Değişkenden gelen irrasyonel fonksiyon, değişken ve keyfi sabitlerden oluşan bir fonksiyondan, ekleme, çıkarma, çarpma (bir tamsayı derecesinde ereksiyon), bölünme ve çıkarma kökleri kullanılarak değişken ve keyfi sabitlerden oluşan bir fonksiyondur. İrrasyonel fonksiyon, irrasyonel fonksiyonun kök çıkarma işlemlerini içerdiğinden rasyonelden farklıdır.
Rasyonel fonksiyonlardan integrallere verilen üç ana irrasyonel fonksiyon, belirsiz integraller vardır. Bunlar, fraksiyonel doğrusal fonksiyondan keyfi tamsayı derecelerinin köklerini içeren integrallerdir (kökler çeşitli derecelerde olabilir, ancak aynı, fraksiyonel doğrusal fonksiyondan); Diferansiyel binomdan ve integrallerden kare kare kare kökü ile integraller.
Önemli bir açıklama. Kökler anlamlıdır!
Kökler içeren integralleri hesaplarken, formun türleri genellikle entegrasyon değişkeninden bazı fonksiyonların olduğu yerlerde bulunur. Aklında karşılanmalı. Bu, t\u003e ile 0, | T | \u003d T. . T. ile< 0, | T | \u003d - t. Bu nedenle, bu tür integralleri hesaplarken, durumları ayrı olarak düşünmeniz gerekir T\u003e 0 ve T.< 0 . Bu işaretler yazarsanız veya gerekli olduğu yerde yapılabilir. Üst tablonun durumuna işaret ettiğini ima eder\u003e 0 ve dibinde - kasaya t< 0 . Daha fazla dönüşüm ile, bu işaretler genellikle karşılıklı olarak azalır.
Entegre fonksiyonun ve entegrasyonun sonucunun karmaşık değişkenlerden karmaşık fonksiyonlar olarak kabul edilebileceği ikinci bir yaklaşım mümkündür. Sonra müstakil ifadelerdeki işaretleri takip edemezsiniz. Bu yaklaşım, entegre işlevin analitik olması durumunda, yani karmaşık bir değişkenden farklı bir işlevdir. Bu durumda, entegre fonksiyon ve bunun entegrali çok değerli fonksiyonlardır. Bu nedenle, entegrasyondan sonra, sayısal değerleri değiştirirken, Integrand fonksiyonunun belirsiz şubesini (Riemannian yüzeyi) seçmek ve entegrasyon sonucunun uygun dalını seçmek gerekir.
Lineer irrasyonalite
Bunlar, aynı fraksiyonel doğrusal fonksiyondaki kökleri olan integrallerdir:
,
R, rasyonel bir fonksiyondur - rasyonel sayılar, M1, n 1, ..., M, n, tam sayılar, α, β, γ, δ - geçerli numaralardır.
Bu tür integraller, rasyonel özellik işlevinden ayrılmazlığa düşürülür:
N, R1 sayısının ortak bir paydayıdır, ..., r s.
Kökler mutlaka bir kesirli doğrusal fonksiyondan değil, aynı zamanda doğrusaldan (γ \u003d) 0, δ \u003d 1) veya entegrasyon değişkeninden x (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, δ \u003d 1).
İşte bu tür integrallerin örnekleri:
,
.
Diferansiyel binomlardan entegraller
Diferansiyel binomlardan entegraller formu vardır:
,
Buradaki m, n, p rasyonel sayılar, A, B - geçerli numaralardır.
Bu tür integraller, üç olgudaki rasyonel fonksiyonlardan gelen integrallere düşürülür.
1) P bir tamsayı ise. N, N, N ve N bölümlerinin toplam paydası olduğu x \u003d tn.
2) Eğer - bir bütün. M yerine a x n + b \u003d t m, burada m sayısının sayısıdır.
3) Eğer - bir bütün. Değiştirme a + b x - n \u003d t m, burada M, P sayısının paydasıdır.
Diğer durumlarda, bu tür integraller temel fonksiyonlarla ifade edilmez.
Bazen bu tür integraller formüller kullanılarak basitleştirilebilir:
;
.
Kare kare kökü içeren integraller
Bu tür integraller:
,
R rasyonel bir fonksiyondur. Her bir entegre için çeşitli çözüm yöntemleri vardır.
1)
Daha basit integrallere yol açmak için dönüşümleri kullanmak.
2)
Trigonometrik veya hiperbolik ikameler uygulayın.
3)
Euler değiştiricileri uygulayın.
Bu yöntemleri daha ayrıntılı olarak düşünün.
1) Integrand fonksiyonunun dönüşümü
Formülü kullanarak ve cebirsel dönüşümleri gerçekleştirme, zihin için bir rintroduct işlevi getirin:
,
burada φ (x), ω (x) rasyonel fonksiyonlardır.
Ben yazarım
Formun integrali:
,
p n (x) bir polinom derece n.
Bu tür integraller, kimlik kullanan belirsiz katsayıların yöntemidir:
.
Bu denklemi ayırt etmek ve sol ve sağ parçalara eşittir, bir I katsayılarını buluruz.
II Tip
Formun integrali:
,
P m (x) bir polinom derece m.
İkame t \u003d. (X - a) -1 Bu integral önceki türe yönlendirilir. M ≥ N ise, fraksiyonun tamamına tahsis edilmelidir.
III Tipi
Burada bir değiştirme yapıyoruz:
.
Bundan sonra ayrılmaz bir formu alır:
.
Sonra, Kalıcı α, β, Öyle ki, Öyleyse Katsayıların katsayıları sıfıra döndü:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Ardından, ayrılmaz, iki türün integrallerinin toplamını parçalayarak:
,
,
ikame ile entegre olan:
u 2 \u003d A 1 T 2 + Cı,
v 2 \u003d A 1 + Cı 1 T -2.
2) Trigonometrik ve hiperbolik ikameler
Formun integralleri için, > 0
,
Üç ana ikame var:
;
;
;
İntegraller için bir > 0
,
Aşağıdaki ikamelere sahibiz:
;
;
;
Ve nihayet integraller için, bir > 0
,
İkameler aşağıdaki gibidir:
;
;
;
3) Euler Değiştiriciliği
Ayrıca, Euler'in üç ikamesinden birinin rasyonel fonksiyonlarından entegreleri de azaltılabilir:
,\u003e 0 ile;
, c\u003e 0 ile;
X 1, denklemin kökü olan X2 + B X + C \u003d 0'dır. Bu denklemin geçerli kökleri varsa.
Eliptik integraller
Sonuç olarak, formun integrallerini göz önünde bulundurun:
,
R rasyonel bir işlevdir. Bu tür integraller eliptik olarak adlandırılır. Genel olarak, temel fonksiyonlarla ifade edilmezler. Bununla birlikte, A, B, C, D, E katsayıları arasında ilişkiler olduğu durumlarda, bu tür integraller, temel fonksiyonlarla ifade edilir.
Aşağıda, dönüş polinomları ile ilişkili bir örnektir. Bu tür integrallerin hesaplanması, ikameler kullanılarak yapılır:
.
Misal
İntegrali hesaplayın:
.
Karar
İkame etmek.
.
Burada x\u003e 0
(U\u003e. 0
) '+' İşaretini çekiyoruz. X ile< 0
(U.< 0
) - düşük '-'.
.
Cevap
Referanslar:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Yüksek Matematik, "LAN", 2003'teki görevlerin toplanması.
Aşillerin kaplumbağadan on kat daha hızlı çalıştığını varsayalım ve binlerce adım mesafedeki arkasında. Aşillerin bu mesafeden geçtiği zaman için, aynı tarafta yüz adım çarpacak. Aşil yüz adımlar attığında, kaplumbağa yaklaşık on basamakta sürünür. Süreç sonsuzluğa devam edecek, Aşiller asla kaplumbağaya yaklaşmayacak.
Bu akıl yürütme, sonraki nesiller için mantıklı bir şok haline geldi. Aristoteles, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Hepsi bir şekilde Zenon'un apriyolojisi olarak kabul edildi. Şok çok güçlü olduğu ortaya çıktı " ... Tartışmalar devam ediyor ve şu anda, paradoksların özündeki genel görüşe gelmesi için, bilimsel topluluğa paradoksların özü henüz mümkün olmadı ... Matematiksel bir analiz, set teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. konunun incelenmesi; Hiçbiri, konunun genel kabul gören bir sorunu olmadı ..."[Wikipedia," Yenon Apriya "]. Herkes engellendiklerini anlar, ancak kimsenin aldatmanın ne olduğunu anlamaz.
Matematik açısından, Aproria'daki Zeno, değerden geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş sabit yerine başvuru anlamına gelir. Anladığım kadarıyla, ölçüm birimlerinin değişkenlerinin kullanımının henüz geliştirilmemiştir ya da Zenon'un eşiğine uygulanmadı. Sıradan mantığımızın kullanımı bizi bir tuzağa götürür. Biz, inertia tarafından, invertöre kalıcı zaman ölçüm birimleri kullanın. Fiziksel bir bakış açısıyla, aşillerin bir kaplumbağa ile doldurulduğu anda tam durduğu zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa, Aşil artık kaplumbağayı geçemez.
Mantığı genellikle çevirirseniz, her şey yer alır. Aşil sürekli bir hızda çalışır. Yolunun sonraki her bir bölümü, öncekinden on kat daha kısa. Buna göre, üstesinden gelmek için harcanan zaman, öncekinden on kat daha az. Bu durumda "sonsuzluk" kavramını uyguluyorsanız, doğru bir şekilde "Aşiller sonsuz şekilde kaplumbağayı hızla yakalayacak" diyecektir.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Kalıcı zaman ölçüm birimlerinde kalın ve geriye doğru değerlere hareket etmeyin. Zenon dilinde, şöyle görünüyor:
Bu süre boyunca, aşilaların bin adım attığı için, yüzlerce adım kaplumbağayı aynı tarafa kıracaktır. Bir dahaki sefere aralık için, ilke eşit, Aşillerin bin adım atacak ve kaplumbağa yüz adım atacak. Şimdi Aşil, kaplumbağanın önündeki sekiz yüz adım.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoklar olmadan gerçeği yeterince tanımlar. Ancak bu, soruna tam bir çözüm değildir. Zenonian Achilles ve Kaplumbağa Agrac'ta, ışık hızının dayanılmazlığı konusunda Einstein'ın beyanına çok benzer. Hala bu sorunu okumak, yeniden düşünmek ve çözmek zorundayız. Ve karar, sonsuz miktarda çok sayıda değil, ölçüm birimlerinde yapılmalıdır.
Başka bir ilginç Yenon Aproria, uçan okları anlatıyor:
Uçan ok hala, çünkü her anın dayandığı ve her zaman dayandığı için her zaman dayanır.
Bu manorda, mantıksal paradoks çok basittir - her an, uçan okun, aslında hareket olduğu farklı alan noktalarında dinlendiğini açıklığa kavuşturmak için yeterlidir. Burada başka bir an nota ihtiyacınız var. Yoldaki arabanın bir fotoğrafına göre, hareketinin gerçeğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Otomobilin hareketinin gerçeğini belirlemek için, zaman içinde farklı noktalarda bir noktadan yapılmış iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak mesafeyi belirlemek imkansızdır. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için, zaman içinde bir noktada farklı alan noktalarından yapılmış iki fotoğraf, ancak hareketin gerçeğini belirlemek imkansızdır (doğal olarak, hesaplamalar için, size yardımcı olmak için trigonometri). Özel dikkat çekmek istediğim şey, zamanla iki noktanın ve uzayda iki noktanın kafası karışmaması gereken farklı şeylerdir, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sunarlar.
Çarşamba, 4 Temmuz 2018
Pek çok ve multiset arasındaki çok iyi farklar, Wikipedia'da açıklanmaktadır. Bakıyoruz.
Gördüğünüz gibi, "Bir sette iki aynı unsur olamaz", ancak aynı öğeler ayarlanmışsa, böyle bir set "MIX" olarak adlandırılır. Benzer bir saçma makul varlıkların benzer bir mantığı asla anlamaz. Bu, "hiç" kelimesinden kaçıran konuşmacı papağan ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematik, sıradan eğitmenler olarak hareket eder, saçma fikirlerimizi vaaz ediyorlar.
Köprünün testleri sırasında köprü inşa eden mühendisler köprünün altındaki teknedeydi. Köprü çöktüğünde, yeteneğsiz mühendis, yaratılışının enkazı altında öldü. Köprü yükü durduruyorsa, yetenekli bir mühendis başka köprüler kurdu.
Matematın "Chur, ben bir evdeyim" ifadesinin arkasına saklanmadı, daha kesin olarak, "Matematik Araştırmaları Soyut Kavramları", "onları gerçeklik ile birbirine bağlayan bir umbilikal kord var. Bu göbek kordonu paradır. Uygulamak matematik teorisi Matematik kendileri için ayarlar.
Matematik öğrettik ve şimdi kasada otururuz, maaş veriyoruz. Bu bize para için matematikçi geliyor. Tüm miktarın üzerinde güveniyoruz ve bir onurlu faturaları eklediğimiz farklı yığınlar üzerinde masanıza yatırıyoruz. Sonra her bir yığıntan bir faturadan alıp "matematiksel maaş setinin" matematiğini elden çıkardık. Faturaların geri kalanının, yalnızca aynı elemanları olmayan setin aynı elemanlara sahip olana eşit olmadığını kanıtlarken, matematiği açıklayacaktır. Burada en ilginç başlayacak.
Her şeyden önce, milletvekillerin mantığı çalışacak: "Başkalarına uygulamak mümkün, bana - düşük!". Eşit saygınlık faturalarında farklı sayılar var, bu da aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri anlamına gelir. Peki, maaşları paralarla sayın - paralar üzerinde sayı yok. İşte matematikçi fizikten hoşlanmaya başlayacak: Farklı paralarda farklı miktarlarda kir, kristal yapısı ve atomların yeri her para benzersizdir ...
Ve şimdi en ilginç soruya sahibim: Çizgi nerede, çok zamanlamanın unsurlarının setin elemanlarına dönüştüğü ve tam tersi? Böyle bir yüz yok - herkes şamanları, bilimi burada ve yakın yalan söylemez.
İşte bakıyor. Aynı alan alanıyla futbol stadyumlarını alıyoruz. Alan alanı aynıdır - çok yönlü olduğumuz anlamına gelir. Fakat aynı stadyumların isimlerini göz önünde bulundurursak - birçoğumuz, çünkü isimler farklıdır. Gördüğünüz gibi, aynı öğeler kümesi hem set hem de multiset. Ne kadar doğru? Ve burada matematikçi-şaman-shuller, Trump Ace'ı koldan çıkarır ve bize setten veya multiset hakkında bize söylemeye başlar. Her durumda, bizi hakkını ikna edecek.
Modern şamanların set teorisini nasıl çalıştırdığını anlamak, gerçeğe bağlayın, bir soruyu cevaplamak için yeterlidir: Bir setin unsurları başka bir setin unsurlarından nasıl farklıdır? Size, "tek bir bütün olarak hayal edilemez" veya "bir bütün olarak düşünceli değil" olmadan göstereceğim.
18 Mart 2018 Pazar
Numaraların miktarı, matematiğin herhangi bir ilişkisi olmayan bir TAMBOURINE'li şamanların bir dansıdır. Evet, matematik derslerinde, sayı sayısının miktarını bulmaya ve kullanmamız öğretilir, ancak soyundan gelenleri becerilerine ve bilgeliklerine yetiştirmek için şamanlardır, aksi takdirde şamanlar sadece temizlenecektir.
Kanıt gerekiyor mu? Wikipedia'yı açın ve numaraların sayısını bulmaya çalışın. Bu yok. Herhangi bir sayının miktarını bulabileceğiniz matematikte formül yoktur. Sonuçta, sayılar, numaraları yazdığımız ve matematik dilinde, görevin bu gibi geliyor: "Herhangi bir numarayı gösteren grafik karakterlerin toplamını bulun". Matematik bu görevi çözemez, ancak şamanlar temeldir.
Belirtilen numaranın sayısının miktarını bulmak için ne yaptığımızı ve nasıl yaptığımızı yapalım. Ve böylece, bir dizi 12345'e sahip olalım. Bu numaranın sayısının miktarını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla düşünün.
1. Kağıt parçasındaki numarayı kaydedin. Biz ne yaptık? Numarayı numaranın grafik sembolünde dönüştürdük. Bu matematiksel bir eylem değildir.
2. Bireysel numaraları içeren birkaç resim halinde elde edilen bir görüntüyü kestik. Fotoğrafları kesme matematiksel bir eylem değildir.
3. Bireysel grafik karakterleri sayılarla dönüştürüyoruz. Bu matematiksel bir eylem değildir.
4. Numaraları katlıyoruz. Bu zaten matematik.
12345 sayısının miktarı 15'dir. Bunlar, şamanlardan gelen "kesiciler ve dikiş kursları". Ama hepsi bu değil.
Matematik açısından, bu sayı sisteminin numarasını yazdığımızın önemi yoktur. Yani farklı sistemler Aynı numaranın sayısının sayısı farklı olacaktır. Matematikte, sayı sistemi, sayının sağındaki alt indeks biçiminde gösterilir. Çok sayıda 12345 sayılı, kafamı kandırmak istemiyorum, makalenin 26 numarasını düşünün. Bu numarayı ikili, oktal, ondalık ve onaltılık sayı sistemlerinde yazıyoruz. Biz her adımı mikroskop altında düşünmeyeceğiz, biz zaten yaptık. Sonuçta bakalım.
Gördüğünüz gibi, farklı sayı sistemlerinde, aynı sayının sayısının toplamı farklı elde edilir. Bu sonucu matematiğin yapacak hiçbir şeyi yok. Tamamen farklı sonuçlar alırken, metre ve santimetre cinsinden dikdörtgen alanını belirlemek gibidir.
Tüm dalgalanma sistemlerinde sıfır aynı görünüyor ve sayıların miktarı yoktur. Bu, neyin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte bir numara değil, nasıl belirtilir? Ne, matematikçiler için, sayılardan başka bir şey yok mu? Şamanlar için izin verilebilir, ancak bilim adamları için - hayır. Gerçeklik sadece sayıdan değil.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayı birimleri olduğu kanıt olarak kabul edilmelidir. Sonuçta, sayıları karşılaştıramazız farklı birimler Ölçümler. Aynı değerde farklı ölçüm birimlerine sahip aynı işlem, karşılaştırmalarının ardından farklı sonuçlara yol açarsa, matematik ile ilgisi yoktur.
Gerçek matematik nedir? Bu, matematiksel eylemin sonucu, ölçüm birimi tarafından kullanılan sayının değerine ve bu işlemi yapanların değerine bağlı değildir.
Oh! Bu kadın tuvalet mi değil mi?
- Kız! Bu, yükselişin cennetteki ruhların belirsiz kutsallığının incelenmesi için bir laboratuvardır! Yukarıdan nimbi ve ok yukarı. Başka tuvalet nedir?
Kadın ... Yukarıdan Nimbi ve Kibirli - Bu bir erkek.
Gözlerinizin önünde günde birkaç kez yanıp sönerse, tasarımcı sanatının eseridir.
O zaman arabanızda aniden garip bir simge bulduğunuzu şaşırtıcı değildir:
Şahsen, bir eksi dört derece (birkaç resimden oluşan bir kompozisyon: bir eksi işareti, dördüncü, dördüncü, derecelerde bir eksi işareti) görmek için manşet bir insanda (bir resim) olması için kendime bir çaba yapıyorum. Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu sanmıyorum. Bu sadece grafik görüntü algısının bir ark stereotipidir. Ve matematik sürekli öğrettik. İşte bir örnek.
1A "eksi dört derece" veya "bir A" değildir. Bu "manşet eden bir kişi" ya da "yirmi altı" sayısı onaltılık sistem Not. Sürekli bu sayı sisteminde çalışan insanlar, şekle ve mektubu bir grafik sembolü olarak otomatik olarak algılar.
Karmaşık integraller
Bu makalede belirsiz integrallerin konusunu tamamlar ve bunun içinde oldukça karmaşık olarak düşündüğüm entegraller dahildir. Ders, isteklerleri dile getiren ziyaretçilerin tekrarlanan isteklerinde oluşturuldu, böylece daha zor örnekler sitede sökülür.
Bu metnin okuyucunun iyi hazırlandığı ve ana entegrasyon tekniklerinin nasıl uygulanacağını bildiği varsayılmaktadır. Çaydanlıklar ve integrallerle ilgili çok güvenli bir şekilde ele alınmayan insanlar ilk dersi yönlendirilmelidir - Belirsiz integral. Çözüm örnekleriNeredeyse sıfır ile konuya ustalaşabilirsiniz. Daha deneyimli öğrenciler, makalelerimin henüz tanışmadığı entegrasyon tekniklerini ve yöntemlerini tanıdıklar.
Hangi integraller dikkate alınacak?
İlk olarak, sürekli olarak kullanılan kökleri olan integralleri göz önünde bulunduracağız. değişkenin Değiştirilmesi ve parçalara entegrasyon. Yani, bir örnekte, iki resepsiyon birleştirilir. Ve daha da fazlası.
O zaman ilginç ve orijinal ile tanışacağız. yöntem bilgisi kendinize entegral. Bu yöntem çok az integral değil çözüldü.
Programın üçüncü sayısı, önceki makalelerdeki nakit kayıtları geçtikten sonra karmaşık fraksiyonlardan ayrılacaktır.
Dördüncüsü, trigonometrik fonksiyonlardan ek integraller demonte edilecektir. Özellikle, evrensel bir trigonometrik sübstitüsyonun zamanını kaçırmanıza izin veren yöntemler vardır.
(2) Integrand işlevinde, payda sayısal.
(3) Doğrusallık özelliğini kullanma belirli integral. Hemen son integralde İşlevi diferansiyelin işareti altında süpürün.
(4) Kalan integralleri alın. Lütfen logaritm içinde, o zamandan beri bir modül değil, parantez kullanabileceğinizi unutmayın.
(5) "TE", doğrudan değiştirilmesinden ifade ederek değiştiriyoruz:
Masochian öğrencileri cevabı kayıtsızlaştırabilir ve sadece yaptığım gibi orijinal Integrand işlevini alabilirsiniz. Hayır, hayır, doğru anlamda doğrulamayı yerine getirdim \u003d)
Gördüğünüz gibi, çözümün ikiden fazla kararını bile kullanmak zorunda kaldığım karar boyunca, benzer integrallere sahip misilleme için, kendinden emin entegrasyon becerilerine ihtiyacınız var ve en küçük deneyime ihtiyacınız var.
Uygulamada, elbette, karekökü daha yaygındır, burada bağımsız bir çözüm için üç örnek:
Örnek 2.
Belirsiz bir integral bul
Örnek 3.
Belirsiz bir integral bul
Örnek 4.
Belirsiz bir integral bul
Aynı türdeki bu örnekler, bu nedenle, makalenin sonundaki tam çözüm sadece Örnek 3-4 - bir cevaplar. Kararların başında hangi değiştirme, açıkça düşünüyorum. Neden aynı tür örnekleri aldın? Genellikle rolünüzde bulunur. Daha sık, belki de, sadece bir şey 
.
Ancak her zaman, Arctgennes, Sinus, Kosinüs, Üstel, vb. Özellikleri doğrusal bir fonksiyonun köküdür, çeşitli yöntemler uygulanmalıdır. Bazı durumlarda, "kurtulmak", yani değiştirmeden hemen sonra, basit bir integral elde edilir, bu da temel alır. Önerilen görevlerin en kolay olanı Örnek 4'tür, bu da değiştirildikten sonra nispeten basit bir integral ortaya çıkar.
Yöntem bilgisi kendinize entegral
Esprili ve güzel bir yöntem. Derhal türün klasiklerini göz önünde bulundurun:
Örnek 5.
Belirsiz bir integral bul
Kök altında bir kare biccoon var ve bu örneği entegre etmeye çalışırken, su ısıtıcısı saatlerce acı çekebilir. Böyle bir integral parçalar halinde alınır ve kendisine iner. Prensip olarak, zor değil. Nasıl olduğunu biliyorsan.
Latin harfinin düşünülen entegreli olarak belirtir ve çözüme başlayın: 
Parçaları entegre ediyoruz: 
(1) Toprak bölümü için bir yedek işlev hazırlıyoruz.
(2) Değiştirme işlevini böldük. Belki de açıkça değil, daha ayrıntılı olarak yazacağım:
(3) Doğrusallık özelliğini kullanma belirsiz ayrılmaz.
(4) Son integrali ("uzun" logaritm) alın.
Şimdi kararın en başlangıcına bakıyoruz: 
Ve sonunda: 
Ne oldu? Manipülasyonlarımızın bir sonucu olarak, ayrılmaz kendisine geldi!
Başlangıç \u200b\u200bve sonu eşitliyoruz: 
Sol tarafa işaret değişikliği ile transfer ediyoruz: 
Ve demo sağ tarafa demoloz. Sonuç olarak: 
Sabit, kesinlikle konuşan, daha önce eklenmesi gerekiyordu, ancak sonunda atfedildi. Bir titizlikle burada olanı okumanızı şiddetle tavsiye ederim:
Not:
Çözümün daha katı bir son aşaması şöyle görünür:
Böylece:
Sabit olarak tekrar kullanılabilir. Neden yeniden yayınlayabilirsin? Çünkü hala alır hiç Değerler ve bu anlamda sabitler arasında ve fark yoktur.
Sonuç olarak:
REISSUED sabiti olan böyle bir numara yaygın olarak kullanılmaktadır. diferansiyel denklemler. Ve orada sıkı olacağım. Ve burada böyle bir özgürlük, sadece sizi gereksiz şeylerle karıştırmamak ve entegrasyon yöntemine odaklanmamasına izin verilir.
Örnek 6.
Belirsiz bir integral bul
Kendi kendine kararlar için bir başka tipik integral. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Önceki örneğin yanıtı ile fark olacak!
Karekök kare üçlü ise, herhangi bir durumda çözelti iki demonte örneğe düşürülür.
Örneğin, integrali düşünün 
. Yapmanız gereken tek şey tam kare seçin:
.
Daha sonra, doğrusal bir replasman, "sonuç olmadan" maliyetlerdir:
Sonuç olarak, ayrılmaz elde edilir. Tanıdık bir şey değil mi?
Veya böyle bir örnek, kare sıçrayan:
Tam bir kareyi vurguluyoruz:
Ve, doğrusal bir replasmandan sonra, zaten düşünülen algoritma tarafından da çözülen bir integral elde ediyoruz.
İki tane daha düşünün tipik örnek Resepsiyon bilgisi kendinize entegre:
- sinüs ile çarpılan sermayenin integrali;
- Cosin ile çarpılan sermayenin integrali.
Parçalardaki listelenen integrallerde iki kez entegre edilmelidir:
Örnek 7.
Belirsiz bir integral bul
Integrand işlevi, sinüs ile çarpılan bir katılımcıdır.
İki kez parçaları entegre ediyoruz ve ayrıntıyı kendinize getiriyoruz: 
Parçalardaki iki zamanlı entegrasyonun bir sonucu olarak, integral kendisine girmiştir. Başlangıç \u200b\u200bve bitiş çözümlerini eşitliyoruz:
Sol tarafa, işaretin değişikliği ile transfer ediyoruz ve ayrılmaz bir şekilde ifade ediyoruz: 
Hazır. Ayrıca, sağ tarafla mücadele etmek arzu edilir, yani. Braketler için ve "güzel" siparişte kosinüs ile sinüsü yatmak için parantez için bir üs ilahı yapmak.
Şimdi, örneğin başlangıcına geri dönelim ya da daha doğrusu - parçalara entegrasyon için: 
Çünkü katılımcıyı belirledik. Soru ortaya çıkıyor, katılımcıya başvurmak her zaman gereklidir? Gerekli değil. Aslında, incelenen integralde prensip fark yokNeye atıfta bulunulmalı, başka bir yoldan gitmek mümkündü: 
Neden mümkün? Katılımcı kendi kendine döndüğü için (ve farklılaşma sırasında ve entegrasyon sırasında), kosinüslü sinüs karşılıklı olarak birbirlerine (yine - hem farklılaşma sırasında hem de entegrasyon sırasında).
Yani, trigonometrik fonksiyon gösterilebilir. Ancak, incelenen örnekte, kesirler göründüğü için daha az rasyoneldir. İsterseniz, bu örneği ikinci şekilde çözmeyi deneyebilirsiniz, cevaplar daha dengesiz olmalıdır.
Örnek 8.
Belirsiz bir integral bul
Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Karar vermeden önce, bu durumda daha karlı olduğunu düşünün, üssün veya trigonometrik işlevi belirlemek için mi? Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Ve elbette, bu dersin cevaplarının çoğunun farklılaşmayı kontrol etmek için oldukça kolay olduğunu unutmayın!
Örnekler en zor değil olarak kabul edilmedi. Uygulamada, integraller daha sık, üs göstergesinde ve bir trigonometrik fonksiyonun argümanında bir sabit olduğunda, örneğin: Benzer bir integralde düşündüm, çoğu yapmak zorunda kalacak, sık sık beni şaşırtıyorum. Gerçek şu ki, fraksiyonların görünümünün olasılığını çözmek ve çok basit bir şeydir. Buna ek olarak, işaretlerdeki hataların olasılığı harikadır, lütfen üssün göstergesinde eksi işareti olduğu ve bu ek zorluk yarattığını unutmayın.
Son aşamada yaklaşık olarak aşağıdakiler genellikle elde edilir:
Kararın sonunda bile, kesirlerle son derece özenli ve yetkin bir şekilde anlaşılmalıdır: 
Karmaşık fraksiyonları entegre etmek
Yavaş yavaş ders ekvatoruna gidiyoruz ve entegreleri kesirlerden düşünmeye başlıyoruz. Yine, hepsi süper değil, sadece bir nedenden ötürü ya da başka bir örnek başka makalelerde biraz "konuda değil" idi.
Köklerin konusuna devam ediyoruz
Örnek 9.
Belirsiz bir integral bul
Korominatorda, kökünün altında "İKSA" şeklinde "iyileştirin" kökünde bir kare üç bayat artı vardır. Bu türün integrali standart değiştirme kullanılarak çözülür.
Karar veriyoruz: 
Değiştirme Buraya Basit: 
Değiştirdikten sonra hayata bakıyoruz: 
(1) İkame edildikten sonra, kök altındaki genel paydaş terimlerine veriyoruz.
(2) Kökten dayanıyoruz.
(3) Sayısal ve paydayı azaltıyor. Aynı zamanda, kökün altında, bileşenleri rahat bir sırayla yeniden düzenlerim. Belirli bir deney ile, adımlar (1), (2) sözlü eylemleri sözlü olarak gerçekleştirerek atlanabilir.
(4) Elde edilen integral, dersten hatırladığınız gibi Bazı fraksiyonları entegre etmek, karar verir tam bir karenin tahsis edilmesi yöntemi. Tam bir kare seçin.
(5) Entegrasyon, en çok "uzun" bir logaritma elde ediyoruz.
(6) Bir değiştirme yapın. Eğer başlangıçta, sonra geri:.
(7) Son işlem sonucun saç modelini hedeflemektedir: kökün altında, yine bileşenleri genel paydaya getirir ve kökten dayanırlar.
Örnek 10.
Belirsiz bir integral bul 
Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Burada, Yalnızca "ICSU" adlı sabiti eklendi ve değiştirme neredeyse aynı: 
Ayrıca ek olarak yapmanız gereken tek şey, değiştirmeden "X" eksprese etmektir: 
Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Bazen kökünün altındaki bir integralde, kare bir bicker olabilir, çözümü çözmek için değiştirmez, daha kolay olacaktır. Farkı Hisset:
Örnek 11.
Belirsiz bir integral bul
Örnek 12.
Belirsiz bir integral bul
Dersin sonunda kısa kararlar ve cevaplar. Örnek 11'in tam olarak olduğu belirtilmelidir. binom integral, kararı derste kabul edildi İrrasyonel fonksiyonlardan gelen integraller.
2. dereceye kadar% 2 derecelik belirsiz bir polinomdan ayrılmaz
(payda polinomu)
Daha nadir, ama yine de buluşma pratik örnekler İntegral türü.
Örnek 13.
Belirsiz bir integral bul
Ama örneğin ile geri dön mutlu numara 13 (dürüstçe, uymadı). Bu integral, nasıl çözeceğinizi bilmiyorsanız, yeterince yeterince olabileceğiniz kategorisinden dedir.
Karar yapay dönüşümle başlar: 
Numarayı paydaşa nasıl bölünürsünce, her şeyin anlaşıldığını düşünüyorum.
Elde edilen integral parçalar halinde alınır: 
Görünüm integrali için (- doğal sayı) kaldırıldı tekrarlayan Derece Azaltma Formülü:
nerede 
- İntegral derece düşük.
Tahmin edilen integral için bu formülün adaletine ikna edilmeyeceğim.
Bu durumda:, formülü kullanıyoruz: 
Gördüğünüz gibi, cevaplar çakışıyor.
Örnek 14.
Belirsiz bir integral bul
Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Çözeltinin örneğinde, yukarıda belirtilen formül iki kez idi.
Derece altındaysa Çarpanlara bağımsız Üç katlı kare, daha sonra, örneğin eksiksiz bir kareyi vurgulayarak çözelti aşağı iner.
Ya Numarator'da ek olarak bir polinom var mı? Bu durumda, belirsiz katsayıların yöntemi kullanılır ve entegre fonksiyon, fraksiyon miktarında açıklanmaktadır. Ama böyle bir örnek uygulamamda ben buluşmadım, bu yüzden özledim bu durum makalede Kesirli rasyonel fonksiyondan gelen integrallerBen özlüyorum ve şimdi. Böyle bir ayrılmaz hala buluşursa, ders kitabına bakın - her şey orada basittir. Malzemeyi (hatta basit), sıfıra çaba gösterdiği toplantı olasılığını içerecek şekilde uygun olduğunu düşünmüyorum.
Karmaşık trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu
Çoğu örnek için sıfat "kompleksi", birçok yönden şartlıdır. Teğet ve kotangenlerle yüksek derecelerde başlayalım. Teğet ve kotanjent çözme yöntemleri açısından, neredeyse aynı şey, bu nedenle, teğet hakkında daha fazla konuşacağım, integral çözümünün gösterdiği resepsiyonunun adil ve kotanjent için de olduğunu ima edeceğim.
Yukarıdaki derste, düşündük evrensel Trigonometrik Değiştirme Trigonometrik fonksiyonlardan belirli bir integral türünü çözmek için. Evrensel bir trigonometrik değiştirme eksikliği, kullanıldığında, zor hesaplamaları olan hacimli entegrallerin sıklıkla gerçekleşmesidir. Ve bazı evrensel bir trigonometrik ikame vakalarından kaçınılabilir!
Başka bir kanonik örneği düşünün, ünitedeki entegral sinüs'e ayrılmıştır:
Örnek 17.
Belirsiz bir integral bul
Burada evrensel bir trigonometrik değiştirme kullanabilir ve bir cevap alabilirsiniz, ancak daha rasyonel bir yol var. Her adım için yorumlarla eksiksiz bir çözüm vereceğim:
(1) Çift açılı sinüsün trigonometrik formülünü kullanın.
(2) Yapay bir dönüşüm gerçekleştiriyoruz: payda bölünür ve çoğalırız.
(3) Korominatördeki bilinen formüle göre, teğette fraksiyonu döndürürüz.
(4) İşlevi, diferansiyelin işareti altında süpürün.
(5) İntegrali alın.
Çift basit örnekler Kendi kendine çözümler için:
Örnek 18.
Belirsiz bir integral bul
Not: En ilk eylem formül tarafından kullanılmalıdır. 
Ve dikkatlice önceki eylem örneğine benzer şekilde gerçekleştirin.
Örnek 19.
Belirsiz bir integral bul
Peki, bu tamamen basit bir örnek.
Dersin sonunda tam çözümler ve cevaplar.
Bence şimdi kimsenin integrallerle ilgili sorunları yok: 
vb.
Yöntemin fikri nedir? Fikir, dönüşümlerin yardımı, trigonometrik formüller, tek integranda organize etmek için sadece teğet ve teğet türevi. Yani, değiştirme ile ilgilidir: 
. Örnek 17-19'da, aslında bu replasmanı uyguladık, ancak integraller, farklı bir etkiyi özetlemek için, diferansiyelin işareti altındaki işlevi özetlemek için çok basitti.
Benzer argümanlar, zaten öngördüğüm gibi, Cotangent için harcayabilirsiniz.
Yukarıdaki değişimin kullanımı için resmi bir önkoşul var:
Kosinüs ve sinüs derecelerinin toplamı bir bütün olumsuz sayıdır, Örneğin:
İntegral için - bütün bir negatif sayı.
K! Not : Integrand işlevi yalnızca sinüs veya sadece kosinüs içeriyorsa, entegral negatif bir tuhaf dereceyle alınır (11, 18, örneklerdeki en basit durumlar).
Bu kural için birkaç daha bilgilendirici görevi düşünün:
Örnek 20.
Belirsiz bir integral bul
Sinüs ve kosinüs derecelerinin toplamı: 2 - 6 \u003d -4, tüm negatif bir sayıdır, bu da integralin teğetlere ve türevlerine indirgenebileceği anlamına gelir: 
(1) Payıncayı dönüştürüyoruz.
(2) Ünlü formüle göre, biz alırız.
(3) Payınızı değiştiriyoruz.
(4) Formülü kullanıyoruz 
.
(5) Farkı farkın işareti altında teslim olun.
(6) Biz değiştiriyoruz. Daha deneyimli öğrenciler değiştirilemez, ancak yine de teğetin bir harfle değiştirmek daha iyidir - daha az risk karıştırılır.
Örnek 21.
Belirsiz bir integral bul
Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir.
Beklet, şampiyonun turları başladı \u003d)
Entegre işlevinde sık sık "solyanka" dir:
Örnek 22.
Belirsiz bir integral bul 
Bu integralde, teğet başlangıçta mevcuttur, bu da hemen bilinen düşüncelerde izlenir:
En başında yapay dönüşüm ve geri kalan adımların dışında kalan adımları daha yukarıda bahsedildiği için.
Bağımsız bir çözüm için bir çift yaratıcı örnek:
Örnek 23.
Belirsiz bir integral bul 
Örnek 24.
Belirsiz bir integral bul 
Evet, içinde, elbette, evrensel bir trigonometrik ikame kullanmak için sinüs, kosinik derecesini düşürmek mümkündür, ancak kararlar arasında gerçekleştirilirse karar çok daha verimli ve daha kısa olacaktır. Dersin sonunda tam çözüm ve cevaplar
Fonksiyon f (x), bu boşlukta diferansiyel olarak denir fonksiyon için mükemmel F (x) veya F (x) entegraliyle, herhangi bir x ∈x için eşitlik doğruysa:
F "(x) \u003d f (x). (8.1)
Bu özelliğin tüm birincilini bulmak denir entegrasyon. Belirsiz ayrılmaz işlevf (x) Bu boşluktaki F (x) işlevi için tüm ilkel fonksiyonların kümesi denir; Tanımlama -
F (x) bir tür fonksiyonel fonksiyon f (x), sonra ∫ f (x) dx \u003d f (x) + c, (8.2)
keyfi bir sabit olduğunda.
Masa integralleri
Doğrudan tanımdan belirsiz bir integralin temel özelliklerini ve tablo integrallerinin bir listesini elde ediyoruz:
1) d∫f (x) dx \u003d f (x)
2) ∫df (x) \u003d f (x) + c
3) ∫F (x) dx \u003d a∫f (x) dx (a \u003d const)
4) ∫ (F (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx
Tablo Integrals Listesi
1. ∫x m dx \u003d x m + 1 / (m + 1) + c; (M ≠ -1)
3.∫a x DX \u003d A X / LN A + C (A\u003e 0, A ≠ 1)
4.∫e x dx \u003d e x + c
5.∫sin x dx \u003d cosx + c
6.∫cos x dx \u003d - günah x + c
7. \u003d ARCTG X + C
8. \u003d ARCSIN X + C
10. \u003d - CTG X + C
Değişkenin Değiştirilmesi
Birçok fonksiyonun entegrasyonu için, bir değişkeni değiştirme yöntemi veya ikameintegralleri tablo halinde getirilmesine izin verir.
F (Z) işlevi süreklidir [α, β], z \u003d g (x) işlevi sürekli bir türev ve α ≤ g (x) ≤ β, daha sonra
∫ F (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) DZ, (8.3)
ayrıca, entegrasyondan sonra, z \u003d g (x) ikamesi sağ kısımda yapılmalıdır.
Kanıtlamak için, kaynak entegralini formda yazmak yeterlidir:
∫ F (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (x)) dg (x).
Örneğin:
Parçalardaki entegrasyon yöntemi
U \u003d F (x) ve v \u003d g (x) sürekli olan fonksiyonlar olsun. Sonra işle,
d (UV)) \u003d UDV + VDU veya UDV \u003d D (UV) - VDU.
D (UV) ifadesi için, ilk, açıkça, UV olacaktır, bu nedenle formül:
∫ UDV \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)
Bu formül kuralı ifade eder parçalara entegrasyon. VDU \u003d VU "DX ifadesini entegre etmek için UDV \u003d UV" DX ifadesinin entegrasyonuna neden olur.
Örneğin, ∫XCOSX DX'i bulmanız gerekir. U \u003d X, DV \u003d COSXDX, böylece DU \u003d DX, V \u003d SINX. Sonra
∫XCOSXDX \u003d ∫X D (SIN X) \u003d x SIN X - ∫SIN X DX \u003d x SIN X + COSX + C.
Parçalardaki entegrasyon kuralı, değişkenin değiştirilmesinden daha sınırlı bir kapsamı vardır. Ancak, örneğin bütün integral sınıfları vardır.
∫x k ln m xDx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e balta ve parçalarda entegrasyon kullanılarak hesaplanan diğerleri.
Belirli integral
Belirli bir integral kavramı aşağıdaki gibi geliştirilmiştir. F (x) işlevinin segmentte tanımlamasına izin verin. [A, B] segmentini kırıyoruz n. parça noktaları a \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x I \u003d x I - X I-1. F formunun toplamı (ξ I) Δ x ben denir ayrılmaz miktarve λ \u003d maxΔx i → 0'daki limiti, varsa ve sonlu ise, Belirli integralf (x) işlevleri a. önce b. Ve belirtilen:
F (ξ i) Δx i (8.5).
Bu durumda F (x) işlevi denir kesim üzerinde entegre, A ve B sayıları denir alt ve üst bütünleşik limit.
Belirli bir integral için, aşağıdaki özellikler geçerlidir:
4), (K \u003d Const, K∈ CR);
5)
6)
7) f (ξ) (b - a) (ξ∈).
Son mülk denir Theorest ortalama anlamında.
F (x) sürekli olmasına izin verin. Sonra bu segmentte belirsiz bir integral var.
∫f (x) dx \u003d f (x) + c
ve gerçekleşir formula Newton Labitsa, belirsiz bir integrali bağlama:
F (b) - f (a). (8.6)
Geometrik yorumlama: belirli bir integral, eğri y \u003d f (x), düz x \u003d a ve x \u003d b ve eksen segmentinin yukarıdan sınırlı bir eğrisel trapezyum alandır. ÖKÜZ..
Geçersiz Integrals
Sonsuz sınırlara sahip integraller ve süreksiz (sınırsız) fonksiyonlardan integraller denir uyumsuz. Uyumsuz integrallerimin entegreleri - Bunlar, aşağıdaki gibi tanımlanan sonsuz bir boşluğundaki integrallerdir:
(8.7)
Bu sınır varsa ve sonlu ise, sonra çağrılır. eksik olmayan integral f (x) [A, + ∞) aralığında ve f (x) işlevi denir sonsuz bir aralıkta entegre[A, + ∞). Aksi takdirde ayrılmaz demek yok ya da ayrışmaz.
Aynı şekilde, aralıklardaki anlaşılmaz integraller (-∞, B] ve (-∞, + ∞) belirlenir:
Entegral kavramını sınırsız fonksiyondan tanımlarız. F (x) tüm değerler için sürekli ise x. C noktasının hariç, f (x) sonsuz bir boşluğa sahip olduğu, o zaman Uyumsuz integral II cinsinden F (x) A'dan B'den aralıkta Miktar denir:
bu sınırlar varsa ve sınırlı ise. Tanımlama:
İntegrallerin hesaplanması örnekleri
Örnek 3.30. ∫DX / (X + 2) hesaplayın.
Karar. T \u003d x + 2, daha sonra DX \u003d DT, ∫DX / (X + 2) \u003d ∫DT / T \u003d LN | T | + C \u003d LN | X + 2 | + C.
Örnek 3.31.. Bul tgxdx.
Karar.∫ TGXDX \u003d ∫SINX / COSXDX \u003d - ∫DCOSX / COSX. T \u003d cosx, sonra ∫ tgxdx \u003d -∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -Ln | COSX | + C.
Misal3.32 . ∫DX / sinx bulunKarar.
Misal3.33. Bulmak .
Karar. = .
Misal3.34 . Bul ∫ARCTGXDX.
Karar. Parçaları entegre ediyoruz. U \u003d ARCTGX, DV \u003d DX anlamına gelir. Sonra du \u003d dx / (x 2 + 1), v \u003d x, burada ∫ARCTGXDX \u003d XARCTGX - ∫ XDX / (x 2 + 1) \u003d XARCTGX + 1/2 LN (x 2 + 1) + c; gibi
∫xdx / (x 2 + 1) \u003d 1/2 ∫D (x 2 + 1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 + 1) + c.
Misal3.35 . ∫LnxDX'i hesaplayın.
Karar. Parçalardaki entegrasyon formülünü kullanarak:
u \u003d lnx, dv \u003d dx, du \u003d 1 / x dx, v \u003d x. Sonra ∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d XLNX - ∫DX + C \u003d XLNX - X + C.
Misal3.36 . Hesapla ∫E x sinxdx.
Karar. U \u003d E X, DV \u003d SINXDX, daha sonra DU \u003d E x DX, V \u003d ∫SINXDX \u003d - COSX → ∫SINXDX \u003d - COSX → COSX + ∫ E x COSXDX. Entegral ∫E X COSXDX ayrıca parçaları da entegre ediyor: U \u003d E X, DV \u003d COSXDX, DU \u003d E X DX, V \u003d SINX. Sahibiz:
∫ e x cosxdx \u003d e x sinx - ∫ e x sinxdx. Alınan ∫e x sinxdx \u003d - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, burada 2∫e x sinx dx \u003d - e x cosx + e x sinx + s
Misal 3.37. Hesapla J \u003d ∫COS (LNX) DX / X.
Karar.DX / X \u003d DLNX, ardından J \u003d ∫COS (LNX) D (LNX). LNX'in T ile değiştirilmesi, tablo integral J \u003d ∫ COSTDT \u003d SINT + C \u003d SIN (LNX) + C'ye geldik.
Misal 3.38 . J \u003d hesapla.
Karar. Bunu göz önünde bulundurarak \u003d D (LNX), LNX \u003d T ikamesi üretiyoruz. Sonra j \u003d. 
.
Misal 3.39
. İntegral j \u003d hesaplamak 
.
Karar.Sahibiz: 
. Bu nedenle \u003d.
=
\u003d. SQRT'ye girilir (Tan (X / 2)).
Ve sağ üst köşedeki adımları göster tuşuna basarsanız, ayrıntılı bir çözüm alınız.
