Výstavba matrice na námestí. Výstavba matice na titul online

Treba poznamenať, že môžu byť uvedené len štvorcové matrice. Rovnaký počet riadkov a stĺpcov - požadovaný stav Pre stavbu matrice do stupňa. Počas výpočtu sa matrica vynásobí požadovaným počtom krát.

T online kalkulačka Je určený na vykonanie konštrukcie matrice do tej miery. Vďaka svojmu použitiu sa s touto úlohou rýchlo vyrovná, ale tiež získate vizuálne a nasadenie pokroku. To pomôže lepšie konsolidovať materiál získaný v teórii. Vidieť podrobný algoritmus výpočtov, budete lepšie pochopiť všetky jeho jemnosti a následne nedovoliť chyby v manuálnom výpočte. Okrem toho, nikdy nebude zbytočná, aby sa zdvojnásobila ich výpočty, a to je tiež najlepšie cvičiť tu.

Aby ste vytvorili maticu do online titulu, budete potrebovať niekoľko jednoduchých akcií. Po prvé, zadajte veľkosť matice kliknutím na ikony "+" alebo "-" doľava. Potom zadajte čísla v poli Matrix. Musíte tiež určiť titul, v ktorom je matica postavená. A potom môžete kliknúť len na tlačidlo: "Vypočítať" v dolnej časti poľa. Získaný výsledok bude spoľahlivý a presný, ak ste starostlivo a správne zadali všetky hodnoty. Spolu s ním budete poskytnuté podrobné dekódovacie riešenie.

Lineárna algebra pre žnávky

Ak chcete študovať lineárnu algebru, môžete si prečítať a ponoriť sa do knihy I. V. BELOUSOV "MATRIXES A DERKERPETES". Je však napísaný prísnym a suchým matematickým jazykom, ktorý ľudia s strednou mysle ťažko. Preto som urobil opotrebenie najťažšie pochopenie miest tejto knihy, čo sa snaží uviesť materiál čo najobľúbenejšie, čo je možné, s použitím výkresov čo najviac. Dôkazy o témy, ktoré som znížil. Aby som priznal, ja som im nerozumel. Verte pán Belousov! Súdiac podľa jeho práce, je kompetentným a rozumným matematikam. Môžete si stiahnuť svoju knihu http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/belousov2006ru.pdf.Ak sa chystáte ponoriť do svojej práce, je potrebné urobiť, pretože budem často odkazovať na Belousov.

Začnime s definíciami. Čo je matica? Toto je obdĺžniková tabuľka čísel, funkcií alebo algebraických výrazov. Prečo potrebujete matrice? Veľmi uľahčujú komplexné matematické výpočty. Matrix používa reťazce a stĺpce (obr. 1).

Riadky a stĺpce sú očíslované, počnúc vľavo

zhora (obr. 1-1). Keď hovoria: Matrica veľkosti m n (alebo m na n) je implikovaná m Počet reťazcaa pod n Počet stĺpcov. Napríklad matica na obrázku 1-1 má veľkosť "4 až 3", a nie "3 až 4".

Pozri na obr. 1-3, aké sú matice. Ak matica pozostáva z jedného riadku, nazýva sa reťazec maticu, a ak z jedného stĺpca, potom stĺpec matrice. Matrica sa nazýva štvorcový n-th poradie, ak sa počet riadkov rovná počtu stĺpcov a rovných N. Ak sú všetky matricové prvky nula, potom je to nulová matrica. Štvorcová matrica sa nazýva diagonálna, ak je nula rovná všetkým jej prvkam, okrem tých, ktoré sa nachádzajú na hlavnom uhlopriečke.

Okamžite vysvetliť, čo je hlavná uhlopriečka. Na nitových číslach riadku a stĺpce sú rovnaké. To ide zľava doprava zhora nadol. (Obr. 3) Prvky sa nazývajú diagonálne, ak sa nachádzajú na hlavnej uhlopriečke. Ak sú všetky diagonálne prvky rovné jednej (a zostávajúce nula), matrica sa nazýva jeden. Dve matrice A a B rovnaká veľkosť Volal sa rovná, ak sú všetky ich prvky rovnaké.

2 operácie na matrice a ich vlastnosti

Práca matrice na číslo X je matica rovnakej veľkosti. Ak chcete získať tento produkt, musíte znásobiť každý prvok na toto číslo (obr. 4). Ak chcete získať súčet dvoch matrice rovnakej veľkosti, musíte pridať zodpovedajúce prvky (obr. 4). Ak chcete získať rozdiel A - B dvoch matice rovnakej veľkosti, musíte znásobiť matricu B až -1 a pridávať výslednú matricu s matricou A (Obr. 4). Pre operácie na matrice sú vlastnosti platné: A + B \u003d B + A (komutatívna nehnuteľnosť).

(A + B) + C \u003d A + (B + C) (majetok Associativity). Jednoduchým, rozprávaním sa suma nezmení zo zmeny miest. Pre operácie na matice a číslach sú vlastnosti platné:

(Označujú počet písmen x a y a maticové písmená A a B) x (ya) \u003d (xy) a

Tieto vlastnosti sú podobné vlastnostiam pôsobiacim na operácie nad číslami. Pozrieť sa

príklady Obrázok 5. Pozri príklady 2.4 - 2.6 BELOUSOV NA STRANA 9.

Multiplikácie matrice.

Definuje sa násobenie dvoch matríc len potom (preložené do ruštiny: matrice možno vynásobiť len potom), keď sa počet stĺpcov prvej matrice v práci rovná počtu reťazcov druhej (obr. 7, na TOP, MODRÉ BRAKTY). Ak chcete lepšie zapamätať: Obrázok 1 je viac ako stĺpec.V dôsledku násobenia sa získa matrica veľkosti (pozri obrázok 6). Aby bolo ľahšie zapamätať si, čo potrebujete na násobenie, navrhujem nasledujúci algoritmus: Pozeráme sa na obrázok 7. Vznikla maticu A na matrici B.

matrix dva stĺpce,

v matici B Dve čiary - môžete sa množiť.

1) Budeme sa zaoberať prvým stĺpcom matice B (má len to). Tento stĺpec píšeme v reťazci (Transposeme

stĺpca, o transpozícii presne nižšie).

2) Skopírujte tento reťazec tak, aby sme mali matricu s maticou A.

3) Vynásobte prvky tejto matrice na zodpovedajúce prvky matrice A.

4) Zložiť výsledné práce v každom riadku a dostať samatrix-práca dvoch riadkov a jedného stĺpca.

Obrázok 7-1 ukazuje príklady množenia matríc, ktoré sú viac ako belšie.

1) Tu na prvej matici tri stĺpce, to znamená, že druhá musí mať tri riadky. Algoritmus je presne to isté, že v predchádzajúcom príklade, len tu v každom riadku tri výrazy, a nie dva.

2) Tu má druhá matrica dva stĺpce. Po prvé, robíme algoritmus s prvým stĺpcom, potom s druhou, a dostaneme "dve dve" matrice.

3) Tu na druhej matrici sa stĺpec pozostáva z jedného prvku, stĺpec sa nezmení z transpozície. A nie je potrebné dať nič, pretože v prvej matrici len jeden stĺpec. Robíme algoritmus trikrát a získame "tri tri" matricu.

Uskutočňujú sa tieto vlastnosti:

1. Ak existuje produkt B + C a AB produkt, potom A (B + C) \u003d AB + AC

2. Ak produkt AB existuje, X (AB) \u003d (Xa) B \u003d A (XB).

3. Ak existujú diela AB a BC, potom A (BC) \u003d (AB) C.

Ak existuje produkt matice AB, potom môže produkt BA existovať. Dokonca aj diela AB a BA existujú, môžu byť matice rôznych veľkostí.

Obidve diela AB a BA existujú a sú matice rovnakej veľkosti len v prípade štvorcových matríc A a B rovnakého poriadku. Avšak aj v tomto prípade AB nemusí byť rovná BA.

Do stupňa

Výstavba matrice do určitej miery dáva zmysel len pre štvorcové matrici (premýšľať o tom, prečo?). Potom celý pozitívny stupeň M matrix A je produktom M matrice rovných A. Rovnako ako čísla. Pod nulovým stupňom štvorcovej matrice A je jedna matrica rovnakého poradia ako A. Ak zabudol, čo je jedna matrica, pozrite sa na obr. 3.

Taktiež ako v číslach sa uskutočňujú tieto pomery:

A ma k \u003d m + k (a m) k \u003d mk

Pozrite si príklady Belousov na strane 20.

Transpozície matríc

Transpozícia - Táto konverzia matrice A v matrici, \\ t

v ktorom sú reťazce matice A zaznamenané v stĺpcoch pri zachovaní objednávky. (Obr. 8). Môžete povedať inak:

stĺpy matrice A sa zaznamenávajú v riadkoch matríc s konzervovaním objednávky. Všimnite si, že pri transpozícii zmien veľkosti matrice, to znamená, že počet riadkov a stĺpcov. Tiež si uvedomte, že prvky na prvom riadku, prvom stĺpci a posledný riadok, posledný stĺpec zostávajú na mieste.

Uskutočňujú sa nasledujúce vlastnosti: (AT) T \u003d A (Transpondér

matrica dvakrát - dostanete rovnakú matricu)

(Xa) t \u003d xat (pod x znamenalo číslo, pod A, Samozrejme, Matrix) (ak potrebujete znásobiť maticu na číslo a transponovať, môžete najprv znásobiť, potom transponovať a môžete naopak

(A + B) T \u003d AT + BT (AB) T \u003d BT

Symetrické a antisymmetrické matry

Obrázok 9 v hornej časti ľavice ukazuje symetrickú matricu. Jeho prvky, symetrické vzhľadom na hlavnú diagonálnu, sú rovnaké. A teraz definície: štvorcová matrica

A sa nazýva symetrický, ak na \u003d a. To znamená, že symetrická matrica počas transponovania sa nemení. Symetric je najmä diagonálna matrica. (Takáto matrica je znázornená na obr. 2).

Teraz sa pozrite na antisymmetrickú matricu (obr. 9, dno). Čo sa líši od symetrického? Upozorňujeme, že všetky jeho diagonálne prvky sú nula. V antisymmetrických matriciach sú všetky diagonálne prvky nula. Myslím, prečo? Definícia: štvorcová matrica A sa nazýva

antisymmetrický, ak na \u003d -A. Všimnite si niektoré vlastnosti operácií oproti symetrickému a antisymmetrickému

matriány. 1. Ak sú A a B symetrické (antisymmetrické) matrice, potom A + B je symetrická (antisymmetrická) matrica.

2.If A - Symmetrická (antisymmetrická) matrica, potom XA je tiež symetrická (antisymmetrická) matrica. (V skutočnosti, ak ste vynásobili maticu z obrázku 9 na niektoré číslo, bude symetria stále uložená)

3. Produkt AB z dvoch symetrických alebo dvoch antismetrických matríc A a B je matrica symetrická s AB \u003d BA a antisymmetrickým s AB \u003d-Ba.

4. Ak je symetrická matrica, potomm (m \u003d 1, 2, 3, ...) - symetrická matrica. Ak.

Antisymmetrická matrica, potom AM (M \u003d 1, 2, 3, ...) Je to symetrická matrica s dokoncami a antisymmetrickými - s nepárnym.

5. Arbilná štvorcová matrica A môže byť reprezentovaná ako súčet dvoch matríc. (Zavolajme na tieto matrice, napríklad a (y) a a))

A \u003d A (S) + A (A)

Tu sa budeme naďalej spúšťať v prvej časti operácií nad matricami a zázrak sa o pár príkladov, v ktorých budete musieť použiť niekoľko operácií naraz.

Výstavba matice do titulu.

Nech K nie je negatívne číslo. Pre akúkoľvek štvorcovú matricu $ A_ (N Tixs n) $ máme: $$ A ^ K \u003d podjednotiteľné (a \\ t

V tomto prípade predpokladáme, že $ A ^ 0 \u003d E $, kde $ E $ je jedna matica zodpovedajúcej objednávky.

Príklad číslo 4.

Matrica $ A \u003d LEFT (štart (Array) (CC) 1 a 2 - 1 & -3 End (Array) vpravo) $ je nastavený. Nájdite matice $ A ^ 2 $ a $ A ^ $ 6.

Podľa definície $ A ^ 2 \u003d A CDOT A $, t.j. Ak chcete nájsť $ A ^ $ 2 $ Len potrebujeme znásobiť $ a $ matici pre seba. Multiplikačná prevádzka matríc bola zvážená v prvej časti témy, takže tu jednoducho napíšeme proces riešenia bez podrobných vysvetlení:

$$ A ^ 2 \u003d A CDOT A \u003d Vľavo (začiatok (pole) (CC) 1 a 2 \\\\ - 1 & -3 End (Array) vpravo) CDOT Vľavo (Začiatok) (CC) 1 & 1 & -3 End (Array) vpravo) \u003d vľavo (Začiatok (pole) (CC) 1 CDOT 1 + 2 CDOT (-1) & 1 cdot 2 +2 CDOT (-3) - 1 cdot 1 + (- 3) cdot (-1) & -1 cdot 2 + (- 3) cdot (-3) koniec (pole) ) \u003d vľavo (spustenie (pole) (cc) -1 & -4 2 & 7 end (pole) vpravo). $$.

Ak chcete nájsť $ A ^ $ 6 Matrix Máme dve možnosti. OPTION PRVÁ: TRITELY Pokračujte v násobení $ A ^ $ 2 na $ A $ Matrix:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 CDOT A A. $$

Avšak, je možné ísť trochu jednoduchšie prostredníctvom vlastností priostupnosti množenia matice. Vložíme zátvorky do výrazu za $ a ^ $ 6:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 CDOT A \u003d CDOT A SKOT A \u003d A ^ 2 CDOT (A / CDOT A) CDOT (A CDOT A) \u003d A ^ 2 CDOT A ^ 2 Cdot a ^ 2. $$.

Ak by pri riešení prvej metódy by existovali štyri multiplikačné operácie, potom pre druhú metódu - len dve. Poďme cez druhý spôsob:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 CDOT A ^ 2 CDOT A ^ 2 \u003d vľavo (začiatok (pole) (cc) -1 & -4 2 & 7 end (pole) vpravo) \\ t CDOT doľava (začiatok (pole) (cc) -1 a -4 2 a 7 end (pole) vpravo) CDOT vľavo (začiatok (začiatok) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 a 7 END (ARRAY) RIGHT) \u003d REGISTRÁCIA (ŠTART (ŠTART) (CCC) -1-1 CDOT (-1) + (- 4) ) + (- 4) CDOT 7 2 CDOT (-1) + 7 CDOT 2 & 2 CDOT (-4) + 7 CDOT 7 END (ARRAY) RIGHT) CDOT Vľavo (\\ t Začiatok (pole) (CC) -1 & -4 2 & 7 End (Array) vpravo) \u003d vľavo (Začiatok (Array) (CC) -7 & -24 12 & 41 \\ t Array) Right) CDOT vľavo (začiatočná (pole) (CC) -1 & -4 2 & 7 End (Array) vpravo) \u003d vľavo (Začiatok (pole) ) -7 cdot (-1) + (- 24) cdot 2 & -7 cdot (-4) + (- 24) cdot 7 12 cdot (-1) +41 cdot 2 & 12 Cdot (-4) +41 cdot 7, ktorý je vpravo) \u003d vľavo (spustenie (pole) (cc) -41 & -140 0 & 239 (Array) vpravo). $$.

Odpoveď: $ A ^ 2 \u003d vľavo (Začiatok (pole) (CC) -1 & -4 2 & 7 End (Array) vpravo) $, $ A ^ 6 \u003d vľavo (Začiatok (Array) (Cc) -41 & -140 0 & 239 End (Array) vpravo) $.

Príklad číslo 5.

Matrix $ A \u003d doľava (začiatok (pole) (CCCC) 1 a 0 & -1 a 2 3 & 5 & 0 (Array) vpravo) $, $ B \u003d vľavo (\\ t (Array) (CCC) -9 & 1 & 0 2 & -1 & -2 0 & -2 & 3 1 & -1 & End (Array) vpravo) $, $ C \u003d vľavo (Začiatok (pole) (CCC) -5 &--15 &8 a 13 a 12 a 9 a--15 a 8 \\\\ (Array) vpravo) $. Nájdite maticu $ d \u003d 2ab-3c ^ t + 7e $.

Výpočet matrice $ D $ začne s nájdením výsledku produktu $ AB $. Matrice $ A $ a $ B a $ B $ možno vynásobiť, pretože počet stĺpcov $ a $ matrix stĺpca sa rovná počtu riadkov MATRIX $ B $. Označuje $ f \u003d ab $. V tomto prípade má Matrica $ F tri stĺpce a tri riadky, t.j. Bude to štvorec (ak sa tento výstup zdá byť nejasný, pozrite si popis množenia matríc v prvej časti tejto témy). Nájdeme $ F $ MATRIX, vypočíta všetky svoje prvky:

$$ F \u003d a cdot b \u003d vľavo (spustenie (pole) (cccc) 1 a 0 & -1 a 2 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & A4 & -3 & 6 \\\\ Koniec (pole) vpravo) CDOT Vľavo (Začiatok (pole) (CCC) -9 & 1 & 1 & -1 a 0 & -2 & 3 1 & -1 & -2 & -2 & 3 \\ t Koniec (pole) vpravo) Začiatok (zarovnané) & F_ (11) \u003d 1 cdot (-9) +0 cdot 2 + (- 1) cdot 0 + 2 cdot 1 \u003d -7; & F_ (12) \u003d 1 cdot 1 + 0 cdot (-1) + (- 1) cdot (-2) +2 cdot 5 \u003d 13; & F_ (13) \u003d 1 CDOT 0 + 0 CDOT 4 + (- 1) CDOT 3 + 2 CDOT 0 \u003d -3; \\\\ \\\\ & F_ (21) \u003d 3 CDOT (-9 ) + (- 2) cdot 2 + 5 cdot 0 + 0 cdot 1 \u003d -31; & f_ (22) \u003d 3 cdot 1 + (- 2) cdot (-1) +5 cdot (-2) +0 cdot 5 \u003d -5; & f_ (23) \u003d 3 cdot 0 + (- 2) cdot 4 + 5 cdot 3 + 0 cdot 0 \u003d 7; \\\\ \\\\ & F_ (31) \u003d - 1 cdot (-9) +4 cdot 2 + (- 3) cdot 0 + 6 cdot 1 \u003d 23; & F_ (32) \u003d - 1 cdot 1 + 4 cdot (-1) + (- 3) cdot (-2) +6 cdot 5 \u003d 31; & f_ (33) \u003d - 1 Cdot 0 + 4 cdot 4 + (- 3) cdot 3 + 6 cdot 0 \u003d 7. End (zarovnané) $$

Takže, $ f \u003d vľavo (štart (Array) (CCC) -7 & 13 & -3, -31 & -5 & 7 23 & 31 & 7 End (Array) vpravo) $. Poďme ďalej. Matrix $ c ^ t $ - transponovaná matica pre $ c $ matici, t.j. $ C ^ t \u003d vľavo (začiatok (pole) (CCC) -5 & 10 & 3 - 20 a 12 & -15 13 & 9 end (Array) vpravo) $. Pokiaľ ide o maticu $ e $, potom je to jedna matica. V tento prípad Poradie tejto matrice je tri, t.j. $ E \u003d vľavo (začiatok (pole) (CCC) 1 a 0 & 0 0 & 1 & 0 a 0 & 1 end (Array) vpravo) $.

V zásade môžeme pokračovať v kroku krok za krokom, ale zostávajúci výraz je lepšie zvážiť úplne bez toho, aby bol rozptyľovaný pomocnými akciami. V skutočnosti máme iba operácie na množenie matíc pre číslo, ako aj operácie pridávania a odčítania.

$$ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E \u003d 2 CDOT Vľavo (Začiatok (Array) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\ t Koniec (pole) Right) -3 CDOT vľavo (začiatočná (pole) (CCC) -5 & 10 & 3 - 20 & 12 & -111 13 & 9 a 12 & -111 \\ t Right) +7 CDOT vľavo (začiatok (pole) (CCC) 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 a 0 & 1 End (Array) vpravo)

Vynásobte matrice v pravej časti rovnosti na zodpovedajúcich číslach (t.j. 2, 3 a 7):

$$ 2 CDOT Vľavo (Začiatok (pole) (CCC) -7 & 13 & -3 ~ -31 & -5 & 7 23 & 31 & 7 end (Array) vpravo) -3 \\ t CDOT vľavo (začiatok (pole) (CCC) -5 & 10 a 3 - 20 a 12 & -15 13 & 9 end (Array) vpravo) +7 cdot vľavo (\\ t Začiatok (pole) (CCC) 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 a 0 & 1 end (pole) vpravo) \u003d vľavo (Začiatok (pole) (CCC) - 14 & 26 & 14 \\\\ -62 & -10 & 14 46 & 62 & 14 End (Array) vpravo) - vľavo (Začiatok (Array) (CCC) -15 a 13 a 9 60 & 36 & -45 39 & 27 a 24 End (Array) vpravo) + vľavo (Začiatok (Array) (CCC) 7 a 0 & 0 0 a 7 a 0 \\ t & 7 End (Array) vpravo) $$

Vykonané nedávne akcie: Odčítanie a pridanie:

$$, vľavo (Začiatok (Array) (CCC) -14 a 26 & A-62 &--10 a 14 62 & 14 - \\ t (Array) (CCC) -15 & 30 & 9 \\\\ -60 & 36 & -45 39 & 27 a 24 End (Array) vpravo) + vľavo (Začiatok (pole) (CCC) 7 & 0 a 0 0 & 7 end (pole) vpravo) \u003d vľavo (začiatok (začiatok) (ccc) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 & -6- 9 + 0 -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 a 14 - (- 45) +0 46-39 + 0 & 62-27 +0 & 14-24 + 7 \\ t Koniec (pole) vpravo) \u003d doľava (začiatok (pole) (CCC) 8 & -4 &--15 2 & -39 a 59 7 a 35 & -3 end (pole) \\ t ). $$.

Úloha je vyriešená, $ d \u003d doľava (začiatok (pole) (CCC) 8 & -4 &--11_2 & -39 a 59 7 & 35 & -3 end (Array) ) $.

Odpoveď: $ D \u003d vľavo (začiatočná (pole) (CCC) 8 & -4 & -31 - 2 & -39 a 59 7 & 35 & -3 End (Array) vpravo) $.

Príklad číslo 6.

Nech $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ a matice $ A \u003d vľavo (štart (pole) (cc) -3 a 1 \\ t 5 a 0. koniec (pole) vpravo) $ . Nájdite hodnotu $ f (a) $.

Ak $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $, potom pod $ f (a) $ pochopiť maticu:

$$ F (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E. $$.

Takto sa z matrice stanoví polynóm. Takže potrebujeme nahradiť matricu $ A $ v výraze za $ f (a) $ a získať výsledok. Vzhľadom k tomu, všetky akcie boli podrobne detailne detailné, potom budem len rozhodnúť. Ak je proces vykonania operácie $ A ^ \u003d A CDOT A $ ACTIVE pre vás, odporúčam, aby ste sa pozreli na opis násobenia matríc v prvej časti tejto témy.

$$ F (A) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E \u003d 2A CDOT A + 3A-9E \u003d 2 REST (ŠTART (NÁKROKE) Vpravo) CDOT vľavo (začiatok (pole) (cc) -3 a 1 \\ t 5 a 1 konc (pole) vpravo) +3 vľavo (spustenie (pole) (cc) -3 & 1 5 & \u200b\u200b0 koncové (pole) vpravo) -9 vľavo (štart (pole) (cc) 1 a 0 0 a 1 end (pole) vpravo) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ t Začiatok (pole) (cc) (-3) cdot (-3) +1 cdot 5 & (-3) cdot 1 + 1 cdot 0 5 cdot (-3) +0 cdot 5 & 5 CDOT 1 + 0 CDOT 0 Skonge (pole) vpravo) +3 vľavo (začiatok (pole) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ t Vľavo (začiatok (pole) (CC) 1 a 0 0 a 1 end (Array) vpravo) \u003d \\\\ \u003d 2 vľavo (Začiatok (pole) (CC) 14 & -3 15 & 5 END (ARRAY) Right) +3 vľavo (Začiatok (pole) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\\\ (začiarknutie) vpravo) -9 ) (CC) 1 a 0 a 1 end (Array) vpravo) \u003d vľavo (Začiatok (pole) (CC) 28 & -6 \\\\ --30 a 10 End (Array) + Vľavo (Začiatok (pole) (cc) -9 a 3 15 a 0 - Array) vpravo) - vľavo (Začiatok (Array) (CC) 9 a 0 \\ t Koniec (pole) vpravo) \u003d vľavo (začiatok (pole) (cc) 10 & -3 - 15 a 1 end (pole) vpravo). $$.

Odpoveď: $ F (a) \u003d doľava (začiatok (pole) (cc) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 end (Array) vpravo) $.

Niektoré vlastnosti operácií nad matricami.
Maticové výrazy

A teraz pokračovanie témy, v ktorej budeme zvážiť nielen nový materiál, ale aj prácu akcie s matricami.

Niektoré vlastnosti operácií nad matricami

Existuje pomerne veľa nehnuteľností, ktoré sa týkajú akcií s matricami, v tej istej Wikipédii môžete obdivovať štíhle kroky príslušných pravidiel. Avšak v praxi mnoho nehnuteľností v určitom zmysle "mŕtvy", pretože len niektoré z nich sa používajú pri riešení skutočných úloh. Mojím cieľom je zvážiť aplikovanú aplikáciu vlastností na konkrétne príklady, a ak potrebujete prísnu teóriu, použite ďalší zdroj informácií.

Zvážiť niektoré výnimky z pravidlabude potrebné vykonávať praktické úlohy.

Ak má štvorcová matrica inverzná matrica , potom ich násobenie komutuácie:

Jednoduchá matrica Nazýva sa štvorcová matrica, ktorá hlavný diagonálny Jednotky sa nachádzajú a zostávajúce prvky sú nula. Napríklad: atď.

Kde Spravodlivosti: Ak sa ľubovoľná matrica násobí Ľavá alebo pravá Na jednej matrici vhodných veľkostí je výsledkom počiatočnú maticu:

Ako vidíte, prebieha aj komutácia multiplikácie matrice.

Vezmite si nejakú matricu, povedzme, matricu z predchádzajúcej úlohy: .

Tí, ktorí chcú kontrolovať a uistiť sa, že:

Jedna matrica pre matrice je analóg číselnej jednotky pre čísla, ktorá je z uvedených príkladov jednoznačne vidieť.

Komutativita numerického faktora vzhľadom na množenie matríc

Pre matrice a skutočné číslo je táto vlastnosť spravodlivá:

To znamená, že číselný multiplikátor môže (a potrebný), aby sa tak, aby "neinterferoval" násobiť maticu.

Poznámka : Všeobecne povedané, znenie nehnuteľnosti je neúplné - "Lambda" môže byť umiestnený kdekoľvek medzi matricami, dokonca aj na konci. Pravidlo zostáva spravodlivé, ak sa vynásobí tri alebo viac matríc.

Príklad 4.

Vypočítať prácu

Rozhodnutie:

(1) Podľa nehnuteľnosti Posuňte numerický faktor dopredu. Nemôžete usporiadať matrice!

(2) - (3) Vykonajte multiplikáciu matice.

(4) Tu môžete zdieľať každé číslo 10, ale potom sa medzi prvkom matrice objavia desatinné frakcie, ktoré nie sú dobré. Avšak, sme si všimli, že všetky čísla matríc sú rozdelené do 5, takže vynásobíte každý prvok.

Odpoveď:

Little Charade pre vlastné riešenia:

Príklad 5.

Vypočítať, ak

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Aký technický príjem je dôležitý pri riešení takýchto príkladov? S číslom, ktorým rozumieme nakoniec .

Vstup do lokomotívy Ďalšie auto:

Ako vynásobiť tri matrice?

Po prvé, čo by sa malo stať v dôsledku násobenia troch matríc? Mačka nebude porodiť myši. Ak je multiplikácia matrice uskutočniteľná, potom nakoniec bude matrica fungovať aj. M-ÁNO, No, môj učiteľ v Algebre nevidí, ako vysvetľujem uzavretie algebraickej štruktúry, pokiaľ ide o jej prvky \u003d)

Práca troch matríc možno vypočítať dvoma spôsobmi:

1) Nájsť a potom sa množia na "CE" Matrix:;

2) Buď najprv nájdete, potom vykonajte násobenie.

Výsledky sa určite zhodujú a teoreticky táto nehnuteľnosť sa nazýva Associativity Matication Multiplikácie:

Príklad 6.

Vynásobte matricu dvoma spôsobmi

Algoritmus riešenia Two-chlpatý: Nájdeme produkt z dvoch matríc, potom opäť nájdeme produkt z dvoch matríc.

1) Používame vzorec

Akcia najprv:

Akcia druhej:

2) Používame vzorec

Akcia najprv:

Akcia druhej:

Odpoveď:

Zvyčajný a štandardný, samozrejme, prvý spôsob, ako vyriešiť, "bez ohľadu na to, ako je všetko v poriadku." Mimochodom, o objednávke. V posudzovanej úlohy vzniká ilúzia často, že hovoríme o niektorých permutáciách matice. Nie sú tu. Opäť si spomínam všeobecne Usporiadané matrice nemôžu. Takže v druhom bode, v druhom kroku, vykonávame násobenie, ale v žiadnom prípade. S bežnými číslami, takýto číslo prešiel a s matricami - č.

Vlastnosť multiplikačnej asociácie je platná nielen pre štvorec, ale aj pre ľubovoľné matrice - ak by sa vynásobili:

Príklad 7.

Nájdite prácu troch matríc

Toto je príklad pre nezávislé riešenie. Vo vzorke sa výpočtové riešenia uskutočňovali dvoma spôsobmi, analyzovali, ktorá cesta je výhodnejšie a kratšia.

Vlastnosti priosporiadanosti multiplikácie matrice prebiehajú viac multiplikátorov.

Teraz je čas vrátiť sa do stupňov matríc. Námestie matice sa považuje za samozrejme a na programe otázky:

Ako vybudovať matricu v kocke a vyššie stupne?

Tieto operácie sú definované aj pre štvorcové matrice. Ak chcete zvýšiť štvorcovú matricu do kocky, musíte vypočítať prácu:

V skutočnosti to súkromný prípad Vynásobenie troch matríc podľa vlastnosti priosporiadania multiplikácie matrice :. \\ T A matrica vynásobená samotným je námestie matice:

Dostaneme teda pracovný vzorec:

To znamená, že úloha sa vykonáva v dvoch krokoch: Najprv matrix musí byť zvýšená do námestia a potom výsledná matrica znásobuje matricu.

Príklad 8.

Postaviť maticu do kocky.

Toto je malá úloha nezávislého riešenia.

Výstavba matrice vo štvrtom stupni sa vykonáva prirodzeným spôsobom:

Pomocou asociácie multiplikácie matice vyberte dve pracovné vzorce. Po prvé: - Toto je práca troch matríc.

jeden). Inými slovami, najprv nájdeme, potom sme dominantní "byť" - dostaneme kocku, a nakoniec vykonávame násobenie opäť - štvrtý stupeň bude.

2) Ale v kroku kratšie je riešenie :. To znamená, že v prvom kroku nájdeme štvorec a obchádzanie kocky, vykonávať množenie

Dodatočná úloha Napríklad 8:

Hodnotiť matricu vo štvrtom stupni.

Akonáhle poznamenal, môže sa vykonať dvoma spôsobmi:

1) Keďže kocka je čoskoro známa, potom vykonávame násobenie.

2) Avšak, ak podmienkou úlohy musíte vybudovať matricu len vo štvrtom stupni, cesta je prospešná pre zníženie - nájsť štvorec matrice a použiť vzorec.

Riešenia a reakcie - na konci hodiny.

Podobne sa matrica postavila v piatom a vyššom stupni. Z praktických skúseností môžem povedať, že niekedy existujú príklady výstavby 4. stupňa, ale nie som si spomenul na piaty titul. Ale len v prípade, že prinesiem optimálny algoritmus:

1) nájdeme;
2) nájdeme;
3) Staviame maticu do piateho stupňa :.

Snáď, snáď, všetky základné vlastnosti operácií Matrix, ktoré môžu byť užitočné v praktických úlohách.

V druhej časti lekcie sa neočakáva žiadna menej dôveryhodná strana.

Maticové výrazy

Opakujeme obvyklé školské výrazy s číslami. Numerická expresia sa skladá z čísel, príznakov matematických akcií a konzol, napríklad: . Pri výpočte, známa algebraická priorita: najprv zohľadnená zátvorkypotom vykonaný do stupňa stupňa koreňovneskôr násobenie / rozdelenie A naposledy - pridanie / odčítanie.

Ak číselný výraz dáva zmysel, potom je výsledkom jeho výpočtu číslo, napr.:

Maticové výrazy Usporiadané takmer rovnaké! S týmto rozdielom, že hlavné herci sú matice. Plus niektoré špecifické operácie matrice, ako je transponovanie a hľadanie reverzná matica.

Zvážte výraz matici kde - niektoré matrice. V tejto expresii matrice sú plne splnené tri zložky a prídavky na pridávanie / odčítanie.

V prvom termíne, musíte najprv transponovať maticu "BE":, potom vykonať násobenie a vykonať "deuce" na výslednú maticu. poznač si to prenosná prevádzka má viac vysoká prioritaako násobenie. Konzoly, ako v numerických výrazoch zmeňte postup: - Tu sa násobenie uskutočňuje najprv, potom je výsledná matrica transponovaná a vynásobená 2.

V druhom termíne sa matrix multiplikácia vykonáva predovšetkým a inverzná matrica je už z práce. Ak sú zátvorky odstránené: je to najprv potrebné nájsť reverznú matricu a potom násobiť maticu :. Nájdenie reverznej matrice má tiež prednosť pred násobením.

Všetko je zrejmé s tretím termínom: Budeme stavať maticu do kocky a urobiť "päť" do výslednej matrice.

Ak výraz matrici dáva zmysel, výsledkom jeho výpočtu je matrica.

Všetky úlohy budú z reálnej testovanej práce a začneme s najjednoduchším:

Príklad 9.

Dana matici . Nájsť:

Rozhodnutie: Postup je zrejmý, najprv sa uskutočňuje násobenie, potom pridanie.

Pridanie nie je možné vykonať, pretože matice rôznych veľkostí.

Nenechajte sa prekvapení, zjavne nemožné akcie sú často ponúkané v úlohách tohto typu.

Snažíme sa vypočítať druhý výraz:

Všetko je tu v poriadku.

Odpoveď: Akcia nie je možná, .

Matrix A -1 sa nazýva inverzná matrica vo vzťahu k matrici A, ak A * A -1 \u003d E, kde E je jediná matrica N-poradie. Reverzná matrica môže existovať len pre štvorcové matrice.

Menovanie služby. Cez táto služba V režime online nájdete algebraické doplnky, transponovaný maticu A T, spojenecká matrica a reverzná matrica. Rozhodnutie sa vykonáva priamo na stránke (v režime online) a je zadarmo. Výsledky výpočtov sa vydávajú v správe o formáte slov av formát programu Excel (t.j. Je možné skontrolovať riešenie). Pozri príklad registrácie.

Inštrukcie. Ak chcete získať riešenie, musíte špecifikovať rozmer matrice. Ďalej v novom dialógovom okne vyplňte maticu a.

Pozri tiež inverznú matricu Jordánsko-Gauss

Algoritmus pre návratovaciu matricu

Nájsť transponovaný maticu a t.
Definícia algebraických doplnkov. Každý prvok matrice vymeňte jej algebraickým pridávaním.
Príprava vratnej matrice z algebraických prídavkov: Každý prvok výslednej matrice je rozdelený na determinant pôvodnej matrice. Výsledná matrica sa opakuje pre pôvodnú matricu.

Nasledujúci algoritmus pre návratovaciu matricu Podobne ako predchádzajúce okrem niektorých krokov: Najprv sa vypočítajú algebraické prísady a potom sa stanoví spojenecká matica C.

Určite, či štvorcová matrica. Ak nie, reverzná matrica pre ňu neexistuje.
Výpočet determiny matrice a. Ak nie je rovná nule, pokračujeme v riešení, inak nie je žiadna reverzná matrica.
Definícia algebraických doplnkov.
Plnenie Únie (vzájomná priložená) matica C.
Vypracovanie reverznej matrice algebraických prídavkov: Každý prvok pripojenej matrice C je rozdelený na determinant pôvodnej matrice. Výsledná matrica sa opakuje pre pôvodnú matricu.
Kontrola: Presuňte originálnu a získanú matricu. Výsledkom je, že je potrebné získať jediná matrica.

Príklad číslo 1. Píšeme matricu vo forme:

Algebraické doplnky. Δ 1,2 \u003d - (2 · 4 - (- 2 · (-2))) \u003d -4 Δ 2.1 \u003d - (2 · 4-5 · 3) \u003d 7 Δ 2,3 \u003d - (- 1 · 5 - (- 2 · 2)) \u003d 1 Δ 3,2 \u003d - (- 1 · (-2) -2 · 3) \u003d 4

A -1 \u003d.