Byl jsem líný. Aby děti zaměstnal na dlouhou dobu a aby si sám zdřímnul, požádal je, aby sečetly čísla od 1 do 100.
Gauss rychle odpověděl: 5050. Tak rychle? Učitel tomu nevěřil, ale mladý génius měl pravdu. Sčítání všech čísel od 1 do 100 je pro slabochy! Gauss našel vzorec:
$$ \ sum_ (1) ^ (n) = \ frac (n (n + 1)) (2) $$
$$ \ sum_ (1) ^ (100) = \ frac (100 (100 + 1)) (2) = 50 \ cdot 101 = 5050 $$
jak to udělal? Zkusme to zjistit na příkladu částky od 1 do 10.
První metoda: rozdělte čísla do dvojic
Zapišme čísla od 1 do 10 jako matici se dvěma řádky a pěti sloupci:
$$ \ vlevo (\ začátek (pole) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 \ konec (pole) \ vpravo) $$
Zajímavé je, že součet každého sloupce je 11 nebo $ n + 1 $. A existuje 5 takových dvojic čísel nebo $ \ frac (n) (2) $. Dostaneme náš vzorec:
$$ Počet \ Sloupce \ cdot Součet \ Čísla \ v \ Sloupce = \ frac (n) (2) \ cdot (n + 1) $$
Pokud lichý počet termínů?
Co když sečtete čísla od 1 do 9? K vytvoření pěti dvojic nám chybí jedno číslo, ale můžeme vzít nulu:
$$ \ vlevo (\ začátek (pole) (c) 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \ konec (pole) \ vpravo) $$
Součet sloupců je nyní 9 nebo přesně $ n $. A počet sloupců? Stále existuje pět sloupců (díky nule!), Ale nyní je počet sloupců $ \ frac (n + 1) (2) $ (y máme $ n + 1 $ a poloviční počet sloupců).
$$ Počet \ sloupce \ cdotSum \ čísla \ v \ sloupcích = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$
Druhý způsob: zdvojnásobit a napsat na dva řádky
Součet čísel počítáme v těchto dvou případech trochu jinak.
Možná existuje způsob, jak spočítat součet stejným způsobem pro sudý a lichý počet členů?
Místo toho, abychom z čísel dělali jakousi „smyčku“, zapišme je na dva řádky, přičemž počet čísel vynásobíme dvěma:
$$ \ vlevo (\ začátek (pole) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ konec (pole) \ vpravo) $$
Pro zvláštní případ:
$$ \ vlevo (\ začátek (pole) (c) 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \ konec (pole) \ vpravo) $$
Je vidět, že v obou případech je součet sloupců $ n + 1 $ a počet sloupců $ n $.
$$ Počet \ sloupce \ cdot Součet \ čísla \ v \ sloupcích = n \ cdot (n + 1) $$
Potřebujeme však pouze součet jednoho řádku, takže:
$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$
Třetí způsob: vytvořte obdélník
Je tu ještě jedno vysvětlení, zkusme křížky složit, řekněme, že máme křížky:
Vypadá to jen jako jiné znázornění druhého způsobu - každá následující čára pyramidy má více křížků a méně nul. Počet všech křížků a nul je plocha obdélníku.
$$ Oblast = Výška \ cdot Šířka = n \ cdot (n + 1) $$
Ale potřebujeme součet křížků, takže:
$$ \ frac (n \ cdot (n + 1)) (2) $$
Čtvrtý způsob: aritmetický průměr
Známé: $ Průměr \ Aritmetika = \ frac (Součet) (Počet \ Členové) $
Potom: $ Součet = střední hodnota \ aritmetika \ cdot Počet \ členové $
Známe počet členů - $ n $. Jak vyjádřit aritmetický průměr?
Všimněte si, že čísla jsou rovnoměrně rozložena. Pro každé velké číslo je na druhém konci jedno malé.
1 2 3, průměr 2
1 2 3 4, průměr 2,5
V tomto případě je aritmetický průměr aritmetickým průměrem čísel 1 a $ n $, tedy $ Průměr \ aritmetický = \ frac (n + 1) (2) $
$$ Součet = \ frac (n + 1) (2) \ cdot n $$
Pátá cesta: integrál
Všichni víme, že určitý integrál počítá součet. Spočítejme součet od 1 do 100 integrálem? Ano, ale nejprve najdeme alespoň součet od 1 do 3. Nechť jsou naše čísla funkcí y (x). Nakreslíme obrázek:
Výšky tří obdélníků jsou přesně čísla od 1 do 3. Nakreslete přímku středem „čepic“:
Bylo by hezké najít rovnici této přímky. Prochází body (1.5; 1) a (2.5; 2). $ y = k \ cdot x + b $.
$$ \ začátek (případy) 2,5k + b = 2 \\ 1,5k + b = 1 \ konec (případy) \ Šipka doprava k = 1; b = -0,5 $$
Rovnice přímky, kterou můžeme aproximovat naše obdélníky, je tedy $ y = x-0,5 $
Žluté trojúhelníky z obdélníků odřízne, ale shora k nim „přidá“ modré. Žlutá rovná se modrá. Nejprve se ujistěte, že použití integrálu vede k Gaussově vzorci:
$$ \ int_ (1) ^ (n + 1) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2 )) (|) ^ (n + 1) _ (1) = \ frac ((n + 1) ^ (2)) (2) - \ frac (n + 1) (2) = \ frac (n ^ ( 2) + 2n + 1-n-1) (2) = \ frac (n ^ (2) + n) (2) $$
Nyní spočítejme součet od 1 do 3, za x vezmeme od 1 do 4, takže všechny naše tři obdélníky padnou do integrálu:
$$ \ int_ (1) ^ (4) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (4) _ (1) = \ frac (4 ^ (2)) (2) -2- (0,5-0,5) = 6 $$
$$ \ int_ (1) ^ (101) (x- \ frac (1) (2)) \, dx = (\ frac (x ^ (2)) (2) - \ frac (x) (2)) (|) ^ (101) _ (1) = \ frac (101 ^ (2)) (2) -50,5- (0,5-0,5) = 5100,5-50,5 = 5050 $$
A proč je to všechno nutné?
$$ \ frac (n (n + 1)) (2) = \ frac (n ^ (2)) (2) + \ frac (n) (2) $$
První den na váš web přišel jeden člověk, druhý den dva... Každý den se počet návštěv zvýšil o 1. Kolik návštěv získá stránka do konce 1000. dne?
$$ \ frac (n (n + 1)) (2) = \ frac (n ^ (2)) (2) + \ frac (n) (2) = \ frac (1000 ^ (2)) (2) + \ frac (1000) (2) = 500 000 + 500 = 500 500 $$
Cyklus „Zábavná matematika“ je věnován dětem, které mají rády matematiku, a rodičům, kteří věnují čas rozvoji svých dětí, „házejí“ jim zajímavé a zábavné úkoly a hádanky.
První článek této série je věnován Gaussovu pravidlu.
Trocha historie
Slavný německý matematik Karl Friedrich Gauss (1777-1855) se od svých vrstevníků lišil již od raného dětství. Navzdory skutečnosti, že pocházel z chudé rodiny, naučil se číst, psát a počítat dostatečně brzy. V jeho životopise je dokonce zmínka o tom, že ve věku 4-5 let dokázal opravit chybu v chybných výpočtech svého otce, a to pouhým pozorováním.
Jeden z jeho prvních objevů učinil ve věku 6 let v hodině matematiky. Učitel potřeboval děti zaujmout na dlouhou dobu a navrhl následující problém:
Najděte součet všech přirozených čísel od 1 do 100.
Mladý Gauss se s tímto úkolem vypořádal dostatečně rychle a našel zajímavý vzorec, který se rozšířil a dodnes se používá v ústním počítání.
Pokusme se tento problém vyřešit ústně. Nejprve si ale vezměme čísla od 1 do 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Podívejte se pozorně na toto množství a zkuste uhodnout, co neobvyklého mohl Gauss vidět? Chcete-li odpovědět, musíte mít dobrou představu o složení čísel.
Gauss seskupil čísla takto:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Malý Karl tak dostal 5 párů čísel, z nichž každý jednotlivě dává dohromady 11. K výpočtu součtu přirozených čísel od 1 do 10 pak potřebujete
Vraťme se k původnímu problému. Gauss si všiml, že před sčítáním je nutné seskupovat čísla do dvojic, a tak vymyslel algoritmus, díky kterému můžete rychle sčítat čísla od 1 do 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Najděte počet dvojic v řadě přirozených čísel. V tomto případě je jich 50.
Shrneme první a poslední číslo této série. V našem příkladu jsou to 1 a 100. Dostaneme 101.
Výsledný součet prvního a posledního členu v řadě vynásobíme počtem dvojic v této řadě. Dostaneme 101 * 50 = 5050
Součet přirozených čísel od 1 do 100 je tedy 5050.
Problémy při použití Gaussova pravidla
A nyní vám nabízíme problémy, ve kterých se v té či oné míře používá Gaussovo pravidlo. Žák čtvrté třídy je docela schopný tyto problémy pochopit a vyřešit.
Můžete dát dítěti příležitost, aby samo uvažovalo, aby toto pravidlo "vynalezlo" samo. Nebo to můžete rozebrat a uvidíte, jak to dokáže aplikovat. Mezi níže uvedenými úkoly jsou příklady, ve kterých musíte pochopit, jak upravit Gaussovo pravidlo, aby bylo aplikováno na danou sekvenci.
V každém případě, aby s tím dítě ve svých výpočtech mohlo operovat, je nutné pochopit Gaussův algoritmus, tedy schopnost správně se rozdělit do dvojic a počítat.
Důležité! Pokud si vzorec zapamatujete bez porozumění, velmi rychle se zapomene.
Problém 1
Najděte součet čísel:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Řešení.
Nejprve můžete dát dítěti příležitost, aby si první příklad vyřešilo samo, a nabídnout mu, že najde způsob, jak to snadno udělat v mysli. Dále analyzujte tento příklad společně s dítětem a ukažte, jak to Gauss udělal. Nejlepší je pro názornost si zapsat řadu a spojit dvojice čísel úsečkami, které dávají dohromady stejné číslo. Je důležité, aby dítě pochopilo, jak se tvoří dvojice – ze zbývajících čísel bereme nejmenší a největší za předpokladu, že počet čísel v řadě je sudý.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Úkol2
K dispozici je 9 závaží 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Je možné rozdělit tyto závaží na tři hromádky stejné hmotnosti?
Řešení.
Pomocí Gaussova pravidla najdeme součet všech vah:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (d)
Pokud tedy dokážeme seskupit závaží tak, aby každá hromádka obsahovala závaží o celkové hmotnosti 15g, pak je problém vyřešen.
Jedna z možností:
- 9g, 6g
- 8g, 7g
- 5 g, 4 g, 3 g, 2 g, 1 g
Najděte další možné možnosti sami se svým dítětem.
Věnujte pozornost dítěti tomu, že při řešení takových problémů je lepší vždy začít seskupovat s větší váhou (číslem).
Problém 3
Je možné rozdělit ciferník hodin přímkou na dvě části tak, aby se součty čísel v každé části rovnaly?
Řešení.
Nejprve použijte Gaussovo pravidlo na řadu čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: najděte součet a zjistěte, zda je dělitelný 2:
Můžete se tedy rozdělit. Nyní se podívejme jak.
Proto je nutné na ciferníku nakreslit čáru tak, aby do jedné poloviny padly 3 páry a do druhé tři.
Odpověď: čára bude probíhat mezi čísly 3 a 4 a poté mezi čísly 9 a 10.
Úkol4
Je možné na ciferníku hodinek nakreslit dvě rovné čáry tak, aby v každé části byl součet čísel stejný?
Řešení.
Pro začátek použijte Gaussovo pravidlo na řadu čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: najděte součet a zjistěte, zda je dělitelný 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 je dělitelné 3 beze zbytku, takže můžete dělit. Nyní se podívejme jak.
Podle Gaussova pravidla dostaneme 6 dvojic čísel, z nichž každé dává dohromady 13:
1 a 12, 2 a 11, 3 a 10, 4 a 9, 5 a 8, 6 a 7.
Proto je potřeba na ciferník nakreslit čáry tak, aby do každého dílu padly 2 páry.
Odpověď: první řádek bude probíhat mezi čísly 2 a 3 a poté mezi čísly 10 a 11; druhý řádek je mezi čísly 4 a 5 a poté mezi 8 a 9.
Problém 5
Letí hejno ptáků. Vpředu je jeden pták (vůdce), následovaný dvěma, pak třemi, čtyřmi atd. Kolik ptáků je v hejnu, je-li jich 20 v poslední řadě?
Řešení.
Dostaneme, že potřebujeme sečíst čísla od 1 do 20. A pro výpočet takového součtu můžete použít Gaussovo pravidlo:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Problém 6
Jak umístit 45 králíků do 9 klecí, aby všechny klece měly různý počet králíků?
Řešení.
Pokud se dítě rozhodlo a s porozuměním pochopilo příklady z úkolu 1, pak si hned pamatuje, že 45 je součet čísel od 1 do 9. Králíky tedy sázíme takto:
- první buňka je 1,
- druhý - 2,
- třetí - 3,
- osmý - 8,
- devátý - 9.
Ale pokud na to dítě nemůže okamžitě přijít, zkuste ho přimět k myšlence, že takové problémy lze vyřešit hrubou silou a musí se začít s minimálním počtem.
Problém 7
Vypočítejte součet pomocí Gaussova triku:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Řešení.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Problém 8
K dispozici je sada 12 závaží 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. Ze sady byla odstraněna 4 závaží, jejichž celková hmotnost je rovna jedné třetině celkové hmotnosti celé sady závaží. Je možné umístit zbývající závaží na dvě váhy po 4 kusech na každou pánev tak, aby byly v rovnováze?
Řešení.
Pro zjištění celkové hmotnosti závaží použijeme Gaussovo pravidlo:
1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (d)
Vypočítáme hmotnost odstraněných závaží:
Zbývající závaží (s celkovou hmotností 78-26 = 52 g) proto musí být umístěno 26 g na každou misku váhy, aby byly v rovnováze.
Nevíme, která závaží byla odstraněna, takže musíme zvážit všechny možné možnosti.
Pomocí Gaussova pravidla lze závaží rozdělit na 6 párů stejné hmotnosti (13 g každý):
1d a 12d, 2d a 11d, 3d a 10, 4d a 9d, 5d a 8d, 6d a 7d.
Pak je nejlepší varianta, když se při sejmutí 4 závaží odeberou dva páry z výše uvedených. V tomto případě budeme mít 4 páry: 2 páry na jedné stupnici a 2 páry na druhé.
Nejhorší scénář je, když 4 odstraněná závaží rozbijí 4 páry. Budeme mít 2 nerozbité páry o celkové hmotnosti 26g, to znamená, že je dáme na jednu misku váhy a zbylá závaží můžeme dát na druhou váhu a budou mít také 26g.
Hodně štěstí ve vývoji vašich dětí.
Dnes se podíváme na jeden z matematických problémů, který jsem musel vyřešit se svým synovcem. A pak to implementujeme přes PHP. A zvážíme několik možností řešení tohoto problému.
Úkol:
Musíte rychle sečíst všechna čísla od 1 do 100 jedno po druhém a zjistit součet všech čísel.
Řešení problému:
Ve skutečnosti, když jsme tento problém řešili poprvé, nevyřešili jsme ho správně! O špatném řešení tohoto problému ale psát nebudeme.
A řešení je tak jednoduché a triviální - je třeba sečíst 1 a 100 a vynásobit 50. (Karl Gaus měl takové řešení, když byl velmi mladý ...)
(1 + 100)*50.
Jak vyřešit tento problém pomocí php?
Vypočítejte součet všech čísel od 1 do 100 přes PHP.
Když už jsme tento problém vyřešili, rozhodli jsme se podívat, co o tomto problému píší na internetu! A našel jsem nějakou formu, kde mladí talenti nedokázali tento problém vyřešit, a zkusil jsem to udělat pomocí cyklu.
Pokud neexistuje žádná zvláštní podmínka pro to, abyste to udělali přes smyčku, pak nemá smysl to dělat přes smyčku!
A ano! Nezapomeňte, že v php můžete problém vyřešit mnoha způsoby! jeden.
Tento kód může přidat libovolnou posloupnost čísel obecně, počínaje jednou a až do nekonečna.
Pojďme implementovat naše řešení v jeho nejjednodušší podobě:
$ konec = $ _POST ["peremennaya"];
$ res = $ konec / 2 * ($ i + $ konec);
