O funcție liniară a unei variabile complexe z este o funcție a formei în care a și 6 primesc numere complexe și a Φ 0. Funcția liniară este definită pentru toate valorile variabilei independente z, are o singură valoare și deoarece funcția inversă este, de asemenea, cu o singură valoare, univalentă în întregul plan z. O funcție liniară este analitică în întregul plan complex, iar derivatul său, prin urmare, cartografierea efectuată la acesta este conformă în întregul plan. O funcție fracțional-liniară este o funcție a formei - date numere complexe, iar funcția fracțional-liniară este definită pentru toate valorile variabilei independente zy cu excepția z = - |, este o singură valoare și, din moment ce funcția inversă Funcțiile elementare ale unei variabile complexe Funcții raționale fracționate Funcția funcției exponențiale legea puterii Funcția logaritmică Funcțiile trigonometrice și hiperbolice au o singură valoare, univalente în întregul plan complex, excluzând punctul z = - În această regiune, funcția (3) este analitică și derivatul său este deci conform. Să extindem definiția funcției (3) la punctul z = - \, punând £) = oo și să atribuim punctul z (oo) = la punctul la infinit w = oo. Atunci funcția fracțională liniară va fi univalentă în planul complex extins z. Exemplul 1. Luați în considerare o funcție liniar-fracțională Rezultă din egalitate că modulele numerelor complexe r și u sunt legate de raport și aceste numere în sine sunt situate pe razele care ies din punctul O și simetrice față de axa reală. În special, punctele cercului unitar | z | = 1 mergeți la punctele cercului unitar L = 1. În acest caz, un număr conjugat este atribuit unui număr complex (Fig. 11). Rețineți, de asemenea, că funcția r = -g mapează punctul la infinit r - oo la punctul zero r - 0. 2.2. Funcția de putere Funcția de putere în care n este un număr natural, analitic în întregul plan complex; derivata sa = nzn ~] pentru n> 1 este diferită de zero în toate punctele, cu excepția z = 0. Scriind w și z în formă exponențială în formula (4), obținem din formula (5) că numerele complexe Z \ și z2 astfel încât unde k este un număr întreg mergeți la un punct w. Prin urmare, pentru n> 1, maparea (4) nu este univalentă pe planul z. Cel mai simplu exemplu de domeniu în care maparea ry = zn este univalentă este sectorul în care a este orice număr real. În domeniul (7), maparea (4) este conformă. - multivalor, deoarece pentru fiecare număr complex z = r1 în Φ 0 se pot specifica n numere complexe diferite astfel încât gradul al n-lea este egal cu z: Rețineți că un polinom de grad n al unei variabile complexe z este o funcție în care sunt date numere complexe, și ao Φ 0. Un polinom de orice grad este o funcție analitică pe întregul plan complex. 2.3. Funcția fracțional-rațională O funcție fracțional-rațională este o funcție a formei în care) sunt polinoame ale unei variabile complexe z. Funcția rațională fracționară este analitică în întregul plan, cu excepția acelor puncte în care numitorul Q (z) dispare. Exemplul 3. Funcția lui Zhukovsky __ este analitică în întregul plan z, excluzând punctul z = 0. Să aflăm condițiile de pe regiunea planului complex în care funcția lui Zhukovsky considerată în această regiune va fi univalentă. M Fie ca punctele Z) și zj să fie luate de funcția (8) într-un punct. Apoi, pentru, obținem că Prin urmare, pentru univalența funcției Zhukovsky, este necesar și suficient pentru a satisface condiția. Un exemplu de domeniu care îndeplinește condiția de univalență (9) este exteriorul cercului | z | > 1. Deoarece derivata funcției Zhukovsky Funcțiile elementare ale unei variabile complexe Funcțiile raționale fracționate Funcția puterii Funcția exponențială Funcția logaritmică Funcțiile trigonometrice și hiperbolice sunt diferite de zero peste tot, cu excepția punctelor, cartografierea regiunii efectuată de această funcție va fi conformă (Fig. 13). Rețineți că interiorul discului de unitate | I este, de asemenea, domeniul de univalență al funcției Zhukovsky. Orez. 13 2.4. Funcția exponențială Funcția exponențială ez este definită pentru orice număr complex z = x + zy după cum urmează: Pentru x = 0, obținem formula Euler: Să descriem principalele proprietăți ale funcției exponențiale: 1. Pentru z real această definiție este la fel ca de obicei. Acest lucru poate fi verificat direct prin setarea y = 0. 2. Funcția ez este analitică pe întregul plan complex, iar formula obișnuită de diferențiere rămâne pentru ea 3. Teorema adunării este păstrată pentru funcția e. Punem 4. Funcția ez este periodică cu o perioadă principală imaginară 2xi. Într-adevăr, pentru orice număr întreg k Pe de altă parte, dacă atunci din definiția (10) rezultă că de unde rezultă că sau unde n este un număr întreg. Banda nu conține o singură pereche de puncte conectate prin relația (12), prin urmare, din studiul efectuat rezultă că maparea w = e "este o linie în bandă (Fig. 14). Ca derivată, aceasta maparea este conformă. Observație. Funcția rg este univalentă în orice bandă 2.5. Funcția logaritmică Din ecuația unde este dată, necunoscutul, obținem Prin urmare Funcția, inversul funcției este definită pentru oricare și este reprezentată de formula în care funcția multivalorată se numește logaritmică și se notează după cum urmează. Apoi obținem formula 2.6 pentru Ln z. Funcțiile trigonometrice și hiperbolice Din formula lui Euler (11) pentru y real obținem De unde definim funcțiile trigonometrice sin z și cos z pentru orice complex numărul z prin intermediul următoarelor formule: Sinusul și cosinusul unui argument complex au proprietăți interesante. Să le enumerăm pe cele principale. Funcțiile sinz și cos z: 1) pentru real x z-x coincid cu sinusurile și cosinusurile obișnuite; 2) sunt analitice pe întregul plan complex; 3) respectați formulele obișnuite de diferențiere: 4) periodic cu o perioadă de 2m; 5) sin z este o funcție impar, iar cos z este o funcție pare; 6) se păstrează relațiile trigonometrice obișnuite. Toate proprietățile enumerate sunt ușor de obținut din formule (15). Funcțiile tgz și ctgz din domeniul complex sunt definite de formule, iar funcțiile hiperbolice sunt definite de formulele "Funcțiile hiperbolice sunt strâns legate de funcțiile trigonometrice. Această conexiune este exprimată prin următoarele egalități: Sinusul și cosinusul unui argument complex au o proprietate mai importantă: pe planul complex | \, iau pozitiv în mod arbitrar mare Folosind proprietățile 6 și formulele (18), obținem că Funcțiile elementare ale unei variabile complexe Funcțiile raționale fracționate Funcția puterii Funcția exponențială Funcția logaritmică Funcțiile trigonometrice și hiperbolice De unde presupunem , avem Exemplul 4. Este ușor să verificăm că -4 Într-adevăr,

11 Funcțiile de bază ale unei variabile complexe

Să ne amintim definiția exponentului complex -. Atunci

Extinderea seriei Maclaurin. Raza de convergență a acestei serii este + ∞, ceea ce înseamnă că exponentul complex este analitic pe întregul plan complex și

(exp z) "= exp z; exp 0 = 1. (2)

Prima egalitate de aici rezultă, de exemplu, din teorema diferențierii termen cu termen pentru o serie de puteri.

11.1 Funcții trigonometrice și hiperbolice

Variabilă complexă sinusoidală numită funcție

Cosinusul unei variabile complexe există o funcție

Sinusul hiperbolic al unei variabile complexe definit astfel:

Cosinusul hiperbolic al unei variabile complexe este o funcție

Să notăm câteva proprietăți ale funcțiilor nou introduse.

A. Dacă x∈ ℝ, atunci cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ.

B. Există următoarea conexiune între funcțiile trigonometrice și hiperbolice:

cos iz = ch z; sin iz = ish z, ch iz = cos z; sh iz = isin z.

B. Identități trigonometrice și hiperbolice de bază:

cos 2 z + sin 2 z = 1; ch 2 z-sh 2 z = 1.

Dovada identității hiperbolice principale.

Identitatea trigonometrică principală rezultă din identitatea hiperbolică principală atunci când se ia în considerare conexiunea dintre funcțiile trigonometrice și hiperbolice (vezi proprietatea B)

G Formule de adăugare:

În special,

D. Pentru a calcula derivatele funcțiilor trigonometrice și hiperbolice, ar trebui să se aplice teorema diferențierii termen cu termen a unei serii de puteri. Primim:

(cos z) "= - sin z; (sin z)" = cos z; (ch z) "= sh z; (sh z)" = ch z.

E. Funcțiile cos z, ch z sunt pare, iar funcțiile sin z, sh z sunt impare.

G. (Periodicitate) Funcția e z este periodică cu o perioadă de 2π i. Funcțiile cos z, sin z sunt periodice cu o perioadă de 2π, iar funcțiile ch z, sh z sunt periodice cu o perioadă de 2πi. În plus,

Aplicând formulele de sumă, obținem

Z. Descompuneri în părți reale și imaginare:

Dacă o funcție analitică cu o singură valoare f (z) mapează bijectiv un domeniu D pe un domeniu G, atunci D este numit domeniu de schlichtness.

ȘI. Domeniul D k ​​= (x + iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Dovadă. Din relația (5) rezultă că maparea exp: D k → ℂ este injectivă. Fie w orice număr complex diferit de zero. Apoi, rezolvarea ecuațiilor e x = | w | și e iy = w / | w | cu variabile reale x și y (alegeți y dintr-un interval de jumătate)