darbības joma nekā mainīgā aizstāšanai. Bet ir veselas integrāļu klases, piemēram,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax un citi, kas tiek aprēķināti, izmantojot integrāciju pa daļām.

Noteikts integrālis

Noteikta integrāļa jēdziens tiek ieviests šādi. Ļaujiet segmentam definēt funkciju f (x). Mēs sadalām segmentu [a, b] n daļas pa punktiem a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Tiek izsaukta summa f (ξ i) Δ x i formā integrālā summa, un tā robežu kā λ = maxΔx i → 0, ja tā pastāv un ir ierobežota, sauc noteiktais integrālis funkcija f (x) no a pirms tam b un to norāda:

F (ξ i) Δx i (8.5.).

Šajā gadījumā tiek izsaukta funkcija f (x). integrējams segmentā, tiek izsaukti skaitļi a un b integrāļa apakšējā un augšējā robeža.

Noteiktam integrālim ir derīgas šādas īpašības:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f (ξ) (b-a) (ξ∈).

Tiek saukts pēdējais īpašums vidējās vērtības teorēma.

Ļaujiet f (x) būt nepārtrauktam ieslēgtam. Tad šajā segmentā ir nenoteikts integrālis

∫f (x) dx = F (x) + C

un notiek Ņūtona-Leibnica formula, savienojot noteiktu integrāli ar nenoteiktu:

F (b) - F (a). (8.6)

Ģeometriskā interpretācija: noteiktais integrālis ir līknes trapeces laukums, ko no augšas ierobežo līkne y = f (x), taisnes x = a un x = b un ass segments Vērsis.

Nepareizi integrāļi

Tiek saukti integrāļi ar bezgalīgiem ierobežojumiem un pārtrauktu (neierobežotu) funkciju integrāļi nepareiza. Nepareizi pirmā veida integrāļi - tie ir integrāļi bezgalīgā intervālā, kas definēti šādi:

(8.7)

Ja šī robeža pastāv un ir ierobežota, tad to sauc konverģējošais nepareizais f (x) integrālis uz intervāla [a, + ∞), un tiek izsaukta funkcija f (x). integrējams bezgalīgā intervālā[a, + ∞). Pretējā gadījumā tiek teikts, ka integrālis ir nepastāv vai atšķiras.

Nepareizi integrāļi intervālos (-∞, b] un (-∞, + ∞) tiek definēti līdzīgi:

Definēsim neierobežotas funkcijas integrāļa jēdzienu. Ja f (x) ir nepārtraukts visām vērtībām x segmentu, izņemot punktu c, kurā f (x) ir bezgalīga pārtraukums, tad nepareizs otrā veida integrālis f (x) sākot no a līdz b sauc par summu:

ja šīs robežas pastāv un ir ierobežotas. Apzīmējums:

Integrāļu aprēķināšanas piemēri

Piemērs 3.30. Aprēķināt ∫dx / (x + 2).

Risinājums. Mēs apzīmējam t = x + 2, tad dx = dt, ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln |t | + C = ln | x + 2 | + C.

Piemērs 3.31... Atrodiet ∫ tgxdx.

Risinājums.∫ tgxdx = ∫sinx / cosxdx = - ∫dcosx / cosx. Pieņemsim, ka t = cosx, tad ∫ tgxdx = -∫ dt / t = - ln |t | + C = -ln | cosx | + C.

Piemērs3.32 ... Atrodiet ∫dx / sinx

Risinājums.

Piemērs3.33. Atrast.

Risinājums. = .

Piemērs3.34 ... Atrodiet ∫arctgxdx.

Risinājums. Mēs integrējam pa daļām. Mēs iestatām u = arctgx, dv = dx. Tad du = dx / (x 2 +1), v = x, no kurienes ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C; jo
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) + C.

Piemērs3.35 ... Aprēķināt ∫lnxdx.

Risinājums. Izmantojot formulu integrācijai pa daļām, mēs iegūstam:
u = lnx, dv = dx, du = 1 / x dx, v = x. Tad ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.

Piemērs3.36 ... Novērtējiet ∫e x sinxdx.

Risinājums. Apzīmējiet u = e x, dv = sinxdx, tad du = e x dx, v = ∫sinxdx = - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integrālis ∫e x cosxdx ir integrējams arī pa daļām: u = e x, dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. Mums ir:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Mēs ieguvām sakarību ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, no kurienes 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + С.

Piemērs 3.37. Aprēķināt J = ∫cos (lnx) dx / x.

Risinājums. Tā kā dx / x = dlnx, tad J = ∫cos (lnx) d (lnx). Aizstājot lnx ar t, mēs iegūstam tabulas integrāli J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.

Piemērs 3.38 ... Aprēķināt J =.

Risinājums.Ņemot vērā, ka = d (lnx), mēs aizstājam lnx = t. Tad J = .

Piemērs 3.39 ... Aprēķināt integrāli J = .

Risinājums. Mums ir: ... Tāpēc =
=
=. ievadīts kā šis sqrt (iedegums (x / 2)).

Un, ja rezultātu loga augšējā labajā stūrī noklikšķināsit uz Rādīt darbības, jūs saņemsiet detalizētu risinājumu.

Pieteikums

Vietnes integrāļi tiešsaistē, lai studenti un skolēni konsolidētu nokārtoto materiālu. Un apmācīt savas praktiskās iemaņas. Pilnīgs integrāļu tiešsaistes risinājums jums dažos mirkļos palīdzēs noteikt visus procesa posmus. Katru reizi, tiklīdz jūs sākat risināt integrāli tiešsaistē, jums ir jānosaka tā veids, bez tā jūs nevarat izmantot jebkuru metodi, izņemot integrālo tabulu. Ne katrs tabulu integrālis ir skaidri redzams dotajā piemērā; dažreiz ir jāpārveido sākotnējā funkcija, lai atrastu antiatvasinājumu. Praksē integrāļu risinājums tiek reducēts uz oriģināla, tas ir, antiatvasinājuma no bezgalīgas funkciju saimes atrašanas problēmas interpretāciju, bet, ja ir dotas integrācijas robežas, tad saskaņā ar Ņūtona-Leibnica formulu pastāv. tikai viena funkcija, kurai tiek piemēroti aprēķini. Tiešsaistes integrāļi — tiešsaistes nenoteiktais integrālis un tiešsaistes noteiktais integrālis. Tiešsaistes funkcijas integrālis ir visu skaitļu summa, kas paredzēti to integrēšanai. Tāpēc neoficiāli tiešsaistes integrālis ir apgabals starp funkciju grafiku un abscisu integrācijas ietvaros. Problēmu risināšanas piemēri ar integrāļiem. Aprēķināsim kompleksu integrāli vienam mainīgajam un saistīsim tā atbildi ar turpmāko problēmas risinājumu. Kā saka, ir iespējams atrast integrāļa integrāli tieši uz priekšu. Jebkurš integrālis ar augstu precizitāti nosaka apgabalu, ko ierobežo figūras līnijas. Šī ir viena no tā ģeometriskajām nozīmēm. Šī metode studentiem atvieglo darbu. Faktiski vairākiem posmiem nebūs lielas ietekmes uz vektora analīzi. Integrālā funkcija tiešsaistē ir integrālrēķina pamatjēdziens .. Nenoteiktu integrāļu risinājums. Saskaņā ar galveno analīzes teorēmu integrācija ir diferenciācijai apgriezta darbība, kas palīdz atrisināt diferenciālvienādojumus. Ir vairākas dažādas integrācijas darbības definīcijas, kas atšķiras pēc tehniskajām detaļām. Tomēr tās visas ir saderīgas, tas ir, jebkuras divas integrācijas metodes, ja tās var pielietot noteiktai funkcijai, dos vienādu rezultātu. Vienkāršākais ir Rīmaņa integrālis - noteikts integrālis vai nenoteikts integrālis. Neformāli viena mainīgā funkcijas integrāli var ievadīt kā laukumu zem grafika (attēls, kas atrodas starp funkcijas grafiku un abscisu asi). Jebkura šāda apakšproblēma var attaisnot, ka integrāļa aprēķināšana būs ārkārtīgi nepieciešama svarīgas pieejas pašā sākumā. Neaizmirstiet šo! Mēģinot atrast šo apgabalu, varam aplūkot figūras, kas sastāv no noteikta skaita vertikālu taisnstūru, kuru pamatnes kopā veido integrācijas segmentu un tiek iegūtas, sadalot segmentu attiecīgajā mazo segmentu skaitā. Tiešsaistes integrāļi risinājums .. Tiešsaistes integrālis - tiešsaistes nenoteiktais integrālis un tiešsaistes noteiktais integrālis. Tiešsaistes integrāļu risinājums: tiešsaistes nenoteiktais integrālis un tiešsaistes noteiktais integrālis. Kalkulators detalizēti un bez maksas atrisina integrāļus ar darbību aprakstu! Funkcijas tiešsaistes nenoteiktais integrālis ir visu dotās funkcijas antiatvasinājumu kolekcija. Ja funkcija ir definēta un nepārtraukta intervālā, tad tai ir antiatvasinājuma funkcija (vai antiatvasinājumu saime). Integrālis definē tikai izteiksmi, kuras nosacījumus jūs izvirziet, iestājoties šādai nepieciešamībai. Labāk šai lietai pieiet uzmanīgi un izjust iekšēju gandarījumu par paveikto. Bet integrāļa aprēķināšana citādāk nekā klasiskā veidā dažkārt noved pie negaidītiem rezultātiem, un par to nevar brīnīties. Priecājos, ka tam būs pozitīva atbilde uz notiekošo. Noteikto integrāļu un nenoteikto integrāļu saraksts ar pilnīgu detalizētu soli pa solim risinājumu. Visi integrālie elementi ar detalizētu risinājumu tiešsaistē. Nenoteikts integrālis. Nenoteiktā integrāļa atrašana tiešsaistē ir ļoti izplatīts uzdevums augstākajā matemātikā un citās tehniskajās zinātnes nozarēs. Integrācijas pamatmetodes. Integrāļa, noteiktā un nenoteiktā integrāļa definīcija, integrāļu tabula, Ņūtona-Leibnica formula. Un atkal, jūs varat atrast savu integrāli, izmantojot integrālo izteiksmju tabulu, taču jums joprojām ir jānonāk pie tā, jo ne viss ir tik vienkārši, kā varētu šķist no pirmā acu uzmetiena. Padomājiet par pabeigtām ēkām, pirms atrodat kļūdas. Noteiktais integrālis un tā aprēķināšanas metodes. Tiešsaistes noteiktais integrālis ar mainīgu augšējo robežu. Integrēts risinājums tiešsaistē. Jebkurš piemērs, kas palīdz aprēķināt integrāli, izmantojot tabulas formulas, būs noderīgs ceļvedis visu prasmju līmeņu studentiem. Vissvarīgākais solis ceļā uz pareizo atbildi .. Integrāļi tiešsaistē. Nenoteikti integrāļi, kas satur eksponenciālās un logaritmiskās funkcijas. Integrāls risinājums tiešsaistē – saņemsiet detalizētu risinājumu dažāda veida integrāļiem: nenoteiktiem, noteiktiem, nepareiziem. Noteikto integrāļu kalkulators tiešsaistes režīmā aprēķina funkcijas noteikto integrāli intervālā, izmantojot skaitlisko integrāciju. Funkcijas integrālis ir secības summas analogs. Neformāli runājot, noteiktais integrālis ir funkcijas grafika daļas laukums. Tiešsaistes integrālis risinājums .. Tiešsaistes integrālis ir tiešsaistes nenoteiktais integrālis un tiešsaistes noteiktais integrālis. Bieži vien šāds integrālis nosaka, cik ķermenis ir smagāks par tāda paša blīvuma objektu, salīdzinot ar to, un neatkarīgi no tā, kādā formā tas ir, jo virsma neuzsūc ūdeni. Tiešsaistes integrāļi risinājums .. Tiešsaistes integrāļi - tiešsaistes nenoteiktais integrālis un tiešsaistes noteiktais integrālis. Katrs jaunākais students zina, kā tiešsaistē atrast integrālu. Pamatojoties uz skolas mācību programmu, tiek apgūta arī šī matemātikas sadaļa, taču ne detalizēti, bet tikai tik sarežģītas un svarīgas tēmas pamati. Vairumā gadījumu integrāļu apgūšanu studenti sāk no apjomīgas teorijas, kuras priekšā ir arī svarīgas tēmas, piemēram, atvasinājums un pāreja uz robežu - tās arī ir robežas. Integrāļu risināšana pamazām sākas ar elementārākajiem piemēriem no vienkāršām funkcijām un beidzas ar daudzu pagājušajā gadsimtā un pat daudz agrāk piedāvāto pieeju un noteikumu pielietošanu. Integrālie aprēķini ir paredzēti informatīviem nolūkiem licejos un skolās, tas ir, vidējās izglītības iestādēs. Mūsu vietnes vietne vienmēr jums palīdzēs, un integrāļu risināšana tiešsaistē jums kļūs par ikdienu, un pats galvenais, saprotamu uzdevumu. Pamatojoties uz šo resursu, jūs varat viegli sasniegt izcilību šajā matemātikas sadaļā. Soli pa solim izprotot apgūtos noteikumus, piemēram, piemēram, integrāciju, pa daļām vai Čebiševa metodes pielietošanu, var viegli atrisināt jebkuru testu par maksimālo punktu skaitu. Tātad, kā mēs varam aprēķināt integrāli, izmantojot labi zināmo integrāļu tabulu, bet tā, lai risinājums būtu pareizs, pareizs un ar maksimāli iespējamo precīzu atbildi? Kā to iemācīties un vai parastam pirmkursniekam to ir iespējams izdarīt pēc iespējas īsākā laikā? Uz šo jautājumu atbildēsim apstiprinoši – vari! Tajā pašā laikā jūs varēsiet ne tikai atrisināt jebkuru piemēru, bet arī sasniegt augstas klases inženiera līmeni. Noslēpums ir vienkāršāks nekā jebkad agrāk - jums ir jāpieliek maksimālas pūles, jāvelta nepieciešamais laiks pašgatavošanai. Diemžēl neviens vēl nav izdomājis citu veidu! Bet ne viss ir tik duļķains, kā šķiet no pirmā acu uzmetiena. Ja sazināsieties ar mūsu servisa vietni ar šo jautājumu, mēs atvieglosim jūsu dzīvi, jo mūsu vietne var detalizēti, ar ļoti lielu ātrumu un nevainojami precīzu atbildi aprēķināt integrāļus tiešsaistē. Būtībā integrālis nenosaka, kā argumentu attiecība ietekmē sistēmas stabilitāti kopumā. Ja vien viss būtu līdzsvarā. Papildus tam, kā jūs apgūsit šīs matemātiskās tēmas pamatus, pakalpojums var atrast jebkura integrāļa integrāli, ja šo integrāli var atrisināt elementārās funkcijās. Pretējā gadījumā integrāļiem, kas netiek ņemti elementārajās funkcijās, praksē nav jāatrod atbilde analītiskā vai, citiem vārdiem sakot, skaidrā formā. Visi integrāļu aprēķini tiek reducēti līdz dotā integranda antiatvasinājuma noteikšanai. Lai to izdarītu, vispirms tiešsaistē aprēķiniet nenoteikto integrāli visiem matemātikas likumiem. tad, ja nepieciešams, integrāļa augšējās un apakšējās vērtības tiek aizstātas. Ja nav nepieciešams noteikt vai aprēķināt nenoteikta integrāļa skaitlisko vērtību, tad iegūtajai antiatvasinātajai funkcijai tiek pievienota konstante, tādējādi definējot antiatvasināto funkciju saimi. Īpaša vieta zinātnē un vispār jebkurā inženierzinātņu jomā, ieskaitot nepārtraukto mediju mehāniku, integrācija apraksta visas mehāniskās sistēmas, to kustības un daudz ko citu. Daudzos gadījumos sastādītais integrālis nosaka materiāla punkta kustības likumu. Tas ir ļoti svarīgs instruments lietišķo zinātņu izpētē. Pamatojoties uz to, nevar teikt par liela mēroga aprēķiniem, lai noteiktu mehānisko sistēmu pastāvēšanas un uzvedības likumus. Tiešsaistes kalkulators integrāļu risināšanai vietnē ir spēcīgs rīks profesionāliem inženieriem. Mēs noteikti varam jums to garantēt, bet mēs varēsim aprēķināt jūsu integrāli tikai pēc tam, kad integrāda domēnā ievadīsit pareizo izteiksmi. Nebaidieties kļūdīties, šajā jautājumā viss ir labojams! Parasti integrāļu risinājums tiek reducēts uz tabulu funkciju izmantošanu no labi zināmām mācību grāmatām vai enciklopēdijām. Tāpat kā jebkurš cits nenoteiktais integrālis, tas tiks aprēķināts, izmantojot standarta formulu bez pārāk lielas kritikas. Pirmkursnieki viegli un dabiski apgūst apgūto materiālu lidojuma laikā, un dažreiz integrāļa atrašana aizņem ne vairāk kā divas minūtes. Un, ja skolēns ir apguvis integrāļu tabulu, tad kopumā viņš var noteikt atbildes savā galvā. Funkciju paplašināšana mainīgajos attiecībā pret virsmām sākotnēji nozīmē pareizo vektora virzienu kādā abscisas punktā. Virsmas līniju neparedzamā uzvedība izmanto noteiktus integrāļus par pamatu savstarpējam matemātisko funkciju avotam. Bumbiņas kreisā mala nepieskaras cilindram, kurā ir ierakstīts aplis, skatoties plaknē. Mazo laukumu summa, kas sadalīta simtiem gabalos nepārtrauktu funkciju, ir noteiktas funkcijas tiešsaistes integrālis. Integrāļa mehāniskā nozīme slēpjas daudzās pielietotajās problēmās, tā ir ķermeņu tilpuma noteikšana un ķermeņa masas aprēķināšana. Trīskāršie un dubultie integrāļi ir iesaistīti tikai šajos aprēķinos. Mēs uzstājam, ka integrāļu tiešsaistes risinājums tiek veikts tikai pieredzējušu pasniedzēju uzraudzībā un ar daudzām pārbaudēm.Mums bieži tiek jautāts par to studentu progresu, kuri neapmeklē lekcijas, izlaiž tās bez iemesla, kā viņiem izdodas atrast paši integrāļi. Mēs atbildam, ka studenti ir brīvi cilvēki un var tikt apmācīti kā eksterns, gatavojoties ieskaitei vai eksāmenam ērtā mājas vidē. Mūsu pakalpojums dažu sekunžu laikā palīdzēs ikvienam, kurš vēlas aprēķināt jebkuras funkcijas integrāli attiecībā pret mainīgo. Pārbaudiet rezultātu, kas iegūts, ņemot antiderivatīvās funkcijas atvasinājumu. Šajā gadījumā konstante no integrāļa risinājuma pazūd. Šis noteikums ir skaidrs visiem. Tā kā daudzvirzienu darbības ir pamatotas, nenoteiktais integrālis bieži tiek reducēts līdz reģiona sadalīšanai mazās daļās. Tomēr daži studenti un skolēni šo prasību neievēro. Kā vienmēr, tiešsaistes integrāļus var detalizēti atrisināt mūsu servisa vietne, un pieprasījumu skaitam nav ierobežojumu, viss ir bez maksas un pieejams ikvienam. Nav daudz šādu vietņu, kas sniedz soli pa solim atbildi dažu sekunžu laikā, un pats galvenais, ar augstu precizitāti un ērtā formā. Pēdējā piemērā mājasdarba piektajā lapā bija viens, kas parāda nepieciešamību soli pa solim aprēķināt integrāli. Bet neaizmirstiet par to, kā ir iespējams atrast integrālu, izmantojot gatavu pakalpojumu, kas ir pārbaudīts laika gaitā un pārbaudīts tūkstošiem tiešsaistē atrisinātu piemēru. Par to, kā šāds integrālis nosaka sistēmas kustību, skaidri un nepārprotami liecina viskoza šķidruma kustības raksturs, ko apraksta šī vienādojumu sistēma.

Kompleksie integrāļi

Šis raksts pabeidz tēmu par nenoteiktajiem integrāļiem un ietver integrāļus, kas man šķiet diezgan sarežģīti. Nodarbība tika izveidota pēc vairākkārtēju apmeklētāju lūgumiem, kuri izteica vēlmi, lai vietnē tiktu analizēti arī sarežģītāki piemēri.

Tiek pieņemts, ka šī teksta lasītājs ir labi sagatavojies un zina, kā pielietot integrācijas pamatmetodes. Manekeniem un cilvēkiem, kuri nav ļoti pārliecināti par integrāļiem, vajadzētu atsaukties uz pašu pirmo nodarbību - Nenoteikts integrālis. Risinājumu piemēri, kur var apgūt tēmu praktiski no nulles. Pieredzējuši studenti var iepazīties ar integrācijas paņēmieniem un metodēm, kas manos rakstos vēl nav sastaptas.

Kādi integrāļi tiks ņemti vērā?

Pirmkārt, mēs apsvērsim integrāļus ar saknēm, kuru risināšanai mēs secīgi izmantojam mainīga nomaiņa un integrācija pa daļām... Tas ir, vienā piemērā divas metodes ir apvienotas vienlaikus. Un vēl vairāk.

Tad iepazīsimies ar interesantu un oriģinālu metode integrāļa reducēšanai uz sevi... Šādā veidā tiek atrisināts ne tik maz integrāļu.

Trešais programmas numurs tiks komplekso daļskaitļu integrāļiem, kas iepriekšējos rakstos lidoja garām kasēm.

Ceturtkārt, tiks analizēti trigonometrisko funkciju papildu integrāļi. Jo īpaši ir metodes, kas ļauj izvairīties no laikietilpīgas universālas trigonometriskās aizstāšanas.

(2) Integrandā mēs dalām skaitītāju ar saucēja vārdu ar terminu.

(3) Mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašību. Pēdējā integrālī nekavējoties funkciju ievietojam zem diferenciālzīmes.

(4) Ņem atlikušos integrāļus. Ņemiet vērā, ka logaritmā var izmantot iekavas, nevis moduli, jo.

(5) Mēs veicam apgriezto aizstāšanu, izsakot no tiešās aizstāšanas "te":

Mazohistiski studenti var atšķirt atbildi un iegūt sākotnējo integrandu, kā es tikko darīju. Nē, nē, es pārbaudīju pareizā nozīmē =)

Kā redzams, risinājuma gaitā bija jāizmanto pat vairāk nekā divas risinājuma metodes, līdz ar to, lai tiktu galā ar šādiem integrāļiem, ir nepieciešamas pārliecinātas integrācijas prasmes un ne mazākā pieredze.

Praksē, protams, kvadrātsakne ir izplatītāka, šeit ir trīs piemēri neatkarīgam risinājumam:

2. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

3. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

4. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šie piemēri ir viena veida, tāpēc pilnais risinājums raksta beigās būs tikai 2. piemēram, 3.-4. piemēros - viena atbilde. Manuprāt, ir skaidrs, kuru aizstāšanu izmantot risinājumu sākumā. Kāpēc es izvēlējos tāda paša veida piemērus? Viņi bieži satiekas savā lomā. Biežāk, iespējams, tikai kaut kas līdzīgs .

Bet ne vienmēr, kad lineāras funkcijas sakne ir atrasta zem arktangenta, sinusa, kosinusa, eksponenta un citām funkcijām, vienlaikus ir jāpiemēro vairākas metodes. Vairākos gadījumos ir iespējams "viegli izkāpt", tas ir, uzreiz pēc nomaiņas tiek iegūts vienkāršs integrālis, kas tiek ņemts elementāri. Vienkāršākais no iepriekš piedāvātajiem uzdevumiem ir 4. piemērs, kurā pēc aizstāšanas tiek iegūts salīdzinoši vienkāršs integrālis.

Samazinot integrāli uz sevi

Atjautīga un skaista metode. Uzreiz apskatīsim žanra klasiku:

5. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Zem saknes atrodas kvadrātveida binomiāls, un, mēģinot integrēt šo piemēru, tējkanna var ciest stundām ilgi. Šāds integrālis tiek ņemts pa gabalu un reducēts uz sevi. Principā nav grūti. Ja zini kā.

Apzīmēsim aplūkojamo integrāli ar latīņu burtu un sāksim risinājumu:

Mēs integrējam pa gabalu:

(1) Sagatavojiet integrandu funkciju terminu dalīšanai.

(2) Mēs sadalām integrandu ar terminu. Varbūt ne visi saprot, es uzrakstīšu sīkāk:

(3) Mēs izmantojam nenoteiktā integrāļa linearitātes īpašību.

(4) Paņemiet pēdējo integrāli ("garo" logaritmu).

Tagad mēs aplūkojam risinājuma sākumu:

Un beigās:

Kas notika? Mūsu manipulāciju rezultātā integrālis reducējās uz sevi!

Salīdzināsim sākumu un beigas:

Pārvietojieties pa kreisi, mainot zīmi:

Un mēs nesam divnieku uz labo pusi. Rezultātā:

Konstante, stingri ņemot, bija jāpievieno agrāk, bet jāpievieno beigās. Es ļoti iesaku jums izlasīt, kas šeit ir stingri noteikts:

Piezīme: Precīzāk, risinājuma pēdējais posms izskatās šādi:

Tādējādi:

Konstantu var pārdēvēt par. Kāpēc jūs varat atkārtoti iecelt amatā? Jo tā joprojām pieņem jebkura vērtības, un šajā ziņā nav atšķirības starp konstantēm un.
Rezultātā:

Līdzīgs pastāvīgas pārplānošanas triks tiek plaši izmantots diferenciālvienādojumi... Un tur es būšu stingrs. Un šeit šādu brīvību es pieļauju tikai tāpēc, lai nesajauktu jūs ar liekām lietām un pievērstos pašai integrācijas metodei.

6. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Vēl viens tipisks neatkarīga risinājuma integrāls. Pilnīgs risinājums un atbilde apmācības beigās. Atšķirība ar atbildi no iepriekšējā piemēra būs!

Ja zem kvadrātsaknes atrodas kvadrātveida trinomāls, tad risinājums jebkurā gadījumā tiek samazināts līdz diviem analizētiem piemēriem.

Piemēram, apsveriet integrāli ... Viss, kas jums jādara, ir iepriekš atlasiet pilnu kvadrātu:
.
Pēc tam tiek veikta lineāra nomaiņa, kas tiek atbrīvota no "bez jebkādām sekām":
, kā rezultātā veidojas integrālis. Kaut kas pazīstams, vai ne?

Vai šāds piemērs ar kvadrātveida binomiālu:
Atlasiet visu kvadrātu:
Un pēc lineāras nomaiņas iegūstam integrāli, kas arī tiek atrisināts pēc jau aplūkotā algoritma.

Apsveriet vēl divus tipiskus piemērus, kā reducēt integrāli uz sevi:
- eksponenta integrālis, kas reizināts ar sinusu;
Vai eksponenta integrālis, kas reizināts ar kosinusu.

Uzskaitītajos integrāļos pa daļām mums būs jāintegrē jau divas reizes:

7. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Integrands ir eksponents, kas reizināts ar sinusu.

Mēs integrējam pa daļām divreiz un samazinām integrāli uz sevi:

Dubultās integrācijas pa daļām rezultātā integrālis reducējās uz sevi. Pielīdzināsim risinājuma sākumu un beigas:

Pārvietojieties pa kreisi ar zīmes maiņu un izsakiet mūsu integrāli:

Gatavs. Pa ceļam vēlams izķemmēt labo pusi, t.i. izlieciet eksponentu ārpus iekavām un iekavās sakārtojiet sinusu un kosinusu "jaukā" secībā.

Tagad atgriezīsimies pie piemēra sākuma vai drīzāk pie integrācijas pa daļām:

Jo mēs esam norādījuši izstādes dalībnieku. Rodas jautājums, tieši eksponents vienmēr ir jāapzīmē ar? Nav nepieciešams. Faktiski aplūkotajā integrālī principiāli nav svarīgi Ko apzīmēt, varēja iet citu ceļu:

Kāpēc tas ir iespējams? Tā kā eksponents pārvēršas par sevi (gan diferenciācijas, gan integrācijas laikā), sinuss un kosinuss savstarpēji transformējas viens otrā (atkal gan diferenciācijas, gan integrācijas laikā).

Tas nozīmē, ka varat norādīt arī trigonometrisko funkciju. Bet aplūkotajā piemērā tas ir mazāk racionāli, jo parādīsies frakcijas. Ja vēlaties, varat mēģināt atrisināt šo piemēru otrā veidā, atbildēm jābūt vienādām.

8. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs. Pirms lēmuma pieņemšanas padomājiet par to, ko šajā gadījumā ir izdevīgāk apzīmēt eksponenta vai trigonometriskai funkcijai? Pilnīgs risinājums un atbilde apmācības beigās.

Un, protams, paturiet prātā, ka lielāko daļu atbilžu šajā nodarbībā ir pietiekami viegli atšķirt!

Piemēri netika uzskatīti par grūtākajiem. Praksē biežāk sastopami integrāļi, kur konstante ir gan eksponentā, gan trigonometriskās funkcijas argumentā, piemēram:. Daudziem cilvēkiem būs jāpazūd šādā integrālī, un es pats bieži apjūku. Fakts ir tāds, ka šķīdumā ir liela varbūtība, ka frakcijas parādīsies, un ir ļoti viegli kaut ko zaudēt neuzmanības dēļ. Turklāt zīmēs ir liela kļūdu iespējamība, ņemiet vērā, ka eksponentam ir mīnusa zīme, un tas rada papildu grūtības.

Pēdējā posmā bieži vien izrādās šādi:

Pat risinājuma beigās jums jābūt ārkārtīgi uzmanīgam un kompetenti jārīkojas ar frakcijām:

Salikto frakciju integrēšana

Mēs lēnām tuvojamies nodarbības ekvatoram un sākam apsvērt daļskaitļu integrāļus. Atkal ne visi ir super sarežģīti, tikai tā vai cita iemesla dēļ piemēri citos rakstos bija nedaudz "nepatīkami".

Turpinot sakņu tēmu

9. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Saucējā zem saknes ir kvadrātveida trijstūris plus ārpus saknes "pielikums" "x" formā. Šāda veida integrālis tiek atrisināts, izmantojot standarta aizstāšanu.

Mēs nolemjam:

Aizstāšana ir vienkārša:

Mēs skatāmies uz dzīvi pēc nomaiņas:

(1) Pēc aizstāšanas mēs saknes terminus apvienojam līdz kopsaucējam.
(2) Mēs izņemam no zem saknes.
(3) Samaziniet skaitītāju un saucēju par. Tajā pašā laikā zem saknes es pārkārtoju terminus ērtā secībā. Ar zināmu pieredzi, darbības (1), (2) var izlaist, veicot komentētās darbības mutiski.
(4) Iegūtais integrālis, kā jūs atceraties no nodarbības Dažu frakciju integrācija, atrisināts pilna kvadrāta atlases metode... Atlasiet visu kvadrātu.
(5) Integrējot mēs iegūstam parastu "garu" logaritmu.
(6) Mēs veicam apgriezto nomaiņu. Ja sākotnēji, tad atpakaļ:.
(7) Pēdējā darbība ir vērsta uz rezultāta frizūru: zem saknes mēs atkal apvienojam terminus līdz kopsaucējam un izņemam tos no saknes.

10. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs. Šeit vientuļajam X ir pievienota konstante, un aizstāšana ir gandrīz tāda pati:

Vienīgais, kas jādara papildus, ir izteikt "x" no aizstāšanas:

Pilnīgs risinājums un atbilde apmācības beigās.

Dažreiz šādā integrālī zem saknes var būt kvadrātveida binomiāls, tas nemaina risinājumu, tas būs vēl vienkāršāk. Sajūti atšķirību:

11. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

12. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Īsi risinājumi un atbildes nodarbības beigās. Jāpiebilst, ka 11. piemērs ir tieši tāds binominālais integrālis, kuras risināšanas metode tika aplūkota nodarbībā Iracionālo funkciju integrāļi.

2. pakāpes nesadalāma polinoma integrālis grādos

(polinoms saucējā)

Retāk, bet tomēr praktiskos piemēros sastopama integrāļa forma.

13. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Bet atgriezīsimies pie piemēra ar laimīgo numuru 13 (godīgi sakot, es neuzminēju pareizi). Šis integrālis ir arī no to kategorijas, ar kurām jūs varat diezgan daudz mocīt sevi, ja nezināt, kā to atrisināt.

Risinājums sākas ar mākslīgu transformāciju:

Es domāju, ka visi jau saprot, kā skaitītāju dalīt ar saucēja vārdu ar terminu.

Iegūtais integrālis tiek ņemts pa gabalu:

Formas integrālim (ir naturāls skaitlis) mēs esam atvasinājuši atkārtojas Pakāpju samazināšanas formula:
, kur - par grādu zemāks integrālis.

Pārbaudīsim šīs formulas derīgumu atrisinātajam integrālim.
Šajā gadījumā:,, mēs izmantojam formulu:

Kā redzat, atbildes ir vienādas.

14. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs. Parauga šķīdumā iepriekšminētā formula tiek izmantota divas reizes pēc kārtas.

Ja zem grāda ir nesadalāms kvadrātveida trinomu, tad risinājums tiek samazināts līdz binomiālam, atlasot pilnu kvadrātu, piemēram:

Ko darīt, ja skaitītājā ir papildu polinoms? Šajā gadījumā tiek izmantota nenoteikto koeficientu metode, un integrands tiek izvērsts daļskaitļu summā. Bet manā praksē šādu piemēru nekad nav satikušies, tāpēc es izlaidu šo gadījumu rakstā Daļējas racionālās funkcijas integrāļi, es to tagad izlaidīšu. Ja šāds integrālis joprojām parādās, skatiet mācību grāmatu - tur viss ir vienkārši. Neuzskatu par lietderīgu iekļaut materiālus (pat vienkāršus), ar kuriem varbūtība satikties tiecas uz nulli.

Sarežģītu trigonometrisko funkciju integrācija

Lielākajā daļā piemēru īpašības vārds “grūti” atkal lielā mērā ir nosacīts. Sāksim ar pieskarēm un kotangensiem augstās pakāpēs. No pieskares un kotangensa risināšanas metožu viedokļa tās ir gandrīz vienādas, tāpēc es vairāk runāšu par tangensu, kas nozīmē, ka demonstrētā integrāļa risināšanas metode ir derīga arī kotangensam.

Iepriekš minētajā nodarbībā mēs apskatījām universāla trigonometriskā aizstāšana noteikta veida trigonometrisko funkciju integrāļu risināšanai. Universālās trigonometriskās aizstāšanas trūkums ir tāds, ka, to lietojot, bieži rodas apgrūtinoši integrāļi ar sarežģītiem aprēķiniem. Un dažos gadījumos var izvairīties no universālas trigonometriskās aizstāšanas!

Apsveriet vēl vienu kanonisku piemēru, vienotības integrāli, kas dalīts ar sinusu:

17. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šeit varat izmantot vispārīgo trigonometrisko aizstāšanu un iegūt atbildi, taču ir arī racionālāks veids. Es sniegšu pilnīgu risinājumu ar komentāriem katram solim:

(1) Mēs izmantojam dubultā leņķa sinusa trigonometrisko formulu.
(2) Mēs veicam mākslīgu pārveidošanu: saucējā dala un reizina ar.
(3) Saskaņā ar labi zināmo formulu saucējā mēs pārveidojam daļu par tangensu.
(4) Mēs novietojam funkciju zem diferenciāļa zīmes.
(5) Ņem integrāli.

Daži vienkārši piemēri neatkarīgam risinājumam:

18. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Piezīme: pats pirmais solis ir izmantot liešanas formulu un rūpīgi veiciet darbības, kas ir līdzīgas iepriekšējā piemērā.

19. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Nu, šis ir ļoti vienkāršs piemērs.

Pilnīgi risinājumi un atbildes nodarbības beigās.

Es domāju, ka tagad nevienam nebūs problēmu ar integrāļiem:
utt.

Kāda ir metodes ideja? Ideja ir sakārtot tikai pieskares un pieskares atvasinājumu integrandā, izmantojot transformācijas, trigonometriskās formulas. Tas ir, mēs runājam par aizstāšanu: ... 17.–19. piemēros mēs faktiski izmantojām šo aizstāšanu, taču integrāļi bija tik vienkārši, ka tā bija līdzvērtīga darbība - funkcijas ievietošana zem diferenciālzīmes.

Līdzīgu argumentāciju, kā jau minēju, var veikt kotangensam.

Ir arī formāls priekšnoteikums iepriekš minētās aizstāšanas piemērošanai:

Kosinusa un sinusa pakāpju summa ir negatīvs vesels PĀR skaitlis, piemēram:

integrālim - negatīvs vesels skaitlis PĀR.

! Piezīme : ja integrands satur TIKAI sinusu vai TIKAI kosinusu, tad integrālis tiek ņemts arī par negatīvu nepāra pakāpi (vienkāršākie gadījumi ir piemēros Nr. 17, 18).

Apsveriet dažus nozīmīgākus šī noteikuma uzdevumus:

20. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Sinusa un kosinusa pakāpju summa: 2 - 6 = -4 ir negatīvs vesels skaitlis PĀRĀRTIS, kas nozīmē, ka integrāli var reducēt līdz tangensiem un tā atvasinājumu:

(1) Pārveidojiet saucēju.
(2) Pēc labi zināmās formulas iegūstam.
(3) Pārveidojiet saucēju.
(4) Mēs izmantojam formulu .
(5) Mēs novietojam funkciju zem diferenciāļa zīmes.
(6) Mēs veicam nomaiņu. Pieredzējuši studenti var neveikt nomaiņu, bet tomēr labāk ir aizstāt pieskares ar vienu burtu - ir mazāks sajaukšanas risks.

21. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis ir “dari pats” risinājuma piemērs.

Turies, sākas čempionu kārtas =)

Bieži vien integrandā ir "savienojums":

22. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Šis integrālis sākotnēji satur tangensu, kas nekavējoties izraisa jau pazīstamu domu:

Mākslīgo transformāciju pašā sākumā un pārējos soļus atstāšu bez komentāriem, jo ​​viss jau ir apspriests iepriekš.

Pāris radošu piemēru pašrisinājumam:

23. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

24. piemērs

Atrodiet nenoteikto integrāli

Jā, tajos, protams, var pazemināt sinusa, kosinusa pakāpes, izmantot universālo trigonometrisko aizstāšanu, taču risinājums būs daudz efektīvāks un īsāks, ja to veiks caur tangentēm. Pilnīgs risinājums un atbildes nodarbības beigās

Piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras sengrieķu filozofs Zenons no Elejas formulēja savas slavenās aporijas, no kurām slavenākā ir aporija "Ahillejs un bruņurupucis". Tas izklausās šādi:

Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas nepieciešams Ahillam, lai noskrietu šo distanci, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs būs noskrējis simts soļus, bruņurupucis rāpos vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija bija loģisks šoks visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgelis, Hilberts ... Viņi visi vienā vai otrā veidā tika uzskatīti par Zenona aporijām. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās arī šobrīd, zinātnieku aprindām vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas ; neviens no tiem nav kļuvis par vispārpieņemtu jautājuma risinājumu ..."[Wikipedia, Zeno's Aporia"]. Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, kas ir maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no lieluma uz. Šī pāreja nozīmē lietojumprogrammu, nevis konstantes. Cik saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību pielietošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav pielietots Zenona aporijai. Pielietojot mūsu ierasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs ar domāšanas inerci piemērojam konstantas laika mērvienības apgrieztajai vērtībai. No fiziskā viedokļa tas izskatās pēc laika paplašināšanās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs atrodas vienā līmenī ar bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apdzīt bruņurupuci.

Ja mēs pārvēršam loģiku, pie kuras esam pieraduši, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais viņa ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu "bezgalība", tad pareizi būtu teikt "Ahillejs bezgala ātri panāks bruņurupuci."

Kā jūs varat izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un negriezieties atpakaļ. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kurā Ahillejs noskrien tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas ir vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina apgalvojums par gaismas ātruma nepārvaramību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai "Ahillejs un bruņurupucis". Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta aporija Zeno stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo tā atrodas miera stāvoklī katrā laika brīdī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika brīdī dažādos telpas punktos atrodas lidojoša bultiņa, kas patiesībā ir kustība. Šeit jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Automašīnas kustības fakta noteikšanai nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču no tām attālumu noteikt nevar. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no dažādiem telpas punktiem vienlaikus, taču tās nevar noteikt kustības faktu (protams, aprēķiniem joprojām ir nepieciešami papildu dati, jums palīdzēs trigonometrija). Īpaši gribu pievērst uzmanību tam, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajag jaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.

Trešdien, 4.07.2018

Atšķirība starp kopu un multikopu ir ļoti labi aprakstīta Vikipēdijā. Mēs skatāmies.

Kā redzat, "kopā nevar būt divi identiski elementi", bet, ja komplektā ir identiski elementi, tad šādu kopu sauc par "multisetu". Šādu absurda loģiku racionālas būtnes nekad nesapratīs. Tas ir runājošu papagaiļu un apmācītu pērtiķu līmenis, kuriem trūkst inteliģences no vārda "pilnīgi". Matemātiķi darbojas kā parasti pasniedzēji, sludinot mums savas absurdās idejas.

Reiz inženieri, kas būvēja tiltu, tilta testu laikā atradās laivā zem tilta. Ja tilts sabruka, nekompetentais inženieris nomira zem viņa radītajām drupām. Ja tilts spētu izturēt slodzi, talantīgs inženieris būvētu citus tiltus.

Neatkarīgi no tā, kā matemātiķi slēpjas aiz frāzes "chur, es esmu mājā", vai drīzāk "matemātika pēta abstraktus jēdzienus", ir viena nabassaite, kas tos nesaraujami saista ar realitāti. Šī nabassaite ir nauda. Pielietosim matemātisko kopu teoriju pašiem matemātiķiem.

Ļoti labi mācījāmies matemātiku un tagad sēžam pie kases, izdalām algas. Šeit nāk matemātiķis par savu naudu. Mēs viņam saskaitām visu summu un izklājam uz sava galda dažādās kaudzēs, kurās ievietojam viena un tā paša nomināla banknotes. Tad mēs no katras kaudzes paņemam vienu rēķinu un nododam matemātiķim viņa “matemātisko algas komplektu”. Paskaidrosim matemātiku, ka pārējos rēķinus viņš saņems tikai tad, kad pierādīs, ka kopa bez identiskiem elementiem nav vienāda ar kopu ar identiskiem elementiem. Šeit sākas jautrība.

Pirmkārt, nostrādās deputātu loģika: "Tu vari to attiecināt uz citiem, nevari uz mani!" Tālāk mēs sāksim apliecināt, ka uz viena un tā paša nomināla banknotēm ir dažādi banknošu numuri, kas nozīmē, ka tās nevar uzskatīt par vieniem un tiem pašiem elementiem. Labi, skaitīsim algu monētās – uz monētām nav skaitļu. Šeit matemātiķis sāks izmisīgi atcerēties fiziku: dažādās monētās ir atšķirīgs netīrumu daudzums, kristāla struktūra un atomu izvietojums katrā monētā ir unikāls ...

Un tagad man ir interesantākais jautājums: kur ir tā robeža, aiz kuras multikopas elementi pārvēršas par kopas elementiem un otrādi? Tāda līnija neeksistē - visu izlemj šamaņi, zinātne te nekur neslēpās.

Apskatīt šeit. Mēs izvēlamies futbola stadionus ar vienādu laukumu. Lauku platība ir vienāda, kas nozīmē, ka esam ieguvuši multikopu. Bet, ja ņemam vērā vienu un to pašu stadionu nosaukumus, sanāk daudz, jo nosaukumi ir dažādi. Kā redzat, viena un tā pati elementu kopa vienlaikus ir gan kopa, gan multikopa. Kā tas ir pareizi? Un te matemātiķis-šamanis-šulers izņem no piedurknes trumpa dūzi un sāk mums stāstīt vai nu par komplektu, vai par multisetu. Jebkurā gadījumā viņš mūs pārliecinās, ka viņam ir taisnība.

Lai saprastu, kā mūsdienu šamaņi darbojas ar kopu teoriju, saistot to ar realitāti, pietiek atbildēt uz vienu jautājumu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Es jums parādīšu bez "iedomājams kā viens veselums" vai "nedomājams kā veselums".

Svētdien, 18.03.2018

Skaitļa ciparu summa ir šamaņu deja ar tamburīnu, kam nav nekāda sakara ar matemātiku. Jā, matemātikas stundās mums māca atrast skaitļa ciparu summu un to lietot, bet tāpēc viņi ir šamaņi, lai mācītu saviem pēcnācējiem savas prasmes un gudrību, citādi šamaņi vienkārši izmirs.

Nepieciešams pierādījums? Atveriet Wikipedia un mēģiniet atrast skaitļa ciparu summas lapu. Tā neeksistē. Matemātikā nav formulas, pēc kuras var atrast jebkura skaitļa ciparu summu. Galu galā skaitļi ir grafiski simboli, ar kuru palīdzību mēs rakstām skaitļus un matemātikas valodā uzdevums izklausās šādi: "Atrodiet grafisko simbolu summu, kas attēlo jebkuru skaitli." Matemātiķi nevar atrisināt šo problēmu, bet šamaņi - tas ir elementāri.

Apskatīsim, ko un kā mēs darām, lai atrastu dotā skaitļa ciparu summu. Tātad, pieņemsim skaitli 12345. Kas jādara, lai atrastu šī skaitļa ciparu summu? Iziesim visas darbības secībā.

1. Mēs pierakstām numuru uz papīra lapas. Ko mēs esam izdarījuši? Mēs esam pārveidojuši numuru par skaitļa grafisko simbolu. Šī nav matemātiska darbība.

2. Mēs izgriezām vienu iegūto attēlu vairākos attēlos, kas satur atsevišķus skaitļus. Attēla izgriešana nav matemātiska darbība.

3. Pārvērtiet atsevišķus grafiskos simbolus skaitļos. Šī nav matemātiska darbība.

4. Saskaitiet iegūtos skaitļus. Tagad tā ir matemātika.

12345 ciparu summa ir 15. Tie ir "griešanas un šūšanas kursi" no šamaņiem, kurus izmanto matemātiķi. Bet tas vēl nav viss.

No matemātikas viedokļa nav nozīmes, kurā skaitļu sistēmā mēs rakstām skaitli. Tātad dažādās skaitļu sistēmās viena un tā paša skaitļa ciparu summa būs atšķirīga. Matemātikā skaitļu sistēma tiek norādīta kā apakšindekss pa labi no skaitļa. Ar lielu skaitli 12345 es negribu mānīt galvu, apsveriet skaitli 26 no raksta par. Rakstīsim šo skaitli binārā, oktālā, decimālā un heksadecimālā skaitļu sistēmā. Mēs neskatīsimies uz katru soli mikroskopā, mēs to jau esam izdarījuši. Redzēsim rezultātu.

Kā redzat, dažādās skaitļu sistēmās viena un tā paša skaitļa ciparu summa ir atšķirīga. Šim rezultātam nav nekāda sakara ar matemātiku. Tas ir tāpat kā tad, ja jūs iegūtu pilnīgi atšķirīgus rezultātus, nosakot taisnstūra laukumu metros un centimetros.

Nulle visās skaitļu sistēmās izskatās vienādi, un tai nav ciparu summas. Tas ir vēl viens arguments tam, ka. Jautājums matemātiķiem: kā matemātikā tiek apzīmēts kaut kas, kas nav skaitlis? Kas, matemātiķiem, neeksistē nekas cits kā skaitļi? Šamaņiem es to varu pieļaut, bet zinātniekiem - nē. Realitāte nav tikai skaitļi.

Iegūtais rezultāts jāuzskata par pierādījumu tam, ka skaitļu sistēmas ir skaitļu mērvienības. Galu galā mēs nevaram salīdzināt skaitļus ar dažādām mērvienībām. Ja vienas un tās pašas darbības ar dažādām viena un tā paša lieluma mērvienībām noved pie dažādiem rezultātiem pēc to salīdzināšanas, tad tam nav nekāda sakara ar matemātiku.

Kas ir īstā matemātika? Tas ir tad, kad matemātiskas darbības rezultāts nav atkarīgs no skaitļa lieluma, izmantotās mērvienības un no tā, kurš šo darbību veic.

Pieraksts uz durvīm Atver durvis un saka:

Ak! Vai šī nav sieviešu tualete?
- Jauna sieviete! Šī ir laboratorija dvēseļu nekritiskā svētuma izpētei debesīs pacelšanās laikā! Halo augšpusē un bultiņa uz augšu. Kāda vēl tualete?

Sieviete ... Nimbs augšpusē un lejupvērstā bultiņa ir tēviņš.

Ja jūsu acu priekšā vairākas reizes dienā pazib šāds dizaina mākslas darbs,

Tad nav pārsteidzoši, ka savā automašīnā pēkšņi atrodat dīvainu ikonu:

Es personīgi pielieku pūles pie sevis, lai kakājošā cilvēkā (viena bilde) varētu redzēt mīnus četrus grādus (vairāku bilžu kompozīcija: mīnus zīme, cipars četri, grādu apzīmējums). Un es nedomāju, ka šī meitene ir muļķe, kas nezina fiziku. Viņai vienkārši ir stereotips par grafisko attēlu uztveri. Un matemātiķi mums to pastāvīgi māca. Šeit ir piemērs.

1A nav "mīnus četri grādi" vai "viens a". Tas ir "pooping man" vai skaitlis "divdesmit seši" heksadecimālajā apzīmējumā. Tie cilvēki, kuri pastāvīgi strādā šajā ciparu sistēmā, automātiski uztver ciparu un burtu kā vienu grafisku simbolu.