A resolução de problemas de matemática costuma ser acompanhada de muitas dificuldades para os alunos. Ajudar o aluno a lidar com essas dificuldades, bem como ensiná-lo a aplicar os conhecimentos teóricos existentes na resolução de problemas específicos em todas as seções do curso da disciplina “Matemática” é o objetivo principal do nosso site.

Ao começar a resolver problemas sobre o tema, os alunos deverão ser capazes de construir um ponto num plano a partir das suas coordenadas, bem como encontrar as coordenadas de um determinado ponto.

O cálculo da distância entre dois pontos A(x A; y A) e B(x B; y B) tomados em um plano é realizado usando a fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), onde d é o comprimento do segmento que conecta esses pontos no plano.

Se uma das extremidades do segmento coincidir com a origem das coordenadas e a outra tiver coordenadas M(x M; y M), então a fórmula para calcular d terá a forma OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Cálculo da distância entre dois pontos com base nas coordenadas fornecidas desses pontos

Exemplo 1.

Encontre o comprimento do segmento que conecta os pontos A(2; -5) e B(-4; 3) no plano de coordenadas (Fig. 1).

Solução.

A declaração do problema afirma: x A = 2; x B = -4; y A = -5 e y B = 3. Encontre d.

Aplicando a fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), obtemos:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Cálculo das coordenadas de um ponto equidistante de três pontos dados

Exemplo 2.

Encontre as coordenadas do ponto O 1, que é equidistante de três pontos A(7; -1) e B(-2; 2) e C(-1; -5).

Solução.

Da formulação das condições do problema segue-se que O 1 A = O 1 B = O 1 C. Deixe o ponto desejado O 1 ter coordenadas (a; b). Usando a fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Vamos criar um sistema de duas equações:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Depois de elevar ao quadrado os lados esquerdo e direito das equações, escrevemos:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Simplificando, vamos escrever

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Resolvido o sistema, obtemos: a = 2; b = -1.

O ponto O 1 (2; -1) é equidistante dos três pontos especificados na condição que não estão na mesma linha reta. Este ponto é o centro de um círculo que passa por três pontos dados (Figura 2).

3. Cálculo da abcissa (ordenada) de um ponto que está no eixo da abcissa (ordenada) e está a uma determinada distância de um determinado ponto

Exemplo 3.

A distância do ponto B (-5; 6) ao ponto A situado no eixo do Boi é 10. Encontre o ponto A.

Solução.

Da formulação das condições do problema segue-se que a ordenada do ponto A é igual a zero e AB = 10.

Denotando a abcissa do ponto A por a, escrevemos A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Obtemos a equação √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificando, temos

uma 2 + 10a – 39 = 0.

As raízes desta equação são a 1 = -13; e 2 = 3.

Obtemos dois pontos A 1 (-13; 0) e A 2 (3; 0).

Exame:

UMA 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

UMA 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Ambos os pontos obtidos são adequados de acordo com as condições do problema (Fig. 3).

4. Cálculo da abcissa (ordenada) de um ponto que está no eixo da abcissa (ordenada) e está à mesma distância de dois pontos dados

Exemplo 4.

Encontre um ponto no eixo Oy que esteja à mesma distância dos pontos A (6, 12) e B (-8, 10).

Solução.

Sejam as coordenadas do ponto exigido pelas condições do problema, situado no eixo Oy, O 1 (0; b) (no ponto situado no eixo Oy, a abcissa é zero). Segue-se da condição que O 1 A = O 1 B.

Usando a fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Temos a equação √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) ou 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Após simplificação obtemos: b – 4 = 0, b = 4.

Ponto O 1 (0; 4) exigido pelas condições do problema (Fig. 4).

5. Cálculo das coordenadas de um ponto que está localizado à mesma distância dos eixos coordenados e de algum ponto dado

Exemplo 5.

Encontre o ponto M localizado no plano coordenado à mesma distância dos eixos coordenados e do ponto UMA(-2; 1).

Solução.

O ponto M requerido, assim como o ponto A(-2; 1), está localizado no segundo ângulo coordenado, pois é equidistante dos pontos A, P 1 e P 2 (Fig. 5). As distâncias do ponto M aos eixos coordenados são iguais, portanto, suas coordenadas serão (-a; a), onde a > 0.

Das condições do problema segue-se que MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP2 = |-a|,

aqueles. |-uma| = uma.

Usando a fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Vamos fazer uma equação:

√((-à + 2) 2 + (à – 1) 2) = à.

Após quadratura e simplificação temos: a 2 – 6a + 5 = 0. Resolva a equação, encontre a 1 = 1; e 2 = 5.

Obtemos dois pontos M 1 (-1; 1) e M 2 (-5; 5) que satisfazem as condições do problema.

6. Cálculo das coordenadas de um ponto localizado na mesma distância especificada do eixo de abcissas (ordenadas) e de um determinado ponto

Exemplo 6.

Encontre um ponto M tal que sua distância do eixo das ordenadas e do ponto A(8; 6) seja igual a 5.

Solução.

Das condições do problema segue-se que MA = 5 e a abcissa do ponto M é igual a 5. Seja a ordenada do ponto M igual a b, então M(5; b) (Fig. 6).

De acordo com a fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) temos:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Vamos fazer uma equação:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Simplificando, obtemos: b 2 – 12b + 20 = 0. As raízes desta equação são b 1 = 2; b 2 = 10. Consequentemente, existem dois pontos que satisfazem as condições do problema: M 1 (5; 2) e M 2 (5; 10).

Sabe-se que muitos estudantes, ao resolverem problemas de forma independente, necessitam de consultas constantes sobre técnicas e métodos para resolvê-los. Freqüentemente, um aluno não consegue encontrar uma maneira de resolver um problema sem a ajuda de um professor. O aluno pode receber os conselhos necessários para a resolução de problemas em nosso site.

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Distância de ponto a pontoé o comprimento do segmento que conecta esses pontos em uma determinada escala. Assim, quando se trata de medir distância, é preciso saber a escala (unidade de comprimento) em que serão feitas as medidas. Portanto, o problema de encontrar a distância de um ponto a outro é geralmente considerado em uma linha de coordenadas ou em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares em um plano ou em um espaço tridimensional. Em outras palavras, na maioria das vezes é necessário calcular a distância entre os pontos usando suas coordenadas.

Neste artigo, lembraremos primeiro como é determinada a distância de um ponto a outro em uma linha de coordenadas. A seguir, obtemos fórmulas para calcular a distância entre dois pontos de um plano ou espaço de acordo com determinadas coordenadas. Concluindo, consideraremos detalhadamente as soluções para exemplos e problemas típicos.

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A distância entre dois pontos em uma linha de coordenadas.

Vamos primeiro definir a notação. Denotaremos a distância do ponto A ao ponto B como.

Disto podemos concluir que a distância do ponto A com coordenada ao ponto B com coordenada é igual ao módulo da diferença de coordenadas, aquilo é, para qualquer localização de pontos na linha de coordenadas.

Distância de ponto a ponto em um plano, fórmula.

Obtemos uma fórmula para calcular a distância entre pontos e dada em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares em um plano.

Dependendo da localização dos pontos A e B, as seguintes opções são possíveis.

Se os pontos A e B coincidem, então a distância entre eles é zero.

Se os pontos A e B estiverem em uma linha reta perpendicular ao eixo das abcissas, então os pontos coincidem e a distância é igual à distância . No parágrafo anterior, descobrimos que a distância entre dois pontos em uma reta coordenada é igual ao módulo da diferença entre suas coordenadas, portanto, . Por isso, .

Da mesma forma, se os pontos A e B estão em uma linha reta perpendicular ao eixo das ordenadas, então a distância do ponto A ao ponto B é encontrada como.

Neste caso, o triângulo ABC é retangular em construção, e E . Por teorema de Pitágoras podemos escrever a igualdade, de onde .

Vamos resumir todos os resultados obtidos: a distância de um ponto a um ponto em um plano é encontrada através das coordenadas dos pontos usando a fórmula .

A fórmula resultante para encontrar a distância entre os pontos pode ser usada quando os pontos A e B coincidem ou estão em uma linha reta perpendicular a um dos eixos coordenados. Na verdade, se A e B coincidem, então. Se os pontos A e B estiverem em uma linha reta perpendicular ao eixo do Boi, então. Se A e B estão em uma linha reta perpendicular ao eixo Oy, então .

Distância entre pontos no espaço, fórmula.

Vamos apresentar um sistema de coordenadas retangulares Oxyz no espaço. Vamos obter uma fórmula para encontrar a distância de um ponto ao ponto .

Em geral, os pontos A e B não estão num plano paralelo a um dos planos coordenados. Desenhemos através dos pontos A e B planos perpendiculares aos eixos coordenados Ox, Oy e Oz. Os pontos de intersecção desses planos com os eixos coordenados nos darão projeções dos pontos A e B sobre esses eixos. Denotamos as projeções .

A distância necessária entre os pontos A e B é a diagonal do paralelepípedo retangular mostrado na figura. Por construção, as dimensões deste paralelepípedo são iguais E . Num curso de geometria do ensino médio, foi comprovado que o quadrado da diagonal de um paralelepípedo é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões, portanto, . Com base nas informações da primeira seção deste artigo, podemos escrever as seguintes igualdades, portanto,

de onde tiramos isso fórmula para encontrar a distância entre pontos no espaço .

Esta fórmula também é válida se os pontos A e B

• combinar;
• pertencem a um dos eixos coordenados ou a uma linha paralela a um dos eixos coordenados;
• pertencem a um dos planos coordenados ou a um plano paralelo a um dos planos coordenados.

Encontrando a distância de ponto a ponto, exemplos e soluções.

Assim, obtivemos fórmulas para encontrar a distância entre dois pontos em uma linha coordenada, plano e espaço tridimensional. É hora de procurar soluções para exemplos típicos.

O número de problemas em que o passo final é encontrar a distância entre dois pontos de acordo com as suas coordenadas é verdadeiramente enorme. Uma revisão completa de tais exemplos está além do escopo deste artigo. Aqui nos limitaremos a exemplos em que as coordenadas de dois pontos são conhecidas e é necessário calcular a distância entre eles.

Usando coordenadas, a localização de um objeto no globo é determinada. As coordenadas são indicadas por latitude e longitude. As latitudes são medidas a partir da linha do equador em ambos os lados. No Hemisfério Norte as latitudes são positivas, no Hemisfério Sul são negativas. A longitude é medida a partir do meridiano principal, leste ou oeste, respectivamente, sendo obtida a longitude leste ou oeste.

De acordo com a posição geralmente aceita, considera-se que o meridiano principal é aquele que passa pelo antigo Observatório de Greenwich, em Greenwich. As coordenadas geográficas do local podem ser obtidas por meio de um navegador GPS. Este dispositivo recebe sinais do sistema de posicionamento por satélite no sistema de coordenadas WGS-84, uniforme para todo o mundo.

Os modelos de navegador diferem em fabricante, funcionalidade e interface. Atualmente, navegadores GPS integrados também estão disponíveis em alguns modelos de celulares. Mas qualquer modelo pode registrar e salvar as coordenadas de um ponto.

Distância entre coordenadas GPS

Para resolver problemas práticos e teóricos em algumas indústrias, é necessário ser capaz de determinar as distâncias entre os pontos pelas suas coordenadas. Existem várias maneiras de fazer isso. A forma canônica de representação de coordenadas geográficas: graus, minutos, segundos.

Por exemplo, você pode determinar a distância entre as seguintes coordenadas: ponto nº 1 - latitude 55°45′07″ N, longitude 37°36′56″ E; ponto nº 2 - latitude 58°00′02″ N, longitude 102°39′42″ E.

A maneira mais fácil é usar uma calculadora para calcular o comprimento entre dois pontos. No mecanismo de busca do navegador, você deve definir os seguintes parâmetros de pesquisa: online - para calcular a distância entre duas coordenadas. Na calculadora online, os valores de latitude e longitude são inseridos nos campos de consulta da primeira e segunda coordenadas. Ao calcular, a calculadora online deu o resultado - 3.800.619 m.

O próximo método é mais trabalhoso, mas também mais visual. Você deve usar qualquer programa de mapeamento ou navegação disponível. Os programas nos quais você pode criar pontos usando coordenadas e medir distâncias entre eles incluem os seguintes aplicativos: BaseCamp (um análogo moderno do programa MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Todos os programas acima estão disponíveis para qualquer usuário da rede. Por exemplo, para calcular a distância entre duas coordenadas no Google Earth, você precisa criar dois rótulos indicando as coordenadas do primeiro ponto e do segundo ponto. Em seguida, usando a ferramenta “Régua”, é necessário conectar a primeira e a segunda marcas com uma linha, o programa exibirá automaticamente o resultado da medição e mostrará o caminho na imagem de satélite da Terra.

No caso do exemplo dado acima, o programa Google Earth retornou o resultado - o comprimento da distância entre o ponto nº 1 e o ponto nº 2 é 3.817.353 m.

Por que há um erro ao determinar a distância

Todos os cálculos da extensão entre as coordenadas são baseados no cálculo do comprimento do arco. O raio da Terra está envolvido no cálculo do comprimento do arco. Mas como a forma da Terra é próxima de um elipsóide achatado, o raio da Terra varia em certos pontos. Para calcular a distância entre as coordenadas, é tomado o valor médio do raio da Terra, o que dá um erro na medição. Quanto maior for a distância medida, maior será o erro.

Matemática

§2. Coordenadas de um ponto no plano

3. Distância entre dois pontos.

Você e eu agora podemos conversar sobre pontos na linguagem dos números. Por exemplo, não precisamos mais explicar: tomemos um ponto que está três unidades à direita do eixo e cinco unidades abaixo do eixo. Basta dizer simplesmente: entenda o que quero dizer.

Já dissemos que isso cria certas vantagens. Assim, podemos transmitir por telégrafo um desenho feito de pontos, comunicá-lo a um computador, que não entende nada de desenhos, mas entende bem os números.

No parágrafo anterior, definimos alguns conjuntos de pontos no plano utilizando relações entre números. Agora vamos tentar traduzir consistentemente outros conceitos e fatos geométricos para a linguagem dos números.

Começaremos com uma tarefa simples e comum.

Encontre a distância entre dois pontos no plano.

Solução:
Como sempre, assumimos que os pontos são dados pelas suas coordenadas, e então a nossa tarefa é encontrar uma regra pela qual possamos calcular a distância entre os pontos, conhecendo as suas coordenadas. Ao derivar esta regra, é claro, é permitido recorrer a um desenho, mas a regra em si não deve conter nenhuma referência ao desenho, mas apenas mostrar quais ações e em que ordem devem ser executadas nos números dados - as coordenadas dos pontos - para obter o número desejado - a distância entre os pontos.

Talvez alguns leitores achem essa abordagem para resolver o problema estranha e rebuscada. O que é mais simples, dirão, os pontos são dados, até por coordenadas. Desenhe esses pontos, pegue uma régua e meça a distância entre eles.

Este método às vezes não é tão ruim. No entanto, imagine novamente que você está lidando com um computador. Ela não tem régua e não desenha, mas consegue contar tão rápido que isso não é problema para ela. Observe que nosso problema está formulado de forma que a regra para calcular a distância entre dois pontos consiste em comandos que podem ser executados por uma máquina.

É melhor resolver primeiro o problema colocado para o caso especial quando um desses pontos está na origem das coordenadas. Comece com alguns exemplos numéricos: encontre a distância da origem dos pontos; E .

Observação. Use o teorema de Pitágoras.

Agora escreva uma fórmula geral para calcular a distância de um ponto à origem.

A distância de um ponto à origem é determinada pela fórmula:

Obviamente, a regra expressa por esta fórmula satisfaz as condições acima expostas. Em particular, pode ser usado em cálculos em máquinas que podem multiplicar números, somá-los e extrair raízes quadradas.

Agora vamos resolver o problema geral

Dados dois pontos de um plano, encontre a distância entre eles.

Solução:
Denotemos por , , , as projeções dos pontos e nos eixos coordenados.

Vamos denotar o ponto de intersecção das retas com a letra . De um triângulo retângulo usando o teorema de Pitágoras obtemos:

Mas o comprimento do segmento é igual ao comprimento do segmento. Os pontos e , estão no eixo e possuem coordenadas e , respectivamente. De acordo com a fórmula obtida no parágrafo 3 do parágrafo 2, a distância entre eles é igual a .

Argumentando de forma semelhante, descobrimos que o comprimento do segmento é igual a. Substituindo os valores encontrados e na fórmula obtemos.

Neste artigo veremos maneiras de determinar a distância de um ponto a ponto teoricamente e usando o exemplo de tarefas específicas. Para começar, vamos apresentar algumas definições.

Definição 1

Distância entre pontosé o comprimento do segmento que os conecta, na escala existente. É necessário definir uma escala para ter uma unidade de medida de comprimento. Portanto, basicamente o problema de encontrar a distância entre pontos é resolvido usando suas coordenadas em uma reta coordenada, em um plano coordenado ou no espaço tridimensional.

Dados iniciais: linha coordenada O x e um ponto arbitrário A. Qualquer ponto na linha tem um número real: seja um certo número para o ponto A xA,é também a coordenada do ponto A.

Em geral, podemos dizer que o comprimento de um determinado segmento é avaliado em comparação com um segmento tomado como unidade de comprimento em uma determinada escala.

Se o ponto A corresponde a um número real inteiro, separando sequencialmente do ponto O a ponto ao longo da linha reta O A segmentos - unidades de comprimento, podemos determinar o comprimento do segmento O A a partir do número total de segmentos unitários reservados.

Por exemplo, o ponto A corresponde ao número 3 - para chegar até ele a partir do ponto O, você precisará separar três segmentos unitários. Se o ponto A tiver coordenada -4, os segmentos unitários serão dispostos de maneira semelhante, mas em uma direção negativa diferente. Assim, no primeiro caso, a distância O A é igual a 3; no segundo caso O A = 4.

Se o ponto A tem um número racional como coordenada, então a partir da origem (ponto O) traçamos um número inteiro de segmentos unitários e, a seguir, sua parte necessária. Mas nem sempre é possível, geometricamente, fazer uma medição. Por exemplo, parece difícil representar graficamente a fração 4 111 na linha de coordenadas.

Usando o método acima, é completamente impossível traçar um número irracional em linha reta. Por exemplo, quando a coordenada do ponto A é 11. Nesse caso, é possível recorrer à abstração: se a coordenada dada do ponto A for maior que zero, então O A = x A (o número é considerado a distância); se a coordenada for menor que zero, então O A = - x A . Em geral, estas afirmações são verdadeiras para qualquer número real x A.

Resumindo: a distância da origem ao ponto que corresponde a um número real na reta coordenada é igual a:

• 0 se o ponto coincidir com a origem;

• xA, se xA > 0;

• - xA se xA< 0 .

Neste caso, é óbvio que o comprimento do segmento em si não pode ser negativo, portanto, usando o sinal do módulo, escrevemos a distância do ponto O ao ponto A com a coordenada xA: OA = xA

A seguinte afirmação será verdadeira: a distância de um ponto a outro será igual ao módulo da diferença de coordenadas. Aqueles. para os pontos A e B situados na mesma linha de coordenadas para qualquer localização e tendo coordenadas correspondentes xA E x B: A B = x B - x A .

Dados iniciais: pontos A e B situados em um plano em um sistema de coordenadas retangulares O x y com coordenadas dadas: A (x A, y A) e B (x B, y B).

Vamos traçar perpendiculares através dos pontos A e B aos eixos coordenados O x e O y e obter como resultado os pontos de projeção: A x, A y, B x, B y. Com base na localização dos pontos A e B, são possíveis as seguintes opções:

Se os pontos A e B coincidem, então a distância entre eles é zero;

Se os pontos A e B estão em uma linha reta perpendicular ao eixo O x (eixo das abcissas), então os pontos coincidem, e | A B | = | A e B e | . Como a distância entre os pontos é igual ao módulo da diferença de suas coordenadas, então A y B y = y B - y A e, portanto, A B = A y B y = y B - y A.

Se os pontos A e B estão em uma linha reta perpendicular ao eixo O y (eixo ordenada) - por analogia com o parágrafo anterior: A B = A x B x = x B - x A

Se os pontos A e B não estiverem em uma linha reta perpendicular a um dos eixos coordenados, encontraremos a distância entre eles derivando a fórmula de cálculo:

Vemos que o triângulo A B C é retangular em construção. Neste caso, A C = A x B x e B C = A y B y. Usando o teorema de Pitágoras, criamos a igualdade: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 e depois transformamos: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Vamos tirar uma conclusão do resultado obtido: a distância do ponto A ao ponto B do plano é determinada por cálculo usando a fórmula usando as coordenadas desses pontos

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

A fórmula resultante também confirma afirmações previamente formadas para casos de coincidência de pontos ou situações em que os pontos estão em retas perpendiculares aos eixos. Portanto, se os pontos A e B coincidirem, a seguinte igualdade será verdadeira: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Para uma situação onde os pontos A e B estão em uma linha reta perpendicular ao eixo x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Para o caso em que os pontos A e B estão em uma linha reta perpendicular ao eixo das ordenadas:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Dados iniciais: um sistema de coordenadas retangulares O x y z com pontos arbitrários sobre ele com coordenadas dadas A (x A, y A, z A) e B (x B, y B, z B). É necessário determinar a distância entre esses pontos.

Consideremos o caso geral quando os pontos A e B não estão em um plano paralelo a um dos planos coordenados. Vamos desenhar planos perpendiculares aos eixos coordenados através dos pontos A e B e obter os pontos de projeção correspondentes: A x , A y , A z , B x , B y , B z

A distância entre os pontos A e B é a diagonal do paralelepípedo resultante. De acordo com a construção das medidas deste paralelepípedo: A x B x , A y B y e A z B z

Pelo curso de geometria sabemos que o quadrado da diagonal de um paralelepípedo é igual à soma dos quadrados de suas dimensões. Com base nesta afirmação, obtemos a igualdade: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Usando as conclusões obtidas anteriormente, escrevemos o seguinte:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Vamos transformar a expressão:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final fórmula para determinar a distância entre pontos no espaço ficará assim:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

A fórmula resultante também é válida para os casos em que:

Os pontos coincidem;

Eles estão em um eixo de coordenadas ou em uma linha reta paralela a um dos eixos de coordenadas.

Exemplos de resolução de problemas para encontrar a distância entre pontos

Exemplo 1

Dados iniciais: são fornecidos uma linha de coordenadas e pontos nela com as coordenadas A (1 - 2) e B (11 + 2) dadas. É necessário encontrar a distância do ponto de origem O ao ponto A e entre os pontos A e B.

Solução

1. A distância do ponto de referência ao ponto é igual ao módulo da coordenada deste ponto, respectivamente O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Definimos a distância entre os pontos A e B como o módulo da diferença entre as coordenadas desses pontos: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Resposta: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Exemplo 2

Dados iniciais: um sistema de coordenadas retangulares e dois pontos nele A (1, - 1) e B (λ + 1, 3) são fornecidos. λ é algum número real. É necessário encontrar todos os valores deste número em que a distância A B será igual a 5.

Solução

Para encontrar a distância entre os pontos A e B, você deve usar a fórmula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Substituindo os valores reais das coordenadas, obtemos: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Também usamos a condição existente de que A B = 5 e então a igualdade será verdadeira:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Resposta: AB = 5 se λ = ± 3.

Exemplo 3

Dados iniciais: um espaço tridimensional é especificado no sistema de coordenadas retangulares O x y z e os pontos A (1, 2, 3) e B - 7, - 2, 4 nele contidos.

Solução

Para resolver o problema, usamos a fórmula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Substituindo valores reais, obtemos: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Resposta: | A B | = 9

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