To će pomoći ne samo čajnicima, već i onima koji su prvi čuli riječ "odrednica". Prošle su dvije godine otkako je stranica imala samo deset stranica, a sada, nakon mog dugog, dugog putovanja u svijet Matana, sve se vraća u normalu.
Zamislite da trebate izračunati determinantu trećeg reda tako što ćete je proširiti na elemente reda (kolone). Mada šta ima da se zamisli - treba =) Možeš sedeti preko 5 minuta, a možeš i 2-3 minuta. Ili čak u području od jedne minute. Vrijeme koje provedete zavisi ne samo od vašeg iskustva, već i od vašeg poznavanja svojstava determinanti. Nije neuobičajeno kada se proces rješavanja može svesti na samo nekoliko sekundi, a ponekad možete vidjeti rezultat odmah! "Gluposti, zašto štedjeti na utakmicama, pa ćemo mi sve odlučiti", reći će neki. Da priznamo. I nećemo dozvoliti previde ;-) Ali šta je sa odrednicom 4. reda koja je u praksi prilično raširena? Za borbu protiv ove paprike biće potrebno 10-20 minuta. I neće to biti čak ni bitka, već masakr, jer je vjerovatnoća računske greške vrlo velika, što će vas "umotati" u drugi krug odluke. A ako je determinanta petog reda? Samo snižavanje reda determinante će spasiti. Da, takvi primjeri se također nalaze u testnim radovima.
Materijali na ovoj stranici značajno će poboljšati vašu tehniku rješavanja determinanti i pojednostaviti dalje savladavanje više matematike.
Efikasne metode za izračunavanje determinante
Prije svega, nećemo se doticati svojstva determinante, već samo metoda njenog racionalnog izračunavanja. Ova rješenja su na površini i razumljiva su mnogima, ali ipak, zadržimo se na njima detaljnije. Pretpostavlja se da je čitalac već u stanju sasvim pouzdano otkriti odrednicu trećeg reda. Kao što znate, ova determinanta se može otkriti 6 standardnim načinima: u bilo kojem redu ili koloni. Čini se da nema razlike, jer će odgovor biti isti. Ali da li su sve metode podjednako jednostavne? br. U većini slučajeva postoji manje profitabilne načine i profitabilnije načine rješenja.
Uzmite u obzir identifikator koji sam obilno prekrio tetovažama u prvoj lekciji. U tom članku smo to detaljno izložili, sa slikama, duž prvog reda. Prva linija je dobra i akademska, ali da li je moguće brže postići rezultat? U determinanti se nalazi nula, a ako je proširite za drugi red ili za drugu kolonu, proračuni će se značajno smanjiti!
Proširimo determinantu za drugu kolonu: 
U praksi se nula elementi zanemaruju, a rješenje je napisano u kompaktnijem obliku:
Vježba 1
Proširite dati kvalifikator u drugom redu koristeći skraćenu notaciju.
Rješenje na kraju lekcije.
Ako postoje dvije nule u redu (ili stupcu), onda je to općenito pravi poklon. Uzmite u obzir odrednicu. U trećem redu su dvije nule, duž kojih se širimo:
To je cijelo rješenje!
Poseban slučaj kada determinanta ima tzv stupio ili trouglasti pogled, na primjer: - u takvoj odrednici svi brojevi ispod glavna dijagonala jednaki su nuli.
Proširimo ga u prvoj koloni: 
U praktičnim vježbama zgodno je slijediti sljedeće pravilo - stepenasta determinanta jednaka je proizvodu brojeva njene glavne dijagonale:
Sličan princip vrijedi i za determinante koraka drugih redova, na primjer: 
U nekim problemima linearne algebre pojavljuju se trokutaste determinante, a njihovo rješenje se najčešće formulira na ovaj način.
A ako red (kolona) determinante sadrži jedna nula? Mislim da je odgovor jasan. Na ovo pitanje ćemo se vratiti u svojstvima determinante.
Sada zamislimo da dugo očekivani bagels nisu uključeni u novogodišnji poklon. Pa hajde da uništimo lošeg Deda Mraza!
Ovdje nema nula, ali ipak postoji način da sebi olakšate život. Optimalnije je proširiti ovu determinantu u treću kolonu, jer postoje najmanji brojevi. U ovom slučaju, zapisnik odluke poprima vrlo lakonski oblik:
Sumirajući paragraf, formuliramo zlatno pravilo izračuna:
Isplativije je determinantu otvoriti po TOM redu (koloni), gdje je:
1) više nula;
2) manji brojevi.
Naravno, ovo važi i za determinante višeg reda.
Mali primjer za osiguranje materijala:
Zadatak 2
Izračunajte determinantu, proširujući je po redu ili stupcu, koristeći najracionalniji način
Ovo je primjer rješenja uradi sam, optimalno rešenje a odgovor je na kraju lekcije.
I još jedan važan savjet: ne kompleksuj! Nema potrebe da se "zadržimo" na tradicionalnoj dekompoziciji po prvom redu ili prvoj koloni. Koliko god da je kratko, odlučite!
Determinantna svojstva
Uzmite u obzir stare poznanike Lekcije 1: Matrix 
i njegovu odrednicu 
.
Za svaki slučaj, ponoviću elementarnu razliku između pojmova: matrica je tabela elemenata, a determinanta je broj.
Kada se matrica transponira, vrijednost njene determinante se ne mijenja
Transponirajte matricu: 
Prema svojstvu, determinanta transponovane matrice jednaka je istoj vrednosti: 
... Oni koji žele to mogu sami da se uvere.
U upotrebi je i jednostavnija formulacija ovog svojstva: ako se determinanta transponira, tada se njena vrijednost neće promijeniti.
Zapisujemo obje determinante jednu pored druge i analiziramo jednu važna tačka:
Kao rezultat transpozicije, prvi red je postao prva kolona, drugi red je postao druga kolona, a treći red je postao treća kolona. Redovi su postali kolone, a rezultat se nije promijenio. Iz čega proizilazi važna činjenica: redovi i stupci determinante su jednaki... Drugim riječima, ako je neko svojstvo istinito za red, onda je isto svojstvo istinito i za kolonu! U stvari, dugo smo se suočavali s tim - uostalom, determinanta se može proširiti i po redu, dakle podjednako i po koloni.
Ne volite brojeve u nizovima? Transponirajte determinantu! Postoji samo jedno pitanje, zašto? Praktično značenje razmatranog svojstva je malo, ali ga je korisno baciti u prtljag znanja kako bi se bolje razumjeli drugi problemi više matematike. Na primjer, odmah postaje jasno zašto za proučavanje vektora za komplanarnost njihove koordinate mogu biti zapisane i u redovima identifikatora i u kolonama.
Ako su dva reda (ili dva stupca) determinante zamijenjena,
tada će determinanta promijeniti predznak
! Zapamti , govorimo o odrednici! Ništa se ne može preurediti u samoj matrici!
Hajde da igramo Rubikovu kocku sa odrednicom 
.
Zamenimo prvi i treći red na mestima: 
Identifikator je promijenio svoj predznak.
Sada, u rezultujućoj odrednici, zamenimo drugi i treći red: 
Identifikator je ponovo promijenio svoj znak.
Zamenimo drugu i treću kolonu: 
To je, svaka parna permutacija redova (stupaca) povlači za sobom promjenu predznaka determinante u suprotno.
Igre su igre, ali u praksi su takve akcije bolje nemojte koristiti... Nema puno smisla od njih, ali nije se teško zbuniti i pogriješiti. Ipak, navešću jednu od rijetkih situacija u kojoj ovo zaista ima smisla. Pretpostavimo da ste u toku rješavanja nekog primjera nacrtali determinantu sa predznakom minus:
Proširimo ga, recimo, na prvi red:
Očigledna neugodnost je u tome što sam morao izvoditi nepotrebne naklone - da se kladim velike zagrade, a zatim ih otkrijte (usput, ne preporučujem izvođenje takvih radnji "u jednom sjedenju" usmeno).
Da biste se riješili "minusa", racionalnije je zamijeniti bilo koja dva reda ili bilo koje dvije kolone. Preuredimo, na primjer, prvi i drugi red: 
Izgleda elegantno, ali u većini slučajeva je korisnije nositi se s negativnim predznakom na drugi način (čitajte dalje).
Gornja radnja opet pomaže da se bolje razumiju, na primjer, neka svojstva vektorski proizvod vektora ili mješoviti proizvod vektora.
Ali ovo je zanimljivije:
Iz reda (kolone) determinante možete izvaditi zajednički faktor
!!! Pažnja! Pravilo je oko JEDAN liniji ili oko JEDAN kolona determinanta. Molimo nemojte brkati sa matrice, u matrici je faktor izbačen/uveden SVE brojeva odjednom.
Počnimo sa posebnim slučajem pravila - stvaranjem "minus jedan" ili samo "minus".
Upoznajemo još jednog pacijenta:.
Previše je nedostataka u ovoj odrednici, pa bi bilo lijepo smanjiti njihov broj.
Izvadimo -1 iz prvog reda: 
Ili kraće: 
Minus ispred kvalifikatora, kao što je već pokazano, nije zgodno za jelo. Gledamo drugi red determinante i primjećujemo da tu ima previše minusa.
Izbacimo "minus" iz drugog reda: 
Šta još možete učiniti? Svi brojevi u drugom stupcu su djeljivi sa 4 bez ostatka. Pomeri 4 iz druge kolone: 
Važi i suprotno pravilo - multiplikator može ne samo izdržati, već i napraviti, štaviše, u BILO KOM redu ili u BILO KOJ koloni determinante.
Za zabavu, pomnožimo treći red determinante sa 4: 
Pedantni umovi mogu se uvjeriti u jednakost izvornih i primljenih odrednica (tačan odgovor: –216).
U praksi se često izvodi uvođenje minusa. Uzmite u obzir odrednicu. Negativan predznak prije kvalifikatora može se unijeti u BILO KOJI red ili u BILO KOJU kolonu. Najbolji kandidat je treća kolona, a mi ćemo joj dodati minus: 
Također primjećujemo da su svi brojevi u prvoj koloni djeljivi sa 2 bez ostatka, ali da li se isplati izvoditi "dvojku"? Ako ćete sniziti redoslijed kvalifikatora (o čemu će biti riječi u završnom dijelu), onda se svakako isplati. Ali ako determinantu proširite po redu (kolona), onda će "dva" ispred samo produžiti zapis rješenja.
Međutim, ako je množitelj velik, na primjer, 13, 17, itd., Tada je, naravno, isplativije svejedno ga izvaditi. Hajde da se upoznamo sa malim čudovištem:. Iz prvog reda vadimo –11, iz drugog reda vadimo –7:
Kažete, kalkulacije već tako brzo klikću na običnom kalkulatoru? Istina je. Ali, prvo, možda neće biti pri ruci, a drugo, ako je data determinanta 3. ili 4. reda s velikim brojevima, onda baš nećete htjeti kucati na dugmad.
Zadatak 3
Izračunajte determinantu rastavljajući redove i kolone
Ovo je primjer rješenja uradi sam.
Još par korisnih pravila:
Ako su dva reda (kolone) determinante proporcionalna
(kao poseban slučaj, isti su), onda je ova determinanta jednaka nuli
Ovdje su odgovarajući elementi prvog i drugog reda proporcionalni:
Ponekad se kaže da su kvalifikacione linije linearno zavisna... Kako se vrijednost determinante ne mijenja tokom transpozicije, linearna ovisnost stupaca također slijedi iz linearne zavisnosti redova.
Možete staviti geometrijsko značenje u primjer - ako pretpostavimo da linije sadrže koordinate vektori prostor, tada će prva dva vektora sa proporcionalnim koordinatama biti kolinearna, što znači da su sva tri vektora - linearno zavisna, odnosno komplanarno.
U sljedećem primjeru, tri kolone su proporcionalne (i, usput rečeno, tri reda također): 
Ovdje su drugi i treći stupac isti, ovo je poseban slučaj - kada je koeficijent proporcionalnosti jednak jedan
Navedena svojstva mogu se koristiti u praksi. Ali zapamtite, povećan nivo znanja je ponekad kažnjiv ;-) Stoga bi možda bilo bolje otkriti takve kvalifikatore na uobičajen način (znajući unaprijed da će se ispostaviti da je nula).
Treba napomenuti da obrnuto generalno nije tačno- ako je determinanta nula, onda iz ovoga ne još da su njegovi redovi (kolone) proporcionalni. Odnosno, linearni odnos redova/kolona možda neće biti eksplicitan.
Postoji i očigledniji znak kada se odmah može reći da je determinanta nula:
Determinanta sa nultim redom (kolona) jednaka je nuli
"Amaterska" provjera je elementarna, otvorimo odrednicu za prvu kolonu: 
Međutim, rezultat se ne mijenja ako proširite determinantu za bilo koji red ili kolonu.
Iscijedite drugu čašu soka od pomorandže:
Koja svojstva determinanti je korisno znati?
1) Vrijednost determinante se ne mijenja kada se transponira... Sjećamo se imovine.
2) Svaka parna permutacija redova (kolona) obrće predznak determinante... Također pamtimo imovinu i pokušavamo je ne koristiti kako bismo izbjegli zabunu.
3) Iz reda (kolone) determinante možete izvaditi faktor (i dodati ga nazad)... Koristimo ga tamo gde je isplativo.
4) Ako su redovi (kolone) determinante proporcionalni, onda je ona jednaka nuli. Determinanta sa nultim redom (kolona) je nula.
Tokom čitave lekcije više puta je uočena elementarna pravilnost - što je više nula u nizu (koloni), lakše je izračunati determinantu. Postavlja se pitanje da li je moguće namjerno organizirati nule uz pomoć neke vrste transformacije? Može! Upoznajmo se sa još jednim veoma moćnim svojstvom:
Smanjenje reda determinante
Vrlo je dobro ako ste već shvatili Gaussova metoda i imaju iskustva u rješavanju sistemi linearnih jednačina na ovaj način. U stvari, svojstvo formulirano u nastavku duplira jedno od elementarne transformacije.
Da vam probudimo apetit, zgnječimo malu žabu: 
Nizu determinante možete dodati još jedan niz pomnožen brojem koji nije nula. U ovom slučaju, vrijednost determinante se neće promijeniti
Primer: u determinanti dobijamo nulu u gornjem levom uglu.
Za ovo, drugi red mentalno ili na propuhu pomnožite sa 3: (–3, 6) i prvom redu dodajte drugi red pomnožen sa 3:
Zapisujemo rezultat do prve linije:
pregled: 
Sada u istoj odrednici dobijamo nulu u donjem desnom uglu. Za ovo u drugi red dodajte prvi red, pomnožen (mentalno) sa –2):
Zapisujemo rezultat do drugog reda:
Bilješka: uz elementarnu transformaciju, promjene TA string kojem dodavanjem UT.
Formulirajmo zrcaljeno pravilo za stupce:
Drugi stupac se može dodati koloni determinante, pomnožen brojem koji nije nula. U ovom slučaju, vrijednost determinante se neće promijeniti
Uzmite životinju za noge i koristeći ovu transformaciju, dobivamo nulu u gornjem lijevom kutu. Da bismo to učinili, mentalno ili na nacrtu, drugi stupac množimo sa –3: i dodajte drugu kolonu prvoj koloni, pomnoženu sa –3:
Rezultat ćemo napisati do prve kolone:
I konačno, u determinanti dobijamo nulu u donjem desnom uglu. Za ovo drugom stupcu dodajemo prvi stupac, pomnožen (mentalno) sa 2(pogledajte i brojite s desna na lijevo):
Stavljamo rezultat u drugu kolonu:
Elementarna transformacija se mijenja TO kolona kojoj se dodavanjem UT.
Pokušajte kvalitetno probaviti sljedeći primjer.
Pošaljimo odraslog vodozemca na supu:
Izazov je da koristeći elementarne transformacije za snižavanje reda determinante do drugog reda.
Gdje početi? Prvo, morate odabrati ciljni broj u determinanti. “Meta” je skoro uvijek jedan ili –1. Gledamo determinantu i primjećujemo da ovdje čak postoji izbor. Neka element bude ciljni broj: 
Bilješka : značenje dvostrukih indeksa može se pronaći u članku Cramerovo pravilo. Matrična metoda... V ovaj slučaj indeksi elemenata nam govore da se nalazi u drugom redu, trećoj koloni.
Ideja je da se u trećoj koloni dobiju dvije nule: 
Ili dobijete dvije nule u drugom redu: 
U drugom redu, brojevi su manji (ne zaboravite zlatno pravilo), pa ga je isplativije uzeti. I treća kolona sa "ciljnim" brojem ostat će nepromijenjena: 
Dodajte treću kolonu drugoj koloni:
Ovdje se nije imalo šta razmnožavati.
Rezultat upisujemo u drugu kolonu: 
Dodajte treću kolonu prvoj koloni, pomnoženu (mentalno) sa -2:
Rezultat upisujemo u prvi stupac, širimo determinantu duž drugog reda: 
Kako smo snizili redoslijed kvalifikatora? Imamo dvije nule u drugom redu.
Riješimo primjer na drugi način, rasporedimo nule u treću kolonu: 
Drugi red sa ciljnim brojem ostat će nepromijenjen: 
Prvom redu dodajte drugi red, pomnožen (mentalno) sa –4: 
Trećem redu dodajte drugi red, pomnožen (mentalno) sa 3 (pogledajte i brojite odozdo prema gore):
Rezultat upisujemo u treći red, širimo determinantu za treći stupac: 
Zapiši to nema potrebe za preuređivanjem redova ili kolona... Elementarne transformacije rade odlično i s lijeva na desno i s desna na lijevo. I od vrha do dna i odozdo prema gore.
Zadatak 4
Izračunajte istu determinantu, birajući element kao "ciljni" broj. Smanjite njegov red na dva načina: tako što ćete dobiti nule u drugom redu i dobiti nule u drugom stupcu.
Ovo je primjer rješenja uradi sam. Kompletno rješenje i kratki komentari na kraju tutorijala.
Ponekad identifikatoru nedostaje jedinica ili –1, na primjer:. U ovom slučaju, „cilj“ treba organizirati uz pomoć dodatne elementarne transformacije. To se najčešće može učiniti na nekoliko načina. Na primjer: u prvi red dodajte drugi red pomnožen sa -1: 
Rezultat pišemo u prvom redu: 
! Pažnja : NIJE POTREBNO iz prve linije oduzimati drugi red, ovo uvelike povećava mogućnost greške. Samo zbrojite! Dakle, prvom redu dodajemo drugi red pomnožen sa -1. Upravo!
Jedinica je primljena, što je i trebalo da se postigne. Tada možete dobiti dvije nule u prvom redu ili u prvoj koloni. Zainteresovani mogu pratiti rješenje do kraja (tačan odgovor: –176).
Treba napomenuti da je gotova „meta“ najčešće prisutna u izvornoj odrednici, a za determinantu 4. reda i više dodatna transformacija je krajnje mala.
Narežemo nekoliko velikih krastača u gulaš:
Zadatak
Reši sistem linearne jednačine po Cramerovim formulama 
U redu je ako niste imali vremena da se upoznate Cramerova metoda, u ovom slučaju možete jednostavno vidjeti kako se smanjuje redoslijed determinante “četiri sa četiri”. A samo će pravilo postati jasno ako se malo udubite u tok odluke.
Rješenje: prvo izračunaj glavna odrednica sistemi: 
Moguće je ići standardnim putem, proširivanjem ove determinante po redu ili koloni. Podsjećajući se na algoritam prve lekcije i koristeći matricu znakova koju sam izmislio, otkrit ćemo determinantu, na primjer, prema "klasičnom" prvom redu:
Ne vidim tvoj entuzijazam =) Naravno, možeš sjediti desetak minuta i pažljivo i pažljivo izroditi tačan odgovor. Ali problem je što je u budućnosti potrebno izračunati još 4 determinante četvrtog reda. Stoga je jedini razuman izlaz snižavanje reda determinante.
U odrednici ima mnogo jedinica, a naš zadatak je da biramo najbolji način... Zapamtite zlatno pravilo: treba biti više nula u nizu (koloni), a manje brojeva. Iz tog razloga, drugi red ili četvrti stupac su u redu. Četvrta kolona izgleda atraktivnije, štoviše, postoje dvije jedinice. Odabiremo element kao "cilj": 
Prvi red se neće promijeniti. I drugi također - već postoji potrebna nula: 
Dodajte u treći red prvi red pomnožen sa -1 (pogledajte i brojite odozdo prema gore):
! Ponovo pažnja : Nije potrebno iz trećeg reda oduzimati prva linija. Samo zbrojite!
Rezultat pišemo u trećem redu: 
Dodajte prvi red pomnožen sa 3 u četvrti red (pogledajte i brojite odozdo prema gore):
Rezultat pišemo u četvrtom redu: 
(1) Proširite determinantu za četvrti stupac. Ne zaboravite da elementu trebate dodati "minus" (pogledajte matricu znakova).
(2) Redoslijed kvalifikatora se smanjuje na 3. U principu, može se razložiti po redu (kolona), ali je bolje razraditi svojstva determinante. U drugi red dodajemo minus.
(3) U drugi red dodajte prvi red pomnožen sa 3. Trećem redu dodajte prvi red pomnožen sa 7.
(4) Proširujemo determinantu za drugu kolonu, čime dalje redukujemo njen red na dva.
Primijetite kako se rješenje smanjilo! Glavna stvar je da se "malo dočepate" elementarnih transformacija, a takva prilika će se ukazati upravo sada. Osim toga, na raspolaganju vam je kalkulator koji izračunava determinante (konkretno, može se naći na stranici Matematičke formule i tabele). Uz pomoć kalkulatora lako je kontrolisati izvršene radnje. Imam kvalifikaciju 
na prvom koraku - i odmah provjeriti da li je jednaka originalnoj determinanti.
(1) Proširite determinantu za treći red. Redoslijed kvalifikatora je smanjen na tri.
(2) U prvu kolonu upisujemo "minus".
(3) Dodajte prvi red pomnožen sa 3 drugom redu. Dodajte prvi red pomnožen sa 5 trećem redu.
(4) Proširiti determinantu za drugu kolonu, reducirajući red determinante na dva.
Kod nas ispada divno kompleks ručak i vrijeme je za desert: 
To više nije čak ni žaba, to je sam Godzila. Uzmimo pripremljenu čašu soka od pomorandže i vidimo kako se snižava red determinante. Algoritam je, mislim, jasan: s petog reda reduciramo na četvrti, sa četvrtog na treći i sa trećeg na drugi:
(1) Dodajte drugi red prvom, trećem, četvrtom i petom redu.
(2) Proširite determinantu za 3. kolonu. Redoslijed kvalifikatora je pao na četiri.
(3) Iz 4. kolone vadimo 2. Prvi red množimo sa -1, a da se determinanta ne bi promijenila, ispred njega stavljamo "minus". Ova transformacija izvršeno u cilju pojednostavljenja daljih proračuna.
(4) Dodajte prvi red drugom i trećem redu. Dodajte prvi red pomnožen sa 3 u četvrti red.
(5) Proširite determinantu za 4. stupac. Redoslijed je smanjen na tri.
(6) Proširite determinantu za 2. kolonu. Redoslijed je smanjen na dva.
(7) Iz 1. kolone izvlačimo "minus".
Sve je ispalo lakše nego što se činilo, sva čudovišta imaju slabe tačke!
Odrednicu petog reda neumorni čitaoci mogu pokušati riješiti na neki drugi način, srećom, u njoj ih je nekoliko.
Druga kolona je dodana prvoj koloni, pomnožena sa 2. Druga kolona je dodana trećoj koloni. Kvalifikator je proširen na drugu liniju.
Spustimo red determinante i dobijemo nule u drugom stupcu:
Drugi red pomnožen sa –2 dodan je prvom redu. Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 2. Ključ je otvoren u drugoj koloni.
Zadatak 5: Rješenje:
(1) U prvi red dodajte treći red pomnožen sa 3. Dodajte treći red pomnožen sa 5 u drugi red. Dodajte treći red pomnožen sa 2 u 4. red.
(2) Proširite determinantu za prvi stupac.
(3) Drugoj koloni dodajte treću kolonu puta 9. Dodajte treću kolonu prvoj koloni.
(4) Proširiti determinantu za treći red.
(1) Dodajte drugu kolonu prvoj koloni. Dodajte drugu kolonu trećoj koloni
(2) Proširiti determinantu za treći red.
(3) Stavljamo "minus" u prvi red.
(4) U drugi red dodajte prvi red pomnožen sa 6. Dodajte prvi red u treći red
(5) Proširite determinantu za prvi stupac.
U opštem slučaju, pravilo za izračunavanje determinanti $ n $-tog reda je prilično glomazno. Za determinante drugog i trećeg reda postoje racionalni načini za njihovo izračunavanje.
Proračuni determinanti drugog reda
Da bi se izračunala determinanta matrice drugog reda, potrebno je od umnoška elemenata glavne dijagonale oduzeti proizvod elemenata sekundarne dijagonale:
$$ \ lijevo | \ početak (niz) (ll) (a_ (11)) & (a_ (12)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) \ kraj (niz) \ desno | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ (12) \ cdot a_ (21) $$
Primjer
Vježba. Izračunajte determinantu drugog reda $ \ lijevo | \ početak (niz) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ kraj (niz) \ desno | $
Rješenje.$ \ lijevo | \ početak (niz) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ kraj (niz) \ desno | = 11 \ cdot 5 - (- 2) \ cdot 7 = 55 + 14 = 69 $
Odgovori.$ \ lijevo | \ početak (niz) (rr) (11) & (-2) \\ (7) & (5) \ kraj (niz) \ desno | = 69 $
Metode za izračunavanje determinanti trećeg reda
Postoje takva pravila za izračunavanje determinanti trećeg reda.
Pravilo trougla
Šematski, ovo pravilo se može prikazati na sljedeći način:
Proizvod elemenata u prvoj determinanti koji su povezani pravim linijama uzima se sa znakom plus; slično tome, za drugu odrednicu uzimaju se odgovarajući proizvodi sa predznakom minus, tj.
$$ \ lijevo | \ begin (niz) (ccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (a_ (13)) \\ (a_ (21)) & (a_ (22)) & (a_ (23)) \\ (a_ (31)) & (a_ (32)) & (a_ (33)) \ kraj (niz) \ desno | = a_ (11) a_ (22) a_ (33) + a_ (12) a_ ( 23) a_ (31) + a_ (13) a_ (21) a_ (32) - $$
$$ - a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) -a_ (13) a_ (22) a_ (31) $$
Primjer
Vježba. Izračunajte determinantu $ \ lijevo | \ početak (niz) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (niz) \ desno | $ koristeći metodu trougla.
Rješenje.$ \ lijevo | \ početak (niz) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (niz) \ desno | = 3 \ cdot 1 \ cdot (-2) +4 \ cdot (-2) \ cdot (-1) + $
$$ + 3 \ cdot 3 \ cdot 1 - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot (-2) \ cdot 3-4 \ cdot 3 \ cdot (-2) = 54 $$
Odgovori.
Sarus vlada
Desno od determinante dodaju se prva dva stupca, a proizvodi elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama paralelnim s njom uzimaju se sa znakom plus; i produkti elemenata bočne dijagonale i dijagonala paralelnih s njom, sa predznakom minus:
$$ - a_ (13) a_ (22) a_ (31) -a_ (11) a_ (23) a_ (32) -a_ (12) a_ (21) a_ (33) $$
Primjer
Vježba. Izračunajte determinantu $ \ lijevo | \ početak (niz) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (niz) \ desno | $ koristeći Sarrus pravilo.
Rješenje. 
$$ + (- 1) \ cdot 4 \ cdot (-2) - (- 1) \ cdot 1 \ cdot 1-3 \ cdot 3 \ cdot (-2) -3 \ cdot 4 \ cdot (-2) = 54 $$
Odgovori.$ \ lijevo | \ početak (niz) (rrr) (3) & (3) & (-1) \\ (4) & (1) & (3) \\ (1) & (-2) & (-2) \ end (niz) \ desno | = 54 $
Dekompozicija determinante po redu ili stupcu
Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata niza determinante njihovim algebarskim komplementama. Obično odaberite red/kolona u kojem se nalaze nule. Linija ili kolona duž koje se vrši dekompozicija bit će označena strelicom.
Primjer
Vježba. Proširujući prvi red, izračunajte determinantu $ \ lijevo | \ početak (niz) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ kraj (niz) \ desno | $
Rješenje.$ \ lijevo | \ početak (niz) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ kraj (niz) \ desno | \ lijeva strelica = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) = $
$ 1 \ cdot (-1) ^ (1 + 1) \ cdot \ lijevo | \ početak (niz) (cc) (5) & (6) \\ (8) & (9) \ kraj (niz) \ desno | +2 \ cdot (-1) ^ (1 + 2) \ cdot \ lijevo | \ početak (niz) (cc) (4) & (6) \\ (7) & (9) \ kraj (niz) \ desno | +3 \ cdot (-1) ^ (1 + 3) \ cdot \ lijevo | \ početak (niz) (cc) (4) & (5) \\ (7) & (8) \ kraj (niz) \ desno | = -3 + 12-9 = 0 $
Odgovori.
Ova metoda omogućava da se izračunavanje determinante svede na izračunavanje determinante nižeg reda.
Primjer
Vježba. Izračunajte determinantu $ \ lijevo | \ početak (niz) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ kraj (niz) \ desno | $
Rješenje. Izvršimo sljedeće transformacije na redovima determinante: oduzmimo prve četiri od drugog reda, a od trećeg prvog reda pomnoženog sa sedam, kao rezultat, prema svojstvima determinante, dobijamo determinantu jednaku datog.
$$ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ kraj (niz) \ desno | = \ lijevo | \ begin (niz) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (4-4 \ cdot 1) & (5-4 \ cdot 2) & (6-4 \ cdot 3) \\ ( 7-7 \ cdot 1) & (8-7 \ cdot 2) & (9-7 \ cdot 3) \ kraj (niz) \ desno | = $$
$$ = \ lijevo | \ započeti (niz) (rrr) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (-6) & (-12) \ kraj (niz) \ desno | = \ lijevo | \ begin (niz) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (-3) & (-6) \\ (0) & (2 \ cdot (-3)) & (2 \ cdot (-6)) \ kraj (niz) \ desno | = 0 $$
Determinanta je nula jer su drugi i treći red proporcionalni.
Odgovori.$ \ lijevo | \ početak (niz) (lll) (1) & (2) & (3) \\ (4) & (5) & (6) \\ (7) & (8) & (9) \ kraj (niz) \ desno | = 0 $
Da bi se izračunale determinante četvrtog reda i više, primjenjuje se ili proširenje redova/stupaca, ili svođenje na trouglasti oblik, ili korištenje Laplaceove teoreme.
Dekompozicija determinante na elemente reda ili stupca
Primjer
Vježba. Izračunajte determinantu $ \ lijevo | \ begin (niz) (llll) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (niz) \ desno | $, proširujući ga u elemente nekog reda ili neke kolone.
Rješenje. Prvo, izvršimo elementarne transformacije na redovima determinante, čineći što više nula u redu ili u koloni. Da bismo to učinili, prvo oduzmemo devet trećina od prve linije, pet trećina od druge i tri treće linije od četvrte, dobijemo:
$$ \ lijevo | \ begin (niz) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ end (niz) \ desno | = \ lijevo | \ begin (niz) (cccc) (9-1) & (8-0) & (7-9) & (6-18) \\ (5-5) & (4-0) & (3-5) & (2-10) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ kraj (niz) \ desno | = \ lijevo | \ započeti (niz) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (niz) \ desno | $$
Dobivenu determinantu proširujemo na elemente prvog stupca:
$$ \ lijevo | \ započeti (niz) (rrrr) (0) & (8) & (-2) & (-12) \\ (0) & (4) & (-2) & (-8) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (0) & (4) & (2) & (0) \ end (niz) \ desno | = 0 + 0 + 1 \ cdot (-1) ^ ( 3 + 1) \ cdot \ lijevo | \ započeti (niz) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ kraj (niz) \ desno | + 0 $$
Dobivena determinanta trećeg reda se takođe proširuje u smislu elemenata reda i stupca, nakon što su prethodno dobijene nule, na primjer, u prvoj koloni. Da biste to učinili, oduzmite druga dva reda od prvog reda, a drugi od trećeg:
$$ \ lijevo | \ započeti (niz) (rrr) (8) & (-2) & (-12) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (4) & (2) & (0) \ kraj (niz) \ desno | = \ lijevo | \ početak (niz) (rrr) (0) & (2) & (4) \\ (4) & (-2) & (-8) \\ (0) & (4) & (8) \ end ( niz) \ desno | = 4 \ cdot (-1) ^ (2 + 2) \ cdot \ lijevo | \ početak (niz) (ll) (2) & (4) \\ (4) & (8) \ kraj (niz) \ desno | = $$
$$ = 4 \ cdot (2 \ cdot 8-4 \ cdot 4) = 0 $$
Odgovori.$ \ lijevo | \ begin (niz) (cccc) (9) & (8) & (7) & (6) \\ (5) & (4) & (3) & (2) \\ (1) & (0) & (1) & (2) \\ (3) & (4) & (5) & (6) \ kraj (niz) \ desno | = 0 $
Komentar
Posljednja i pretposljednja odrednica nisu se mogle izračunati, ali se odmah zaključilo da su jednake nuli, jer sadrže proporcionalne nizove.
Svođenje determinante na trouglasti oblik
Uz pomoć elementarnih transformacija nad redovima ili stupcima, determinanta se svodi na trouglasti oblik, a zatim je njena vrijednost, prema svojstvima determinante, jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.
Primjer
Vježba. Izračunajte determinantu $ \ Delta = \ lijevo | \ begin (niz) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ end (niz) \ desno | $ čineći ga trouglastim.
Rješenje. Prvo pravimo nule u prvom stupcu ispod glavne dijagonale. Sve transformacije će biti lakše ako je element $ a_ (11) $ jednak 1. Da bismo to učinili, zamijenit ćemo prvi i drugi stupac determinante, što će, prema svojstvima determinante, dovesti do činjenice da će promijeniti svoj predznak u suprotan:
$$ \ Delta = \ lijevo | \ begin (niz) (rrrr) (- 2) & (1) & (3) & (2) \\ (3) & (0) & (-1) & (2) \\ (-5) & ( 2) & (3) & (0) \\ (4) & (-1) & (2) & (-3) \ kraj (niz) \ desno | = - \ lijevo | \ begin (niz) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (2) & (- 5) & (3) & (0) \\ (-1) & (4) & (2) & (-3) \ kraj (niz) \ desno | $$
$$ \ Delta = - \ lijevo | \ begin (niz) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (- 1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ kraj (niz) \ desno | $$
Zatim dobijamo nule u drugom stupcu umjesto elemenata ispod glavne dijagonale. Opet, ako je dijagonalni element jednak $ \ pm 1 $, tada će proračuni biti lakši. Da bismo to učinili, mijenjamo drugi i treći red (i istovremeno mijenjamo u suprotan predznak determinante):
$$ \ Delta = \ lijevo | \ započeti (niz) (rrrr) (1) & (-2) & (3) & (2) \\ (0) & (-1) & (-3) & (-4) \\ (0) & (3) & (-1) & (2) \\ (0) & (2) & (5) & (-1) \ kraj (niz) \ desno | $$
SVOJSTVO 1. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se svi njeni redovi zamijene kolonama, a svaki red zameni kolonom sa istim brojem, tj.
SVOJSTVO 2. Permutacija dva stupca ili dva reda determinante je ekvivalentna množenju sa -1. Na primjer,
.
SVOJSTVO 3. Ako determinanta ima dva identična stupca ili dva identična reda, onda je jednaka nuli.
SVOJSTVO 4. Množenje svih elemenata jedne kolone ili jednog reda determinante bilo kojim brojem k je ekvivalentno množenju determinante ovim brojem k. Na primjer,
.
SVOJSTVO 5. Ako su svi elementi neke kolone ili nekog reda jednaki nuli, onda je i sama determinanta jednaka nuli. Ova nekretnina je poseban slučaj prethodni (za k = 0).
SVOJSTVO 6. Ako su odgovarajući elementi dva stupca ili dva reda determinante proporcionalni, onda je determinanta jednaka nuli.
SVOJSTVO 7. Ako je svaki element n-te kolone ili n-tog reda determinante zbir dva člana, tada se determinanta može predstaviti kao zbir dvije determinante, od kojih jedna u n-tom stupcu ili , odnosno, u n-tom redu ima prvi od navedenih pojmova, a drugi - drugi; elementi na preostalim mjestima su isti za prekretnice tri determinante. Na primjer,
SVOJSTVO 8. Ako elementima neke kolone (ili nekog reda) dodamo odgovarajuće elemente druge kolone (ili drugog reda), pomnožene bilo kojim zajedničkim faktorom, tada se vrijednost determinante neće promijeniti. Na primjer,
.
Dalja svojstva determinanti vezana su za koncept algebarskog komplementa i minora. Minor određenog elementa je determinanta dobijena iz datog brisanjem reda i kolone na čijem se preseku nalazi ovaj element.
Algebarski komplement bilo kojeg elementa determinante jednak je minoru ovog elementa, uzetom sa svojim predznakom, ako je zbroj brojeva reda i stupca na čijem se presjeku element nalazi paran broj, i sa suprotnim predznakom ako je ovaj broj neparan.
Algebarsku dopunu elementa označit ćemo velikim slovom istog imena i istog broja kao i slovo koje označava sam element.
SVOJSTVO 9. Odrednica
jednak je zbiru proizvoda elemenata bilo koje kolone (ili reda) njihovim algebarskim komplementama.
Drugim riječima, vrijede sljedeće jednakosti:
, ,
, .
6) Minori i algebarski dodaci.
Definicija. Manji element determinante je th red su pozvani odrednica- ti red, koji se dobija iz datog odrednica precrtavanjem -tog reda i -tog stupca na čijem presjeku element stoji.
Oznaka:.
Definicija. Algebarski komplement elementa determinante reda naziva se njegov minor, uzima se sa znakom plus ako je paran broj i sa znakom minus u suprotnom.
Oznaka:.
Teorema. (O proširenju determinante.)
Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg retka (ili bilo kojeg stupca) determinante po njihovim algebarskim komplementima:
7) Inverzna matrica- takav matrica A −1 , kada se pomnoži s kojim, originalna matrica A rezultira u matrica identiteta E:
Kvadratna matrica je reverzibilan ako i samo ako je nedegenerisan, odnosno njegov odrednica nije nula. Za nekvadratne matrice i degenerisane matrice ne postoje inverzne matrice. Međutim, moguće je generalizirati ovaj koncept i uvesti ga pseudoinverzne matrice, slično inverznom u mnogim svojstvima.
8)Matrix rang- najviši red maloljetnici ove nenulte matrice
Obično se rang matrice označava sa () ili. Obje oznake su nam došle iz stranih jezika, pa se obje mogu koristiti.
Svojstva
Teorema (o osnovnom minoru): Neka je r = rang A M osnovni minor matrice A, tada:
osnovni redovi i osnovni stupci su linearno nezavisni;
bilo koji red (kolona) matrice A je linearna kombinacija osnovnih redova (kolona).
Ovo su svojstva koja se obično koriste za izračunavanje determinanti u standardnom kursu više matematike. Ovo je pomoćna tema na koju ćemo se po potrebi pozivati u ostatku odjeljaka.
Dakle, neka određena kvadratna matrica $ A_ (n \ puta n) = \ lijevo (\ begin (niz) (cccc) a_ (11) & a_ (12) & \ ldots & a_ (1n) \\ a_ (21) & a_ (22) & \ ldots & a_ (2n) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ a_ (n1) & a_ (n2) & \ ldots & a_ (nn) \\ \ end ( niz) \ desno) $. Svaka kvadratna matrica ima karakteristiku koja se zove determinanta (ili determinanta). Ovdje neću ulaziti u suštinu ovog koncepta. Ako je potrebno pojašnjenje, molim vas da se odjavite o tome na forumu, a ja ću dodirnuti ovaj problem detaljnije.
Determinanta matrice $ A $ označava se kao $ \ Delta A $, $ | A | $ ili $ \ det A $. Determinantni poredak jednak je broju redova (kolona) u njemu.
- Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se njeni redovi zamijene odgovarajućim stupcima, tj. $ \ Delta A = \ Delta A ^ T $.
prikaži \ sakrij
Zamenimo redove kolonama u njemu po principu: "bio je prvi red - prva kolona je postala", "bio je drugi red - postala je druga kolona":
Izračunajmo rezultujuću determinantu: $ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \ kraj (niz) \ desno | = 2 \ cdot 4-9 \ cdot 5 = -37 $. Kao što vidite, vrijednost determinante se nije promijenila od zamjene.
- Ako zamijenite dva reda (kolone) determinante, onda će se predznak determinante promijeniti u suprotan.
Primjer korištenja ovog svojstva: show \ hide
Razmotrimo determinantu $ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ kraj (niz) \ desno | $. Pronađimo njegovu vrijednost koristeći formulu #1 iz teme izračunavanja determinanti drugog i trećeg reda:
$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \ kraj (niz) \ desno | = 2 \ cdot 4-5 \ cdot 9 = -37. $$
Sada zamijenimo prvi i drugi red. Dobijamo determinantu $ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ kraj (niz) \ desno | $. Izračunajmo rezultujuću determinantu: $ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \ kraj (niz) \ desno | = 9 \ cdot 5-4 \ cdot 2 = 37 $. Dakle, vrijednost originalne determinante bila je jednaka (-37), a determinanta sa promijenjenim redoslijedom reda ima vrijednost jednaku $ - (- 37) = 37 $. Predznak identifikatora je promijenjen u suprotan.
- Determinanta u kojoj su svi elementi reda (kolone) jednaki nuli jednaka je nuli.
Primjer korištenja ovog svojstva: show \ hide
Budući da je u determinanti $ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ kraj (niz) \ desno | $ svi elementi treće kolone su nula, tada determinanta je nula, tj. $ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \ kraj (niz) \ desno | = 0 $.
- Determinanta u kojoj su svi elementi određenog reda (kolone) jednaki odgovarajućim elementima drugog reda (kolone) jednaka je nuli.
Primjer korištenja ovog svojstva: show \ hide
Budući da je u determinanti $ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ kraj (niz) \ desno | $ svi elementi prvog reda su jednaki odgovarajućim elemenata drugog reda, tada je determinanta nula, tj. $ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -7 & 10 & 0 \\ 2 & -3 & 18 \ kraj (niz) \ desno | = 0 $.
- Ako su u determinanti svi elementi jednog reda (kolone) proporcionalni odgovarajućim elementima drugog reda (kolone), onda je takva determinanta jednaka nuli.
Primjer korištenja ovog svojstva: show \ hide
Budući da je u determinanti $ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ kraj (niz) \ desno | $ drugi i treći red su proporcionalni, tj. $ r_3 = -3 \ cdot (r_2) $, tada je determinanta nula, tj. $ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 10 & 28 \\ 5 & -3 & 0 \\ -15 & 9 & 0 \ kraj (niz) \ desno | = 0 $.
- Ako svi elementi reda (kolone) imaju zajednički faktor, onda se ovaj faktor može izvaditi iz predznaka determinante.
Primjer korištenja ovog svojstva: show \ hide
Razmotrimo determinantu $ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ kraj (niz) \ desno | $. Imajte na umu da su svi elementi drugog reda djeljivi sa 3:
$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ kraj (niz) \ desno | = \ lijevo | \ početak (niz) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ kraj (niz) \ desno | $$
Broj 3 je zajednički faktor svih elemenata u drugom redu. Izvadimo tri za znak determinante:
$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \ kraj (niz) \ desno | = \ lijevo | \ početak (niz) (cc) -7 & 10 \\ 3 \ cdot (-3) & 3 \ cdot 7 \ kraj (niz) \ desno | = 3 \ cdot \ lijevo | \ početak (niz) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \ kraj (niz) \ desno | $$
- Odrednica se neće promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog reda (kolone), pomnoženi proizvoljnim brojem, dodaju svim elementima određenog reda (kolone).
Primjer korištenja ovog svojstva: show \ hide
Razmotrimo determinantu $ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ kraj (niz) \ desno | $. Dodajte elementima drugog reda odgovarajuće elemente trećeg reda, pomnožene sa 5. Napišite ovu akciju na sljedeći način: $ r_2 + 5 \ cdot (r_3) $. Drugi red će biti promijenjen, ostali redovi će ostati nepromijenjeni.
$$ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ kraj (niz) \ desno | \ početak (niz) (l) \ fantom (0) \\ r_2 + 5 \ cdot (r_3) \\ \ fantom (0) \ kraj (niz) = \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 + 5 \ cdot 2 & 21 + 5 \ cdot (-3) & 4 + 5 \ cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \ end (niz) \ desno | = \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \ kraj (niz) \ desno |. $$
- Ako određeni red (kolona) u determinanti sadrži linearnu kombinaciju drugih redova (kolona), tada je determinanta jednaka nuli.
Primjer korištenja ovog svojstva: show \ hide
Odmah da objasnim šta znači izraz "linearna kombinacija". Pretpostavimo da imamo s redova (ili kolona): $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $. Izraz
$$ k_1 \ cdot A_1 + k_2 \ cdot A_2 + \ ldots + k_s \ cdot A_s, $$
gdje se $ k_i \ u R $ naziva linearna kombinacija redova (kolona) $ A_1 $, $ A_2 $, ..., $ A_s $.
Na primjer, razmotrite sljedeću odrednicu:
$$ \ lijevo | \ početak (niz) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0 \\ -2 & -4 & -5 & 1 \\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \ kraj (niz) \ desno | $$
U ovom kvalifikatoru, četvrti red se može izraziti kao linearna kombinacija prva tri reda:
$$ r_4 = 2 \ cdot (r_1) +3 \ cdot (r_2) -r_3 $$
Stoga je determinanta koja se razmatra jednaka nuli.
- Ako je svaki element nekog k-tog reda (k-tog stupca) determinante jednak zbiru dva člana, onda je takva determinanta jednaka zbroju determinanti, od kojih je prva u k-tom redu ( kth kolona) sadrži prve članove, a druga determinanta ima druge članove u k-tom redu (k-tom stupcu). Ostali elementi ovih kvalifikatora su isti.
Primjer korištenja ovog svojstva: show \ hide
Razmotrimo determinantu $ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ kraj (niz) \ desno | $. Zapišimo elemente druge kolone ovako: $ \ left | \ početak (niz) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ kraj (niz) \ desno | $. Tada je takva determinanta jednaka zbroju dvije determinante:
$$ \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 10 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \ kraj (niz) \ desno | = \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 3 + 7 & 0 \\ -9 & 21 + 0 & 4 \\ 2 & 5 + (- 8) & 1 \ kraj (niz) \ desno | = \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 3 & 0 \\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \ kraj (niz) \ desno | + \ lijevo | \ početak (niz) (ccc) -7 & 7 & 0 \\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \ kraj (niz) \ desno | $$
- Determinanta proizvoda dvije kvadratne matrice istog reda jednaka je proizvodu determinanti ovih matrica, tj. $ \ det (A \ cdot B) = \ det A \ cdot \ det B $. Iz ovog pravila možete dobiti sljedeću formulu: $ \ det \ lijevo (A ^ n \ desno) = \ lijevo (\ det A \ desno) ^ n $.
- Ako je matrica $ A $ nedegenerirana (tj. njena determinanta nije nula), tada je $ \ det \ lijevo (A ^ (- 1) \ desno) = \ frac (1) (\ det A) $.
Formule za izračunavanje determinanti
Za determinante drugog i trećeg reda vrijede sljedeće formule:
\ početak (jednačina) \ Delta A = \ lijevo | \ početak (niz) (cc) a_ (11) & a_ (12) \\ a_ (21) & a_ (22) \ kraj (niz) \ desno | = a_ (11) \ cdot a_ (22) -a_ ( 12) \ cdot a_ (21) \ kraj (jednačina) \ početak (jednačina) \ početak (poravnano) & \ Delta A = \ lijevo | \ begin (niz) (ccc) a_ (11) & a_ (12) & a_ (13) \\ a_ (21) & a_ (22) & a_ (23) \\ a_ (31) & a_ (32) & a_ (33) \ end (niz) \ desno | = a_ (11) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (33) + a_ (12) \ cdot a_ (23) \ cdot a_ (31) + a_ (21 ) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (13) - \\ & -a_ (13) \ cdot a_ (22) \ cdot a_ (31) -a_ (12) \ cdot a_ (21) \ cdot a_ (33 ) -a_ (23) \ cdot a_ (32) \ cdot a_ (11) \ kraj (poravnano) \ kraj (jednadžba)
Primjeri korištenja formula (1) i (2) nalaze se u temi "Formule za izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda. Primjeri izračunavanja determinanti".
Determinanta matrice $ A_ (n \ puta n) $ može se proširiti u smislu i-ti red koristeći sljedeću formulu:
\ početak (jednačina) \ Delta A = \ suma \ granice_ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (i1) A_ (i1) + a_ (i2) A_ (i2) + \ ldots + a_ (in) A_ (in) \ kraj (jednačina)
Analog ove formule postoji i za kolone. Formula za proširenje determinante u j-toj koloni je sljedeća:
\ početak (jednačina) \ Delta A = \ suma \ granice_ (i = 1) ^ (n) a_ (ij) A_ (ij) = a_ (1j) A_ (1j) + a_ (2j) A_ (2j) + \ ldots + a_ (nj) A_ (nj) \ kraj (jednačina)
Pravila izražena formulama (3) i (4) detaljno su ilustrovana primjerima i objašnjena u temi Smanjenje reda determinante. Dekompozicija determinante po redu (kolona).
Naznačimo još jednu formulu za izračunavanje determinanti gornje trouglaste i donje trouglaste matrice (za objašnjenje ovih pojmova vidi temu "Matrice. Vrste matrica. Osnovni pojmovi"). Odrednica takve matrice jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali. primjeri:
\ započeti (poravnati) & \ lijevo | \ početak (niz) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \ kraj (niz) \ desno | = 2 \ cdot 9 \ cdot 4 \ cdot (-6) = - 432. \\ & \ lijevo | \ početak (niz) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \ kraj (niz) \ desno | = -3 \ cdot 0 \ cdot 1 \ cdot 10 = 0. \ kraj (poravnano)
