Meydanın içindeki matrisin yapımı. Matrisin İnşaatı Online Dereceye

Sadece kare matrislerin verilebileceği belirtilmelidir. Eşit sayıda satır ve sütun - gerekli durum Matrisin yapımı için dereceye kadar. Hesaplama sırasında, matris gerekli sayıda çarpılır.

cevrimici hesap makinesi Matrisin yapımını dereceye kadar yapması amaçlanmıştır. Kullanımı sayesinde, yalnızca bu görevle hızlı bir şekilde başa çıkmazsınız, aynı zamanda ilerlemenin ilerlemesinin görsel ve konuşlandırılması. Bu, teoride elde edilen materyali daha iyi birleştirmeye yardımcı olacaktır. Hesaplamaların ayrıntılı algoritmasını görün, tüm inceliklerini daha iyi anlayacak ve daha sonra manuel hesaplamada hatalara izin vermeyebilir. Ek olarak, hesaplamalarını iki kez kontrol etmek için asla gereksiz olmayacak ve burada burada egzersiz yapmak en iyisidir.

Bir matris oluşturmak için bir çevrimiçi dereceye kadar, bir dizi basit eyleme ihtiyacınız olacaktır. Her şeyden önce, "+" veya "-" simgelerinin solundaki simgelerine tıklayarak matrisin boyutunu belirtin. Ardından, Matrix alanındaki numaraları girin. Ayrıca matrisin kurulduğu dereceyi de belirtmeniz gerekir. Ve sonra sadece düğmeye tıklayabilirsiniz: alanın altındaki "hesapla". Elde edilen sonuç, tüm değerleri dikkatlice ve doğru şekilde girerseniz güvenilir ve doğru olacaktır. Onunla birlikte ayrıntılı bir kod çözme çözümü ile birlikte verileceksiniz.

Çaydanlıklar için Lineer Cebir

Doğrusal bir cebiri incelemek için, I. V. Belousov "matrisler ve deterreterler" kitabına okuyabilir ve dinleyebilirsiniz. Ancak, orta zihinli insanların zorlaştığı sıkı ve kuru bir matematiksel dil ile yazılmıştır. Bu nedenle, bu kitabın yerlerini anlamak için en zor olanı, malzemeyi mümkün olduğunca daha net olarak belirtmeye, çizimleri mümkün olduğunca daha net olarak belirtmeye çalıştım. Düşürdüğüm teoremlerin ispatları. Kabul etmek için kendim onları anlamadım. BEN BELOUSOVE! Çalışmalarına göre yargılamak, o yetkili ve mantıklı bir matematikçidir. Kitabını indirebilirsiniz http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/belousov2006ru.pdf.İşime girecekseniz, yapılması gerekiyor, çünkü genellikle Belousov'a atıfta bulunacağım.

Tanımlarla başlayalım. Bir matris nedir? Bu, dikdörtgen bir sayılar, fonksiyonlar veya cebirsel ifadelerdir. Neden matrislere ihtiyacın var? Karmaşık matematiksel hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştırırlar. Matris, dizeleri ve sütunları kullanır (Şek. 1).

Soldan başlayarak satırlar ve sütunlar numaralandırılmıştır.

yukarıdan (Şekil 1-1). Dedikleri zaman: M n (veya n başına) boyutunun matrisi uyarılır. m dize sayısı, ve altında n Sütun sayısı. Örneğin, Şekil 1-1'deki matris, "4 ila 3" boyutuna sahiptir ve "3 ila 4" değil.

ŞEKİLDİR. 1-3, matrisler nelerdir? Matris bir satırdan oluşursa, bir dize matrisi olarak adlandırılır ve bir sütundan bir sütun matrisi olarak adlandırılır. Matris, satır sayısı sütun sayısına eşitse ve N'ye eşitse kare bir Sipariş olarak adlandırılır. Tüm matris elemanları sıfırsa, o zaman bu sıfır matrisdir. Kare matris, ana çapraz köşede bulunanlar dışında sıfır tüm elemanlarına eşitse diyagonal denir.

Ana çaprazın ne olduğunu hemen açıklayın. BT sayıları sıralar ve sütunlar aynıdır. Soldan sağa doğru yukarıdan aşağıya doğru gider. (Şekil 3) elemanların ana çapraz köşede bulunursa köşegen denir. Tüm diyagonal elemanlar birine (ve kalan sıfıra) eşitse, matris tek bir tane denir. İki matris a ve b aynı boyutta Tüm elemanları aynı ise eşit olarak adlandırılır.

2 Matrisler ve özelliklerinde işlemler

Matrisin x numarasına yaptığı çalışması aynı büyüklükteki matrisdir. Bu ürünü almak için, her öğeyi bu numaraya çarpmanız gerekir (Şekil 4). Aynı boyutta iki matrisin toplamını elde etmek için, karşılık gelen unsurlarını eklemeniz gerekir (Şekil 4). Aynı büyüklükteki iki matrisin A - B farkını elde etmek için, matris B'den -1 matrisini çarpmanız ve elde edilen matrisi matris A (Şekil 4) ile ilan etmeniz gerekir. Matrislerdeki işlemler için, özellikler geçerlidir: A + B \u003d B + A (Commutative özelliği).

(A + B) + C \u003d A + (B + C) (ilişkillik özelliği). Basit, konuşarak, miktar, yer değişiminden değişmez. Matrisler ve sayılardaki işlemler için özellikler geçerlidir:

(X ve Y harflerinin sayısı ile ve matris harfleri A ve B) x (ya) \u003d (xy) a

Bu özellikler, numaraların üzerinden işlemlerde hareket eden özelliklere benzer. Görmek

Örnekler Şekil 5. Ayrıca, bkz. Örnekler 2.4 - 2,6 Belousov, sayfa 9.

Matris çarpımı.

İki matrisin çarpılması sadece daha sonra tanımlanır (Rusça'ya çevrilmiştir: Matrisler sadece daha sonra çarpılabilir), işteki ilk matrisin sütunlarının saniyenin dizeleri sayısına eşit olduğunda (Şekil 7, üst, mavi braketler). Daha iyi hatırlamak için: Şekil 1, bir sütun gibidir.Çarpma sonucu olarak, bir boyut matrisi elde edilir (bkz. Şekil 6). Çarpmak için neye ihtiyacınız olduğunu hatırlamayı kolaylaştırmak için, aşağıdaki algoritmayı öneriyorum: Şekil 7'ye bakıyoruz. Matris A'nın Matrisi B'de çarptık.

matris iki sütun,

matris B iki satırda - çarpabilirsiniz.

1) Matris B'nin ilk sütunu ile ilgileneceğiz (sadece sadece var. Bu sütunu dizgiye yazıyoruz (biz transpozaj yapıyoruz

sütun, hemen aşağıda aktarılması hakkında).

2) Bu dizgiyi kopyalayın, böylece A matrisine sahip bir matrisimiz var.

3) Bu matrisin unsurlarını matris A'nın karşılık gelen elemanlarına çarpın.

4) Elde edilen eserleri her satırda katlayın veİki satırın matrisi ve bir sütun.

Şekil 7-1, daha beyaz olan matrislerin çarpılması örneklerini göstermektedir.

1) Burada ilk matris üç sütununda, saniyenin üç satır olması gerektiği anlamına gelir. Algoritma, önceki örnekte, yalnızca burada her satırda iki, iki değil, aynıdır.

2) Burada ikinci matrisin iki sütunu var. İlk önce, algoritmayı ilk sütunla yapıyoruz, daha sonra ikincisi, "iki iki" matrisi alıyoruz.

3) Burada ikinci matriste, sütun bir elementten oluşur, sütun transpozisyondan değişmez. Ve bir şey koymak gerekli değildir, çünkü ilk matriste yalnızca bir sütun. Algoritmayı üç kez yapıyoruz ve "üç üç" matris'i alıyoruz.

Aşağıdaki özellikler gerçekleştirilir:

1. Toplam B + C ve AB ürünü varsa, bir (B + C) \u003d AB + AC

2. AB ürünü varsa, x (ab) \u003d (xa) b \u003d a (xb).

3. AB ve BC'nin eserleri varsa, A (BC) \u003d (AB) C.

AB matrislerinin ürünü varsa, ürün BA'nın mevcut olmayabilir. AB ve BA'nın çalışmaları bile, farklı boyutlarda matrisler olabilirler.

AB ve BA'nın her iki eseri var ve aynı büyüklükteki matrisler sadece kare matrisler A ve B aynı sırayla. Ancak, bu durumda bile, AB BA'ya eşit olmayabilir.

Dereceye kadar çıkmak

Matrisin bir dereceye kadar yapımı sadece kare matrisler için anlamlıdır (nedenini düşünün?). Sonra tüm pozitif derece M Matrisi A, A'ya eşit olan Matrislerin ürünüdür. Tıpkı sayılar gibi. Bir kare matrisin sıfır derecesi altında A, aynı sırayla A ile tek bir matrisdir. Tek bir matrisin ne olduğunu unuttuysa, Şek. 3.

Ayrıca, sayılarla olduğu gibi, aşağıdaki oranlar gerçekleşir:

A MA K \u003d A M + K (A M) K \u003d A MK

Belousov örneklerine bakın.

Kesilen matrisler

Transpozisyon - Bu Matrix'te Matris A'nın dönüştürülmesi,

matris A dizelerinin, siparişi korurken sütunlarda kaydedilir. (Şek. 8). Farklı diyebilirsiniz:

matris A'nın sütunları, matris satırlarında siparişin korunması ile kaydedilir. Matris boyutunu değiştirirken, yani sıra ve sütunların sayısının değiştiğini unutmayın. Ayrıca, ilk satırdaki elemanların, ilk sütun ve son satırdaki en son sütun bulunduğunu da unutmayın.

Aşağıdaki özellikler gerçekleştirilir: (AT) T \u003d A (transponder

matris iki kez - aynı matrisi alacaksınız)

(xa) t \u003d xat (x'in altında, tabii ki, matrisin altındaki numara anlamına gelir) (matrisini sayıya çarpmanız ve aktarmanız gerekirse, ilk önce çarpabilir, sonra devreye girebilir ve bunun tersi olabilir)

(A + B) T \u003d + BT (AB) T \u003d BT'de

Simetrik ve antisimetrik matrisler

Şekil 9, solun üstündeki simetrik bir matris gösterir. Elemanları, ana çaprazlığa göre simetrik olarak eşittir. Ve şimdi tanım: kare matris

A \u003d a ise simetrik denir. Yani, transpozaj sırasında simetrik matris değişmez. Özellikle, simetrik herhangi bir diyagonal matrisdir. (Böyle bir matris, Şekil 2'de gösterilmiştir. 2).

Şimdi antisimetrik matrise bakın (Şekil 9, alt). Simetrik olarak ne farklılık gösterir? Lütfen tüm köşegen elemanlarının sıfır olduğunu unutmayın. Antisimetrik matrislerde, tüm diyagonal elemanlar sıfırdır. Nedenini düşünüyorsun? Tanım: kare matris a denir

antisimetrik, eğer \u003d -a. Simetrik ve antisimetrik operasyonların bazı özelliklerini not edin

matristörler. 1. A ve B simetrik (antisimetrik) matrislerse, A + B, simetrik (antisimetrik) bir matrisdir.

2. A - simetrik (antisimetrik) matris, daha sonra XA ayrıca simetrik (antisimetrik) bir matrisdir. (Aslında, matrisi Şekil 9'dan bir numaraya çarparsanız, simetri hala kaydedilecek)

3. İki simetrik veya iki antismetrik matris A ve B'nin ürününün, AB \u003d BA ve Ab \u003d ile antisimetrik ile simetrik bir matrisdir.-Ba.

4. A simetrik bir matris ise, o zamanm (m \u003d 1, 2, 3, ...) - simetrik matris. Eğer bir.

Antisimetrik matris, sonra am (m \u003d 1, 2, 3, ...), M ve antisimetrik - tuhaf ile simetrik bir matrisdir.

5. Keyfi bir kare matris A, iki matrisin toplamı olarak gösterilebilir. (Bu matrisleri, örneğin bir (ler) ve bir (a) arayalım)

A \u003d A (lar) + a (a)

Burada, operasyonların ilk bölümünde matrisler üzerindeki ilk bölümünde başlatılmaya devam edeceğiz ve bir kerede birkaç işlem uygulamanız gereken örnek çiftini merak ettireceğiz.

Matrisin derecesine kadar yapımı.

K olumsuz bir sayı olsun. Herhangi bir kare matris için $ a_ (n \\ times n) $ Biz var: $$ a ^ k \u003d \\ underbrce (a \\ cdot a \\ cdot \\ ldots \\ cdot a) _ (k \\; kez) $$

Bu durumda, $ e ^ 0 \u003d e $, burada $ e $, karşılık gelen siparişin tek bir matrisi olduğunu varsayıyoruz.

Örnek 4.

Matris $ A \u003d \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (CC) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ End (dizi) \\ sağ) $ ayarlandı. Matrisleri bir ^ 2 $ ve $ a ^ $ 6 bulun.

$ A ^ 2 \u003d A \\ CDOT A $, yani bir tanımına göre. $ A ^ $ 2 $ bulmak için $ bir $ Matrix'i kendiniz için çoğalmamız gerekir. Matrislerin çarpma işlemi konunun birinci kısmında göz önünde bulunduruldu, bu yüzden burada sadece çözüm sürecini ayrıntılı açıklamalar olmadan yazıyoruz:

$$ a ^ 2 \u003d a \\ cdot a \u003d \\ sol (\\ BACE (dizi) (CC) 1 & 2 \\\\ -1 & -3 \\ end (dizi) \\ sağ) \\ CDOT \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (Cc) 1 & 2 \\\\ -1 -1 \\ \\ end (dizi) \\ sağ) \u003d \\ sol (\\ BACAK (Dizi) (CC) 1 \\ CDOT 1 + 2 \\ CDOT (-1) & 1 \\ CDOT 2 +2 \\ CDOT (-3) \\\\ -1 \\ CDOT 1 + (- 3) \\ CDOT (-1) & -1 \\ CDOT 2 + (- 3) \\ CDOT (-3) \\ End (dizi) \\ sağ ) \u003d \\ sol (\\ BACE (dizi) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ End (dizi) \\ sağ). $$.

$ ^ $ 6 Matrix'i bulmak için iki seçeneğimiz var. Önce seçenek: TRITELY $ A $ MATRIX'teki A ^ $ 2 ile çarpmaya devam et:

$$ a ^ 6 \u003d a ^ 2 \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A. $$

Bununla birlikte, matrislerin çarpımının ilişkisinin özelliklerini kullanarak, biraz daha basit gitmek mümkündür. A ^ $ 6 için ifadeye parantez koyduk:

$$ a ^ 6 \u003d a ^ 2 \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A \\ CDOT A \u003d A ^ 2 \\ CDOT (A \\ CDOT A) \\ CDOT (A \\ CDOT A) \u003d a ^ 2 \\ CDOT A ^ 2 \\ Cdot a ^ 2. $$.

Eğer, ilk yöntemi çözerken, dört çarpma işlemi, ardından ikinci yöntem için - sadece ikisi olacaktır. Öyleyse ikinci yoldan geçelim:

$$ a ^ 6 \u003d a ^ 2 \\ CDOT A ^ 2 \\ CDOT A ^ 2 \u003d \\ Sol (\\ BACE (dizi) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ End (dizi) \\ sağ) \\ CDOT \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ End (dizi) \\ sağ) \\ CDOT \\ Sol (\\ BACAK (CRAY) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (dizi) \\ sağ) \u003d \\\\ \u003d \\ sol (\\ başlar (dizi) (CC) -1 \\ CDOT (-1) + (- 4) \\ CDOT 2 & -1 \\ CDOT (-4 ) + (- 4) \\ CDOT 7 \\\\ 2 \\ CDOT (-1) +7 \\ CDOT 2 & 2 \\ CDOT (-4) +7 \\ CDOT 7 \\ End (dizi) \\ sağ) \\ CDOT \\ Sol (\\ Başlayın (Dizi) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ End (dizi) \\ sağ) \u003d \\ Sol (\\ BACAK (CRAY) (CC) -7 & -24 \\\\ 12 & 41 \\ end ( Dizi) \\ sağ) \\ CDOT \\ Sol (\\ BACE (dizi) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ End (dizi) \\ sağ) \u003d \\\\ \u003d \\ sol (\\ BACE (dizi) (CC ) -7 \\ CDOT (-1) + (- 24) \\ CDOT 2 & -7 \\ CDOT (-4) + (- 24) \\ CDOT 7 \\\\ 12 \\ CDOT (-1) +41 \\ CDOT 2 & 12 \\ CDOT (-4) +41 \\ CDOT 7 \\ SON (dizi) \\ sağ) \u003d \\ sol (\\ BACE (dizi) (CC) -41 ve -140 \\\\ 0 ve 239 \\ ucu (dizi) \\ sağ). $$.

Cevap: $ A ^ 2 \u003d \\ sol (\\ başlar (dizi) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 \\ end (dizi) \\ sağ) $, $ a ^ 6 \u003d \\ sol (\\ BACE (Dizi) (Cc) -41 & -140 \\\\ 0 & 239 \\ \\ (dizi) \\ sağ) $.

Örnek 5.

Matrix $ A \u003d \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (CCCC) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 5 & 0 \\ ED (dizi) \\ sağ) $, $ B \u003d \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (CCC) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 \\ End (dizi) \\ sağ) $, $ C \u003d \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (CCC) -5 ve -20 & 13 \\\\ 10 & 12 & 9 \\\\ 3 ve -15 & 8 \\ End (dizi) \\ sağ) $. Matrisini bulun $ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E $.

$ D $ matrisinin hesaplanması, ABD Doları değerinin bir sonucunu bulma ile başlayacak. Matrisler $ A $ ve $ B $, $ A $ MATRIX sütununun sütunlarının sayısı, Matrix $ B $ satır sayısına eşit olduğundan, çarpılabilir. $ F \u003d ab $ tarafından belirtir. Bu durumda, Matrix $ f üç sütun ve üç satıra sahip olacak, yani. Kare olacaktır (bu çıktı belirsiz görünüyorsa, bu konunun ilk bölümünde matrislerin çarpımının açıklamasını görün). $ F $ MATRIX'u buluruz, tüm öğelerini hesaplar:

$$ f \u003d a \\ cdot b \u003d \\ sol (\\ BACE (CRAY) (CCCC) 1 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & -2 & 5 & 0 \\\\ -1 & 4 & -3 & 6 \\ Son (dizi) \\ sağ) \\ CDOT \\ Sol (\\ BACE (CRAY) (CCC) -9 & 1 & 0 \\\\ 2 & -1 ve 4 \\\\ 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 \\ Son (dizi) \\ sağ) \\\\ \\ başlar (hizalanmış) & F_ (11) \u003d 1 \\ CDOT (-9) +0 \\ CDOT 2 + (- 1) \\ CDOT 0 + 2 \\ CDOT 1 \u003d -7; \\\\ & f_ (12) \u003d 1 \\ CDOT 1 + 0 \\ CDOT (-1) + (- 1) \\ CDOT (-2) +2 \\ CDOT 5 \u003d 13; \\\\ & f_ (13) \u003d 1 \\ CDOT 0 + 0 \\ CDOT 4 + (- 1) \\ CDOT 3 + 2 \\ CDOT 0 \u003d -3; \\\\ \\\\ \\\\ & f_ (21) \u003d 3 \\ CDOT (-9 ) + (- 2) \\ CDOT 2 + 5 \\ CDOT 0 + 0 \\ CDOT 1 \u003d -31; \\\\ & F_ (22) \u003d 3 \\ CDOT 1 + (- 2) \\ CDOT (-1) +5 \\ CDOT (-2) +0 \\ CDOT 5 \u003d -5; \\\\ & f_ (23) \u003d 3 \\ CDOT 0 + (- 2) \\ CDOT 4 + 5 \\ CDOT 3 + 0 \\ CDOT 0 \u003d 7; \\\\\\\\ & F_ (31) \u003d - 1 \\ CDOT (-9) +4 \\ CDOT 2 + (- 3) \\ CDOT 0 + 6 \\ CDOT 1 \u003d 23; \\\\ & f_ (32) \u003d - 1 \\ CDOT 1 + 4 \\ CDOT (-1) + (- 3) \\ CDOT (-2) +6 \\ CDOT 5 \u003d 31; \\\\ & f_ (33) \u003d - 1 \\ CDOT 0 + 4 \\ CDOT 4 + (- 3) \\ CDOT 3 + 6 \\ CDOT 0 \u003d 7. \\ Ucu (hizalı) $$

Böylece, $ f \u003d \\ sol (\\ başlar (dizi) (CCC) -7 ve 13 ve -3 \\\\ -31 ve 7 \\\\ 23 ve 31 ve 7 \\ end (dizi) \\ sağ) $. Daha ileri gidelim. Matris $ C ^ T $ - $ C $ MATRIX, I.E. $ C ^ t \u003d \\ sol (\\ başlar (dizi) (CCC) -5 ve 10 ve 3 \\\\ -20 ve 12 ve -15 \\\\ 13 ve 9 ve 8 \\ End (dizi) \\ sağ) $. Matris $ e $ için gelince, o zaman bu tek bir matrisdir. İÇİNDE bu durum Bu matrisin sırası üç, yani. $ E \u003d \\ sol (\\ BACE (Dizi) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ End (dizi) \\ sağ) $.

Prensip olarak, adım adım gitmeye devam edebiliriz, ancak geri kalan ifade, yardımcı eylemlerle dikkatinizi dağıtmadan tamamen dikkate almak daha iyidir. Aslında, sadece bir numara için matrislerin çarpılması ve ayrıca ekleme ve çıkarma işlemleri için operasyonlarımız var.

$$ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E \u003d 2 \\ CDOT \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 ve 7 \\ / 23 ve 31 ve 7 \\ Son (dizi) \\ sağ) -3 \\ CDOT \\ Sol (\\ BACE (CRAY) (CCC) -5 ve 10 ve 3 \\\\ - 20 ve 12 ve -15 \\\\ 13 ve 9 ve 8 \\ End (dizi) \\ Sağ) +7 \\ CDOT \\ Sol (\\ BACAK (Dizi) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ End (Array) \\ sağ) $$

Eşitliklerin sağ kısmındaki matrisleri karşılık gelen sayılarda (yani, 2, 3 ve 7) ile çarpın:

$$ 2 \\ CDOT \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 -5 ve 7 \\\\ 23 ve 31 ve 7 \\ End (dizi) \\ sağ) -3 \\ CDOT \\ Sol (\\ Başlar (Dizi) (CCC) -5 ve 10 ve 3 \\\\ -20 ve 12 ve -15 \\\\ 13 ve 9 ve 8 \\ End (dizi) \\ sağ) +7 \\ CDOT \\ Sol (\\ Başlayın (Dizi) (CCC) 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\ end (dizi) \\ sağ) \u003d \\\\ \u003d \\ sol (\\ BACAK (Dizi) (CCC) - 14 & 26 ve 14 \\\\ -62 ve -10 ve 14 \\\\ 46 ve 62 ve 14 \\ end (dizi) \\ sağ) - \\ Sol (\\ BACAK (Dizi) (CCC) -15 ve 13 ve 9 \\\\ - 60 ve 36 ve -45 \\\\ 39 & 27 & 24 \\ End (dizi) \\ sağ) + \\ Sol (\\ BACAK (Dizi) (CCC) 7 & 0 & 0 \\\\ 0 & 7 & 0 \\\\ 0 & 0 & 7 \\ end (dizi) \\ sağ) $$

Yapıldı son Eylemler: Çıkarma ve ekleme:

$$ \\ Sol (\\ BACE (CRAY) (CCC) -14 ve 26 & -6 \\\\ -62 -10 & 14 \\\\ 6 & 62 & 14 \\ \\ (dizi) \\ sağ) - \\ Sol (\\ başlar) (Dizi) (CCC) -15 ve 30 ve 9 \\\\ -60 ve 36 ve -45 \\\\ 39 ve 27 ve 24 \\ End (dizi) \\ sağ) + \\ Sol (\\ BACAK (Dizi) (CCC) 7 0 & 0 \\\\ 0 & 7 \\ End (dizi) \\ sağ) \u003d \\\\ \u003d \\ sol (\\ başlar (dizi) (CCC) -14 - (- 15) +7 ve 26-30 + 0 & -6- 9 + 0 \\\\ -62 - (- 60) +0 ve -10-36 + 7 & 14 - (- 45) +0 \\\\ 46-39 + 0 ve 62-27 +0 ve 14-24 + 7 \\ Son (dizi) \\ sağ) \u003d \\ sol (\\ BACAK (Dizi) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 ve -39 ve 59 \\\\ 7 ve 35 ve -3 \\ End (dizi) \\ sağ ). $$.

Görev çözüldü, $ D \u003d \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\\\ 7 & 35 & -3 \\ End (dizi) \\ sağ ) $.

Cevap: $ D \u003d \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 ve -39 & 59 \\\\ 7 ve 35 ve -3 \\ End (dizi) \\ sağ) $.

Örnek 6.

$ F (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ ve Matris $ a \u003d \\ sola (\\ başlar (dizi) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ End (dizi) \\ sağa (dizi) \\ sağa izin verin) . $ F (a) $ değerini bulun.

$ F (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $, daha sonra $ f (a) $ 'ın altında ise Matrix'i anlayın:

$$ f (a) \u003d 2a ^ 2 + 3a-9e. $$.

Polinomun matrisden nasıl belirlendiği budur. Dolayısıyla, Matrix $ A $ 'a $ F (a) $ için ifadesinde yerine getirmemiz ve sonucu almamız gerekiyor. Tüm eylemler daha önce ayrıntılı olarak söküldüğünden, o zaman bir karar vereceğim. Operasyonun yürütülmesi süreci $ A ^ 2 \u003d A \\ CDOT A $ sizin için net değildir, bu konunun ilk bölümünde matrislerin çarpımının açıklamasına bakmanızı tavsiye ederim.

$$ f (a) \u003d 2a ^ 2 + 3A-9E \u003d 2a \\ CDOT A + 3A-9E \u003d 2 \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (CC) -3 ve 1 \\\\ 5 & 0 \\ End (dizi) \\ Sağ) \\ CDOT \\ Sol (\\ BACE (dizi) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ End (dizi) \\ sağ) +3 \\ Sol (\\ BACE (CRAY) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ End (dizi) \\ sağ) -9 \\ Sol (\\ BACAK (dizi) (CC) 1 & 0 \\\\ 0 ve 1 \\ ucu (dizi) \\ sağ) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ Sol ( \\ BAŞLAT (dizi) (CC) (-3) \\ CDOT (-3) +1 \\ CDOT 5 & (-3) \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT 0 \\\\ 5 \\ CDOT (-3) +0 \\ CDOT 5 & 5 \\ CDOT 1 + 0 \\ CDOT 0 \\ SON (dizi) \\ sağ) +3 \\ Sol (\\ BACE (CRAY) (CC) -3 ve 1 \\\\ 5 & 0 \\ End (dizi) \\ sağ) -9 \\ Sol (\\ BACAK (Dizi) (CC) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ End (dizi) \\ sağ) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (CC) 14 & -3 \\\\ - 15 & 5 \\ End (dizi) \\ sağ) +3 \\ Sol (\\ BACE (Dizi) (CC) -3 ve 1 \\\\ 5 & 0 \\ End (dizi) \\ sağ) -9 \\ Sol (\\ BACE (dizi) ) (Cc) 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\ end (dizi) \\ sağ) \u003d \\ Sol (\\ BACAK (Dizi) (CC) 28 ve -6 \\\\ -30 & 10 \\ End (dizi) \\ sağ) + \\ Sol (\\ BACE (CRAY) (CC) -9 & 3 \\\\ 15 & 0 \\ End (dizi) \\ sağ) - \\ Sol (\\ BACAK (Dizi) (CC) 9 & 0 \\\\ 0 & 9 \\ Son (dizi) \\ sağ) \u003d \\ sol (\\ BACE (dizi) (CC) 10 & -3 \\\\ -15 ve 1 \\ ucu (dizi) \\ sağ). $$.

Cevap: $ F (a) \u003d \\ sol (\\ BACE (dizi) (CC) 10 & -3 \\\\ -15 & 1 \\ End (dizi) \\ sağ) $.

Matrisler üzerindeki işlemlerin bazı özellikleri.
Matris ifadeleri

Ve şimdi sadece düşündüğümüz konunun devamı yeni materyal, ama aynı zamanda çalışma matrislerle yapılan eylemler.

Matrisler üzerindeki işlemlerin bazı özellikleri

Matrislerle ilgili eylemleri ilgilendiren birçok mülk vardır, aynı Wikipedia'da ilgili kuralların ince safılarına hayran kalabilirsiniz. Bununla birlikte, pratikte, belirli bir "ölü" anlamında birçok mülk, çünkü bazı bunlardan bazıları gerçek görevleri çözme sırasında kullanılır. Amacım, belirli örneklerdeki özelliklerin uygulanan uygulamasını göz önünde bulundurmaktır ve sıkı bir teoriye ihtiyacınız olursa, lütfen başka bir bilgi kaynağı kullanın.

Biraz düşünün kuraldan istisnalarpratik görevleri yerine getirmek için gerekli olacaktır.

Kare matris varsa ters matris , sonra çoğalasyonları geçişi:

Tek matris hangi kare matris denir ana çapraz Birimler bulunur ve kalan elemanlar sıfırdır. Örneğin:, vb.

Burada Aşağıdaki mülkte adil: Eğer keyfi bir matris çoğalırsa sol veya sağ Uygun boyutların tek bir matrisinde, sonuç ilk matrisdir:

Gördüğünüz gibi, matris çarpımının işlenmesi de gerçekleşir.

Önceki görevdeki matris, matrisinizi iyice yapın: .

Kontrol etmek ve emin olmak isteyenler:

Matrisler için tek bir matris, özellikle düşünülen örneklerden açıkça görülen sayılar için sayısal bir birimin analogudur.

Matrislerin çoğalması için sayısal faktörün komutativasyonu

Matrisler ve gerçek numara için, aşağıdaki özellik adildir:

Yani, bir sayısal çarpan, "engellemez", matrisi çoğalmak için öne çıkması için (ve gerekli) olabilir.

Not : Genel olarak konuşursak, özelliğin ifadesi eksik - "lambda", sonunda bile matrisler arasında herhangi bir yere yerleştirilebilir. Üç veya daha fazla matris çarpılırsa kural adil kalır.

Örnek 4.

İşi hesapla

Karar:

(1) Mülkiyete göre Sayısal faktörü ileri doğru hareket ettirin. Matrisleri yeniden düzenleyemezsiniz!

(2) - (3) Bir matris çarpımı gerçekleştirin.

(4) Burada her sayısını 10 paylaşabilirsiniz, ancak daha sonra iyi olmayan matrisin elemanları arasında ondalık kesirler görünecektir. Ancak, matrislerin tüm sayılarının 5'e ayrıldığını fark ediyoruz, bu yüzden her öğeyi çoğaltınız.

Cevap:

Kendi Kendini Çözümler İçin Küçük Charade:

Örnek 5.

Eğer hesapla

Dersin sonunda çözüm ve cevap.

Bu tür örnekleri çözme sırasında hangi teknik resepsiyon önemlidir? Anladığımız numarayla son olarak .

Lokomotif için giriş başka bir araba:

Üç matrisin çarpılması nasıl?

Her şeyden önce, üç matrisin çarpılmasının bir sonucu olarak ne olmalıdır? Kedi fareyi doğurmayacak. Matris çarpımı uygulanabilirse, sonunda, matris de çalışır. M-evet, cehaletteki öğretmenim, cebirsel yapının elemanlarına ilişkin kapanışını nasıl açıkladığımı görmüyor \u003d)

Üç matrisin çalışması iki şekilde hesaplanabilir:

1) "CE" matrisini bul ve daha sonra çarpın:;

2) İlk olarak bul, sonra çarpma işlemini gerçekleştirin.

Sonuçlar kesinlikle çakışacak ve teoride bu özellik, matris çarpımının ilişkisi olarak adlandırılır.:

Örnek 6.

Matrisini iki şekilde çarpın

Algoritma çözümler İki kıllı: İki matrisin ürününü buluruz, sonra yine iki matrisin ürününü buluruz.

1) Formülü kullanıyoruz

Önce eylem:

Eylem İkinci:

2) Formülü kullanıyoruz

Önce eylem:

Eylem İkinci:

Cevap:

Daha alışkın ve standart, elbette, çözmenin ilk yolu, orada "her şeyin nasıl olduğu önemli değil." Bu arada, sipariş hakkında. Görevdeki görevde, illüzyon genellikle bazı matrislerin permütasyonları hakkında konuştuğumuzdan kaynaklanmaktadır. Burada değiller. Tekrar hatırlıyorum genel olarak Matrisleri yeniden düzenleyemiyor. Öyleyse, ikinci noktada, ikinci adımda, çarpma, ancak hiçbir durumda yaptık. Sıradan sayılarla, böyle bir sayı geçti ve matrislerle - hayır.

Çarpma ilişkisinin mülkiyeti sadece kare için değil, keyfi matrisler için de geçerlidir - sadece çoğalırlarsa:

Örnek 7.

Üç matrisin bir çalışmasını bul

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir. Bir örnekte, hesaplama çözümleri iki şekilde gerçekleştirildi, hangi yolu daha karlı ve daha kısa olduğunu analiz ettiler.

Matris çarpımının ilişkilendirmesinin özellikleri için gerçekleşecek daha çarpanlar.

Şimdi matrislerin derecelerine geri dönme zamanı. Matrisin karesi, şu andaki ve sorunun gündeminde ele alınmaktadır:

Küp ve daha yüksek derecelerde bir matris nasıl inşa edilir?

Bu işlemler sadece kare matrisler için de tanımlanır. Bir kare matrisi bir küpe yükseltmek için, işi hesaplamanız gerekir:

Aslında, Özel durum Matris çarpımının ilişkilendirilmesinin mülkiyetine göre üç matrisin çarpılması :. Ve kendi başına çarpılan matris, matrisin karesidir:

Böylece çalışma formülü alıyoruz:

Yani, görev iki adımda gerçekleştirilir: önce matris kareye yükseltilmelidir ve elde edilen matris matrisi çarpar.

Örnek 8.

Küp için bir matris oluşturun.

Bu, bağımsız bir çözüm için küçük bir görevdir.

Dördüncü derecedeki matrisin yapımı doğal bir şekilde gerçekleştirilir:

Matris çarpımının ilişkisini kullanmak, iki çalışma formülünü geri çekin. İlk: - Bu, üç matrisin işidir.

bir) . Başka bir deyişle, ilk bulduk, sonra "olmak" için baskın olduk - bir küp alıyoruz ve nihayet bir daha çarpma yapıyoruz - dördüncü derece olacak.

2) Ancak bir adımda bir çözüm var:. Yani, ilk adımda bir kare bulduk ve küp atlayarak çarpma gerçekleştiririz

Örnek 8 için ek görev:

Matrisi dördüncü derecede değerlendirin.

Belirttiğinde, iki şekilde yapılabilir:

1) Küp yakında bilindiğinden, çoğalma yaparız.

2) Ancak, eğer, eğer görev koşuluyla bir matris oluşturmanız gerekir. sadece dördüncü derecede, yol azaltmak için faydalıdır - matrisin karesini bulun ve formülü kullanın.

Hem çözümler hem de yanıt - dersin sonunda.

Benzer şekilde, matris beşinci ve daha yüksek derecelerde dikilir. Pratik deneyimlerden bazen 4. derecenin yapımının örnekleri olduğunu söyleyebilirim, ancak Beşinci derece için hatırlanmıyorum. Ama tam olarak optimum algoritmayı getireceğim durumunda:

1) buluruz;
2) Buluyoruz;
3) Beşinci dereceye bir matris oluştururuz :.

Burada, belki de, pratik görevlerde faydalı olabilecek matris işlemlerinin tüm temel özellikleri.

Dersin ikinci bölümünde, daha az güvenilmez bir parti beklenmez.

Matris ifadeleri

Her zamanki okul ifadelerini sayılarla tekrarlıyoruz. Sayısal ifade sayılardan, matematiksel eylemlerin ve parantez işaretlerinden oluşur, örneğin: . Hesaplama yaparken, tanıdık bir cebirsel öncelik: ilk önce dikkate alındığında parantezsonra yürütülen kök derecesine göre erend, sonra Çarpma / Bölme Ve son kez - ekleme çıkarma.

Sayısal ifade mantıklı olursa, hesaplamasının sonucu numaradır., Örneğin:

Matris ifadeleri Neredeyse aynı düzenlenmiş! Ana aktörlerin matris olduğu farkla. Ayrıca, aktarma ve bulma gibi bazı belirli matris işlemleri ters matris.

Bir matris ifadesi düşünün nerede - bazı matrisler. Bu matris ifadesinde, ilave / çıkarma işleminin üç bileşeni ve ilavesi tamamen yerine getirilir.

Birinci terimde, önce "ol" matrisini kaydırmanız gerekir:, sonra çarpma yapın ve sonuçta ortaya çıkan matrise "deuce" yapın. Bunu not et transpozisyon operasyonu daha fazlası var yüksek öncelikçarpmaktan daha. Parantez, sayısal ifadelerde olduğu gibi, prosedürü değiştirin: - Burada çarpma ilk önce yapılır, sonra ortaya çıkan matris 2 ile çarpılır ve çarpılır.

İkinci terimde, matris çarpımı öncelikle gerçekleştirilir ve ters matris zaten işten gelir. Eğer parantez kaldırılırsa: ters bir matris bulmak için önce gereklidir ve ardından matrisi çarpın :. Ters matrisinin bulma, çoğalmadan önce önceliğe de sahiptir..

Her şey üçüncü terimle açıktır: bir küpe bir matris oluştururuz ve elde edilen matrisin içine "beş" yapacağız.

Matris ifadesi mantıklı olursa, hesaplamasının sonucu bir matrisdir..

Tüm görevler gerçek test çalışmasından olacak ve en basitiyle başlayacağız:

Örnek 9.

Dana matrisi . Bulmak:

Karar: Prosedür açıktır, önce çarpma gerçekleştirilir, ardından eklenir.

Ekleme, farklı boyutların matrisleri için gerçekleştirmesi imkansızdır.

Şaşırtıcı olmayın, açıkça imkansız eylemler genellikle bu tür görevlerde sunulur.

İkinci ifadeyi hesaplamaya çalışıyoruz:

Her şey yolunda.

Cevap: Eylem mümkün değil, .

Matris A -1, Matris A ile ilgili olarak ters matris olarak adlandırılır, eğer bir Matris N-Sipariştir. Ters matris sadece kare matrisler için mevcut olabilir.

Hizmetin atanması. Üzerinden bu servis Çevrimiçi modda, cebirsel takviyeleri, bir T'ye, müttefik matris ve ters bir matris bulabilirsiniz. Karar doğrudan sitede (çevrimiçi modda) yapılır ve ücretsizdir. Hesaplamaların sonuçları, Word Biçimlendirme Raporunda ve excel formatı (yani kararını kontrol etmek mümkündür). Kayıt örneğine bakınız.

Talimat. Bir çözüm elde etmek için, matrisin boyutunu belirtmelisiniz. Daha sonra, yeni iletişim kutusunda, Matris'i doldurun.

Ayrıca Jordan-Gauss tarafından Ters Matrix'e bakınız

İade matrisi için algoritma

Tartışlı bir matris bulmak.
Cebirsel eklemelerin tanımı. Matrisin her bir elemanını cebirsel ekle ile değiştirin.
İade matrisinin cebirsel eklemelerden hazırlanması: Elde edilen matrisin her bir elemanı, orijinal matrisin belirleyicisine ayrılır. Elde edilen matris orijinal matris için terstir.

Takip etme İade matrisi için algoritma Bazı adımlar dışında önceki öncekine benzer: önce cebirsel eklemeler hesaplanır ve ardından Müttefik matris C belirlenir.

Kare matris olup olmadığını belirleyin. Değilse, ters matris bunun için mevcut değildir.
Matrisin belirleyicisinin hesaplanması a. Sıfıra eşit değilse, çözüme devam ediyoruz, aksi takdirde ters matris yoktur.
Cebirsel eklemelerin tanımı.
Birliği doldurma (karşılıklı ekli) matris C.
Cebirsel eklemelerin ters bir matrisini çizme: Ekli matris C'nin her bir elemanı, orijinal matrisin belirleyicisine ayrılır. Elde edilen matris orijinal matris için terstir.
Kontrol: Orijinali hareket ettirin ve elde edilen matris yapın. Sonuç olarak, tek bir matris elde edilmelidir.

Örnek numara 1. Matrisini formda yazıyoruz:

Cebirsel eklemeler. Δ 1.2 \u003d - (2 · 4 - (- 2 · (-2))) \u003d -4 Δ 2.1 \u003d - (2 · 4-5 · 3) \u003d 7 Δ 2,3 \u003d - (- 1 · 5 - (- 2 · 2)) \u003d 1 Δ 3.2 \u003d - (- 1 · (-2) -2 · 3) \u003d 4

A -1 \u003d.