Vzdialenosť od bodu k bodu je dĺžka úseku spájajúceho tieto body na danej mierke. Preto, pokiaľ ide o meranie vzdialenosti, musíte poznať mierku (jednotku dĺžky), v ktorej sa budú merania vykonávať. Preto sa problém nájdenia vzdialenosti od bodu k bodu zvyčajne uvažuje buď na súradnicovej čiare alebo v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme v rovine alebo v trojrozmernom priestore. Inými slovami, najčastejšie musíte vypočítať vzdialenosť medzi bodmi pomocou ich súradníc.

V tomto článku si najprv pripomenieme, ako sa určuje vzdialenosť od bodu k bodu na súradnicovej čiare. Ďalej získame vzorce na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi roviny alebo priestoru podľa zadaných súradníc. Na záver podrobne zvážime riešenia typických príkladov a problémov.

Navigácia na stránke.

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi na súradnicovej čiare.

Najprv definujme notáciu. Vzdialenosť z bodu A do bodu B budeme označovať ako .

Z toho môžeme vyvodiť záver vzdialenosť od bodu A so súradnicou k bodu B so súradnicou sa rovná modulu rozdielu súradníc, teda pre ľubovoľné umiestnenie bodov na súradnicovej čiare.

Vzdialenosť od bodu k bodu na rovine, vzorec.

Získame vzorec na výpočet vzdialenosti medzi bodmi a daný v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme v rovine.

V závislosti od umiestnenia bodov A a B sú možné nasledujúce možnosti.

Ak sa body A a B zhodujú, vzdialenosť medzi nimi je nula.

Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os x, potom sa body zhodujú a vzdialenosť sa rovná vzdialenosti . V predchádzajúcom odseku sme zistili, že vzdialenosť medzi dvoma bodmi na súradnicovej čiare sa rovná modulu rozdielu medzi ich súradnicami, teda . Preto, .

Podobne, ak body A a B ležia na priamke kolmej na zvislú os, potom vzdialenosť z bodu A do bodu B sa zistí ako .

V tomto prípade má trojuholník ABC obdĺžnikovú konštrukciu a A . Autor: Pytagorova veta môžeme zapísať rovnosť, odkiaľ .

Zhrňme všetky dosiahnuté výsledky: vzdialenosť od bodu k bodu v rovine sa zistí pomocou súradníc bodov pomocou vzorca .

Výsledný vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi možno použiť, keď sa body A a B zhodujú alebo ležia na priamke kolmej na jednu zo súradnicových osí. Ak sa A a B zhodujú, potom . Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os Ox, potom. Ak A a B ležia na priamke kolmej na os Oy, potom .

Vzdialenosť medzi bodmi v priestore, vzorec.

Predstavme si pravouhlý súradnicový systém Oxyz v priestore. Zoberme si vzorec na zistenie vzdialenosti od bodu k veci .

Vo všeobecnosti body A a B neležia v rovine rovnobežnej s jednou zo súradnicových rovín. Prenesme body A a B roviny kolmé na súradnicové osi Ox, Oy a Oz. Priesečníky týchto rovín so súradnicovými osami nám poskytnú priemet bodov A a B na tieto osi. Označujeme projekcie .

Požadovaná vzdialenosť medzi bodmi A a B je uhlopriečka pravouhlého rovnobežnostena znázorneného na obrázku. Podľa konštrukcie sú rozmery tohto rovnobežnostena rovnaké A . Na stredoškolskom kurze geometrie sa dokázalo, že druhá mocnina uhlopriečky kvádra sa rovná súčtu druhých mocnín jeho troch rozmerov, teda . Na základe informácií v prvej časti tohto článku môžeme napísať nasledujúce rovnosti, preto

odkiaľ to máme vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi v priestore .

Tento vzorec platí aj pre body A a B

• vyrovnať sa;
• patrí k jednej zo súradnicových osí alebo k priamke rovnobežnej s jednou zo súradnicových osí;
• patria do jednej zo súradnicových rovín alebo roviny rovnobežnej s jednou zo súradnicových rovín.

Hľadanie vzdialenosti od bodu k bodu, príklady a riešenia.

Získali sme teda vzorce na nájdenie vzdialenosti medzi dvoma bodmi na súradnicovej čiare, rovine a trojrozmernom priestore. Je čas pozrieť sa na riešenia typických príkladov.

Množstvo problémov, v ktorých je posledným krokom nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi podľa ich súradníc, je skutočne obrovské. Úplný prehľad takýchto príkladov presahuje rámec tohto článku. Tu sa obmedzíme na príklady, v ktorých sú známe súradnice dvoch bodov a je potrebné vypočítať vzdialenosť medzi nimi.

Pomocou súradníc sa určí poloha objektu na zemeguli. Súradnice sú označené zemepisnou šírkou a dĺžkou. Zemepisné šírky sa merajú od rovníka na oboch stranách. Na severnej pologuli sú zemepisné šírky kladné, na južnej pologuli záporné. Zemepisná dĺžka sa meria od nultého poludníka buď na východ alebo na západ, pričom sa získa východná alebo západná dĺžka.

Podľa všeobecne uznávanej pozície sa za nultý poludník považuje ten, ktorý prechádza cez staré observatórium Greenwich v Greenwichi. Geografické súradnice miesta je možné získať pomocou GPS navigátora. Toto zariadenie prijíma signály satelitného polohovacieho systému v súradnicovom systéme WGS-84, jednotnom pre celý svet.

Modely navigátorov sa líšia výrobcom, funkčnosťou a rozhraním. V súčasnosti sú v niektorých modeloch mobilných telefónov dostupné aj vstavané GPS navigácie. Ale každý model môže zaznamenať a uložiť súradnice bodu.

Vzdialenosť medzi súradnicami GPS

Na riešenie praktických a teoretických problémov v niektorých odvetviach je potrebné vedieť určiť vzdialenosti medzi bodmi podľa ich súradníc. Môžete to urobiť niekoľkými spôsobmi. Kanonická forma vyjadrenia geografických súradníc: stupne, minúty, sekundy.

Môžete napríklad určiť vzdialenosť medzi týmito súradnicami: bod č. 1 - zemepisná šírka 55°45′07″ N, zemepisná dĺžka 37°36′56″ V; bod č. 2 – zemepisná šírka 58°00′02″ s. š., zemepisná dĺžka 102°39′42″ vd.

Najjednoduchší spôsob je použiť kalkulačku na výpočet dĺžky medzi dvoma bodmi. Vo vyhľadávači prehliadača musíte nastaviť nasledujúce parametre vyhľadávania: online - na výpočet vzdialenosti medzi dvoma súradnicami. V online kalkulačke sa hodnoty zemepisnej šírky a dĺžky zadávajú do polí dopytu pre prvú a druhú súradnicu. Pri výpočte online kalkulačka dala výsledok - 3 800 619 m.

Ďalšia metóda je náročnejšia na prácu, ale aj vizuálnejšia. Musíte použiť akýkoľvek dostupný mapovací alebo navigačný program. Medzi programy, v ktorých môžete vytvárať body pomocou súradníc a merať vzdialenosti medzi nimi, patria tieto aplikácie: BaseCamp (moderná obdoba programu MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Všetky vyššie uvedené programy sú dostupné pre každého používateľa siete. Ak chcete napríklad vypočítať vzdialenosť medzi dvoma súradnicami v aplikácii Google Earth, musíte vytvoriť dva štítky označujúce súradnice prvého a druhého bodu. Potom pomocou nástroja „Pravítko“ musíte spojiť prvú a druhú značku čiarou, program automaticky zobrazí výsledok merania a zobrazí cestu na satelitnom obrázku Zeme.

V prípade vyššie uvedeného príkladu program Google Earth vrátil výsledok - dĺžka vzdialenosti medzi bodom č.1 a bodom č.2 je 3 817 353 m.

Prečo je chyba pri určovaní vzdialenosti

Všetky výpočty rozsahu medzi súradnicami sú založené na výpočte dĺžky oblúka. Polomer Zeme sa podieľa na výpočte dĺžky oblúka. Ale keďže tvar Zeme je blízky sploštenému elipsoidu, polomer Zeme sa v určitých bodoch mení. Na výpočet vzdialenosti medzi súradnicami sa berie priemerná hodnota polomeru Zeme, ktorá dáva chybu v meraní. Čím väčšia je meraná vzdialenosť, tým väčšia je chyba.

Matematika

§2. Súradnice bodu v rovine

3. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi.

Vy a ja teraz môžeme hovoriť o bodoch v reči čísel. Napríklad už nemusíme vysvetľovať: vezmite si bod, ktorý je tri jednotky napravo od osi a päť jednotiek pod osou. Stačí povedať jednoducho: vezmite si pointu.

Už sme povedali, že to vytvára určité výhody. Takže kresbu z bodiek vieme preniesť telegraficky, oznámiť ju počítaču, ktorý kresbám vôbec nerozumie, ale číslam rozumie dobre.

V predchádzajúcom odseku sme definovali niekoľko množín bodov v rovine pomocou vzťahov medzi číslami. Teraz sa pokúsme dôsledne preložiť ďalšie geometrické pojmy a fakty do reči čísel.

Začneme jednoduchou a bežnou úlohou.

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine.

Riešenie:
Ako vždy predpokladáme, že body sú dané svojimi súradnicami a potom je našou úlohou nájsť pravidlo, podľa ktorého vieme vypočítať vzdialenosť medzi bodmi, pričom poznáme ich súradnice. Pri odvodzovaní tohto pravidla je samozrejme dovolené uchýliť sa ku kresbe, ale samotné pravidlo by nemalo obsahovať žiadne odkazy na kresbu, ale malo by iba ukazovať, aké akcie a v akom poradí sa musia vykonať na daných číslach - súradniciach bodov - na získanie požadovaného počtu - vzdialenosť medzi bodkami.

Možno sa niektorým čitateľom bude zdať tento prístup k riešeniu problému zvláštny a pritiahnutý. Čo je jednoduchšie, povedia, body sú dané, dokonca súradnicami. Nakreslite tieto body, vezmite pravítko a zmerajte vzdialenosť medzi nimi.

Táto metóda niekedy nie je taká zlá. Predstavte si však opäť, že máte dočinenia s počítačom. Nemá pravítko, nekreslí, ale vie počítať tak rýchlo, že jej to vôbec nerobí problém. Všimnite si, že náš problém je formulovaný tak, že pravidlo na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi pozostáva z príkazov, ktoré môže vykonať stroj.

Je lepšie najprv vyriešiť problém pre špeciálny prípad, keď jeden z týchto bodov leží v počiatku súradníc. Začnite niekoľkými číselnými príkladmi: nájdite vzdialenosť od začiatku bodov; A .

Poznámka. Použite Pytagorovu vetu.

Teraz napíšte všeobecný vzorec na výpočet vzdialenosti bodu od začiatku.

Vzdialenosť bodu od počiatku je určená vzorcom:

Je zrejmé, že pravidlo vyjadrené týmto vzorcom spĺňa vyššie uvedené podmienky. Dá sa použiť najmä pri výpočtoch na strojoch, ktoré dokážu násobiť čísla, sčítať ich a extrahovať odmocniny.

Teraz poďme vyriešiť všeobecný problém

Vzhľadom na dva body na rovine nájdite vzdialenosť medzi nimi.

Riešenie:
Označme , , , priemety bodov a na súradnicových osiach.

Priesečník čiar označme písmenom . Z pravouhlého trojuholníka pomocou Pytagorovej vety dostaneme:

Ale dĺžka segmentu sa rovná dĺžke segmentu. Body a , ležia na osi a majú súradnice a , resp. Podľa vzorca získaného v odseku 3 odseku 2 sa vzdialenosť medzi nimi rovná .

Ak budeme argumentovať podobne, zistíme, že dĺžka segmentu sa rovná . Nahradením nájdených hodnôt a do vzorca dostaneme.

Výpočet vzdialeností medzi bodmi na základe ich súradníc v rovine je elementárny, na povrchu Zeme je to trochu komplikovanejšie: budeme uvažovať o meraní vzdialenosti a počiatočného azimutu medzi bodmi bez projekčných transformácií. Najprv pochopme terminológiu.

Úvod

Veľká dĺžka kruhového oblúka- najkratšia vzdialenosť medzi akýmikoľvek dvoma bodmi na povrchu gule, meraná pozdĺž čiary spájajúcej tieto dva body (takáto čiara sa nazýva ortodromia) a prechádzajúcej po povrchu gule alebo inej rotačnej plochy. Sférická geometria sa líši od normálnej euklidovskej geometrie a rovnice vzdialenosti majú tiež inú formu. V euklidovskej geometrii je najkratšia vzdialenosť medzi dvoma bodmi priamka. Na guli nie sú žiadne priame čiary. Tieto čiary na guli sú súčasťou veľkých kružníc - kružníc, ktorých stredy sa zhodujú so stredom gule. Počiatočný azimut- azimut, ktorého pri začatí pohybu z bodu A, po veľkej kružnici na najkratšiu vzdialenosť do bodu B, bude koncovým bodom bod B. Pri pohybe z bodu A do bodu B pozdĺž priamky veľkej kružnice sa azimut od aktuálna poloha do koncového bodu B je konštantná sa mení. Počiatočný azimut sa líši od konštantného azimutu, po ktorom sa azimut od aktuálneho bodu po konečný bod nemení, ale sledovaná trasa nie je najkratšou vzdialenosťou medzi dvoma bodmi.

Cez ľubovoľné dva body na povrchu gule, ak nie sú priamo oproti sebe (to znamená, že nie sú protinožcami), možno nakresliť jedinečný veľký kruh. Dva body rozdeľujú veľký kruh na dva oblúky. Dĺžka krátkeho oblúka je najkratšia vzdialenosť medzi dvoma bodmi. Medzi dvoma antipodálnymi bodmi možno nakresliť nekonečné množstvo veľkých kruhov, ale vzdialenosť medzi nimi bude rovnaká na ľubovoľnom kruhu a rovná sa polovici obvodu kruhu alebo π*R, kde R je polomer gule.

Na rovine (v pravouhlom súradnicovom systéme) veľké kruhy a ich fragmenty, ako je uvedené vyššie, predstavujú oblúky vo všetkých projekciách okrem gnómickej, kde sú veľké kruhy rovné čiary. V praxi to znamená, že lietadlá a iná letecká doprava pre úsporu paliva vždy využívajú trasu s minimálnou vzdialenosťou medzi bodmi, to znamená, že let sa uskutočňuje po veľkej kruhovej vzdialenosti, v lietadle to vyzerá ako oblúk.

Tvar Zeme možno opísať ako guľu, takže rovnice vzdialenosti veľkých kruhov sú dôležité na výpočet najkratšej vzdialenosti medzi bodmi na zemskom povrchu a často sa používajú pri navigácii. Výpočet vzdialenosti touto metódou je efektívnejší a v mnohých prípadoch presnejší ako jej výpočet pre projektované súradnice (v pravouhlých súradnicových systémoch), pretože po prvé nevyžaduje prevod geografických súradníc na pravouhlý súradnicový systém (vykonávať transformácie projekcie) a po druhé, mnohé projekcie, ak sú nesprávne zvolené, môžu viesť k značným dĺžkovým skresleniam v dôsledku povahy skreslení projekcie. Je známe, že nejde o guľu, ale o elipsoid, ktorý presnejšie opisuje tvar Zeme, avšak tento článok pojednáva o výpočte vzdialeností konkrétne na gule, na výpočty sa používa guľa s polomerom 6 372 795 metrov , čo môže viesť k chybe vo výpočte vzdialeností rádovo 0,5 %.

Vzorce

Existujú tri spôsoby, ako vypočítať sférickú vzdialenosť veľkého kruhu. 1. Sférická kosínusová veta V prípade malých vzdialeností a malej hĺbky výpočtu (počet desatinných miest) môže použitie vzorca viesť k výrazným chybám zaokrúhľovania. φ1, λ1; φ2, λ2 - zemepisná šírka a dĺžka dvoch bodov v radiánoch Δλ - rozdiel súradníc v zemepisnej dĺžke Δδ - uhlový rozdiel Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Ak chcete previesť uhlovú vzdialenosť na metrickú vynásobte uhlový rozdiel polomerom Zeme (6372795 metrov), jednotky konečnej vzdialenosti sa budú rovnať jednotkám, v ktorých je polomer vyjadrený (v tomto prípade metre). 2. Haversine vzorec Používa sa na predchádzanie problémom s krátkymi vzdialenosťami. 3. Modifikácia pre antipódy Predchádzajúci vzorec tiež podlieha problému antipodálnych bodov, na jeho vyriešenie sa používa nasledujúca modifikácia.

Moja implementácia na PHP

// Polomer Zeme define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Vzdialenosť medzi dvoma bodmi * $φA, $λA - zemepisná šírka, dĺžka 1. bodu, * $φB, $λB - zemepisná šírka, dĺžka 2. bodu * Napísané na http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Michail Kobzarev< >* */ funkcia vypočítaťTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // prevod súradníc na radiány $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // kosínusy a sínusy rozdielov zemepisných šírok a dĺžok $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1 ); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // výpočty dĺžky veľkého kruhu $y = sqrt(pow ( $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; / / $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Príklad volania funkcie: $lat1 = 77,1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo vypočítaťTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metre"; // Návrat "17166029 metrov"

Článok prevzatý zo stránky