Complexe integrale

Acest articol completează subiectul integrelor incerte și, în ea, integriile pe care le consider destul de complicate sunt incluse. Lecția a fost creată pe cererile repetate ale vizitatorilor care au exprimat dorințele astfel încât exemplele mai dificile să fie dezmembrate pe site.

Se presupune că cititorul acestui text este bine pregătit și știe cum să aplice principalele tehnici de integrare. Ceaințele și persoanele care nu sunt foarte confidențiale cu integriile ar trebui să fie menționate la prima lecție - Interestru incert. Exemple de soluțiiunde puteți stăpâni subiectul cu aproape zero. Studenții mai experimentați se pot familiariza cu tehnicile și metodele de integrare, care în articolele mele nu s-au întâlnit încă.

Ce integri vor fi luate în considerare?

În primul rând, vom lua în considerare integriile cu rădăcini, pentru a rezolva care este utilizat în mod consecvent Înlocuirea variabilei și integrarea în părți. Aceasta este, într-un exemplu, două recepții sunt combinate. Și încă mai mult.

Apoi ne vom familiariza cu interesant și original informațiile despre metodă integral pentru tine. Această metodă este rezolvată nu atât de puține integrale.

Al treilea număr al programului va merge integral din fracțiuni complexe care au zburat din registrele de numerar din articolele anterioare.

În al patrulea rând, integrale suplimentare din funcțiile trigonometrice vor fi dezasamblate. În special, există metode care vă permit să evitați consumul de timp al unei substituții trigonometrice universale.

(2) În funcția Integrand, număratorul de pe denominator.

(3) Utilizați proprietatea liniară a unui integral nedefinit. În ultimul integral imediat curățați funcția sub semnul diferențialului.

(4) Luați integralele rămase. Rețineți că în logaritm puteți utiliza paranteze, nu un modul, deoarece.

(5) Deținem un înlocuitor, exprimând de la înlocuirea directă "Te":

Studenții masochieni pot indiferent răspunsul și pot obține funcția Integrand Original așa cum am făcut-o. Nu, nu, am îndeplinit verificarea în sensul potrivit \u003d)

După cum puteți vedea, în timpul deciziei, am avut de folosit și mai mult de două decizii ale soluției, deci pentru represalii cu integrele similare, aveți nevoie de abilități de integrare confidențiale și nu cea mai mică experiență.

În practică, desigur, rădăcina pătrată este mai frecventă, aici sunt trei exemple pentru o soluție independentă:

Exemplul 2.

A găsi intecer integrat

Exemplul 3.

Găsiți un integral nedefinit

Exemplul 4.

Găsiți un integral nedefinit

Aceste exemple de același tip, astfel încât soluția completă la sfârșitul articolului va fi numai pentru Exemplul 2, în exemplele 3-4 - un răspuns. Ce înlocuire să se aplice la începutul deciziilor, cred că, evident. De ce am luat același tip de exemple? Adesea găsite în rolul dvs. Mai des, poate, doar ceva de genul .

Dar nu întotdeauna, atunci când sunt sub arctgenne, sinus, cosinie, exponențială etc. Caracteristicile sunt rădăcina unei funcții liniare, trebuie aplicate mai multe metode. În unele cazuri, este posibil să "scapi de", adică imediat după înlocuire, se obține un simplu integrat, care este elementar luat. Cea mai ușoară dintre sarcinile propuse sunt exemplul 4, după înlocuire, se dovedește un relativ simplu integrantă.

Informațiile despre metodă integral pentru tine

O metodă spirituală și frumoasă. Luați în considerare imediat clasicul genului:

Exemplul 5.

Găsiți un integral nedefinit

Sub rădăcina se află un biccoon pătrat și când încearcă să integreze acest exemplu, ceainicul poate suferi ore întregi. Un astfel de integral este luat în părți și se apropie de ea însăși. În principiu, nu este dificil. Dacă știi cum.

Denotă de integralul considerat al scrisorii latine și începe soluția:

Integram în părți:

(1) Pregătim o funcție de înlocuire pentru diviziunea solului.

(2) Împărțăm funcția de înlocuire. Poate că nu toți în mod clar, voi scrie mai detaliat:

(3) Utilizați proprietatea liniară a unui integral nedefinit.

(4) Luați ultimul logarit integrat ("Long").

Acum ne uităm la începutul deciziei:

Și la sfârșit:

Ce s-a întâmplat? Ca urmare a manipulărilor noastre, integralul a ajuns la el însuși!

Noi echivalează începutul și sfârșitul:

Transferim spre partea stângă cu schimbarea semnului:

Și demolarea demo-ului în partea dreaptă. Ca urmare:

Constanta, strict vorbind, a trebuit să fie adăugată mai devreme, dar a atribuit-o la sfârșit. Îți recomand cu tărie citirea a ceea ce este aici pentru o rigoare:

Notă: O etapă finală mai strictă a soluției arată astfel:

În acest fel:

Constant poate fi reutilizat prin. De ce poți reemitei? Pentru că încă mai ia orice Valori și în acest sens între constante și nu există nici o diferență.
Ca urmare:

Un astfel de truc cu constantă reisit este utilizat pe scară largă în ecuatii diferentiale. Și acolo voi fi strict. Și aici o astfel de libertate este permisă de mine numai pentru a nu vă confunda cu lucruri inutile și să vă concentrați asupra metodei de integrare în sine.

Exemplul 6.

Găsiți un integral nedefinit

Un alt tipic integrat pentru auto-decizii. Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției. Diferența cu răspunsul exemplului anterior va fi!

Dacă sub rădăcină pătrată Există un triplu pătrat, soluția în orice caz este redusă la două exemple dezasamblate.

De exemplu, ia în considerare integrarea . Tot ce trebuie să faceți este pre- selectați Piața Full:
.
Apoi, se efectuează o înlocuire liniară, ceea ce costă "fără consecințe":
Ca rezultat, se obține integralul. Ceva familiar, nu?

Sau un astfel de exemplu, cu pătrat Bounced:
Subliniem un pătrat complet:
Și, după înlocuirea liniară, obținem un integral, care este, de asemenea, rezolvată de algoritmul deja luat în considerare.

Luați în considerare încă două exemplu tipic La informațiile de recepție integral pentru tine:
- integral din expozitorul înmulțit cu sinusul;
- Integral din expozitorul înmulțit cu cosinus.

În integrarea enumerată în părți vor trebui integrate de două ori:

Exemplul 7.

Găsiți un integral nedefinit

Funcția Integrand este un exponat înmulțit cu sinusul.

Ne integrăm de două ori în părți și aducem integral pentru tine:

Ca urmare a integrării în douăzeci în părți, integralul sa ajuns la el însuși. Noi echivalează soluțiile de început și de sfârșit:

Transferim spre partea stângă cu schimbarea semnului și exprimă integralul nostru:

Gata. De asemenea, este de dorit să se combată partea dreaptă, adică Pentru a face un exponent pentru paranteze și în paranteze pentru a pune sinusul cu cosinus în ordinea "frumoasă".

Acum, să ne întoarcem la începutul exemplului sau mai degrabă - la integrarea în părți:

Pentru că am desemnat expozantul. Întrebarea apare, este întotdeauna necesar să se refere la expozantul? Nu este necesar. De fapt, în cadrul integrat examinat principiu nicio diferentaLa ce să se refere la, a fost posibil să mergeți la alt mod:

De ce este posibil? Deoarece expozantul se transformă în sine (și în timpul diferențierii și în timpul integrării), sinusul cu cosinus se deține reciproc (din nou - atât în \u200b\u200btimpul diferențierii, cât și în timpul integrării).

Adică funcția trigonometrică poate fi indicată. Dar, în exemplul examinat, este mai puțin rațional, deoarece vor apărea fracțiunile. Dacă doriți, puteți încerca să rezolvați acest exemplu în al doilea rând, răspunsurile trebuie coincide.

Exemplul 8.

Găsiți un integral nedefinit

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Înainte de a decide, gândiți-vă că este mai profitabil în acest caz pentru a desemna, expunerea sau funcția trigonometrică? Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.

Și, bineînțeles, nu uitați că majoritatea răspunsurilor acestei lecții sunt destul de ușor de verificat diferențierea!

Exemplele nu au fost considerate cele mai dificile. În practică, integrale sunt găsite mai des, în care există o constantă în indicatorul exponent și în argumentul unei funcții trigonometrice, de exemplu:. Gândirea într-un integral similar va trebui să facă mulți, mă confund de multe ori. Faptul este că în rezolvarea probabilității apariției fracțiilor și este foarte pur și simplu ceva intens de pierdut. În plus, probabilitatea de erori în semne este excelentă, vă rugăm să rețineți că în indicatorul exponent există un semn minus, ceea ce face dificultăți suplimentare.

În etapa finală, aproximativ următoarele sunt adesea obținute:

Chiar și la sfârșitul deciziei ar trebui să fie extrem de atent și să se ocupe de fracțiunile:

Integrarea fracțiilor complexe

Încet, ajungem la ecuatorul de lecție și începem să luăm în considerare integralele din fracțiuni. Din nou, nu toate sunt SPUSWIT, doar pentru un motiv sau alte exemple au fost un pic "nu în subiect" în alte articole.

Continuăm subiectul rădăcinilor

Exemplul 9.

Găsiți un integral nedefinit

În numitor, sub rădăcina se află un pătrat de trei stări plus în afara rădăcinii "Îmbunătățiți" sub formă de "Iksa". Integrarea acestui tip este rezolvată utilizând înlocuirea standard.

Noi decidem:

Înlocuirea aici este simplă:

Ne uităm la viață după înlocuire:

(1) După înlocuire, dau termenii generali de numitor sub rădăcină.
(2) Înălțim de la rădăcină.
(3) Numerator și numitor reducând pe. În același timp, sub rădăcină, am rearanjat componentele într-o ordine confortabilă. Cu un anumit experiment, pașii (1), (2) pot fi săriți prin efectuarea acțiunilor comentate pe cale orală.
(4) Integranul rezultat, pe măsură ce vă amintiți de lecție Integrarea unor fracțiuni, decide metoda de alocare a unui pătrat complet. Selectați un pătrat complet.
(5) Integrare Obținem un logaritm "lung".
(6) efectuați un înlocuitor. Dacă inițial, apoi înapoi :.
(7) Acțiunea finală vizează coafura rezultatului: sub rădăcină, acestea aduc din nou componentele la numitorul general și îndurarea de la rădăcină.

Exemplul 10.

Găsiți un integral nedefinit

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Aici, constanta a fost adăugată la singura "ICSU", iar înlocuirea este aproape aceeași:

Singurul lucru pe care trebuie să-l faceți suplimentar este expres "x" de la înlocuire:

Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.

Uneori, într-un astfel de integral sub rădăcină, poate exista o bicicletă pătrată, nu schimbă soluția pentru a rezolva, va fi chiar mai ușoară. Simte diferenta:

Exemplul 11.

Găsiți un integral nedefinit

Exemplul 12.

Găsiți un integral nedefinit

Scurte decizii și răspunsuri la sfârșitul lecției. Trebuie remarcat faptul că Exemplul 11 \u200b\u200beste exact binomial integrat, a cărui decizie a fost luată în considerare în lecție Integrals din funcțiile iraționale.

Integral dintr-un polinom nedescoperit al unui grad al doilea în grad

(polinomul în numitor)

Mai rar, dar, totuși, întâlnire exemple practice Tipul integral.

Exemplul 13.

Găsiți un integral nedefinit

Dar reveniți, de exemplu, cu numărul fericit 13 (sincer, nu se potrivește). Acest integral este, de asemenea, din categoria celor cu care puteți fi destul de suficient dacă nu știți cum să rezolvați.

Decizia începe cu transformarea artificială:

Cum să împărți numitorul la numitor, cred că totul este înțeles.

Integralul rezultat este luat în părți:

Pentru vizualizarea integrală (- numărul natural) eliminat recurent Formula de reducere a gradului:
Unde - Gradul Integral mai mic.

Voi fi convins de justiția acestei formule pentru integrarea profesionată.
În acest caz, :, Folosim formula:

După cum puteți vedea, răspunsurile coincid.

Exemplul 14.

Găsiți un integral nedefinit

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. În eșantionul soluției, formula menționată mai sus a fost de două ori.

Dacă se află sub gradul independent de multiplicatori Pătrat triplă, atunci soluția se reduce la Bicked prin evidențierea unui pătrat complet, de exemplu:

Ce se întâmplă dacă sunteți suplimentar în numărator există un polinom? În acest caz, se utilizează metoda de coeficienți nedeterminați, iar funcția integrat este descrisă în cantitatea de fracțiuni. Dar în practica mea a unui astfel de exemplu nu m-am întâlnit, așa că am pierdut acest caz in articol Integral din funcția rațională fracționatăMi-e dor de acum. Dacă se întâlnește un astfel de integrare, consultați manualul - totul este simplu acolo. Nu consider că este de competență pentru a include materialul (chiar simplu), probabilitatea de întâlnire cu care se străduiește pentru zero.

Integrarea funcțiilor trigonometrice complexe

Adjectivul "complex" pentru majoritatea exemplelor este în multe privințe condiționate. Să începem cu tangenți și kotangenes în grade înalte. Din punctul de vedere al metodelor de rezolvare a tangentului și a kotangentului, aproape același lucru, așa că voi vorbi mai mult despre tangent, ceea ce înseamnă că recepția demonstrată a soluției integrale este corectă și pentru Cotangent.

Pe lecția de mai sus, am luat în considerare substituția trigonometrică universală Pentru a rezolva un tip specific de integrale din funcțiile trigonometrice. Lipsa unei substituții trigonometrice universale este aceea că atunci când se folosește, apar integriile voluminoase cu calcule dificile. Și, în unele cazuri, de o substituție trigonometrică universală poate fi evitată!

Luați în considerare un alt exemplu canonic, integralul de la unitatea împărțită în sinus:

Exemplul 17.

Găsiți un integral nedefinit

Aici puteți utiliza o substituție trigonometrică universală și puteți obține un răspuns, dar există o cale mai rațională. Voi oferi o soluție completă cu comentarii pentru fiecare pas:

(1) Utilizați formula trigonometrică a sinusului cu unghi dual.
(2) Realizăm o transformare artificială: în numitor, împărțim și multiplicați.
(3) În conformitate cu formula cunoscută din numitor, transformăm fracțiunea în tangentă.
(4) mătură funcția sub semnul diferenței.
(5) Luați integrale.

Cuplu exemple simple Pentru soluții de sine:

Exemplul 18.

Găsiți un integral nedefinit

Notă: Prima acțiune trebuie utilizată cu formula Și efectuați cu atenție similar exemplului anterior al acțiunii.

Exemplul 19.

Găsiți un integral nedefinit

Ei bine, acesta este un exemplu foarte simplu.

Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Cred că acum nimeni nu are probleme cu integrale:
etc.

Care este ideea metodei? Ideea este că, cu ajutorul transformărilor, formulele trigonometrice de a organiza în tangentele Integrand și un derivat tangent. Adică, este vorba despre înlocuire: . În exemplele 17-19, am aplicat de fapt această înlocuire, dar integralele au fost atât de simple încât costă un efect echivalent - pentru a rezuma funcția sub semnul diferenței.

Argumente similare, așa cum am stipulat deja, puteți cheltui pentru Cotangennt.

Există o condiție prealabilă formală pentru utilizarea înlocuirii de mai sus:

Suma gradelor de cosinie și sinus este un număr întreg negativ, de exemplu:

pentru integral - un număr întreg negativ.

Fotografiile! Notă : Dacă funcția Integrand conține numai sinusul sau numai cosinul, atunci integralul este luat într-un grad negativ ciudat (cele mai simple cazuri din exemplele nr. 11, 18).

Luați în considerare câteva sarcini mai informative pentru această regulă:

Exemplul 20.

Găsiți un integral nedefinit

Suma de grade de sinus și cosinus: 2 - 6 \u003d -4 este un număr negativ întreg, ceea ce înseamnă că integralul poate fi redus la tangenți și derivatul său:

(1) Transformăm numitorul.
(2) În conformitate cu celebra formula, ajungem.
(3) Transformăm numitorul.
(4) Folosim formula .
(5) Predarea funcției sub semnul diferenței.
(6) Înlocuiți. Studenții mai experimentați nu pot fi înlocuiți, dar totuși este mai bine să înlocuiți tangentul cu o literă - mai puțin riscul este confuz.

Exemplul 21.

Găsiți un integral nedefinit

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă.

Țineți, începeți rundele campionului \u003d)

Adesea în funcția Integrand este "Solyanka":

Exemplul 22.

Găsiți un integral nedefinit

În acest integral, tangentul este inițial prezent, care urmărește imediat gândul deja familiar:

Transformarea artificială la început și rămânând pașii rămași fără comentarii, deoarece totul a fost menționat mai sus.

O pereche de exemple creative pentru o soluție independentă:

Exemplul 23.

Găsiți un integral nedefinit

Exemplul 24.

Găsiți un integral nedefinit

Da, în ele, desigur, este posibil să se diminueze gradul de sinus, cosinus, să folosească o substituție trigonometrică universală, dar decizia va fi mult mai eficientă și mai scurtă dacă se efectuează prin intermediul tangentelor. Soluție completă și răspunsuri la sfârșitul lecției

Principalele integrale pe care fiecare elev ar trebui să le cunoască

Integratele enumerate sunt baza, baza de fundație. Aceste formule trebuie amintite. La calcularea integrelor mai complexe, va trebui să le utilizați în mod constant.

Acordați o atenție deosebită formulelor (5), (7), (9), (12), (13), (17) și (19). Nu uitați atunci când integrați adăugați la constanta arbitrară răspunsului!

Integral din Constanța

∫ A D X \u003d A X + C (1)

Integrarea funcției de alimentare

De fapt, a fost posibilă limitarea numai prin formulele (5) și (7), dar restul integrelor din acest grup sunt întâlnite de câte ori merită să le plătim puțină atenție acestora.

∫ x D x \u003d x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + C (3)
∫ 1 x D x \u003d 2 x + C (4)
∫ 1 x D x \u003d ln | X | + C (5)
∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c (6)
∫ x N d x \u003d x n + 1 N + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

Integrals din funcția indicativă și din funcțiile hiperbolice

Desigur, formula (8) (probabil cea mai convenabilă pentru memorare) poate fi considerată ca cazul privat Formule (9). Formulele (10) și (11) pentru integrale din sinusul hiperbolic și cosinul hiperbolic sunt ușor derivate din formula (8), dar este mai bine să-și amintească aceste relații.

∫ E x D x \u003d E x + C (8)
∫ A x D x \u003d A x LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1) (9)
∫ s h x d x \u003d c h x + c (10)
∫ C H x D x \u003d s H x + C (11)

Integral de bază din funcțiile trigonometrice

O eroare pe care elevii o fac adesea: semne confuze în formulele (12) și (13). Prin amintirea faptului că derivatul sinusal este egal cu cosinus, multe din anumite motive consideră că integralul din funcția Sinx este cosx. Nu este adevarat! Integralitatea sinusoidală este egală cu "minus cosinus", dar integralul de la COSX este "doar sinusul":

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C (12)
∫ COS X D X \u003d SIN X + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c (14)
∫ 1 SIN 2 x D X \u003d - C T G X + C (15)

Integralurile reduse la funcțiile trigonometrice inverse

Formula (16), care duce la Arcttangent, în mod natural, este un caz special cu formula (17) la A \u003d 1. În mod similar, (18) - un caz special (19).

∫ 1 1 + x 2 D x \u003d a Rc T G X + C \u003d - A Rc C T G X + C (16)
∫ 1 x 2 + A2 \u003d 1 A A Rc C G x A + C (A ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x \u003d Arcsin X + C \u003d - ArcCOS X + C (18)
∫ 1 A 2 - X2 D x \u003d Arcsin X A + C \u003d - ArcCOS X A + C (A\u003e 0) (19)

Mai complexe integrale

Aceste formule sunt, de asemenea, de dorit să se amintească. Ele sunt, de asemenea, folosite destul de des, iar concluzia lor este destul de obositoare.

∫ 1 x 2 + A 2 D X \u003d LN | x + x 2 + A 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - A 2 D X \u003d LN | X + X2 - A 2 | + C (21)
∫ A 2 - X2 D x \u003d x2 A 2 - X2 + A2 2 Arcsin X A + C (A\u003e 0) (22)
∫ x 2 + A 2 D x \u003d x 2 x 2 + A 2 + A 2 2 LN | x + x 2 + A 2 | + C (A\u003e 0) (23)
∫ X2 - A 2 D x \u003d x 2 x 2 - A 2 - A 2 2 LN | X + X2 - A 2 | + C (A\u003e 0) (24)

Reguli generale de integrare

1) Integralul din suma a două funcții este egal cu suma integrală corespunzătoare: ∫ (F (x) + g (x)) d x \u003d ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx (25 )

2) Integralitatea diferenței de două funcții este egală cu diferența dintre integranele corespunzătoare: ∫ (F (x) - G (x)) d x \u003d ∫ F (x) d x - ∫ g (x) dx ( 26)

3) Constanta poate fi scos din semnul integral: ∫ C F (x) d x \u003d c ∫ F (x) d x (27)

Este ușor de observat că proprietatea (26) este doar o combinație de proprietăți (25) și (27).

4) Integral dintr-o funcție complexă dacă funcția internă este liniară: ∫ F (A x + B) d x \u003d 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Aici F (x) este un primitiv pentru funcția f (x). Notă: Această formulă este potrivită numai pentru cazul în care o funcție internă are un AX + B.

IMPORTANT: Nu există o formulă universală pentru integral din produsul a două funcții, precum și pentru integrarea din fracțiune:

∫ F (x) g (x) d x \u003d? ∫ F (x) g (x) d x \u003d? (treizeci)

Acest lucru nu înseamnă, desigur, că fracția sau munca nu poate fi integrată. Doar de fiecare dată, văzând un tip integrat (30), va trebui să inventați modul "luptă" cu el. În unele cazuri, veți putea să vă integrați în părți, undeva va trebui să înlocuiască variabila și, uneori, poate ajuta chiar să aibă Formule de școală " Algebră sau trigonometrie.

Un exemplu simplu de calculare a unui integrat incert

Exemplu 1. Găsiți un integral: ∫ (3 x 2 + 2 SIN X - 7 E X + 12) D x

Folosim formulele (25) și (26) (integrale cuantumul sau diferența de funcții este egală cu suma sau diferența dintre integralele corespunzătoare. Obținem: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 Sin x D X - ∫ 7 E x d x + ∫ 12 d x

Amintiți-vă că constanta poate fi făcută pe semnul integral (formula (27)). Expresia convertită în minte

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ SIN X D X - 7 ∫ E x D x + 12 ∫ 1 D x

Și acum folosiți pur și simplu masa principalelor integrale. Va trebui să aplicăm formulele (3), (12), (8) și (1). Integrați funcția de alimentare, sinusul, exponentul și constanta 1. Nu uitați ADD la sfârșitul unei constanțe arbitrare cu:

3 x 3 3 - 2 COS X - 7 E X + 12 X + C

După transformări elementare, primim răspunsul final:

X 3 - 2 COS X - 7 E X + 12 X + C

Verificați-vă cu diferențierea: luați derivat din funcție Și asigurați-vă că este egal cu căile inițiale de exprimare.

Rezumatul tabelului integrat

∫ A D X \u003d A X + C

∫ x d x \u003d x 2 2 + c

∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c

∫ 1 x d x \u003d 2 x + c

∫ 1 x D x \u003d ln | X | + C.

∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c

∫ x N d x \u003d x n + 1 N + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ E x D X \u003d E X + C

∫ A x D x \u003d A x LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1)

∫ s h x d x \u003d c h x + c

∫ c h x d x \u003d s h x + c

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C

∫ cos x d x \u003d păcat x + c

∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c

∫ 1 păcat 2 x d x \u003d - c t g x + c

∫ 1 1 + x 2 d x \u003d a r c g x + c \u003d - a r c t g x + c

∫ 1 x 2 + A 2 \u003d 1 A A R C T G x A + C (A ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x \u003d Arcsin X + C \u003d - ArcCOS X + C

∫ 1 A 2 - X2 D x \u003d Arcsin X A + C \u003d - ArcCOS X A + C (A\u003e 0)

∫ 1 x 2 + A 2 D X \u003d LN | x + x 2 + A 2 | + C.

∫ 1 x 2 - A 2 D X \u003d LN | X + X2 - A 2 | + C.

∫ A 2 - X2 D x \u003d x2 A 2 - X2 + A 2 2 Arcsin X A + C (A\u003e 0)

∫ x 2 + A 2 D x \u003d x 2 x 2 + A 2 + A 2 2 LN | x + x 2 + A 2 | + C (a\u003e 0)

∫ X2 - A 2 D x \u003d x 2 x 2 - A 2 - A 2 2 LN | X + X2 - A 2 | + C (a\u003e 0)

Descărcați tabelul integral (partea II) pe acest link

Dacă studiați la universitate dacă aveți dificultăți cu cea mai înaltă matematică (analiza matematică, algebra liniară, teoria probabilității, statisticile), dacă aveți nevoie de un serviciu de profesor calificat, mergeți la pagină tutore în cea mai înaltă matematică . Vom rezolva problemele dvs. împreună!

Poate că veți fi, de asemenea, interesați