Všetky pozičné číselné sústavy sú si rovné, ale v závislosti od úloh, ktoré človek rieši pomocou čísel, môže používať číselné sústavy s rôznym základom.

Najpoužívanejší systém desatinných čísel, t.j. číselný systém, ktorého abeceda pozostáva z desiatich číslic (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) a podľa toho je základ desať. Široké používanie tohto systému čísel je ľahké vysvetliť. Po prvé, zápis čísla do sústavy desatinných čísel je dosť kompaktný a za druhé, sústavu desatinných čísel používa ľudstvo už niekoľko storočí. Počas tejto doby si ľudia už zvykli na čísla a na zaznamenávanie čísel a na výslovnosť čísel v desiatkovej sústave, napríklad zápis „15“ je zrozumiteľný pre každú osobu a bude ho čítať ako pätnásť, ale rovnaké číslo zapísané v binárnej číselnej sústave „1111“ spôsobuje prinajmenšom mierne zmätok, ale ako toto číslo čítať.

A predsa jednoznačne vyhlásiť, že sústava desatinných čísel je optimálna voľbaľudstvo pracovať s číslami je nemožné. Dokážme to na niekoľkých príkladoch.

Všetci si pamätáte násobilku a samozrejme si pamätáte, koľko úsilia ste museli vynaložiť, aby ste sa naučili túto tabuľku. Nebudeme tu uvádzať multiplikačnú tabuľku v sústave desatinných čísel, ale na porovnanie uvedieme multiplikačnú tabuľku v binárnej číselnej sústave:

Ako vidíte, multiplikačná tabuľka v systéme binárnych čísel vyzerá oveľa jednoduchšie ako v desatinnej.

Kompaktnosť zápisu čísel v sústave desatinných čísel, rovnaká, nie je najvyššia, vo všetkých číselných systémoch so základom väčším ako desať čísel bude zapisovaných kompaktnejšie, napríklad rovnaké číslo „15“, v hexadecimálnej číselnej sústave bude napísané ako „F“.

Ako už bolo uvedené v odseku 5, na zaznamenávanie čísel v počítači sa používa systém binárnych čísel. V tejto časti musíme zistiť, ako sú čísla reprezentované v pamäti počítača, na to bude stačiť porozumieť pravidlám prekladu desatinných čísel do binárnej číselnej sústavy.

V praxi pri prevode čísel zo základne desať na základňu dva používajte nasledujúce pravidlo:

1. Číslo napísané v základni desať je deliteľné dvoma (základ nový systém základňa desať ( starý systém zúčtovanie), kým kvocient nie je 0.

2. Zvyšok získaný z divízie zaznamenaný v roku obrátené poradie, tvoria v novej číselnej sústave číslo dve základne.

Toto pravidlo je pohodlnejšie použiť na prevod čísel zo systému desatinných čísel. Na spätný preklad je výhodnejšie použiť tzv Hornerova schéma.

1. Číselné pozície v čísle sprava doľava, začínajúc od nuly;

2. Vytvorte sériu reprezentujúcu súčet súčinov číslic čísla na základe starého číselného systému, zapísanú v číslach nového číselného systému, zvýšenú na mocninu rovnajúcu sa číslu polohy číslice. v počte;

3. Nájdite súčet radu.

Analyzujme tieto pravidlá na konkrétnych príkladoch.

Príklad 1: Napíšte desatinné číslo 121 v binárnej notácii.

121 | 2 121 D = 1111001 B

120 60 | 2

1 60 30 | 2

0 30 15 | 2

0 14 7 | 2

1 6 3 | 2

Účel práce.Štúdium metód a precvičovanie zručností prekladu čísel z jednej pozičnej číselnej sústavy do druhej.

Počet rôznych číslic použitých v pozičnom systéme určuje názov číselnej sústavy a je volaný základ -desiaty číselný systém.

Akékoľvek číslo N v polohovej číselnej sústave s radixom môže byť reprezentovaný ako polynóm od základu :

kde
- číslo, - číslice čísla (koeficienty v stupňoch ),- základ číselnej sústavy ( >1).

Čísla sa zapisujú ako postupnosť čísel:

.
, bod v sekvencii oddeľuje celočíselnú časť čísla od zlomkovej časti (koeficienty pri nezáporných mocninách, od koeficientov pri záporných mocninách). Bodka je vynechaná, ak je číslo celé číslo (žiadne záporné exponenty).

V počítačových systémoch sa používajú pozičné číselné sústavy s nedecimálnym základom: binárne, osmičkové, hexadecimálne.

Na hardvérovom základe počítača sú dvojpolohové prvky, ktoré môžu byť iba v dvoch stavoch; jeden z nich je označený 0 a druhý - 1. Aritmeticko -logický hlavný počítač je preto binárnym číselným systémom.

Binárny číselný systém. Používajú sa dve číslice: 0 a 1. V binárnom systéme môže byť akékoľvek číslo reprezentované ako:
.
, kde buď 0 alebo 1.

Tento záznam zodpovedá súčtu právomocí čísla 2, braných s uvedenými koeficientmi:

Systém osmičkových čísel. Používa sa osem číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. V počítači sa používa ako pomocná na zaznamenávanie informácií v skrátenej forme. Reprezentovať jednu číslicu osmičkový systém používajú sa tri binárne číslice (triáda) (pozri tabuľku 1).

Hexadecimálna číselná sústava. Na znázornenie čísel sa používa 16 číslic. Prvých desať číslic tohto systému je označených číslami od 0 do 9 a najvýznamnejších šesť číslic je označených latinskými písmenami: A (10), B (11), C (12), D (13), E ( 14), F (15). Hexadecimálny systém, podobne ako osmičkový, sa používa na zaznamenávanie informácií v skrátenej forme. Na reprezentáciu jednej číslice hexadecimálnej číselnej sústavy sa používajú štyri binárne číslice (tetrad) (pozri tabuľku 1).

Stôl 1.

Abecedy polohových sústav (ss)

Binárne ss (Základňa 2)	Octal ss (Základňa 8)		Desatinné ss (Základňa 10)	Šestnástková ss (Základňa 16)
		Binárne			Binárne tetrády

Cvičenie 1. Preložiť čísla z dané systémyčísla do desatinnej sústavy.

Metodické pokyny.

Konverzia čísel na desatinnú sústavu sa vykoná tak, že sa zostaví súčet výkonových radov so základom sústavy, z ktorej sa číslo prekladá. Potom sa vypočíta hodnota tejto sumy.

Príklady.

a) Preložiť s.s. 

.

b) Preložiť
s.s.

c) Preložiť
s.s.

Úloha 2. Preveďte desatinné celé čísla na osmičkové, hexadecimálne a binárne.

Metodické pokyny.

Konverzia desatinných celých čísel na osmičkové, hexadecimálne a binárne systémy sa vykonáva postupným delením desatinného čísla základňou systému, do ktorého sa prekladá, kým sa kvocient nerovná nule. Číslo v novom systéme je zapísané ako zvyšok delenia, začínajúc posledným.

Príklady.

a) Preložiť
s.s.

181: 8 = 22 (zvyšok 5)

22: 8 = 2 (zvyšok 6)

2: 8 = 0 (zvyšok 2)

Odpoveď:
.

b) Preložiť
s.s.

V tabuľke je uvedené rozdelenie:

622: 16 = 38 (zvyšok 14 10 = E 16)

38: 16 = 2 (zvyšok 6)

2: 16 = 0 (zvyšok 2)

Odpoveď:
.

Úloha 3. Skonvertujte správne desatinné zlomky z desatinných na osmičkové, hexadecimálne a binárne.

S tým online kalkulačka je možné prenášať celé a zlomkové čísla z jednej číselnej sústavy do druhej. Je uvedené podrobné riešenie s vysvetlením. Ak chcete preložiť, zadajte pôvodné číslo, nastavte základňu základne základne základného čísla, nastavte základňu základne, do ktorej chcete číslo preložiť, a kliknite na tlačidlo „Preložiť“. Teoretickú časť a numerické príklady nájdete nižšie.

Výsledok už bol prijatý!

Konverzia celých a zlomkových čísel z jedného číselného systému na akýkoľvek iný - teória, príklady a riešenia

Existujú polohové a nepolohové číselné systémy. Systém arabských číslic, ktorý používame v každodennom živote, je pozičný, ale rímsky nie je. V. pozičné systémy pri počítaní, poloha čísla jednoznačne určuje veľkosť čísla. Pozrime sa na to pomocou desatinného čísla 6372 ako príklad. Vypočítajme toto číslo sprava doľava od nuly:

Potom môže byť číslo 6372 reprezentované nasledovne:

6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.

Číslo 10 definuje číselnú sústavu (v tento prípad toto je 10). Hodnoty polohy daného čísla sa berú ako stupne.

Uvažujme skutočné desatinné číslo 1287,923. Očíslujme to od nulovej polohy čísla od desatinnej čiarky doľava a doprava:

Potom môže byť číslo 1287,923 reprezentované ako:

1287,923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.

Vo všeobecnosti môže byť vzorec reprezentovaný nasledovne:

C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

kde Ц n je celé číslo v pozícii n, Д -k -zlomkové číslo v pozícii (-k), s- číselný systém.

Niekoľko slov o číselných systémoch. Číslo v desiatkovej číselnej sústave pozostáva z mnohých číslic (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), v osmičkovej číselnej sústave - zo sady čísla (0,1, 2,3,4,5,6,7), v binárnom číselnom systéme - zo sady číslic (0,1), v hexadecimálnom číselnom systéme - zo súboru čísel (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), kde A, B, C, D, E, F zodpovedajú číslam 10,11 , 12,13,14,15. Čísla v rôzne systémy zúčtovanie.

stôl 1
Notácia
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C.
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Konverzia čísel z jedného číselného systému na druhý

Ak chcete previesť čísla z jednej číselnej sústavy na druhú, najľahším spôsobom je najskôr previesť číslo na sústavu desatinných čísel a potom z sústavy desatinných čísel na požadovanú sústavu čísel.

Konverzia čísel z ľubovoľnej číselnej sústavy na sústavu desatinných čísel

Pomocou vzorca (1) môžete prevádzať čísla z ľubovoľnej číselnej sústavy na sústavu desatinných čísel.

Príklad 1. Skonvertujte číslo 1011101.001 z binárneho systému zápisov (SS) na desatinné SS. Riešenie:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4+ 1 · 2 3+ 1 · 2 2+ 0 · 2 1+ 1 20 + 0 2 -1 + 0 2 -2+ 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125

Príklad2. Preveďte 1011101.001 z osmičkového číselného systému (SS) na desatinné SS. Riešenie:

Príklad 3 ... Skonvertujte číslo AB572.CDF z hexadecimálneho základu na desatinné SS. Riešenie:

Tu A-nahradené 10, B- o 11, C.- o 12, F- do 15.

Konverzia čísel z desatinnej číselnej sústavy na inú číselnú sústavu

Ak chcete previesť čísla zo sústavy desatinných čísel na inú číselnú sústavu, musíte preložiť oddelene celočíselnú časť čísla a zlomkovú časť čísla.

Celá časť čísla sa prenáša z desatinného SS do iného číselného systému - postupným delením celočíselnej časti čísla na základňu číselnej sústavy (pre binárne SS - 2, pre 8 -násobné SS - 8, pre 16 -ročnú - o 16 atď.)), Kým sa nezíska celý zvyšok, menší ako báza CC.

Príklad 4 ... Konvertujme číslo 159 z desatinného SS na binárne SS:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Ako je zrejmé z obr. 1, číslo 159 po delení 2 dáva kvocient 79 a zvyšok 1. Ďalej číslo 79 pri delení 2 dáva kvocient 39 a zvyšok 1 atď. Výsledkom je, že keď sme zostrojili číslo zo zvyšku divízie (sprava doľava), dostaneme číslo v binárnej SS: 10011111 ... Preto môžeme napísať:

159 10 =10011111 2 .

Príklad 5 ... Konvertujme číslo 615 z desatinnej SS na osmičkovú SS.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Pri prevode čísla z desatinného SS na osmičkový SS musíte číslo postupne deliť číslom 8, kým nezískate celý zvyšok menší ako 8. Výsledkom je zostavenie čísla zo zvyškov delenia (sprava doľava), dostaneme číslo v osmičkovej SS: 1147 (pozri obr. 2). Preto môžeme napísať:

615 10 =1147 8 .

Príklad 6 ... Konvertovanie čísla 19673 z desatinného na hexadecimálne SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Ako je zrejmé z obrázku 3, postupným delením 19673 číslom 16 sme dostali zvyšky 4, 12, 13, 9. V hexadecimálnom systéme číslo 12 zodpovedá C, číslo 13 zodpovedá D. Preto je naša hexadecimálna číslo je 4CD9.

Ak chcete previesť správne desatinné zlomky (skutočné číslo s nulovou celočíselnou časťou) na základ s, potrebujete dané číslo vynásobte postupne s, až kým v zlomkovej časti nezískate čistú nulu, alebo kým nezískate požadovaný počet číslic. Ak sa počas násobenia získa číslo s celočíselnou časťou, ktorá sa líši od nuly, potom sa táto celočíselná časť neberie do úvahy (postupne sa pripočítavajú k výsledku).

Pozrime sa na vyššie uvedené príklady.

Príklad 7 ... Konvertujme číslo 0,214 z desatinného na binárne SS.

		0.214
	X	2
0		0.428
	X	2
0		0.856
	X	2
1		0.712
	X	2
1		0.424
	X	2
0		0.848
	X	2
1		0.696
	X	2
1		0.392

Ako je zrejmé z obr. 4, číslo 0,214 sa postupne vynásobí číslom 2. Ak je výsledkom násobenia nenulové číslo s celočíselnou časťou, potom sa celá časť zapisuje oddelene (naľavo od čísla) a číslo je napísaná s nulovou celočíselnou časťou. Ak pri násobení získame číslo s nulovou celočíselnou časťou, potom sa naľavo od neho napíše nula. Proces násobenia pokračuje, kým sa v zlomkovej časti nedosiahne čistá nula alebo sa nedosiahne požadovaný počet číslic. Zapísaním tučných čísel (obr. 4) zhora nadol získame požadované číslo v sústave binárnych čísel: 0. 0011011 .

Preto môžeme napísať:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Príklad 8 ... Premeňme číslo 0,125 zo systému desatinných čísel na binárne SS.

		0.125
	X	2
0		0.25
	X	2
0		0.5
	X	2
1		0.0

Na prevod čísla 0,125 z desatinného SS na binárne sa toto číslo postupne vynásobí 2. V tretej fáze sa ukázalo, že je 0. Preto bol získaný nasledujúci výsledok:

0.125 10 =0.001 2 .

Príklad 9 ... Konvertujme číslo 0,214 z desatinného na hexadecimálne SS.

		0.214
	X	16
3		0.424
	X	16
6		0.784
	X	16
12		0.544
	X	16
8		0.704
	X	16
11		0.264
	X	16
4		0.224

Podľa príkladov 4 a 5 dostaneme čísla 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ale v hexadecimálnej SS čísla 12 a 11 zodpovedajú číslam C a B. Preto máme:

0,214 10 = 0,36C8B4 16.

Príklad 10 ... Previesť desatinné miesto na osmičkové SS.

		0.512
	X	8
4		0.096
	X	8
0		0.768
	X	8
6		0.144
	X	8
1		0.152
	X	8
1		0.216
	X	8
1		0.728

Mám:

0.512 10 =0.406111 8 .

Príklad 11 ... Konvertovanie čísla 159.125 z desatinného na binárne SS. Aby sme to urobili, preložíme oddelene celočíselnú časť čísla (príklad 4) a zlomkovú časť čísla (príklad 8). Okrem toho kombináciou týchto výsledkov získame:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Príklad 12 ... Konvertovanie čísla 19673.214 z desatinného na hexadecimálne SS. Aby sme to urobili, preložíme oddelene celočíselnú časť čísla (príklad 6) a zlomkovú časť čísla (príklad 9). Okrem toho kombináciou týchto výsledkov získame.