Karmaşık integraller

Bu makalede belirsiz integrallerin konusunu tamamlar ve bunun içinde oldukça karmaşık olarak düşündüğüm entegraller dahildir. Ders, isteklerleri dile getiren ziyaretçilerin tekrarlanan isteklerinde oluşturuldu, böylece daha zor örnekler sitede sökülür.

Bu metnin okuyucunun iyi hazırlandığı ve ana entegrasyon tekniklerinin nasıl uygulanacağını bildiği varsayılmaktadır. Çaydanlıklar ve integrallerle ilgili çok güvenli bir şekilde ele alınmayan insanlar ilk dersi yönlendirilmelidir - Belirsiz integral. Çözüm örnekleriNeredeyse sıfır ile konuya ustalaşabilirsiniz. Daha deneyimli öğrenciler, makalelerimin henüz tanışmadığı entegrasyon tekniklerini ve yöntemlerini tanıdıklar.

Hangi integraller dikkate alınacak?

İlk olarak, sürekli olarak kullanılan kökleri olan integralleri göz önünde bulunduracağız. değişkenin Değiştirilmesi ve parçalara entegrasyon. Yani, bir örnekte, iki resepsiyon birleştirilir. Ve daha da fazlası.

O zaman ilginç ve orijinal ile tanışacağız. yöntem bilgisi kendinize entegral. Bu yöntem çok az integral değil çözüldü.

Programın üçüncü sayısı, önceki makalelerdeki nakit kayıtları geçtikten sonra karmaşık fraksiyonlardan ayrılacaktır.

Dördüncüsü, trigonometrik fonksiyonlardan ek integraller demonte edilecektir. Özellikle, evrensel bir trigonometrik sübstitüsyonun zamanını kaçırmanıza izin veren yöntemler vardır.

(2) Integrand işlevinde, payda sayısal.

(3) Belirsiz bir integralin doğrusallık özelliğini kullanın. Hemen son integralde İşlevi diferansiyelin işareti altında süpürün.

(4) Kalan integralleri alın. Lütfen logaritm içinde, o zamandan beri bir modül değil, parantez kullanabileceğinizi unutmayın.

(5) "TE", doğrudan değiştirilmesinden ifade ederek değiştiriyoruz:

Masochian öğrencileri cevabı kayıtsızlaştırabilir ve sadece yaptığım gibi orijinal Integrand işlevini alabilirsiniz. Hayır, hayır, doğru anlamda doğrulamayı yerine getirdim \u003d)

Gördüğünüz gibi, çözümün ikiden fazla kararını bile kullanmak zorunda kaldığım karar boyunca, benzer integrallere sahip misilleme için, kendinden emin entegrasyon becerilerine ihtiyacınız var ve en küçük deneyime ihtiyacınız var.

Uygulamada, elbette, karekökü daha yaygındır, burada bağımsız bir çözüm için üç örnek:

Örnek 2.

Bulmak belirsiz ayrılmaz

Örnek 3.

Belirsiz bir integral bul

Örnek 4.

Belirsiz bir integral bul

Aynı türdeki bu örnekler, bu nedenle, makalenin sonundaki tam çözüm sadece Örnek 3-4 - bir cevaplar. Kararların başında hangi değiştirme, açıkça düşünüyorum. Neden aynı tür örnekleri aldın? Genellikle rolünüzde bulunur. Daha sık, belki de, sadece bir şey .

Ancak her zaman, Arctgennes, Sinus, Kosinüs, Üstel, vb. Özellikleri doğrusal bir fonksiyonun köküdür, çeşitli yöntemler uygulanmalıdır. Bazı durumlarda, "kurtulmak", yani değiştirmeden hemen sonra, basit bir integral elde edilir, bu da temel alır. Önerilen görevlerin en kolay olanı Örnek 4'tür, bu da değiştirildikten sonra nispeten basit bir integral ortaya çıkar.

Yöntem bilgisi kendinize entegral

Esprili ve güzel bir yöntem. Derhal türün klasiklerini göz önünde bulundurun:

Örnek 5.

Belirsiz bir integral bul

Kök altında bir kare biccoon var ve bu örneği entegre etmeye çalışırken, su ısıtıcısı saatlerce acı çekebilir. Böyle bir integral parçalar halinde alınır ve kendisine iner. Prensip olarak, zor değil. Nasıl olduğunu biliyorsan.

Latin harfinin düşünülen entegreli olarak belirtir ve çözüme başlayın:

Parçaları entegre ediyoruz:

(1) Toprak bölümü için bir yedek işlev hazırlıyoruz.

(2) Değiştirme işlevini böldük. Belki de açıkça değil, daha ayrıntılı olarak yazacağım:

(3) Belirsiz bir integralin doğrusallık özelliğini kullanın.

(4) Son integrali ("uzun" logaritm) alın.

Şimdi kararın en başlangıcına bakıyoruz:

Ve sonunda:

Ne oldu? Manipülasyonlarımızın bir sonucu olarak, ayrılmaz kendisine geldi!

Başlangıç \u200b\u200bve sonu eşitliyoruz:

Sol tarafa işaret değişikliği ile transfer ediyoruz:

Ve demo sağ tarafa demoloz. Sonuç olarak:

Sabit, kesinlikle konuşan, daha önce eklenmesi gerekiyordu, ancak sonunda atfedildi. Bir titizlikle burada olanı okumanızı şiddetle tavsiye ederim:

Not: Çözümün daha katı bir son aşaması şöyle görünür:

Böylece:

Sabit olarak tekrar kullanılabilir. Neden yeniden yayınlayabilirsin? Çünkü hala alır hiç Değerler ve bu anlamda sabitler arasında ve fark yoktur.
Sonuç olarak:

REISSUED sabiti olan böyle bir numara yaygın olarak kullanılmaktadır. diferansiyel denklemler. Ve orada sıkı olacağım. Ve burada böyle bir özgürlük, sadece sizi gereksiz şeylerle karıştırmamak ve entegrasyon yöntemine odaklanmamasına izin verilir.

Örnek 6.

Belirsiz bir integral bul

Kendi kendine kararlar için bir başka tipik integral. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Önceki örneğin yanıtı ile fark olacak!

Eğer altında kare kök Bir kare üçlü var, her durumda çözelti iki demonte örneğe düşürülür.

Örneğin, integrali düşünün . Yapmanız gereken tek şey tam kare seçin:
.
Daha sonra, doğrusal bir replasman, "sonuç olmadan" maliyetlerdir:
Sonuç olarak, ayrılmaz elde edilir. Tanıdık bir şey değil mi?

Veya böyle bir örnek, kare sıçrayan:
Tam bir kareyi vurguluyoruz:
Ve, doğrusal bir replasmandan sonra, zaten düşünülen algoritma tarafından da çözülen bir integral elde ediyoruz.

İki tane daha düşünün tipik örnek Resepsiyon bilgisi kendinize entegre:
- sinüs ile çarpılan sermayenin integrali;
- Cosin ile çarpılan sermayenin integrali.

Parçalardaki listelenen integrallerde iki kez entegre edilmelidir:

Örnek 7.

Belirsiz bir integral bul

Integrand işlevi, sinüs ile çarpılan bir katılımcıdır.

İki kez parçaları entegre ediyoruz ve ayrıntıyı kendinize getiriyoruz:

Parçalardaki iki zamanlı entegrasyonun bir sonucu olarak, integral kendisine girmiştir. Başlangıç \u200b\u200bve bitiş çözümlerini eşitliyoruz:

Sol tarafa, işaretin değişikliği ile transfer ediyoruz ve ayrılmaz bir şekilde ifade ediyoruz:

Hazır. Ayrıca, sağ tarafla mücadele etmek arzu edilir, yani. Braketler için ve "güzel" siparişte kosinüs ile sinüsü yatmak için parantez için bir üs ilahı yapmak.

Şimdi, örneğin başlangıcına geri dönelim ya da daha doğrusu - parçalara entegrasyon için:

Çünkü katılımcıyı belirledik. Soru ortaya çıkıyor, katılımcıya başvurmak her zaman gereklidir? Gerekli değil. Aslında, incelenen integralde prensip fark yokNeye atıfta bulunulmalı, başka bir yoldan gitmek mümkündü:

Neden mümkün? Katılımcı kendi kendine döndüğü için (ve farklılaşma sırasında ve entegrasyon sırasında), kosinüslü sinüs karşılıklı olarak birbirlerine (yine - hem farklılaşma sırasında hem de entegrasyon sırasında).

Yani, trigonometrik fonksiyon gösterilebilir. Ancak, incelenen örnekte, kesirler göründüğü için daha az rasyoneldir. İsterseniz, bu örneği ikinci şekilde çözmeyi deneyebilirsiniz, cevaplar daha dengesiz olmalıdır.

Örnek 8.

Belirsiz bir integral bul

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Karar vermeden önce, bu durumda daha karlı olduğunu düşünün, üssün veya trigonometrik işlevi belirlemek için mi? Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Ve elbette, bu dersin cevaplarının çoğunun farklılaşmayı kontrol etmek için oldukça kolay olduğunu unutmayın!

Örnekler en zor değil olarak kabul edilmedi. Uygulamada, integraller daha sık, üs göstergesinde ve bir trigonometrik fonksiyonun argümanında bir sabit olduğunda, örneğin: Benzer bir integralde düşündüm, çoğu yapmak zorunda kalacak, sık sık beni şaşırtıyorum. Gerçek şu ki, fraksiyonların görünümünün olasılığını çözmek ve çok basit bir şeydir. Buna ek olarak, işaretlerdeki hataların olasılığı harikadır, lütfen üssün göstergesinde eksi işareti olduğu ve bu ek zorluk yarattığını unutmayın.

Son aşamada yaklaşık olarak aşağıdakiler genellikle elde edilir:

Kararın sonunda bile, kesirlerle son derece özenli ve yetkin bir şekilde anlaşılmalıdır:

Karmaşık fraksiyonları entegre etmek

Yavaş yavaş ders ekvatoruna gidiyoruz ve entegreleri kesirlerden düşünmeye başlıyoruz. Yine, hepsi süper değil, sadece bir nedenden ötürü ya da başka bir örnek başka makalelerde biraz "konuda değil" idi.

Köklerin konusuna devam ediyoruz

Örnek 9.

Belirsiz bir integral bul

Korominatorda, kökünün altında "İKSA" şeklinde "iyileştirin" kökünde bir kare üç bayat artı vardır. Bu türün integrali standart değiştirme kullanılarak çözülür.

Karar veriyoruz:

Değiştirme Buraya Basit:

Değiştirdikten sonra hayata bakıyoruz:

(1) İkame edildikten sonra, kök altındaki genel paydaş terimlerine veriyoruz.
(2) Kökten dayanıyoruz.
(3) Sayısal ve paydayı azaltıyor. Aynı zamanda, kökün altında, bileşenleri rahat bir sırayla yeniden düzenlerim. Belirli bir deney ile, adımlar (1), (2) sözlü eylemleri sözlü olarak gerçekleştirerek atlanabilir.
(4) Elde edilen integral, dersten hatırladığınız gibi Bazı fraksiyonları entegre etmek, karar verir tam bir karenin tahsis edilmesi yöntemi. Tam bir kare seçin.
(5) Entegrasyon, en çok "uzun" bir logaritma elde ediyoruz.
(6) Bir değiştirme yapın. Eğer başlangıçta, sonra geri:.
(7) Son işlem sonucun saç modelini hedeflemektedir: kökün altında, yine bileşenleri genel paydaya getirir ve kökten dayanırlar.

Örnek 10.

Belirsiz bir integral bul

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Burada, Yalnızca "ICSU" adlı sabiti eklendi ve değiştirme neredeyse aynı:

Ayrıca ek olarak yapmanız gereken tek şey, değiştirmeden "X" eksprese etmektir:

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Bazen kökünün altındaki bir integralde, kare bir bicker olabilir, çözümü çözmek için değiştirmez, daha kolay olacaktır. Farkı Hisset:

Örnek 11.

Belirsiz bir integral bul

Örnek 12.

Belirsiz bir integral bul

Dersin sonunda kısa kararlar ve cevaplar. Örnek 11'in tam olarak olduğu belirtilmelidir. binom integral, kararı derste kabul edildi İrrasyonel fonksiyonlardan gelen integraller.

2. dereceye kadar% 2 derecelik belirsiz bir polinomdan ayrılmaz

(payda polinomu)

Daha nadir, ama yine de buluşma pratik örnekler İntegral türü.

Örnek 13.

Belirsiz bir integral bul

Ama örneğin ile geri dön mutlu numara 13 (dürüstçe, uymadı). Bu integral, nasıl çözeceğinizi bilmiyorsanız, yeterince yeterince olabileceğiniz kategorisinden dedir.

Karar yapay dönüşümle başlar:

Numarayı paydaşa nasıl bölünürsünce, her şeyin anlaşıldığını düşünüyorum.

Elde edilen integral parçalar halinde alınır:

Görünüm integrali için (- doğal sayı) kaldırıldı tekrarlayan Derece Azaltma Formülü:
nerede - İntegral derece düşük.

Tahmin edilen integral için bu formülün adaletine ikna edilmeyeceğim.
Bu durumda:, formülü kullanıyoruz:

Gördüğünüz gibi, cevaplar çakışıyor.

Örnek 14.

Belirsiz bir integral bul

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Çözeltinin örneğinde, yukarıda belirtilen formül iki kez idi.

Derece altındaysa Çarpanlara bağımsız Üç katlı kare, daha sonra, örneğin eksiksiz bir kareyi vurgulayarak çözelti aşağı iner.

Ya Numarator'da ek olarak bir polinom var mı? Bu durumda, belirsiz katsayıların yöntemi kullanılır ve entegre fonksiyon, fraksiyon miktarında açıklanmaktadır. Ama böyle bir örnek uygulamamda ben buluşmadım, bu yüzden özledim bu durum makalede Kesirli rasyonel fonksiyondan gelen integrallerBen özlüyorum ve şimdi. Böyle bir ayrılmaz hala buluşursa, ders kitabına bakın - her şey orada basittir. Malzemeyi (hatta basit), sıfıra çaba gösterdiği toplantı olasılığını içerecek şekilde uygun olduğunu düşünmüyorum.

Karmaşık trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu

Çoğu örnek için sıfat "kompleksi", birçok yönden şartlıdır. Teğet ve kotangenlerle yüksek derecelerde başlayalım. Teğet ve kotanjent çözme yöntemleri açısından, neredeyse aynı şey, bu nedenle, teğet hakkında daha fazla konuşacağım, integral çözümünün gösterdiği resepsiyonunun adil ve kotanjent için de olduğunu ima edeceğim.

Yukarıdaki derste, düşündük evrensel Trigonometrik Değiştirme Trigonometrik fonksiyonlardan belirli bir integral türünü çözmek için. Evrensel bir trigonometrik değiştirme eksikliği, kullanıldığında, zor hesaplamaları olan hacimli entegrallerin sıklıkla gerçekleşmesidir. Ve bazı evrensel bir trigonometrik ikame vakalarından kaçınılabilir!

Başka bir kanonik örneği düşünün, ünitedeki entegral sinüs'e ayrılmıştır:

Örnek 17.

Belirsiz bir integral bul

Burada evrensel bir trigonometrik değiştirme kullanabilir ve bir cevap alabilirsiniz, ancak daha rasyonel bir yol var. Her adım için yorumlarla eksiksiz bir çözüm vereceğim:

(1) Çift açılı sinüsün trigonometrik formülünü kullanın.
(2) Yapay bir dönüşüm gerçekleştiriyoruz: payda bölünür ve çoğalırız.
(3) Korominatördeki bilinen formüle göre, teğette fraksiyonu döndürürüz.
(4) İşlevi, diferansiyelin işareti altında süpürün.
(5) İntegrali alın.

Çift basit örnekler Kendi kendine çözümler için:

Örnek 18.

Belirsiz bir integral bul

Not: En ilk eylem formül tarafından kullanılmalıdır. Ve dikkatlice önceki eylem örneğine benzer şekilde gerçekleştirin.

Örnek 19.

Belirsiz bir integral bul

Peki, bu tamamen basit bir örnek.

Dersin sonunda tam çözümler ve cevaplar.

Bence şimdi kimsenin integrallerle ilgili sorunları yok:
vb.

Yöntemin fikri nedir? Fikir, dönüşümlerin yardımı, trigonometrik formüller, tek integranda organize etmek için sadece teğet ve teğet türevi. Yani, değiştirme ile ilgilidir: . Örnek 17-19'da, aslında bu replasmanı uyguladık, ancak integraller, farklı bir etkiyi özetlemek için, diferansiyelin işareti altındaki işlevi özetlemek için çok basitti.

Benzer argümanlar, zaten öngördüğüm gibi, Cotangent için harcayabilirsiniz.

Yukarıdaki değişimin kullanımı için resmi bir önkoşul var:

Kosinüs ve sinüs derecelerinin toplamı bir bütün olumsuz sayıdır, Örneğin:

İntegral için - bütün bir negatif sayı.

K! Not : Integrand işlevi yalnızca sinüs veya sadece kosinüs içeriyorsa, entegral negatif bir tuhaf dereceyle alınır (11, 18, örneklerdeki en basit durumlar).

Bu kural için birkaç daha bilgilendirici görevi düşünün:

Örnek 20.

Belirsiz bir integral bul

Sinüs ve kosinüs derecelerinin toplamı: 2 - 6 \u003d -4, tüm negatif bir sayıdır, bu da integralin teğetlere ve türevlerine indirgenebileceği anlamına gelir:

(1) Payıncayı dönüştürüyoruz.
(2) Ünlü formüle göre, biz alırız.
(3) Payınızı değiştiriyoruz.
(4) Formülü kullanıyoruz .
(5) Farkı farkın işareti altında teslim olun.
(6) Biz değiştiriyoruz. Daha deneyimli öğrenciler değiştirilemez, ancak yine de teğetin bir harfle değiştirmek daha iyidir - daha az risk karıştırılır.

Örnek 21.

Belirsiz bir integral bul

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir.

Beklet, şampiyonun turları başladı \u003d)

Entegre işlevinde sık sık "solyanka" dir:

Örnek 22.

Belirsiz bir integral bul

Bu integralde, teğet başlangıçta mevcuttur, bu da hemen bilinen düşüncelerde izlenir:

En başında yapay dönüşüm ve geri kalan adımların dışında kalan adımları daha yukarıda bahsedildiği için.

Bağımsız bir çözüm için bir çift yaratıcı örnek:

Örnek 23.

Belirsiz bir integral bul

Örnek 24.

Belirsiz bir integral bul

Evet, içinde, elbette, evrensel bir trigonometrik ikame kullanmak için sinüs, kosinik derecesini düşürmek mümkündür, ancak kararlar arasında gerçekleştirilirse karar çok daha verimli ve daha kısa olacaktır. Dersin sonunda tam çözüm ve cevaplar

Her öğrencinin bilmesi gereken ana integraller

Listelenen integraller, temel tabanı temeldir. Bu formüller hatırlanmalıdır. Daha karmaşık integralleri hesaplarken, sürekli kullanmanız gerekir.

Formül (5), (7), (9), (12), (13), (17) ve (19) formüllerine dikkat edin. Cevabına eklediğinizde entegrasyon yaparken unutmayın.

Konstanta'dan ayrılmaz

∫ A D X \u003d A X + C (1)

Entegre güç fonksiyonu

Aslında, yalnızca formül (5) ve (7) ile sınırlamak mümkündü, ancak bu gruptan gelen integrallerin geri kalanı, onlara biraz dikkat etmeye değer olduğu için karşılaşılıyor.

∫ x d x \u003d x 2 2 + c (2)
∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c (3)
∫ 1 x d x \u003d 2 x + c (4)
∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C (5)
∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c (6)
∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1) (7)

Gösterge işlevinden ve hiperbolik fonksiyonlardan entegraller

Tabii ki, formül (8) (belki de ezberleme için en uygun olanı) olarak kabul edilebilir Özel durum Formüller (9). Hiperbolik sinüs ve hiperbolik kosinikten integraller için formüller (10) ve (11), formül (8) 'dan kolayca elde edilir, ancak bu ilişkileri hatırlamak daha iyidir.

∫ e x d x \u003d e x + c (8)
∫ A X D X \u003d A X LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1) (9)
∫ S H X D X \u003d C H X + C (10)
∫ C H X D X \u003d S H X + C (11)

Trigonometrik fonksiyonlardan gelen temel integraller

Öğrencilerin sık sık yaptıkları bir hata: formüllerde (12) ve (13) işaretlerini karıştırın. Sinüs türevinin kosinüs'e eşit olduğunu hatırlayarak, bir nedenden ötürü, bir nedenden dolayı SINX işlevinden ayrılmanın COSX olduğunu düşünüyor. Bu doğru değil! Sinüs integrali "eksi kosinüs" e eşittir, ancak COSX'ten ayrılmaz "sadece sinüs" dir:

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C (12)
∫ COS X D X \u003d SIN X + C (13)
∫ 1 COS 2 x D X \u003d T G X + C (14)
∫ 1 Sin 2 x D X \u003d - C T G X + C (15)

İntegraller ters trigonometrik fonksiyonlara düşürüldü

Doğal olarak Arctangent'e yol açan formül (16), bir \u003d 1'de özel bir formül (17) özel bir durumdur. Benzer şekilde, (18) - özel bir durum (19).

∫ 1 1 + x 2 D X \u003d A R C T G X + C \u003d A R C C T G X + C (16)
∫ 1 x 2 + A 2 \u003d 1 A A R C T G X A + C (A ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 D X \u003d ARCSIN X + C \u003d - ARCCOS X + C (18)
∫ 1 A 2 - X 2 D X \u003d ARCSIN X A + C \u003d - ARCCOS X A + C (A\u003e 0) (19)

Daha karmaşık integraller

Bu formüller de hatırlamak için arzu edilir. Onlar da oldukça sık kullanılırlar ve sonuçları oldukça sıkıcı.

∫ 1 x 2 + A 2 D X \u003d LN | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 - A 2 D X \u003d LN | X + x 2 - A 2 | + C (21)
∫ A 2 - X 2 D X \u003d x 2 A 2 - X 2 + A 2 2 ARCSIN X A + C (A\u003e 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + A 2 + A 2 2 LN | x + x 2 + a 2 | + C (A\u003e 0) (23)
∫ x 2 - A 2 D X \u003d x 2 x 2 - A 2 - A 2 2 LN | X + x 2 - A 2 | + C (A\u003e 0) (24)

Genel Entegrasyon Kuralları

1) İki fonksiyonun toplamından entegre, ilgili integrallerin toplamına eşittir: ∫ (F (x) + g (x)) D x \u003d ∫ F (x) DX + ∫ g (x) DX (25 )

2) İki fonksiyon farkının bütünlüğü, karşılık gelen integraller arasındaki farkın eşittir: ∫ (F (x) - g (x)) D x \u003d ∫ f (x) D x - ∫ g (x) dx ( 26)

3) Sabit entegre işaretten çıkarılabilir: ∫ C F (x) D x \u003d C ∫ f (x) D x (27)

Özelliğin (26) sadece bir mülkün (25) ve (27) bir kombinasyonu olduğunu fark etmek kolaydır.

4) Dahili fonksiyonun doğrusal olması durumunda karmaşık bir fonksiyondan ayrılmaz: ∫ F (A X + B) D x \u003d 1 A F (A X + B) + C (A ≠ 0) (28)

Burada F (x) f (x) işlevi için ilkeldir. Not: Bu formül, yalnızca bir dahili fonksiyonun AX + B'ye sahip olduğunda durum için uygundur.

ÖNEMLİ: İki fonksiyonun ürününden entegre için evrensel bir formül yoktur, ayrıca kesirden ayrılmazdır:

∫ F (x) g (x) D x \u003d? ∫ F (x) g (x) D x \u003d? (otuz)

Bu, elbette, fraksiyonun veya işin entegre edilemeyeceği anlamına gelmez. Sadece her zaman, ayrılmaz bir tür (30) gördüğünüzde, onunla "mücadele" şeklini icat etmek zorunda kalacaksınız. Bazı durumlarda, parçaları entegre edebileceksiniz, bir yerde değişkeni değiştirmek zorunda kalacak ve bazen yardım edebilir "Okul" formülleri Cebir veya trigonometri.

Belirsiz bir integral hesaplamanın basit bir örneği

Örnek 1. Entegral bulun: ∫ (3 x 2 + 2 günah x - 7 E x + 12) D x

Formülleri (25) ve (26) kullanıyoruz (fonksiyonların miktarının veya farkının entegrali, ilgili integrallerin toplamına veya farkına eşittir. Elde ediyoruz: ∫ 3 x 2 D x + ∫ 2 Günah x d x - ∫ 7 E X D X + ∫ 12 D X

Constant'ın integral işareti üzerinde yapıldığını hatırlayın (formül (27)). İfade akla dönüştürülmüş

3 ∫ x 2 D x + 2 ∫ SIN X D X - 7 ∫ E X D X + 12 ∫ 1 D X

Ve şimdi sadece ana integrallerin tablosunu kullanın. Formül (3), (12), (8) ve (1) uygulamamız gerekecektir. Güç fonksiyonunu, sinüsü, üs ve sabit 1'i entegre edin. Keyfi sabitin sonuna eklemeyin:

3 x 3 3 - 2 COS X - 7 E X + 12 X + C

İlköğretim dönüşümlerinden sonra, son cevabı alıyoruz:

X 3 - 2 COS X - 7 E X + 12 X + C

Farklılaşma ile kendinizi kontrol edin: alın fonksiyondan türev Ve ifadedeki ilk yollara eşit olduğundan emin olun.

Özet ayrılmaz masa

∫ a d x \u003d a x + c

∫ x d x \u003d x 2 2 + c

∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c

∫ 1 x d x \u003d 2 x + c

∫ 1 x d x \u003d ln | X | + C.

∫ 1 x 2 d x \u003d - 1 x + c

∫ x n d x \u003d x n + 1 n + 1 + c (n ≠ - 1)

∫ e x d x \u003d e x + c

∫ A X D X \u003d A X LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1)

∫ S H X D X \u003d C H X + C

∫ C H X D X \u003d S H X + C

∫ SIN X D X \u003d - COS X + C

∫ COS X D X \u003d SIN X + C

∫ 1 cos 2 x d x \u003d t g x + c

∫ 1 Sin 2 x D X \u003d - C T G X + C

∫ 1 1 + x 2 D X \u003d A R C T G X + C \u003d - A R C C T G X + C

∫ 1 x 2 + A 2 \u003d 1 A A R C T G X A + C (A ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 D X \u003d ARCSIN X + C \u003d - ARCCOS X + C

∫ 1 A 2 - X 2 D X \u003d ARCSIN X A + C \u003d - ARCCOS X A + C (A\u003e 0)

∫ 1 x 2 + A 2 D X \u003d LN | x + x 2 + a 2 | + C.

∫ 1 x 2 - A 2 D X \u003d LN | X + x 2 - A 2 | + C.

∫ A 2 - X 2 D X \u003d x 2 A 2 - X 2 + A 2 2 ARCSIN X A + C (A\u003e 0)

∫ x 2 + a 2 d x \u003d x 2 x 2 + A 2 + A 2 2 LN | x + x 2 + a 2 | + C (A\u003e 0)

∫ x 2 - A 2 D X \u003d x 2 x 2 - A 2 - A 2 2 LN | X + x 2 - A 2 | + C (A\u003e 0)

Bu bağlantıya integral tabloyu (Part II) indirin

Üniversitede okursanız, en yüksek matematikte (matematiksel analiz, lineer cebir, olasılık teorisi, istatistik) zorluklar varsa, nitelikli bir öğretmenin hizmetlerine ihtiyacınız varsa, sayfaya gidin en yüksek matematikte öğretmen . Sorunlarınızı birlikte çözeceğiz!

Belki de ilgileneceksin