Konstrukce matrice na náměstí. Výstavba matice do stupně online

Je třeba poznamenat, že mohou být poskytnuty pouze čtvercové matrice. Stejný počet řádků a sloupců - požadovaný stav Pro konstrukci matrice do stupně. Během výpočtu bude matrice vynásobena požadovaným počtem časů.

. \\ T online kalkulačka Je určena k provedení konstrukce matrice v rozsahu. Díky svému použití se tímto úkolem nejen rychle vyrovnat s tímto úkolem, ale také získat vizuální a nasazení pokroku pokroku. To pomůže lépe konsolidovat materiál získaný v teorii. Vidět podrobný algoritmus výpočtů, budete lépe porozumět všem jeho subtleties a následně neumožňují chybu v ručním výpočtu. Kromě toho nebude nikdy nadbytečný, aby se dvakrát zkontroloval jejich výpočty a je také nejlepší cvičit zde.

Za účelem vybudování matice do online stupně budete potřebovat řadu jednoduchých akcí. Nejprve zadejte velikost matice kliknutím na ikony "+" nebo "-" vlevo od něj. Poté zadejte čísla v poli Matrix. Musíte také určit titul, ve kterém je matrice postavena. A pak můžete kliknout pouze na tlačítko: "Vypočítat" v dolní části pole. Získaný výsledek bude spolehlivý a přesný, pokud budete pečlivě a správně zadáni všechny hodnoty. Společně s ním budete poskytnuti podrobným dekódovacím řešením.

Lineární algebra pro konvice

Studovat lineární algebru, můžete si přečíst a ponořit se do knihy I. V. BeloSov "Matrice a Deterpetes". Nicméně, to je napsáno s přísným a suchým matematickým jazykem, který lidé s prostřední myslí trvat tvrdě. Proto jsem učinil zachování nejtěžšího pochopení míst této knihy, snažil se dát materiál co nejjasnější, co nejvíce pomocí výkresů. Důkazy o větru, které jsem snížil. Abych jim přiznal, já jsem jim nerozuměl. Věřte pan Belousov! Posuzování jeho prací je kompetentní a rozumný matematik. Můžete si stáhnout jeho knihu http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/belousov2006Ru.pdf.Pokud se chystáte ponořit do své práce, je třeba udělat, protože se často odkazuji na BeloSov.

Začněme s definicemi. Co je to matice? Jedná se o obdélníkovou tabulku čísel, funkcí nebo algebraických výrazů. Proč potřebujete matice? Velice usnadňují komplexní matematické výpočty. Matrice používá struny a sloupce (obr. 1).

Řádky a sloupce jsou očíslovány, počínaje vlevo

shora (obr. 1-1). Když říkají: matrice velikosti m n (nebo m za n) je implikována pod m počet řetězcůa pod. n počet sloupců. Matice na obr. 1-1 například má velikost "4 až 3", a ne "3 až 4".

Viz obr. 1-3, jaké jsou matrice. Pokud se matrice skládá z jednoho řádku, nazývá se řetězec matrice, a pokud je z jednoho sloupce, pak sloupec matrice. Matrice se nazývá čtverec n-th, pokud počet řádků je roven počtu sloupců a roven N. Pokud jsou všechny matrice prvky nulové, pak se jedná o nulovou matrici. Čtvercová matice se nazývá diagonální, pokud je nula rovná všem svým prvkům, s výjimkou těch, které se nachází na hlavní diagonále.

Vysvětlete, co je hlavní diagonální. Na ní jsou řádky a sloupce stejné. To jde zleva doprava od shora dolů. (Obr. 3) Prvky se nazývají diagonální, pokud jsou umístěny na hlavní diagonále. Pokud jsou všechny diagonální prvky stejné (a zbývající nuly), matrice se nazývá jeden. Dva matice A a B stejná velikost Nazývané stejné, pokud jsou všechny jejich prvky stejné.

2 operace na matricích a jejich vlastnostech

Práce matice k číslu X je matrice stejné velikosti. Chcete-li získat tento produkt, musíte znásobit každý prvek na toto číslo (obr. 4). Chcete-li získat součet dvou matric stejné velikosti, musíte přidat jejich odpovídající prvky (obr. 4). Pro získání rozdílu A - B dvou matric stejné velikosti musíte znásobit matici B do -1 a přidat výslednou matrici s matricí A (obr. 4). Pro operace na matricích jsou vlastnosti platné: A + B \u003d B + A (komutativní vlastnost).

(A + B) + C \u003d A + (B + C) (vlastnost asociativity). Jednoduchým, mluvením, částka se nemění ze změny míst. Pro operace na matricích a číslech jsou vlastnosti platné:

(Označeno počtem písmen X a Y a maticová písmena A a B) X (ya) \u003d (xy) a

Tyto vlastnosti jsou podobné vlastnostem působícím na operace přes čísla. Vidět

příklady na obrázku 5. Také viz příklady 2.4 - 2.6 Belousov na straně 9.

Matice násobení.

Vynásobení dvou matric je definováno pouze pak (přeloženo do ruštiny: matrice mohou být vynásobeny pouze pak), když se počet sloupců první matrice v práci rovná počtu řetězců druhého (obr. 7, na obr. 7 Top, modré závorky). Chcete-li si lépe zapamatovat: Obrázek 1 je spíš jako sloupec.V důsledku násobení se získá matrice velikosti (viz obrázek 6). Aby bylo jednodušší pamatovat si, co potřebujete pro násobit, navrhuji následující algoritmus: Podíváme se na obrázek 7. Vynásobíme matici A na matrici B.

matice dvě sloupce,

v matrici B dva řádky - můžete násobit.

1) Budeme se zabývat prvním sloupcem matice B (má pouze to pouze). Tento sloupec píšeme v řetězci (transponujeme

sloupec, o provedení přímo pod).

2) Zkopírujte tento řetězec tak, abychom máme matici s matricí A.

3) Vynásobte prvky této matrice na odpovídající prvky matrice A.

4) Složit výsledné práce v každém řádku a dostat sematice-práce dvou řádků a jeden sloupec.

Obrázek 7-1 ukazuje příklady násobení matric, které jsou více než bělejší.

1) Zde na první matice tři sloupce to znamená, že druhý musí mít tři řádky. Algoritmus je přesně stejný, že v předchozím příkladu pouze v každém řádku tři termíny, a ne dva.

2) Zde má druhá matice dva sloupce. Za prvé, děláme algoritmus s prvním sloupcem, pak s druhou, a dostaneme "dvě dvě" matice.

3) Zde na druhé matici se sloupec skládá z jednoho prvku, sloupec se nezmění z transpozice. A není nutné nic dát, protože v první matici pouze jeden sloupec. Algoritmus děláme třikrát a získáme "tři tři" matrice.

Probíhají následující vlastnosti:

1. Pokud existují součet B + C a AB výrobek, pak A (B + C) \u003d AB + AC

2. Pokud existuje produkt AB, X (AB) \u003d (XA) B \u003d A (XB).

3. Pokud práce AB a BC existují, pak A (BC) \u003d (AB) C.

Pokud produkt AB matric existuje, pak produkt BA nemusí existovat. Dokonce i díla AB a BA existují, mohou být matrice různých velikostí.

Obě práce AB a BA existují a jsou matrice stejné velikosti pouze v případě čtvercových matric A a B ve stejném pořadí. I v tomto případě však AB nemusí být roven BA.

V roce stupně

Výstavba matice do stupně dává smysl pouze pro čtvercové matice (přemýšlet o proč?). Pak celé pozitivní stupeň M matrice A je produkt matric m rovné A. Stejně jako čísla. Pod nulovým stupněm čtvercové matrice A je jediná matrice stejného řádu jako A. Pokud zapomněl, co je jediná matrice, podívejte se na Obr. 3.

Také jako v číslech probíhají následující poměry:

MA k \u003d a m + k (a m) k \u003d mk

Podívejte se na příklady BelOstov na straně 20.

Transpoze matric

Transpozice - tato přeměna matrice A v matrici v Matrixu,

ve kterých řetězce matice A jsou zaznamenány ve sloupcích ve sloupcích při zachování objednávky. (Obr. 8). Můžete říci jinak:

sloupce matice A jsou zaznamenány v řádcích v matrici se zachováním řádu. Všimněte si, že při přenosu změn velikosti matice, tj. Počet řádků a sloupců. Všimněte si také, že prvky na prvním řádku, první sloupec a poslední řádek, poslední sloupec zůstane na místě.

Proběhnou následující vlastnosti: (at) t \u003d a (transpondér

matice dvakrát - dostanete stejnou matici)

(A + b) t \u003d at + bt (ab) t \u003d bt at

Symetrické a antisymetrické matrice

Obrázek 9 v horní části vlevo ukazuje symetrickou matrici. Jeho prvky, symetrické relativní vůči hlavní diagonální, jsou stejné. A nyní Definice: Čtvercová matice

A se nazývá symetrická, pokud at \u003d a. To znamená, že symetrická matice během transpoze se nemění. Zejména symetrický je jakákoliv diagonální matrice. (Taková matice je znázorněna na obr. 2).

Nyní se podívejte na antisymetrickou matrici (obr. 9, dno). Co se liší od symetrického? Upozorňujeme, že všechny jeho diagonální prvky jsou nulové. V antisymetrických matricích jsou všechny diagonální prvky nulové. Myslet proč? Definice: Square Matrix A se nazývá

antisymetrický, pokud at \u003d -a. Všimněte si některých vlastností operací přes symetrické a antisymetrické

matrské. 1. Pokud A a B jsou symetrické (antisymetrické) matice, pak A + B je symetrická (antisymetrická) matrice.

2.Pokud A - symetrická (antisymetrická) matrice, pak Xa je také symetrická (antisymetrická) matrice. (Ve skutečnosti, pokud vynásobíte matici z obrázku 9 na některé číslo, symetrie bude stále uložena)

3. Produkt AB ze dvou symetrických nebo dvou antisymetrických matric A a B je matrice symetrická s ab \u003d ba a antisymetrický s ab \u003d-Ba.

4. Pokud A je symetrická matice, pakm (m \u003d 1, 2, 3, ...) - symetrická matrice. Pokud.

Antisymmetrická matrice, pak am (m \u003d 1, 2, 3, ...) Je to symetrická matrice s rovnoměrným im a antisymetrickým - s lichým.

5. Síťová čtvercová matice A může být reprezentována jako součet dvou matric. (Zavolejme tyto matice, například A (S) a A (A))

A \u003d A (S) + A (A)

Zde budeme i nadále spuštěna v první části operací přes matrice a přemýšlíme o pár příkladů, ve kterých budete muset aplikovat několik operací najednou.

Konstrukce matice do stupně.

Nechť k být nezáporný počet. Pro všechny čtvercové matice $ a_ (n \\ t, n) $ máme: $$ a ^ k \u003d pododík (a cdot a cdot ldots cdot a) _ (k; časy) $$

V tomto případě předpokládáme, že $ a ^ 0 \u003d e $, kde $ e $ je jediná matice odpovídajícího řádu.

Příklad číslo 4.

Sada matic $ A \u003d Levá (Začátek (pole) (CC) 1 & 2 -1 & -3 \\ end (Array) vpravo) $ je nastavena. Najděte matice $ A ^ 2 $ a $ A ^ $ 6.

Podle definice $ A ^ 2 \u003d A CDOT A $, tj. Chcete-li najít $ A ^ $ 2 $, musíme jen vynechat $ A $ Matice pro sebe. Násobení operace matric byl zvažován v první části tématu, takže zde jednoduše napíšeme proces řešení bez podrobných vysvětlení:

$$ A ^ 2 \u003d A CDOT A \u003d Levá (Začátek (pole) (CC) 1 & 2 -1 & -3 \\ end (pole) vpravo) \\ t (CC) 1 & 2 -1 & -3 end (pole) vpravo) \u003d vlevo (začátek (pole) (cc) 1 cdot 1 + 2 cdot (-1) & 1 cdot 2 +2 cdot (-3) -1 cdot 1 + (- 3) cdot (-1) & -1 cdot 2 + (- 3) \\ cdot (-3) \\ end (array) \\ t ) \u003d vlevo (začít (pole) (CC) -1 & -4 \\ t 2 & 7 ukončení (array) vpravo). $$.

Chcete-li najít matici $ A ^ $ 6, máme dvě možnosti. Možnost Nejprve: Trvitutly i nadále násobit $ A ^ $ 2 na $ A $ Matrix:

$$ a ^ 6 \u003d A ^ 2 cdot a cdot a cdot a cdot A. $$

Je však možné jít poněkud jednodušší prostřednictvím vlastností asociativity násobení matric. Dáváme závorky ve výrazu za $ a ^ $ 6:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 CDOT A CDOT A CDOT A CDOT A \u003d A ^ 2 CDOT (A CDOT A) CDOT (A CDOT A) \u003d A ^ 2 CDOT A ^ 2 Cdot a ^ 2. $$.

Pokud při řešení první metody by byly čtyři násobné operace, pak pro druhou metodu - pouze dva. Promezďme tedy druhou cestou:

$$ A ^ 6 \u003d A ^ 2 CDOT A ^ 2 CDOT A ^ 2 \u003d Levá (Začátek (pole) (CC) -1 & -4 \\ t CDOT vlevo (Začátek (pole) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 End (Array) vpravo) \\ CDOT vlevo (začít (pole) (CC) -1 & -4 \\ t 2 & 7 Konec (Array) vpravo) \u003d \u003d vlevo (začít (pole) (CC) -1 cdot (-1) + (- 4) cdot 2 & -1 cdot (-4) ) + (- 4) CDOT 7 \\\\2 CDOT (-1) +7 CDOT 2 & 2 CDOT (-4) +7 CDOT 7 \\ end (pole) Začněte (Array) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 end (pole) vpravo) \u003d vlevo (začít (pole) (CC) -7 & -24 12 & 41 \\ t Array) vpravo) \\ CDOT vlevo (ZAČÍNÁME) (CC) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 end (pole) vpravo) \u003d \\\\ \u003d vlevo (začít (pole) (cc) ) -7 CDOT (-1) + (- 24) CDOT 2 & -7 \\ CDOT (-4) + (- 24) CDOT 7 12 \\ CDOT (-1) +41 CDOT 2 & 12 CDOT (-4) +41 CDOT 7 \\ Konec (Array) vpravo) \u003d vlevo (Začátek (pole) (CC) -41 & -140 0 & 239 Konec (Array) vpravo). $$.

Odpovědět: $ A ^ 2 \u003d vlevo (začít (pole) (cc) -1 & -4 \\\\ 2 & 7 end (array) vpravo) $, $ a ^ 6 \u003d leve (CC) -41 & -140 0 & 239 ukončení (Array) vpravo) $.

Příklad číslo 5.

MATRIX $ A \u003d Levá (Začátek (pole) (CCCC) 1 & 0 & 0 & -1 & 2 \\\\ 3 & 4 & 5 & 0 ed (Array) vpravo) $, $ b \u003d vlevo (začít) (Array) (CCC) -9 & 1 & 0 \\\\ & -1 & 4 0 & -2 & 3 \\\\ 1 & 5 & 0 end (pole) vpravo) $, $ c \u003d vlevo (Začátek (pole) (CCC) -5 & -20 & 13 \\ t & 12 & 9 3 & -15 & 8 ukončení (array)) $. Najít matice $ d \u003d 2Ab-3c ^ t + 7e $.

Výpočet matice $ D $ začne s nalezením výsledku produktu $ AB $. Matice $ A $ a $ B $ mohou být vynásobena, protože počet sloupců sloupců $ A $ Matrix sloupec je roven počtu řádků matice $ B $. Označte $ f \u003d AB $. V tomto případě bude MATRIX $ F mít tři sloupce a tři řádky, tj Bude to čtverec (pokud se tento výstup zdá nejasný, viz popis násobení matric v první části tohoto tématu). Najdeme $ F $ Matrix, vypočítá všechny své prvky:

$$ f \u003d A cdot b \u003d vlevo (začátek (pole) (cccc) 1 & 0 & 0 & -1 & 2 3 & -2 & 5 & 0 -1 & 4 & -3 & 6 \\ t End (Array) vpravo) CDOT vlevo (Začátek (pole) (CCC) -9 & 1 & 0 2 & -1 & 4 0 & 4 0 & 0 & 3 \\ t Konec (Array) vpravo) začínají (zarovnané) & f_ (11) \u003d 1 cdot (-9) +0 cdot 2 + (- 1) cdot 0 + 2 cdot 1 \u003d -7; & F_ (12) \u003d 1 cdot 1 + 0 cdot (-1) + (- 1) cdot (-2) +2 cdot 5 \u003d 13; & F_ (13) \u003d 1 CDOT 0 + 0 CDOT 4 + (- 1) CDOT 3 + 2 CDOT 0 \u003d -3; \\\\ & f_ (21) \u003d 3 cdot (-9) ) + (- 2) CDOT 2 + 5 CDOT 0 + 0 CDOT 1 \u003d -31; \\\\ & f_ (22) \u003d 3 CDOT 1 + (- 2) cdot (-1) +5 cdot (-2) +0 CDOT 5 \u003d -5; & f_ (23) \u003d 3 CDOT 0 + (- 2) CDOT 4 + 5 CDOT 3 + 0 CDOT 0 \u003d 7; \\\\ & F_ (31) \u003d - 1 \\ cdot (-9) +4 cdot 2 + (- 3) \\ cdot 0 + 6 cdot 1 \u003d 23; & F_ (32) \u003d - 1 cdot 1 + 4 cdot (-1) + (- 3) cdot (-2) +6 cdot 5 \u003d 31; & f_ (33) \u003d - 1 CDOT 0 + 4 CDOT 4 + (- 3) CDOT 3 + 6 CDOT 0 \u003d 7. Konec (zarovnané) $$

Takže, $ f \u003d vlevo (začátek (pole) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\2 & 31 & 7 konec (array)) $. Pojďme dál. MATRIX $ C ^ t $ - transponovaná matice pro $ c $ matice, tj. $ C ^ t \u003d vlevo (začít (pole) (ccc) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 13 & 9 & 8 end (array)) $. Pokud jde o matice $ e $, pak se jedná o jednu matici. V tento případ Pořadí této matrice je tři, tj. $ E \u003d vlevo (začít (pole) (ccc) 1 a 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end (array)) $.

V zásadě můžeme pokračovat v kroku za krokem, ale zbývající výraz je lepší zvážit úplně, aniž by byl rozptýlen pomocnými akcemi. Ve skutečnosti máme pouze operace pro násobení matric pro číslo, jakož i operace přidávání a odčítání.

$$ D \u003d 2AB-3C ^ T + 7E \u003d 2 CDOT vlevo (začít (pole) (CCC) -7 & 13 & -3 \\ t -31 & -5 & 7 \\ t Konec (Array) vpravo) -3 CDOT vlevo (začít (pole) (CCC) -5 & 10 & 3 \\ t - 20 & 12 & -15 \\\\\\1 & 9 & 8 ukončení (array) \\ t Vpravo) +7 cdot vlevo (začít (pole) (ccc) 1 a 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end (array) vpravo) $$

Vynásobte matrice v pravé části rovnosti na odpovídající čísla (tj. 2, 3 a 7):

$$ 2 \\ cdot vlevo (začátek (pole) (CCC) -7 & 13 & -3 \\\\ -31 & -5 & 7 \\\\2 & 31 & 7 konec (array) vpravo) -3 \\ t CDOT vlevo (začít (pole) (CCC) -5 & 10 & 3 \\\\ -20 & 12 & -15 \\\\ -20 & 12 & -15 13 & 9 & 8 end (pole) vpravo) +7 cdot vlevo (\\ t Začněte (pole) (CCC) 1 a 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end (Array) vpravo) \u003d \\\\ \u003d vlevo (začít (pole) (CCC) - 14 & 26 & 14 -62 & -10 & 14 \\ t & 62 & 14 end (array) vpravo) - vlevo (začít (pole) (CCC) -15 & 13 & 9 \\ t 60 & 36 & -45 39 & 27 & 24 ukončení (pole) vpravo) + vlevo (začít (pole) (ccc) (ccc) 7 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 & 7 Konec (Array) vpravo) $$

Vystupovat nedávné akce: Odčítání a doplnění:

$$ vlevo (začátek (pole) (ccc) -14 & 26 & -6 \\\\ -62 & -10 & 14 \\ t & 62 & 14 konec (array) vpravo) - vlevo (začít (Array) (CCC) -15 a 30 & 9 \\\\ -60 & 36 & -45 \\\\ 39 & 27 & 24 end (pole) vpravo) + vlevo (začít (pole) (CCC) 7 & 0 & 0 0 & 7 Konec (Array) vpravo) \u003d \\\\ \u003d vlevo (začít (pole) (CCC) -14 - (- 15) +7 & 26-30 + 0 & -6- 9 + 0 -62 - (- 60) +0 & -10-36 + 7 & 14 - (- 45) +0 46-39 + 0 & 62-27 +0 & 14-24 + 7 \\ t End (Array) vpravo) \u003d vlevo (Začínáme (pole) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\ t & 35 & -3 end (pole) ). $$.

Úkolem je vyřešen, $ d \u003d vlevo (začít (pole) (CCC) 8 & -4 & -15 \\\\ -2 & -39 & 59 \\ t & 35 & -3 \\ end (array) ) $.

Odpovědět: $ D \u003d vlevo (začátek (pole) (ccc) 8 & -4 & -15 \\\\ & -39 & 59 \\ t & 35 & -3 end (array) vpravo) $.

Příklad číslo 6.

Nechť $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $ a matice $ a \u003d vlevo (začátek (pole) (cc) -3 & 1 5 & 0 - end (array)) $ . Najděte hodnotu $ F (a) $.

Pokud $ f (x) \u003d 2x ^ 2 + 3x-9 $, pak pod $ f (a) $ porozumění matrici:

$$ f (a) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9e. $$.

To je způsob, jak je polynom stanoven z matrice. Takže musíme nahradit matici $ A $ v výrazu za $ F (A) $ a získat výsledek. Vzhledem k tomu, že všechny akce byly podrobně demontovány dříve, pak budu dávat rozhodnutí. Pokud je proces provedení operace $ A ^ 2 \u003d A CDOT A $, je pro vás nejasný, doporučuji se podívat na popis násobení matric v první části tohoto tématu.

$$ f (a) \u003d 2A ^ 2 + 3A-9E \u003d 2A cdot a + 3A-9E \u003d 2 levá (začít (pole) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ t Vpravo) cdot vlevo (začít (pole) (cc) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 end (array) vpravo) +3 vlevo (začít (pole) (cc) -3 & 1 5 & \u200b\u200b0 end (pole) vpravo) -9 vlevo (začátek (pole) (cc) 1 a 0 0 & 0 0 & 1 ukončení (pole)) \u003d \\\\ \u003d 2 \\ t Začínáme (pole) (CC) (-3) CDOT (-3) +1 CDOT 5 & (-3) CDOT 1 + 1 CDOT 0 \\\\ 5 CDOT (-3) +0 & 5 CDOT 1 + 0 CDOT 0 End (Array) vpravo) +3 vlevo (začít (pole) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 \\ end (array)) -9 Vlevo (začít (pole) (cc) 1 a 0 0 & 0 0 & 1 \\ t (pole) vpravo) \u003d \\\\ \u003d 2 vlevo (začít (pole) (cc) 14 & -3 \\ t 15 & 5 End (Array) vpravo) +3 vlevo (začátek (pole) (CC) -3 & 1 \\\\ 5 & 0 - end (pole)) -9 vlevo (začít) ) (CC) 1 a 0 0 & 1 \\ end (array) vpravo) \u003d vlevo (začátek (pole) (cc) 28 & -6 -30 & 10 - end (array) vpravo) + Vlevo (začátek (pole) (cc) -9 & 3 \\\\ 15 & 0 end (pole) vpravo) - vlevo (začátek (pole) (cc) 9 & 0 0 & 0 \\ t Konec (pole) \\ t $$.

Odpovědět: $ F (a) \u003d vlevo (začátek (pole) (cc) 10 & -3 -15 & 1 - end (array) vpravo) $.

Některé vlastnosti operací nad matricemi.
Výrazy matice

A nyní pokračování tématu, ve kterém zvážíme nejen nový materiálAle také práce akce s maticemi.

Některé vlastnosti operací nad matricemi

Existuje velmi mnoho vlastností, které se týkají akcí s maticemi, ve stejné wikipedii můžete obdivovat štíhlé řady příslušných pravidel. Nicméně, v praxi mnoho vlastností v určitém smyslu "mrtvých", protože pouze některé z nich se používají při řešení skutečných úkolů. Mým cílem je zvážit aplikovanou aplikaci vlastností na konkrétních příkladech, a pokud potřebujete přísnou teorii, použijte jiný zdroj informací.

Zvážit některé výjimky z pravidlato bude vyžadováno provádět praktické úkoly.

Pokud má náměstí matice inverzní matice , pak jejich násobení komutativní:

Single Matrix. nazývá čtvercová matice, která hlavní diagonála Jednotky se nacházejí a zbývající prvky jsou nulové. Například:, atd.

Kde. Spravedlivý majetek: Je-li libovolná matice násobí vlevo nebo vpravo Na jedné matrici vhodných velikostí je výsledkem počáteční matrice:

Jak vidíte, probíhá také komutace multiplikace matice.

Vezměte si nějakou matici, dobře, řekněme, matice z předchozího úkolu: .

Ti, kteří chtějí zkontrolovat a ujistit se, že:

Jediná matrice pro matice je analogem numerické jednotky pro čísla, která je zvláště jasně pozorována z uvedených příkladů.

Komutnost numerického faktoru vzhledem k násobení matric

Pro matrice a skutečné číslo je následující vlastnost spravedlivé:

To znamená, že numerický multiplikátor může (a nutný), aby se převzal tak, že "nezasahuje" násobit matici.

Poznámka Obecně řečeno, znění nemovitosti je neúplné - "lambda" může být umístěna kdekoli mezi matricemi, dokonce i na konci. Pravidlo zůstává spravedlivé, pokud se vynásobí tři nebo více matric.

Příklad 4.

Vypočítat práci

Rozhodnutí:

(1) Podle vlastnictví Přesuňte numerický faktor dopředu. Nemůžete přeskupit matice!

(2) - (3) Proveďte multiplikaci matice.

(4) Zde můžete sdílet každé číslo 10, ale pak se desetinná frakce objeví mezi prvky matice, což není dobré. Všimli jsme si však, že všechny počty matric jsou rozděleny do 5, takže si násobíte každý prvek.

Odpovědět:

Malá Charáda pro vlastní řešení:

Příklad 5.

Vypočítat-li

Řešení a odpověď na konci lekce.

Jaký technická recepce je důležitá při řešení těchto příkladů? S číslem, kterým rozumíme nakonec .

Vstup pro lokomotiva Jiné auto:

Jak se množit tři matice?

Za prvé, co by se mělo stát v důsledku vynásobení tří matric? Kočka nebude porodit myši. Pokud je multiplikace matrice proveditelné, pak na konci bude matrice také fungovat. M-ano, můj učitel v algebře nevidí, jak vysvětlím uzavření algebraické struktury týkající se jeho prvků \u003d)

Práce tří matric lze vypočítat dvěma způsoby:

1) Najít, a pak násobit na matrici CE ":;

2) Buď první nález, pak provést násobení.

Výsledky se určitě shodují a teoreticky tato vlastnost se nazývá Asociativita multiplikace matice:

Příklad 6.

Vynásobte matici dvěma způsoby

Algoritmus řešení Dvou-chlupatý: Najdeme produkt dvou matric, pak opět najdeme produkt dvou matric.

1) Používáme vzorec

Akce První:

Akce Second:

2) Používáme vzorec

Akce První:

Akce Second:

Odpovědět:

Více zvyklý a standardní, samozřejmě první způsob, jak vyřešit, tam "bez ohledu na to, jak je vše v pořádku." Mimochodem, o objednávce. V úvaženém úkolu, iluze často vzniká, že mluvíme o některých permutacích matric. Nejsou tady. Znovu si vzpomínám obecně Uspořádat matice nemohou. Takže ve druhém bodě, ve druhém kroku, provádíme násobení, ale v žádném případě. S obyčejnými čísly, takové číslo prošlo a s maticemi - ne.

Majetek násobení asociativity platí nejen pro náměstí, ale také pro svévolné matice - pokud by byly vynásobeny:

Příklad 7.

Najít práci tří matric

To je příklad nezávislého řešení. Ve vzorku byly výpočetní řešení prováděny dvěma způsoby, analyzovat, která cesta je výhodnější a kratší.

Vlastnosti asociativity multiplikace matice probíhají pro více multiplikátoři.

Nyní je čas vrátit se do stupňů matric. Náměstí matice se považuje za samého počátku a na pořadu jednání otázky:

Jak vytvořit matici v krychle a vyšší stupně?

Tyto operace jsou také definovány pouze pro čtvercové matrice. Chcete-li zvýšit čtvercovou matici do krychle, musíte vypočítat práci:

Ve skutečnosti to soukromý případ Vynásobení tří matric podle majetku asociativity multiplikace matrice :. A matrice násobená sama o sobě je čtverec matice:

Dostáváme tedy pracovní vzorec:

To znamená, že úkol se provádí ve dvou krocích: Nejprve musí být matrice zvýšena na čtverec, a pak výsledná matrice násobí matrici.

Příklad 8.

Vybudujte matici na kostku.

Jedná se o malý úkol pro nezávislé řešení.

Konstrukce matice ve čtvrtém stupni se provádí přirozeným způsobem:

Pomocí asociativity multiplikace matic, stáhnout dva pracovní vzorce. Za prvé: - Toto je práce tří matric.

jeden) . Jinými slovy, nejprve najdeme, pak jsme dominantní k "BE" - Dostaneme kostku, a nakonec provádíme znovu násobení - čtvrtý stupeň bude.

2) Existuje však řešení krok kratšího :. To znamená, že v prvním kroku najdeme čtverec a obchází kostku, provádět násobení

Další úkol Například 8:

Hodnotit matici ve čtvrtém stupni.

Jakmile je známo, může být provedeno dvěma způsoby:

1) Vzhledem k tomu, že kostka je brzy známa, pak provádíme násobení.

2) Pokud však podle stavu úkolu musíte vybudovat matici pouze ve čtvrtém stupniCesta je prospěšná pro snížení - najít čtverec matice a použít vzorec.

Obě řešení i odpověď - na konci lekce.

Podobně je matrice postavena v pátém a vyšším stupni. Z praktických zkušeností mohu říci, že někdy existují příklady výstavby 4. stupně, ale nemám si vzpomenout na pátý stupeň. Ale jen v případě, že přivedu optimální algoritmus:

1) najdeme;
2) najdeme;
3) Stavíme matici do pátého stupně :.

Zde, možná, všechny základní vlastnosti matric operací, které mohou být užitečné v praktických úkolech.

Ve druhé části lekce se neočekává žádná méně důvěryhodná strana.

Výrazy matice

Opakujeme obvyklé školní výrazy s čísly. Numerický výraz se skládá z čísel, známek matematických akcí a závorek, například: . Při výpočtu, známá algebraická priorita: nejprve zohledněna závorkypak popraven ferend míry stupně kořenů, později násobení / divize. A naposledy - přidání / odčítání.

Je-li numerický výraz smysl, pak je výsledek jeho výpočtu číslo, např.:

Výrazy matice Uspořádány téměř stejné! S rozdílem, že hlavní aktéři jsou matice. Plus některé specifické matrice operace, jako je transpozice a nalezení reverzní matice.

Zvažte matrixovou expresi kde - některé matrice. V této matrice jsou tři komponenty a přísady přidávání / odečtení plně splněny.

V prvním termínu nejprve potřebujete transponovat matice "BE":, pak vykonávat násobení a vytvořit "Deuce" do výsledné matrice. Všimněte si, že provozování provozu má více s vysokou prioritounež násobení. Konzoly, jako v numerických výrazech, změna postupu: - Zde se multiplikace provádí jako první, pak vyplývající matrice je transponována a vynásobena 2.

Ve druhém termínu se multiplikace matrice provádí především a inverzní matrice je již z práce. Pokud jsou závorky odstraněny: je nejprve nutné najít reverzní matrici, a pak vynásobte matrici :. Nalezení reverzní matrice má také prioritu před vynásobením.

Vše je zřejmé s třetím termínem: budeme stavět matrici do krychle a udělat "pět" do výsledné matrice.

Pokud má smysl matrice smysl, výsledek jeho výpočtu je matrice.

Všechny úkoly budou od skutečné zkušební práce a začneme s nejjednodušším:

Příklad 9.

Dana Matrix. . Najít:

Rozhodnutí: Postup je zřejmý, první násobení se provádí, a pak navíc.

Přidání není možné provést, protože matrice různých velikostí.

Nebuďte překvapeni, zřejmě nemožné akce jsou často nabízeny v úkolech tohoto typu.

Snažíme se vypočítat druhý výraz:

Všechno je tady v pořádku.

Odpovědět: Akce není možná, .

Matrix A -1 se nazývá inverzní matrice ve vztahu k matrice A, pokud A * A -1 \u003d E, kde E je jediná matrice N-pořadí. Reverzní matrice může existovat pouze pro čtvercové matrice.

Jmenování služby. Přes tato služba V režimu online, můžete najít algebraické doplňky, transponovanou matrici A T, spojenecká matrici a reverzní matrici. Rozhodnutí se provádí přímo na webu (v režimu online) a je zdarma. Výsledky výpočtů jsou vydávány ve zprávě o formátu slova a v excel formát (tj. Rozhodnutí je možné zkontrolovat). Viz příklad registrace.

Návod. Chcete-li získat řešení, musíte určit rozměr matice. Dále v novém dialogovém okně vyplňte matici A.

Zobrazit také inverzní matrici Jordan-Gauss

Algoritmus pro vrácení matice

Nalezení transponované matrice a t.
Definice algebraických doplňků. Každému prvku matrice vyměňte algebraickým přídavkem.
Příprava vrácené matrice z algebraických doplňků: Každý prvek výsledné matrice je rozdělen do determinant původní matrice. Výsledná matrice je pro původní matrici zpět.

Následující algoritmus pro vrácení matice Podobně jako předchozí kromě některých kroků: Nejprve se počítají algebraické přídavky a pak se stanoví spojenecká matrice C.

Určete, zda čtvercová matice. Pokud ne, reverzní matrice pro něj neexistuje.
Výpočet determinant matrice A. Pokud není rovna nule, pokračujeme v řešení, jinak neexistuje žádná reverzní matrice.
Definice algebraických doplňků.
Vyplnění Unie (vzájemná přiložená) matice C.
Vypracování reverzní matrice algebraických doplňků: Každý prvek připojené matrice C je rozdělen do determinant původní matrice. Výsledná matrice je pro původní matrici zpět.
Zkontrolujte: přesuňte původní a získanou matici. V důsledku toho by měla být získána jediná matrice.

Příklad číslo 1. Matice píšeme ve formuláři:

Algebraické dodatky. Δ 1,2 \u003d - (2 · 4 - (- 2 · (-2))) \u003d -4 Δ 2,1 \u003d - (2 · 4-5 · 3) \u003d 7 Δ 2,3 \u003d - (- 1 · 5 - (- 2 · 2)) \u003d 1 Δ 3,2 \u003d - (- 1 · (-2) -2 · 3) \u003d 4

A -1 \u003d.