Bir değişkenin irrasyonel işlevi, sonlu sayıda toplama, çıkarma, çarpma (bir tamsayıya yükseltme), bölme ve kök çıkarma işlemlerini kullanarak değişken ve keyfi sabitlerden oluşturulan bir işlevdir. Bir irrasyonel fonksiyon, rasyonel bir fonksiyondan farklıdır, çünkü irrasyonel fonksiyon kök çıkarma işlemlerini içerir.

Üç ana tip vardır irrasyonel fonksiyonlar, belirsiz integralleri rasyonel fonksiyonların integrallerine indirgenir. Bunlar, lineer bir kesirli fonksiyondan (kökler farklı derecelerde olabilir, ancak aynı lineer kesirli fonksiyondan) keyfi tamsayı derecelerinin köklerini içeren integrallerdir; diferansiyel binomun integralleri ve kare üçlü terimin karekökü olan integraller.

Önemli Not. Kökler belirsiz!

Kök içeren integralleri hesaplarken, integral değişkeninin bazı fonksiyonlarının olduğu form ifadeleriyle sıklıkla karşılaşılır. Şu akılda tutulmalıdır. Yani, t> için 0, |t | = t... saat< 0, |t | = - t. Bu nedenle, bu tür integralleri hesaplarken, t> durumlarını ayrı ayrı dikkate almak gerekir. 0 ve t< 0 ... Bu, işaretler yazarak veya gerektiğinde yapılabilir. Üstteki işaretin t> durumuna işaret ettiğini varsayarsak 0 , ve alt olanı - t durumuna< 0 ... Daha fazla dönüşüm üzerine, bu işaretler kural olarak birbirini iptal eder.

İntegrant ve entegrasyon sonucunun şu şekilde değerlendirilebileceği ikinci yaklaşım da mümkündür. karmaşık fonksiyonlar karmaşık değişkenler üzerinde O zaman radikal ifadelerde işaretleri takip edemezsiniz. Bu yaklaşım, integralin analitik olması, yani karmaşık bir değişkenin türevlenebilir bir fonksiyonu olması durumunda uygulanabilir. Bu durumda hem integrali hem de integrali çok değerli fonksiyonlardır. Bu nedenle, entegrasyondan sonra, sayısal değerleri değiştirirken, integralin tek değerli bir dalını (Riemann yüzeyi) seçmek ve bunun için entegrasyon sonucunun karşılık gelen dalını seçmek gerekir.

Kesirli Doğrusal Mantıksızlık

Bunlar aynı lineer kesirli fonksiyonun köklerine sahip integrallerdir:
,
burada R bir rasyonel fonksiyondur, rasyonel sayılardır, m 1, n 1, ..., m s, n s tam sayılardır, α, β, γ, δ gerçek sayılardır.
Bu tür integraller, ikame yoluyla rasyonel bir fonksiyonun integraline indirgenir:
, burada n, r 1, ..., r s sayılarının ortak paydasıdır.

Kökler mutlaka lineer bir kesirli fonksiyondan olmayabilir, aynı zamanda lineer bir fonksiyondan da olabilir (γ = 0, δ = 1) veya integrasyon değişkeni x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).

İşte bu tür integrallere örnekler:
, .

Diferansiyel binomların integralleri

Diferansiyel binomların integralleri:
,
burada m, n, p rasyonel sayılar, a, b gerçek sayılardır.
Bu tür integraller üç durumda rasyonel fonksiyonların integrallerine indirgenir.

1) p bir tam sayı ise. x = t N ikamesi, burada N, m ve n kesirlerinin ortak paydasıdır.
2) Eğer - bütün. a x n + b = t M ikamesi, burada M, p'nin paydasıdır.
3) Eğer - bütün. a + b x - n = t M ikamesi, burada M, p'nin paydasıdır.

Diğer durumlarda, bu tür integraller temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilmez.

Bazen bu tür integraller, indirgeme formülleri kullanılarak basitleştirilebilir:
;
.

Bir kare üç terimlinin karekökünü içeren integraller

Bu tür integraller şu şekildedir:
,
burada R rasyonel bir fonksiyondur. Bu tür integrallerin her biri için birkaç çözüm yöntemi vardır.
1) Dönüşümlerin yardımıyla daha basit integrallere yol açar.
2) Trigonometrik veya hiperbolik ikameler uygulayın.
3) Euler ikamelerini uygulayın.

Bu yöntemlere daha yakından bakalım.

1) İntegrandın dönüşümü

Formülü uygulayarak ve cebirsel dönüşümler gerçekleştirerek, integrali forma getiriyoruz:
,
burada φ (x), ω (x) rasyonel fonksiyonlardır.

İ yaz

Formun integrali:
,
burada P n (x), n dereceli bir polinomdur.

Bu tür integraller, özdeşliği kullanan tanımsız katsayılar yöntemiyle bulunur:

.
Bu denklemi farklılaştırarak ve sol ve sağ tarafları eşitleyerek, A i katsayılarını buluruz.

II tipi

Formun integrali:
,
burada P m (x), m dereceli bir polinomdur.

ikame t = (x - α) -1 bu integral önceki türe indirgenir. m ≥ n ise, kesrin tamamı seçilmelidir.

III tipi

Burada ikameyi yapıyoruz:
.
Bundan sonra, integral şu ​​şekli alacaktır:
.
Ayrıca, α, β sabitleri, paydadaki t'deki katsayılar yok olacak şekilde seçilmelidir:
B = 0, B1 = 0.
Daha sonra integral, iki tür integralin toplamına ayrışır:
,
,
ikamelerle entegre edilenler:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Trigonometrik ve hiperbolik ikameler

Formun integralleri için, > 0 ,
üç ana ikamemiz var:
;
;
;

integraller için, > 0 ,
aşağıdaki ikamelere sahibiz:
;
;
;

Ve son olarak, integraller için, > 0 ,
ikameler aşağıdaki gibidir:
;
;
;

3) Euler ikameleri

Ayrıca integraller, üç Euler ikamesinden birinin rasyonel fonksiyonlarının integrallerine indirgenebilir:
, a> 0 için;
, c> 0 için;
burada x 1, a x 2 + b x + c = 0 denkleminin köküdür. Bu denklemin gerçek kökleri varsa.

eliptik integraller

Sonuç olarak, formun integrallerini düşünün:
,
burada R rasyonel bir fonksiyondur. Bu tür integrallere eliptik denir. Genel olarak, temel işlevler cinsinden ifade edilmezler. Ancak, A, B, C, D, E katsayıları arasında, bu tür integrallerin temel fonksiyonlar cinsinden ifade edildiği ilişkiler olduğu durumlar vardır.

Aşağıda dönüş polinomları ile ilgili bir örnek verilmiştir. Bu tür integrallerin hesaplanması, ikameler kullanılarak gerçekleştirilir:
.

Örnek

İntegrali hesaplayın:
.

Çözüm

Bir ikame yaparız.

.
Burada, x> için 0 (u> 0 ) üstteki ′ + ′ işaretini alıyoruz. x için< 0 (sen< 0 ) - daha düşük ' - '.

.

Cevap

Referanslar:
N.M. Günter, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, "Lan", 2003.

Belirli bir X aralığında türevlenebilen F(x) fonksiyonuna denir. fonksiyon için ters türev f (x) veya f (x)'in bir integrali, eğer herhangi bir x ∈X için aşağıdaki eşitlik geçerliyse:

F "(x) = f (x). (8.1)

Belirli bir işlev için tüm ters türevleri bulmaya, işlevi denir. entegrasyon. Bir fonksiyonun belirsiz integrali f (x), belirli bir X aralığında, f (x) fonksiyonu için tüm ters türevlerin kümesidir; atama -

F (x), f (x) işlevi için bir ilkel ise, o zaman ∫ f (x) dx = F (x) + C, (8.2)

burada C keyfi bir sabittir.

İntegral tablo

Doğrudan tanımdan, değil'in temel özelliklerini elde ederiz. kesin integral ve tablo integrallerinin bir listesi:

1) d∫f (x) dx = f (x)

2) ∫df (x) = f (x) + C

3) ∫af (x) dx = a∫f (x) dx (a = sabit)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Tablo integrallerinin listesi

1.∫x m dx = x m + 1 / (m + 1) + C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a> 0, a ≠ 1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - günah x + C

7. = arktan x + C

8. = yaylar x + C

10. = - ctg x + C

Değişken değiştirme

Birçok işlevi entegre etmek için değişkeni değiştirme yöntemini kullanın veya ikameler, integralleri tablo biçimine indirgemeye izin verir.

f (z) fonksiyonu [α, β] üzerinde sürekli ise, z = g (x) fonksiyonunun sürekli bir türevi vardır ve α ≤ g (x) ≤ β, o zaman

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫f (z) dz, (8.3)

üstelik integrasyondan sonra sağ tarafta z = g(x) ikamesi yapılmalıdır.

Kanıt için orijinal integrali şu şekilde yazmak yeterlidir:

∫ f (g (x)) g "(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x).

Örneğin:

Parçalara göre entegrasyon

u = f (x) ve v = g (x) sürekli olan fonksiyonlar olsun. Daha sonra, çalışmaya göre,

d (uv)) = udv + vdu veya udv = d (uv) - vdu.

d (uv) ifadesi için, ters türev açıkça uv olacaktır, dolayısıyla aşağıdaki formül geçerlidir:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Bu formül kuralı ifade eder Parçalara göre entegrasyon... udv = uv "dx" ifadesinin entegrasyonunu vdu = vu" dx ifadesinin entegrasyonuna getirir.

Örneğin, ∫xcosx dx'i bulmamız gerekiyor. u = x, dv = cosxdx, yani du = dx, v = sinx koyun. Sonra

∫xcosxdx = ∫x d (günah x) = x günah x - ∫sin x dx = x günah x + cosx + C.

Parçalara göre entegrasyon kuralı, değişken ikameden daha sınırlı bir kapsama sahiptir. Ancak bütün integral sınıfları vardır, örneğin,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax ve parçalara göre entegrasyon kullanılarak hesaplanan diğerleri.

Kesin integral

Belirli bir integral kavramı aşağıdaki gibi tanıtılır. f(x) fonksiyonu segmentte tanımlansın. [a, b] segmentini ikiye böldük n noktalara göre parçalar a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x ben = x ben - x ben-1. f (ξ i) Δ x i formunun toplamına denir integral toplamı, ve varsa ve sonlu ise λ = maxΔx i → 0 olarak limitine denir kesin integral f(x) fonksiyonu aönce B ve şu şekilde gösterilir:

F (ξ ben) Δx ben (8,5).

Bu durumda f (x) işlevi denir segmentte entegre edilebilir a ve b sayıları denir integralin alt ve üst limiti.

Aşağıdaki özellikler belirli bir integral için geçerlidir:

4), (k = sabit, k∈R);

5)

6)

7) f (ξ) (b-a) (ξ∈).

Son özellik denir ortalama değer teoremi.

f(x) üzerinde sürekli olsun. O zaman bu segmentte belirsiz bir integral var

∫f (x) dx = F (x) + C

ve gerçekleşir Newton-Leibniz formülü, belirli bir integrali belirsiz olanla birleştirmek:

F (b) - F (a). (8.6)

Geometrik yorum: belirli integral, y = f (x) eğrisi, düz çizgiler x = a ve x = b ve bir eksen parçası ile yukarıdan sınırlanan kavisli bir yamuğun alanıdır. Öküz.

uygun olmayan integraller

Sonsuz limitli integrallere ve süreksiz (sınırsız) fonksiyonların integrallerine denir. uygunsuz. Birinci türden uygun olmayan integraller - bunlar, aşağıdaki gibi tanımlanan sonsuz bir aralıktaki integrallerdir:

(8.7)

Bu sınır varsa ve sonluysa, buna denir. f (x)'in yakınsak uygunsuz integrali[a, + ∞) aralığında ve f (x) fonksiyonu çağrılır sonsuz bir aralıkta integrallenebilir[a, + ∞). Aksi takdirde, integralin olduğu söylenir. yok veya ayrılıyor.

(-∞, b] ve (-∞, + ∞) aralıklarındaki uygun olmayan integraller benzer şekilde tanımlanır:

Sınırsız bir fonksiyonun integrali kavramını tanımlayalım. f(x) tüm değerler için sürekli ise x f(x)'in sonsuz bir süreksizliğe sahip olduğu c noktası hariç, ikinci tür yanlış integral f(x) a'dan b'ye değişen miktarı denir:

eğer bu limitler varsa ve sonluysa. Tanım:

İntegral hesaplama örnekleri

Örnek 3.30.∫dx / (x + 2) hesaplayın.

Çözüm. t = x + 2, sonra dx = dt, ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln | t | + C = ln |x + 2 | + C.

Örnek 3.31... ∫ tgxdx'i bulun.

Çözüm.∫ tgxdx = ∫sinx / cosxdx = - ∫dcosx / cosx. t = cosx olsun, sonra ∫ tgxdx = -∫ dt / t = - ln |t | + C = -ln | cosx | + C.

Örnek3.32 ... ∫dx / sinx'i bulun

Çözüm.

Örnek3.33. Bulmak .

Çözüm. = .

Örnek3.34 ... ∫arctgxdx'i bulun.

Çözüm. Parçalara göre entegre ediyoruz. u = arctgx, dv = dx olarak belirledik. O zaman du = dx / (x 2 +1), v = x, buradan ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C; olarak
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) + C.

Örnek3.35 ... ∫lnxdx hesaplayın.

Çözüm. Parçalara göre entegrasyon formülünü uygulayarak şunları elde ederiz:
u = lnx, dv = dx, du = 1 / x dx, v = x. Sonra ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.

Örnek3.36 ... ∫e x sinxdx'i değerlendirin.

Çözüm. u = e x, dv = sinxdx, sonra du = e x dx, v = ∫sinxdx = - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx'i belirtin. ∫e x cosxdx integrali de şu kısımlarla integrallenebilir: u = e x, dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. Sahibiz:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx ilişkisini elde ettik, bu nedenle 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + С.

Örnek 3.37. J = ∫cos (lnx) dx / x hesaplayın.

Çözüm. dx / x = dlnx olduğundan, J = ∫cos (lnx) d (lnx). lnx'i t ile değiştirerek, J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C tablo integraline ulaşırız.

Örnek 3.38 ... J = hesaplayın.

Çözüm.= d (lnx) olduğunu göz önünde bulundurarak, lnx = t'yi yerine koyarız. O zaman J = .

Örnek 3.39 ... J = integralini hesaplayın .

Çözüm. Sahibiz: ... Bu nedenle =
=
=. bu sqrt (tan (x / 2)) gibi girilir.

Ve sonuç penceresinde sağ üst köşedeki Adımları göster'e tıklarsanız ayrıntılı bir çözüm alırsınız.

Uygulama

Öğrencilerin ve okul çocuklarının geçilen materyalin birleştirilmesi için siteye çevrimiçi integraller. Ve pratik becerilerinizi eğitin. Birkaç dakika içinde sizin için çevrimiçi tam bir integral çözümü, sürecin tüm aşamalarını belirlemenize yardımcı olacaktır.. Her zaman, çevrimiçi bir integrali çözmeye başlar başlamaz, türünü tanımlamanız gerekir, bu olmadan yapamazsınız. integral tablosu dışında herhangi bir yöntemi uygulayın. Verilen örnekte her tablo integrali açıkça görülmez; bazen ters türevi bulmak için orijinal işlevi dönüştürmeniz gerekir. Pratikte, integrallerin çözümü, orijinali, yani sonsuz bir fonksiyon ailesinden ters türevi bulma problemini yorumlamaya indirgenir, ancak integralin sınırları verilirse, Newton-Leibniz formülüne göre, hesaplamaların uygulandığı tek bir fonksiyon. Çevrimiçi integraller - çevrimiçi belirsiz integral ve çevrimiçi belirli integral. Çevrimiçi bir işlevin integrali, onları entegre etmesi amaçlanan sayıların toplamıdır. Bu nedenle, gayri resmi olarak, çevrimiçi integral, fonksiyon grafiği ile entegrasyon içindeki apsis arasındaki alandır. İntegrallerle problem çözme örnekleri. Bir değişken üzerinden karmaşık bir integral hesaplayalım ve cevabını problemin daha sonraki çözümüyle ilişkilendirelim. Dedikleri gibi, alındaki integralin integralini bulmak mümkündür. Yüksek doğruluklu herhangi bir integral, şeklin çizgileriyle sınırlanan alanı belirler. Bu onun geometrik anlamlarından biridir. Bu yöntem öğrencilerin işini kolaylaştırır. Aslında birkaç adımın vektör analizi üzerinde fazla bir etkisi olmayacaktır. İntegral fonksiyonu çevrimiçi integral hesabının temel kavramıdır.. Belirsiz integrallerin çözümü. Ana analiz teoremine göre, entegrasyon, diferansiyel denklemlerin çözülmesine yardımcı olan türevin tersi bir işlemdir. Teknik ayrıntılarda farklılık gösteren bir entegrasyon işleminin birkaç farklı tanımı vardır. Ancak hepsi uyumludur, yani herhangi iki entegrasyon yöntemi, belirli bir fonksiyona uygulanabiliyorsa aynı sonucu verecektir. En basiti Riemann integralidir - belirli bir integral veya belirsiz bir integral. Gayri resmi olarak, bir değişkenli bir fonksiyonun integrali, grafiğin altındaki alan olarak girilebilir (fonksiyonun grafiği ile apsis ekseni arasına alınan şekil). Böyle bir alt problem, önemli bir yaklaşımın en başında integrali hesaplamanın son derece gerekli olacağını haklı çıkarabilir. Bunu unutma! Bu alanı bulmaya çalışırken, tabanları birlikte bir entegrasyon segmenti oluşturan ve segmenti karşılık gelen sayıda küçük segmente bölerek elde edilen belirli sayıda dikey dikdörtgenden oluşan rakamları düşünebiliriz. Çevrimiçi integral çözümü .. Çevrimiçi integral - çevrimiçi belirsiz integral ve çevrimiçi belirli integral. Çevrimiçi integral çözümü: çevrimiçi belirsiz integral ve çevrimiçi belirli integral. Hesap makinesi, eylemlerin açıklamasıyla integralleri ayrıntılı ve ücretsiz olarak çözer! Bir işlev için çevrimiçi belirsiz integral, belirli bir işlevin tüm ters türevlerinin toplanmasıdır. Bir fonksiyon tanımlanmış ve bir aralıkta sürekli ise, o zaman onun için bir ters türev fonksiyonu (veya bir terstürev ailesi) vardır. İntegral yalnızca, koşulları böyle bir ihtiyacın ortaya çıkması üzerine sizin tarafınızdan belirlenen bir ifadeyi tanımlar. Bu konuya dikkatli yaklaşmak ve yapılan işten içsel tatmin yaşamak daha iyidir. Ancak klasikten farklı bir şekilde integrali hesaplamak bazen beklenmedik sonuçlara yol açar ve buna şaşırmamak gerekir. Olan bitene olumlu bir yanıt vereceği gerçeğine sevindim. Belirli integrallerin ve integrallerin belirsiz integrallerinin tam ayrıntılı adım adım çözümüyle listesi. Tüm integraller çevrimiçi olarak ayrıntılı bir çözümle. Belirsiz integral. Belirsiz integrali çevrimiçi bulmak, yüksek matematik ve diğer teknik bilim dallarında çok yaygın bir iştir. Temel entegrasyon yöntemleri. İntegralin tanımı, belirli ve belirsiz integral, integral tablosu, Newton-Leibniz formülü. Ve yine, integral ifadeleri tablosunu kullanarak integralinizi bulabilirsiniz, ancak yine de buna gelmeniz gerekir, çünkü her şey ilk bakışta göründüğü kadar basit değildir. Hataları bulmadan önce tamamlanmış binaları düşünün. Belirli integral ve hesaplama yöntemleri. Değişken üst limitli çevrimiçi belirli integral. Entegre çözüm çevrimiçi. Tablo formüllerini kullanarak integrali hesaplamaya yardımcı olan herhangi bir örnek, tüm beceri seviyelerindeki öğrenciler için yararlı bir eylem kılavuzu olacaktır. Doğru cevaba doğru en önemli adım.. İntegraller online. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar içeren belirsiz integraller. Çevrimiçi integral çözümü - farklı integral türleri için ayrıntılı bir çözüm alacaksınız: belirsiz, belirli, uygunsuz. Belirli İntegral Hesaplayıcı, sayısal entegrasyon kullanarak bir fonksiyonun belirli integralini bir aralık üzerinden çevrimiçi olarak hesaplar. Bir fonksiyonun integrali, bir dizinin toplamının bir analogudur. Gayri resmi olarak, belirli integral, fonksiyonun grafiğinin bölümünün alanıdır. Çevrimiçi integral çözümü .. Çevrimiçi integral, çevrimiçi belirsiz bir integral ve çevrimiçi belirli bir integraldir. Çoğu zaman, böyle bir integral, bir cismin kendisiyle karşılaştırıldığında aynı yoğunluğa sahip bir nesneden ne kadar ağır olduğunu belirler ve şekli ne olursa olsun, çünkü yüzey suyu emmez. Çevrimiçi integral çözümü .. Çevrimiçi integraller - çevrimiçi belirsiz integral ve çevrimiçi belirli integral. Her küçük öğrenci, integrali çevrimiçi olarak nasıl bulacağını bilir. Okul müfredatı temelinde, matematiğin bu bölümü de incelenir, ancak ayrıntılı olarak değil, yalnızca bu kadar karmaşık ve önemli bir konunun temelleri. Çoğu durumda, öğrenciler, türev ve limite geçiş gibi önemli konulardan önce gelen kapsamlı bir teoriden integral çalışmalarına başlarlar - bunlar aynı zamanda limitlerdir. İntegrallerin çözümü, yavaş yavaş basit fonksiyonlardan en temel örneklerle başlar ve geçen yüzyılda ve hatta çok daha önce önerilen birçok yaklaşım ve kuralın uygulanmasıyla sona erer. İntegral hesap sadece liselerde ve okullarda, yani orta öğretim kurumlarında bilgi amaçlıdır. Web sitemiz size her zaman yardımcı olacaktır ve integralleri çevrimiçi çözmek sizin için rutin ve en önemlisi anlaşılır bir görev haline gelecektir. Bu kaynağa dayanarak, bu matematik bölümünde mükemmelliğe kolayca ulaşabilirsiniz. Parçalar halinde veya Chebyshev yönteminin uygulanması gibi öğrenilen kuralları adım adım anlayarak, maksimum puan sayısı için herhangi bir testi kolayca çözebilirsiniz. Öyleyse, sonuçta, çözümün doğru, doğru ve mümkün olan maksimum kesin cevapla birlikte iyi bilinen integral tablosunu kullanarak integrali nasıl hesaplayabiliriz? Bu nasıl öğrenilir ve sıradan bir birinci sınıf öğrencisinin bunu mümkün olan en kısa sürede yapması mümkün müdür? Bu soruya olumlu cevap vereceğiz - yapabilirsiniz! Aynı zamanda sadece herhangi bir örneği çözmekle kalmayacak, aynı zamanda yüksek sınıf bir mühendis seviyesine ulaşacaksınız. Sır her zamankinden daha basit - maksimum çaba göstermeniz, gerekli zamanı kendi kendinize hazırlamanız gerekiyor. Ne yazık ki, henüz kimse başka bir yol bulamadı! Ancak her şey ilk bakışta göründüğü kadar bulutlu değildir. Bu soru ile servis sitemize başvurursanız, hayatınızı kolaylaştıracağız, çünkü sitemiz integralleri online olarak çok yüksek bir hız ve kusursuz bir doğru cevapla ayrıntılı olarak hesaplayabilmektedir. Özünde, integral, argüman oranının bir bütün olarak sistemin kararlılığını nasıl etkilediğini belirlemez. Keşke her şey dengeli olsaydı. Bu matematiksel konunun temellerini nasıl öğreneceğinizin yanı sıra, hizmet, eğer bu integral temel fonksiyonlarda çözülebiliyorsa, herhangi bir integralin integralini bulabilir. Aksi takdirde, elemanter fonksiyonlarda alınmayan integraller için pratikte analitik veya başka bir deyişle açık bir biçimde cevap bulunmasına gerek yoktur. Tüm integral hesaplamaları, belirli bir integralin ters türevinin belirlenmesine indirgenir. Bunu yapmak için önce çevrimiçi olarak tüm matematik yasaları üzerinden belirsiz integrali hesaplayın. daha sonra, gerekirse, integralin üst ve alt değerleri değiştirilir. Belirsiz bir integralin sayısal değerini belirlemek veya hesaplamak gerekmiyorsa, elde edilen ters türev fonksiyona bir sabit eklenir, böylece bir ters türev fonksiyonlar ailesi tanımlanır. Bilimde ve genellikle sürekli medya mekaniği de dahil olmak üzere herhangi bir mühendislik alanında özel bir yer olan entegrasyon, tüm mekanik sistemleri, hareketlerini ve çok daha fazlasını tanımlar. Çoğu durumda, derlenmiş integral, maddi bir noktanın hareket yasasını belirler. Uygulamalı bilimlerin çalışmasında çok önemli bir araçtır. Buna dayanarak, mekanik sistemlerin varoluş ve davranış yasalarını belirlemek için büyük ölçekli hesaplamalar hakkında söylenemez. Sitedeki integralleri çözmek için çevrimiçi hesap makinesi, profesyonel mühendisler için güçlü bir araçtır. Bunu size kesinlikle garanti ediyoruz, ancak integralinizi ancak integrandın etki alanına doğru ifadeyi girdikten sonra hesaplayabiliriz. Hata yapmaktan korkmayın, bu konuda her şey düzeltilebilir! Genellikle, integrallerin çözümü, iyi bilinen ders kitaplarından veya ansiklopedilerden tablo işlevlerinin kullanımına indirgenir. Diğer herhangi bir belirsiz integral gibi, çok fazla kaba eleştiri olmadan standart formül kullanılarak hesaplanacaktır. Kolayca ve doğal olarak, birinci sınıf öğrencileri üzerinde çalışılan materyali anında kavrar ve bazen onlar için integrali bulmak iki dakikadan fazla sürmez. Ve eğer bir öğrenci integral tablosunu öğrendiyse, genel olarak cevapları kafasında belirleyebilir. Fonksiyonları yüzeylere göre değişkenlerde genişletmek, başlangıçta, apsis üzerinde bir noktada doğru vektör yönü anlamına gelir. Yüzey çizgilerinin öngörülemeyen davranışı, matematiksel fonksiyonların karşılıklı bir kaynağında belirli integralleri temel alır. Topun sol kenarı, düzlemde bakıldığında dairenin yazılı olduğu silindire değmez. Yüzlerce parçalı sürekli fonksiyona bölünmüş küçük alanların toplamı, belirli bir fonksiyonun çevrim içi integralidir. İntegralin mekanik anlamı, birçok uygulamalı problemde yatmaktadır, bu, cisimlerin hacminin belirlenmesi ve vücut kütlesinin hesaplanmasıdır. Üçlü ve çift katlı integraller sadece bu hesaplamalarda yer alır. İntegrallerin çevrim içi çözümünün sadece deneyimli öğretmenlerin gözetiminde ve sayısız kontrolden geçirilmesinde ısrar ediyoruz.Derslere katılmayan, sebepsiz yere atlayan öğrencilerin gelişimi sıklıkla soruluyor, nasıl buluyorlar? integralin kendisi. Öğrencilerin özgür insanlar olduğunu ve rahat bir ev ortamında bir sınava veya sınava hazırlanırken dışarıdan bir öğrenci olarak iyi eğitilebileceklerini söylüyoruz. Hizmetimiz, herhangi bir fonksiyonun bir değişkene göre integralini hesaplamak isteyen herkese saniyeler içinde yardımcı olacaktır. Ters türev fonksiyonunun türevi alınarak elde edilen sonucu kontrol edin. Bu durumda, integralin çözümünden gelen sabit kaybolur. Bu kural herkes için açıktır. Çok yönlü işlemler gerekçelendirildiği için belirsiz integral genellikle bölgeyi küçük parçalara bölmeye indirgenir. Ancak, bazı öğrenciler ve okul çocukları bu şartı ihmal etmektedir. Her zaman olduğu gibi, çevrimiçi integraller hizmet sitemiz tarafından ayrıntılı olarak çözülebilir ve istek sayısında herhangi bir kısıtlama yoktur, her şey ücretsizdir ve herkes tarafından kullanılabilir. Birkaç saniye içinde ve en önemlisi, yüksek doğrulukla ve uygun bir biçimde adım adım cevap veren pek çok site yoktur. Son örnekte, ödevin beşinci sayfasında adım adım integralin hesaplanması gerektiğini gösteren bir tane vardı. Ancak, çevrimiçi olarak binlerce çözülmüş örnek üzerinde zaman içinde test edilmiş ve test edilmiş hazır bir hizmet kullanarak bir integral bulmanın nasıl mümkün olduğunu unutmayın. Böyle bir integralin sistemin hareketini nasıl belirlediği, bu denklem sistemi tarafından açıklanan viskoz bir sıvının hareketinin doğası tarafından açık ve net bir şekilde kanıtlanır.

karmaşık integraller

Bu makale belirsiz integraller konusunu tamamlıyor ve oldukça zor bulduğum integralleri içeriyor. Ders, sitede daha zor örneklerin de analiz edilmesini dileyen ziyaretçilerin tekrarlanan istekleri üzerine oluşturuldu.

Bu metnin okuyucusunun iyi hazırlanmış olduğu ve temel entegrasyon tekniklerini nasıl uygulayacağını bildiği varsayılmaktadır. Aptallar ve integrallerden pek emin olmayan insanlar ilk derse başvurmalıdır - Belirsiz integral. Çözüm örnekleri, konuya pratik olarak sıfırdan hakim olabileceğiniz yer. Daha deneyimli öğrenciler, makalelerimde henüz karşılaşmamış olan entegrasyon tekniklerini ve yöntemlerini öğrenebilirler.

Hangi integraller dikkate alınacaktır?

İlk olarak, çözümü için art arda kullandığımız köklü integralleri ele alacağız. değişken değiştirme ve Parçalara göre entegrasyon... Yani bir örnekte iki teknik aynı anda birleştirilmiştir. Ve daha da fazlası.

O zaman ilginç ve orijinal bir şeyle tanışacağız. integrali kendisine indirgeme yöntemi... Bu şekilde çok az integral çözülmez.

Programın üçüncü sayısı, önceki makalelerde gişeyi geçen karmaşık kesirlerin integrallerine gidecek.

Dördüncüsü, trigonometrik fonksiyonların ek integralleri analiz edilecektir. Özellikle, zaman alıcı evrensel trigonometrik ikameden kaçınan yöntemler vardır.

(2) İntegranda, payı paydaya göre terime böleriz.

(3) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz. Son integralde hemen fonksiyonu diferansiyel işaretinin altına getiriyoruz.

(4) Kalan integralleri alın. Parantezlerin modülde değil logaritmada kullanılabileceğini unutmayın, çünkü.

(5) Doğrudan ikame "te" den ifade ederek ters ikameyi gerçekleştiririz:

Mazoşist öğrenciler cevabı farklılaştırabilir ve az önce yaptığım gibi orijinal integrali alabilir. Hayır, hayır, kontrolü doğru anlamda yaptım =)

Gördüğünüz gibi, çözüm sürecinde ikiden fazla çözüm yönteminin kullanılması gerekiyordu, bu nedenle bu tür integrallerle uğraşmak için en küçük deneyime değil, kendinden emin entegrasyon becerilerine ihtiyaç var.

Pratikte, elbette, karekök daha yaygındır, işte bağımsız bir çözüm için üç örnek:

Örnek 2

belirsiz integrali bulun

Örnek 3

belirsiz integrali bulun

Örnek 4

belirsiz integrali bulun

Bu örnekler aynı türdendir, bu nedenle makalenin sonundaki tam çözüm sadece Örnek 2 için, Örnek 3-4'te - bir cevap olacaktır. Çözümlerin başında hangi ikamenin kullanılacağı bence açık. Neden aynı türden örnekler seçtim? Genellikle rollerinde buluşurlar. Daha sık, belki, sadece şöyle bir şey .

Ancak her zaman değil, bir lineer fonksiyonun kökü arktanjant, sinüs, kosinüs, üs ve diğer fonksiyonlar altında bulunduğunda, aynı anda birkaç yöntemin uygulanması gerekir. Bazı durumlarda, "kolayca inmek" mümkündür, yani değiştirmeden hemen sonra, temel olarak alınan basit bir integral elde edilir. Yukarıda önerilen görevlerin en kolayı, değiştirildikten sonra nispeten basit bir integralin elde edildiği Örnek 4'tür.

İntegrali kendisine indirgeyerek

Ustaca ve güzel bir yöntem. Hemen türün klasiklerine bir göz atalım:

Örnek 5

belirsiz integrali bulun

Kökün altında bir kare binom var ve bu örneği entegre etmeye çalışırken kettle saatlerce sıkıntı çekebiliyor. Böyle bir integral parça parça alınır ve kendisine indirgenir. Prensip olarak, zor değil. Nasıl olduğunu biliyorsan.

Söz konusu integrali bir Latin harfiyle gösterelim ve çözüme başlayalım:

Parça parça entegre ediyoruz:

(1) Terim bölümü için bir integral işlevi hazırlayın.

(2) İntegranı terime böleriz. Belki herkes anlamaz, daha ayrıntılı yazacağım:

(3) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz.

(4) Son integrali ("uzun" logaritma) alın.

Şimdi çözümün en başına bakıyoruz:

Ve sonunda:

Ne oldu? Yaptığımız işlemler sonucunda integral kendine indirgendi!

Başını ve sonunu eşitleyelim:

Bir işaret değişikliği ile sola hareket edin:

Ve ikiliyi sağ tarafa taşıyoruz. Sonuç olarak:

Sabit, kesinlikle konuşursak, daha önce eklenmeliydi, ancak sonunda eklenmeliydi. Burada katı olanı okumanızı şiddetle tavsiye ederim:

Not: Daha kesin olarak, çözümün son aşaması şöyle görünür:

Böylece:

Sabit olarak yeniden adlandırılabilir. Neden yeniden tanımlayabilirsiniz? Çünkü hala kabul ediyor herhangi değerlerdir ve bu anlamda sabitler ile arasında hiçbir fark yoktur.
Sonuç olarak:

Benzer bir sürekli yeniden adlandırma hilesi, yaygın olarak kullanılmaktadır. diferansiyel denklemler... Ve orada katı olacağım. Ve burada böyle bir özgürlüğe sadece sizi gereksiz şeylerle karıştırmamak ve entegrasyon yöntemine odaklanmak için izin veriyorum.

Örnek 6

belirsiz integrali bulun

Bağımsız bir çözüm için başka bir tipik integral. Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın. Önceki örnekten gelen cevapla fark olacak!

Kare kökün altında bir kare trinom varsa, o zaman çözüm her durumda iki analiz edilen örneğe indirgenir.

Örneğin, integrali düşünün ... Tek yapmanız gereken önceden tam bir kare seçin:
.
Ayrıca, "herhangi bir sonuç olmaksızın" ortadan kaldırılan doğrusal bir değiştirme gerçekleştirilir:
, bir integral ile sonuçlanır. Tanıdık bir şey, değil mi?

Veya kare binomlu böyle bir örnek:
Tam bir kare seçin:
Ve doğrusal bir değiştirmeden sonra, zaten düşünülen algoritmaya göre de çözülen bir integral elde ederiz.

Bir integralin kendisine nasıl indirgeneceğine dair iki tipik örnek daha düşünün:
- sinüs ile çarpılan üssün integrali;
- üs ile kosinüs çarpımının integrali.

Parçalara göre listelenen integrallerde, zaten iki kez entegre etmemiz gerekecek:

Örnek 7

belirsiz integrali bulun

İntegrant, üs çarpı sinüstür.

Parçalara göre iki kez entegre ediyoruz ve integrali kendisine indirgiyoruz:

Parçaların çift entegrasyonu sonucunda integral kendine indirgendi. Çözümün başlangıcını ve sonunu eşitleyelim:

Bir işaret değişikliği ile sola hareket ettirin ve integralimizi ifade edin:

Hazır. Yol boyunca sağ tarafı taramanız önerilir, yani. üssü parantezlerin dışına koyun ve parantez içinde sinüs ve kosinüsü "güzel" bir düzende düzenleyin.

Şimdi örneğin başına veya daha doğrusu parçalara göre entegrasyona geri dönelim:

Çünkü katılımcıyı belirledik. Soru ortaya çıkar, tam olarak üs her zaman ile gösterilmelidir? Gerekli değil. Aslında, düşünülen integralde temelde önemli değil Neyi ifade etmeli, diğer yoldan gitmek mümkündü:

Bu neden mümkün? Üs (hem farklılaşma hem de bütünleşme sırasında) kendisine dönüştüğü için, sinüs ve kosinüs karşılıklı olarak birbirine dönüşür (yine, hem farklılaşma hem de integral alma sırasında).

Yani, bir trigonometrik fonksiyon da atayabilirsiniz. Ancak, ele alınan örnekte, kesirler görüneceğinden bu daha az rasyoneldir. Dilerseniz bu örneği ikinci şekilde çözmeyi deneyebilirsiniz, cevaplar aynı olmalıdır.

Örnek 8

belirsiz integrali bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Karar vermeden önce, bu durumda üs veya trigonometrik fonksiyon için neyin daha karlı olduğunu düşünün. Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Ve elbette, bu dersteki cevapların çoğunun ayırt etmek için yeterince kolay olduğunu unutmayın!

Örnekler en zor olarak kabul edilmedi. Pratikte, sabitin hem üs hem de trigonometrik fonksiyonun argümanında olduğu integraller daha yaygındır, örneğin:. Birçok insan böyle bir integralde kaybolmak zorunda kalacak ve ben de sık sık kafam karışıyor. Gerçek şu ki, çözümde kesirlerin ortaya çıkma olasılığı yüksektir ve dikkatsizlikten bir şeyi kaybetmek çok kolaydır. Ek olarak, işaretlerde yüksek bir hata olasılığı vardır, üssün eksi işaretine sahip olduğunu ve bunun ek zorluk getirdiğini unutmayın.

Son aşamada, genellikle aşağıdaki gibi bir şey ortaya çıkıyor:

Çözümün sonunda bile, son derece dikkatli olmalı ve kesirlerle yetkin bir şekilde ilgilenmelisiniz:

Bileşik kesirlerin entegrasyonu

Yavaş yavaş dersin ekvatoruna yaklaşıyoruz ve kesirlerin integrallerini düşünmeye başlıyoruz. Yine, hepsi çok karmaşık değil, sadece bir nedenden dolayı örnekler diğer makalelerde biraz "konu dışı" idi.

Kök temasına devam

Örnek 9

belirsiz integrali bulun

Kökün altındaki paydada, "x" şeklinde "ek" kökün dışındaki kare üçlü terim artıdır. Bu tür bir integral, standart bir ikame kullanılarak çözülür.

Karar veriyoruz:

Değiştirme basittir:

Değiştirdikten sonra hayata bakıyoruz:

(1) İkame işleminden sonra kökün altındaki terimleri ortak bir paydaya getiriyoruz.
(2) Kökün altından çıkarıyoruz.
(3) Pay ve paydayı azaltın. Aynı zamanda, kökün altında terimleri uygun bir sırayla yeniden düzenledim. Biraz deneyimle, (1), (2) adımları, yorumlanan eylemler sözlü olarak gerçekleştirilerek atlanabilir.
(4) Dersten hatırladığınız gibi elde edilen integral Bazı kesirlerin integrali, çözüldü tam kare seçim yöntemi... Tam bir kare seçin.
(5) Entegrasyon ile sıradan bir "uzun" logaritma elde ederiz.
(6) Ters değiştirme işlemini gerçekleştiririz. Başlangıçta, sonra geri:.
(7) Son eylem, sonucun saç modeline yöneliktir: kök altında, terimleri yine ortak bir paydaya getiriyoruz ve onları kökün altından çıkarıyoruz.

Örnek 10

belirsiz integrali bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Burada, yalnız X'e bir sabit eklendi ve değiştirme neredeyse aynı:

Ek olarak yapılması gereken tek şey, yerine geçen "x" i ifade etmektir:

Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Bazen böyle bir integralde kökün altında bir kare binom olabilir, bu çözüm yöntemini değiştirmez, daha da basit olacaktır. Farkı Hisset:

Örnek 11

belirsiz integrali bulun

Örnek 12

belirsiz integrali bulun

Dersin sonunda kısa çözümler ve cevaplar. Örnek 11'in tam olarak binom integrali Derste çözüm yöntemi düşünülen İrrasyonel fonksiyonların integralleri.

Derece olarak derece 2'nin ayrıştırılamaz bir polinomunun integrali

(paydadaki polinom)

Daha nadir, ancak yine de pratik örneklerde, integral formuyla karşılaşıldı.

Örnek 13

belirsiz integrali bulun

Ama 13 numaralı şanslı örneğe geri dönelim (açıkçası doğru tahmin edemedim). Bu integral aynı zamanda, nasıl çözeceğinizi bilmiyorsanız, kendinize hemen hemen eziyet edebileceğinizler kategorisindendir.

Çözüm yapay bir dönüşümle başlar:

Sanırım herkes payın payda terim terim terime nasıl bölüneceğini zaten anlamıştır.

Ortaya çıkan integral parça parça alınır:

Formun bir integrali için (bir doğal sayıdır), tekrarlayan Derece azaltma formülü:
, nerede - bir derece daha düşük integral.

Çözülmüş integral için bu formülün geçerliliğini doğrulayalım.
Bu durumda:,, formülü kullanırız:

Gördüğünüz gibi cevaplar aynı.

Örnek 14

belirsiz integrali bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Örnek çözüm, yukarıdaki formülü arka arkaya iki kez kullanır.

Derecenin altında ise ayrılmaz kare trinomial, daha sonra tam bir kare seçilerek çözüm bir binominale indirgenir, örneğin:

Payda ek bir polinom varsa ne olur? Bu durumda, tanımsız katsayılar yöntemi kullanılır ve integral, kesirlerin toplamına genişletilir. Ama böyle bir örnek pratiğimde hiç tanışmadık, bu yüzden makalede bu durumu atladım Bir kesirli rasyonel fonksiyonun integralleri, şimdi atlayacağım. Böyle bir integral hala ortaya çıkıyorsa, ders kitabına bakın - orada her şey basit. Toplantı olasılığı sıfıra yakın olan materyali (basit olanları bile) dahil etmeyi uygun görmüyorum.

Karmaşık trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu

Çoğu örnek için “zor” sıfatı yine büyük ölçüde koşulludur. Yüksek derecelerdeki teğetler ve kotanjantlarla başlayalım. Tanjant ve kotanjantı çözmek için kullanılan yöntemler açısından, bunlar neredeyse aynıdır, bu yüzden tanjant hakkında daha fazla konuşacağım, integrali çözmek için gösterilen yöntemin kotanjant için de geçerli olduğunu ima edeceğim.

Yukarıdaki derste, evrensel trigonometrik ikame trigonometrik fonksiyonların belirli türdeki integrallerini çözmek için. Evrensel trigonometrik ikamenin dezavantajı, onu kullanırken, genellikle zor hesaplamalara sahip hantal integrallerin ortaya çıkmasıdır. Ve bazı durumlarda evrensel trigonometrik ikame önlenebilir!

Başka bir kurallı örneği ele alalım, birliğin sinüse bölünmesinin integrali:

Örnek 17

belirsiz integrali bulun

Burada genel trigonometrik ikameyi kullanabilir ve cevabı alabilirsiniz, ancak daha rasyonel bir yol var. Her adım için yorumlar içeren eksiksiz bir çözüm sunacağım:

(1) Çift açılı sinüs trigonometrik formülünü kullanıyoruz.
(2) Yapay bir dönüşüm gerçekleştiriyoruz: Paydada böl ve çarp.
(3) Paydadaki iyi bilinen formüle göre, kesri teğete dönüştürüyoruz.
(4) Fonksiyonu diferansiyelin işaretinin altına getiriyoruz.
(5) İntegrali alın.

Bağımsız bir çözüm için birkaç basit örnek:

Örnek 18

belirsiz integrali bulun

Not: İlk adım, döküm formülünü kullanmaktır. ve önceki örneğe benzer eylemleri dikkatlice gerçekleştirin.

Örnek 19

belirsiz integrali bulun

Pekala, bu çok basit bir örnek.

Dersin sonunda tam çözümler ve cevaplar.

Artık kimsenin integrallerle ilgili bir sorunu olmayacağını düşünüyorum:
vb.

Yöntemin arkasındaki fikir nedir? Buradaki fikir, dönüşümleri, trigonometrik formülleri kullanarak integranttaki sadece teğetleri ve teğetin türevini organize etmektir. Yani, değiştirmekten bahsediyoruz: ... Örnek 17-19'da, aslında bu değiştirmeyi uyguladık, ancak integraller o kadar basitti ki, madde eşdeğer bir eylemle ele alındı ​​- işlevi diferansiyel işaretinin altına getirdi.

Daha önce de bahsettiğim gibi benzer bir akıl yürütme kotanjant için yapılabilir.

Yukarıdaki değişikliği uygulamak için resmi bir ön koşul da vardır:

Kosinüs ve sinüsün kuvvetlerinin toplamı negatif bir tam sayı ÇİFT sayıdır., Örneğin:

bir integral için - negatif bir tam sayı ÇİFT sayı.

! Not : integral YALNIZCA bir sinüs veya YALNIZCA bir kosinüs içeriyorsa, integral de negatif tek derece için alınır (en basit durumlar Örnekler No. 17, 18'dedir).

Bu kural için birkaç anlamlı görev daha düşünün:

Örnek 20

belirsiz integrali bulun

Sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin toplamı: 2 - 6 = –4 negatif bir tam sayı ÇİFT sayıdır, yani integralin teğetlere ve türevine indirgenebileceği anlamına gelir:

(1) Paydayı dönüştürün.
(2) İyi bilinen formüle göre elde ederiz.
(3) Paydayı dönüştürün.
(4) Formülü kullanıyoruz .
(5) Fonksiyonu diferansiyelin işaretinin altına getiriyoruz.
(6) Bir değiştirme gerçekleştiririz. Daha deneyimli öğrenciler değiştirme işlemini gerçekleştiremeyebilir, ancak yine de teğeti bir harfle değiştirmek daha iyidir - daha az karışıklık riski vardır.

Örnek 21

belirsiz integrali bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir.

Bekle, şampiyon turları başlıyor =)

Genellikle bütünleşmede bir "karmaşık" vardır:

Örnek 22

belirsiz integrali bulun

Bu integral başlangıçta bir teğet içerir ve bu hemen zaten tanıdık bir düşünceye yol açar:

Her şey zaten yukarıda tartışıldığı için, en başta yapay dönüşüm ve geri kalan adımları yorum yapmadan bırakacağım.

Kendi kendine çözüm için birkaç yaratıcı örnek:

Örnek 23

belirsiz integrali bulun

Örnek 24

belirsiz integrali bulun

Evet, elbette, sinüs, kosinüs derecelerini düşürebilirsiniz, evrensel trigonometrik ikameyi kullanabilirsiniz, ancak teğetlerden çizerseniz çözüm çok daha verimli ve daha kısa olacaktır. Dersin sonunda tam çözüm ve cevaplar

MÖ beşinci yüzyılda, antik Yunan filozofu Elea Zeno, en ünlüsü "Aşil ve kaplumbağa" aporia olan ünlü aporlarını formüle etti. Kulağa şöyle geliyor:

Diyelim ki Aşil bir kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve ondan bin adım geride. Akhilleus'un bu mesafeyi kat etmesi için gereken süre boyunca, kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda, kaplumbağa on adım daha sürünecek ve bu böyle devam edecek. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil asla kaplumbağaya yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıklı bir şok olarak geldi. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi bir şekilde Zeno'nun açmazlarını düşündüler. Şok o kadar güçlüydü ki" ... tartışmalar şu anda devam ediyor, bilim dünyası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... matematiksel analiz, küme teorisi, konunun çalışmasına yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri sorunun genel kabul görmüş bir çözümü haline gelmedi ..."[Wikipedia, Zeno's Aporia"]. Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın ne olduğunu anlamıyor.

Matematiğin bakış açısından, Zeno aporia'sında büyüklükten geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, sabitler yerine uygulamayı ima eder. Anladığım kadarıyla, değişken ölçü birimlerini uygulamak için matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun aporia'sına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi bir tuzağa götürür. Düşünmenin ataletiyle, karşılıklı zaman için sabit zaman ölçü birimleri uygularız. Fiziksel bir bakış açısından, Aşil'in kaplumbağa ile aynı hizada olduğu anda tamamen durana kadar zaman genişlemesi gibi görünüyor. Zaman durursa, Aşil artık kaplumbağayı geçemez.

Alıştığımız mantığı ters çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit bir hızla koşar. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, üstesinden gelmek için harcanan zaman öncekinden on kat daha azdır. Bu durumda "sonsuzluk" kavramını uygularsak, "Aşil sonsuz hızla kaplumbağayı yakalayacaktır" demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınabilirsiniz? Sabit zaman birimlerinde kalın ve geriye gitmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Aşil'in bin adım koşacağı süre boyunca, kaplumbağa aynı yönde yüz adım sürünecektir. Bir sonraki zaman aralığında, birincisine eşit, Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım sürünecek. Şimdi Aşil, kaplumbağadan sekiz yüz adım önde.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmadan gerçekliği yeterince açıklar. Ancak bu, soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının aşılamazlığı hakkındaki ifadesi Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benzer. Hala bu sorunu incelemek, yeniden düşünmek ve çözmek zorundayız. Ve çözüm sonsuz sayıda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.

Bir başka ilginç aporia Zeno, uçan bir oku anlatıyor:

Uçan ok hareketsizdir, çünkü zamanın her anında hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.

Bu çıkmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - zamanın her anında, uçan bir okun uzayda farklı noktalarda durduğunu ve aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada başka bir noktaya dikkat edilmelidir. Yoldaki bir arabanın tek bir fotoğrafından, hareketinin gerçeğini veya ona olan mesafesini belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareketi gerçeğini belirlemek için, aynı noktadan zaman içinde farklı noktalarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyaç vardır, ancak bunlar mesafeyi belirlemek için kullanılamaz. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için, aynı anda uzayda farklı noktalardan çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız var, ancak hareket gerçeğini belirleyemiyorlar (tabii ki, hesaplamalar için hala ek verilere ihtiyaç var, trigonometri size yardımcı olacaktır). Özellikle dikkat çekmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğudur, çünkü bunlar araştırma için farklı fırsatlar sunar.

4 Temmuz 2018 Çarşamba

Küme ve çoklu küme arasındaki ayrım Wikipedia'da çok iyi açıklanmıştır. Bakıyoruz.

Gördüğünüz gibi, "bir kümede iki özdeş eleman olamaz", ancak bir kümede aynı elemanlar varsa, böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Böyle bir saçmalık mantığı, rasyonel varlıklar tarafından asla anlaşılmayacaktır. Bu, "tamamen" kelimesinden zeka yoksunu konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler, saçma fikirlerini bize vaaz ederek sıradan eğitmenler gibi davranırlar.

Bir zamanlar köprüyü yapan mühendisler, köprünün testleri sırasında köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, beceriksiz mühendis yarattığı molozun altında öldü. Köprü yüke dayanabilseydi, yetenekli bir mühendis başka köprüler inşa ederdi.

Matematikçiler "chur, ben evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansın, onları gerçekliğe ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.

Çok iyi matematik çalıştık ve şimdi kasada oturuyoruz, maaş veriyoruz. İşte bize parası için bir matematikçi geliyor. Tüm tutarı ona sayarız ve masamıza aynı değerdeki faturaları koyduğumuz farklı yığınlara koyarız. Sonra her desteden bir fatura alıp matematikçiye “matematiksel maaş setini” veriyoruz. Sadece aynı elemanları olmayan bir kümenin aynı elemanlara sahip bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığı zaman faturaların geri kalanını alacağının matematiğini açıklıyoruz. eğlence burada başlıyor.

Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: "Bunu başkalarına uygulayabilirsiniz, bana uygulayamazsınız!" Ayrıca, aynı kupürdeki senetler üzerinde farklı kupür numaralarının bulunduğunu, yani bunların aynı unsurlar olarak kabul edilemeyeceği konusunda bizi temin etmeye başlayacağız. Tamam, maaşı madeni para olarak sayalım - madeni paralarda sayı yok. Burada matematikçi fiziği çılgınca hatırlamaya başlayacaktır: farklı madeni paraların farklı miktarlarda kirleri vardır, her madeni paradaki atomların kristal yapısı ve düzeni benzersizdir ...

Ve şimdi en ilginç sorum var: ötesinde bir çoklu kümenin öğelerinin bir kümenin öğelerine dönüştüğü ve bunun tersinin olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim buraya yakın hiçbir yerde yalan söylemedi.

Buraya bak. Aynı sahaya sahip futbol stadyumları seçiyoruz. Alanların alanı aynı, yani bir çoklu kümemiz var. Ama aynı stadyumların isimlerini düşünürsek, çok şey alırız çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi, aynı eleman kümesi aynı anda hem küme hem de çoklu kümedir. Nasıl doğru? Ve burada matematikçi-şaman-shuller kolundan bir koz ası çıkarır ve bize ya kümeden ya da çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda, bizi haklı olduğuna ikna edecektir.

Modern şamanların onu gerçeğe bağlayarak küme teorisiyle nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri diğer kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? "Tek bir bütün olarak düşünülemez" ya da "bir bütün olarak düşünülemez" olmadan size göstereceğim.

Pazar, 18 Mart 2018

Sayının rakamlarının toplamı, matematikle ilgisi olmayan bir tef ile şamanların dansıdır. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve onu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onların soyundan gelenlere becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için şamandırlar, aksi takdirde şamanlar basitçe ölürler.

Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve Bir Sayının Basamaklarının Toplamı sayfasını bulmaya çalışın. Bu yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulabileceğiniz bir formül yoktur. Sonuçta, sayılar yardımıyla sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şöyle görünür: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun". Matematikçiler bu sorunu çözemezler, ancak şamanlar - bu temeldir.

Verilen bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yaptığımızı görelim. Ve böylece 12345 sayısını elde edelim. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapmak gerekir? Tüm adımları sırasıyla inceleyelim.

1. Numarayı bir kağıda yazıyoruz. Ne yaptık? Sayıyı, sayının grafik sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değildir.

2. Ortaya çıkan bir resmi, ayrı sayılar içeren birkaç resme böldük. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.

3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değildir.

4. Ortaya çıkan sayıları toplayın. Şimdi bu matematik.

12345'in rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar, matematikçiler tarafından kullanılan şamanlardan "kesme ve dikme kursları"dır. Ama hepsi bu değil.

Matematik açısından, sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımızın bir önemi yoktur. Yani farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi, sayının sağında bir alt simge olarak gösterilir. 12345 büyük bir sayı ile kafamı kandırmak istemiyorum, makaledeki 26 sayısını düşünün. Bu sayıyı ikili, sekizli, ondalık ve onaltılık sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız, bunu zaten yaptık. Sonucu görelim.

Görüldüğü gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle ilgisi yoktur. Bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre cinsinden belirlerken tamamen farklı sonuçlar almanızla aynı şey.

Tüm sayı sistemlerinde sıfır aynı görünür ve rakamların toplamı yoktur. Bu, gerçeğin başka bir argümanıdır. Matematikçiler için bir soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne, matematikçiler için sayılardan başka bir şey yok mu? Şamanlar için buna izin verebilirim, ancak bilim adamları için - hayır. Gerçeklik sadece rakamlardan ibaret değildir.

Sonuç, sayı sistemlerinin sayılar için ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak düşünülmelidir. Sonuçta, sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı niceliğin farklı ölçü birimlerine sahip aynı eylemler, karşılaştırıldıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.

Gerçek matematik nedir? Bu, matematiksel bir eylemin sonucunun sayının değerine, kullanılan ölçü birimine ve bu eylemi kimin gerçekleştirdiğine bağlı olmadığı zamandır.

Kapıyı imzala Kapıyı açar ve der ki:

Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Bu, cennete yükseliş sırasında ruhların ayrım gözetmeyen kutsallığının incelenmesi için bir laboratuvardır! Üstte halo ve yukarı ok. Başka ne tuvaleti?

Dişi ... Yukarıdaki nimbus ve aşağı ok erkektir.

Böyle bir tasarım sanatı, günde birkaç kez gözünüzün önünden geçerse,

O zaman arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:

Şahsen, kaka yapan bir insanda (bir resim) eksi dört derece görebilmem için kendim üzerinde çaba sarf ediyorum (birkaç resmin bileşimi: eksi işareti, dört numara, derecelerin tanımı). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntülerin bir klişe algısı var. Ve matematikçiler bize sürekli olarak bunu öğretiyorlar. İşte bir örnek.

1A, "eksi dört derece" veya "bir a" değildir. Bu, "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimde "yirmi altı" sayısıdır. Bu sayı sisteminde sürekli çalışan kişiler, sayı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.