Metoda pentru determinarea extremului condițional începe cu construirea unei funcții auxiliare Lagrange, care, în regiunea soluțiilor fezabile, atinge un maxim pentru aceleași valori ale variabilelor X 1 , X 2 , ..., X n ca funcție obiectivă z ... Să se rezolve problema determinării extremului condițional al funcției z = f (X) cu restricții φ eu ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0, eu = 1, 2, ..., m , m < n

Să alcătuim funcția

Care e numit funcția Lagrange. X , - factori constanți ( Multiplicatori Lagrange). Rețineți că multiplicatorilor Lagrange li se poate da semnificație economică. Dacă f (x 1 , X 2 , ..., X n ) - venituri conforme planului X = (x 1 , X 2 , ..., X n ) și funcția φ eu (X 1 , X 2 , ..., X n ) - costurile primei resurse corespunzătoare acestui plan, atunci X , este prețul (estimarea) resursei i-a, care caracterizează schimbarea valorii extreme a funcției obiective în funcție de modificarea dimensiunii resursei i (estimare marginală). L (X) - funcție n + m variabile (X 1 , X 2 , ..., X n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) ... Determinarea punctelor staționare ale acestei funcții duce la soluționarea sistemului de ecuații

Este ușor de văzut asta ... Astfel, problema găsirii extremumului condițional al funcției z = f (X) se reduce la găsirea extremului local al funcției L (X) ... Dacă se găsește un punct staționar, atunci problema existenței unui extremum în cele mai simple cazuri este rezolvată pe baza unor condiții suficiente pentru un extremum - o investigație a semnului celui de-al doilea diferențial d 2 L (X) la un punct staționar, cu condiția ca variabila să crească Δx eu - sunt legate de relații

obținută prin diferențierea ecuațiilor de comunicare.

Rezolvarea unui sistem de ecuații neliniare în două necunoscute folosind instrumentul Solution Search

Personalizare Găsirea unei soluții vă permite să găsiți o soluție la un sistem de ecuații neliniare cu două necunoscute:

Unde
- funcția neliniară a variabilelor X și y ,
este o constantă arbitrară.

Se știe că perechea ( X , y ) este o soluție la sistemul de ecuații (10) dacă și numai dacă este o soluție la următoarea ecuație cu două necunoscute:

CU pe de altă parte, soluția la sistemul (10) este punctul de intersecție a două curbe: f ] (X, y) = C și f 2 (x, y) = C 2 la suprafață NSDa.

Aceasta implică o metodă de găsire a rădăcinilor sistemului. ecuații neliniare:

Determinați (cel puțin aproximativ) intervalul de existență al unei soluții la sistemul de ecuații (10) sau ecuație (11). Aici este necesar să se ia în considerare forma ecuațiilor incluse în sistem, domeniul definiției fiecărei ecuații a acestora etc. Uneori se folosește selecția aproximării inițiale a soluției;

Tabelează soluția ecuației (11) în variabilele x și y pe intervalul selectat sau construiește grafice de funcții f 1 (X, y) = C și f 2 (x, y) = C 2 (sistem (10)).

Localizați rădăcinile asumate ale sistemului de ecuații - găsiți mai multe valori minime din tabelul tabelând rădăcinile ecuației (11) sau determinați punctele de intersecție ale curbelor incluse în sistem (10).

4. Găsiți rădăcinile sistemului de ecuații (10) folosind suplimentul Căutați o soluție.

Clasificarea problemelor de programare matematică

PROGRAMARE

METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR NELINEARE

Întrebări de securitate pentru secțiunea 4

Schema de soluționare a problemelor de transport

Să enumerăm principalele etape ale rezolvării problemei de transport.

1. Verificați starea închisă. Dacă sarcina este deschisă, tabelul de transport este completat fie cu o coloană de punct de consum fictiv, fie cu un rând de furnizor fictiv.

2. Construiți un plan de referință.

3. Verificați planul de referință pentru nedegenerare. Dacă nu există suficientă celulă ocupată pentru a satisface condiția de nedegenerare, una dintre celulele tabelului de transport este umplută cu o livrare egală cu zero. Dacă este necesar, este permisă înregistrarea livrărilor zero în mai multe celule.

4. Planul este verificat pentru optimitate.

5. Dacă nu sunt îndeplinite condițiile de optimitate, continuați cu planul următor prin redistribuirea consumabilelor. Procesul de calcul se repetă până când se obține planul optim.

1. Care este semnificația funcției obiective în modelul matematic al problemei de transport?

2. Care este semnificația restricțiilor în modelul matematic al problemei de transport?

3. Este posibil să se aplice metoda potențialelor pentru a rezolva o problemă de transport deschisă (non-închisă)?

4. Ce modificări trebuie făcute tabelului de transport original, astfel încât problema să poată fi rezolvată prin metoda potențială?

5. Care este esența metodei elementului minim? Ce etapă de rezolvare a problemei de transport va fi finalizată ca urmare a aplicării acestei metode?

6. Cum știi dacă planul de transport este optim?

7. Când și cum este necesară redistribuirea livrărilor în ceea ce privește transportul?

8. Să presupunem că planul de transport construit este degenerat. Este posibil să continuăm să rezolvăm problema prin metoda potențialelor și ce trebuie făcut pentru aceasta?

Problema generală a programării matematice a fost formulată în secțiunea 1.1. În funcție de tipul de funcții incluse în modelul (1.1) - (1.3), problema se referă la unul sau alt tip de programare matematică. Distingeți între programare liniară (toate funcțiile sunt liniare), întreg (soluția este reprezentată de numere întregi), pătratic (funcția obiectiv este o formă pătratică), neliniar (cel puțin una dintre funcțiile problemei este neliniar) și programare stocastică ( sunt incluși parametrii de natură probabilistică).

Clasa problemelor de programare neliniară este mai largă decât clasa modelelor liniare. De exemplu, costurile de producție, în majoritatea cazurilor, nu sunt proporționale cu volumul producției, dar depind de acesta neliniar, venitul din vânzarea produselor de producție se dovedește a fi o funcție neliniară a prețurilor etc. Criteriile pentru probleme de planificare optime sunt adesea profitul maxim, costul minim și cheltuielile de capital minime. Volumele de producție ale diferitelor tipuri de produse sunt utilizate ca variabile. Numărul de restricții include funcții de producție care caracterizează relația dintre producția produsului și costul forței de muncă și a resurselor materiale, al căror volum este limitat.

Spre deosebire de programarea liniară, care utilizează o metodă de soluție universală (metoda simplex), există o gamă întreagă de metode pentru rezolvarea problemelor neliniare, în funcție de forma funcțiilor incluse în model. Din întreaga varietate de metode, vom lua în considerare doar două: metoda Lagrange și metoda de programare dinamică.

CU Esența metodei Lagrange este de a reduce problema unui extrem condițional la rezolvarea problemei unui extrem necondiționat. Luați în considerare un model de programare neliniar:

(5.2)

Unde - funcții cunoscute,

dar - coeficienți dați.

Rețineți că în această formulare a problemei, constrângerile sunt date de egalități; nu există nicio condiție pentru non-negativitatea variabilelor. În plus, presupunem că funcțiile sunt continue cu primele lor derivate parțiale.

Transformăm condițiile (5.2) în așa fel încât pe partea stângă sau dreaptă a egalităților să existe zero:

(5.3)

Să alcătuim funcția Lagrange. Include funcția obiectivă (5.1) și laturile din dreapta ale constrângerilor (5.3), luate respectiv cu coeficienții ... Vor exista atât de mulți coeficienți Lagrange, cât există constrângeri în problemă.

Punctele extreme ale funcției (5.4) sunt puncte extrem ale problemei inițiale și invers: planul optim al problemei (5.1) - (5.2) este punctul extrem extrem global al funcției Lagrange.

Într-adevăr, să se găsească soluția problemei (5.1) - (5.2), atunci sunt îndeplinite condițiile (5.3). Înlocuiți planul în funcțiune (5.4) și verificați validitatea egalității (5.5).

Astfel, pentru a găsi planul optim al problemei inițiale, este necesar să se investigheze funcția Lagrange pentru extremum. Funcția are valori extreme în punctele în care derivatele sale parțiale sunt egale zero... Astfel de puncte sunt numite staționar.

Să definim derivatele parțiale ale funcției (5.4)

,

.

După echivalare zero derivate, obținem sistemul m + n ecuații cu m + n necunoscut

, (5.6)

În cazul general, sistemul (5.6) - (5.7) va avea mai multe soluții, care vor include toate valorile maxime și minime ale funcției Lagrange. Pentru a evidenția maximul sau minimul global, valorile funcției obiective sunt calculate în toate punctele găsite. Cea mai mare dintre aceste valori va fi maximul global, iar cea mai mică va fi minimul global. În unele cazuri se dovedește utilizare posibilă condiții suficiente pentru un extremum strict funcții continue (a se vedea problema 5.2 de mai jos):

funcția să fie continuă și de două ori diferențiată în unele vecinătăți ale punctului său staționar (adică)). Apoi:

dar) dacă ,(5.8)

atunci este punctul maximului strict al funcției;

b) dacă ,(5.9)

atunci este punctul strict strict al funcției;

G ) dacă ,

atunci întrebarea prezenței unui extremum rămâne deschisă.

În plus, unele soluții ale sistemului (5.6) - (5.7) pot fi negative. Ceea ce este incompatibil cu sensul economic al variabilelor. În acest caz, ar trebui să luați în considerare posibilitatea înlocuirii valorilor negative cu zero.

Semnificația economică a multiplicatorilor Lagrange. Valoare multiplicatoare optimă arată cât de mult se va schimba valoarea criteriului Z la creșterea sau scăderea resursei j cu o unitate, din moment ce

Metoda Lagrange poate fi aplicată și atunci când constrângerile sunt inegalități. Deci, găsirea extremumului funcției în condiții

,

efectuați în mai multe etape:

1. Determinați punctele staționare ale funcției obiective, pentru care rezolvă sistemul de ecuații

.

2. Din punctele staționare selectați-le pe ale căror coordonate îndeplinesc condițiile

3. Metoda Lagrange este utilizată pentru a rezolva problema cu constrângeri de egalitate (5.1) - (5.2).

4. Explorați punctele găsite în a doua și a treia etapă pentru maximul global: comparați valorile funcției obiective în aceste puncte - cea mai mare valoare corespunde planului optim.

Sarcina 5.1 Să rezolvăm problema 1.3, luată în considerare în prima secțiune, prin metoda Lagrange. Distribuția optimă a resurselor de apă este descrisă printr-un model matematic

.

Să alcătuim funcția Lagrange

Să găsim maximul necondiționat al acestei funcții. Pentru a face acest lucru, calculăm derivatele parțiale și le echivalăm cu zero

,

Astfel, am obținut un sistem de ecuații liniare ale formei

Soluția la sistemul de ecuații reprezintă planul optim de distribuție a resurselor de apă în zonele irigate.

Valorile sunt măsurate în sute de mii de metri cubi. - valoarea venitului net pe o sută de mii de metri cubi de apă pentru irigații. Prin urmare, prețul marginal de 1 m 3 de apă pentru irigații este egal cu den. unități

Venitul net suplimentar maxim din irigații va fi

160 12,26 2 + 7600 12,26-130 8,55 2 + 5900 8,55-10 16,19 2 + 4000 16,19 =

172391.02 (unități monetare)

Sarcina 5.2 Rezolvați o problemă de programare neliniară

Reprezentăm restricția sub forma:

.

Să alcătuim funcția Lagrange și să-i definim derivatele parțiale

.

Pentru a determina punctele staționare ale funcției Lagrange, derivatele sale parțiale ar trebui să fie echivalate cu zero. Ca rezultat, obținem sistemul de ecuații

CU Esența metodei Lagrange este de a reduce problema unui extrem condițional la rezolvarea problemei unui extrem necondiționat. Luați în considerare un model de programare neliniar:

(5.2)

Unde
- funcții cunoscute,

dar
- coeficienți dați.

Rețineți că în această formulare a problemei, constrângerile sunt date de egalități; nu există nicio condiție pentru non-negativitatea variabilelor. În plus, presupunem că funcțiile
sunt continue cu primele lor derivate parțiale.

Transformăm condițiile (5.2) în așa fel încât pe partea stângă sau dreaptă a egalităților să existe zero:

(5.3)

Să alcătuim funcția Lagrange. Include funcția obiectivă (5.1) și laturile din dreapta ale constrângerilor (5.3), luate respectiv cu coeficienții
... Vor exista atât de mulți coeficienți Lagrange, cât există constrângeri în problemă.

Punctele extrem de funcție (5.4) sunt puncte extreme ale problemei inițiale și invers: planul optim al problemei (5.1) - (5.2) este punctul extrem extrem global al funcției Lagrange.

Într-adevăr, să se găsească soluția
problemei (5.1) - (5.2), atunci sunt îndeplinite condițiile (5.3). Înlocuiți planul
în funcțiune (5.4) și verificați validitatea egalității (5.5).

Astfel, pentru a găsi planul optim al problemei inițiale, este necesar să se investigheze funcția Lagrange pentru extremum. Funcția are valori extreme în punctele în care derivatele sale parțiale sunt egale zero... Astfel de puncte sunt numite staționar.

Să definim derivatele parțiale ale funcției (5.4)

,

.

După echivalare zero derivate, obținem sistemul m + n ecuații cu m + n necunoscut

,(5.6)

În cazul general, sistemul (5.6) - (5.7) va avea mai multe soluții, care vor include toate valorile maxime și minime ale funcției Lagrange. Pentru a evidenția maximul sau minimul global, valorile funcției obiective sunt calculate la toate punctele găsite. Cea mai mare dintre aceste valori va fi maximul global, iar cea mai mică va fi minimul global. În unele cazuri este posibil să se utilizeze condiții suficiente pentru un extremum strict funcții continue (a se vedea problema 5.2 de mai jos):

lăsați funcția
continuă și de două ori diferențiată în vreun cartier al punctului său staționar (acestea.
)). Apoi:

dar ) dacă
, (5.8)

apoi Este punctul maxim strict al funcției
;

b) dacă
, (5.9)

apoi Este punctul minim strict al funcției
;

G ) dacă
,

atunci întrebarea prezenței unui extremum rămâne deschisă.

În plus, unele soluții ale sistemului (5.6) - (5.7) pot fi negative. Ceea ce este incompatibil cu sensul economic al variabilelor. În acest caz, ar trebui să luați în considerare posibilitatea înlocuirii valorilor negative cu zero.

Semnificația economică a multiplicatorilor Lagrange. Valoare multiplicatoare optimă
arată cât de mult se va schimba valoarea criteriului Z atunci când crește sau scade resursa j cu o unitate, din moment ce

Metoda Lagrange poate fi aplicată și atunci când constrângerile sunt inegalități. Deci, găsirea extremumului funcției
în condiții

,

efectuați în mai multe etape:

1. Determinați punctele staționare ale funcției obiective, pentru care rezolvă sistemul de ecuații

.

2. Din punctele staționare selectați-le pe ale căror coordonate îndeplinesc condițiile

3. Metoda Lagrange este utilizată pentru a rezolva problema cu constrângeri de egalitate (5.1) - (5.2).

4. Explorați punctele găsite în a doua și a treia etapă pentru maximul global: comparați valorile funcției obiective în aceste puncte - cea mai mare valoare corespunde planului optim.

Sarcina 5.1 Să rezolvăm problema 1.3, luată în considerare în prima secțiune, prin metoda Lagrange. Distribuția optimă a resurselor de apă este descrisă printr-un model matematic

.

Să alcătuim funcția Lagrange

Să găsim maximul necondiționat al acestei funcții. Pentru a face acest lucru, calculăm derivatele parțiale și le echivalăm cu zero

,

Astfel, am obținut un sistem de ecuații liniare ale formei

Soluția la sistemul de ecuații reprezintă planul optim pentru distribuirea resurselor de apă pe suprafețele irigate.

, .

Cantitățile
măsurată în sute de mii de metri cubi.
- valoarea venitului net pe o sută de mii de metri cubi de apă pentru irigații. Prin urmare, prețul marginal de 1 m 3 de apă pentru irigații este egal cu
den. unități

Venitul net suplimentar maxim din irigații va fi

160 12,26 2 + 7600 12,26-130 8,55 2 + 5900 8,55-10 16,19 2 + 4000 16,19 =

172391.02 (unități monetare)

Sarcina 5.2 Rezolvați o problemă de programare neliniară

Reprezentăm restricția sub forma:

.

Să alcătuim funcția Lagrange și să-i definim derivatele parțiale

.

Pentru a determina punctele staționare ale funcției Lagrange, derivatele sale parțiale ar trebui să fie echivalate cu zero. Ca rezultat, obținem sistemul de ecuații

.

Din prima ecuație rezultă

. (5.10)

Expresie înlocuiți în a doua ecuație

,

de unde urmează două soluții :

și
. (5.11)

Înlocuind aceste soluții în a treia ecuație, obținem

,
.

Valorile multiplicatorului Lagrange și ale necunoscutului calculăm prin expresii (5.10) - (5.11):

,
,
,
.

Astfel, am obținut două puncte extreme:

;
.

Pentru a afla dacă aceste puncte sunt puncte maxime sau minime, folosim condițiile suficiente pentru un extremum strict (5.8) - (5.9). Pre-exprimare pentru , obținut din constrângerea modelului matematic, îl substituim funcției obiective

,

. (5.12)

Pentru a verifica condițiile pentru un extremum strict, ar trebui să se determine semnul celei de-a doua derivate a funcției (5.11) la punctele extreme pe care le-am găsit
și
.

,
;

.

Prin urmare, (·)
este punctul minim al problemei inițiale (
), dar (·)
- punctul maxim.

Plan optim:

,
,
,

.

• Tutorial

Bună ziua tuturor. În acest articol vreau să arăt una dintre metode grafice construind modele matematice pentru sistemele dinamice, care se numește Grafic de legătură(„Bond” - legături, „grafic” - grafic). În literatura rusă, am găsit descrieri ale acestei metode numai în Manualul Universității Politehnice din Tomsk, A.V. Voronin "MODELAREA SISTEMELOR MECATRONICE" 2008 Arată, de asemenea, metoda clasică prin ecuația Lagrange de tipul doi.

Metoda Lagrange

Nu voi descrie teoria, voi arăta etapele calculelor și cu câteva comentarii. Personal, mi se pare mai ușor să învăț din exemple decât să citesc teoria de 10 ori. Mi s-a părut că în literatura rusă, explicația acestei metode și, într-adevăr, matematica sau fizica în general, este foarte plină de formule complexe, ceea ce necesită în consecință un fond matematic serios. În timp ce studiam metoda Lagrange (studiez la Universitatea Politehnică din Torino, Italia), am studiat literatura rusă pentru a compara metodele de calcul și mi-a fost greu să urmăresc progresul soluției acestei metode. Chiar și amintind cursurile de modelare de la Institutul de aviație din Harkov, derivarea unor astfel de metode a fost foarte greoaie și nimeni nu s-a deranjat în încercarea de a înțelege această problemă. Iată ce am decis să scriu, un manual pentru construirea de modele matematice în conformitate cu Lagrange, deoarece s-a dovedit că nu a fost deloc dificil, este suficient să știm cum să calculăm derivatele de timp și derivatele parțiale. Pentru modele mai complexe, se adaugă matrici de rotație, dar nici ele nu sunt complicate.

Caracteristicile metodelor de modelare:

• Newton-Euler: ecuații vectoriale bazate pe echilibru dinamic fortași momente
• Lagrange: ecuații scalare bazate pe funcții de stare asociate cu cinetica și potențialul energie (energii)
• Bond Earl: metodă bazată pe curent putereîntre elementele sistemului

Sa incepem cu exemplu simplu... Greutate cu arc și amortizor. Neglijăm forța gravitației.

Fig 1... Greutate cu arc și amortizor

În primul rând, desemnăm:

• sistemul inițial de coordonate(NSK) sau sk fix R0 (i0, j0, k0)... Unde? Puteți să aruncați degetul în cer, dar trăgând de vârfurile neuronilor din creier, ideea este să puneți NSC pe linia de mișcare a corpului M1.
• sisteme de coordonate pentru fiecare corp cu masa(avem M1 R1 (i1, j1, k1)), orientarea poate fi arbitrară, dar de ce să ne complicăm viața, o punem cu o diferență minimă față de NSC
• coordonate generalizate q_i(numărul minim de variabile prin care mișcarea poate fi descrisă), în acest exemplu, o coordonată generalizată, mișcare numai de-a lungul axei j

Fig 2... Atribuim sisteme de coordonate și coordonate generalizate

Fig 3... Poziția și viteza corpului M1

Apoi găsim energiile cinetice (C) și potențiale (P) și funcția disipativă (D) pentru amortizor prin formule:

Fig 4... Formula completă a energiei cinetice

În exemplul nostru, nu există rotație, a doua componentă este 0.

Fig 5... Calculul energiei cinetice, potențiale și a funcției disipative

Ecuația Lagrange are următoarea formă:

Fig. 6... Ecuația Lagrange și Lagrangian

Delta W_i Acest munca virtuală perfectă prin forțele și momentele aplicate. Să-l găsim:

Fig. 7... Calculul muncii virtuale

Unde delta q_1 mișcare virtuală.

Înlocuim totul în ecuația Lagrange:

Fig 8... Modelul de masă rezultat cu arc și amortizor

Aici s-a încheiat metoda Lagrange. După cum puteți vedea, nu este atât de dificil, dar este totuși un exemplu foarte simplu, pentru care metoda Newton-Euler ar fi cel mai probabil chiar mai simplă. Pentru sistemele mai complexe, unde vor exista mai multe corpuri rotite unele față de altele la unghiuri diferite, metoda Lagrange va fi mai ușoară.

Metoda graficului de legătură

Voi arăta imediat că așa arată modelul în graficul de legătură pentru un exemplu cu masa unui arc și un amortizor:

Fig 9... Masele cu grafic de legătură cu arc și amortizor

Aici trebuie să spuneți o mică teorie, care este suficientă pentru a construi modele simple... Dacă cineva este interesat, puteți citi cartea ( Metodologia graficului de legături) sau ( Voronin A.V. Modelarea sistemelor mecatronice: un tutorial. - Tomsk: Editura Universității Politehnice din Tomsk, 2008).

Să definim mai întâi că sistemele complexe constau din mai multe domenii. De exemplu, un motor electric este compus din piese sau domenii electrice și mecanice.

Grafic de legătură bazat pe schimbul de putere între aceste domenii, subsisteme. Rețineți că schimbul de putere, de orice formă, este întotdeauna determinat de două variabile ( putere variabilă) cu ajutorul cărora putem studia interacțiunea diferitelor subsisteme ca parte a unui sistem dinamic (vezi tabelul).

După cum puteți vedea din tabel, expresia puterii este aproape aceeași peste tot. În concluzie, Putere- Acest lucru " flux - f" pe " efort - e».

Un efort(eng. efort) în domeniul electric, acesta este tensiunea (e), în domeniul mecanic, forța (F) sau momentul (T), iar în hidraulică, presiunea (p).

curgere(eng. curgere) în domeniul electric este curentul (i), în domeniul mecanic este viteza (v) sau viteza unghiulară (omega), în hidraulică este fluxul de debit sau debitul (Q).

Luând aceste denumiri, obținem o expresie a puterii:

Fig 10... Formula puterii în termeni de variabile de putere

În limbajul graficului legăturilor, conexiunea dintre două subsisteme care schimbă puterea este reprezentată de o legătură (eng. legătură). De aceea se numește aceasta metoda grafic de legătură sau r raf-conexiuni, grafic conectat... Considera diagramă bloc conexiuni într-un model cu motor electric (acesta nu este încă un grafic de legătură):

Fig 11... Diagrama bloc a fluxului de putere între domenii

Dacă avem o sursă de tensiune, atunci, în consecință, aceasta generează tensiune și o dă motorului pentru derulare (prin urmare săgeata este direcționată spre motor), în funcție de rezistența înfășurării, apare un curent conform legii lui Ohm (direcționat de la motor la sursă). În consecință, o variabilă este o intrare în subsistem, iar a doua trebuie să fie Ieșire din subsistem. Aici tensiunea ( efort) - curentul de intrare ( curgere) - Ieșire.

Dacă utilizați o sursă curentă, cum se va schimba diagrama? Dreapta. Curentul va fi direcționat către motor și tensiunea către sursă. Apoi curentul ( curgere) - tensiune de intrare ( efort) - Ieșire.

Luați în considerare un exemplu în mecanică. Forța care acționează asupra masei.

Fig 12... Forța aplicată masei

Diagrama bloc va fi după cum urmează:

Fig. 13... Diagramă bloc

În acest exemplu, Forța ( efort) Este variabila de intrare pentru masă. (Forța aplicată masei)
Conform celei de-a doua legi a lui Newton:

Masa întâlnește viteza:

În acest exemplu, dacă o variabilă ( putere - efort) este un Intrareîntr-un domeniu mecanic, apoi o altă variabilă de putere ( viteză - curgere) - devine automat Ieșire.

Pentru a distinge unde este intrarea și unde este ieșirea, o linie verticală este utilizată la capătul săgeții (conexiune) dintre elemente, această linie este numită semn de cauzalitate sau cauzalitate (cauzalitate). Se pare că forța aplicată este cauza, iar viteza este efectul. Acest semn este foarte important pentru construirea corectă a unui model de sistem, deoarece cauzalitatea este o consecință a comportamentului fizic și a schimbului de puteri a două subsisteme, prin urmare, alegerea locației semnului de cauzalitate nu poate fi arbitrară.

Fig 14... Notare cauzală

Această linie verticală arată care subsistem primește efortul ( efort) și, în consecință, produc un flux ( curgere). În exemplul cu masă va fi așa:

Fig 14... Relația cauzală pentru forța care acționează asupra masei

Este clar din săgeată că la intrarea pentru masă - putere iar ieșirea este viteză... Acest lucru se face pentru a nu aglomera diagrama cu săgeți și a sistematiza construcția modelului.

Următorul punct important. Impuls generalizat(cantitatea de mișcare) și in miscare(variabile de energie).

Tabel cu variabile de putere și energie în diferite domenii

Tabelul de mai sus introduce două mărimi fizice suplimentare utilizate în metoda graficului de legătură. Sunt chemați impuls generalizat (R) și mișcare generalizată (q) sau variabile de energie și pot fi obținute prin integrarea variabilelor de putere în timp:

Fig 15... Relația dintre variabilele de putere și energie

În domeniul electric :

Pe baza legii lui Faraday, Voltaj la capetele unui conductor este egal cu derivata fluxului magnetic prin acest conductor.

DAR Puterea actuală- o cantitate fizică egală cu raportul dintre cantitatea de încărcare Q, care a trecut de ceva timp t prin secțiunea transversală a conductorului, la valoarea acestui interval de timp.

Domeniu mecanic:

Din cele 2 legi ale lui Newton, Putere- derivată temporală a impulsului

Și corespunzător, viteză- derivată în timp a deplasării:

Să rezumăm:

Elemente de baza

Toate elementele din sistemele dinamice pot fi împărțite în componente bipolare și patru poli.
Considera componente bipolare:

Surse de
Sursele vin atât în ​​efort cât și în flux. O analogie în domeniul electric: sursă de efort – sursa de tensiune, sursa fluxului – sursa actuala... Semnele cauzale pentru surse ar trebui să fie exact așa.

Fig 16... Relații cauzale și desemnarea surselor

Componenta R - element disipativ

Componenta I - element inerțial

Componenta C - element capacitiv

După cum se poate vedea din figuri, diferite elemente ale acestora tip R, C, I descris de aceleași ecuații. Există doar o diferență pentru capacitatea electrică, trebuie doar să vă amintiți!

Componente quadrupolice:

Luați în considerare cele două componente un transformator și un girator.

Ultimele componente importante din metoda graficului de legătură sunt conexiunile. Există două tipuri de noduri:

Aceasta completează componentele.

Pașii principali pentru stabilirea relațiilor cauzale după construirea unui grafic de legătură:

1. Oferiți legături cauzale către toată lumea surse
2. Parcurgeți toate nodurile și puneți relații cauzale după punctul 1
3. Pentru componentele I atribuiți o legătură cauzală de intrare (efortul este inclus în această componentă), pentru componentele C atribuiți cauzalitatea rezultatului (efortul iese din această componentă)
4. Repetați pasul 2
5. Furnizați legături cauzale pentru componente R

Aceasta încheie mini-cursul de teorie. Acum avem tot ce ne trebuie pentru a ne construi modelele.
Să rezolvăm câteva exemple. Sa incepem cu circuit electric, este mai bine să înțelegem analogia construirii unui grafic de legături.

Exemplul 1

Să începem să construim un grafic de legături cu o sursă de tensiune. Scrie doar Se și pune o săgeată.

Vedeți că totul este simplu! Privim mai departe, R și L sunt conectați în serie, ceea ce înseamnă că aceleași curente curg în ele, dacă vorbim în variabile de putere - același flux. Care nod are același flux? Răspunsul corect este 1 nod. Conectăm sursa, rezistența (componenta - R) și inductanța (componenta - I) la 1-nod.

Apoi, avem capacitate și rezistență în paralel, ceea ce înseamnă că au aceeași tensiune sau efort. Un nod 0 va face treaba ca nimeni altul. Conectăm capacitatea (componenta C) și rezistența (componenta R) la nodul 0.

De asemenea, conectăm nodurile 1 și 0 între ele. Direcția săgeților este aleasă în mod arbitrar, direcția relației afectează doar semnul din ecuații.

Obțineți următorul grafic de legături:

Acum trebuie să puneți legături cauzale. Urmând instrucțiunile pentru succesiunea aplicării lor, să începem cu sursa.

1. Avem o sursă de tensiune (efort), o astfel de sursă are o singură opțiune de cauzalitate - ieșirea. Am pus-o.
2. Apoi este componenta I, vezi ce este recomandat. Am pus
3. Punem jos pentru 1 nod. Există
4. Un nod 0 trebuie să aibă o intrare și toate relațiile cauzale de ieșire. Avem o zi liberă până acum. Căutăm componente C sau I. Găsit. Am pus
5. Punem jos ce a mai rămas

Asta e tot. Bond-grafic este construit. Ura, tovarăși!

Singurul lucru rămas de făcut este să scriem ecuațiile care descriu sistemul nostru. Pentru a face acest lucru, să creăm un tabel cu 3 coloane. Prima va conține toate componentele sistemului, a doua va conține o variabilă de intrare pentru fiecare element, iar a treia va conține o variabilă de ieșire pentru aceeași componentă. Am definit deja intrarea și ieșirea prin cauzalitate. Deci nu ar trebui să existe probleme.

Vom numera fiecare conexiune pentru comoditatea înregistrării nivelurilor. Ecuațiile pentru fiecare element sunt preluate din lista componentelor C, R, I.

După ce am compilat un tabel, definim variabilele de stare, în acest exemplu sunt 2, p3 și q5. Apoi, trebuie să notați ecuațiile de stare:

Atât modelul este gata.

Exemplul 2. Imediat vreau să-mi cer scuze pentru calitatea fotografiei, principalul lucru este că puteți citi

Să rezolvăm încă un exemplu pentru un sistem mecanic, același pe care l-am rezolvat prin metoda Lagrange. Voi arăta soluția fără comentarii. Să verificăm care dintre aceste metode este mai simplă, mai ușoară.

În matbal, au fost compilate ambele modele de mat cu aceiași parametri, obținute prin metoda Lagrange și graficul de legătură. Rezultatul de mai jos: Adăugați etichete

Numele parametrului	Sens
Subiectul articolului:	Metoda lui Lagrange.
Rubrică (categorie tematică)	Matematică

Găsirea unui polinom înseamnă determinarea valorilor coeficientului său ... Pentru a face acest lucru, folosind condiția de interpolare, puteți forma un sistem de ecuații algebrice liniare (SLAE).

Determinantul acestui SLAE se numește de obicei determinantul Vandermonde. Determinantul Vandermonde este diferit de zero pentru for, adică atunci când nu există noduri potrivite în tabelul de căutare. Cu toate acestea, se poate argumenta că SLAE are o soluție și această soluție este unică. Rezolvarea SLAE și determinarea coeficienților necunoscuți puteți construi un polinom de interpolare.

Un polinom care îndeplinește condițiile de interpolare, atunci când interpolați prin metoda Lagrange, este construit sub forma unei combinații liniare de polinoame de gradul n:

De obicei se numesc polinoame de bază polinomiale. La Polinomul Lagrangeîndeplinește condițiile de interpolare, este extrem de important să se îndeplinească următoarele condiții pentru polinoamele sale de bază:

pentru .

Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, atunci pentru orice avem:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, îndeplinirea condițiilor specificate pentru polinoamele de bază înseamnă că sunt îndeplinite și condițiile de interpolare.

Să determinăm forma polinoamelor de bază pe baza restricțiilor impuse acestora.

Prima condiție: la.

A doua condiție: .

În cele din urmă, pentru polinomul de bază, puteți scrie:

Apoi, substituind expresia obținută pentru polinoamele de bază în polinomul original, obținem forma finală a polinomului Lagrange:

Forma particulară a polinomului Lagrange la se numește de obicei formula de interpolare liniară:

.

Polinomul Lagrange luat la se numește de obicei formula de interpolare pătratică:

Metoda lui Lagrange. - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Metoda lui Lagrange”. 2017, 2018.

- Metoda Lagrange (metoda de variație a unei constante arbitrare).

Telecomandă liniară. Definiție. DU al formei adică liniar în raport cu funcția necunoscută și derivata sa se numește liniară. Pentru o soluție de acest tip, ur-th ia în considerare două metode: metoda Lagrange și metoda Bernoulli. Consideră o DE omogenă Aceasta este o ur-e cu variabile separabile. Ur-th soluție General ....

- Controlere liniare, omogene și eterogene. Conceptul unei soluții generale. Metoda Lagrange de variație a constantelor produsului.

Definiție. DU este numit omogen dacă f-I poate fi reprezentat ca relație f-I a argumentelor sale Exemplu. F-I este numit omogen a cincea dimensiune dacă Exemple: 1) - primul ordin de omogenitate. 2) - ordinul 2 de omogenitate. 3) - ordinul zero al omogenității (doar omogen ....

- Cursul 8. Aplicarea derivatelor parțiale: probleme extremum. Metoda lui Lagrange.

Problemele extreme au o mare importanță în calculele economice. Acesta este calculul, de exemplu, al venitului maxim, al profitului, al costului minim în funcție de mai multe variabile: resurse, active de producție etc. Teoria găsirii extremelor funcțiilor ...

- T.2.3. DU de ordine superioare. Ecuație în total diferențiale. T.2.4. DE liniar de ordinul doi cu coeficienți constanți. Metoda lui Lagrange.

3. 2. 1. DE cu variabile separabile SR. 3. În știința naturii, tehnologia și economia, trebuie adesea să ne ocupăm de formule empirice, adică formule bazate pe prelucrarea datelor statistice sau ...