Calculați suma tuturor numerelor. Calculați suma tuturor numerelor Suma numerelor de la t 0 la 100

Am fost leneș. Pentru a-i ține ocupați pe copii mult timp și pentru a-și lua un pui de somn, le-a cerut să adauge numerele de la 1 la 100.

Gauss a răspuns repede: 5050. Atât de repede? Profesorul nu a crezut, dar tânărul geniu avea dreptate. Adăugarea tuturor numerelor de la 1 la 100 este pentru băieți! Gauss a găsit formula:

$$ \ sum_ (1) ^ (n) = \ frac (n (n + 1)) (2) $$

$$ \ sum_ (1) ^ (100) = \ frac (100 (100 + 1)) (2) = 50 \ cdot 101 = 5050 $$

Cum a făcut-o? Să încercăm să ne dăm seama folosind exemplul sumei de la 1 la 10.

Metoda unu: împărțiți numerele în perechi

Să scriem numerele de la 1 la 10 ca o matrice cu două rânduri și cinci coloane:

$$ \ stânga (\ începe (matrice) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 \ end (matrice) \ dreapta) $$

Interesant este că suma fiecărei coloane este 11 sau $ n + 1 $. Și există 5 astfel de perechi de numere sau $ \ frac (n) (2) $. Obținem formula noastră:

$$ Număr \ Coloane \ cdot Sumă \ Numere \ în \ Coloane = \ frac (n) (2) \ cdot (n + 1) $$

Dacă un număr impar de termeni?

Ce se întâmplă dacă adunăm numerele de la 1 la 9? Ne lipsește un număr pentru a face cinci perechi, dar putem lua zero:

$$ \ stânga (\ începe (matrice) (c) 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \ end (matrice) \ dreapta) $$

Suma coloanelor este acum 9 sau exact $ n $. Și numărul de coloane? Mai sunt cinci coloane (mulțumită lui zero!), Dar acum numărul de coloane este $ \ frac (n + 1) (2) $ (y avem $ n + 1 $ și jumătate din numărul de coloane).

$$ Număr \ coloane \ cdotSum \ numere \ în \ coloane = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$

A doua cale: dublați și scrieți pe două rânduri

Calculăm suma numerelor puțin diferit în aceste două cazuri.
Poate că există o modalitate de a calcula suma în același mod pentru un număr de termeni par și impar?

În loc să facem un fel de „buclă” din numere, să le scriem în două rânduri, înmulțind în același timp numărul de numere cu două:

$$ \ stânga (\ începe (matrice) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ end (matrice) \ dreapta) $$

Pentru cazul ciudat:

$$ \ stânga (\ începe (matrice) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ sfârşit (matrice) \ dreapta) $$

Se poate observa că în ambele cazuri suma coloanelor este $ n + 1 $, iar numărul coloanelor este $ n $.

$$ Număr \ coloane \ cdot Sumă \ numere \ în \ coloane = n \ cdot (n + 1) $$

Dar avem nevoie doar de suma unui rând, deci:

$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$

A treia cale: faceți un dreptunghi

Mai este o explicație, să încercăm să împăturim crucile, să spunem că avem cruci:

Arată ca o reprezentare diferită a celei de-a doua căi - fiecare linie ulterioară a piramidei are mai multe cruci și mai puține zerouri. Numărul tuturor crucilor și zerourilor este aria dreptunghiului.

$$ Zona = Înălțime \ cdot Lățime = n \ cdot (n + 1) $$

Dar avem nevoie de suma crucilor, deci:

$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$

A patra cale: media aritmetică

Cunoscut: $ Medie \ Aritmetică = \ frac (Suma) (Număr \ Membri) $
Apoi: $ Sum = medie \ aritmetică \ cdot Număr \ membri $

Știm numărul de membri - $ n $. Cum se exprimă media aritmetică?

Observați că numerele sunt distribuite uniform. Pentru fiecare număr mare, există unul mic la celălalt capăt.

1 2 3, medie 2

1 2 3 4, medie 2,5

În acest caz, media aritmetică este media aritmetică a numerelor 1 și $ n $, adică $ Media \ aritmetică = \ frac (n + 1) (2) $

$$ Suma = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$

A cincea cale: integrală

Știm cu toții că o integrală definită calculează o sumă. Să calculăm suma de la 1 la 100 printr-o integrală? Da, dar mai întâi, să găsim cel puțin suma de la 1 la 3. Fie numerele noastre o funcție a lui y (x). Să desenăm o poză:

Înălțimile celor trei dreptunghiuri sunt exact numerele de la 1 la 3. Să tragem o linie dreaptă prin mijlocul „capselor”:

Ar fi bine să găsim ecuația acestei linii. Trece prin punctele (1.5; 1) și (2.5; 2). $ y = k \ cdot x + b $.

$$ \ begin (cases) 2.5k + b = 2 \\ 1.5k + b = 1 \ end (cases) \ Rightarrow k = 1; b = -0,5 $$

Astfel, ecuația dreptei cu care ne putem aproxima dreptunghiurile este $ y = x-0,5 $

Decupează triunghiurile galbene din dreptunghiuri, dar le „adaugă” pe cele albastre de sus. Galben este egal cu albastru. În primul rând, să ne asigurăm că utilizarea integralei duce la formula Gauss:

$$ \ int_ (1) ^ (n + 1) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2) )) (|) ^ (n + 1) _ (1) = \ frac ((n + 1) ^ (2)) (2) - \ frac (n + 1) (2) = \ frac (n ^ ( 2) + 2n + 1-n-1) (2) = \ frac (n ^ (2) + n) (2) $$

Acum să calculăm suma de la 1 la 3, prin x luăm de la 1 la 4, astfel încât toate cele trei dreptunghiuri ale noastre să cadă în integrală:

$$ \ int_ (1) ^ (4) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (4) _ (1) = \ frac (4 ^ (2)) (2) -2- (0,5-0,5) = 6 $$

$$ \ int_ (1) ^ (101) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (101) _ (1) = \ frac (101 ^ (2)) (2) -50,5- (0,5-0,5) = 5100,5-50,5 = 5050 $$

Și de ce sunt necesare toate acestea?

$$ \ frac (n (n + 1)) (2) = \ frac (n ^ (2)) (2) + \ frac (n) (2) $$

În prima zi o persoană a venit pe site-ul dvs., în a doua zi două... În fiecare zi numărul de vizite a crescut cu 1. Câte vizite va câștiga site-ul până la sfârșitul celei de-a 1000-a zile?

$$ \ frac (n (n + 1)) (2) = \ frac (n ^ (2)) (2) + \ frac (n) (2) = \ frac (1000 ^ (2)) (2) + \ frac (1000) (2) = 500000 + 500 = 500500 $$

Ciclul „Matematică distractivă” este dedicat copiilor pasionați de matematică și părinților care dedică timp dezvoltării copiilor lor, „aruncându-le” sarcini și puzzle-uri interesante și distractive.

Primul articol din această serie este dedicat regulii Gauss.

Un pic de istorie

Celebrul matematician german Karl Friedrich Gauss (1777-1855) s-a deosebit de semenii săi încă din copilărie. În ciuda faptului că era dintr-o familie săracă, a învățat să citească, să scrie și să numere destul de devreme. În biografia sa, se menționează chiar și faptul că la vârsta de 4-5 ani a reușit să corecteze eroarea din calculele greșite ale tatălui său, pur și simplu observându-l.

Una dintre primele sale descoperiri a fost făcută la vârsta de 6 ani la o oră de matematică. Profesorul a avut nevoie să captiveze copiii mult timp și a propus următoarea problemă:

Aflați suma tuturor numerelor naturale de la 1 la 100.

Tânărul Gauss a făcut față acestei sarcini destul de repede, găsind un model interesant care a devenit larg răspândit și este folosit până în zilele noastre în numărarea orală.

Să încercăm să rezolvăm această problemă pe cale orală. Dar mai întâi, să luăm numerele de la 1 la 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Priviți cu atenție această sumă și încercați să ghiciți ce neobișnuit a putut vedea Gauss? Pentru a răspunde, trebuie să aveți o idee bună despre compoziția numerelor.

Gauss a grupat numerele după cum urmează:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Astfel, micuțul Karl a primit 5 perechi de numere, fiecare dintre ele adunând individual 11. Apoi, pentru a calcula suma numerelor naturale de la 1 la 10, ai nevoie de

Să revenim la problema inițială. Gauss a observat că este necesar să grupați numerele în perechi înainte de a însuma și, astfel, a inventat un algoritm datorită căruia puteți adăuga rapid numere de la 1 la 100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Aflați numărul de perechi dintr-o serie de numere naturale. În acest caz, sunt 50 dintre ele.

Rezumăm primul și ultimul număr din această serie. În exemplul nostru, acestea sunt 1 și 100. Obținem 101.

Înmulțim suma rezultată a primului și ultimului termen din serie cu numărul de perechi din această serie. Obținem 101 * 50 = 5050

Prin urmare, suma numerelor naturale de la 1 la 100 este 5050.

Probleme pentru utilizarea regulii Gauss

Și acum vă oferim probleme în care regula Gauss este folosită într-o măsură sau alta. Un elev de clasa a patra este destul de capabil să înțeleagă și să rezolve aceste probleme.

Puteți oferi copilului posibilitatea de a se raționa singur, astfel încât el însuși să „inventeze” această regulă. Sau îl poți demonta și vezi cum îl poate aplica. Printre sarcinile de mai jos, există exemple în care trebuie să înțelegeți cum să modificați regula gaussiană pentru a o aplica unei anumite secvențe.

În orice caz, pentru ca un copil să opereze cu aceasta în calculele sale, este necesar să înțeleagă algoritmul Gauss, adică capacitatea de a se împărți corect în perechi și de a număra.

Important! Dacă o formulă este memorată fără înțelegere, aceasta va fi uitată foarte repede.

Problema 1

Aflați suma numerelor:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Soluţie.

În primul rând, îi poți oferi copilului posibilitatea de a rezolva el însuși primul exemplu și oferi să găsească o modalitate prin care să fie ușor să faci asta în minte. Apoi, analizați acest exemplu împreună cu copilul și arătați cum a făcut Gauss. Cel mai bine este să scrieți o serie pentru claritate și să conectați perechi de numere cu linii care însumează același număr. Este important ca copilul să înțeleagă cum se formează perechile - luăm cel mai mic și cel mai mare dintre numerele rămase, cu condiția ca numărul de numere din rând să fie par.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Sarcină2

Există 9 greutăți de 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Este posibil să împărțim aceste greutăți în trei grămezi de greutate egală?

Soluţie.

Folosind regula Gauss, găsim suma tuturor greutăților:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (d)

Deci, dacă putem grupa greutățile astfel încât fiecare grămadă să conțină greutăți cu o greutate totală de 15 g, atunci problema este rezolvată.

Una dintre variante:

9 g, 6 g
8g, 7g
5g, 4g, 3g, 2g, 1g

Găsiți singur alte opțiuni posibile împreună cu copilul dumneavoastră.

Acordați atenție copilului asupra faptului că, atunci când rezolvați astfel de probleme, este mai bine să începeți întotdeauna gruparea cu o greutate (număr) mai mare.

Problema 3

Este posibil să împărțiți cadranul ceasului cu o linie dreaptă în două părți, astfel încât sumele numerelor din fiecare parte să fie egale?

Soluţie.

Pentru început, aplicați regula Gauss unei serii de numere 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: găsiți suma și vedeți dacă este divizibil cu 2:

Deci poți împărți. Acum să vedem cum.

Prin urmare, este necesar să trasați o linie pe cadran, astfel încât 3 perechi să cadă într-o jumătate și trei în cealaltă.

Răspuns: linia va fi cuprinsă între numerele 3 și 4 și apoi între numerele 9 și 10.

Sarcină4

Este posibil să desenați două linii drepte pe cadranul unui ceas, astfel încât în fiecare parte suma numerelor să fie aceeași?

Soluţie.

Pentru început, aplicați regula Gauss unei serii de numere 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: găsiți suma și vedeți dacă este divizibil cu 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 este divizibil cu 3 fără rest, așa că puteți împărți. Acum să vedem cum.

Conform regulii lui Gauss, obținem 6 perechi de numere, fiecare dintre ele adunând până la 13:

1 și 12, 2 și 11, 3 și 10, 4 și 9, 5 și 8, 6 și 7.

Prin urmare, este necesar să trasați linii pe cadran, astfel încât 2 perechi să cadă în fiecare parte.

Răspuns: prima linie va trece între numerele 2 și 3, iar apoi între numerele 10 și 11; a doua linie este între numerele 4 și 5 și apoi între 8 și 9.

Problema 5

Un stol de păsări zboară. Există o pasăre (lider) în față, urmată de două, apoi trei, patru etc. Câte păsări sunt în stol, dacă sunt 20 dintre ele în ultimul rând?

Soluţie.

Înțelegem că trebuie să adunăm numere de la 1 la 20. Și pentru a calcula o astfel de sumă, puteți aplica regula Gauss:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Problema 6

Cum să plasezi 45 de iepuri în 9 cuști, astfel încât toate cuștile să aibă un număr diferit de iepuri?

Soluţie.

Dacă copilul a decis și a înțeles exemplele din sarcina 1 cu înțelegere, atunci își amintește imediat că 45 este suma numerelor de la 1 la 9. Prin urmare, plantăm iepuri astfel:

prima celulă este 1,
al doilea - 2,
al treilea - 3,
al optulea - 8,
a noua - 9.

Dar dacă copilul nu își poate da seama imediat, atunci încercați să-l împingeți la ideea că astfel de probleme pot fi rezolvate prin forță brută și trebuie să înceapă cu numărul minim.

Problema 7

Calculați suma folosind trucul lui Gauss:

31 + 32 + 33 + … + 40;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
4 + 6 + 8 + 10 + 12;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Soluţie.

31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Problema 8

Există un set de 12 greutăți 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. Din set au fost scoase 4 greutăți, a căror masă totală este egală cu o treime din masa totală a întregului set de greutăți. Este posibil să așezi greutățile rămase pe două cântare a câte 4 bucăți pe fiecare tavă astfel încât să fie în echilibru?

Soluţie.

Aplicăm regula Gauss pentru a găsi masa totală a greutăților:

1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (d)

Calculăm masa greutăților care au fost îndepărtate:

Prin urmare, greutățile rămase (cu o masă totală de 78-26 = 52 g) trebuie așezate câte 26 g pe fiecare tavă a balanței, astfel încât să fie în echilibru.

Nu știm ce greutăți au fost eliminate, așa că trebuie să luăm în considerare toate opțiunile posibile.

Aplicând regula Gauss, greutățile pot fi împărțite în 6 perechi de greutate egală (13 g fiecare):

1d și 12d, 2d și 11d, 3d și 10, 4d și 9d, 5d și 8d, 6d și 7d.

Atunci cea mai bună opțiune este atunci când, la îndepărtarea a 4 greutăți, două perechi din cele de mai sus sunt îndepărtate. În acest caz, vom avea 4 perechi: 2 perechi pe o scară și 2 perechi pe cealaltă.

Cel mai rău scenariu este atunci când 4 greutăți eliminate rup 4 perechi. Vom avea 2 perechi nerupte cu o greutate totala de 26g, ceea ce inseamna ca le punem pe o tava de cantar, iar greutatile ramase se pot pune pe cealalta cantar si vor fi si ele de 26g.

Mult succes in dezvoltarea copiilor tai.

Astăzi vom lua în considerare una dintre problemele de matematică pe care am avut de rezolvat cu nepotul meu. Și apoi îl vom implementa prin PHP. Și vom lua în considerare câteva opțiuni pentru a rezolva această problemă.

Sarcina:

Trebuie să adăugați rapid toate numerele de la 1 la 100 unul după altul și să aflați suma tuturor numerelor.

Rezolvarea problemei:

De fapt, când am rezolvat această problemă pentru prima dată, nu am rezolvat-o corect! Dar nu vom scrie despre soluția greșită la această problemă.

Și soluția este atât de simplă și de trivială - trebuie să adăugați 1 și 100 și să înmulțiți cu 50. (Karl Gaus a avut o astfel de soluție când era foarte tânăr...)

(1 + 100)*50.

Cum se rezolvă această problemă prin php?

Calculați suma tuturor numerelor de la 1 la 100 prin PHP.

Când am rezolvat deja această problemă, am decis să vedem ce scriu ei pe Internet despre această problemă! Și am găsit o formă în care tinerele talente nu au putut rezolva această problemă și am încercat să o fac printr-un ciclu.

Dacă nu există nicio condiție specială să o faci prin buclă, atunci nu are rost să o faci prin buclă!

Si da! Nu uitați că în php puteți rezolva problema în multe feluri! unu.

Acest cod poate adăuga orice succesiune de numere în general, începând de la unu și până la infinit.

Să implementăm soluția noastră în cea mai simplă formă:

$ final = $ _POST ["peremennaya"];

$ res = $ final / 2 * ($ i + $ final);

Rezultat: