Enunciado (julgamento) - é uma sentença declarativa em que algo é afirmado ou negado. Qualquer afirmação pode ser considerada verdadeira ou falsa. Por exemplo:

"O gelo é o estado sólido da água" é um ditado verdadeiro.

"O triângulo é uma figura geométrica" ​​é um ditado verdadeiro.

“Paris é a capital da China” é uma afirmação falsa.

6 < 5 - ложное высказывание.

Valores booleanos: conceitos expressos por palavras: VERDADEIRO, FALSO (verdadeiro, falso). Consequentemente, a verdade das afirmações é expressa por meio de valores lógicos.

Constante booleana: Verdadeiro ou falso.

Variável booleana: um valor lógico designado simbolicamente. Portanto, se é sabido que A, B, X, Y e pr. - valores lógicos variáveis, significa que eles só podem assumir valores TRUE ou FALSE.

Expressão booleana- uma declaração simples ou complexa. Uma instrução complexa é construída a partir de instruções simples usando operações lógicas (conectivos).

Operações lógicas. Na lógica matemática, cinco operações lógicas básicas são definidas: conjunção, disjunção, negação, implicação, equivalência. Os três primeiros deles são um sistema completo de operações, como resultado, o resto das operações podem ser expressas por meio deles (normalizadas). Na ciência da computação, essas três operações são comumente usadas.

Conjunção(multiplicação lógica). Em russo, é expresso pela união I. Na lógica matemática, os sinais são usados & ou . Conjunção - dupla operação; é escrito como: MAS DENTRO. O valor de tal expressão será FALSE se o valor de pelo menos um dos operandos for falso.

Disjunção ( adição lógica). Em russo, essa conjunção corresponde ao sindicato OR. Na lógica matemática, é denotado pelo sinal v. Disjunção - dupla operação; é escrito como: UMA v DENTRO. O valor de tal expressão será TRUE se o valor de pelo menos um dos operandos for verdadeiro.

Negação. Em russo, esse pacote corresponde à partícula NOT (em algumas afirmações, a frase "está errado o que ..." é usada). A negação é uma operação unária (um lugar); é escrito como: A ou.

Fórmula booleana (expressão booleana) - uma fórmula contendo apenas valores lógicos e sinais de operações lógicas. A fórmula lógica é avaliada como TRUE ou FALSE.

Exemplo 1. Considere uma afirmação complexa: "O número 6 é divisível por 2 e o número 6 é divisível por 3." Apresente esta declaração como uma fórmula lógica. Vamos denotar por MAS uma declaração simples "o número 6 é divisível por 2", e depois DENTRO um simples ditado "o número 6 é divisível por 3". Então, a fórmula lógica correspondente é: MAS& DENTRO. Obviamente, seu significado é VERDADEIRO. Exemplo 2. Considere uma afirmação difícil: "No verão irei para a aldeia ou em viagem de turismo."

Vamos denotar por MAS uma simples afirmação "no verão irei para a aldeia", e depois DENTRO- uma declaração simples "no verão vou fazer uma viagem de turismo." Então, a forma lógica de uma declaração complexa tem a forma

Exemplo 3. Considere o ditado: "Não é verdade que 4 é divisível por 3."

Vamos denotar por MAS um ditado simples "4 dividido por 3". Então, a forma lógica de negar essa afirmação tem a forma MAS

As regras para executar operações lógicas são refletidas na tabela a seguir, que é chamada de tabela verdade.

A seqüência de operações nas fórmulas lógicas é determinada pela precedência das operações. Em ordem decrescente de precedência, as operações lógicas são organizadas da seguinte forma: negação, conjunção, disjunção. Além disso, os parênteses, que podem ser usados ​​em fórmulas lógicas, afetam a ordem da operação.

Aplicações da lógica matemática no curso básico

Lógica matemática em bancos de dados. Ao estudar o curso básico de ciência da computação, os alunos encontram pela primeira vez elementos da lógica matemática no tópico "Bancos de dados" (BD). Em bancos de dados relacionais, os valores lógicos são campos de um tipo lógico. O tipo booleano é usado junto com outros tipos de campo e os alunos devem aprender a destacá-lo.

O primeiro conceito de valor lógico pode ser dado como resposta a uma pergunta alternativa. Por exemplo: "Este livro está na biblioteca?" ou "O candidato foi para a universidade" ou "Está chovendo lá fora?" etc. As respostas a essas perguntas só podem ser “sim” ou “não”. Sinônimos são "verdade", "falso"; "Verdadeiro falso". Se um campo de tabela aceitar apenas esses valores, será atribuído a ele um tipo booleano.

Por exemplo, o banco de dados relacional OPTIONS contém informações sobre os alunos que frequentam três disciplinas eletivas em geologia, floricultura e dança. Na linguagem relacional, sua estrutura é descrita da seguinte forma:

OPÇÕES (DISCÍPULO... GEOLOGIA, FLORICULTURA, DANÇAS)

Os campos GEOLOGIA, FLORAL e DANÇAS serão booleanos. Um valor TRUE para cada campo indica que o aluno está frequentando a eletiva e FALSE não.

Expressões booleanas são usadas em consultas de banco de dados como termos de pesquisa. As expressões booleanas são divididas em simples e complexas. Em expressões simples, apenas um campo de tabela é sempre usado e as operações booleanas não são usadas. Expressões lógicas complexas usam operações lógicas. Uma expressão booleana simples é o nome de um campo booleano ou atitude(em matemática eles dizem "desigualdade"). As relações para valores numéricos retêm o significado das desigualdades matemáticas; ao calcular relações para valores simbólicos, a ordem lexicográfica é levada em consideração; as datas são comparadas na ordem de sua seqüência de calendário.

O principal problema é ensinar os alunos a representar formalmente as condições de pesquisa na forma de expressões lógicas. Por exemplo, da frase “encontre todos os livros que estão acima da quinta prateleira”, você precisa ir para a expressão lógica: PRATELEIRA> 5; ou a condição "selecione todos aqueles que não têm sucesso em física" para representar na forma: FÍSICA< 3; или «выбрать все дни, когда шел дождь» ОСАДКИ = «дождь».

Deve-se prestar atenção especial ao uso de campos booleanos nas condições de pesquisa. Normalmente, nenhum relacionamento se aplica a eles. O próprio campo lógico carrega um significado lógico: "verdadeiro" ou "falso". Por exemplo, a condição “selecionar todos os alunos presentes aos bailes” será representada por um nome do campo lógico DANÇAS.

Expressões lógicas complexas contêm operações lógicas. Três operações básicas da lógica matemática são consideradas: conjunção (AND), disjunção (OR), negação (NOT).

Normalmente, ao explicar esta questão, o professor parte do significado semântico dos enunciados em russo que contêm as conjunções AND, OR, a partícula NOT. Por exemplo, a afirmação: "Hoje haverá um teste de álgebra E física" é verdadeira se os dois testes ocorrerem e falsa se pelo menos um não ocorrer. Outra afirmação: "Hoje haverá prova de álgebra OU de física" será verdadeira se pelo menos uma prova ocorrer. E, por fim, a afirmação: “Hoje não haverá controle” é verdadeira se o controle não ocorrer, ou seja, se a afirmação de que hoje haverá controle for falsa. A partir de tais exemplos, o professor tira conclusões sobre as regras para realizar operações lógicas: se um A e B - valores booleanos, a expressão

A e B verdadeiro apenas se ambos os operandos forem verdadeiros;

MAS ou DENTRO falso somente se ambos os operandos forem falsos;

Não MAS muda o valor de um valor lógico para o oposto: não verdadeiro - falso; não uma mentira é uma verdade.

1. Valores lógicos, operações, expressões. Expressões lógicas como condições em algoritmos de ramificação e loop.

Para entender como os algoritmos de ramificação e cíclicos funcionam, considere o conceito de uma expressão lógica.

Em alguns casos, a escolha de um curso de ação em um programa deve depender de como os valores de algumas variáveis ​​se relacionam entre si.

Por exemplo, o cálculo das raízes de uma equação quadrática é feito de forma diferente dependendo do discriminante (lembre-se da matemática).

Como resultado da comparação dos valores de duas expressões, duas respostas possíveis são possíveis: comparação na verdade ou falsamente?

Por exemplo:

2 + 3> 3 + 1 - sim (verdadeiro)

0 < -5 - нет (ложно)

Expressões deste tipo serão chamadas expressões lógicas.

Uma expressão booleana, como uma expressão matemática, é executada (avaliada), mas o resultado não é um número, mas um valor booleano: verdadeiro ou falso. Valor booleanoé sempre a resposta à questão de saber se uma determinada afirmação é verdadeira.

Conhecemos seis operações de comparação:

Com a ajuda dessas operações, iremos compor expressões lógicas. Além disso, as expressões não contêm necessariamente apenas constantes, mas também variáveis.

Como as operações de relação são realizadas para valores numéricos fica claro na matemática. Como os valores simbólicos são comparados? Igualdade é verdadeiro para valores de dois caracteres se seus comprimentos forem iguais e todos os caracteres correspondentes corresponderem. Observe que o espaço também é um símbolo.

Os valores simbólicos também podem ser comparados nas relações>,<, >=, <=. Здесь упорядоченность слов (последовательности символов) определяется по алфавитному принципу.

"Gato" = "gato"

"gato"< «лис»

"Gato"> "casa"

Uma expressão que consiste em um valor lógico ou uma relação será chamada de expressão lógica simples.

Freqüentemente, há problemas em que não são usadas condições separadas, mas um conjunto de condições relacionadas (relações). Por exemplo, em uma loja, você precisa escolher sapatos cujo tamanho é r = 45, cor cor= branco, preço de preço não superior a 400 rublos.

Outro exemplo: um estudante descobriu que pode comprar uma barra de chocolate se custar 3 rublos. ou 3 rublos. 50kop.

No primeiro exemplo, estamos lidando com três relações ligadas pela conjunção "e" e a partícula "não", no segundo - com duas relações ligadas pela conjunção "ou". Chamaremos tais condições constituinte, e para sua designação no algoritmo, concordamos em usar as conjunções " e", "ou", "não", que consideraremos como sinais de operações lógicas que permitem criar condições compostas a partir de condições simples, assim como você pode criar expressões algébricas a partir de variáveis ​​e constantes simples usando os sinais +, -, etc.

Portanto, as condições de nossos exemplos no algoritmo podem ser assim:

primeiro:(r = 45) e(cor = branco) e (não(preço> 400))

segundo:(preço = 3) ou(preço = 3,5)

Uma expressão contendo operações lógicas será chamada de expressão lógica complexa.

Combinar duas (ou mais) instruções em uma usando a união "e" é chamado de operação multiplicação lógica ou conjunção .

Como resultado da multiplicação lógica (conjunção), verdadeiro é obtido se todas as expressões lógicas forem verdadeiras.

A união de duas (ou mais) instruções usando a união "ou" é chamada de operação adição lógica ou disjunção .

Como resultado da adição lógica (disjunção), verdadeiro é obtido se pelo menos uma expressão lógica for verdadeira.

Anexar uma partícula "não" a uma declaração é chamado de operação negação lógica ou inversão .

A negação altera o valor de um valor booleano para o oposto: não verdadeiro = falso; não falso = verdadeiro.

Se houver várias operações lógicas em uma expressão lógica complexa, surge a pergunta em que ordem o computador as executará. Em ordem decrescente de precedência, as operações lógicas são organizadas na seguinte ordem:

negação não);

conjunção ( e);

disjunção ( ou).

Você pode usar parênteses em expressões lógicas. Tal como acontece com as fórmulas matemáticas, os parênteses afetam a sequência de operações. Se não houver parênteses, as operações serão realizadas em ordem de precedência.

Exemplo. Sejam a, b, c valores lógicos que têm os seguintes significados: a = verdadeiro, b = falso, c = verdadeiro. É necessário determinar os resultados da avaliação das seguintes expressões lógicas:

uma e b

uma ou b

não uma ou b

uma e b ou c

uma ou b e c

não uma ou b e c

(uma ou b) e(de ou b)

não(uma ou b) e(de ou b)

não(uma e b e c)

Como resultado, obtemos:

Exemplo... Crie um algoritmo para calcular:

O computador irá primeiro verificar a condição (4 * a - c> = 0) e (a<>0) e se for verdadeiro, calcule x, caso contrário, a mensagem "sem solução" será exibida.

Exemplo... Crie um algoritmo para calcular a soma de todos os números de 1 a n.

Até a condição x