Burada ilk bölümde başladığımız matrisler üzerinde işlemler konusuna devam edeceğiz ve aynı anda birkaç işlemi uygulamanız gereken birkaç örneği analiz edeceğiz.

Bir matrisin üstelleştirilmesi.

k negatif olmayan bir tam sayı olsun. Herhangi bir $ A_ (n \ çarpı n) $ kare matrisi için: $$ A ^ k = \ alt köşebent (A \ cdot A \ cdot \ ldots \ cdot A) _ (k \; kere) $$

Bu durumda, $ A ^ 0 = E $ olduğunu varsayıyoruz, burada $ E $ karşılık gelen sıranın kimlik matrisidir.

Örnek No. 4

Matris $ A = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ bitiş (dizi) \ sağ) $ verilir. $ A ^ 2 $ ve $ A ^ 6 $ matrislerini bulun.

Tanıma göre, $ A ^ 2 = A \ cdot A $, yani. $ A ^ 2 $ bulmak için sadece $ A $ matrisini kendisiyle çarpmamız gerekir. Matrisleri çarpma işlemi konunun ilk bölümünde ele alındı, bu yüzden burada ayrıntılı açıklamalar yapmadan çözüm sürecini yazacağız:

$$ A ^ 2 = A \ cdot A = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ cdot \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \ end (dizi) \ sağ) = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) 1 \ cdot 1 + 2 \ cdot (-1) & 1 \ cdot 2 +2 \ cdot (-3) \\ -1 \ cdot 1 + (- 3) \ cdot (-1) & -1 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot (-3) \ uç (dizi) \ sağ ) = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ bitiş (dizi) \ sağ). $$

$ A ^ 6 $ matrisini bulmak için iki seçeneğimiz var. Birinci seçenek: $ A ^ 2 $'ı $ A $ matrisiyle çarpmaya devam etmek bayattır:

$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A. $$

Bununla birlikte, matris çarpımının birleştirilebilirlik özelliğini kullanarak biraz daha basit bir yoldan gidebilirsiniz. $ A ^ 6 $ ifadesine parantezleri yerleştirelim:

$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A \ cdot A \ cdot A \ cdot A = A ^ 2 \ cdot (A \ cdot A) \ cdot (A \ cdot A) = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A ^ 2. $$

İlk yöntemi çözmek dört çarpma işlemi gerektiriyorsa, ikinci yöntem için - sadece iki. Bu nedenle, ikinci yoldan gidelim:

$$ A ^ 6 = A ^ 2 \ cdot A ^ 2 \ cdot A ^ 2 = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ cdot \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -1 ve -4 \\ 2 ve 7 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ cdot \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -1 ve -4 \\ 2 & 7 \ end (dizi) \ sağ) = \\ = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -1 \ cdot (-1) + (- 4) \ cdot 2 & -1 \ cdot (-4 ) + (- 4) \ cdot 7 \\ 2 \ cdot (-1) +7 \ cdot 2 & 2 \ cdot (-4) +7 \ cdot 7 \ end (dizi) \ sağ) \ cdot \ sol (\ start (dizi) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ end (dizi) \ sağ) = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \ bitiş ( dizi) \ sağ) \ cdot \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -1 ve -4 \\ 2 ve 7 \ bitiş (dizi) \ sağ) = \\ = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) ) -7 \ cdot (-1) + (- 24) \ cdot 2 & -7 \ cdot (-4) + (-24) \ cdot 7 \\ 12 \ cdot (-1) +41 \ cdot 2 & 12 \ cdot (-4) +41 \ cdot 7 \ bitiş (dizi) \ sağ) = \ sol (\ başla (dizi) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ bitiş (dizi) \ sağ). $$

Cevap: $ A ^ 2 = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \ bitiş (dizi) \ sağ) $, $ A ^ 6 = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \ end (dizi) \ sağ) $.

Örnek No. 5

Verilen matrisler $ A = \ left (\ start (dizi) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end (dizi) \ sağ) $, $ B = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end (dizi) \ sağ) $, $ C = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \ end (dizi) \ doğru) $. $ D = 2AB-3C ^ T + 7E $ matrisini bulun.

$ AB $ ürününün sonucunu bularak $ D $ matrisini hesaplamaya başlıyoruz. $ A $ ve $ B $ matrisleri çarpılabilir, çünkü $ A $ matrisindeki sütun sayısı $ B $ matrisindeki satır sayısına eşittir. $ F = AB $ gösteriyoruz. Bu durumda, $ F $ matrisinin üç sütunu ve üç satırı olacaktır, yani. kare olacaktır (eğer bu sonuç açık görünmüyorsa, bu konunun ilk bölümündeki matris çarpımının açıklamasına bakın). Tüm öğelerini hesaplayarak $ F $ matrisini bulalım:

$$ F = A \ cdot B = \ sol (\ başla (dizi) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ cdot \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) \\ \ başlangıç ​​(hizalanmış) & f_ (11) = 1 \ cdot (-9) +0 \ cdot 2 + (- 1) \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 = -7; \\ & f_ (12) = 1 \ cdot 1 + 0 \ cdot (-1) + (- 1) \ cdot (-2) +2 \ cdot 5 = 13; \\ & f_ (13) = 1 \ cdot 0 + 0 \ cdot 4 + (- 1) \ cdot 3 + 2 \ cdot 0 = -3; \\ \\ & f_ (21) = 3 \ cdot (-9 ) + (- 2) \ cdot 2 + 5 \ cdot 0 + 0 \ cdot 1 = -31; \\ & f_ (22) = 3 \ cdot 1 + (- 2) \ cdot (-1) +5 \ cdot (-2) +0 \ cdot 5 = -5; \\ & f_ (23) = 3 \ cdot 0 + (- 2) \ cdot 4 + 5 \ cdot 3 + 0 \ cdot 0 = 7; \\ \\ & f_ (31) = - 1 \ cdot (-9) +4 \ cdot 2 + (- 3) \ cdot 0 + 6 \ cdot 1 = 23; \\ & f_ (32) = - 1 \ cdot 1 + 4 \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot (-2) +6 \ cdot 5 = 31; \\ & f_ (33) = - 1 \ cdot 0 + 4 \ cdot 4 + (- 3) \ cdot 3 + 6 \ cdot 0 = 7. \ bitiş (hizalanmış) $$

Yani $ F = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end (dizi) \ sağ) $. Daha ileri gidelim. $ C ^ T $ matrisi, $ C $ matrisinin devrik matrisidir, yani. $ C ^ T = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ bitiş (dizi) \ sağ) $. $ E $ matrisine gelince, bu birim matristir. İÇİNDE bu durum bu matrisin sırası üç, yani. $ E = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ bitiş (dizi) \ sağ) $.

Prensip olarak, adım adım ilerlemeye devam edebiliriz, ancak geri kalan ifadeyi, yardımcı eylemlerle dikkati dağıtmadan bütünüyle düşünmek daha iyidir. Aslında geriye sadece matrisleri bir sayı ile çarpma işlemleri ile toplama ve çıkarma işlemleri kalıyor.

$$ D = 2AB-3C ^ T + 7E = 2 \ cdot \ sol (\ başla (dizi) (cc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ bitiş (dizi) \ sağ) -3 \ cdot \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ bitiş (dizi) \ sağ) +7 \ cdot \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ bitiş (dizi) \ sağ) $$

Eşitliğin sağ tarafındaki matrisleri karşılık gelen sayılarla çarpın (yani, 2, 3 ve 7):

$$ 2 \ cdot \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ bitiş (dizi) \ sağ) -3 \ cdot \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \ end (dizi) \ sağ) +7 \ cdot \ sol (\ start (dizi) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end (dizi) \ sağ) = \\ = \ sol (\ startup (dizi) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ end (dizi) \ sağ) - \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ end (dizi) \ sağ) + \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ bitiş (dizi) \ sağ) $$

hadi yürütelim son eylemler: çıkarma ve toplama:

$$ \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \ bitiş (dizi) \ sağ) - \ sol (\ başlangıç (dizi) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \ end (dizi) \ sağ) + \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \ end (dizi) \ sağ) = \\ = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 & -6-9 + 0 \\ -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 & 14 - (- 45) +0 \\ 46-39 + 0 & 62-27 +0 & 14-24 + 7 \ end (dizi) \ sağ) = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ bitiş (dizi) \ sağ). $$

Problem çözüldü, $ D = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ bitiş (dizi) \ sağ) $ ...

Cevap: $ D = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \ bitiş (dizi) \ sağ) $.

Örnek No. 6

$ f (x) = 2x ^ 2 + 3x-9 $ ve matris $ A = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) $ olsun. $ f (A) $ değerini bulun.

$ f (x) = 2x ^ 2 + 3x-9 $ ise, o zaman $ f (A) $ ile matrisi kastediyoruz:

$$ f(A) = 2A ^ 2 + 3A-9E. $$

Bir matrisin polinomu bu şekilde tanımlanır. Yani, $ f (A) $ ifadesinin yerine $ A $ matrisini koymamız ve sonucu almamız gerekiyor. Tüm eylemler daha önce ayrıntılı olarak tartışıldığından, burada sadece bir çözüm vereceğim. $ A ^ 2 = A \ cdot A $ işlemini gerçekleştirme işlemi size açık değilse, bu konunun ilk bölümündeki matris çarpma açıklamasına bakmanızı tavsiye ederim.

$$ f (A) = 2A ^ 2 + 3A-9E = 2A \ cdot A + 3A-9E = 2 \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -3 ve 1 \\ 5 ve 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) \ cdot \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -3 ve 1 \\ 5 ve 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) +3 \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -3 ve 1 \\ 5 & 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) -9 \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ bitiş (dizi) \ sağ) = \\ = 2 \ sol ( \ start (dizi) (cc) (-3) \ cdot (-3) +1 \ cdot 5 & (-3) \ cdot 1 + 1 \ cdot 0 \\ 5 \ cdot (-3) +0 \ cdot 5 & 5 \ cdot 1 + 0 \ cdot 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) +3 \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) -9 \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ bitiş (dizi) \ sağ) = \\ = 2 \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \ bitiş (dizi) \ sağ) +3 \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) -9 \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end (dizi) \ sağ) = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \ bitiş (dizi) \ sağ) + \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) -9 ve 3 \\ 15 ve 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) - \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) 9 ve 0 \\ 0 ve 9 \ bitiş (dizi) \ sağ) = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ bitiş (dizi) \ sağ). $$

Cevap: $ f (A) = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \ bitiş (dizi) \ sağ) $.

А -1 matrisi, А * А -1 = Е ise, А matrisine göre ters matris olarak adlandırılır, burada Е, n'inci dereceden birim matristir. Bir ters matris sadece kare matrisler için var olabilir.

Hizmet amacı... Vasıtasıyla bu servisçevrimiçi cebirsel tamamlayıcılar, transpoze matris A T, birleşik matris ve ters matris bulabilirsiniz. Çözüm doğrudan web sitesinde (çevrimiçi) gerçekleştirilir ve ücretsizdir. Hesaplama sonuçları bir Word raporunda ve Excel formatı(yani çözümü kontrol etmek mümkündür). tasarım örneğine bakın.

Talimat. Bir çözüm elde etmek için matrisin boyutunu ayarlamak gerekir. Ardından, yeni bir iletişim kutusunda A matrisini doldurun.

Ayrıca bkz. Jordan-Gauss yöntemini kullanan Ters matris

Ters matrisi bulmak için algoritma

1. Transpoze edilmiş matris A T'yi bulma.
2. Cebirsel tamamlayıcıların tanımı. Matrisin her bir elemanını cebirsel tamamlayıcısı ile değiştirin.
3. çizim ters matris cebirsel eklemelerden: elde edilen matrisin her bir elemanı, orijinal matrisin determinantına bölünür. Ortaya çıkan matris, orijinal matrisin tersidir.

Sonraki ters matris algoritması bazı adımlar dışında bir öncekine benzer: önce cebirsel tamamlayıcılar hesaplanır ve ardından birleşik matris C belirlenir.

1. Matrisin kare olup olmadığını belirleyin. Değilse, bunun için ters matris yoktur.
2. A matrisinin determinantının hesaplanması. Sıfıra eşit değilse çözüme devam ederiz, aksi halde ters matris yoktur.
3. Cebirsel tamamlayıcıların tanımı.
4. Birleşim (karşılıklı, ek) matrisinin doldurulması C.
5. Cebirsel tamamlayıcılardan bir ters matris oluşturma: birleşik matris C'nin her bir elemanı orijinal matrisin determinantına bölünür. Ortaya çıkan matris, orijinal matrisin tersidir.
6. Bir kontrol yapılır: orijinal ve elde edilen matrisler çarpılır. Sonuç, kimlik matrisi olmalıdır.

Örnek 1. Matrisi aşağıdaki gibi yazalım:

Cebirsel tamamlayıcılar. ∆ 1,2 = - (2 4 - (- 2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = - (2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = - (- 1 5 - (- 2 2)) = 1 ∆ 3,2 = - (- 1 (-2) -2 3) = 4

bir -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Ters matrisi bulmak için başka bir algoritma

Ters matrisi bulmak için başka bir şema verelim.

1. Verilen A kare matrisinin determinantını bulun.
2. A matrisinin tüm elemanlarının cebirsel tümleyenlerini bulun.
3. Satır elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını sütunlara yazarız (transpozisyon).
4. Elde edilen matrisin her bir elemanını A matrisinin determinantına böleriz.

Görüldüğü gibi, yer değiştirme işlemi hem başlangıçta orijinal matris üzerinde hem de sonunda elde edilen cebirsel tümleyenler üzerinde uygulanabilir.

özel bir durum: E birim matrisinin tersi, E birim matrisidir.

Matrislerde işlemlerin bazı özellikleri.
matris ifadeleri

Ve şimdi konunun devamı gelecek, burada sadece ele almayacağız yeni materyal ama biz de çalışacağız matrislerle işlemler.

Matrislerdeki işlemlerin bazı özellikleri

Matrisli eylemlerle ilgili birkaç özellik var, aynı Wikipedia'da ilgili kuralların ince sıralarına hayran kalabilirsiniz. Bununla birlikte, pratikte, birçok özellik, belirli bir anlamda "ölü"dür, çünkü bunlardan sadece birkaçı gerçek problemlerin çözümünde kullanılır. Amacım, özelliklerin uygulamasını belirli örneklerle göstermek ve titiz bir teoriye ihtiyacınız varsa, lütfen başka bir bilgi kaynağı kullanın.

biraz düşünün kuralın istisnaları pratik görevleri yerine getirmek için gerekli olacaktır.

Bir kare matris varsa ters matris, o zaman çarpmaları değişmeli:

Birim matrisi olduğu bir kare matris olarak adlandırılır. ana köşegen birimler bulunur ve öğelerin geri kalanı sıfıra eşittir. Örneğin: vb.

nerede aşağıdaki özellik doğrudur: keyfi bir matris çarpılırsa sol veya sağ uygun boyutlardaki kimlik matrisinde, sonuç orijinal matris olacaktır:

Gördüğünüz gibi, burada da matris çarpımının değişebilirliği gerçekleşir.

Bir tür matris alalım, diyelim ki önceki problemin matrisi: .

İlgilenenler şunları kontrol edebilir ve şunlardan emin olabilir:

Matrisler için kimlik matrisi, özellikle az önce ele alınan örneklerden açıkça görülen, sayılar için sayısal birimin bir analogudur.

Matris çarpımına göre sayısal bir faktörün değiştirilebilirliği

Matrisler ve gerçek sayılar için aşağıdaki özellik doğrudur:

Yani, sayısal faktör, matrislerin çarpımına "karışmaması" için ileriye doğru hareket ettirilebilir (ve edilmelidir).

Not : Genel olarak, özelliğin formülasyonu eksiktir - "lambda" matrisler arasında herhangi bir yere, hatta sonuna yerleştirilebilir. Üç veya daha fazla matris çarpılırsa kural doğru kalır.

Örnek 4

Ürünü hesaplayın

Çözüm:

(1) Mülkiyete göre sayısal faktörü ileri doğru hareket ettirin. Matrislerin kendileri yeniden düzenlenemez!

(2) - (3) Matris çarpımı gerçekleştirin.

(4) Burada her sayıyı 10'a bölebilirsiniz, ancak daha sonra matris öğeleri arasında ondalık kesirler görünecektir, bu iyi değildir. Bununla birlikte, matristeki tüm sayıların 5'e bölünebildiğini fark ettik, bu yüzden her bir elemanı onunla çarpıyoruz.

Cevap:

Kendi kendine çözüm için küçük bir maskaralık:

Örnek 5

Eğer hesapla

Çözüm ve cevap dersin sonunda.

Bu tür örnekleri çözerken hangi teknik önemlidir? numara ile uğraşıyoruz en son ama en kötü değil .

Lokomotife bir araba daha bağlayalım:

Üç matrisi nasıl çarparım?

Her şeyden önce, üç matrisin çarpılmasının sonucu NE olmalıdır? Kedi fare doğurmaz. Matris çarpımı mümkünse, sonuç da bir matris olacaktır. Hmmm, peki, cebir öğretmenim cebirsel bir yapının elemanlarına göre kapalılığını nasıl açıkladığımı görmüyor =)

Üç matrisin çarpımı iki şekilde hesaplanabilir:

1) "tse" matrisini bulun ve bununla çarpın:;

2) önce bul, sonra çarp.

Sonuçlar kesinlikle eşleşecek ve teoride bu özelliğe matris çarpımının birleştirilebilirliği denir:

Örnek 6

Matrisleri iki şekilde çarpma

algoritma çözümler iki adımlı: iki matrisin çarpımını bulun, sonra tekrar iki matrisin çarpımını bulun.

1) Formülü kullanıyoruz

İlk işlem:

İkinci işlem:

2) Formülü kullanıyoruz

İlk işlem:

İkinci işlem:

Cevap:

Tabii ki daha tanıdık ve standart olan ilk çözüm, “her şey yolunda”. Bu arada, sipariş hakkında. Ele alınan problemde, genellikle bir tür matris permütasyonundan bahsettiğimiz yanılsaması ortaya çıkar. Burada değiller. tekrar hatırlatırım Genel olarak MATRİS DEĞİŞTİRİLEMEZ... Yani, ikinci paragrafta, ikinci adımda çarpma işlemi yapıyoruz, ancak hiçbir durumda. Sıradan sayılarla böyle bir sayı geçerdi, ancak matrislerle - hayır.

Çarpmanın birleştirilebilirlik özelliği sadece kare için değil, aynı zamanda çarpıldıkları sürece keyfi matrisler için de geçerlidir:

Örnek 7

Üç matrisin ürününü bulun

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Örnek çözümde hesaplamalar iki şekilde yapılır, hangisinin daha karlı ve daha kısa olduğunu analiz edin.

Matris çarpımının çağrışım özelliği aynı zamanda aşağıdakiler için de geçerlidir: daha fazlaçarpanlar.

Şimdi matrislerin güçlerine dönme zamanı. Matrisin karesi en başta ele alınır ve gündemde şu soru bulunur:

Bir matris ve daha yüksek güçler nasıl küplenir?

Bu işlemler de sadece kare matrisler için tanımlanmıştır. Bir küpün kare matrisini oluşturmak için ürünü hesaplamanız gerekir:

aslında öyle özel durumüç matrisin matris çarpımının birleştirilebilirlik özelliği ile çarpımı: Ve matrisin kendisi ile çarpımı matrisin karesidir:

Böylece, çalışan bir formül elde ederiz:

Yani görev iki adımda gerçekleştirilir: önce matrisin karesi alınmalı ve ardından ortaya çıkan matris matrisle çarpılmalıdır.

Örnek 8

Matrisi bir küp haline getirin.

Bu, bağımsız bir çözüm için küçük bir görevdir.

Matrisin dördüncü güce yükseltilmesi doğal bir şekilde gerçekleştirilir:

Matris çarpımının ilişkilendirilebilirliğini kullanarak, iki çalışma formülü elde ederiz. Birincisi: üç matrisin ürünüdür.

bir) . Başka bir deyişle, önce buluruz, sonra onu "bh" ile çarparız - bir küp alırız ve sonunda tekrar çarpma yaparız - dördüncü derece olacaktır.

2) Ama bir adım daha kısa bir çözüm var: Yani, ilk adımda kareyi buluyoruz ve küpü atlayarak çarpma işlemini gerçekleştiriyoruz.

Örnek 8 için ek aktivite:

Matrisi dördüncü güce yükseltin.

Az önce belirtildiği gibi, bunu yapmanın iki yolu vardır:

1) Küp biliniyorsa çarpma işlemini yaparız.

2) Ancak, sorunun durumuna göre matrisin oluşturulması gerekiyorsa sadece dördüncü derecede, o zaman yolu kısaltmak avantajlıdır - matrisin karesini bulun ve formülü kullanın.

Hem çözümler hem de cevap dersin sonunda.

Benzer şekilde, matris beşinci ve daha yüksek güçlere yükseltilir. Pratik deneyimlerimden bazen 4. dereceye yükseltme örneklerine rastladığımı söyleyebilirim ama beşinci dereceyi hatırlayamıyorum. Ama her ihtimale karşı en uygun algoritmayı vereceğim:

1) bul;
2) bulmak;
3) matrisi beşinci güce yükseltiriz:

Bunlar, belki de, pratik problemlerde faydalı olabilecek matris işlemlerinin tüm ana özellikleridir.

Dersin ikinci bölümünde ise eşit derecede renkli bir parti bekleniyor.

matris ifadeleri

Her zamanki okul ifadelerini sayılarla tekrarlayalım. Sayısal bir ifade sayılardan, matematiksel sembollerden ve parantezlerden oluşur, örneğin: ... Hesaplarken, tanıdık cebirsel öncelik geçerlidir: ilk parantez, sonra çalışır üs alma / kök çıkarma, Sonra çarpma / bölme ve son ama en az değil - toplama çıkarma.

Sayısal bir ifade anlamlıysa, değerlendirmesinin sonucu bir sayıdır., Örneğin:

matris ifadeleri hemen hemen aynı şekilde düzenlenmiştir! Ana karakterlerin matris olması farkıyla. Ayrıca devrik ve ters matris bulma gibi bazı matrise özgü işlemler.

Matris ifadesini düşünün , bazı matrisler nerede. Bu matris ifadesinde en son üç terim ve toplama/çıkarma işlemleri yapılır.

İlk terimde, önce "bie": matrisini transpoze etmeniz, ardından çarpma işlemini gerçekleştirmeniz ve elde edilen matrise "iki"yi eklemeniz gerekir. Bunu not et devrik işlemi daha fazla yüksek öncelikçarpmadan daha... Parantezler, sayısal ifadelerde olduğu gibi, eylemlerin sırasını değiştirir: - burada, önce çarpma yapılır, ardından ortaya çıkan matris aktarılır ve 2 ile çarpılır.

İkinci dönemde ise öncelikle matris çarpımı yapılır ve ters matris zaten üründen alınır. Parantezler kaldırılırsa:, önce ters matrisi bulmanız ve ardından matrisleri çarpmanız gerekir:. Bir matrisin tersini bulmak da çarpmaya göre önceliklidir.

Üçüncü terimle, her şey açıktır: matrisi bir küp haline getiriyoruz ve ortaya çıkan matrise "beş" ekliyoruz.

Matris ifadesi mantıklıysa, hesaplamasının sonucu matristir..

Tüm görevler gerçek testlerden olacak ve en basitinden başlayacağız:

Örnek 9

Verilen matrisler ... Bulmak:

Çözüm: Sıralama belli, önce çarpma, sonra toplama yapılıyor.

Matrisler farklı boyutlarda olduğu için toplama mümkün değildir.

Şaşırmayın, bu tür görevlerde genellikle kasten imkansız eylemler önerilir.

İkinci ifadeyi değerlendirmeye çalışmak:

Burada her şey iyi.

Cevap: eylem gerçekleştirilemez, .

Aptallar için Lineer Cebir

Lineer cebir çalışmak için IV Belousov'un "Matrisler ve Determinantlar" kitabını okuyabilir ve inceleyebilirsiniz. Ancak, ortalama bir akla sahip insanların algılaması zor olan katı ve kuru bir matematiksel dille yazılmıştır. Bu nedenle, materyali mümkün olduğunca açık bir şekilde sunmaya çalışarak, bunun için mümkün olduğunca resimler kullanarak bu kitabın anlaşılması en zor kısımlarını yeniden anlattım. Teoremlerin ispatlarını atladım. Açıkçası, ben kendim onları araştırmadım. Bay Belousov'a inanıyorum! Çalışmalarına bakılırsa, okuryazar ve zeki bir matematikçidir. Kitabını adresinden indirebilirsiniz. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdfÇalışmama girecekseniz, bu yapılmalıdır, çünkü sık sık Belousov'a atıfta bulunacağım.

Tanımlarla başlayalım. Matris nedir? Sayılar, fonksiyonlar veya cebirsel ifadelerden oluşan dikdörtgen bir tablodur. Matrislere neden ihtiyaç duyulur? Karmaşık matematiksel hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştırırlar. Matris, satırlar ve sütunlarla ayırt edilebilir (Şekil 1).

Satırlar ve sütunlar soldan başlayarak numaralandırılır

yukarıdan (Şekil 1-1). m n (veya m x n) boyutunda bir matris dedikleri zaman, şunu kastederler: m satır sayısı ve altında n sütun sayısı... Örneğin, Şekil 1-1'deki matris 3'e 4 yerine 4'e 3'tür.

Bkz. 1-3, matrisler nelerdir. Bir matris tek satırdan oluşuyorsa satır matrisi, bir sütundan oluşuyorsa sütun matrisi olarak adlandırılır. Bir matris, içindeki satır sayısı sütun sayısına eşitse ve n'ye eşitse, kare n-inci sıra olarak adlandırılır. Matrisin tüm elemanları sıfıra eşitse, bu bir sıfır matrisidir. Ana köşegen üzerinde bulunanlar hariç, tüm elemanları sıfıra eşitse, kare matrise köşegen denir.

Ana köşegenin ne olduğunu hemen açıklıyorum. Üzerinde satır ve sütun numaraları aynıdır. Soldan sağa, yukarıdan aşağıya gider. (Şekil 3) Elemanlar ana köşegen üzerinde bulunuyorlarsa köşegen olarak adlandırılırlar. Tüm köşegen elemanlar bire eşitse (ve geri kalanı sıfırsa), matrise birim matris denir. İki matris A ve B aynı beden tüm elemanları aynı ise eşit denir.

2 matrisler ve özellikleri üzerinde işlemler

Bir matrisin x ile çarpımı aynı boyutta bir matristir. Bu ürünü elde etmek için her elemanı bu sayı ile çarpmanız gerekir (Şekil 4). Aynı boyuttaki iki matrisin toplamını elde etmek için, karşılık gelen öğelerini eklemeniz gerekir (Şekil 4). Aynı boyuttaki iki matrisin A - B farkını elde etmek için, B matrisini -1 ile çarpmanız ve elde edilen matrisi A matrisiyle toplamanız gerekir (Şekil 4). Matrisler üzerindeki işlemler için aşağıdaki özellikler doğrudur: A + B = B + A (değişmeli özellik).

(A + B) + C = A + (B + C) (çağrışım özelliği). Basit bir ifadeyle, toplam, terimlerin yerlerindeki bir değişiklikten değişmez. Matrisler ve sayılarla ilgili işlemler için aşağıdaki özellikler doğrudur:

(sayıları x ve y harfleriyle, matrisleri A ve B harfleriyle gösteririz) x (yA) = (xy) A

Bu özellikler sayılarla ilgili işlemlere benzer. Bak

Şekil 5'teki örnekler Ayrıca sayfa 9'daki Belousov'un 2.4 - 2.6 örneklerine bakın.

Matris çarpımı.

İki matrisin çarpımı, yalnızca (Rusça'ya çevrilmiş: matrisler yalnızca şu durumlarda çarpılabilirse), çarpımdaki ilk matrisin sütun sayısı ikincinin satır sayısına eşit olduğunda tanımlanır (Şekil 7, yukarıda, mavi parantez). Daha iyi hatırlamak için: 1 sayısı daha çok bir sütun gibidir.Çarpma sonucunda bir boyut matrisi elde edilir (bakınız şekil 6). Neyle çarpılacağını hatırlamayı kolaylaştırmak için aşağıdaki algoritmayı öneriyorum: Şekil 7'ye bakın. A matrisini B matrisi ile çarpın.

A matrisi iki sütundur,

B matrisinin iki satırı vardır - çarpabilirsiniz.

1) B matrisinin ilk sütununu ele alalım (sadece bir tane var). Bu sütunu bir satıra yazıyoruz (devir

sütun, aktarma hakkında hemen aşağıda).

2) A matrisinin boyutunda bir matris elde etmek için bu satırı kopyalayın.

3) Bu matrisin elemanlarını, A matrisinin karşılık gelen elemanları ile çarpıyoruz.

4) Ortaya çıkan işleri her satıra ekliyoruz ve iki satır ve bir sütundan oluşan bir çarpım matrisi.

Şekil 7-1, daha büyük matris çarpımlarının örneklerini verir.

1) Burada ilk matrisin üç sütunu vardır, bu nedenle ikincisinin üç satırı olmalıdır. Algoritma önceki örnektekiyle tamamen aynıdır, sadece burada her satırda iki değil üç terim vardır.

2) Burada ikinci matrisin iki sütunu vardır. Önce ilk sütunla, ardından ikinci sütunla algoritmayı gerçekleştiriyoruz ve ikişer ikişer bir matris elde ediyoruz.

3) Burada ikinci matrisin bir elemandan oluşan bir sütunu vardır, sütun yer değiştirmeden değişmez. Ve ilk matriste sadece bir sütun olduğu için hiçbir şey eklemenize gerek yok. Algoritmayı üç kez çalıştırıyoruz ve üçe üç matris elde ediyoruz.

Aşağıdaki özellikler gerçekleşir:

1. B + C toplamı ve AB ürünü varsa, A (B + C) = AB + AC

2. AB ürünü varsa, x (AB) = (xA) B = = A (xB).

3. AB ve BC ürünleri varsa, A (BC) = (AB) C.

AB matris ürünü varsa, BA ürünü olmayabilir. AB ve BA ürünleri mevcut olsa bile, farklı boyutlarda matrisler olabilirler.

Hem AB hem de BA ürünleri mevcuttur ve yalnızca aynı sıradaki A ve B kare matrisleri durumunda aynı boyutta matrislerdir. Ancak bu durumda bile AB, BA'ya eşit olmayabilir.

üs alma

Bir matrisin üstelleştirilmesi yalnızca kare matrisler için anlamlıdır (neden olduğunu düşünün?). O halde, A matrisinin m tamsayı pozitif gücü, A'ya eşit m matrisin çarpımıdır. Sayılarla aynı. Bir kare matris A'nın sıfır derecesi, A ile aynı mertebeden bir birim matris olarak anlaşılır. Bir birim matrisin ne olduğunu unuttuysanız, Şekil 1'e bakın. 3.

Tıpkı sayılar gibi, aşağıdaki ilişkiler de geçerlidir:

A mA k = A m + k (A m) k = A mk

Sayfa 20'deki Belousov'un örneklerine bakın.

matrislerin devrik

Transpoze, A matrisinin AT matrisine dönüşümüdür,

burada A matrisinin satırları, sıra korunarak AT'nin sütunlarına yazılır. (şek. 8). Başka bir şekilde de söyleyebilirsiniz:

A matrisinin sütunları, sıra korunarak AT matrisinin satırlarına yazılır. Yer değiştirmenin matrisin boyutunu, yani satır ve sütun sayısını nasıl değiştirdiğine dikkat edin. Ayrıca, ilk satır, ilk sütun ve son satır, son sütundaki öğelerin yerinde kaldığını unutmayın.

Aşağıdaki özellikler geçerlidir: (AT) T = A (devir

iki kez matris - aynı matrisi alırsınız)

(xA) T = xAT (x bir sayı, A, elbette bir matris anlamına gelir) (matrisi bir sayı ile çarpmanız ve devrik yapmanız gerekiyorsa, önce çarpabilir, sonra devrik veya tam tersini yapabilirsiniz)

(A + B) T = AT + BT (AB) T = BT AT

Simetrik ve antisimetrik matrisler

Şekil 9, sol üstte simetrik bir matrisi göstermektedir. Ana köşegen etrafında simetrik olan elemanları eşittir. Ve şimdi tanım: Kare matris

AT = A ise A'ya simetrik denir. Yani simetrik matris transpoze edildiğinde değişmez. Özellikle, herhangi bir köşegen matris simetriktir. (Böyle bir matris Şekil 2'de gösterilmektedir).

Şimdi antisimetrik matrise bakın (Şekil 9, alt). Simetrikten nasıl farklıdır? Tüm köşegen elemanlarının sıfır olduğuna dikkat edin. Antisimetrik matrisler için tüm köşegen elemanlar sıfıra eşittir. Neden? Tanım: Bir kare matris A denir

AT = -A ise antisimetrik. Simetrik ve antisimetrik üzerinde işlemlerin bazı özelliklerini not edelim.

matrisler. 1. A ve B simetrik (antisimetrik) matrislerse, A + B de simetrik (antisimetrik) bir matristir.

2. A simetrik (antisimetrik) bir matris ise, xA da simetrik (antisimetrik) bir matristir. (aslında, Şekil 9'daki matrisleri bir sayı ile çarparsanız, simetri hala korunacaktır)

3. İki simetrik veya iki antisimetrik matris A ve B'nin AB çarpımı, AB = BA için simetrik ve AB = için antisimetrik bir matristir.-BA.

4. A simetrik bir matris ise, o zaman A m (m = 1, 2, 3,...) simetrik bir matristir. Eğer bir

Bir antisimetrik matris, sonra Am (m = 1, 2, 3,...) Çift m için simetrik bir matris ve tek m için bir antisimetrik matristir.

5. Rastgele bir kare matris A, iki matrisin toplamı olarak gösterilebilir. (bu matrislere örneğin A(s) ve A(a) diyelim)

A = A(lar) + A(a)