Riešenie úloh z matematiky je pre žiakov často sprevádzané mnohými ťažkosťami. Hlavným cieľom našej stránky je pomôcť študentom vyrovnať sa s týmito ťažkosťami, ako aj naučiť ich aplikovať svoje doterajšie teoretické vedomosti pri riešení konkrétnych problémov vo všetkých sekciách kurzu predmetu „Matematika“.

Na začiatku riešenia úloh na danú tému by študenti mali byť schopní zostrojiť bod na rovine pomocou jeho súradníc, ako aj nájsť súradnice daného bodu.

Výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi A(x A; y A) a B(x B; y B) na rovine sa vykonáva pomocou vzorca d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), kde d je dĺžka úsečky, ktorá spája tieto body v rovine.

Ak sa jeden z koncov segmentu zhoduje s počiatkom súradníc a druhý má súradnice M(x M; y M), potom vzorec na výpočet d bude mať tvar OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi na základe daných súradníc týchto bodov

Príklad 1.

Nájdite dĺžku úsečky, ktorá spája body A(2; -5) a B(-4; 3) v rovine súradníc (obr. 1).

Riešenie.

Úloha problému uvádza: x A = 2; x B = -4; y A = -5 a y B = 3. Nájdite d.

Použitím vzorca d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) dostaneme:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Výpočet súradníc bodu, ktorý je rovnako vzdialený od troch daných bodov

Príklad 2

Nájdite súradnice bodu O 1, ktorý je rovnako vzdialený od troch bodov A(7; -1) a B(-2; 2) a C(-1; -5).

Riešenie.

Z formulácie problémových podmienok vyplýva, že O 1 A = O 1 B = O 1 C. Nech požadovaný bod O 1 má súradnice (a; b). Pomocou vzorca d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) zistíme:

O1A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

OiB = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O1C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Vytvorme sústavu dvoch rovníc:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Po umocnení ľavej a pravej strany rovníc napíšeme:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Zjednodušenie, píšme

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Po vyriešení systému dostaneme: a = 2; b = -1.

Bod O 1 (2; -1) je rovnako vzdialený od troch bodov uvedených v podmienke, ktoré neležia na tej istej priamke. Tento bod je stredom kružnice prechádzajúcej tromi danými bodmi (obr. 2).

3. Výpočet súradnice bodu, ktorý leží na osi súradnice a je v danej vzdialenosti od daného bodu

Príklad 3

Vzdialenosť od bodu B(-5; 6) k bodu A ležiacemu na osi Ox je 10. Nájdite bod A.

Riešenie.

Z formulácie problémových podmienok vyplýva, že ordináta bodu A sa rovná nule a AB = 10.

Úsečku bodu A označíme a, napíšeme A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Dostaneme rovnicu √((a + 5) 2 + 36) = 10. Keď to zjednodušíme, máme

a 2 + 10a – 39 = 0.

Korene tejto rovnice sú a 1 = -13; a 2 = 3.

Získame dva body A 1 (-13; 0) a A 2 (3; 0).

Vyšetrenie:

A1B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A2B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Oba získané body sú vhodné podľa podmienok úlohy (obr. 3).

4. Výpočet súradnice bodu, ktorý leží na osi súradnice a je v rovnakej vzdialenosti od dvoch daných bodov

Príklad 4.

Nájdite bod na osi Oy, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od bodov A (6, 12) a B (-8, 10).

Riešenie.

Súradnice bodu, ktorý vyžadujú podmienky úlohy, ležiaceho na osi Oy, sú O 1 (0; b) (v bode ležiacom na osi Oy je úsečka nula). Z podmienky vyplýva, že O 1 A = O 1 B.

Pomocou vzorca d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) zistíme:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √ ((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √ (64 + (b – 10) 2).

Máme rovnicu √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) alebo 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Po zjednodušení dostaneme: b – 4 = 0, b = 4.

Bod O 1 (0; 4) vyžadovaný podmienkami problému (obr. 4).

5. Výpočet súradníc bodu, ktorý sa nachádza v rovnakej vzdialenosti od súradnicových osí a niektorého daného bodu

Príklad 5.

Nájdite bod M ležiaci na súradnicovej rovine v rovnakej vzdialenosti od súradnicových osí a od bodu A(-2; 1).

Riešenie.

Požadovaný bod M sa rovnako ako bod A(-2; 1) nachádza v druhom súradnicovom uhle, pretože je rovnako vzdialený od bodov A, P 1 a P 2 (obr. 5). Vzdialenosti bodu M od súradnicových osí sú rovnaké, preto jeho súradnice budú (-a; a), kde a > 0.

Z podmienok úlohy vyplýva, že MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

tie. |-a| = a.

Pomocou vzorca d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) zistíme:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Urobme rovnicu:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Po kvadratúre a zjednodušení máme: a 2 – 6a + 5 = 0. Vyriešte rovnicu, nájdite a 1 = 1; a 2 = 5.

Získame dva body M 1 (-1; 1) a M 2 (-5; 5), ktoré spĺňajú podmienky úlohy.

6. Výpočet súradníc bodu, ktorý sa nachádza v rovnakej zadanej vzdialenosti od osi x (ordináta) a od daného bodu

Príklad 6.

Nájdite bod M taký, aby jeho vzdialenosť od osi y a od bodu A(8; 6) bola 5.

Riešenie.

Z podmienok úlohy vyplýva, že MA = 5 a úsečka bodu M sa rovná 5. Nech ordináta bodu M sa rovná b, potom M(5; b) (obr. 6).

Podľa vzorca d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) máme:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Urobme rovnicu:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Zjednodušením dostaneme: b 2 – 12b + 20 = 0. Korene tejto rovnice sú b 1 = 2; b 2 = 10. V dôsledku toho existujú dva body, ktoré spĺňajú podmienky úlohy: M 1 (5; 2) a M 2 (5; 10).

Je známe, že mnohí študenti pri samostatnom riešení problémov potrebujú neustále konzultácie o technikách a metódach ich riešenia. Študent často nevie nájsť spôsob, ako vyriešiť problém bez pomoci učiteľa. Potrebné rady pri riešení problémov môže študent získať na našej webovej stránke.

Stále máte otázky? Neviete, ako zistiť vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Vzdialenosť od bodu k bodu je dĺžka úseku spájajúceho tieto body na danej mierke. Preto, pokiaľ ide o meranie vzdialenosti, musíte poznať mierku (jednotku dĺžky), v ktorej sa budú merania vykonávať. Preto sa problém hľadania vzdialenosti od bodu k bodu zvyčajne uvažuje buď na súradnicovej čiare alebo v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme v rovine alebo v trojrozmernom priestore. Inými slovami, najčastejšie musíte vypočítať vzdialenosť medzi bodmi pomocou ich súradníc.

V tomto článku si najprv pripomenieme, ako sa určuje vzdialenosť od bodu k bodu na súradnicovej čiare. Ďalej získame vzorce na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi roviny alebo priestoru podľa zadaných súradníc. Na záver podrobne zvážime riešenia typických príkladov a problémov.

Navigácia na stránke.

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi na súradnicovej čiare.

Najprv definujme notáciu. Vzdialenosť z bodu A do bodu B budeme označovať ako .

Z toho môžeme vyvodiť záver vzdialenosť od bodu A so súradnicou k bodu B so súradnicou sa rovná modulu rozdielu súradníc, teda pre ľubovoľné umiestnenie bodov na súradnicovej čiare.

Vzdialenosť od bodu k bodu na rovine, vzorec.

Získame vzorec na výpočet vzdialenosti medzi bodmi a daný v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme v rovine.

V závislosti od umiestnenia bodov A a B sú možné nasledujúce možnosti.

Ak sa body A a B zhodujú, vzdialenosť medzi nimi je nula.

Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os x, potom sa body zhodujú a vzdialenosť sa rovná vzdialenosti . V predchádzajúcom odseku sme zistili, že vzdialenosť medzi dvoma bodmi na súradnicovej čiare sa rovná modulu rozdielu medzi ich súradnicami, teda . Preto, .

Podobne, ak body A a B ležia na priamke kolmej na zvislú os, potom vzdialenosť z bodu A do bodu B sa zistí ako .

V tomto prípade má trojuholník ABC obdĺžnikovú konštrukciu a A . Autor: Pytagorova veta môžeme zapísať rovnosť, odkiaľ .

Zhrňme všetky dosiahnuté výsledky: vzdialenosť od bodu k bodu v rovine sa zistí pomocou súradníc bodov pomocou vzorca .

Výsledný vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi možno použiť, keď sa body A a B zhodujú alebo ležia na priamke kolmej na jednu zo súradnicových osí. Ak sa A a B zhodujú, potom . Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os Ox, potom. Ak A a B ležia na priamke kolmej na os Oy, potom .

Vzdialenosť medzi bodmi v priestore, vzorec.

Predstavme si pravouhlý súradnicový systém Oxyz v priestore. Zoberme si vzorec na zistenie vzdialenosti od bodu k veci .

Vo všeobecnosti body A a B neležia v rovine rovnobežnej s jednou zo súradnicových rovín. Prenesme body A a B roviny kolmé na súradnicové osi Ox, Oy a Oz. Priesečníky týchto rovín so súradnicovými osami nám poskytnú priemet bodov A a B na tieto osi. Označujeme projekcie .

Požadovaná vzdialenosť medzi bodmi A a B je uhlopriečka pravouhlého rovnobežnostena znázorneného na obrázku. Podľa konštrukcie sú rozmery tohto rovnobežnostena rovnaké A . Na stredoškolskom kurze geometrie sa dokázalo, že druhá mocnina uhlopriečky kvádra sa rovná súčtu druhých mocnín jeho troch rozmerov, teda . Na základe informácií v prvej časti tohto článku môžeme napísať nasledujúce rovnosti, preto

odkiaľ to máme vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi v priestore .

Tento vzorec platí aj vtedy, ak body A a B

• vyrovnať sa;
• patrí k jednej zo súradnicových osí alebo k priamke rovnobežnej s jednou zo súradnicových osí;
• patria do jednej zo súradnicových rovín alebo roviny rovnobežnej s jednou zo súradnicových rovín.

Hľadanie vzdialenosti od bodu k bodu, príklady a riešenia.

Získali sme teda vzorce na nájdenie vzdialenosti medzi dvoma bodmi na súradnicovej čiare, rovine a trojrozmernom priestore. Je čas pozrieť sa na riešenia typických príkladov.

Množstvo problémov, v ktorých je posledným krokom nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi podľa ich súradníc, je skutočne obrovské. Úplný prehľad takýchto príkladov presahuje rámec tohto článku. Tu sa obmedzíme na príklady, v ktorých sú známe súradnice dvoch bodov a je potrebné vypočítať vzdialenosť medzi nimi.

Pomocou súradníc sa určí poloha objektu na zemeguli. Súradnice sú označené zemepisnou šírkou a dĺžkou. Zemepisné šírky sa merajú od rovníka na oboch stranách. Na severnej pologuli sú zemepisné šírky kladné, na južnej pologuli záporné. Zemepisná dĺžka sa meria od nultého poludníka buď na východ alebo na západ, pričom sa získa východná alebo západná dĺžka.

Podľa všeobecne uznávanej pozície sa za nultý poludník považuje ten, ktorý prechádza cez staré observatórium Greenwich v Greenwichi. Geografické súradnice miesta je možné získať pomocou GPS navigátora. Toto zariadenie prijíma signály satelitného polohovacieho systému v súradnicovom systéme WGS-84, jednotnom pre celý svet.

Modely navigátorov sa líšia výrobcom, funkčnosťou a rozhraním. V súčasnosti sú v niektorých modeloch mobilných telefónov dostupné aj vstavané GPS navigácie. Ale každý model môže zaznamenať a uložiť súradnice bodu.

Vzdialenosť medzi súradnicami GPS

Na riešenie praktických a teoretických problémov v niektorých odvetviach je potrebné vedieť určiť vzdialenosti medzi bodmi podľa ich súradníc. Môžete to urobiť niekoľkými spôsobmi. Kanonická forma vyjadrenia geografických súradníc: stupne, minúty, sekundy.

Môžete napríklad určiť vzdialenosť medzi týmito súradnicami: bod č. 1 - zemepisná šírka 55°45′07″ N, zemepisná dĺžka 37°36′56″ V; bod č. 2 – zemepisná šírka 58°00′02″ s. š., zemepisná dĺžka 102°39′42″ vd.

Najjednoduchší spôsob je použiť kalkulačku na výpočet dĺžky medzi dvoma bodmi. Vo vyhľadávači prehliadača musíte nastaviť nasledujúce parametre vyhľadávania: online - na výpočet vzdialenosti medzi dvoma súradnicami. V online kalkulačke sa hodnoty zemepisnej šírky a dĺžky zadávajú do polí dopytu pre prvú a druhú súradnicu. Pri výpočte online kalkulačka dala výsledok - 3 800 619 m.

Ďalšia metóda je náročnejšia na prácu, ale aj vizuálnejšia. Musíte použiť akýkoľvek dostupný mapovací alebo navigačný program. Medzi programy, v ktorých môžete vytvárať body pomocou súradníc a merať vzdialenosti medzi nimi, patria tieto aplikácie: BaseCamp (moderná obdoba programu MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Všetky vyššie uvedené programy sú dostupné pre každého používateľa siete. Ak chcete napríklad vypočítať vzdialenosť medzi dvoma súradnicami v aplikácii Google Earth, musíte vytvoriť dva štítky označujúce súradnice prvého a druhého bodu. Potom pomocou nástroja „Pravítko“ musíte spojiť prvú a druhú značku čiarou, program automaticky zobrazí výsledok merania a zobrazí cestu na satelitnom obrázku Zeme.

V prípade vyššie uvedeného príkladu program Google Earth vrátil výsledok - dĺžka vzdialenosti medzi bodom č.1 a bodom č.2 je 3 817 353 m.

Prečo je chyba pri určovaní vzdialenosti

Všetky výpočty rozsahu medzi súradnicami sú založené na výpočte dĺžky oblúka. Polomer Zeme sa podieľa na výpočte dĺžky oblúka. Ale keďže tvar Zeme je blízky sploštenému elipsoidu, polomer Zeme sa v určitých bodoch mení. Na výpočet vzdialenosti medzi súradnicami sa berie priemerná hodnota polomeru Zeme, ktorá dáva chybu v meraní. Čím väčšia je meraná vzdialenosť, tým väčšia je chyba.

Matematika

§2. Súradnice bodu v rovine

3. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi.

Vy a ja teraz môžeme hovoriť o bodoch v reči čísel. Napríklad už nemusíme vysvetľovať: vezmite si bod, ktorý je tri jednotky napravo od osi a päť jednotiek pod osou. Stačí povedať jednoducho: vezmite si pointu.

Už sme povedali, že to vytvára určité výhody. Takže kresbu z bodov vieme preniesť telegraficky, oznámiť ju počítaču, ktorý kresbám vôbec nerozumie, ale číslam rozumie dobre.

V predchádzajúcom odseku sme definovali niekoľko množín bodov v rovine pomocou vzťahov medzi číslami. Teraz sa pokúsme dôsledne preložiť ostatné geometrické pojmy a fakty do reči čísel.

Začneme jednoduchou a bežnou úlohou.

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine.

Riešenie:
Ako vždy predpokladáme, že body sú dané svojimi súradnicami a potom je našou úlohou nájsť pravidlo, podľa ktorého vieme vypočítať vzdialenosť medzi bodmi, pričom poznáme ich súradnice. Pri odvodzovaní tohto pravidla je samozrejme dovolené uchýliť sa ku kresbe, ale samotné pravidlo by nemalo obsahovať žiadne odkazy na kresbu, ale malo by iba ukazovať, aké akcie a v akom poradí sa musia vykonať na daných číslach - súradniciach bodov - na získanie požadovaného počtu - vzdialenosť medzi bodkami.

Možno sa niektorým čitateľom bude zdať tento prístup k riešeniu problému zvláštny a pritiahnutý. Čo je jednoduchšie, povedia, body sú dané, dokonca súradnicami. Nakreslite tieto body, vezmite pravítko a zmerajte vzdialenosť medzi nimi.

Táto metóda niekedy nie je taká zlá. Predstavte si však opäť, že máte dočinenia s počítačom. Nemá pravítko, nekreslí, ale vie počítať tak rýchlo, že jej to vôbec nerobí problém. Všimnite si, že náš problém je formulovaný tak, že pravidlo na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi pozostáva z príkazov, ktoré môže vykonať stroj.

Je lepšie najprv vyriešiť problém pre špeciálny prípad, keď jeden z týchto bodov leží v počiatku súradníc. Začnite niekoľkými číselnými príkladmi: nájdite vzdialenosť od začiatku bodov; A .

Poznámka. Použite Pytagorovu vetu.

Teraz napíšte všeobecný vzorec na výpočet vzdialenosti bodu od začiatku.

Vzdialenosť bodu od počiatku je určená vzorcom:

Je zrejmé, že pravidlo vyjadrené týmto vzorcom spĺňa vyššie uvedené podmienky. Dá sa použiť najmä pri výpočtoch na strojoch, ktoré dokážu násobiť čísla, sčítať ich a extrahovať odmocniny.

Teraz poďme vyriešiť všeobecný problém

Vzhľadom na dva body na rovine nájdite vzdialenosť medzi nimi.

Riešenie:
Označme , , , priemety bodov a na súradnicových osiach.

Priesečník čiar označme písmenom . Z pravouhlého trojuholníka pomocou Pytagorovej vety dostaneme:

Ale dĺžka segmentu sa rovná dĺžke segmentu. Body a , ležia na osi a majú súradnice a , resp. Podľa vzorca získaného v odseku 3 odseku 2 sa vzdialenosť medzi nimi rovná .

Ak budeme argumentovať podobne, zistíme, že dĺžka segmentu sa rovná . Nahradením nájdených hodnôt a do vzorca dostaneme.

V tomto článku sa pozrieme na spôsoby, ako určiť vzdialenosť z bodu do bodu teoreticky a na príklade konkrétnych úloh. Na začiatok si predstavme niekoľko definícií.

Definícia 1

Vzdialenosť medzi bodmi je dĺžka segmentu, ktorý ich spája, v existujúcej mierke. Je potrebné nastaviť mierku, aby ste mali jednotku dĺžky na meranie. Preto sa v podstate problém zisťovania vzdialenosti medzi bodmi rieši použitím ich súradníc na súradnicovej čiare, v súradnicovej rovine alebo v trojrozmernom priestore.

Počiatočné údaje: súradnica O x a na nej leží ľubovoľný bod A. Každý bod na priamke má jedno reálne číslo: nech je to určité číslo pre bod A x A, je to aj súradnica bodu A.

Vo všeobecnosti môžeme povedať, že dĺžka určitého segmentu sa posudzuje v porovnaní s segmentom braným ako jednotka dĺžky v danej mierke.

Ak bod A zodpovedá celočíselnému reálnemu číslu, postupným ukladaním z bodu O do bodu pozdĺž priamky O A segmentov - jednotiek dĺžky, môžeme určiť dĺžku segmentu O A z celkového počtu vyčlenených jednotkových segmentov.

Napríklad bod A zodpovedá číslu 3 - aby ste sa k nemu dostali z bodu O, budete musieť prepustiť tri segmenty jednotky. Ak má bod A súradnicu - 4, segmenty jednotky sú usporiadané podobným spôsobom, ale v inom, zápornom smere. V prvom prípade je teda vzdialenosť O A rovná 3; v druhom prípade O A = 4.

Ak má bod A racionálne číslo ako súradnicu, potom z počiatku (bod O) vynesieme celé číslo jednotkových segmentov a potom jeho nevyhnutnú časť. Ale geometricky nie je vždy možné vykonať meranie. Napríklad sa zdá ťažké vykresliť zlomok 4 111 na súradnicovej čiare.

Použitím vyššie uvedenej metódy je úplne nemožné vykresliť iracionálne číslo na priamke. Napríklad, keď súradnica bodu A je 11. V tomto prípade je možné prejsť k abstrakcii: ak je daná súradnica bodu A väčšia ako nula, potom O A = x A (číslo sa berie ako vzdialenosť); ak je súradnica menšia ako nula, potom O A = - x A . Vo všeobecnosti tieto tvrdenia platia pre akékoľvek reálne číslo x A.

Aby som to zhrnul: vzdialenosť od začiatku k bodu, ktorý zodpovedá skutočnému číslu na súradnicovej čiare, sa rovná:

• 0, ak sa bod zhoduje s počiatkom;

• x A, ak x A > 0;

• - x A, ak x A< 0 .

V tomto prípade je zrejmé, že dĺžka samotného segmentu nemôže byť záporná, preto pomocou znamienka modulu zapíšeme vzdialenosť z bodu O do bodu A so súradnicou xA: O A = x A

Nasledujúce vyhlásenie bude pravdivé: vzdialenosť od jedného bodu k druhému sa bude rovnať modulu rozdielu súradníc. Tie. pre body A a B ležiace na rovnakej súradnicovej čiare pre ľubovoľné miesto a majúce zodpovedajúce súradnice xA A x B: A B = x B - x A.

Počiatočné údaje: body A a B ležiace v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme O x y s danými súradnicami: A (x A, y A) a B (x B, y B).

Nakreslime kolmice cez body A a B na súradnicové osi O x a O y a získame tak body premietania: A x, A y, B x, B y. Na základe polohy bodov A a B sú potom možné tieto možnosti:

Ak sa body A a B zhodujú, potom je vzdialenosť medzi nimi nulová;

Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os O x (os x), potom sa body zhodujú a | A B | = | A y B y | . Pretože vzdialenosť medzi bodmi sa rovná modulu rozdielu ich súradníc, potom A y B y = y B - y A, a teda A B = A y B y = y B - y A.

Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os O y (ordinátová os) - analogicky s predchádzajúcim odsekom: A B = A x B x = x B - x A

Ak body A a B neležia na priamke kolmej na jednu zo súradnicových osí, zistíme vzdialenosť medzi nimi odvodením výpočtového vzorca:

Vidíme, že trojuholník A B C má obdĺžnikovú konštrukciu. V tomto prípade A C = A x B x a B C = A y By. Pomocou Pytagorovej vety vytvoríme rovnosť: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 a potom ju transformujeme: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Zo získaného výsledku vyvodíme záver: vzdialenosť z bodu A do bodu B v rovine je určená výpočtom pomocou vzorca pomocou súradníc týchto bodov

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Výsledný vzorec tiež potvrdzuje skôr vytvorené tvrdenia pre prípady zhody bodov alebo situácie, keď body ležia na priamkach kolmých na osi. Ak sa teda body A a B zhodujú, bude platiť nasledujúca rovnosť: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pre situáciu, keď body A a B ležia na priamke kolmej na os x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pre prípad, keď body A a B ležia na priamke kolmej na zvislú os:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Počiatočné údaje: pravouhlý súradnicový systém O x y z s ľubovoľnými bodmi ležiacimi na ňom s danými súradnicami A (x A, y A, z A) a B (x B, y B, z B). Je potrebné určiť vzdialenosť medzi týmito bodmi.

Zoberme si všeobecný prípad, keď body A a B neležia v rovine rovnobežnej s jednou zo súradnicových rovín. Narysujme roviny kolmé na súradnicové osi cez body A a B a získame zodpovedajúce body premietania: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Vzdialenosť medzi bodmi A a B je uhlopriečka výsledného rovnobežnostena. Podľa konštrukcie rozmerov tohto rovnobežnostena: A x B x , A y B y a A z B z

Z priebehu geometrie vieme, že druhá mocnina uhlopriečky kvádra sa rovná súčtu druhých mocnín jeho rozmerov. Na základe tohto tvrdenia dostaneme rovnosť: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Na základe vyššie získaných záverov píšeme nasledovné:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Transformujme výraz:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Finálny vzorec na určenie vzdialenosti medzi bodmi v priestore bude vyzerať takto:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Výsledný vzorec platí aj pre prípady, keď:

Body sa zhodujú;

Ležia na jednej súradnicovej osi alebo na priamke rovnobežnej s jednou zo súradnicových osí.

Príklady riešenia úloh pri hľadaní vzdialenosti medzi bodmi

Príklad 1

Počiatočné údaje: je uvedená súradnicová čiara a body na nej ležiace s danými súradnicami A (1 - 2) a B (11 + 2). Je potrebné nájsť vzdialenosť od počiatočného bodu O k bodu A a medzi bodmi A a B.

Riešenie

1. Vzdialenosť od referenčného bodu k bodu sa rovná modulu súradnice tohto bodu, respektíve O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Vzdialenosť medzi bodmi A a B definujeme ako modul rozdielu súradníc týchto bodov: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Odpoveď: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Príklad 2

Počiatočné údaje: je daný pravouhlý súradnicový systém a dva body na ňom ležiace A (1, - 1) a B (λ + 1, 3). λ je nejaké reálne číslo. Je potrebné nájsť všetky hodnoty tohto čísla, pri ktorých bude vzdialenosť A B rovná 5.

Riešenie

Ak chcete nájsť vzdialenosť medzi bodmi A a B, musíte použiť vzorec A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Dosadením reálnych hodnôt súradníc dostaneme: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Použijeme tiež existujúcu podmienku, že A B = 5 a potom bude platiť rovnosť:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Odpoveď: A B = 5, ak λ = ± 3.

Príklad 3

Východiskové údaje: v pravouhlom súradnicovom systéme O x y z je špecifikovaný trojrozmerný priestor a v ňom ležiace body A (1, 2, 3) a B - 7, - 2, 4.

Riešenie

Na vyriešenie úlohy použijeme vzorec A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Dosadením reálnych hodnôt dostaneme: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Odpoveď: | A B | = 9

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter