Funcția irațională din variabilă este o funcție care este formată din constante variabile și arbitrare folosind un număr finit de operații de adăugare, scădere, multiplicare (erecție într-un grad întregi), diviziune și rădăcini de extragere. Funcția irațională diferă de rațional în faptul că funcția irațională conține operații de extracție rădăcină.
Există trei tipuri principale de funcții iraționale, parte integrante nesigure din care sunt acordate integrale din funcții raționale. Acestea sunt integriile care conțin rădăcinile de grade întregi arbitrare din funcția fracționată liniară (rădăcinile pot fi de diferite grade, dar din aceeași funcție liniară fracționată); Integrals de la binomul diferențial și integriile cu rădăcină pătrată de trei lovituri pătrate.
Remarcă importantă. Rădăcinile sunt semnificative!
La calcularea integrelor care conțin rădăcini, specia formei sunt adesea găsite, în care există o anumită funcție din variabila de integrare. Ar trebui să fie socotită în minte că. Adică, cu t\u003e 0, | T | \u003d T. . Cu T.< 0, | T | \u003d - t. Prin urmare, la calcularea acestor integrități, trebuie să luați în considerare separat cazurile T\u003e 0 Si t.< 0 . Acest lucru se poate face dacă scrieți semne sau unde este necesar. Ceea ce înseamnă că semnul superior se referă la cazul t\u003e 0 , iar partea de jos - la cauza t< 0 . Cu o conversie ulterioară, aceste semne sunt de obicei reduse reciproc.
O a doua abordare este posibilă, în care funcția integrată și rezultatul integrării pot fi considerate funcții complexe de la variabile complexe. Apoi, nu puteți urma semne în expresiile detașate. Această abordare este aplicabilă dacă funcția integrat este analitică, adică o funcție diferențiată dintr-o variabilă complexă. În acest caz, funcția integrat și integrarea acesteia sunt funcții multi-evaluate. Prin urmare, după integrare, la înlocuirea valorilor numerice, este necesar să se selecteze ramura neechivocă (suprafața Riemanniană) a funcției Integrand și să aleagă ramura corespunzătoare a rezultatului de integrare.
Iraționalitate liniară
Acestea sunt integralele cu rădăcini din aceeași funcție liniară fracționată:
,
În cazul în care R este o funcție rațională - numere raționale, M 1, N 1, ..., M S, N S sunt numere întregi, α, β, γ, δ - numere valide.
Astfel de integrele sunt reduse la integrale din funcția de caracter rațional:
unde n este un numitor comun al numerelor R 1, ..., R S.
Rădăcinile nu pot fi neapărat dintr-o funcție liniară fracționată, dar și de la linia (γ \u003d 0, Δ \u003d 1) sau de la variabila de integrare x (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, δ \u003d 1).
Iată exemple de astfel de integrire:
,
.
Integrals din binomi diferențiali
Integralurile din binomul diferențial au forma:
,
În cazul în care M, N, P este numere raționale, a, b - numere valide.
Astfel de integrele sunt reduse la integrale din funcții raționale în trei cazuri.
1) Dacă P este un număr întreg. Substituția x \u003d t n, unde n este denominatorul total al fracțiilor M și N.
2) dacă - întregul. Substituția A x N + B \u003d T m, unde M este numărul de numere p.
3) dacă - un întreg. Substituirea A + B X - N \u003d T m, unde m este numitorul numărului P.
În alte cazuri, astfel de integrele nu sunt exprimate prin funcții elementare.
Uneori, astfel de integrele pot fi simplificate utilizând formule:
;
.
Integrals care conțin rădăcină pătrată a pătratului trei
Astfel de integrele sunt:
,
unde R este o funcție rațională. Pentru fiecare astfel de integrire există mai multe metode de soluție.
1)
Folosind transformări pentru a duce la integrale mai simple.
2)
Aplicați substituții trigonometrice sau hiperbolice.
3)
Aplicați substituțiile lui Euler.
Luați în considerare aceste metode în detaliu.
1) Conversia funcției Integrand
Folosind formula și efectuarea transformărilor algebrice, aduceți o funcție reintrodusă în minte:
,
unde φ (x), ω (x) este funcții raționale.
eu scriu
Integralul formularului:
,
unde p N (x) este un grad de polinom n.
Astfel de integrele sunt metoda coeficienților incerți care utilizează identitatea:
.
Diferențierea acestei ecuații și echivalarea părților stângi și drepte, găsim coeficienții A i.
Tipul II
Integralul formularului:
,
unde P M (x) este un grad polinom m.
Substituție t \u003d. (X - α) -1 Acest integral este condus la tipul anterior. Dacă m ≥ n, atunci fracția trebuie alocată întregii părți.
Tipul III
Aici facem o substituție:
.
După care integralul va lua forma:
.
Următorul, permanent α, β, trebuie să alegeți astfel încât în \u200b\u200bnumitor coeficienții de la T să se întoarcă la zero:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Apoi, integrale dezintegrează suma integrală a două tipuri:
,
,
care sunt integrate prin substituții:
u 2 \u003d A 1 T 2 + C 1,
v 2 \u003d A 1 + C1 T -2.
2) Substituții trigonometrice și hiperbolice
Pentru integrarea formei, a > 0
,
Avem trei substituții principale:
;
;
;
Pentru integral, a > 0
,
Avem următoarele substituții:
;
;
;
Și în cele din urmă pentru integral, a > 0
,
Substituțiile sunt după cum urmează:
;
;
;
3) Substituții ELER
De asemenea, integrale pot fi reduse la integrale din funcțiile raționale ale uneia dintre cele trei substituții ale Eulerului:
, cu un\u003e 0;
, cu C\u003e 0;
unde x 1 este rădăcina ecuației A x 2 + B x + C \u003d 0. Dacă această ecuație are rădăcini valide.
Integriile eliptice
În concluzie, luați în considerare integriile formularului:
,
unde r este o funcție rațională ,. Astfel de integrele sunt numite eliptice. În general, ele nu sunt exprimate prin funcții elementare. Cu toate acestea, există cazuri în care există relații între coeficienții A, B, C, D, E, cu astfel de integrele sunt exprimate prin funcții elementare.
Mai jos este un exemplu asociat cu polinomii de întoarcere. Calculul acestor integrele se efectuează utilizând substituții:
.
Exemplu
Calculați integral:
.
Decizie
Face o substituție.
.
Aici la x\u003e 0
(U\u003e. 0
) Luăm semnul de top "+". Cu X.< 0
(U.< 0
) - Inferior '-'.
.
Răspuns
Referințe:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, colecție de sarcini pe matematică mai mare, "LAN", 2003.
Să presupunem că Ahilele trece de zece ori mai repede decât broasca testoasa și se află în spatele ei la o distanță de o mie de pași. Pentru moment, pentru care Achilles trece prin această distanță, o sută de pași se vor prăbuși în aceeași parte. Când Achilles rulează o sută de pași, broasca testoasa se va târî cu aproximativ zece pași și așa mai departe. Procesul va continua până la infinit, Achilles nu va prinde niciodată pe broască țestoasă.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile ulterioare. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... toți au considerat cumva apriologia Zenonului. Șocul sa dovedit a fi atât de puternic încât " ... Discuțiile continuă și în prezent, să vină la avizul general cu privire la esența paradoxurilor comunității științifice nu au fost încă posibile ... o analiză matematică, teoria seturilor, noile abordări fizice și filosofice au fost implicate în studiul problemei; Nici unul dintre ei nu a devenit o problemă general acceptată a problemei ..."[Wikipedia," Yenon Apriya "]. Toată lumea înțelege că sunt blocați, dar nimeni nu înțelege ce înșelăciune este.
Din punctul de vedere al matematicii, Zeno în aproboria sa a demonstrat în mod clar tranziția de la valoarea la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constantă. În ceea ce înțeleg, aparatul matematic al utilizării variabilelor de unități de măsurare este încă încă nu sa dezvoltat, fie nu a fost aplicat apariției Zenonului. Utilizarea logicii noastre obișnuite ne conduce la o capcană. Noi, prin inerție de gândire, folosim unități permanente de măsurare a timpului la invertor. Din punct de vedere fizic, se pare că o încetinire a timpului până la oprirea completă în momentul în care Ahile este umplute cu o broască țestoasă. Dacă timpul se oprește, Achilles nu mai poate depăși broasca testoasa.
Dacă întoarceți logica, de obicei, totul devine în vigoare. Achilles rulează la o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al căii sale este de zece ori mai scurt decât cel precedent. În consecință, timpul petrecut asupra depășirii sale, de zece ori mai mică decât cea precedentă. Dacă aplicați conceptul de "infinit" în această situație, va spune corect că "Achilles infinit va prinde rapid broasca testoasa".
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități de măsurare permanente și nu vă deplasați la valori inverse. În limba Zenon, se pare că:
Pentru acel moment, pentru care Achilles rulează o mie de pași, o sută de pași vor sparge broasca țestoasă în aceeași parte. Pentru următorul interval de timp, egal cu primul, Achilles va rula încă o mie de pași, iar broasca țestoasă va sparge o sută de pași. Acum, Achilles este o opt sută de pași înainte de broască țestoasă.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără paradoxuri logice. Dar aceasta nu este o soluție completă la această problemă. Pe Agracul Zenonian de Achilles și broasca țestoasă este foarte asemănătoare cu declarația lui Einstein asupra irealizării vitezei luminii. Încă mai trebuie să studiem această problemă, să regândească și să rezolvăm. Și decizia ar trebui să fie căutată în numere infinit mari, ci în unități de măsură.
Un alt interesant Yenon Aproria spune despre săgețile zburătoare:
Săgeata zburătoare este încă, deoarece în fiecare moment se odihnește și, din moment ce se odihnește în fiecare moment, se odihnește întotdeauna.
În acest conac, paradoxul logic este foarte simplu - este suficient să clarificați că, în fiecare moment, săgeata zburătoare se odihnește în diferite puncte de spațiu, care, de fapt, este mișcarea. Aici trebuie să observați un alt moment. Potrivit unei fotografii a mașinii pe drum, este imposibil să se determine faptul că mișcarea sa, nici distanța față de ea. Pentru a determina mișcarea mașinii, aveți nevoie de două fotografii făcute dintr-un punct la diferite puncte în timp, dar este imposibil să se determine distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, două fotografii din diferite puncte de spațiu la un moment dat, dar este imposibil să se determine faptul că mișcarea (în mod natural, datele suplimentare sunt încă necesare pentru calcule, trigonometria pentru a vă ajuta). Ceea ce vreau să fac o atenție deosebită este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu ar trebui să fie confuze, deoarece oferă oportunități diferite de cercetare.
miercuri, 4 iulie 2018
Diferențele foarte bune între multe și mai multe setări sunt descrise în Wikipedia. Ne uitam.
După cum puteți vedea, "nu pot exista două elemente identice într-un set", dar dacă elementele identice sunt în set, există, un astfel de set este numit "Mix". O logică similară a ființelor rezonabile absurde nu înțelege niciodată. Acesta este nivelul de vorbire a papagalilor și maimuțelor instruite, care lipsesc de la cuvântul "deloc". Matematica acționează ca formatori obișnuiți, predicând ideile noastre absurde.
Odată ce inginerii care au construit podul în timpul testelor podului erau în barca sub pod. Dacă podul sa prăbușit, inginerul fără talent a murit sub distrugerea creației sale. Dacă podul a rezistat sarcinii, un inginer talentat a construit alte poduri.
Pe măsură ce matematica nu sa ascuns în spatele expresiei "Chur, eu sunt într-o casă", mai precis ", studiile matematice abstract concepte", există un cordon ombilical, care le leagă în mod inextricabil cu realitatea. Acest cordon ombilical este bani. aplica teoria matematică Se află la matematică înșiși.
Am învățat foarte bine matematica și acum stăm la checkout, emităm un salariu. Asta vine la noi matematicianul pentru banii tăi. Numărăm pe întreaga sumă și ne-am așezat pe masa dvs. pe diferite stive, în care adăugăm facturi de o demnitate. Apoi luăm din fiecare stivă pe o singură factură și mâna matematicii "setului de salariu matematic". Explicați matematica că restul facturilor va primi numai atunci când dovedește că setul fără aceleași elemente nu este egal cu setul cu aceleași elemente. Aici începe cel mai interesant.
În primul rând, logica deputaților va lucra: "Este posibil să-l aplicați altora, pentru mine - scăzut!". Vor exista asigurări suplimentare despre noi că există numere diferite pe facturile de demnitate egale, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Ei bine, numărați salariul cu monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să se displace fizic: pe diferite monede există o cantitate diferită de murdărie, structura cristalului și locația atomilor Fiecare monedă este unică ...
Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este linia, în spatele căreia elementele de multă se transformă în elemente ale setului și invers? O astfel de față nu există - toată lumea rezolvă șamanii, știința aici și nu se află aproape.
Aici se uită. Luăm stadioane de fotbal cu aceeași zonă de câmp. Zona de câmp este aceeași - înseamnă că avem o multipart. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane - avem multe, deoarece numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât setat și multiset. Cât de corectă? Și aici Matematician-Shaman-Shuller scoate Asul Trump din manșon și începe să ne spună despre set sau despre multiset. În orice caz, ne va convinge dreptul ei.
Pentru a înțelege modul în care șamanii moderni operează teoria seturilor, legați-o în realitate, este suficient să răspundeți la o întrebare: cum sunt elementele unui set diferă de elementele unui alt set? Vă voi arăta, fără nici un "imaginabil ca un singur întreg" sau "nu este grijuliu ca un întreg".
duminică, 18 martie 2018
Cantitatea de numere este un dans al șamanilor cu o tamburină, care nu are nicio legătură cu matematica. Da, în lecțiile de matematică, suntem învățați să găsim cantitatea de numere de numere și să o folosim, dar ei sunt șamani pentru a-ți instrui descendenții cu abilitățile și înțelepciunile lor, altfel șamanii vor fi pur și simplu curățați.
Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți numărul de pagini de numere. Nu exista. Nu există o formulă în matematică la care puteți găsi cantitatea de numere de orice număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice, cu care scriem numere și în limba matematică, sarcina sună așa: "Găsiți suma caracterelor grafice care ilustrează orice număr". Matematica nu poate rezolva această sarcină, dar șamanii sunt elementari.
Să ne ocupăm de ceea ce facem pentru a găsi cantitatea de numere a numărului specificat. Și așa, să avem un număr de 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi numărul de numere ale acestui număr? Luați în considerare toți pașii în ordine.
1. Înregistrați numărul pe bucata de hârtie. Ce am facut? Am transformat numărul în simbolul grafic al numărului. Aceasta nu este o acțiune matematică.
2. Am tăiat o imagine obținută în mai multe imagini care conțin numere individuale. Tăierea imaginilor nu reprezintă o acțiune matematică.
3. Convertesc caracterele grafice individuale în numere. Aceasta nu este o acțiune matematică.
4. Făm numerele. Aceasta este deja matematică.
Cantitatea de numere din 12345 este de 15. Acestea sunt "tăietorii și cursurile de cusut" de la șamanii aplică matematicienii. Dar asta nu este tot.
Din punctul de vedere al matematicii, acesta nu contează în ce sistem numărăm numărul. Deci, in diferite sisteme Numărul de numere de numere de același număr va fi diferit. În matematică, sistemul numeric este indicat sub forma indicelui inferior din partea dreaptă a numărului. Cu un număr mare de 12345, nu vreau să-mi păcălească capul, să ia în considerare numărul 26 al articolului. Noi scriem acest număr în sisteme binare, octale, zecimale și hexazecimale. Nu vom lua în considerare fiecare pas sub microscop, am făcut deja. Să ne uităm la rezultat.
După cum puteți vedea, în diferite sisteme numerice, suma numărului de același număr este obținută diferită. Acest rezultat pentru matematică nu are nimic de-a face. Este ca și cum ați determina zona dreptunghiului în metri și centimetri ați obține rezultate complet diferite.
Zero în toate sistemele de supratensiune arată același lucru și cantitatea de numere nu are. Acesta este un alt argument în favoarea a ceea ce. Întrebare la matematicieni: Cum se indică în matematică că nu este un număr? Ce, pentru matematicieni, nimic altceva decât numerele nu există? Pentru șamanii, pot fi permis, dar pentru oamenii de știință - nu. Realitatea constă nu numai a numerelor.
Rezultatul obținut trebuie considerat dovada că sistemele numerice sunt unități de numere. La urma urmei, nu putem compara numerele cu diferite unități Măsurători. Dacă aceeași acțiune cu diferite unități de măsurare a aceleiași valori duce la rezultate diferite după comparație, înseamnă că nu are nimic de-a face cu matematica.
Ce este matematica reală? Aceasta este atunci când rezultatul acțiunii matematice nu depinde de valoarea numărului utilizat de unitatea de măsură și de cine îndeplinește această acțiune.
Oh! Nu este o toaletă feminină?
- Fata! Acesta este un laborator pentru studiul sfințeniei nedeterminate a sufletelor în ascensiune la cer! Nimbi de sus și săgeată în sus. Ce altcineva?
Femeie ... Nimbi de sus și arogant în jos - este un bărbat.
Dacă în fața ochilor dvs. de câteva ori pe zi clipește, aceasta este lucrarea de designer,
Apoi, nu este surprinzător faptul că în mașina dvs. găsiți brusc o icoană ciudată:
Personal, fac un efort pentru mine să fiu într-o persoană de manșetă (o imagine), pentru a vedea minus patru grade (o compoziție de mai multe imagini: un semn minus, un număr patru, desemnarea de grade). Și nu cred că această fată este un nebun care nu cunoaște fizica. Este pur și simplu un stereotip arc al percepției imaginilor grafice. Și matematica pe care suntem învățați în mod constant. Iată un exemplu.
1a nu este "minus patru grade" sau "unu". Aceasta este o "persoană cufundă" sau numărul de "douăzeci și șase" în sistem hexazecimal Notă. Acei oameni care lucrează în mod constant în acest sistem numeric percep automat cifra și litera ca un simbol grafic.
Complexe integrale
Acest articol completează subiectul integrelor incerte și, în ea, integriile pe care le consider destul de complicate sunt incluse. Lecția a fost creată pe cererile repetate ale vizitatorilor care au exprimat dorințele astfel încât exemplele mai dificile să fie dezmembrate pe site.
Se presupune că cititorul acestui text este bine pregătit și știe cum să aplice principalele tehnici de integrare. Ceaințele și persoanele care nu sunt foarte confidențiale cu integriile ar trebui să fie menționate la prima lecție - Interestru incert. Exemple de soluțiiunde puteți stăpâni subiectul cu aproape zero. Studenții mai experimentați se pot familiariza cu tehnicile și metodele de integrare, care în articolele mele nu s-au întâlnit încă.
Ce integri vor fi luate în considerare?
În primul rând, vom lua în considerare integriile cu rădăcini, pentru a rezolva care este utilizat în mod consecvent Înlocuirea variabilei și integrarea în părți. Aceasta este, într-un exemplu, două recepții sunt combinate. Și încă mai mult.
Apoi ne vom familiariza cu interesant și original informațiile despre metodă integral pentru tine. Această metodă este rezolvată nu atât de puține integrale.
Al treilea număr al programului va merge integral din fracțiuni complexe care au zburat din registrele de numerar din articolele anterioare.
În al patrulea rând, integrale suplimentare din funcțiile trigonometrice vor fi dezasamblate. În special, există metode care vă permit să evitați consumul de timp al unei substituții trigonometrice universale.
(2) În funcția Integrand, număratorul de pe denominator.
(3) Utilizarea proprietății liniarității nu este anumite integrale. În ultimul integral imediat curățați funcția sub semnul diferențialului.
(4) Luați integralele rămase. Rețineți că în logaritm puteți utiliza paranteze, nu un modul, deoarece.
(5) Deținem un înlocuitor, exprimând de la înlocuirea directă "Te":
Studenții masochieni pot indiferent răspunsul și pot obține funcția Integrand Original așa cum am făcut-o. Nu, nu, am îndeplinit verificarea în sensul potrivit \u003d)
După cum puteți vedea, în timpul deciziei, am avut de folosit și mai mult de două decizii ale soluției, deci pentru represalii cu integrele similare, aveți nevoie de abilități de integrare confidențiale și nu cea mai mică experiență.
În practică, desigur, rădăcina pătrată este mai frecventă, aici sunt trei exemple pentru o soluție independentă:
Exemplul 2.
Găsiți un integral nedefinit
Exemplul 3.
Găsiți un integral nedefinit
Exemplul 4.
Găsiți un integral nedefinit
Aceste exemple de același tip, astfel încât soluția completă la sfârșitul articolului va fi numai pentru Exemplul 2, în exemplele 3-4 - un răspuns. Ce înlocuire să se aplice la începutul deciziilor, cred că, evident. De ce am luat același tip de exemple? Adesea găsite în rolul dvs. Mai des, poate, doar ceva de genul 
.
Dar nu întotdeauna, atunci când sunt sub arctgenne, sinus, cosinie, exponențială etc. Caracteristicile sunt rădăcina unei funcții liniare, trebuie aplicate mai multe metode. În unele cazuri, este posibil să "scapi de", adică imediat după înlocuire, se obține un simplu integrat, care este elementar luat. Cea mai ușoară dintre sarcinile propuse sunt exemplul 4, după înlocuire, se dovedește un relativ simplu integrantă.
Informațiile despre metodă integral pentru tine
O metodă spirituală și frumoasă. Luați în considerare imediat clasicul genului:
Exemplul 5.
Găsiți un integral nedefinit
Sub rădăcina se află un biccoon pătrat și când încearcă să integreze acest exemplu, ceainicul poate suferi ore întregi. Un astfel de integral este luat în părți și se apropie de ea însăși. În principiu, nu este dificil. Dacă știi cum.
Denotă de integralul considerat al scrisorii latine și începe soluția: 
Integram în părți: 
(1) Pregătim o funcție de înlocuire pentru diviziunea solului.
(2) Împărțăm funcția de înlocuire. Poate că nu toți în mod clar, voi scrie mai detaliat:
(3) Utilizarea proprietății liniarității intecer integrat.
(4) Luați ultimul logarit integrat ("Long").
Acum ne uităm la începutul deciziei: 
Și la sfârșit: 
Ce s-a întâmplat? Ca urmare a manipulărilor noastre, integralul a ajuns la el însuși!
Noi echivalează începutul și sfârșitul: 
Transferim spre partea stângă cu schimbarea semnului: 
Și demolarea demo-ului în partea dreaptă. Ca urmare: 
Constanta, strict vorbind, a trebuit să fie adăugată mai devreme, dar a atribuit-o la sfârșit. Îți recomand cu tărie citirea a ceea ce este aici pentru o rigoare:
Notă:
O etapă finală mai strictă a soluției arată astfel:
În acest fel:
Constant poate fi reutilizat prin. De ce poți reemitei? Pentru că încă mai ia orice Valori și în acest sens între constante și nu există nici o diferență.
Ca urmare:
Un astfel de truc cu constantă reisit este utilizat pe scară largă în ecuatii diferentiale. Și acolo voi fi strict. Și aici o astfel de libertate este permisă de mine numai pentru a nu vă confunda cu lucruri inutile și să vă concentrați asupra metodei de integrare în sine.
Exemplul 6.
Găsiți un integral nedefinit
Un alt tipic integrat pentru auto-decizii. Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției. Diferența cu răspunsul exemplului anterior va fi!
Dacă rădăcina pătrată este o triplă pătrată, atunci soluția în orice caz este redusă la două exemple dezasamblate.
De exemplu, ia în considerare integrarea 
. Tot ce trebuie să faceți este pre- selectați Piața Full:
.
Apoi, se efectuează o înlocuire liniară, ceea ce costă "fără consecințe":
Ca rezultat, se obține integralul. Ceva familiar, nu?
Sau un astfel de exemplu, cu pătrat Bounced:
Subliniem un pătrat complet:
Și, după înlocuirea liniară, obținem un integral, care este, de asemenea, rezolvată de algoritmul deja luat în considerare.
Luați în considerare încă două exemplu tipic La informațiile de recepție integral pentru tine:
- integral din expozitorul înmulțit cu sinusul;
- Integral din expozitorul înmulțit cu cosinus.
În integrarea enumerată în părți vor trebui integrate de două ori:
Exemplul 7.
Găsiți un integral nedefinit
Funcția Integrand este un exponat înmulțit cu sinusul.
Ne integrăm de două ori în părți și aducem integral pentru tine: 
Ca urmare a integrării în douăzeci în părți, integralul sa ajuns la el însuși. Noi echivalează soluțiile de început și de sfârșit:
Transferim spre partea stângă cu schimbarea semnului și exprimă integralul nostru: 
Gata. De asemenea, este de dorit să se combată partea dreaptă, adică Pentru a face un exponent pentru paranteze și în paranteze pentru a pune sinusul cu cosinus în ordinea "frumoasă".
Acum, să ne întoarcem la începutul exemplului sau mai degrabă - la integrarea în părți: 
Pentru că am desemnat expozantul. Întrebarea apare, este întotdeauna necesar să se refere la expozantul? Nu este necesar. De fapt, în cadrul integrat examinat principiu nicio diferentaLa ce să se refere la, a fost posibil să mergeți la alt mod: 
De ce este posibil? Deoarece expozantul se transformă în sine (și în timpul diferențierii și în timpul integrării), sinusul cu cosinus se deține reciproc (din nou - atât în \u200b\u200btimpul diferențierii, cât și în timpul integrării).
Adică funcția trigonometrică poate fi indicată. Dar, în exemplul examinat, este mai puțin rațional, deoarece vor apărea fracțiunile. Dacă doriți, puteți încerca să rezolvați acest exemplu în al doilea rând, răspunsurile trebuie coincide.
Exemplul 8.
Găsiți un integral nedefinit
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Înainte de a decide, gândiți-vă că este mai profitabil în acest caz pentru a desemna, expunerea sau funcția trigonometrică? Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.
Și, bineînțeles, nu uitați că majoritatea răspunsurilor acestei lecții sunt destul de ușor de verificat diferențierea!
Exemplele nu au fost considerate cele mai dificile. În practică, integrale sunt găsite mai des, în care există o constantă în indicatorul exponent și în argumentul unei funcții trigonometrice, de exemplu:. Gândirea într-un integral similar va trebui să facă mulți, mă confund de multe ori. Faptul este că în rezolvarea probabilității apariției fracțiilor și este foarte pur și simplu ceva intens de pierdut. În plus, probabilitatea de erori în semne este excelentă, vă rugăm să rețineți că în indicatorul exponent există un semn minus, ceea ce face dificultăți suplimentare.
În etapa finală, aproximativ următoarele sunt adesea obținute:
Chiar și la sfârșitul deciziei ar trebui să fie extrem de atent și să se ocupe de fracțiunile: 
Integrarea fracțiilor complexe
Încet, ajungem la ecuatorul de lecție și începem să luăm în considerare integralele din fracțiuni. Din nou, nu toate sunt SPUSWIT, doar pentru un motiv sau alte exemple au fost un pic "nu în subiect" în alte articole.
Continuăm subiectul rădăcinilor
Exemplul 9.
Găsiți un integral nedefinit
În numitor, sub rădăcina se află un pătrat de trei stări plus în afara rădăcinii "Îmbunătățiți" sub formă de "Iksa". Integrarea acestui tip este rezolvată utilizând înlocuirea standard.
Noi decidem: 
Înlocuirea aici este simplă: 
Ne uităm la viață după înlocuire: 
(1) După înlocuire, dau termenii generali de numitor sub rădăcină.
(2) Înălțim de la rădăcină.
(3) Numerator și numitor reducând pe. În același timp, sub rădăcină, am rearanjat componentele într-o ordine confortabilă. Cu un anumit experiment, pașii (1), (2) pot fi săriți prin efectuarea acțiunilor comentate pe cale orală.
(4) Integranul rezultat, pe măsură ce vă amintiți de lecție Integrarea unor fracțiuni, decide. metoda de alocare a unui pătrat complet. Selectați un pătrat complet.
(5) Integrare Obținem un logaritm "lung".
(6) efectuați un înlocuitor. Dacă inițial, apoi înapoi :.
(7) Acțiunea finală vizează coafura rezultatului: sub rădăcină, acestea aduc din nou componentele la numitorul general și îndurarea de la rădăcină.
Exemplul 10.
Găsiți un integral nedefinit 
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Aici, constanta a fost adăugată la singura "ICSU", iar înlocuirea este aproape aceeași: 
Singurul lucru pe care trebuie să-l faceți suplimentar este expres "x" de la înlocuire: 
Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.
Uneori, într-un astfel de integral sub rădăcină, poate exista o bicicletă pătrată, nu schimbă soluția pentru a rezolva, va fi chiar mai ușoară. Simte diferenta:
Exemplul 11.
Găsiți un integral nedefinit
Exemplul 12.
Găsiți un integral nedefinit
Scurte decizii și răspunsuri la sfârșitul lecției. Trebuie remarcat faptul că Exemplul 11 \u200b\u200beste exact binomial integrat, a cărui decizie a fost luată în considerare în lecție Integrals din funcțiile iraționale.
Integral dintr-un polinom nedescoperit al unui grad al doilea în grad
(polinomul în numitor)
Mai rar, dar, totuși, întâlnire exemple practice Tipul integral.
Exemplul 13.
Găsiți un integral nedefinit
Dar reveniți, de exemplu, cu numărul fericit 13 (sincer, nu se potrivește). Acest integral este, de asemenea, din categoria celor cu care puteți fi destul de suficient dacă nu știți cum să rezolvați.
Decizia începe cu transformarea artificială: 
Cum să împărți numitorul la numitor, cred că totul este înțeles.
Integralul rezultat este luat în părți: 
Pentru vizualizarea integrală (- numărul natural) eliminat recurent Formula de reducere a gradului:
Unde 
- Gradul Integral mai mic.
Voi fi convins de justiția acestei formule pentru integrarea profesionată.
În acest caz, :, Folosim formula: 
După cum puteți vedea, răspunsurile coincid.
Exemplul 14.
Găsiți un integral nedefinit
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. În eșantionul soluției, formula menționată mai sus a fost de două ori.
Dacă se află sub gradul independent de multiplicatori Pătrat triplă, atunci soluția se reduce la Bicked prin evidențierea unui pătrat complet, de exemplu:
Ce se întâmplă dacă sunteți suplimentar în numărator există un polinom? În acest caz, se utilizează metoda de coeficienți nedeterminați, iar funcția integrat este descrisă în cantitatea de fracțiuni. Dar în practica mea a unui astfel de exemplu nu m-am întâlnit, așa că am pierdut acest caz in articol Integral din funcția rațională fracționatăMi-e dor de acum. Dacă se întâlnește un astfel de integrare, consultați manualul - totul este simplu acolo. Nu consider că este de competență pentru a include materialul (chiar simplu), probabilitatea de întâlnire cu care se străduiește pentru zero.
Integrarea funcțiilor trigonometrice complexe
Adjectivul "complex" pentru majoritatea exemplelor este în multe privințe condiționate. Să începem cu tangenți și kotangenes în grade înalte. Din punctul de vedere al metodelor de rezolvare a tangentului și a kotangentului, aproape același lucru, așa că voi vorbi mai mult despre tangent, ceea ce înseamnă că recepția demonstrată a soluției integrale este corectă și pentru Cotangent.
Pe lecția de mai sus, am luat în considerare substituția trigonometrică universală Pentru a rezolva un tip specific de integrale din funcțiile trigonometrice. Lipsa unei substituții trigonometrice universale este aceea că atunci când se folosește, apar integriile voluminoase cu calcule dificile. Și, în unele cazuri, de o substituție trigonometrică universală poate fi evitată!
Luați în considerare un alt exemplu canonic, integralul de la unitatea împărțită în sinus:
Exemplul 17.
Găsiți un integral nedefinit
Aici puteți utiliza o substituție trigonometrică universală și puteți obține un răspuns, dar există o cale mai rațională. Voi oferi o soluție completă cu comentarii pentru fiecare pas:
(1) Utilizați formula trigonometrică a sinusului cu unghi dual.
(2) Realizăm o transformare artificială: în numitor, împărțim și multiplicați.
(3) În conformitate cu formula cunoscută din numitor, transformăm fracțiunea în tangentă.
(4) mătură funcția sub semnul diferenței.
(5) Luați integrale.
Cuplu exemple simple Pentru soluții de sine:
Exemplul 18.
Găsiți un integral nedefinit
Notă: Prima acțiune trebuie utilizată cu formula 
Și efectuați cu atenție similar exemplului anterior al acțiunii.
Exemplul 19.
Găsiți un integral nedefinit
Ei bine, acesta este un exemplu complet simplu.
Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.
Cred că acum nimeni nu are probleme cu integrale: 
etc.
Care este ideea metodei? Ideea este că, cu ajutorul transformărilor, formulele trigonometrice de a organiza în tangentele Integrand și un derivat tangent. Adică, este vorba despre înlocuire: 
. În exemplele 17-19, am aplicat de fapt această înlocuire, dar integralele au fost atât de simple încât costă un efect echivalent - pentru a rezuma funcția sub semnul diferenței.
Argumente similare, așa cum am stipulat deja, puteți cheltui pentru Cotangennt.
Există o condiție prealabilă formală pentru utilizarea înlocuirii de mai sus:
Suma gradelor de cosinie și sinus este un număr întreg negativ, de exemplu:
pentru integral - un număr întreg negativ.
Fotografiile! Notă : Dacă funcția Integrand conține numai sinusul sau numai cosinul, atunci integralul este luat într-un grad negativ ciudat (cele mai simple cazuri din exemplele nr. 11, 18).
Luați în considerare câteva sarcini mai informative pentru această regulă:
Exemplul 20.
Găsiți un integral nedefinit
Suma de grade de sinus și cosinus: 2 - 6 \u003d -4 este un număr negativ întreg, ceea ce înseamnă că integralul poate fi redus la tangenți și derivatul său: 
(1) Transformăm numitorul.
(2) În conformitate cu celebra formula, ajungem.
(3) Transformăm numitorul.
(4) Folosim formula 
.
(5) Predarea funcției sub semnul diferenței.
(6) Înlocuiți. Studenții mai experimentați nu pot fi înlocuiți, dar totuși este mai bine să înlocuiți tangentul cu o literă - mai puțin riscul este confuz.
Exemplul 21.
Găsiți un integral nedefinit
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă.
Țineți, începeți rundele campionului \u003d)
Adesea în funcția Integrand este "Solyanka":
Exemplul 22.
Găsiți un integral nedefinit 
În acest integral, tangentul este inițial prezent, care urmărește imediat gândul deja familiar:
Transformarea artificială la început și rămânând pașii rămași fără comentarii, deoarece totul a fost menționat mai sus.
O pereche de exemple creative pentru o soluție independentă:
Exemplul 23.
Găsiți un integral nedefinit 
Exemplul 24.
Găsiți un integral nedefinit 
Da, în ele, desigur, este posibil să se diminueze gradul de sinus, cosinus, să folosească o substituție trigonometrică universală, dar decizia va fi mult mai eficientă și mai scurtă dacă se efectuează prin intermediul tangentelor. Soluție completă și răspunsuri la sfârșitul lecției
Funcția F (x), diferențiată în acest decalaj, se numește perfect pentru funcția F (x) sau prin integrirea de la F (x), dacă pentru orice x ∈x, egalitatea este adevărată:
F "(x) \u003d f (x). (8.1)
Găsirea tuturor primar pentru această caracteristică este numită integrare. Funcție integrată incertăf (x) la acest decalaj se numește setul de toate funcțiile primitive pentru funcția f (x); Denumire -
Dacă f (x) este un fel de funcție funcțională f (x), apoi ∫ f (x) dx \u003d f (x) + c, (8.2)
unde există o constantă arbitrară.
Masa integrală
Direct din definiție obținem proprietățile de bază ale unui integrat incert și o listă de integrale tabulare:
1) d∫f (x) dx \u003d f (x)
2) ∫df (x) \u003d f (x) + c
3) ∫AF (x) dx \u003d a∫f (x) dx (a \u003d const)
4) ∫ (f (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx
Lista integralurilor tabulare
1. ∫x m dx \u003d x m + 1 / (M + 1) + C; (M ≠ -1)
3.A x dx \u003d A x / ln A + C (A\u003e 0, A ≠ 1)
4.∫e x dx \u003d e x + c
5.Sin x dx \u003d cosx + c
6.COS X DX \u003d - SIN X + C
7. \u003d Arctg X + C
8. \u003d Arcsin X + C
10. \u003d - CTG X + C
Înlocuirea variabilei
Pentru integrarea multor funcții, metoda de înlocuire a unei variabile sau substituțiipermițând să aducă parte integrantă la forma tabulară.
Dacă funcția F (z) este continuă la [α, β], funcția z \u003d g (x) are un derivat continuu și α ≤ g (x) ≤ β, atunci
∫ F (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) dz, (8.3)
În plus, după integrare, înlocuirea Z \u003d G (x) trebuie făcută în partea dreaptă.
Pentru a dovedi, este suficient să scrieți integrat sursa sub forma:
∫ F (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (x)) dg (x).
De exemplu:
Metoda de integrare în părți
Lăsați u \u003d f (x) și v \u003d g (x) să fie funcții care sunt continue. Apoi, prin muncă,
d (UV)) \u003d UDV + VDU sau UDV \u003d D (UV) - VDU.
Pentru expresia D (UV), prima, evident, va fi UV, deci formula este:
∫ Udv \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)
Această formulă exprimă regula integrarea în părți. Rezultă în integrarea expresiei UDV \u003d UV "DX pentru a integrima expresia VDU \u003d VU" DX.
Lăsați, de exemplu, trebuie să găsiți ∫xcosx dx. Puneți u \u003d x, dv \u003d cosxdx, astfel încât du \u003d dx, v \u003d sinx. Atunci
∫XCOSXDX \u003d ∫x D (SIN X) \u003d x SIN X - ∫sin x dx \u003d x Sin x + cosx + c.
Regula de integrare în părți are un domeniu mai limitat decât înlocuirea variabilei. Dar există clase întregi de integrare, de exemplu,
∫x k ln m xdx, ∫x k Sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și altele care sunt calculate folosind integrarea în părți.
Anumite integrale
Conceptul unui anumit integral este îmbunătățit după cum urmează. Lăsați funcția F (x) să definească pe segment. Am rupt segmentul [A, B] n. Piese Dots A \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Suma formei F (ξ i) Δ x i se numește suma integrală, și limita sa la λ \u003d maxΔx i → 0, dacă există și este finită, numită Anumite integralefuncții f (x) de la a. inainte de b. Și a indicat:
F (ξ i) Δx i (8.5).
Funcția F (x) în acest caz se numește integrabilă la tăiere, numerele A și B sunt numite limită integrală inferioară și superioară.
Pentru un anumit integral, următoarele proprietăți sunt valide:
4), (k \u003d const, k∈r);
5)
6)
7) F (ξ) (b - a) (ξ∈).
Ultima proprietate este numită Teasea în sensul mediu.
Fie f (x) continuă. Apoi, există un integral nedefinit pe acest segment
∫F (x) dx \u003d f (x) + c
Și are loc formula Newton Labitsa., legarea unui anumit integral cu incert:
F (b) - f (a). (8.6)
Interpretarea geometrică: Un anumit integral este o zonă a trapezului curbilinar, limitată deasupra curbei y \u003d f (x), dreaptă x \u003d a și x \u003d b și segmentul axei BOU..
Integrame nevalide
Sunt numite integrale cu limite infinite și integrale din funcțiile discontinue (nelimitate) incompatibil. Integrame incompatibile de amice - Acestea sunt integrante la un decalaj infinit definit după cum urmează:
(8.7)
Dacă această limită există și este finită, apoi a sunat convergând integral incomplet de la f (x) pe intervalul [A, + ∞) și funcția F (x) este numită integrat la un interval infinit[A, + ∞). Altfel despre integral spune el nu există sau nu diferă.
În același mod, sunt determinate integriile incomprehensibile la intervale (-∞, b] și (-∞, + ∞):
Definim conceptul de integrare din funcția nelimitată. Dacă F (x) este continuu pentru toate valorile x. Tăiat, cu excepția punctului C, în care F (x) are un decalaj nesfârșit, atunci Incompatibil integrat II gen f (x) în intervalul de la A la b Suma se numește:
dacă aceste limite există și sunt finite. Desemnare:
Exemple de calcul integral
Exemplul 3.30. Calculați ∫dx / (x + 2).
Decizie. Denotă de t \u003d x + 2, apoi dx \u003d dt, ∫dx / (x + 2) \u003d ∫dt / t \u003d ln | t | + C \u003d LN | X + 2 | + C.
Exemplul 3.31.. Găsiți ∫ TGXDX.
Decizie.∫ tgxdx \u003d ∫sinx / cosxdx \u003d - ∫dcosx / cosx. Fie t \u003d cosx, apoi ∫ tgxdx \u003d-∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -LN | Cosx | + C.
Exemplu3.32 . Găsiți ∫dx / sinxDecizie.
Exemplu3.33. A găsi .
Decizie. = .
Exemplu3.34 . Găsiți ∫arctgxdx.
Decizie. Integram în părți. Denotă u \u003d arctgx, dv \u003d dx. Apoi du \u003d dx / (x 2 +1), v \u003d x, de unde ∫arctGxdx \u003d xarctGx - ∫ xdx / (x 2 +1) \u003d xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + c; la fel de
∫xdx / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + c.
Exemplu3.35 . Calculați ∫lnxdx.
Decizie. Folosind formula de integrare în părți, obținem:
u \u003d lnx, dv \u003d dx, du \u003d 1 / x dx, v \u003d x. Apoi ∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d Xlnx - ∫dx + c \u003d xlnx - x + C.
Exemplu3.36 . Calculați ∫e x Sinxdx.
Decizie. Denotă u \u003d e x, dv \u003d sinxdx, apoi du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - cosx → ∫ e x sinxdx \u003d - E x cosx + ∫ e x cosxdx. Integral ∫e x cosxdx se integrează în părți: u \u003d e x, dv \u003d cosxdx, du \u003d e x dx, v \u003d sinx. Avem:
∫ E x Cosxdx \u003d E x Sinx - ∫ E x Sinxdx. A primit ∫e x Sinxdx \u003d - E x Cosx + E x Sinx - ∫ E x Sinxdx, de unde 2∫e x Sinx DX \u003d - E x Cosx + E x Sinx + S
Exemplu 3.37. Calculați J \u003d ∫cos (LNX) DX / X.
Decizie.Deoarece DX / X \u003d DLNX, apoi J \u003d ∫COS (LNX) D (LNX). Înlocuirea LNX prin t, ajungem la masa integrală J \u003d ∫ costdt \u003d Sint + C \u003d Sin (LNX) + C.
Exemplu 3.38 . Calculați J \u003d.
Decizie. Având în vedere că \u003d D (lnx), producem substituirea lnx \u003d t. Apoi J \u003d. 
.
Exemplu 3.39
. Calculați integral J \u003d 
.
Decizie.Avem: 
. Prin urmare \u003d.
=
\u003d. Se introduce SO SQRT (Tan (x / 2)).
Și dacă faceți clic pe pașii de spectacol din colțul din dreapta sus, obțineți o soluție detaliată.
